4. L’estimation de l’intensité d’un processus de Poisson inhomogène par une méthode Bayésienne

Irène ABI-ZEID GRESE, Ecole Nationale du Génie Rural, des Eaux et des Forêts 19 avenue du Maine, 75732 Paris CEDEX 15, France (En congé de l’INRS-Eau, Québec, Canada)

Abstract

The estimation of an intensity function of a nonhomogeneous Poisson process is often accomplished using the method of maximum likelihood. However, this parametric approach requires the specification a priori, of the form of the intensity function. A Bayesian non-parametric method for estimating the intensity function is presented in this paper. Under the hypothesis that the dependency structure of the average discretized intensities is circular, the analytical expressions for the estimators are developed. The performance of this method is analysed on a simulated process.

Résumé

L’estimation de la fonction d’intensité d’un processus de Poisson inhomogène se fait souvent par la méthode du maximum de vraisemblance. Cette demiére pn%ente le désavantage d’être une méthode paramétrique, nécessitant ainsi la définition a priori d’une forme paramétrée de la fonction d’intensité. Une méthode d’estimation non-paramétrique Bayésienne dont la structure de corrélation est circulaire, est presentée dans cet article, et les expressions analytiques des estimateurs sont développées. La performance de la méthode est étudiée pour un processus simulé.

4.1. Introduction

Le processus de Poisson est bien connu et il est couramment utilisé en hydrologie pour la modélisation des occurrences soit de crues soit d’étiages. Afin de tenir compte de la saisonnalité, la fonction d’intensité de ce processus est une fonction du temps et le processus de Poisson est alors inhomogène. L’estimation de cette fonction d’intensité par la méthode du maximum de vraisemblance est souvent utilisée (North, 1981 ; Konecny et Nachnebel, 1985 ; Nachtnebel et Konecny, 1987). Toutefois, cette méthode présente l’inconvénient que la forme paramétrée de la fonction d’intensité doit être connue. Les différents auteurs supposent alors que la fonction d’intensité a la forme suivante :

(4.1)

Or, d’après Bernier (1981), cette forme analytique de la fonction d’intensité à estimer “n’est pas toujours réaliste, en hydrologie notamment”. Il propose alors d’estimer cette fonction selon une approche Bayésienne non-paramétrique. Dans ce travail, nous présentons cette méthode, et nous développons certains résultats analytiques obtenus lorsque la structure de dépendance des intensités moyennes est supposée circulaire. Cette méthode est ensuite appliquée à l’estimation de l’intensité d’un processus de Poisson inhomogène obtenu par simulation, L’estimation de l’intensité se base sur la construction d’un processus superposé.

4.2. L’estimation de l’intensité du processus superposé

Supposons un processus observé pendant p périodes (années) et superposons les p flux de durées Z( 1 an) sur un même intervalle de temps de durée T. Si le processus de base indépendant est Poissonien d’intensité A(t), périodique de période r, alors le processus superposé sera Poissonien avec une intensité yA( Si le processus de base n’est pas Poissonien, alors pour p+= le processus résultant de la superposition sera quand même Poissonien (Cinlar, 1973 ; Bemier, 198 1).

Considérons l’intervalle [0, zlx séparé en K intervalles disjoints d’amplitude A; tels que

ZAi= Z. Soit &=$JA( u )d u, où il(u) est l’intensité du processus de base. Soit Izi le nombre ’ 4

d’événements superposés sur Ai. Chaque ni suit indépendamment des autres nj une loi de Poisson de paramètre px. telle que la vraisemblance conjointe des K intervalles s’écrive :

L(tz,A) =exp

Posons 8, = LO&I&), et C une constante. Nous avons alors :

L(n,O)=Cexp -~,(oi)+~,~i c i=l i=l 1

(4.2)

(4.3)

Il s’agit alors d’estimer ei.

4.3. L’estimation Bayésienne de 8

L’estimation de 0 = (f3,, e,,..., 0,) se fera selon l’approche Bayésienne de Bernier (1981), basée sur les travaux de Leonard (1973, 1978). La densité a priori de 0 est b(O) et sa densité a posteriori est :

(4.4)

où la constante k(n) est choisie telle que I /3,( f3)& = 1. Leonard (1973) propose d’estimer les 62: 8

par les valeurs modales de la distribution a posteriori /3, (0) définies par 2P w A=O,i=l...K. dei

Supposons que la loi a priori de 0 soit N(p, V), C = V-l, alors :

64

b( 0) = Cst exp(-+( @-p)TC( @-fi))

@WI (4.5)

Sous certaines conditions de dérivabilité de b(O) et de L(n, O), la loi a posteriori pn de 0

est approximativement N( Ô,[?(N)[‘), où les éléments (i, j) de î(n) sont

&z>= - [

-gpg(L(n, 0)) 1 ̂ . Nous avons donc iG(ti) = exp(-ii), et iG(n) = 0, i f j.

Vemos’(1982) a utilisé ce;: méthode d’estimation pour estimer l’intensité d’un processus d’occurrence de crue. Il a supposé que p était inconnue, distribuée selon une loi uniforme et que la matrice de covariance V possédait la propriété :

V;i = v2pl.Fil , -1<p<1

Dans ce travail, nous développons la méthode d’estimation pour une matrice de covariance V circulaire, et nous appliquons cette approche à l’estimation de l’intensité dans les deux cas : p connue et p inconnue.

4.3.1. Le modèle de dépendance circulaire

Afin d’estimer les valeurs de @, la matrice V doit être spécifiée pour tenir compte de la structure de dépendance des 0,. Pour l’application aux processus périodiques, une hypothèse naturelle est de choisir circulaire la distribution des 62:. Un modèle compatible avec cette hypothèse de dépendance circulaire pourrait être (Bemier, 198 1) :

cpi = a( ‘pi-, + cP,+l) + &i avec (pi = Oi -PL (4.6)

où les K variables &j sont des variables aléatoires indépendantes normales d’espérance nulle et de variante 2 constante. Posons h = l/a2, 0 = ((p1,(p2 ,..., qK), E = (E,E, ,..., Es). Il faut alors estimer a et h afin de connaître 4.

4.3.2. La matrice de variante-covariance V du système (pi = a( ‘pi-1 + (Pi+l)+ Ei

Le système d’équations (4.6) implique que :

Var(cp,)=V, et que Cov (pl,(p(i+j),,dK =Vi Vi,i=l...K ( 1

La matrice C = V“, est telle que C = h*A2 (voir l’annexe A) où :

(4.7)

65

- -

A2 =

la2 +l -2a a2 0 0 . . 0 a2 -2a -2a 2a2 +l -2a a2 0 . . . 0 a2 a2 -2a 2a2+1-2aa20 . . . 0 0 a2 -2a. ..O. . . 0 0 a2 . . . . .

0 a2.... . . o.... . 0

0 . . .o... -2a a2 a2 0 . . . Oa2-2a2a2+1 -2a

-2a a2 0 . ..0a2 -2a 2a2+l Ll

4.8)

Le déterminant de la matrice V est :

det(V) = L= 1 detC hK(detA)2

où (voir l’annexe A) :

(4.9)

(W))-2a2fJ[l+20cos(~))] (4.10)

4.3.3. L’estimation de a, h, et 0, par la méthode des modes conjoints lorsque p est connue

Avec le choix (4.5) de b(O), p connue, il s’agit d’estimer a, h, et 0. La densité conjointe a priori &(a, h, 0) de a, h, et Oest :

b,(a,h,e)œ b(Ola,h)*b(cc)h)*b(h) (4.11)

et la densité a posteriori correspondante fi,&, h, 0) est :

&,(a,h, 0) = b(Ola, h)*b(alh)*b(h)*L@, 0) (4.12)

où b(O 1 a, h) est la loi multinormale de moyenne p = (pul, p2... pK) connue et de matrice de variance covariance V. Nous avons alors b( @ ‘la, h) - N(O, V) :

b( Ola, h) = Cst @@ï

(4.13)

Supposons que a et h soient indépendants et que leurs densités a priori soient non- informatives, b(alh) = 1 et b(h) = l/h, nous avons alors :

exp &(ah,@)=

(-gm4@)) hJdet(V)

(4.15)

L’estimation de a se fait par la solution modale de @,(u,h, @> =0, celle de h par la

solution modale de @,,(ah, @) dh

=O,etcellede @par @,&A” ‘Vi

= 0. On utilise les résultats

suivants (Vernos, 1982) : “La coordonnée en 8, du mode conjoint de (e,, e2) est égale à la valeur du mode de la distribution conditionnelle de 0, pour e2 fixé égal à la valeur en e2 du mode conjoint”.

(i) L’estimation de 0

Les valeurs modales ii pour a et h fixés (donc C fixé), sont les solutions du système

@$,k 0)

‘(I?i

= 0 (Bernier, 198 1) ce qui correspond à :

2’ =n;-cqêj-pj) j=l

(4.16)

La solution itérative de (Eq. 4.16) peut être approximée linéairement par :

ev =ql+[ê;+‘-q] (4.17)

ce qui donne en reportant (Eq. 4.16) dans (Eq. 4.17) :

(e* +C$;+l +~~.Y~;+1 ,e@(ê;-l)+,ii +~~.!pj jti j=l

(4.18)

Le système d’équations (4.18) doit alors être résolu itérativement afin d’estimer @, et d’obtenir une estimation de la fonction d’intensité.

(ii) L’estimation de a et de h

Posons W = det (A), alors det (V) = KKWe2, nous avons alors :

où :

67

Posons P = (@C@)/h, nous avons alors :

(4.20)

Nous calculons ensuite les dérivées partielles de la loi conjointe a posteriori par rapport à a et à h. L’estimation de h pour a et @fixés, où ‘pi correspond à ‘pj mod K est donnée par :

où

a

où

W= -2a +n 1+2acos K { Ak I;l( - (~y)-2âk+g(l+2âcos(g.

$?,,(â,h, 6) dh

= 0, et 6J # 0, h # 0 impliquent que :

h= K-2 K

(2â2 +1)~~:-4âC~jBj+l +2â2C~jcj+2 j=l j=l j=l 1

L’estimation de a pour h et @fixés est donnée par :

(4.22)

@,(aA~) ap h+ aa = [ --(-?rxp( +)IV)]+[ ( hy eXP($]g)] (4q23)

l3P -= aa l

4aC +j” -4C”j~j~l +4aC î)j+j+2 j=l j=l j=l 1

@ ,(a,i, 6) f3a

= 0, et W z 0, h f 0 impliquent que :

i 2 4a~G~-4~+j@j+l +4Ui+j$j+2 --

i +K

j=l j=l j=l 1 aa -0 (4.24)

Cette dernière équation doit être résolue pour u.

4.3.4 L’estimation de a, h, et 0, par la méthode des modes conjoints lorsque ).l est inconnue

Dans le cas où /J est inconnue, on peut alors supposer que pi = ,uuo, où la loi a priori de b est N(m, v2), nous avons alors :

68

b,(a,h.O.~o)~~(~~a~h,~~)*~(alh~~~)*~(hl~~)*~(~~) et la densité a posteriori correspondante P,,(a, h, 0,~~) est :

(4.25)

p,(a,h,O,CLo)Dcb(Ola,h,~,)*b(alh,~,)*b(h&o)*b(~‘) (4.26)

Les valeurs modales êi pour a, h, et p. fixés, sont les solutions du système

ap,(â&,, 0)

‘(Pi

= 0 ce qui correspond à l’équation (4.16).

L’estimateur de fi tel que donné par la solution modale de

est (Bernier, 198 1) :

A r+l PO

= i=l

6.: > où ci =~Cc,

j=l i=l i=l j-1

(4.27)

En reportant l’équation (4.27) dans l’équation (4.18), on obtient pour l’estimateur de 0, a, h et l.to étant fixés :

Les estimateurs de h et de a sont tels que donnés par les équations (4.22) et (4.24).

4.3.5 L’algorithme d’estimation

L’algorithme d’estimation de la fonction d’intensité est le suivant :

1 - Initialiser 0 (et y0 pour le cas où p est inconnue) ;

2 - A l’étape r, calculer @,r = @’ -& ;

3 - resoudre’ l’équation (4.24) pour obtenir â’ ;

4 - obtenir h’ par l’équation (4.22) ;

5 - obtenir cr par l’kquation (4.8) ;

6 - résoudre le système d’équations (4.18) (si p est connue) ou (4.28) (si /l est inconnue) afïn d’obtenir @“’ ;

7 - estimer bt;+’ pour le cas où p est inconnue par l’équation (4.27).

Répéter les étapes 2 à 7 jusqu’à ce que l’estimation soit jugée satisfaisante.

69

4.4. Application

La méthode d’estimation présentée ci-haut est appliquée à l’estimation de l’intensité d’un processus de Poisson inhomogène généré par simulation selon l’algorithme de Ross (1990). La comparaison est effecutée sur un processus simulé au lieu de données observées réelles car nous sommes certains que les données simulées proviennent d’un processus de Poisson inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour un processus observé. La fonction d’intensité (Eq. 4.29) du processus de Poisson inhomogène simulé est présentée à la figure 1 :

n(t) =.Olexp[2sin(wt+l)], w =g

0.08

0.06

0.03 -

0.02 -

0.01 -

0 0 50 100 150 200 250 300 350 400

t = jour

(4.29)

Fig. 4.1 : La fonction di’ntensité analytique

Le procesus de Poisson inhomogène est généré pour des périodes d’observation égales à 15 et à 55 ans, ce qui correspond à 130 et à 460 événements respectivement. Les algorithmes de génération et d’estimation pour ,u connue et p inconnue sont programmés en MAPLE.

4.4.1. Cas où p est connue

Dans ce cas, 0, est initialisé au log du nombre moyen d’événements observés sur l’horizon de génération du processus (15 ans ou 55 ans) ; pi est fixée égale à sa vraie valeur, c’est à dire que

Pi =ijn(t)dt, où k(t) est la fonction d’intensité réelle de l’équation (4.29), et où Ai ’ A,

correspond à la période i.

4.4.2. Cas où p est inconnue

Dans ce cas, 0; est initialisé au log du nombre d’événements observés sur la période i ; m, la moyenne a priori de A, est posée égale au log du nombre moyen d’événements observés.

70

4.5. Résultats

Les figures (4.2) à (4.5) présentent la comparaison entre la fonction d’intensité réelle et la fonction d’intensité estimée en utilisant une discrétisation de l’année en 12 et 26 périodes, et ce à partir de 15 ans et de 55 ans d’observations, pour ,U connue, et fi inconnue.

Estimation de la Fonction Intensité, 15 ans, Moyenne Connue 0.11 I

+ 26 périodes 12 périodes

50 100 150 200 250 300 350 400 t = iour

Fig. 4.2 : Comparaison de la fonction d’intensité et des estimations, 15 ans, p connue

Estimation de la Fonction Intensité, 55 ans, Moyenne Connue

+ 26 périodes * 12 périodes

t = jour

Fig. 4.3 : Comparaison de la fonction d’intensité et des estimations, 55 utls, fi cotmue

Estimation de la Fonction Intensité, 15 ans, Moyenne Inconnue 0.08

+ 26 périodes * 12 périodes

0 50 100 150 200 250 300 350 400 t = jour

Fig. 4.4 : Comparaison de la fonction d’intensité et des estimations, 15 ans, /t inconnue

Estimation de la Fonction Intensité, 55 ans, Moyenne Inconnue 0.081 1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 t = jour

Fig. 4.5 : Comparaison de la fonction d‘intensité et des estimations, 55 ans, p inconnue

4.5.1. Discussion

D’après les figures (4.2) à (4.5) qui présentent les résultats de l’estimation de la fonction d’intensité avec interpolation linéaire entre les 4 estimés, il apparaît que la performance de cette méthode est satisfaisante. En comparant les figures (4.2) et (4.4), on voit que l’estimation est meilleure lorsque p est supposée connue. De plus, il n’est pas surprenant de constater que l’estimation est meilleure lorsqu’on dispose de 55 ans d’observations plutôt que de 15 ans. NOS travaux ont montré que les deux approches convergent après 4 à 5 itérations. De plus, nous avons remarqué que les méthodes d’estimation sont peu sensibles aux valeurs initiales de p ($0,

72

pour p inconnue). Quant à la discrétisation, l’utilisation de 26 intervalles ne fournit pas nécessairement une bien meilleure estimation qu’avec 12 intervalles, ce qui est probablement dû au faible nombre d’événements par intervalle, lorsque l’année est divisée en 26 intervalles.

Il reste plusieurs questions auxquelles il serait intéressant de répondre : comment se comporte cette méthode pour différentes formes de la fonction d’intensité ? Quelle forme de dépendance des intensités moyennes @ serait la plus appropriée ? Comment se comporte cette méthode sur des données réelles observées ?

L’avantage principal de cette approche Bayésienne, par rapport à la méthode du maximum de vraisemblance, est qu’il n’est pas nécessaire de supposer, a priori, une forme paramétrée de la fonction d’intensité. Par contre, cette approche présente le désavantage d’avoir à découper le temps en intervalles, n’estimant ainsi que des valeurs moyennes d’intensité. Il existe toutefois un pendant continu à cette méthode, présenté par Leonard (1978), qu’il serait intéressant d’approfondir.

4.6. Conclusions

Nous avons présenté une méthode d’estimation Bayésienne de l’intensité d’un processus de Poisson inhomogène. Nous avons développé les expressions analytiques des estimateurs de variables décrivant la dépendance circulaire. Cette méthode, qui fut adaptée en hydrologie par Bemier (1981), a l’avantage d’être une méthode non-paramétrique. Bien que nécessitant plus d’investigation quant à son applicabilité aux problèmes d’hydrologie, elle s’avère toutefois intéressante et les résultats obtenus par simulation sont probants et prometteurs.

73

Annexe A

La solution du système (4.6), telle que les critères de variantes égales et de covariances du même ordre égales (Eq. 4.7) soient respectés s’écrit :

où :

M=

@=M*E (4.A. 1)

k, k, k, . . . . . kKel k, kK kl k, . . . . . k,-, k,-,

k K-l k, k, k2 . . . . . k,-, kKe2 . . . . . . . . k,-,

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

k2 k, ...... k, k,

Par ailleurs, le système d’équations (4.6) s’écrit :

où : @ =a*B*E (4.A.2)

k,+k,+fa 4 + k3 kz+kd ki-,+ki+, kK-l + k,

k-1 +k, kK+kl+x k,+k, . ki-1 +k;+l k-2 +kK

B= kK-2 + kK kK-l +k, ~ k, +k, ~ 4-l + ki+,

4 +k, k2 +k, . . k,-, +k, k, +k2 +x

B est une matrice symétrique et circulaire, chaque ligne est une permutation d’ordre 1 de la ligne précédente. Or, (Eq. A.4.1) et (Eq. A.4.2) j a*B = M * A*K=E, où :

74

A=

1 -a 0 0 0 . . . 0 -a -a 1 -aO 0 . . . . 0 0 -a 1 -a 0 0 0 . . 0

0 -a 1 -a 0 . . . 0 . . 0 -a 1 -a 0 . . . . . . . -a 1 -a . . . . . . . . -a 1 -a . 0 . . . . . . . . . 0 0 0 . . . . .-a 1 -a

-a 0 0 0 _ . " 0 -a 1 (4.A.3)

K=[k, k, . ..kK]. et E1 =[lO...O].

En utilisant l’équation A*K = El, il devient clair que Me1 = A, car M*A = 1. L’indépendance des { Ei} implique que V, la matrice de variante-covariance de CD, est v = (M*M*)*$.

où C=V-’ Y+~*(M-~)~ *C=&A2 (4.A.4)

2a2 +l -2a a2 0 0 . . 0 a2 -2a -2a 2a2 +1 -2a a2 0 . . . 0 a2 a2 -2a 2a2 +l -2a a2 0 . . . 0 0 a2 -2a . ..O. . ,

A2 = 0 0 a2 0 a'::11 Y Y

o.... . 0 0 . ~ .o... -2a a2 a2 0 . . _ Oa2-2a2a2+1 -2a

-2a a2 0 . ..Oa' -2a 2a2 +l

A étant une matrice régulière circulante, son déterminant est facile à calculer (Graybill, 1983) :

K K-l

det(A) = n ;1;, Ai étant les valeurs propres de A telles que : ai = Ca, * CO{ , où les Wi sont les K i=l j=O

racines (pas nécessairement distinctes) de : xK = l.a,,a l,. . .uK-, représentent les éléments de la première ligne de la matrice A. Nous avons alors, compte tenu de la structure de A :

(4.A.5)

et det(A)=fi(l-aq -aof-' ). En développant, on peut aussi écrire le déterminant de A sous i=l

la fonne :

det(a)= -2a +n ~+~COS K { k :-li (*iij)_?n7~(l+2cosi~))} (4*A*6)

75

_- --

CX

det(A) = -adet(BK~IXK-,)+a(-adetBK-2,K~2 +(-1)K+‘adetTK-2,K_,)

+(-l)K’l(-a)(-adetT,_,,K_, + (-l)K+‘udet BK-2xK-2)

T KxK =

où :

-a 1 -a 0 . 0 0 -a 1 -a 0 .

0 -a 1 -a 0 . . 0 . 1 -a . . . . . 1 0 0 0 0 O-a

B KxK =

et L

1 -a 0 0 . O- -a 1 -a 0 0 0 0 -a 1 -a . 0 . . -a 1 -a 0 . . . -a 1 -a

11 0 0 0 0 -a

et l’on utilise le calcul du déterminant d’une matrice BKxK donné par Graybill, 1983 :

g ao +2dGGo(fi)) (4.A.7)

où a2, ao, et a, sont les 3 premiers éléments de la deuxième ligne de la matrice bande. Dans ce cas-ci, a2 = a, = -a, et a0 = 1.

Remerciements

L’auteur désire remercier chaleureusement le Professeur Bernier pour ses précieux conseils, son intérêt et son dévouement ainsi que Dr. Eric Parent pour son amitié et ses judicieux commentaires.

Bibliographie

BERNIER, J. (198 1) ‘Le modèle de renouvellement non stationnaire’. ÉlectricitC de France, Département Laboratoire National d’Hydraulique. No HE 40 8 1- 11.

CINLAR, E. (1973) ‘Superposition of point processes’. Stochastic Point Processes : Statistical Analysis, Theory, and Applications, P.A. Lewis (ed.), pp. 549-606.

GRAYBILL, F. A. (1983) Matrices with Applications in Statistics. Wadsworth International Group, 2nd edition, 461 pages.

LEONAF-Db8. (1973) ‘A Bayesian method for histograms’. Biometrika, vol. 60, no. 2, pp.

LEONARD, T. (1978) ‘Density estimation, stochastic processes and their prior information’. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, vol. 40, nO.2, pp. 113-146.

KONECNY F.; H. P. NACHTNEBEL (1985) ‘Extreme value processes and the evaluation of risk in flood analysis’. Applied Mathematical Modelling, vol. 9, pp. 11-15.

NACHTNEBEL , H. P. ; F. KONECNY (1987) ‘Risk analysis and time-dependent flood models’. Journal of Hydrology, vol. 91, pp. 295-3 18.

NORTH, M. (198 1) Processus Hydrologiques Intermittents, @ude de Modélisations Stochastiques et Applications. Thèse de doctorat no 419, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne.

ROSS, S. M. (1990) A Course in Simulation, Macmillan Publishing Company, 202 pages. VERNOS, D. (1982) Application des Modèles Stochastiques Dynamiques Linéaires à la

Description et à la Simulation des Processus des Débits des Rivières aux Echelles Saisonnières et Journalières. Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 119 pages.

77