5 model transportasi
DESCRIPTION
5 Model TransportasiTRANSCRIPT
-
Transportasi - 1
MODEL TRANSPORTASI
PENDAHULUAN
Bagian ini menyajikan model transportasi dan berbagai variasinya. Sesuai dengan
namanya, model ini berkaitan dengan penentuan : a minimum cost plan for transporting a
single commodity from a number of sources ( e.g. factories) to a number destinations
(e.g. warehouses). Model ini dapat diperluas secara langsung untuk mencakup situasi-
situasi praktis dalam bidang pengendalian persediaan (inventory control), scheduling dam
reservoir levels, and many others.
Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang dapat
dipecahkan oleh metoda simpleks biasa, Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan
pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih
efesien dalam hal perhitungan.
Karakter khusus dari model ini adalah cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan
variable yang sangat banyak, juga kebanyakan koefisien aij dalam pembatas-
pembatasnya berharga nol, dan sedikit sekali koefisien yang berharga bukan nol terjadi
dalam suatu pola tertentu.
DEFINISI DAN APLIKASI MODEL TRANSPORTASI
Persoalan Transportasi membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau
produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination,
demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.
Ciri-ciri khusus persoalan transportasi ini adalah :
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang
diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.
Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute
tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirim.
Definisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang dikirim. Misalkan kita dapat membicarakan unit transportasi sebagai setiap balok baja yang
diperlukan untuk membangun jembatan. Atau kita dapat menggunakan beban truk dari
sebuah barang sebagai unit transportasi.
Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut :
Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.
-
Transportasi - 2
Sumber Tujuan
a b
.
.
.
. . .
. . .
. .
.
.
Penjelasan model di atas :
Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai , i =1,2,3,., m Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj, j = 1,2,3,.,n Jumalah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah cij
Dengan demikian, maka formulasi LP-nya adalah sebagai berikut :
1. Jika Kebutuhan / Sumber sama dengan Kapasitas / Tujuan :
Fungsi Tujuan : z =
m
i
n
j
ijij XC1 1
Pembatas : (1)
n
j
ijx1
= a i ; i = 1,2,3, ., m.
(2)
n
j
ijx1
= b j ; j = 1,2,3, ., n.
x ij 0.
Jika Kebutuhan Lebih Kecil dari Kapasitas :
Fungsi Tujuan : z =
m
i
n
j
ijij XC1 1
Pembatas : (1)
n
j
ijx1
a i ; i = 1,2,3, ., m.
i = 1 j = 1
j = 2
j = 3
j = n
X11
X12
X1n
i = 2
X21
X22
X2n
i = m
Xm1
Xm2
Xmn
-
Transportasi - 3
(2)
n
j
ijx1
= b j ; j = 1,2,3, ., n.
x ij 0.
Jika Kebutuhan Lebih Besar dari Kapasias :
Fungsi Tujuan : z =
m
i
n
j
ijij XC1 1
Pembatas : (1)
n
j
ijx1
= a i ; i = 1,2,3, ., m.
(2)
n
j
ijx1
b j ; j = 1,2,3, ., n.
x ij 0.
Dalam persoalan transportasi tidak digunakan tabel simpleks, sebagai ilustrasi jika ada 2
sumber dan 3 tujuan ( m = 2 dan n = 3), maka pemecahannya dilakukan dengan
menggunakan tabel berikut :
Tabel-1 Matriks Persoalan Transportasi
Tujuan (j)
Sumber
(i)
1 2 3 Supply
1
C11
C12
C13
a1
2
C21
C22 C23
a2
Demand b1 b2 b3
-
Transportasi - 4
KESEIMBANGAN MODEL TRANSPORTASI
Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply (sumber) sama dengan
total demand (tujuan). Dengan kata lain :
ai = bj
Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi, atau denga
kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada
jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai
model tidak seimbang (unbalanced). Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat
seimbang dengan cara memasukkan variable artificial (semu). Jika jumlah demand
melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply
kekurangan tersebut, yaitu sebanyak j bj i ai. Sebaliknya, jika supply melebihi jumlah demand, maka sibuat suatu tujuan
dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak i ai j bj. Ongkos transportasi per unit (cij) dari sumber dummy ke seluruh tujuan adalah
nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi
pengiriman. Begitu pula dengan ongkos transportasi per unit (cij) dari semua sumber ke
tujuan dummy adalah nol.
METODE PEMECAHAN PERSOALAN TRANSPORTASI
Untuk memecahkan persoalan transportasi harus dilakukan langkah-langkah sebagai
berikut :
1. Tentukan Basic Feasible Solution 2. Tentukan entering variable dari variable-variabel nonbasis. Bila semua variable sudah
memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila belum, lanjutkan ke langkah 3.
3. Tentukan leaving variable diantara variable-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi baru. Kembali ke langkah 2.
-
Transportasi - 5
Langkah 1 : Menentukan Basic Feasible Solution
Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menentukan BFS, atara lain :
a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (northwest corner) Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar X11 = min (a1, b1), artinya : jika b1 < a1 maka X11 = b1 ; jika b1 > a1 maka X11 = a1. Kalau X11 = b1, maka selanjutnya yang
mendapat giliran untuk dialokasikan adalah X12 dan seterusnya.
b. Metode ongkos terkecil (least cost) Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat yang
mempunyai satuan ongkos terkecil.
c. Metode Pendekatan Vogel (Vogels approximation method, VAM) Cara ini merupakan cara yang terbaik disbandingkan dengan kedua cara di atas.
Langkah-langkah pengerjaannya adalah :
1. Hitung penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari kedua terkecil.
2. Selidiki kolom/baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variable dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dengan demand, kemudian
tandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah kolom/baris yang
tepenuhi secara simultan, pilih salah satu untuk ditandai, sehingga suplly/demand
pada baris/kolom dengan suplly/demand sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi
dalam perhitungan penalty berikutnya.
3. a. Bila tinggal 1 kolom/baris yang belum ditandai , STOP. b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan suplly/demand positif yang belum ditandai,
tentukan variable basis pada kolom/baris dengan cara ongkos terkecil.
c. Bila semua kolom/baris belum ditandai mempunyai suplly/demand sama dengan nol, tentukan variable-variabel basis yang berharga nol dengan ongkos
terkecil. Kemudian STOP.
d. Jika 3a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali penalty untuk kolom/baris yang belum ditandai. Kembali ke nomor 2.
Contoh :
A. Metode Pojok Kiri Atas-Pojok Kanan Bawah (Northwest Corner)
Tujuan (j)
Sumber
(i)
1 2 3 Supply
1
C11
C12
C13
a1
2
C21
C22 C23
a2
Demand b1 b2 b3
-
Transportasi - 6
Contoh masalah transportasi:
1. Metode NWC
BFS (Basis) : X11=50; X12=40; X22=60; X32=10; X33=40
Biaya yang dikeluarkan : Z = (50 . 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3260
-
Transportasi - 7
2. Metode biaya terkecil
Basis : X12=90; X21=20; X23=40; X31=30; X32=20
Biaya yang dikeluarkan : (90 . 5) + (20 . 15) + (40 . 10) + (30 . 25) + (20 . 10) = 2400
3. Metode VAM Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan. Langkah metode VAM: 1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom
dan baris) 2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom 3. Pilih biaya terendah 4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan 5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh 6. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya teralokasikan.
-
Transportasi - 8
-
Transportasi - 9
-
Transportasi - 10
BFS (Basis) : X12=60; X13=30: X21=50: X23=10; X32=50 Setelah terisi semua, maka biaya transportasinya yang harus dibayar adalah 60(Rp 5,-) + 30(Rp 8,-) + 50(Rp 15,-) + 50(Rp 15,-) + 10(Rp 10,-) + 50(Rp 10,-) = Rp 1.890,-
Langkah 2 : Tentukan entering variable dan leaving variable
Metode Multiplier
Untuk tiap baris i dari table transformasi dikenal suatu multiplier ui, dan untuk kolom j
disebut multiplier vj sehingga untuk tiap variable basis xij di dapat persamaan :
ui + vj + cij Dari persamaan di atas kita dapat menghitung berapa penurunan ongkos transportasi per
unit untuk tiap varaibel nonbasis xij sebagai berikut :
cij = xij - ui - vj
Kriteria entering variable yaitu variable non basis yang memberikan penurunan ongkos
yang terbesar ( c paling negatif).
Kriteria leaving variable yaitu variable-variabel sudut loop yang bertanda - yang
nilainya paling kecil. Loop tersebut berawal dan berakhir pada variable nonbasis, dimana
tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh varaibel-variabel basis
dalam table transportasi.
-
Transportasi - 11
Contoh soal 1:
Sebuah perusahaan mempunyai warehouse di lokasi A, B dan C dengan kapasitas
berturut-turut 45, 60 dan 30 ton per hari. Daerah pemasarannya berada di lokasi X, Y dan
Z yang masing-masing mempunyai demand sebesar 25, 50 dan 40 ton sehari. Ongkos
transportasi dari masing-masing warehouse ke daerah pemasaran adalah sebagai berikut :
A ke X = $ 15 ; A ke Y = $ 13; A ke Z = $ 25
B ke X = $ 30 ; B ke Y = $ 10; B ke Z = $ 2
C ke X = $ 40 ; C ke Y = $ 35; C ke Z = $ 45
Pertanyaan :
1. Dengan memformulasikan persoalan di atas sebagai persaoalan transportasi, maka tentukan BFS dengan metode Northwest Corner, serta hitung total ongkosnya !
2. Apakah solusinya sudah optimal ? jika ya, mengapa ? jika tidak, bagaimana solusi optimalnya serta hitung total ongkosnya ?
Contoh soal 2:
Sebuah perusahaan memproduksi tepung tapioca, mempunyai 3 pabrik yang berlokasi di
Cianjur, Bandung, dan Cirebon, dan masing-masing mempunyai kapasitas produksi 45
ton, 30 ton, dan 10 ton perbulan. Tepung tapioca tersebut dipasarkan di 3 lokasi utama,
yaitu: Jakarta, Tasikmalaya, dan Bandung yang masing-masing membutuhkan 20 ton, 35
ton, dan 35 ton perbulan. Ongkos transportasi per ton (US$) dari Cianjur-Jakarta = 4,
Cianjur-Tasik = 8, Cianjur-Bandung = 13, Bandung-Jakarta = 18, Bandung-Tasik = 10,
Bandung-Bandung = 5, Cirebon-Jakarta = 12, Cirebon-Tasik = 2, Cirebon-Bandung = 6.
Pertanyaan:
a) Tentukan BFS dengan metode NWC, serta hitung total costnya
b) Apakah solusi sudah optimal? Jika ya mengapa? Jika tidak carilah solusi optimalnya
Jawaban:
-
Transportasi - 12
Matriks transportasi
To
From
V1 = 4 V2 = 8 V3 = 3
Jk Ts Bd Suply
U1 = 0 Cj 4
20
8
25
13
45
U2 = 2 Bd 18
10
(-) 10
5
20 (+) 30
U3 = 3 Cb 12
2
(+) X32
6
10 (-) 10
U4 = -3 Dummy 0
0
0
5 5
Demand 20 35 35 90
BFS dengan metode NWC
XB (basis) : X11 = 20 X33 = 10
X12 = 25 X43 = 5
X22 = 10
X23 = 20
a) TC = 20(4) + 25(8) + 10(10) + 20(5) + 10(6) + 5(0)
= 540
Cari entering variable (EV)
Kriteria Entering Variabel yaitu XN (variable non basis) dengan nilai paling negative.
= penurunan ongkos transportasi per unit.
Mencari dengan metode Multiplier (U dan V) diawal persoalan.
Definisikan U1 = 0
XB (basis) : X11 = U1 + V1 = C11 0 + V1 = 4 V1 = 4
X12 = U1 + V2 = C12 0 + V2 = 8 V2 = 8
X22 = U2 + V2 = C22 U2 + 8 = 10 U2 = 2
X23 = U2 + V3 = C23 2 + V3 = 5 V3 = 3
X33 = U3 + V3 = C33 U3 + 3 = 6 U3 = 3
-
Transportasi - 13
X43 = U4 + V3 = C43 U4 + 3 = 0 U4 = -3
XN (non basis) : X13 : 13 = C13 U1 V3
= 13 0 3 = 10
X21 : 21 = C21 U2 V1
= 18 2 4 = 12
X31 : 31 = C31 U3 V1
= 12 3 4 = 5
X32 : 32 = C32 U3 V2
= 2 3 8 = -9
X41 : 41 = C41 U4 V1
= 0 (-3) 4 = -1
X42 : 42 = C42 U4 V2
= 0 (-3) 8 = -5
Karena 32 paling negative, sehingga X32 terpilih sebagai EV.
Cari Leaving Variabel (LV)
Buat loop (putaran) yang dimulai dari entering variable dengan titik-titik pojok loop
adalah variable basis (XB)
Criteria LV yaitu sudut loop bertanda negative (-) dengan nilai XB paling kecil.
Sehingga X22 atau X33 menjadi LV, missal pilih LV: X22
To
From
V1 = 4 V2 = 8 V3 = 12
Jk Ts Bd Suply
U1 = 0 Cj 4
20
8
25
13
45
U2 = -7 Bd 18
10
5
30 30
U3 = -6 Cb 12
2
10
6
0 10
U4 = -12 Dummy 0
0
0
5 5
Demand 20 35 35 90
-
Transportasi - 14
Cari U dan V
XB : X11 V1 = 4
X12 V2 = 8
X32 U3 = -6
X33 V3 = 12
X23 U2 = -7
X43 U4= -12
Cari
XN : X13 : 13 = 13 0 12 = 1
X21 : 21 = 18 (-7) 8 = 21
X22 : 22 = 10 (-7) 8 = 9
X31 : 31 = 12 (-6) 4 = 14
X41 : 41 = 0 (-12) 4 = 8
X42 : 42 = 0 (-12) 8 = 4
b) Karena semua sudah positif maka solusi sudah optimal
Solusi optimal : X11 = 20, X12 = 25, X23 = 30, X32 = 10, X43 = 5
Total ongkos transportasi = 20(4) + 25(8) + 30(5) + 10(2) + 5(0)
= 450
Atau TC = 540 9(10) = 450