4. le travature reticolari

5/16/2018 4. Le Travature Reticolari - slidepdf.com

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CAPITOLO IV

LE TR AVA TU RE R ETICOLA RI

1. Definizione di travatura reticolare.

Si consideri nel piano un insieme di aste (strutture monodimension ali

ad asse rettilineo) collegate tra lora 0 al suolo in corrispondenza delle

estremita; i punti di concorso di due 0 pili aste si chiamano nodi.

Si supponga che i collegamenti tra Ie aste siano a cerniera(nodi cer-niere); se la struttura cosi vincolata e labile, si e in presenza di un telaio,

in caso contrario si tratta di una travatura reticolare.

In realta i collegamenti sono sempre rigidi (nodi incastri); I'ipotesi

di nodi cerniere pero conduce a calcoli estremamente semplificati ed a ri-

sultati che spesso sono molto vicini al vero, e comunque puo costituire il

primo stadio del calcolo esatto.

!...-0------<)

a)

.. ~~ ~

b)

FIG. 4-1

Si fa l'ipotesi che Ie forze esterne possano agire solo nei nodi; questa e,

al contrario della prima, quasi sempre verificata nelle travature reticolari,

per la quasi totalita delle forze esterne. Neppure in tal caso (carico nei

nodi) nel telaio (fig. 4-1a) esiste, in genere, possibilita di una soluzione

equilibrata (anche se non congruente) cui si associ la sola caratteristica

sforzo normale; nella travatura reticolare (fig. 4-1b) invece cia accade.



CAP. IV LE TRAVATURE RETICOLARI 91

II calcolo nell'ipotesi di nodi cerniere e effettuato a vantaggio di

statica, almena per quanto attiene al coefficiente di sicurezza globale a

rottura (Vol. IV). Le sollecitazioni ottenute nell'ipotesi di nodi cerniere

sono tanto pill vicine al vero quanto pill a parita di area, e compatibil-

mente con Ie esigenze di stabilita dell'equilibrio, Ie sezioni delle aste pre-

sentano basso momento d'inerzia.

La stesso accade, per le travature ad aste caricate, con riferimento aIle

sollecitazioni derivanti dalla congruenza angolare nei nodi.

FIG. 4-2

Nelle travature metalliche si e generalmente in presenza di aste di bas-

so momenta d'inerzia; il contrario accade nelle travature in congIomerato

armata. Queste uItime sono molto rare, rna se ne trovano nobili esempi,

come (fig. 4-2) Ie travature «Nielsen» da ponte, forse tra gli schemi pillrazionali, anche se non da tutti apprezzate sotto il profilo estetico, giu-

dizio del resto sempre opinabile.

2. Le travature isostatiche.

Si considerano in questo capitolo travature reticolari a nodi cerniere;

sia c ilnumero dei nodi, a quello delle aste.

Se si eliminano tutti i vincoli esterni ed interni, ilsistema ha 3a gradi

di liberta. Ogni cerniera che unisce n aste elimina 2 (n-1) gradi di li-berta; poiche ogni asta collega due cerniere, ilgrado totale di liberta eli-

minato dalle cerniere e

~c 2 (n - 1) = 2 ~c n - 2 c = 4 a - 2 c .

Se veil numero di gradi di liberta soppresso dai vincoli esterni, il

grado diIiberta della struttura e

3 a - (4 a - 2 c) - v=c - a - v .



92 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI VOL. II

Sia t l'ordine di labilitti della struttura (gradi di liberta che essa pre-

senta) ed i l'ordine di iperstaticitti (numero di aste 0 vineoli sempliei ehe

oecorre sopprimere perche la struttura diventi isostatica, e cioe tale che

c = 13

a = 23

v = 3

c=l1

a = 18

v = 4

a)

2c-a-v=0

t= O

i=O

b)

2c-a-v=0

t= o

i= 0

2c-a-v=-2

a = 51 t = 0

v = 3 i=2

c = 26

a = 49

v = 4

d)

2c- a- v=-1

t=O

i=1

FIG. 4-3

qualsiasi ulteriore eliminazione di un' asta 0 di un vincolo semplice con-

ferisca alla struttura un grado di liberta, in modo da poter calcolare la

corrispondente reazione attraverso ilprincipio dei lavori virtuali per si-

stemi rigidi olonomi); si puo porre

2c-a-v=t-i (1)



CAP. IV LE TRAVATURE RETICOLARI 9 3

Se la struttura e isostatica, e (fig. 4-3 a, b)

2 c - a - v= ; (2)

se si verifica la (4-2), ed i==, la struttura e isostatica. PUQ darsi

c = 26

a = 49

2c-a-v=O

t= 2

v= 3 i=-2

FIG. 4-4

infatti che si verifichi la (4-2), e sia t ~ 0, i ~ 0, ed t=; in tal caso la

struttura (fig. 4-4) e in parte iperstatica ed in parte labile.

3. Gli sforzi norma Ii nelle travature isostatiche.

Si considerino travature isostatiche.

La ricerca delle reazioni in corrispondenza dei vincoli esterni, e di

quelli interni che collegano piu parti di travatura ciascuna isostatica, siesegue con i noti metodi della statica (*). Conosciute Ie suddette reazioni,

per ilcalcolo degli sforzi normali nelle aste possono essere adottati sva-

riati metodi; ilpiii vantaggioso sotto molti aspetti e quello di W. Ritter

(1890), applicabile se esiste la possibilita .di un taglio che sconnetta la

travatura in due parti impegnando, oltre l'asta interessata, aItre due aste

(sezione di Ritter).

Se si vuole conoscere 10 sforzo normale nell' asta 2 della travatura del-

la fig. 4-5, si esegue un taglio che Irnpegna anche Ie aste 1 e 3; la parte

a destra, 0 quella a sinistra (**), del taglio e in equilibrio sotto Ie forze

esterne (applicate e reazioni) e Ie forze interne Nl, N2, Ns. L'equazionedi equilibrio alIa rotazione intorno al polo P2 dell'asta 2 (punto d'incon-

tro degli assi delle altre due aste 1 e 3 impegnate dal taglio) non contiene

(*) Per una piu completa trattazione della isostaticita delle strutture si ri-

manda al Vol. III, dove e anche contenuto qualche cenno sulla ricerca delle rea-

zioni nelle strutture isostatiche.

(**) Conviene scegliere la parte che consente di calcolare Me (vedi seguito)

piu agevolmente.




N 1 ed N a, poiche queste forze passano per P z; si ha percio un'equazione

che fornisce direttamente N2• Se si conviene di assumere N positiva se

FIG. 4-5

di trazione, ed i momenti positivi se antiorari, con riferimento al caso in

esame si ha

(a)

dove M e z e ilmomenta rispetto al polo P 2 delle forze esterne a destra

della sezione di Ritter. Dalla (a) si trae

(3)

Poiche Me2 risulta positivo, N 2 e di trazione; si dice che l'asta 2 e un

tirante.

La stessa sezione permette di conoscere le forze N 1 ed N a. Per N 1 il

polo e PI , e si ha (N, positiva se di trazione)

da cui

poiche Mel e positivo, N, e di compressione (l'asta 1 e un puntone).




Per N, si ha

da cui

ilmomento Mea e positivo, e quindi l'asta 3 e un tirante. Si osservi che

per scrivere Ie equazioni precedenti si e supposta Ia generica N positiva;

nella fig. 4-5 Ie N si sono invece riportate con ilsegno effettivo, risultante

dalla risoluzione delle equazioni (*).

Spesso accade che il polo di un'asta sia improprio (fig. 4-6); cia si

verifica, ad esempio, per tutte Ie aste di parete di una travatura a

FIG. 4-6

correnti rettilinei e paralleli (**). In tal caso l'equazione di equilibrio

alla traslazione, secondo la normale ai correnti, di tutte Ie forze agenti a

destra della sezione di Ritter (0 a sinistra) si scrive.

N a cos e x + F ve = 0 , (b)

dove N, e positiva se di trazione, ed Fvs, somma delle componenti se-

condo la normale ai correnti delle forze esterne agenti a destra della

sezione, e positiva se diretta verso ilbasso. Dalla (b) si trae (Fve=e)

(4)cos e x

nel caso in figura Fe e negativa, e percio l'asta 3 e un tirante.

(*) Si avverte che, se Ie aste non hanno asse rettilineo (come sovente accade

per Ie aste di corrente neUe travate a correnti non rettilinei) tutto quanto si

dice per Ie aste rettilinee resta valido con riferimento alle congiungenti i nodi,

ed alle reazioni trasmesse dai nodi aIle aste.

(**) La gran maggioranza delle travature reticolari e costituita da aste

(aste di corrente) disposte secondo due linee rette 0 curve (correnti 0 briglie);

i due correnti sono collegati da altre aste (aste di parete) vertic ali od oblique.




Se ilpolo P, di un'asta di parete esce fuori del disegno (fig. 4-7) si puo

ottenere Na, dopo aver calcolato gli sforzi normali N, ed N 2 delle aste di

corrente impegnate dalla stessa sezione di Ritter, costruendo i1 poligono

Fe

FIG. 4-7

delle forze F e N , N 2 e chiudendo con Na ; a riprova della bonta delle ope-

razioni precedenti, N, deve risultare parallelo all'asse dell'asta 3.

Se, come spesso accade, la trave e appoggiata ed i carichi sono verticali,

conviene tracciare ildiagramma dei momenti e tagli come se si trattasse

T

FIG. 4-8

di una trave qualsiasi; questi diagrammi forniscono immediatamente i

momenti Me e le forze F e (fig. 4-8). Si riconosce cosi che icorrenti as-

sorbono ilmomento, risultando compresso il superiore e teso l'inferiore,

e le aste relative sono tanto pili scllecitate quanto pili si e prossimi alla




mezzeria; Ie aste di parete assorbono iltaglio, risultano alternativamente

tese e compresse, e sono tanto pili sollecitate quanta pili vicine agli

appoggi.

~

~

~

~

Mohnie

Howe

Pratt

Neville

(Warren)

Parabolica

(Nielsen)

Parabolica

rovescia

Fink

Travate da ponte

FIG. 4-9

Con riferimento al solo peso proprio, ilmetodo di Ritter permette

considerazioni sintetiche per molte tra Ie travature reticolari da ponte pili

usate. Nelle strutture da ponte (fig. 4-9) sono molto frequenti Ie trava-

ture a correnti rettilinei e paralleli. Nel tipo Mohnie Ie aste di parete

* FRANCIOSI • Vol. II 7




sono alternativarnente vertic ali (montanti) ed inclinate (diagonali); Ie

FIG. 4-10

Capriata

semplice

Polonceau

Inglese

Inglese

Poloneeau

eomposta

Shed

Shed doppio

Areo

diagonali sono discendenti verso Ia mezzeria. Per i1peso proprio Ie diago-

nali risultano tese, imontanti compressi.




II tipo Howe e analogo al Mohnie, rna Ie diagonali sono ascendenti

verso la mezzeria; per ilpeso proprio le diagonali risultano cornpresse, i

rnontanti tesi. Per ragioni di stabilita, conviene che le aste cornpresse

siano piu corte, e quindi appare preferibile il tipo Mohnie al tipo Howe.

II tipo Pratt presenta rnontanti, e diagonali alternativamente ascen-

denti e discendenti; iltipo Warren 0 Neville non ha rnontanti, e le dia-

FIG. 4-11

gonali formano triangoli isosceli, 0 equilateri. II tipo Pratt st riduce al

Warren, perche i rnontanti hanno il solo scopo di riportare il carico

nel nodo in cui concorrono Ie due diagonali adiacenti, 0 di spezzare il

campo dicorrente (instabilita),

A parita di campo (distanza tra due nodi successivi), ed alla stessa

ascissa, la Warren presenta sforzi uguali nelle due aste di parete tesa e




compressa, ed intermedi tra i due sforzi corrispondenti della Mohnie 0

della Howe.

La travatura da ponte puo presentare un corrente curvilineo, di

forma sovente parabolica; esso puo essere il superiore 0 l'inferiore. II

primo tipo ha avuto molto successo, costituendo 10 schema principale

della struttura Nielsen; e questa una coppia di archi affiancati, con-

tinui, in conglomerato armato, unita all'impalcato, pur esso continuo,

da travi di parete formate da tondini metallici capaci di sopportare

solo sforzi di trazione. Questi elementi possono entrare in crisi per

a) b)

FIG. 4-12

compressione sotto particolari treni di carico accidentale, rna la strut-

tura, pur con una 0 pili aste in meno (struttura variata) non rovina, aven-

do ancora dei margini di resistenza in virtu della continuita dei due cor-renti. La trave parabolica ha rispetto alla Warren ilvantaggio di pre-

sentaresforzi normali da peso proprio pressoche costanti lungo i correnti,

e questa permette di realizzare Ie travi di corrente con sezione unica;

cio e molto apprezzato se si opera con conglomerato armato.

Caduta in disuso e la trave Fink citata nei testi per alcune sue pe-

culiarita di carattere statico.

Molto adoperate Ie travature reticolari (fig. 4-10) nelle coperture, da




quelle per piccole Iuci (alla Palladio, Polonceau. semplice., a Shed semplice)

a quelle per Iuci medie (all'Inglese~ Polonceasi composta, Shed dOVPio, Shed

triplo, etc.): per grandi Iuci sono preferibili gli archi reticolari a spinta

eliminata.

Specifiche sana poi Ie travature reticolari nel campo dei grossi tralicci

per elettrodotti (fig. 4-11), delle antenne radio, dei cavalletti per teleferiche

(fig. 4-12), degli apparecchi di sollevamento e trasporto (fig. 4-13).

+28,00 m

a)

+ - - - ~_5=1,~25~ ~ +

,b )

FIG. 4-13

II metoda di K. Culmann non e che la traduzione grafica di queUo di

Ritter; esso consiste nella scomporre la risultante delle forze esterne, a

destra (0 a sinistra) della sezione di Ritter, secondo gli assi delle tre aste

impegnate dalla sezione di Ritter.

Altro metodo interessante e quello (fig. 4-14) che si rifa al principio

dei lavori virtuali per i sistemi olonomi rigidi, e che, riportandosi al

tracciamento di una linea d'influenza, permette di calcolare, in presenza di



1 0 2 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI VOL. II

carichi accidentali alterni 0 mobili, i valori massimi della compressione

e della trazione in ogni asta; per esso si rimanda al Vol. III.·

Molto usato e anche ilmetodo di L. eremona (1872).·

Esso si basa sul fatto che su un generico nodo le forze esterne e gli

sforzi trasmessi dalle aste devono essere in equilibrio, e quindi ilrela-

tivo poligono delle forze deve essere chiuso (condizione necessaria e suf-

ficiente di equilibrio nel nodo). La ricerca degli sforzi e quindi ridotta al

tracciamento di tanti poligoni di forze quanti sono i nodi; occorre partire

da un nodo dove gli sforzi normali incogniti sono solo due, e procedere

FIG. 4-14

scegliendo inodi successrvi Inmodo che tale condizione sia soddisfatta.

Non sempre cio e possibile (vedi per esempio la trave tipo Fink, 0 la

Polonceau composta); in tal caso ci si aiuta con una sezione di Ritter.

11 Cremona ha notato che, disegnando tanti poligoni separati, ogni

sforzo normale appare in due poligoni; e che, d'altro canto, e possibile,

nei casi in cui i nodi si trovino tutti sul contorno, raggruppare i poligoni

in modo che ogni sforzo sia tracciato una volta sola. Basta, a cio fare, che

i nodi siano numerati percorrendo il contorno in un certo senso, per esem-

pioquello antiorario (fig. 4-15), e che ilpoligono chiuso delle forze esterne

sia disegnato facendo succedere le forze cosicome s'incontrano percor-




rendo ilcontorno. Dopo cia, si disegnano i poligoni delle forze relativi ai

nodi facendo succedere Ie forze di un nodo generico nella stesso ordine

in cui esse si incontrano eseguendo un giro in senso antiorario intorno

al nodo stesso; ne vien fuori una figura, in cui tutti i poligoni sono rag-

gruppati, ed uno sforzo normale e rappresentato da un solo segmento.

Questa figura si chiama diagramma cremoniano, 0 diagramma reci-

proco, 0 semplicemente cremoniano, della travatura soggetta a determi-nate forze. Ad ogni nodo della travatura in cui concorrono f forze (ester-

ne 0 sforzi assiali) corrisponde nel cremoniano un poligono chiuso di f

Lverso positivo

di percorrenza

FIG. 4-15

lati; ad ogni forza della travatura corrisponde un lato parallelo del ere-

moniano; ad ogni nodo del cremoniano in cui concorrono t forze corri-

sponde nella travatura un poligono chiuso costituito da taste soltanto, 0

da taste e forze esterne. Cia giustifica ilnome di reciproco. E' uso cor-

rente disegnare nel cremoniano (e a volte nello schema della travatura)

con tratto piu grosso gli sforzi di compressione (ed i relativi puntoni).

Va senza dire che devono essere eseguiti tanti cremoniani quante sono

Ie condizioni di carico.

4. Gli spostamenti nelle travature isostatiche.

In ogni asta la dimensione secondo l'asse e predominante rispetto aIle

dimensioni della sezione retta, ed ilcarico (reazione dei nodi) agisce solo

alle estremita; esclusi i due tronchi estremi, possono essere accettati i ri-




sultati del De Saint-Venant, e poiche la lunghezza di questi tronchi e

molto piccola rispetto alIa lunghezza delI'asta, possono essere accettate

con buona approssimazione Ie (3-4) e (3-8).

L'energia di deformazione di tutta la struttura e percio

(5)

dove la sommatoria e estesa a tutte Ie aste.

Si voglia calcolare la componente Sia, secondo una retta orientata a,

dello spostamento Si di un nodo generico i (fig. 4-16). Si aggiunge aIle

a

FIG. 4-16

forze agenti sulla struttura una forza fittizia F1a applicata in inella dire-zione e nel verso di a; ilprimo teorema di Castigliano (VoL I, Cap. VIII)

assicura che

aL(6)

Dalla (4-5) si ricava percio

(7)

per ilprincipio di sovrapposizione degli effetti puo porsi, nell'asta h ge-

nerica,

(c)

dove NFh e 10 sforzo normale nell'asta h dovuto alle forze F (esclusa la Fia),




N'h quello dovuto alla sola Fia=1. Per la (c) si ha

e la (4-7) si scrive

(d)

poiche Fia e nulla, si ottiene

(8)

Quindi (fig. 4-17a, b) per ottenere Sia occorre calcolare gli sforzi nor-

a

a)

a

b)

FIG. 4-17

mali NFh dovuti aIle forze agenti, quelli N'h dovuti alia forza unitaria

agente in isecondo a (tali sforzi sono dei numeri puri), ed effettuare la

sommatoria (4-8). Nulla cambia se nel nodo iagisce una forza reale se-

condo a; questa offre ilsuo contributo nelle NFh•




E' ovvio ilmodo di procedere per costruire ilpoligono di inflessione

di una travatura reticolare (fig. 4-18).

Una variazione termica dh t (dh t "> 0 aumento di temperatura) sul-

Pasta h provoca l'allungamento

(e)

L'effetto, nei riguardi degli spostamenti, e identico a quello di uno

FIG. 4-18

sforzo normale Nh dato dall'uguaglianza



CAP. IV LE TRAVATURE RETICOLARI 1 0 7

Quindi pUOporsi, pili in generale,

(9)

Cosi pure, un difetto di esecuzione A h (lunghezza prevista til' lunghez-

za reale th (1- Ah); e cioe Ah> 0 corrisponde ad un errore in difetto)equivale ad uno sforza normale data da

da cui, ancora pili in generale,

5. Le travature reticolari iperstatiche.

Una travatura reticolare iperstatica si puo studiare attraverso ilgia

citato teorema di Castigliano.

Si consideri per esempio la travatura della fig. 4-19 a; i vincoli siano

non cedevoli. Risulta

c = 46, a=89, v = 5, e quindi

2c-a-v=t-i=-2

t =0

i=2

La struttura puo rendersi isostatica sopprimendo i due appoggi cen-

trali 1 e 2; gli spostamenti verticali dei nodi 1 e 2, calcolati sulla strut-

tura isostatica in presenza delle forze applicate e delle reazioni X, ed X2,

risultano nulli.

Attraverso ilteorema di Castigliano si possono scrivere cosi le due

condizioni:

(11)

aL-=0aX 2




Se N, e 10 sforzo normale nell'asta generica h sotto le forze applicate

e le reazioni X, ed X2, Ie (4-11) si scrivono

Nh N'h th=0h

EhAh(f)

Nh N"h th= 0,h

EhAh

dove N', ed N", sono gli sforzi normali nell'asta h per effetto della

X,=1, e della X,=1 (fig. 4-19c, d).

FIG. 4-19

Poiche puo porsi, per ilprincipio di sovrapposizione,

a)

b)

c)

d)

(12)




dove NOh e 10 sforzo normaIe nell'asta h provocato dalle sole forze ap-

plicate (fig. 4-19 b), Ie (f) si scrivono

NOhN'h th N' 2 t N'h N"h thLh + x, Lh h h + X2 Lh =0

EhAh EhAh EhAh(13)

NOhN"h th N 'h N"h th+ X2

N" h2 th0h + Xl s, Lh

EhAh EhAh EhAh

Le (4-13) sono due equazioni algebriche lineari non omogenee nelle due

incognite X, ed X2• E' facile riconoscere, attraverso la (4-8), che esse non

sono altro che Ie equazioni di congruenza in 1 e 2. Ad esse puo anche

pervenirsi attraverso ilprincipio dei lavori virtuali esteso ai corpi de-

formabili (Vol. III, Cap. II).

Come incognita iperstatiche possono pure scegliersi gli sforzi normali

in due aste 1 e 2 (fig. 4-20); in questo caso e (*)

(14)

da cui

N'h N" h th

Anche ilsistema (4-15) e algebrico, line are, non omogeneo nelle due

incognite X, ed X2, ed esprime la condizione di congruenza in corri-spondenza delle aste 1 e 2.

(*) Se Xl positiva corrisponde a trazione, essa e diretta come nella fig. 4-

20 a; 10 spostamento relative tra i due nodi prima congiunti dall'asta 1 e posi-tivo se Ie Xl positive compiono per esso lavoro positivo, se cioe e un avvicina-

mento relativo; per effetto della Xl di trazione i due estremi dell'asta si allon-

tanano, e quindi 10 spostamento e negativo.




Se Ie incognite iperstatiche sono n, si perviene ad un sistema di n

equazioni, dopo aver caIcoIato gli sforzi normali sulla struttura isostatica

in n + 1 condizioni di carico, e precisamente sotto Ie forze applicate,

e sotto Ie reazioni iperstatiche agenti una alIa volta, con vaIore unitario.

a)

No

b)

d)

FIG. 4-20

E' immediato, considerando le (4-13) 0 (4-15) come equazioni di con-

gruenza, risoIvere il sistema iperstatico in presenza di variazioni termi-

che 0 di difetti di esecuzione.

4. le travature reticolari

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