3º de secundaria
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Índice
ÁLGEBRA – 3 er AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Teoria de exponentes – Ecuaciones Exponenciales....................................... 2
T E M A 2 Polinomios................................................................................................ 12
T E M A 3 Productos Notables................................................................................... 21
T E M A 4 División Algebraica.................................................................................... 26
T E M A 5 Cocientes Notables.................................................................................... 31
T E M A 6 Factorización............................................................................................ 35
T E M A 7 Fracciones Algebraicas.............................................................................. 44
T E M A 8 Teoría de Ecuaciones................................................................................ 51
T E M A 9 Sistema de Ecuaciones............................................................................. 59
T E M A 1 0 Inecuaciones............................................................................................ 69
T E M A 1 1 Valor Absoluto.......................................................................................... 79
T E M A 1 2 Logaritmos............................................................................................... 83
T E M A 1 3 Relaciones y Funciones.............................................................................. 88
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
TEMA Nº 01: TEORÍA DE EXPONENTES -ECUACIONES EXPONENCIALES
Capacidades:
Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso
a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.
Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación
exponencial.
Desarrollo del Tema:
CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos,
mediante leyes.
La operación que da origen al exponente es la potenciación.
POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.
Representación:
. veces"n"Base
n Ax.......xAxAxAA =↑ .
Ejemplos:
1.813x3x3x33
veces4
4 ==
2.642x2x2x2x2x22
veces6
6 ==
3. vecesn
n nx.......nxnxnxnn =
4.
veces5
5
21x
21x
21x
21x
21
21
=
5. ( )
veces7
7 3x3x3x3x3x3x33 =
LEYES FUNDAMENTALES
1. Producto de Potencias de Igual Base
. xa . xb = xa+b .
Ejemplos:
1. 23 . 24 = 23+4 = 27
Ecuación Segundo Año
2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
. bab
ax
xx −= . x ≠ 0
Ejemplos:
1. 4
8
22
= 28–4 = 24
2. 5
6
22
−
−
= 2–6–(–5) = 2–1
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. xa . ya = (x . y)a .
Ejemplos:
1. 23 . 43 = (2 . 4)3
2. 3 . 6 = (3 . 5)
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
.
a
a
a
yx
yx
= . y ≠ 0
Ejemplos:
1.3
3
3
34
24
=
2.3
3
3
28
28
=
5. Potencia de Potencia
. ( )( ) cbacba xx ..= .
OBSERVACIÓN:
(XA)B = (X
B)A = XA . B
6. Exponente Negativo
. aa
xx 1=− . .
aa
xy
yx
=
−
. x ≠ 0 y ≠ 0
Ejemplos:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 3
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
1. 212 1 =−
2. 2
222
23
23
32 =
=
−
7. Exponente Nulo o Cero
. x0 = 1 . x ≠ 0
Ejemplos:
1. [ ] 13 0 =xy
2. 15y3x2
0
=
+
8. Exponente Fraccionario
. b aba
xx = . b ≠ 0
Ejemplos:
1. 3 232
xx =
2. 3 535
xx =
9. Producto de Radicales Homogéneos
. aaa yxyx .. = .
Ejemplos:
1. 3333 205.45.4 ==
2. 555565
35.
21
35.
21 ==
10. Potencia de un Radical
. [ ] a cbca b xx .= .
11. Raíz de Raíz
. cbaa b c xx ..= .
OBSERVACIÓN:
b aa b xx =
Ejemplos:
Ecuación Segundo Año
1. 243 4 xx =
2. 123 44 3 101010 ==
12. Casos Especiales
1. . 1....... −=∞ n Mn n n mmm AradAAA .
2. . 1...... +=∞÷÷÷ nn n n BradBBB .
3. .aa
....a aa aa =
∞
.
4. ( ) ( ) ( ) 1.......111 +=∞+++++ nradnnnnnn
5. ( ) ( ) ( ) nradnnnnnn =∞−+−+−+ ......111
6. nx....xx =
∞ ⇒ n nx =
7.bb
....a bb aa =
∞
8.n2 1n2xx......xxx −=
ECUACIONES EXPONENCIALES
Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán
aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.
1. Bases Iguales
Si: Nx = Ny → x = y
OBSERVACIÓN:
.N > 0. ∧ .N ≠ 1.
Ejemplo:
Resolver: 9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6
Luego: 2x – 2 = 3x – 6 ⇒ 4 = x
2. Formas Análogas
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 5
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
Si: .MM = MN. → .M = N.
OBSERVACIÓN:
21≠M ∧ 4
1≠M
Ejemplo:
1. Resolver: 355 36=xx
Resolución
Buscando formas análogas:
( ) ( )3255 6=xx
⇒ ( ) 655 6=xx
65 =x
∴ 5 6=x
Nota: Si: a1(x) = b1(x) ⇒ f(x) = 0
2. Resolver: 3x–7 = 5x–7
Resolución
x – 7 = 0 ∴ x = 7
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Reducir:ba
factoresbaaaaa
factoresa
bbbbb
""
.......
""
.......
2. Calcular el valor de:4
65
510
5,01
5481812E
−
=
3. Simplificar:
nmmnmm
mnmn2
4 212
4 22
3.5.33.3.15
−−+
+
4. Simplificar:
212
22222
9039
aa
aaM
+
++ +=
5. Simplificar:
yx yx
yxy
yxx
E − +
−− +=
33.63
22
6. Si: ( ) 3a 21
= ; a = R+, reducir:
( )2a
2aa1
a
a23.10423a.73.5
++++
7. Si: xx = 2; hallar el valor de:xxxxA
++=
112
8. Si: 5x = 0,125; calcular::x 64
9. Si se cumple: ∞= .......3535a
, ∞= .......5353b
Hallar el valor que toma: ab
Ecuación Segundo Año
10.Si: 111 325 −−− ++=A ; 1
19
30−
=N ; calcular A + N
11.Reducir:
veces 6 22.2.2
622.2.2
62.2.2.2 ++
vecesveces
12.Reducir:5,0
42
42
777
777
+−+−= −−
++
xxx
xxx
E
13.La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos tiene
en años ( )223 645,0442
−
−
.
Entonces dentro de 2 años dichas edades sumaran
14.Reducir:
+
+
+
26
63 1..
.. n
n
xx
xxxx
xxxx
x
3)veces(2n
)veces 2 - (4n
15.Si : 1
13
3.3
33−
++ −=n
nn
E ,
9291
9190
22
22++
++
++=
nn
nn
P entonces P.E
es:
16.Proporcionar el exponente final de x11 en la expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;..1310635241 ≠= xxxxxE
17. Si: 355 3 kk −= ; el valor de
( )
factoresk
kxxxxM
1
533333
3 += es
18.Si: 3
3333
5325322
n
nA
−−
−=
; ( )( ) 146422
= B
Calcular el valor de:
( )A
nB722
1
−donde: N = 1x2x3x4x5x6x7
19.Si tenemos la expresión S definida como:
xxxx
xxxxS
28292102
10222122
++−+−+−
+++++++=
Calcular: 32
S
20.Si x
xxxxxP
5
25155)(
++++= ,
calcular: P(10)
21.Si: 2=xx , calcular el valor de: xxxxE
++=12
22.Simplificar:
xxxxx
xxxxx
3737373737
37373737371234
1234
++++++++
−−−−
++++
23.Simplificar: 35
142
2.22.152
2.622.5++
−++
−−+−
xxx
xxx
24.Efectuar:
10
432
63
6.35.30
15.14.24
=E
25.Si: 2=xx , calcular el valor de:
xxxx
xxxxxxxxxxx
−−
+
+−+
+ 1
112
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 7
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
26.Si: 5=xx , reducir :
( )( )14
5
+++
+
x
xxx
x
xx
27.Calcular “x” , Si:
3
...2222 =
++++xxxxx
28.Si se cumple que:
( ) 48.4.28.4.221 xxxxx xxx
=++
29.Calcular “x” en: 3 26
=xx ; e
indique: 12x
30.Resolver: 299240 +=+ xx y dar
como respuesta el valor de ( ) xx4
31.Resolver :
55555
33
9
=++
x
x
32.Resolver: 3875555 321 =++ +++ xxx
33.Resolver: 1862 42
++=
xx
34.Resolver:
215,0
=xx
35.Resolver:
5251
8 =−−x
36.Resolver: 4 2
2=−xxx
37.Calcular “x”
si: 1812 42−+
=xx
38.A partir de: 022 2=−
−x
x . Calcular
el valor de: ( )x xxxM xx −+=
39.Calcular “x – y ”
si:
813
162
3
3
=
=−
−
yx
yx
40.Resolver:
92
3−
=xx
41.Resolver:
2,02512
8 =−−−− x
42.Resolver:
2973 273++
=xx
43.Calcular “x”
si: ( ) 993393 xxx
=
44.Calcular ”x”
si: 416
124278 =
−−−−− x
45.Resolver:
( )12
12
3181 +−
−
= x
x
46.Resolver:
( ) 827.27=xxx
47.Calcular el valor numérico:
3 3 24.24 ∞= R
48.Calcular “x”, si:
xxxxxx 1.1.199 =
∞−−
49.Calcular el valor de “x” en: 273 =
∞xxxx
Ecuación Segundo Año
TAREA DOMICILIARIA
1. Simplificar:
( ) ( )
21
21
16131
21
2,0
35
32
811
1251
41
21
8122727
−−
−−−−
−
−−−
+
+
+−+−
2. Hallar el valor de:
( ) ( )
−
−−−−−−−
−−−−−
1312416
12,0112
27116
24381
3. Si: x, y ∈ Z+, tal que: y- x ≥ 2; hallar el valor más simple de:
xyyxxy
xyxyyx
xyyxxyyx
−++
++
....
22
4. Simplificar:
xx
xxxxx1
111
−
−−−
5. Calcular “x” a partir de: 5,1122222x xx1x2x3 =+++ −−−
6. Hallar el valor de:
( ) ( )2
5,1 13125,0
5,025,05,05,0
50,012
1325,0
125,0
25,05,0
3625
6481
−
−
−−
−
−−
−−−
−−−
7. Simplificar:11
""
1.......111
""
1.......1111
−
−
−
−
n
vecesnnnnn
vecesnnnnn
n
A) nn B) n C) n2 D) nn–1 E) n–n
8. Efectuar:
1 11..+ ++cb cbcbb aaa
9. Resolver la exponencial:
382739 327 −+− = xx
10.Reducir:
( ) ( ) yxyx
yx
yxx +−
+
1
32.
61218
23
11.Si: 3=xxx ; hallar el valor de:
( ) 112 ++=
−+ xxxxxxx xxS
12.Calcular “x” a partir de:
02241 =
− −+ n
xnx x x Dando como
respuesta el valor de: x xA) –8 B) 16 C) 1 D) –27 E) –9
13.Resolver la exponencial:382739 327 −+− = xx
14.Si: x∈ R+ - {1}; halle el valor de “n” que verifica la igualdad:
3 4n
3
x1
xxx1
=
Y coloque
como respuesta el valor de (n + 3) + 7
A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 1
15.Hallar “x” en: 123
21=xx
A) 4 31
B)243
C)443
D)423
E) 21
16.Simplificar:
33 3
3 33 3
33n
33
33. . . . . . .
+
" n " r a d i c a l e s
a) 3 b) 9 c) 27d) 3 e) 3
3
17.Hallar el valor de ""θ , si el exponente final de "x" en :
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 9
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
3 5
xxxθβα
es la unidad. Además:
53
θ=β+α
a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30
18.Hallar el exponente final de:
rad icales1 00
xx......xxx
a) 13
3
90
99
− b) 12
2
99
99
− c) 1 00
1 00
2
12 −
d) 12
12
1 00
1 00
+−
e) 1 00
1 00
3
13 +
11. Hallar "x”:
2x31x21xx1 6.28.4
−−+ =a) 1/3 b) 2/3 c) 4/5d) 5/3 e) 4/3
19.Al resolver: x2
4x2
381 6 =
Se obtiene la fracción irreductible : q
p
.Indique: p + q.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
20.Resolver :
5
54
x3
x32
x =−
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
21. Resolver :
24039x22x +=+
a) 2 b) 3 c) 0,5d) e) 6
22. Calcular "x", si: 93
x2
=a) -3 b) 4 c) 2
d) 2
1
e) 4
1
23. Resolver: 72x
6x = ; e indicar :
4
xxE +=
a) 12 b) 15 c) 10d) 9 e) 18
24. Hallar "x", de :
9x
3
1x =
.
a) 13
− b) 23
− c) 33
−
d) 63
− e) 93
−
25.18. Resolver :
x
1
xx
xx1 3x
x3 7
1 3x
=−
−−
a) 25 b) 20 c) 13d) 50 e) 1
26.Resolver :5
xx.2
2 5x =
a) 2
55 b)
35
2 c) 4
55
d) 55 e) 5
27.Resolver : 7
7
x7
7
1x =
a) 7 b)
)7
1(
)7
1(
c) 7
1
d) 7)
7
1(
e) 7
7
28.Resolver :x4x1 0x6x4
8127.9.3+−+− =
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
29.Resolver :x2
4x2
32781 =
a) 2 b) 4 c) 1/2d) 1/4 e) 8
30.Resolver:
7
74
x
x22
x =−
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
31.Resolver:3x21x
2484++ −=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
32.Calcular el valor numérico de:
Ecuación Segundo Año
∞= 3232:3232:3232E
33.Calcular el valor reducido de la expresión siguiente:
3 3 22 .. ∞= xxxxQ
34.Calcular el valor de R:
m m m nnn xxxR ∞= ::
35.Calcular el valor de “Q”: ∞∞
=
33
3333.
222Q
36.Calcular ”x”
( ) ( ) 52 2 =−∞
−xx
37.Calcular el valor de R:
3 3 3 15.15.15 ∞= R
38.Simplificar:
n n nn
n n nn
aa
aaR∞
∞=++
−−
::
.1313
1313
39.Calcular el valor de W , en:
∞−−−−−−= 242424 xxxxxxW
40.Calcular el valor de R , en:
∞++++++= aaaaaaR 222
41.Calcular el valor numérico de:
∞++++
∞
∞
=
2221
333.
4 44 44 4Q
42.Simplificar:
∞
=−
baba
baQ
6
6
36
43.Calcular el valor de “T”:
∞
∞
=
383838
44
4T
44.Calcular el valor de “x” en:
4=
∞xxxx
45.Calcular “R”:
3 3 3 242424 ∞++= R
46.Calcular el valor de “R”:
( ) ( ) ( ) ∞−+−+−
∞+=
xxxxxx
xxxR222
333 ..
47.Calcular el valor de “R”:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∞−−−−−
∞++++++=
xxxxxx
xxxxxxR
222
222
48.Resolver: 39333 321 =++ −−− xxx
49.Calcular el valor de “x”, en:
( )12 561255 +=+ xx
50.Calcular la suma de los valores de
“x”, en: ( )1310819 +=+ xx
51.Resolver:
( ) ( ) 2212 212−−+ =+ xx
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 11
Álgebra I.E.P. Corpus Christi
Polinomios Tercer Año
TEMA Nº 02 : POLINOMIOS
Capacidades:
Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.
Desarrollo del Tema:
NOTACIÓN FUNCIONAL
Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello emplearemos letras como P, F, G,..., etc.
Ejemplo:
P(x) → se lee P de x: x → variable
F(x;y) → se lee F de xy: x, y → variable
x, y, z → variables
a, b, c → constantes
OBSERVACIÓN:
- SE DENOMINAN VARIABLES A LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR
FIJO. PARA ELLO SE UTILIZAN LAS ÚLTIMAS LETRAS DEL ALFABETO (Z, Y, X, ..., ETC.).
- SE DENOMINAN CONSTANTES A LO SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR
FIJO. PARA ELLO SE UTILIZA GENERALMENTE EL NUMERAL. TAMBIÉN SE UTILIZAN FRASES
DENOMINADAS PARÁMETROS, EN ESTE CASO EMPLEAREMOS LAS PRIMERAS LETRAS DEL
ALFABETO (a, b, c,..., etc.).
VALOR NUMÉRICO
Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores determinados.
Ejemplos:
1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z
Para x = 3; y = 2; z = 5
Resolución:
V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32
2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20
Resolución:
P (3,2) es el V.N. de P(x,y)
Para x = 3; y = 2
P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El grado es una característica de las expresiones algebraicas, relacionado con los exponentes, que en una
ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita.
El grado es absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables.
Grado en un Monomio
1. Grado Absoluto (G.A.)
Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.
2. Grado Relativo (G.R.)
El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo: F(x,y) = a4x5y8
G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 8
G.A.(F) = 8 + 5 = 13
Grado en un Polinomio
1. Grado Absoluto
Está dado por el mayor grado de sus términos.
2. Grado Relativo
El grado relativo de una variable es el mayor exponente de dicha variable.
Ejemplo: P(x,y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5
G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5
G.A.(P) = 10
3. Cálculo de Grados en Operaciones
1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo: Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b
⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman
Polinomios Tercer Año
Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
Resolución:
⇒ Grado: 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan
Ejemplo: 3334
338 7yxyzxxyxxy
+−+−
Resolución:
⇒ Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente
Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10
Resolución:
⇒ Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.
Ejemplo: 3 12637 72 xyxxy −+
Resolución.
⇒ Grado 4312 =
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomios Homogéneos
Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.
Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2
Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomios Ordenados
Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los exponentes de dicha variable
están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente.
Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.
3. Polinomios Completos
Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los elementos de dicha
variable desde el mayor hasta el cero inclusive.
Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8
Es completo con respecto a x.
Propiedad:
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno. Es decir:
Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:
P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
Como es completo:
Número de términos = 6
4. Polinomios Idénticos
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus
variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5y
a = 8; b = –5, c = 2
5. Polinomios Idénticamente Nulos
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se cumple que cada
coeficiente es igual a cero.
Ejemplo: ax + by + cz = 0
a = 0; b = 0; c = 0
6. Polinomios Mónico
Es aquel cuyo coeficiente principal es 1
Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1
Es mónico porque el coeficiente de x2 es igual a 1
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Polinomios Tercer Año
1. La siguiente expresión se puede
reducir a un monomio,
proporcionar su valor reducido
( ) ( ) 3224 xabxabxbaM baba −++−= −+
2. Clasificar la siguiente expresión:
( )( )
( )( )x
x
x
xx
x
x
baab
abba
1
2
21
2
2−+
3. Que valor como mínimo debe tener
“n” para que la expresión sea
fraccionaria
nxxxxx −−−− 111
4. Hallar el valor numérico (V.N.) de:
62
2
yyx
Para: x = 0,125; Y = 0,0001
5. Si el grado de P es “m” y el grado de Q
es “n” (m>n). Hallar el grado de:
( )Q
PQPR
2+
=
6. Dado el monomio:
( )xy
yxyxH
n mnm
201
32,−
=
Si: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) = 4;
hallar el grado de:
F(x,y,z) = mnxn + mxym + zn–4
7. Si la diferencia entre los grados
relativos de “x” e “y” es 5, además
el menor exponente de “x” es 3.
hallar el grado absoluto del
polinomio:
( )26
4532
2
74+−+
−++−−+
+
++=mnm
mnmmnm
yx
yyxx,yP
8. Siendo:
P(x) = 45x5 – 2xp + 1 – xq–2 + 3x2 + x +
1
Un polinomio ordenado y completo,
hallar el número de términos del
polinomio:
S(x) = xp+q–1 + 2xp+q–2 + ... + 3x + 2
Si este es completo y ordenado.
9. De qué grado es E si el en el
numerador hay 109 términos:
1...1...
1222
241424
++++++++++= ++
++
xxxxxxxxE nn
nnn
10. Reducir: P(x) si se sabe que es
homogéneo
P(x)= [(ab)2x2]ab + + bxa+b(x-b + 2ab–1xb–a) +
xabc
11. Calcular el valor de (B – A) para que los
siguientes polinomios sean
equivalentes:
P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2
Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2)
12. Si el polinomio:
(x2+x+1) (a–b) + (x2+x+2) (b–c) +
(x2+x+3) (c–a)
Es nulo, Hallar acbE +=
13. Indicar el coeficiente del monomio:
( ) ( ) ( )7 325 .3..2 nnnx nxxxM = Si
su grado es 2n ( )+∈ Zn A) 18 B) 24 C) 12 D) 28 E) 16
14. Dada la expresión:
571 25
23 +−=
+ xx
xxf ; calcular ( )7f
A) 7 B)4 C) 0D)1 E) -3
15. calcular la suma de los coeficientes
menos el termino independiente del
polinomio ( )xP , si:
( ) 2331 23 −−+=− xxxxP
A) 1 B)4 C) 2D)3 E) -2
16. Dado el polinomio:
( ) ( ) ( ) nn xxxxP 121 222 ++−= ; evaluar
( ) 1;12 ≠+ nP n
A) 1 B)2 C) 4
D) 12 −n E) 22n
17. Sea P(x)un polinomio definido en Z, tal
que: ( ) ( ) ( ) ( ) !.23.2.1 nnPPPP n= ;
Observación: ( )nnn 1...3.2.1! −=
Calcular ( )2004PA) 2004 B) 1002 C)
4008 D) 2005 E) 2004
18. Cierto material se dilata según la regla
polinomial. ( ) ( ) 2211 2 −+−=− xxxP ;
donde x es numéricamente igual a la
variación de la temperatura en ºC.
¿Cuánto se dilatara ante una variación
de 21ºC?
A) 440u B) 481u C) 0uD) 438u E) 210u
19. Si:
( ) +∈>>+
=+ Zbababa
abbaf ;,0,2 ;
Calcular: ( ) ( )105 ff +A) 3
2 B) 1213 C) 4
3
D) 1217 E) 17
12
20. Calcular la suma de los coeficientes
menos el termino independiente de
( )xP . Si
( ) ( ) 22 922 bbaxbaxbaxP ++−+−=−
A) 5 B)3 C)
52 +b D) 52 −b E) 2b
21. Si el polinomio se reduce a un
monomio, calcular ( )2;1−P
( ) nabn yxyxyxP −− += 64
3
57;A) 24 B) -24 C) 0 D) 48 E)
-48
22. Sea: ( ) ( ) ( )121 23 +−−= xxxxP ;
calcular:
( ) ( ) ( ) ( )12013122 555 +++++++ PPPP
A) 16 B) 32 C) 150 D) 210 E) 2000
23. Si al polinomio:
( ) 81; −−− ++= npampm xymxynxyxP le
restamos 4310 yx , su grado absoluto
disminuye ¿Cuánto vale el menor de los
grados relativos?
A) 3 B) -1 C) 0 D) 4 E) 2
24. Sea: 231255
1720 ++−=
xxxx
P ;
Calcular ( )1P
Polinomios Tercer Año
A) 17 B) 20 C) 30D) 50 E) 80
25. Si: 12 21)( ++= −− nn
x xxP ; esa un
polinomio cuadrático. Calcular )2
11( nP
A)1 B)10 C)100 D)1000 E) 10000
26. Si: ( ) ( ) baxbxaP x ++−+−= 21 2)( es
lineal y mónico. Calcular )0(P
A)-1 B)2 C)3D)4 E) 5
27. Sea: 12)( += xP x ; calcule )1( +xP solo en
términos de )(xP
A) 1)( −xP B) 2)( +xP C)
2)( −xP
D) 1)( +xP E) 3)( +xP
28. Si: ( )xxx PQxP =+=
2
)3( ;16; calcule ( )xQ
A)2X + 1 B)4X + 1 C)3X +
1 D)6X + 1 E) 12
+x
29. ( ) ( ) ( )( )xQx PxxP ;11 22)12( −−+=− ;
Calcular ( )( )xPQ
A)4X + 2 B)4X - 2 C)4X + 3 D)4X - 1 E) 4X
30. Si: ( ) ( )xxx PQxP == −+ 1)12( ;6 ; calcule ( )xQ
A)3X – 3 B)6X - 6 C)3X D)3X - 2 E) 3X + 3
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Reducir la siguiente expresión si se sabe
que los términos son semejantes
131 ++ ++ b ba a xxaxabxxb
A) 311 x− B) Cero C) 24x1/3
D)
333 x−
E) 3 x
2. Reducir la siguiente expresión
algebraica si se sabe que es racional
entera
( ) 111111
2
++−
+−+++ xn
xmxm
A) 2x–1 B) x+2 C) 2x–2D) 2x+2 E) 2x+1
3. Hallar el valor de “n” si el grado de P y
Q es igual a 3 y 4 respectivamente, y se
conoce que el grado de la expresión:
( )( ) 3n45
n257
QPQP
+++
; es igual a 4.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
4. Indicar el coeficiente del monomio:
( ) ( ) ( )7 325 32 nnn nxxxxM =
Si el grado del mismo es “2n” (n ∈ Z+)
A) 3 B) 8 C) 12D) 24 E) 32
5. Si {a, b, c, d} ∈ N y además:
( )
abcd...x
xxxxP2d6
31a2a2bab3ccab
+++
+++=−
++−+
Es un polinomio completo y ordenado
(b>1), señale su término independiente
A) 36 B) 56 C) 30D) 60 E) 120
6. Calcular el grado de Q si se sabe que P
es homogéneo y de 5to. grado.
P = xm+1 (yn–1 + zm–n)
Q = xm+1 (yn+1 + zm+n)
A) 5 B) 6 C) 4D) 7 E) 8
7. Calcular el valor de E, si A y B son
polinomios equivalentes:
A = (x2–a)2 + b(x–a) + c
B = (x2+b)2 + c(x+b) + d
( ) ( )( )cdab
dcbaE−
+++=22
A) 1 B) –1 C) 2D) –2 E) 0
8. Si el polinomio:
L(x) = (ab–ac+d2)x4 + (bc–ba+4d)x2 +
(ca–cb+3)
Es idénticamente nulo, donde d ≠ –3,
calcular el valor de: cbaf 341 +−=
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
9. Calcular la suma de coeficientes del
polinomio homogéneo:
76
),( 3 ++ ++= mmnnyx mxyxnxQ
A) 17 B) 16 C) 13 D) 15 E) 14
10. Determine el grado del polinomio
( ) ( ) ( )( ) ( )7....321 1032 ++++= xxxxP x
A) 45 B) 36 C)55
D)40 E) 28
11. Si: ( )6510 25 +−+−− ++= npnmm
x xxxM es
completo y ordenado descendentemente,
calcular: m + n + p.
A) 38 B) 28 C) 26 D) 25 E) 36
12. Si ( ) 5313 1 +=+ +xxP ; Calcular ( )0P
A) 0 B) - 1 C) 1 D) 2 E) 3
13. ¿Cuántos términos tiene ( )xp ?
( ) 1... 212212 ++++++= −+ xxxxxP nnnx
A) 2N + 2 B) 2N+1 C) 2N
D) 2N - 1 E) N
14. Si: ( )1322612
, . −− +=mn mn
yx yxmyxnP se
reduce a un monomio: calcular GA. de:
( )mm n m
zyx zyxM ..3 212,,
2
=A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2
15. En el polinomio:
( ) aaxaxaxaxaxP aaaax +++++= 22345 203456
calcular “a”, si se cumple que la suma
de coeficientes es igual a su termino
independiente incrementado en 76.
A) 1 B)4 C) 2
D)3 E) 5
16. Dada la expresión matemática
21
1 22
−=
−−
xx
xP
Calcular: ( ) ( ) ( )854 PPP +++ A) 105 B) 115 C)
120D) 125 E) 135
17. Calcular el coeficiente del monomio:
nmnmn
n yx −+
− 523 .
3
19 ; si su
G.A. = 10 y G.R (x) = 7.
A) 3 B) 5 C) 4 D) 1 E) 2
18. Sea el polinomio cuadrático; indicar el
coeficiente del término lineal de dicho
polinomio.
( ) ( ) ( ) ( ) 21242 432 ++−+−+−= xaxabxbxaxP b
A) 81 B) 36 C) 121 D) 79 E) 78
Polinomios Tercer Año
19. Dada la expresión algebraica:
( )y
yxyxF
+=2
; ; determinar el valor
que toma f cuando: 642=x
644=∧ y
A) 2 B) 0 C) 1
D)
642 E)
322
20. De la expresión :
421
1 19981999 +−=
−+
xxx
xP
Calcular el valor de: ( ) ( )13 −PPA) 256 B) 16 C)
128D)4 E) 23
21. Si el polinomio:
( ) ( ) ( ) ( ) yeacbxydebxdcbayxM 222 9; −−++−+−−+=
es idénticamente nulo, calcula S.
c
a
e
b
b
dS
692
2
++=
A) 15 B) 16 C) 18D) 13 E) 9
22. Si el trinomio: c cab cba ba xxx +++ ++ es
homogéneo, de grado 10. de que grado
es el monomio : c ab ca b xxx ..
A) 7 B) 13 C) 27D) 33 E) 30
23. Sabiendo que ( )x
x xf 2=
Calcular ( ) ( ) ( )x
xxx fff
2
252 321 +++ +−
A)16 B)6 C)8D)10 E) 12
24. Si: P(x) = x – 1; Q(x) = 2x – 4
Calcular: R = P[Q(x)] – Q[P(x)]
25. Dados los polinomios:
P(x–1) = x2 + x + 1
Q(x+1) = x2 – 2x + 2
Además: H(x) = P(x+1) + Q(x–1)
Calcular: H(3)
26. Si: ( )x
x xf 2.= ; Calcular:
E = ( ) ( ) ( )
x
xfxfxf
2
322513 +++−+
A) 16 B) 6 C) 8 D) 10 E) N.A.
27. Si: ( ) 12 += xP x . Calcular ( )1+xP , solo en
términos de ( )xP
A) P(x) – 1 B) P(x) + 1 C) P(x) – 2 D) P(x) + 2 E) P(x) + 3
28. Sea: ( ) 241 +=− xP x , Calcular )6( +xP
A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x – 8 D) 4x + 10 E) NA.
29. Si: ( ) xQxP xxQ 2;4 1)1)(( == +−+ ; calcule
( )xP
A)-2X + 6 B) -2X + 4 C) -2X + 2 D) -2X + 1 E) -2X + 3
30. Si: 53 1
13+= +
+
xxP ; Calcular )0(P
A)-1 B)1 C)0D)2 E) 3
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
TEMA Nº 0 3: PRODUCTOS NOTABLES
Capacidades:
Reconoce y Aplica productos notables.
Resuelve problemas con productos notables.
Desarrollo del Tema:
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)
. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 .
Identidades de Legendre
• (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
• (a + b)2 – (a – b) = 4ab
• (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)
Ejemplos:
• ( ) ( ) ( ) 62526232232323 222+=++=++=+
• (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a
• ( ) ( ) ( )( )[ ] 10567.108252.5.82525 2244==+=−−+
2. Diferencia de Cuadrados
. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .
Ejemplos:
• (x + 2) (x – 2) = x2 – 4
• ( )( ) 1121212 =−=−+
• ( )( ) 3252525 =−=−+
3. Binomio al Cubo
. ( )( ) ( )baabbaba
babbaaba+++=+
+++=+
333
333
32233
.
. ( )( ) ( )baabbaba
babbaaba−−−=−
−+−=−
333
333
32233
.
Productos Notables Tercer Año
Ejemplo:
• (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33
(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27
(2 + 3)3 = 125
4. Producto de Binomios con Término Común
. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .
5. Producto de Tres Binomios con Término Común
. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc .
. (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc .
6. Trinomio al Cuadrado
. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .
. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .
7. Trinomio al Cubo
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc
8. Suma y Diferencia de Cubos
. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .
. a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) .
9. Identidades de Argan’d
. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 .
. (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 .
En general
. (x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n .
10. Identidades de Gauss
. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) .
. (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) .
11. Identidades Condicionales
Si. a + b + c = 0 . Se verifican:
. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .
. a3 + b3 + c3 = 3abc .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar:
( )( )1563030651 +−−+++=M2. Calcular el valor numérico de:
E = (a2+b2)3 + (a2–b2)3 – 6b4(a2–b2)Para a3 =2, b3 = 3
3. Simplificar:
( ) ( )yx
xyyxxyyE
+−+++
=22222 222
4. Calcular
3333721
33721 −++
5. Si: a = 15 ∧ b = 12; calcular
( )( )( )( )16 168844223 bbabababaM +++++=
6. Hallar el valor de:
( )( ) ( )( )( )16 1684 112121253 ++++=R
7. Si se tiene en cuenta que:a2 + b2 + c2 = 300a + b + c = 20Calcular:E = (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2
8. Si: x(x+3) = 2 : calcular:
( ) ( ) ( ) 1321 ++++= xxxxE
9. Siendo:
abcabcxabcx =−++
Calcular:
abcxabcx −−+
10.Si se acepta que:
41 =+x
x
¿Cuál es la suma de las cifras de: x3 + x–3?
11.Si: 48
1=xyz ; Calcular ( ) ( ) ( ) ( ) 3333 zyxzyxzyxzyxM ++−−+−−−+−++=
12.Reducir: ( )( )( )( ) 222 xyx4zyxzyxzyxzyxE ++−−+−−+++=
13.Calcular el valor de E para 2=xE = [(x+1)2(x2+2x–1) – (x–1)2(x2–2x–1)]2/3
14.Efectuar:
E = (x–y)2 – (y–z)2 + (z–w)2 – (w–x)2 + 2(x–z)(y–w)
15.Efectuar:
E = (a+b)2(a2+2ab-b2) – (a–b)2(a2–2ab–b2)
16.Efectuar:
E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)2] + (a–b) [(a+b)2 + 4(a2+b2)–(a–b)2]
17.Simplificar:
E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) + (z–x)(z+x–y)
Productos Notables Tercer Año
A) 0 B) x+y+z C) x–y+zD) x+y–z E) y+z–x
18.Simplificar:
E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –2(x2+x–10)2 + 56
F) 5x–20 G) x2+3x–84H) 3(x–10) I) CeroJ) Uno
PROBLEMAS PARA LA CASA
2. Si: 79
9=+
a
x
x
a; indicar 4
9
49 a
x
x
a +
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 5
3. Si: 13 =∧=+ abba ; calcular 88 ba +
A) 1289 B) 2207 C) 2809 D) 2107 E) 1370
4. Si: 2=+ yx ; 322 =+ yx ;
Indicar 33 yx −A) 3 B) 7 C) 5D) 11 E) 9
5. Si: 13 +=x ; 3=y , calcular
( )y
yx
xx2
122
44
−+
−−
A) -1 B) 0 C) 3 D) 1 E) 2
6. Si: 13 =∧= abba ; calcular
ba
bbaa3
236
3
++
A) 6 B) 2 C) 3D) 5 E) 1
7. Si: 13 =∧=+ abba , calcular 22
33
ba
ba
+−
A) 5
78 B)
5
8 C)
7
58
D) 7
5 E) N.A.
8. Reducir: )3x)(18x()9x)(10x()5x)(13x()9x(R
2
++−++++−+=
9. Reducir: E = (x2+x+3) (x2+x+7) + (x2+x+2)
(x2+x+8)
10. Reducir: E = (x–1) (x+1) (x+2) (x+4) + 2x (x+3)2
11. Reducir: E = (x + 2)3 –(x + 3) (x + 2)(x + 1) – x
12. Si: x = 313 − Calcular:
E = 112369 22 +++ xxx
13.Calcular el valor de:
E = )yx(xy)yx()yx(
22
44
+−−+
,
Para: x = 4 3 + 1; 12y 4 −=
14. Calcular el valor numérico de:
( ) ( )( )8 42 111119 ++++= xxxEPara x = 20
15. Si: a + b + c = 6; a3 + b3 + c3 = 24 Calcular: E = (a + b)(a + c)(b+c)
16. Si: a + b + c = 20; a2 + b2 + c2 = 300. Calcular: E = (a + b)2+(a + c)2+(b + c)2
17. Reducir: 9327
2
3
++−xx
x
a) x + 3 b) x – 3 c) x + 27
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
d) x – 27 e) x – 9
18. Si se cumple (a + b)3 = a3 + b3 ; Hallar a/ba) 32 b) 27 c) 0
d) 36 e) 216
19.Si: x + y + z = xy + xz + yz = 5; Calcular: x2 +y2 +z2
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
20. Si: x3 – y3 = m; x – y = n, entonces, ¿Cuál es el valor de “xy”?
a) n
nm3
3 − b)
3
3nm − c)
nnm
3
3−
d) n
nm 32 − e)
nnm
3
3+
21.Simplificar:
( )( )( )( )( )1
1119
36136124
+++−−++−+=
x
xxxxxxxxxxQ
A) x18+1 B) x9–1 C) x9+1D) 1 E) –1
22.Simplificar:
( ) ( ) ( )babbabaabE ++−++= 242/1
A) a B) bC) ba − D) a2E) ba +
23.Determinar el valor numérico de: (a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)
12 +=a ; 2=b ; 12 −=cA) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13
24.Si: 3 111972 +=x ;
111969 +=y Hallar el valor de:x9 –
9x3y3 – y9
A) 27 B) 72 C) 30D) 20 E) 25
25.Si: a . b–1 + a–1b = 3; hallar el valor de:3
2
23
2
2
11
++
+=
ab
baE
A) 27 B) 81 C) 189D) 243 E) 486
26.Si:aabcxabcx =−++ 88
babcxabcx =−−+ 88
cabcxabcx =−++ 44
Hallar:abcxabcxR −++=
A) ab B) bc C) 2D) 2abc E) a2
27.Si: 33 3232 −++=EHallar el valor numérico de:
3 3 233 +−= EEPA) 1 B) 2 C) 3D) 3 2 E) 3 3
28.Sabiendo que: a + a–1 = 3; determinar el valor de:
( ) ( )[ ]aaaa aaaaM 1111 −−−− +
+=
A) 20 B) 30 C) 40D) 50 E) 60
42
División Algebraica Tercer Año
TEMA Nº 04 : DIvISIóN ALgEBRAICA
Capacidades:
Determina el cociente y residuo, utilizando el método clásico, de Horner, la regla práctica de
Ruffini o el teorema del resto.
Resuelve problemas aplicando la división algebraica.
Desarrollo del Tema:
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y
RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados
por la relación:
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
Donde:
D(x) : Dividendo
d(x) : Divisor
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto
Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) ≥ Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))
Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))
Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN
Método de William G. Horner
Pasos a seguir:
1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completa o completada.
2. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo
contrario salvo el primero.
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el
primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del
divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.
4. Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los
coeficientes.
OBSERVACIÓN:
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE
FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
Método de Paolo Ruffini
Pasos a seguir:
1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una
variable.
2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha
multiplicado por (2), y colocado en la siguiente columna.
4. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna
OBSERVACIÓN:
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE OBTENIDO SE
DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR.
Teorema del Resto
División Algebraica Tercer Año
Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor
potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo.
OBSERVACIÓN:
DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL
POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.
21023
−−+
xxx
Resolución:
d(x) = x – 2 = 0 ⇒ x = 2
Reemplazo “x” en D(x):
R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 ⇒ R(x) = 2
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Sea R el resto y Q el cociente de la división:
322223
23
234
−+−−+
xxxxx
Hallar Q + R
2. Hallar el residuo al efectuar:
1x3x25x2x3xx6
2
234
+−++−−
3. Al efectuar la división:
3x4xbaxbxaxx
2
234
++++++
El residuo, es (–6x–7), hallar: (a.b)
4. En la división exacta:
anxxbaxnxx
+++−+
232
23
Hallar: E = a9 + b6
5. Si al dividir:
1325252
2
234
−++++
xxmxxx
Los coeficientes del cociente son iguales, hallar el resto.
6. Sabiendo que el resto de la siguiente división:8x5+4x3+mx2+nx+p entre
2x3+x2+3, es: R(x) = 5x2–3x–7;
calcular el valor de: (m+np)
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. Encontrar la relación entre “p” y “q” para que: x3 – 3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2
A) p = q B) p2 = q C) p3 = q2
D) p = 2q E) p = –q
8. Dar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división indicada:
( )( ) ( )321364914 246
−−−−+−
xxxxxx
F) 24 G) 22 H) 20I) 23 J) 26
9. Al efectuar la división indicada: se obtiene como residuo (x – 2). Determinar el resto que se obtiene al
efectuar: ( )[ ]
12
3
+xxP
K) x L) x + 1 M) x – 2
N) 3x – 2 O) 11x –2
10.Calcular: ab ab −3 ; sabiendo que al dividir: (ax2 – ax – 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto ”2b” y además el término independiente del cociente es (–4a)
P) 2 Q) 3 R) 4S) 5 T) 6 U)
11.Al dividir el polinomio:P(x) = 2x5–3x4–x3+1
entre x3+x2+bx+b
Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto
de dividir dicho resto entre x+1
V) –6 W)–1 X) –3Y) 1 Z) 4
12.El residuo de la división:
22
5322345
332
41756
yxyx
yyxyxyxx
−−+−−−
Es igual a –32, cuando “y” vale:
13.Al realizar una división por Horner, se obtuvo el siguiente cuadro:
S = k + m + n + p + q + r
14.Dividir e indicar el cociente:
axaaxaxxxx
−++−−− 152152 223
15.Hallar el término independiente del cociente que se obtiene al dividir:3x12 – 4x9 – x6 + 2x3 – 1 entre x3 + 2
16.Hallar el residuo al dividir: x7 +x6 +x2 + ax + 6 por x + 1
Si la suma de los coeficientes del cociente es 3.
17. Indicar el residuo de la división6x3 + 9x2 + 2Ax – 1 entre (2x + 1)Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 6.
18.Calcular “n” si en la división:( )
13212 2234
−−+−−+
nxxnxxnnx
Si la suma de los coeficientes es igual al cuadrado del residuo
19.Hallar el residuo de dividir:
126522 234
++−++
xxxxx
20.Calcular el residuo que se obtiene al
dividir 1x
1xxx32
3012030
++−+
21.En la siguiente división:
4321672
2
234
++++++
xxBAxxxx
Deja como resto 13x + 3Determinar: A/B
22.Hallar el residuo de la división:
24235528
23
2345
+−−++−+
xxxxxxx
F) 1 G) x H) x2
I) x + 1 J) x2 + 123.Hallar el valor de (k + m) para que la
siguiente división sea exacta:
155
24
2345
−−+−+−−
kxxaxmxaxxax
24.El polinomio P(x) = 2x6–x5–11x4+4x3+ax2+bx+c
Es divisible separadamente entre los
binomios (x–1), (x+1) y (x2–3); según
esto, ¿Cuánto vale a+2b+3c?
K) 25 L) –17 M) –15N) 20 O) 18
25.Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente, que se obtiene de la siguiente división:
( ) ( )[ ]( )65
122
5273
x x
x x x
+++++
P) –69 Q) 69 R) –65S) –63 T) 63
División Algebraica Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. La división: 53
722
234
+−++−+
xxbaxxxx
Es exacta, calcular “a + b”
2. Calcular el residuo de:
2364726
24
2536
+−+−−−+
xxxxxxx
3. Calcular el cociente de:
x6x10x2x7x18x30
3
325
++++−+
4. Calcular el cociente de:
2223 34
+−+−
xxxx
5. Calcular el resto de la división:
11
2
245
+++−+
xxxxx
6. Calcular la suma de los coeficientes del residuo al dividir:
1213254
2
234
−−−+−−
xxxxxx
7. Al dividir: 1
5732
23
−−−+
xxxx
; Señale el
residuo.
8. Calcular el valor de “γ” en:
2xx2x3x2x 345
+γ−+−+
9. Calcular el resto de: 123
65432
23
−++−−
xxxxx
10.Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir:
37593337610
2
234
+−−+−+
xxxxxx
11.Si la división
3322
24
+++−+
xxbaxxx
; Es exacta, hallar
4 ba +
12.Hallar el resto de la división
11753
2
6918
−−++−
xxxxx
13.Si el resto de: ( )
471427
2
2
++++
xxx nn
Es 256, hallar el valor de “n”
14.Hallar el T.I. del resto de:
2
24
2137468
xxxxx
++−++−
U) 1 V) 2 W)3X) 4 Y) 5
15.Hallar el resto de:
112345
++++++
xxxxxx
16.Si la división: 1x2x
nx3mxx2x42
234
+−++−+
Es exacta. Halla (m+n)
17.Hallar el resto de:
345283
2
248
++−−
xxxx
18.Hallar la suma de coeficientes del
cociente: 23
65292
24
−+−++
xxxxx
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
19.Luego de dividir:
25317310 2345
+++++−
xaxxxxx
Se sabe que el residuo es 5, hallar “a”
A) 4 B) 2 A) 1B) 3 C) –1
20.Hallar el residuo de la división:
323
54322345
yyx3x2y2xy2yx6yx8yx5x6
−+++−−+
21.Si el coeficiente del término lineal del cociente es –45, hallar 4 n−
3762 325
−−−−
xxnxx
22.Calcular el resto de la siguiente división: ( )
371216
2
321
++−+
xxx
TEMA Nº 0 5: C O C I E N T E S N O T A B L E S
Capacidades:
Aplica cocientes notables
Calcula el termino k- ésimo de un cociente notable
Resuelve problemas que involucren cocientes notables
Desarrollo del Tema:CONCEPTO: Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división.
Condiciones que debe cumplir: yxyx mm
±±
Donde
x; a bases iguales
m∈ Z+; m ≥ 2
CASOS
1. Si: R = 0 ⇒ ( )xqyxyx nm
=±±
⇒ cociente entero o exacto (C.N.)
2. Si: R = 0 ⇒ ( ) ( )yx
xRxqyxyx nm
±+=
±±
⇒ cociente completo
También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos.
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
DIVISIÓN INDICADA
SEGÚN SU FORMA
COCIENTES
n ∈ Z+
yxyx nn
−−
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; ∀ n (C.N.)
yxyx nn
−+
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ yxy n
−2
; ∀ n (cociente completo)
yxyx nn
++ ( )
( )
∀+
+−−+−
∀+−+−= −−−−
−−−−
ompletocociente cn par ;yx
yy...yxyxx
C.N.imparn;y...yxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
yxyx nn
+− ( )
( )
∀+
−+−+−
∀−+−= −−−−
−−−−
ompletocociente cn impar ;yx
yy...yxyxx
C.N.parn;...nyyxyxxn
nnnn
nnnn
212321
12321
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.
De: qp
nm
yxyx
±±
se debe cumplir: rqn
pm == ; r ∈ Z+
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.
Cocientes Notables Tercer Año
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad
de conocer los demás.
De la división: yxyx nn
±±
a) Si d(x) = x – y:
. tk = xn–kyk–1 .
b) Si d(x) = x+y:
. tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
Donde:
tk → término del lugar k
x → 1er. término del divisor.
y → 2do. término del divisor.
n → número de términos de q(x)
Ejemplos:
43223455
yxyyxyxxyxyx
++++=−+
(C.N.)
yxyyxyyxx
yxyx
++−+−=
++ 4
322344 2
(Cociente Completo)
86336633
1212
yyxyxxyxyx
+++=−−
(C.N.)
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar: 24677
22211
11 xxx
xx
xx −−−
−−+
++
2. Reducir aplicando cocientes notables, indicando el número de términos del
cociente. 1...1...
4242832
2666870
++++++++++
xxxxxxxx
3. Hallar el valor de “n” si el cociente es
notable ( )
21
6535
+−
++
−−
nn
nn
yxyx
4. Hallar el valor numérico del término de
lugar 29 del C.N. ( )
3x2x3x 3636
+−+
,
para x = –1
5. Hallar el valor de (m + n), si el t60 del
desarrollo de: nm
nm
yxyx
42
296148
−−
es x140y1416,
si es cociente notable
6. Calcular: E = a + b + c; si el término
central del desarrollo 52 yxyx ba
−+
; es xcy120
7. Calcular: (n–m), si el décimo séptimo
término de: 75 yxyx nm
−−
; es x115y112
8. Hallar el valor numérico del término
número 37 para 51−=x de:
( ) ( )910595 4343
+−+
xxx
9. Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101, en el desarrollo de:
49
80180
yxyx
−−
10.Si A es el penúltimo término del C.N.
yxyx
++
4
1040
, Hallar A
11.Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el cociente notable
que se obtiene al dividir: 52
1523
−
−+
−−
n
nn
yxyx
12.Simplificar a expresión
1.......1.......
547290
9096102
++++++++
=xxxxxxP
13.Si la división: ( ) ( )
x1x51x5 9999 ++−
Origina un cociente en el cual un término tiene la forma A(25x2 – 1)B, calcular A–B
14.Hallar T5/T10 del siguiente desarrollo:
2573
348511951
..nmbanmba
−−
15. Indicar cuántos términos tiene el
siguiente desarrollo 54
54
yxyx nn
−−
16.Hallar el valor numérico del término central generado por el desarrollo del
C.N. ( ) ( )
( )1811
2
2020
+−−+
xxxx
; para 3=x
17.¿Cuál es el tercer término en el
cociente? yxyx
232
2
510
++
18.Simplificar:
+++++
++++
++++
++++
=
1...1...
1...1...
8910
54550
34
113344
xxxxxxxxxxxxx
M
A) 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5
19.Halar el término lineal de: ( )
xx 644 3 −+
F) 12x G) 13x H) xI) –12x J) 10x
20.Hallar el término central de: 75
4935
yxyx
−−
K) x17y27 L) x27y17 M) x21y15
N) x15y21 O) x12y13
21.El grado absoluto del término de lugar 6
del siguiente C.N. 23
n39n3
yxyx
+++
; es:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el quinto término del desarrollo:
3515
73
yxyx
++
A) 35 y B) 35 5y C) 15 4y
D) 35 5y E) 15 4x
2. El término independiente del desarrollo:
xx
xx
12
164 6
6
−
−; es:
F) 1 G) No existe H) 3I) 4 J) 2
3. Hallar el desarrollo del siguiente C.N.
( )6
84 3
−−−
xx
4. Obtener el 20avo. término del
desarrollo del cociente notable.
1123
10
2
−−+−
xxx
K) x–1 L) 2 M) 3N) 1 O) 4
5. Que lugar ocupa dentro del desarrollo
del cociente notable: 52
1090436
yxyx
−−
El
Cocientes Notables Tercer Año
término que contiene a “x” e “y” con
exponentes iguales.
P) 67 Q) 66 R) 65S) 64 T) 63
6. Si la división siguiente:
28n
26n
22n63n6
ax
ax−−
−+
+
+ Es un cociente
notable, hallar el número de
términos de su desarrollo
U) 25 V) 24 W)26X) 27 Y) 28
7. Reconocer el 5to. término del siguiente
cociente notable, si se sabe que al 3ero.
es x36y2
yxyx nm
−−
2
A) x30y6 B) x36y4 C) x32y4
D) x32y6 E) x34y2
8. Efectuar y simplificar:
11
11
11
23
++
−−
+−
− nnn
n
n
n
xxxx
xx
F) xn+1 G) x2n–1 H) xn–1I) x2n+2 J) x2n+1
9. Hallar “n” si el décimo término del
desarrollo:
5
153
yxyx nn
−−
; tiene grado absoluto: 185
K) 40 L) 27 M) 45N) 60 O) 50
10.En el desarrollo de: 35
93155
yxyx
++
Existe un término cuyo G.A.=122, la diferencia de los exponentes de x ∈ y en ese término es:
11.Hallar el grado absoluto del quinto
término de: 615
3075
baba
−−
A) a24 B) a12b12 C) ab12
D) b24 E) b18
12.Hallar el T3 en: 381
3
3
−−
xxx
F) x9 G) 39 x H) 33 xI) 37 x J) 3 x
13.Hallar el V.N. del término de lugar 29
de: ( )
323 3636
+−+
xxx
; para x = –1
14.Hallar el término de lugar 6, de: yxyx
2128
4
728
++
P) 32x4y5 Q) –32x4y5
R) 32x5y4 S) –32x5y4 T) x5y4
15.Hallar el G.A. del término de lugar 8 de:
44
406
yxyx
n
n
−−
−
16.Hallar el número de términos de:
nn
nn
aaaa
−−
−
+
32
516
17.Hallar el T4 del desarrollo del siguiente
C.N. 23
1
12181
xx
xx
−
−
18.hallar el G.A. del sexto término del
desarrollo de: 34
4864
yxyx
−−
19.Encontrar el cociente que dio origen al siguiente desarrollo
x35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 – 1
20.Halar el tercer término de: 11
2
82
−−
xx
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
TEMA Nº 06: FACTORIzACIóN
Capacidades:
Transforma una suma algebraica en un producto de factores.
Factoriza expresiones indicando sus factores primos.
Aplica diversos métodos de factorización en la solución de ejercicios.
Conoce equivalencias Notables, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa.
Desarrollo del Tema:
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es
presentado como el producto de dos o más factores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual
también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores.
Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:
El proceso (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es una multiplicación.
En cambio el proceso x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
es una factorización
Donde:
(x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Factor Común Monomio: Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se
extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos cada uno de los términos
entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:
Factor Común Polinomio: Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más
términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios:
- De acuerdo al número de términos
Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.
- De acuerdo a los coeficientes de los términos:
Ejemplo:
Factorizar: E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Factorización Tercer Año
Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.
En cada uno de los tres grupos: E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)
Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor común polinomio.
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único divisor que es sí
mismo. Esta expresión tendrá 2 factores primos
EJERCICIOS FACTORIZAR:
1. xxx 102515 23 −+
2. 2332232 30241812 xyzzxyzxyzyx −+−
3. xyx +2
4. 2yy +
5. 232 xx −
6. 43 42 yy −
7. 32 2010 xx +
8. yzxy −
9. 2222 zxyx −
10. 22 84 xyyx +
11. xyx 96 2 −
12. 323 84 xyyx −
13. 323 4020 xyyx +
14. xyx 287 23 −
15. 22 zxyxyz +
16. xxx ++ 42
17. xxx 52015 23 −+
18. 223 xyyxx +−
19. xyxyyx 322 22 −+
20. 2346 483 xxxx −+−
21. 357 151025 xxx +−
22. 91215 2aaa +−
23. 2345 aaaa −+−
24. 8121620 xxxx −+−
25. yxzxxyzyxyzx 22223 3323 −−−++
26. ( ) ( ) 22 916 baba +−−
27. 161 a−
28. 41 z−
29. 94 2 −a
30. 23625 x−
31. 22491 ba−
32. 42 814 xx −
33. 282 cba −
34. 62100 yx−
35. 1210 49ba −
36. 12125 42 −yx
37. 622 169100 ypm −
38. 144462 −nma
39. 121196 42 −yx
40. 10412 189256 mba −
41. 864291 dcba−
42. ( ) ( )112 −+− xyx
43. ( ) ( )abnbam −+−
44. bxaybyax 5210 −−+
45. xyyx −−− 22
46. yzxyxzx 6232 −+−
47. 223 2323 yxyyxx −+−
48. bybxayax 632 −+−
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
49. 214321 2 −−+ xyxyx
50. xzxyyzyx +−− 22
4
1
4
1
51. 33 −−+ xaax
52. baba 53259 22 −−−
53. bbaa 33 22 +−−
54. xxx5
16
5
23 2 +++
55. 33 23 −−+ xxx
56. 6231 +++− nn xxx
Método de las Identidades: Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
Recordemos los siguientes:
A) Trinomio Cuadrado Perfecto: A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2
OBSERVACIÓN:
EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUADRADO, SE
CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO DE LA RAÍZ DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL
AL TERCER TÉRMINO:
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
Luego, es T.C.P.
B) Diferencia de Cuadrados: A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos:
1. Factorizar: x4 – 4b2
Resolución: Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6
Resolución: x2 + 2xy + y2 – z6 → (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos: A3 ± B3 = (A ± B) (A2 AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar: 27x3 – 8
Resolución: (3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
FACTORIZAR:
1. 144 2 ++ xx
2. 4129 2 +− aa
3. 3522 −− bb
4. 1032 −+ yy
5. 22 −+ xx
6. 342 ++ aa
7. 1452 −+ xx
8. 1252 +− aa
Factorización Tercer Año
9. 2092 +− yy
10. 3652 −− xx
11. ( ) ( ) 425135 2 +− xx
12. 22 152 aaxx −+
13. 1222 −+ xyyx
14. 802 48 −+ xx
15. 992 2244 −− baba
16. 76 36 −− xx
17. 210712 xx −−
18. 102010 48 +− xx
19. 1272 ++ xx
20. 1072 ++ aa
21. 2452 −− bb
22. 652 +− yy
23. 1242 −+ xx
24. 202 −− aa
25. 452 +− xx
26. 62 −+ aa
27. 154 2 ++ xy
28. 132 2 ++ xx
29. 143 2 ++ xx
30. 572 2 −+ xx
31. 215164 bb ++
32. 2157 48 +− xx
33. 27103 yy +−
34. 2743 yy −+
35. 22 2115 dcdc ++
36. 275 22 ++ cddc
37. 792 2 +− xx
38. 35172 2 +− aa
39. 347 2 ++− bb
40. 2157 2 +− yy
41. 3227 2 +− xx42. 3118 2 ++ aa43. 143 2 −+ xx
ASPA SIMPLE: Se utiliza para factorizar
expresiones trinomios o aquella que adopten esa
forma:
Ax2m + Bxmyn + Cy2n
Ejemplos:
Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
(a + b)2 + 3(a + b) – 28 → (a + b + 7) (a + b – 4)
ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar
polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Ejemplos:
1. Factorizar:
La expresión factorizada es:
(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)
2. Factorizar:
La expresión factorizada es: (3x + 4y + 2z)
(2x + 5y + 3z)
ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para
factorizar polinomios de la forma:
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E.
Regla:
1. Se descompone el término de mayor grado y
el término independiente, se calcula la suma
del product6o en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresión
que haga falta para ver el término central. La
expresión agregada es la que se descompone
para comprobar los otros términos del
polinomio
Ejemplo:
1. Factorizar
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS:
Con éste método se busca uno o más factores
binomios primos
Consideraciones:
1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor
primo de P(x).
2. Los demás factores se encuentran al efectuar:
( )0xx
xP−
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden
encontrar:
cerosPosibles ( )
( )x Pincipal deCoef. Divisores xde PT. indep. Divisores x
Pr0=
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x
– 6
16 Divisor de
Divisores erosPosibles c ±=
Posibles ceros = ± (1, 2, 3, 6)
Probando con uno de ellos; para x = 1 por
Ruffini
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x . 1)
Luego: P(x) = (x +1) (x2 – 5 x + 6) x –3
x –2∴ P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)
MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS: Se inspecciona
el dato, comparándolo con alguna identidad
conocida, la mayoría de veces será necesario
aumentar algunos términos para constituir en
forma completa aquella identidad sugerida por el
dato, naturalmente que aquellos términos
agregados deben ser quitados también para así
no alterar el origen. Este método conduce la
mayoría de las veces a una diferencia de
cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo:
Factorizar: x4 + 64y4
⇒ x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2
x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2
∴ (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
Donde:(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)
Método de los Artificios
En este caso, no existen reglas fijas. Se aplica cuando las reglas anteriores no son fáciles de aplicar; pero se puede recomendar lo siguiente :
a) Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable.Ejemplo : Factorizar :
1)cb(a5
1)cb(a2)cb(a 22
+++−−+++−++
Solución :
Factorización Tercer Año
Hacemos : a + b + c = x s e e l i g e l a l e t r a q u e s e
d e s e e m e n o s : a , b , c
Reemplazando:
)1x(5)1x()2x(22 +−−+−
5x51x2x4x4x22 −++−++− -
)1 1x2(xx1 1x22 −→−
( a + b + c ) [ 2 ( a + b + c ) - 1 1 ]
como : x = a+b+c ⇒
( a + b + c ) [ 2 ( a + b + c ) - 1 1 ]
b) Si aparecen exponentes pares trataremos de formar TCP.Ejemplo :
Factorizar: 844 c4bx +
Solución:
Tenemos: 24222
)cb2()x( +
para formar TCP, necesitamos :422422
cbx4)cb2)(x(2 →
Artificio → Sumamos y restamos: 422
cbx4
4224
TCP
22844cbx4cbx4cb4x −++⇒
ofactorizady a
24222422
222422
)xbc2cb2x)(xbc2cb2x(
)xbc2()cb2x(
−+++
→−+
c) Si aparecen exponentes impares, procuramos formar suma o diferencia de cubos.Ejemplo:
Factorizar: 1xx5 ++Solución:* Como hay exponentes impares,
buscamos suma o diferencia de cubos.
* Si a "x"5
le factorizan "x"2
,
aparece "x"3
.
Artificio: sumamos y restamos 2
x .
1 )xx()1x(x
xx1xx
232
225
+++−
−+++⇒
)1xx)(1xx(
)1xx()1xx)(1x(x
232
222
+−++
⇒+++++−
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Factorizar e indicar un factor de:
3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2
2. Indicar un factor de:
(x3–x2+x–1) (x+1)(x4+1) + x4 + 2 (x3
– x2 + x – 1)
3. Cuantos factores admite: 25(a4 + b4)2 – 16(a4
– b4)2
4. Factorizar e indicar el número de factores
binómicos:
(2x4–1)(2x4–2)+(2x4–2)(2x4–3) + (2x4–3) (2x4–
1) + 1
5. Factorizar e indicar el factor que se repite. P(x) = x4 – 16x3 + 72x2 – 128x + 512
6. Determinar el número de factores binómicos de:
xn+2 – xn + x3 + x2 – x – 1; n ∈ N
7. Factorizar: x4 – 3x3 – 7x2 + 27x – 18. Indicando la suma de sus factores primos.
8. Factorizar e indicar el factor de segundo grado: x7 +x2 + 1
9. Factorizar e indicar el número de factores primos racionales:
1xx2x)x(P251 0 +−+=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. Dar un factor primo de:
223235abbxaabxbxaxx +−++−
a) abx2 + b) baxx
3 −− c) baxx3 −+
d) abx2 − e) baxx
3 ++
11.Dar un factor primo de :
)ba(ab)a1(b)b1(a33 +++++
a) a + b b) 22
baba ++
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
c) a + ab + b c) bbaa22 ++
e) 2222bbaa ++
12. Factorizar : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3
e indicar que la suma de los términos lineales de sus factores primos.a) 6x b) 10x c) 8xd) 20x e) 12x
13. Cuántos factores lineales tiene:
24x2x7x1 8x8x2345 −+−+−
a) 5 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
14. Indique el número de factores primos lineales
de:yx6yx2yx3yx)y;x(P
5678 +++=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 48
15. Indicar un factor primo de:xy2yyxxx)y;x(F
2223 ++++=
a) yx2 + b) yyx
22 ++ c) 2
yx +
d) 22
yxxy ++ e) yxx2 ++
16. Factorizar:
33234b27ba1 5ba2)b;a(F −−=
Indicar el factor primo de mayor grado.a) b b) 3
b c) 1a24 +
d) 3a22 + e) 1a
2 +
17.Factorizar :
)xx(2)xx()xx()x(F22232 −−−−−=
Indicar el valor numérico de un factor primo, para x = 2.a) 4 b) 0 c) 1d) -2 e) Hay dos correctas
18.Un factor de: abxabxax22 −−+ es :
a) x - ab b) ax + bc) ab + x d) abx + 1e) bx + a
19.Uno de los factores de 1 6x8xx26 −−− es:
a) 4x3 − b) 4x2x
3 +−
c) 4x2x2 −+ d) 4xx
3 −−
e) 4xx3 +−
20.Factorizar: 42224
y)yx(y3x)y;x(R +++=
Indique la suma de factores primos.
a) )y2x(222 − b) )yx(2
22 −
c) )yx(222 + d) )y2x(2
22 +
e) )yxyx(222 ++
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Factorizar (x+1)(x+3)(x–2)(x–4) + 24
e indicar la suma de los coeficientes de uno
de los factores
A) 41 B) 5 C) –8D) –7 E) –6
2. Factorizar: 4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y
e indicar la suma de sus factores primos
A) x–5y–3 B) x3+3yC) x+y+1 D) 5x+2y+3E) 5x–2y–3
3. Indicar el número de factores primos en:
(x2+7x+5)2 + 3(x2+1) + 21x + 2
A) 1 B) 3 C) 2D) 4 E) 5
4. Los polinomios P(x) = x4 + 2x3 – x – 2
Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor comúnA) –1 B) Cero C) 3D) 4 E) 5
5. Señale la suma de coeficientes de un factor
primo de: 1x2x2x)x(F357 +−+=
a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
6. Indicar el número de factores primos de :
Factorización Tercer Año
7235yxyx)y;x(P −=
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
7. Señalar un factor primo, al factorizar :
xyxyxyx)y;x(F2223 −−+=
a) y b) xy - 1 c) 2
x
d) x - y e) xy
8. Indicar un término de un factor primo de :
3334226yxxyyyxx)y;x(R −+++=
a) 2
xy b) yx3− c)
4y
d) yx2− e)
3y−
9. Factorizar:
223223
yxy2xxyyx2yx)y;x(F +++++=
El factor primo que más se repite es :
a) xy + 1 b) xy - 1 c) 2
)yx( +
d) x + y e) x - y
10.Factorizar : 22222
)1y()yx()y;x(F −−−=
Un factor primo es :a) x + y b) x - y c) x + 1
d) yx2 + e) y - 1
11. Factorizar :
xy4)yx()xy1()y;x(F22 ++−−=
Un factor primo es :a) x + y b) x - y c) 2x + yd) x - 2y e) 1 - x
12. Factorizar :
45)x3x2(1 4)x3x2()x(F222 +−−−=
Un factor primo es :a) 2x - 1 b) 2x - 3 c) 2x +5d) 2x + 1 e) 2x + 3
13. Si el polinomio :
22)1m(x)1m2(x)x(F −+−+=
Es factoriable mediante un aspa simple (en
los enteros), además : 1mZm =/∧ε . Indicar un factor primo.
a) x + 5 b) x + 7 c) x + 3d) x + 4 e) x - 1
14.Factorizar:
4222y1 2)yx(xy8)yx(x)y;x(F ++−+=
La suma de sus factores primos es :
a) 2x + y b) 3x + y c) 3x + 3yd) 4x + 2y e) 2x + 3y
15. Factorizar:
6x5x2x)x(F23 −−+=
El término independiente de uno de sus factores primos es:a) -1 b) -3 c) 6d) -6 e) -2
16.Factorizar: 6x5x2x)x(F23 +−−=
La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es:a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
17.Factorizar: 2x1 5x1 9x6)x(F23 −+−=
La suma de sus factores primos es:a) 6x - 4 b) 8x - 4 c) 3x + 2d) 3x + 7 e) 4x - 3
18. Factorizar:
1 44x1 08x1 6x21x)x(P235 −++−=
e indicar el factor primo repetido.a) x - 4 b) x - 3 c) x + 3d) x - 2 e) x + 1
19. Factorizar :
22222)1x3()3x(x)x(F +−+=
La suma de factores primos lineales es:a) 4x + 1 b) 4x + 3 c) 2xd) 2x + 3 e) 2x - 1
20. Indicar la suma de factores primos de:
)1xx(3x7x2
234 −−+−a) 5x + 6 b) 4x - 1 c) 3x - 2d) 4x e) 5x
21. Dar la suma de los factores primos de:
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
x(x - 4)(2x - 11) + 12x - 48a) 4x + 7 b) 3x - 7 c) 4x - 11d) 3x + 7 e) 4x + 11
22.Factorizar : 8m7m)m(P36 −−=
Indicar el término lineal de uno de los factores primos cuadráticos.a) 4m b) -m c) 3md) 8m e) -4m
23.Al factorizar un polinomio en el conjunto de
los números enteros, mediante el
procedimiento del aspa simple, se realiza lo
siguiente : )d2(bxx824 +−+
2 x2
4 x2
1
d
Entonces un factor primo del polinomio es:a) 2x - 1 b) 2x + 2 c) 2x + 5d) 2x + 3 e) 2x + 4
24.Al factorizar :
504)4x)(6x)(7x)(5x( −++−−
uno de los factores lineales es :a) x - 5 b) x + 7 c) x + 6d) x + 3 e) x - 2
25. Factorizar:1 79)1x(x34)1xx(
22 ++−−+
Indique la suma de todos sus factores primos:a) 2(2x+3) b) 3(x+2)c) 2(2x+1) d) 3(2x+1) e) 2(x+1)
26. Indique un factor primo de :
5)1x3)(1x4)(1x6)(1x1 2()x(A −++++=
a) 12x + 1 b) 3x - 1 c) 2x +1
d) 3x + 1 e) 4x1 5x362 +−
27. Hallar el producto de los coeficientes del
factor primo de mayor término independiente
del polinomio.
7x2x28x8)x(P23 −−+=
a) 4 b) 5 c) 8d) 12 e) 14
28.Si se suman algebraicamente, los coeficientes
y los términos constantes de los tres factores
binomios, en los que puede descomponerse el
polinomio : 320x8x76x2x234 −+−+ ,
se obtiene :
a) 14 b) 9 c) 0d) 22 e) 97
29.Factorizar :
1 2x4x1 5x5x3x)x(P2345 ++−−+=
Indique el binomio que no es factor.a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1d) x + 4 e) Todos son factores
30. Determinar el número de factores primos del
siguiente polinomio :
1xx2x2xx)x(P2345 −++−−≡
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
31. Indicar la suma de coeficientes de un factor
primo de :
1x5x1 0x1 0x5x)x(P2345 +++++≡
a) 3 b) 11 c) 1d) 7 e) 2
32. Hallar el número de términos de un factor
primo en Q de :
1nnn2nn)n(F23467 −++++=
a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 6
33.Al factorizar: 36a1 09a25K24 +−=
uno de sus factores es :a) a + 3 b) 5a - 3 c) a - 3d) 5a - 1 e) 5a + 2
34.Factorizar el polinomio:
1x2xx)x(P245 −++= ; y dar como respuesta la
suma de coeficientes del factor de grado 3.
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Factorización Tercer Año
35. Señale Ud. el término de mayor grado de un
factor primo del polinomio : 1x3x3x3x2x)x(P
2457 −+−+−=a) x b) 3
x c) 4x d) 5
x e) 6x
TEMA Nº 07: FRACCIONES ALgEBRAICAS
Capacidades:
Reconoce y clasifica una expresión algebraica racional.
Opera con expresiones algebraica racionales.
Resuelve problemas con expresiones algebraicas.
Desarrollo del Tema:
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) : El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro
polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene
factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de factores primos comunes afectado de
sus menores exponentes.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) : El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro
polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los
polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados
de sus mayores exponentes.
Ejemplo:Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6
B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8
C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3
Rpta: como ya están factorizados el:M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2)M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)6 (x–2)4 (x+3)4 (x+7)6 (x+5)6
Propiedad:Solo para dos polinomios: A(x), B(x).Se cumple:M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)
EJERCICIOS :CALCULAR EL M.C.D. DE:
1. 8AM3N, 20X
2M
2.2. 18MN
2, 27A2M
3N
4.3. 15 A2 B3 C, 24 A B2 X, 36 B4 X2
4. 12 X2 Y Z3, 18 X Y2 Z, 24 X3 Y Z2
5. 42422232 186,18 xyayxayxa −6. 232 3,155 aaaa −−7. axaxxx 5,153 223 ++8. 2222 2, bababa +−−9. anamnm 33,33 ++
10. 8,4 32 −− xx
11. xxxaxax 6,42 232 −−+12. 2233 4,8 ayaxyx −+13. xabxaabbaa 23223 9,18122 −+−14. ( ) 2222 2,4 yxyx −−15. xxxx 99,33 35 −−16. baabababa 2322 ,, +++17. 23223 44,33,22 xxxxxx −−−
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
18. abaaba 44,22 22 −+19. 222323 189,66 yxyxyxyx +−20. 322332 84,12 bababa −21. aabab ++ 2,
22. 232 , xxxx −−23. 22232 2010,1530 yxaxyxax −−24. 169,19 22 +−− xxx
25. 2222 22,44 bababababa −+−++26. 24186,6033 22 −−−+ xxxx
CALCULAR EL m.c.m. DE:
1. abaaba 63,6,2 22 −2. 45322 55,, xxyxxy −3. 23432 8127,18,9 bababa +4. ayaxa 124,36 2 −5. 32322 52,12 yxyaxxy +6. 3222 63,6 abbaba +7. ( ) ( )222 12,8 yxyx −+8. ( ) ( )222 10,5 yxyx ++
9. ( ) ( )3323 4,6 nmbanma ++10. ( ) ( )3333 , nmxnmax −−11. 2422 ,33,22 aaaaaa −−+12. 6,34,2 222 −−+−−+ xxxxxx
13. 4,2,2 2232 −−+ xxxxx14.
222 9124,8143,6136 aaaaaa ++++++}
15. 55,1515,1010 22 −++ xxx
16. 4010,105 2 −+ xx
17. 2223 4,2 yxyxx −+18. 96,93 222 +−− xxaxa
19. 2222 9124,94 bababa +−−20. 22323 2, abbaabaa +++21. bbxbxaax 862,123 2 −++22. 152,25 23 −+− xxxx
23. ( ) 1,1 22 −− xx
24. 23423 152,4559 xxxxxx −+−+−25. 23436 42,324 axaxaxxx ++−−
FRACCIONES ALGEBRAICASFracción Algebraica: Una fracción algebraica, se obtiene como la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomio no constante.
Denotado: ( )( )xDxN
Donde:N(x): polinomio numerador (no nulo).D(x): polinomio denominador (no constante)
Ejemplo:
212
−+
xx
; 21
7
4
−+
xx
; 4
4822
−++
xxx
Signos de una Fraccióna) Signo del Numerador: +b) Signo del Denominador: –c) Signo de la fracción propiamente dicha: –
yxF
−+−=
OBSERVACIÓN:SI INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:
yx
yx
yx
yxF
−+−=
−−=
+−−=
+++=
Factorización Tercer Año
También:
BA
BA
BA −=−=
−Ejemplo: Sumar: x ≠ 0
( )yxy
yxx
xyy
yxxS
−−
−=
−+
−=
1=−−
=yxyxS
Regla para Simplificar FraccionesDebemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes:Ejemplo:
Simplificar ( )( )
611619
23
2
−+−−−=xxx
xxF
Resolución:
Factorizando y Simplificando: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
3321133
−+=
−−−−−+=
xx
xxxxxxF
Operaciones con Fracciones
1. Adición o Sustracción
Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores. Se presentan los siguientes
casos:
A) Para fracciones homogéneas:
Ejemplo: 2222 +++
=+
++
−+ x
zyxx
zx
yx
x
B) Para fracciones heterogéneas:
Ejemplo: bdfbdebfcadf
fe
dc
ba −+=++
C) Para 2 fracciones
Regla practica: ywyzwz
wz
yx +
=+
2. Multiplicación
En este caso se multiplican los numeradores entre sí y lo mismo se hace con los denominadores. Debe
tenerse en cuenta que antes de efectuar la operación puede simplificarse cualquier numerador con
cualquier denominador (siempre que sean iguales).
Ejemplo:
fdbeca
fe
dc
ba
....... =
77
71.2.
27.
1 −+=
−+−
−+
+ xx
xx
xx
xx
xx
3. División
En este caso, se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como una multiplicación. También se
puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios.
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
Ejemplo:
cd.
ba
dc
ba =÷ ... invirtiendo
bcad
dcba
=
Fracción Independiente
( ) 211
21
22
,ycxybxa
cybxyaxyxF++++
=
Es independiente de x e y-
⇒ kcc
bb
aa ===
111
k → cte.Importante: generalmente es conveniente simplificar las fracciones antes, y después operar fracciones.
Transformación de Fracciones en Fracciones ParcialesEste es un proceso inverso a la adición o sustracción de fracciones. Es decir una fracción se transforma en la adición o sustracción de fracciones que le dieron origen, veamos:Ejemplo:* Efectuar:
1x
x2
1x
1
1x
1
2 −=
++
−
* Transformar a fracciones parciales:
1x
1
1x
1
1x
x2
2 ++
−=
−
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar el M.C.D. de:
P = 20x4 + x2 – 1
Q = 25x4 + 5x3 – x – 1
R = 25x4 – 10x2 + 1
2. Hallar el M.C.M. de:
P = x2 – 2x – 15
Q = x2 – 25
R = 4ax2 + 40ax + 100a
3. Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(x) = x3 + 5x2 – x + 5Q(x) = x4 + 2x3 – 2x – 1
4. El grado del polinomio que se obtiene al multiplica el M.C.D. por el M.C.M. de los polinomios es:P(x,y) = x2 – x3y2 + x2y3 – y2
Q(x,y) = x3 – 2x2y + 2xy2 – y3
R = x2 + x3y2 – x2y3 – y2
5. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:
P = 3x3 + x2 – 8x + 4
Q = 3x3 + 7x2 – 4
E indicar el producto de sus factores no
comunes
6. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:
P(x) = x4 – 11x2 – 18x – 8
Q(x) = x4 – 1
R(x) = x3 – 6x2 + 32
7. El producto de dos polinomios es:
(x6 – 2x3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su
M.C.D. es
(x–1)2. Hallar el M.C.D.
Factorización Tercer Año
8. Hallar la suma de los términos del M.C.D. de los polinomios:P(x,y) = x3 –xy2 + x2y – y3
Q(x,y) = x3 – xy2 – x2y + y3
R(x,y) = x4 – 2x2y2 + y4
9. Si: A(x,y) = 12xn–1ym+1
B(x,y) = 16xn+1ym–1
Cumplen: M.C.M. = αxay4
M.C.D. = βx5YB
Calcular:
manbR
−+−+
=αβ
10. Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(x) = x3 + x2 – 4x – 4Q(x) = x3 + 3x2 + 2x
11.Efectuar: ( ) ( )
xyyya
xyxxa
xyaM
−+
+−
++= 2
2
2
22
12.Calcular el valor de:
nxnbb
nxnaa
n
n
n
n
2222 −+
−
Para:2
nn bax +=
13.Reducir:
( ) ( )( ) ( ) 33
222222
xaxaxaxaxaxa
−−++−−++
En seguida calcular el valor de la fracción resultante para x = 0
14. Simplificar:
( )( ) ( )( )
( )( )cabaa
cbabb
acbcc
−−+
+−−
+−−
2
22
15. Reducir:
ab
bababbaa
babbaa
+−
++++++ 122
3223
3223
16.La fracción : 2
x6x51
1x7
+−−
; se obtuvo
sumando las fracciones : x21
B;
x31
A
−− .
Calcular : (A.B).
a) 20 b) -20 c) 4d) -5 e) -4
17.26. Sabiendo que : x + y + z = 1.
Calcular : xyzxzyzxy
1zyxM
333
−++−++=
a) 1 b) -1 c) -3d) 3 e) 2
18. La expresión simplificada de :
22
44
b2ab2a
b4a
+++
es :
19.Si : ]1)5x(x[)5x(
1 3)x1 1x2(2
1)5x(x
CBx
5x
A2
+++++=
++++
+
Hallar : C
)BA( + .
a) 1 b) 64 c) 27d) 9 e) 16
20.La expresión : m
11
11
11
++
+
equivale a :
21.Efectuar:
)yx2
y21)(
yx8
yx8(
yxy2x4
xy82
Z
33
33
22
+−
−+
++−
=
a) 2 b) 3 c) 1d) 0 e) -1
22.Si:
1
22
111
11
22
ba
baN;
ba
baM
−
−−
−−−
−−
−−
−−=
+−=
Entonces MN, es igual a :23. Simplificar:
x
1x
1xx
1x1
1xx
1x1
4
3
23
5
−
−−
−+
−+
−−
ÁLgEBRA I.E.P. Corpus Christi
24. Sabiendo que :
+
++
+=
b
1a
1b
1aA
;
+
++
+=
a
1b
1a
1bB
. Calcular : B
A
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 – 1Q(x) = x4 + x2 + 1A) x2+x+1 B) x2+1C) x–1 D) x2–x+1E) x2–1
2. Hallar el número de factores primos en que se descompone el M.C.M. de lños polinomiosP(x) = x2 – 3x + 3Q(x) = x2 – 5x + 6R(x) = x2 – 4x + 3A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
3. El M.C.D. de:x4 + 2x3 – px2 + qx + rx3 + 7x2 – qx + 20es (x2+3x+5), hallar: pqr.A) –340 B) 340 C) 680D) –680 E) 170
4. El producto de dos polinomios es: (x2–1)2 y el cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x–1)2. Calcular el M.C.D.A) x+1 B) x2+1 C) –
(x+1)D) x–1 E) –(x–
1)
5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de:x3 + 9x2 + 24x – 24x3 + 2x2 – 13x + 10A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
6. Simplificar:
3a100a
a9a3a100a20a.
30a7aa27a
2
23
2
2
4
−−÷
÷++++
−+−
A) 103
−+
aa
B) 103
+−
aa
C) 33
+−
aa
D) 103
−−
aa
E) 1
7. Hallar el valor de E en la expresión:
baxbax
bxaxE
223
−++−−
−−= ; Para:
2bax +=
A) 1 B) a+b C) a–bD) (a–b)3 E) Cero
8. Luego de efectuar: xx
x2
1x
1
22 ++
−−
el numerador obtenido, es :
a) 3x2 + b) x - 3 c) x + 3
d) 2x + 3 e) 2x - 3
9. Efectuar:
1x
4
1x
1x
1x
1x
2 −+
+−
−−+
Indicar el cubo del denominador.
a) 3
x64 b) 64 c) 3x
d) 3
)1x( + e) 3
)1x( −
10.La fracción 4x3x
2x3
2 −−−
equivale a :
4x
n
1x
m
−+
+ , entonces; m - n es igual a :a) -1 b) 1 c) 2d) -2 e) -3
11. Efectuar:
1x
x2.
x
1x
2
2
−−
Indicar la octava parte del numerador simplificado.a) 0,25 b) 0,25x c) 0,125xd) 0,5x e) 0,625x
Factorización Tercer Año
12. Efectuar:
222ababa
b
bb
aa
1
+−÷
+−
a) a b) b c) abd) a/b e) b/a
13. Al simplificar:
ba
)ab(
b
1
a
12
−
−
Obtenemos (ma)(nb)
Calcular : 44
nm + , si : m, n ε Z.a) 17 b) 82 c) 2d) 626 e) 257
14. Simplificar las fracciones:
4x4x
2xx;
x2x
4x
2
2
2
2
++−+
+−
e indicar la suma de los denominadores.a) 2x - 2 b) 2x + 1 c) 2x - 1d) 2x + 2 e) 2x + 1
15. Simplificando: 1
b
a
b
ba
a
ba
2
+−
+
−
; obtenemos :
a) a b) b c) abd) a/b e) 1
16. Simplificando :
y
x1
11
1
−−
; tenemos :
17. Efectuando:
2
1
n1
n1
−
−
−+
Obtenemos en el numerador.
a) nn2 + b) n - 2 c) n - 1
d) n e) 1
18. Simplificar: nxx
4x
nxnxx
8x6x
2
2
2
2
+−
÷−+−
++
Señalar un término en el denominador.a) -7x b) -5x c) -8xd) 11x e) -3x
19. Simplificar las fracciones :
23
44
xy2x2
yx
+−
;
xyxax
yxayax
2
22
+−+−+
e indicar la diferencia de los denominadores.
a) 3x b) 4x c) x
2
1−
d) x e) 2x
20. Si la fracción :
22
22
b4ab3a2
b24nabm a)b;a(P
++++
=
es independiente de sus variables, entonces22
mn − equivale a : a) 210 b) 180 c) 120d) 144 e) 100
21. Efectuar :
2x5x2
4x
1xx2
3x2x
2
2
2
2
++−+
−−−+
a) 1x
x2
− b) 2 c) xd) 1 e) 0
22. Resolver :
+−
+−+
−+=
2x2
1x
1x
1x
1x
1x)x(f
2
2
a) x - 1 b) x + 1 c) xd) 1 e) 0
TEMA Nº 0 8: TEORÍA DE E C U A C I O N E S
Capacidades:
Despeja el valor de la incógnita, aplicando propiedades de transformación para la resolución de una
ecuación algebraica.
Reconoce y diferencia a las raíces y las diversas propiedades inherentes de las ecuaciones
polinomiales de primer y segundo grado.
Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado.
Desarrollo del Tema:
Ecuaciones: Son igualdades condicionales, en las que al menos debe existir una letra llamada incógnita:
Ejemplo: 2x - 1 = 7 + x
Es una ecuación de incógnita "x".
Solución de una ecuación: Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la ecuación, verifican la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución también se le llama raíz.Ejemplo : x - 3 = 10Solución o raíz : x = 13.
Observaciones:
1. Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican o dividen, factores que contengan a la incógnita, entonces, se perderán soluciones.(Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a cero).Ejemplo : (x+1)(x-1) = 7(x - 1)Solución : Simplificando :
(x-1) → x +1 = 7 → x = 6para no perder una solución :
x - 1 = 0 x = 1
2. Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a la incógnita, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas.(Esto se evita simplificando previamente).Resolver :
Ejemplo : 5
1x
1x2
=−−
(x-1) pasa a multiplicar: )1x(5)1x(2 −=−
Resolviendo:
4x1x
v e r i f i c an o
==
Manera correcta:
4x51x
)1x) (1x( =→=−
−+
única solución
3. Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas.
Ejemplo : 7x7x2 −=+
Elevando al cuadrado :
4 91 4 xx7x
22 +−=+
x = 3 ( n o v e r i f i c a l a e c u a c i n d a d a )ó
s o l u c i n e x t r a aó ñ
La ecuación no tiene solución, es incompatible.
Ecuaciones de Primer GradoSon aquellas ecuaciones que adoptan la forma :
a x + b = 0
Solución de la ecuación:
En : ax + b = 0solución o raíz : x = -b/a
Discusión de la raízEn : ax + b = 0 raíz : x = -b/aEntonces :Si : a = 0 b = 0 → Ec. IndeterminadaSi : a = 0 b =/ 0 → Ec. IncompatibleSi : a =/ 0 → Ec. Determinada.
Ejemplo :Hallar, "a" y "b", si la ecuación :
(a - 3)x + b = 5, es indeterminada.Solución :
Teoría de Ecuaciones Tercer Año
3a
b5x
−−=
si es indeterminada :
5 - b = 0 → b = 5a - 3 = 0 → a = 3
Ecuación de Segundo Grado (Cuadrática)
Forma General :
0cb xa x2 =++
donde :
x = incógnita, asume dos valores0a/Rc;b;a =/ε∧
Resolución de la Ecuación : 1. Por Factorización :
* Resolver la ecuación : 06xx2 =−−
factorizando :(x-3)(x+2) = 0
ahora : x-3 = 0; x+2 =0
despejando : x = 3; x = -2
luego : C.S. = {3; -2}
* Resolver la ecuación : 09x42 =−
factorizando : (2x+3)(2x-3) = 0
ahora : 2x+3 =0; 2x-3 = 0
despejando : x = -3/2; x = 3/2
luego : CS = {-3/2; 3/2}
2. Por la Fórmula General :
Si : 21 x;x son las raíces de la ecuación
0cbxax2 =++ ; 0a =/ , estas se obtienen
a partir de la relación :
a2
a c4bbx
2
2;1
−±−=
* Resolver la ecuación :
04x2x32 =−−
observar que : a = 3, b = -2 ; c = -4
)3(2
)4)(3(4)2()2(x
2
2;1
−−−±−−=
6
1 322
6
522x 2;1
±=±=
3
1 31x 2;1
±=
}3
1 31;
3
1 31{CS
−+=∴
Discriminante ( ∆ ) dada la ecuación cuadrática
en "x" : 0a;0cbxax
2 =/=++
se define como : a c4b2 −=∆
* Para la ecuación : 01x5x22 =+−
su discriminante es :
)1)(2(4)5(2 −−=∆825 −=∆
1 7=∆
Propiedad del Discriminante: el discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta; es decir :
1. Si: ∆ > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes.
2. Si: ∆ = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales.
3. Si: ∆ < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
Relación entre las Raíces y los Coeficientes (propiedades de las raíces) de una ecuación
cuadrática: si 21 x;x son las raíces de la ecuación cuadrática en "x".
0a;0cbxax2 =/=++
se cumple :
1. Suma: a
bxxs 21 −=+=
2. Producto: a
cx.xp 21 ==
* Para la ecuación :
01x1 0x22 =+−
2
1x.x;5
2
1 0xx 2121 ==−−=+
Observación: para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la identidad de Legendre.
)x.x(4)xx()xx( 212
212
21 =−−+
Casos Particulares : dada la ecuación
cuadrática en "x", 0cbxax2 =++ ; 0a =/ de
raíces 21 x;x , si éstas son :
1. Simétricas, se cumple: 21 xx + = 0
2. Recíprocas, se cumple: 21 x.x = 1
Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática en "x": siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
0ps xx2 =+−
Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes:
siendo :
0cbxax2 =++
0cxbxa 112
1 =++se cumple :
111 c
c
b
b
a
a ==
Ecuaciones Cuadráticas con una raíz común:
Sean: 0cbxax2 =++
0cxbxa 112
l =++
se cumple : 2
111111 )caa c()cbb c) (baa b( −=−−
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Resolver:
2x1x5x44x3 32 +=+−++
a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 1/5 e) 1/4
2) Calcular "x", en :
bx
1
ax
1
bx
1
ax
1
−+
−=
++
+a) a + b b) a - b c) ab
d) ba + e) ab
3) ¿Qué valor admite "a", si la ecuación:
07x1 5ax2 =−− Tiene una raíz que
es igual a -7?a) 4 b) 5 c) -3d) -1 e) -2
4) Si la ecuación: 3223
x2bxbxaba2axx3ax +−−=−+−es de primer grado, el valor de "x" es :a) 2 b) 3/2 c) 1/2d) -1 e) 5/2
5) Resolver la ecuación de primer grado en "x" :
)5x6(2)4x3(ax)x4a(232 +=++−
a) 1/25 b) 1/9 c) 1/36d) 1/4 e) - ¼
6) ¿Para qué valor de "m" la ecuación :
m3mx)6m5m(1m2 −=+− −
Es compatible indeterminada?
a) 2 b) 3 c) 2 ó 3d) -2 e) -2 ó -3
7) La ecuación :
6x5x
1 1xx2
2x
5x
3x
1x
2
2
+−−−=
−++
−+
Tiene como conjunto solución a:a) {3} b) {1} c) {2}d) {-3} e) { }
8) En la siguiente ecuación, determinar el valor de "y", si: x = 1.
2
5
1y
1yy2
1x
2xx
2
2
2
2
=−
−−+−
−+
a) 1 b) 0,1 c) 0d) Indeterminado. e) 2
9) Hallar el valor de "x", en :
05x
8x2
4x
3x
3x
2x =−−−
−−+
−−
a) 7/13 b) 11/3 c) 3/11d) 5/13 e) 6/13
10) Resolver la ecuación:
x
3
x11
1
x11
1=
−+−
−−a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 1/4 e) 1/5
11) Al resolver la ecuación :
Teoría de Ecuaciones Tercer Año
3x
44axx
2
−=+−
se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5, hallar el valor de "a".a) 3 b) 4 c) 9d) 16 e) 11
12) Calcular : "m.n", si la ecuación :
)1x(2
n3m x +=+
es compatible indeterminada.a) 12 b) 18 c) 72d) 54 e) 45
13) Hallar "x", en :
2m n
nm
n
nx
m
mx22
−+=+−+
a) m + n b) m c) n - m
d) n e) 2
)mn( −
14) Hallar "x" de la ecuación :
a
ba
b
ax
ba
b
2
=+
−−
+
a) 41 b) 21 c) 15
d) 20 e) 3
15) De la ecuación de primer grado mostrada:
)1x(nx)x51n(6n5n −=−+ ++
Calcular la suma de posibles valores que adopta "x".a) -9/4 b) -2/5 c) -2d) -7/5 e) -49/20
16) Sabiendo que: ca b cb ±≠≠∧≠Resolver:
ca
)ca(3bba
x
ab
cba
x
cb
aba
x
+
+−++=
−
−++
−
−+
a) (a+b) (a+b-c) b) (a+b) (a-b-c)c) (a-b) (a+b-c) d) (a+b) (a-b+c)e) (a+b) (-a-b-c)
17) Resolver la ecuación:
++++++
nbc
pacm abx
pac
nbcm abx
3qpacnbcm ab
qx
m ab
nbcpacx −=++
−++
Determinar el denominador positivo de dicha raíz.a) 2 b) mab + nbc + pacc) mnp d) 1 e) a + b + c
18) Si las soluciones de:
)xn()1m x(
)xm()1nx(
)xn()1m x(
)mx()1nx(
++−−++=
−++++−
son βα y tales que : α < β .
Hallar : 2
2- 3 βα .a) -5 b) 2 c) -1d) -3 e) 1
19) Resolver:
=−−++−−++−+−+
)ba(ababx2x)ba(x)ba(
)ba(ababx2x)ba(x)ba(
222
222
abbaa
baaba
2
2
−−+−−+
a) - a b) - b c) ab d) –a/b e) a + b
20) Al resolver la ecuación:
2
x
x
x8
8
x8454545
=+++
se obtiene : 1a
a2
cb −
Indicar el valor de: a + b - c.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
PROBLEMAS PARA LA CASA
1) Sea la ecuación de incógnita "x".
3xm6 =++ Si la solución es: x = 49.Hallar el valor de "m".
a) 4 b) 8 c) 5d) 13 e) 2
2) Resolver la ecuación si se reduce al primer grado en "x".
)Ra(;4ax3x5ax2ax
22 ε+−=++a) -1 b) -16 c) -15/17d) -1/17 e) -1/9
3) Si la ecuación :36x - 8 + 4ax + b = 13ax - b + 2Tiene infinitas soluciones.Hallar : ab.a) 10 b) 24 c) 20d) 32 e) 44
4) Resolver las ecuaciones mostradas:I. (3x - 1)(x - 8) = (2x + 7) (x - 8)
II. )8x)(9x(1 6)9x)(x8(x2 −−=−+
III. 3x
1x5
3x
16x
2
−+=
−++
IV. 4x32xx2 −=−+
5) Resolver: 1x
1
1x
4x
1x
3x2
−−
++=
−−
Indicando, luego: 1x2 −
a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 5
6) Hallar "x" en :
ba;
bx
1b
xa
ba
bx
1a=/
++
=−−
−++
a) bx
ba
++
b) xa
ba
−−
c) 2
ba +
d) 2
ba −
e) ab
ba +
7) Resolver : 31x2x =−−+
; e indicar la suma de cifras de : 3x + 8.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15
8) Hallar el valor de "n" para que la ecuación:
1nnx7nx)1 0n(2n2 −+=++ −
Sea incompatible.a) 8 b) 5 c) 2d) 7 e) Dos anteriores son correctos.
9) Indicar la suma de soluciones de :
4x
x2)5x(1 6
4x
x2)5x(x
2
−−
+−=−−
+−
a) 5 b) 9 c) -1d) 1 e) -4
10) Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones de :
1 0x3x
1)6x)(2x(x)2x)(6x(
1 0x3x
1
2
2
2 −−+−+=+−+
−−a) 5 b) 9 c) -1d) 1 e) -6
11) Luego de resolver:
a2
ax4
axax
axax −=−−+−++
Señale: 22
aaxx ++
a) 2
a1 6
25
b) 2
a1 6
61
c) 2
a4
5
d) 2
a1 6
9
e) 2
a25
61
12) Al resolver la ecuación:
2
1 7x5x2
1 5x1 7x2
1 5x1 7x2
1 7x5x2
2
2
2
2
=−+−++
−+−+
a) Hay 2 valores para x.b) x es par.c) x es negativo.d) x es positivo.e) Hay 2 correctas.
13) Luego de resolver:
22x3x2
6x5
x
4
x2x3
2
2x3
4
−−+=
−+
−Se afirma:I. El conjunto solución = {2/3}.II. La ecuación es compatible indeterminada.III. La ecuación es inconsistente.a) VVV b) FFV c) VFVd) FFF e) VVF
14) Si la ecuación :
52
1 2x
n2
5n6
5
1 5nx +−=+−+
Presenta solución única en "x".Calcular los valores que adopta "n"
a)
−
2
3 R
b) { } 0;1 /3 R −
c) { } 3/2 1 /3; R − d) { } 1 /3 R −
e) { } 5/2 ; 0 R −
15) Calcular el valor de "n" a partir de la ecuación incompatible en "x":
Teoría de Ecuaciones Tercer Año
)1 0x4(n
17)1x(n +=+−
Dar como respuesta:
2n
n
1 +
a) 9/2 b) 7/2 c) -2d) -5/2 e) 5/2
16) Dada la ecuación indeterminada en "x":
[ ]c)5x2(b3
1)2x(a −+=+
Calcular el valor numérico de:
abc
cbaR
333 +−=
a)
3
8
5
b)
2
3
1
c)
2
2
5
d)
2
4
3
e)
2
3
2
17) Resolver :
522x22x3x −+=−+−a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5
18) Resolver la ecuación:
7
1x3xx9 +=+
19) Resolver : 34x33x =++−
Dar como respuesta : 2x + 1.
20) Resolver: 1)
x
b1(
a
b)
x
a1(
b
a=−+−
a) a + b b) a - b c) ad) b e) ab
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Resolver:
)4x)(9x()4x)(3x(x222 +−=+−
e indicar lo correcto :a) Tiene dos soluciones enteras.b) Tiene tres soluciones negativas.c) La mayor solución es 4.d) Tiene una solución fraccionaria.e) Tiene tres soluciones.
2. Resuelva las ecuaciones respectivamentea.
2562
13
2
13
22
++
−=
+ xxx
b. ( ) xbaabx 3232 2 +=+c. ( ) ( ) ( ) ( )2323 −−=++ xxxx
A) { }0;2
3;;
−− b
aφ
B) { } φ;2
3;;0
b
a
C) { }0;2
3;;
b
aφ
D) { } { }0;2
3;;0
−− b
a
E) φφ ;2
3;;
−− b
a
3. Si 1x y 2x son raíces de la ecuación
0742 2 =+− xx , calcular: 21
2
2
1 ++x
x
x
x
A) 7
4 B)
7
2 C)
7
8
D) 2
7 E)
4
7
4. S a y b son raíces de la ecuación en “x”
( ) ;05 22 =++− nxnx calcule el valor de “n”
sabiendo que se cumple 522 =++ babaA) 1 B) 2 C)
3D) -1 E) -2
5. En la ecuación 22 −=++ mmxx , una raíz excede a la otra en 2 unidades. Calcule los valores de m
A) 26 −− v B) 26v C)
26v−
D) 48v E) 26 −v
6. Si 2 es una raíz de la ecuación en “x”
xnnx 5123 22 =−−+ , calcular la otra raíz.
A) 3
2 B)
3
2− C)
3
1−
D) 2 E) -2
7. Si la ecuación en “x” ;01262 =+++ nxxposee solución única; calcule el valor de
12 +− nnA) 21 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17
8. ¿Cuál es la ecuación cuadrática que admite
por raíces los números? 3-2
1y
32
1
+A) 142 +− xx B) 142 −− xxC) 422 −− xx D) 12 −− xx
E) 142 ++ xx
9. Si { }α;3 es el C.S. de la ecuación en “x”
0632 22 =++− nnxx calcule n+α
A) -3 B) 3
2− C) 2
3
D) 2
9− E) 3
2
10. Si las raíces en “x”
( )( ) ( ) 012
052
2
=+−−+
=+−+
nxnx
nnxx
Poseen una raíz común. Calcule 21+n
A) 1 B) 2 C) 5
D) 10 E) 26
11. Si las ecuaciones cuadráticas
( )( ) 61
1212
2
−−=
−+=
xax
xax
Poseen una raíz común. Calcule la suma de las soluciones no comunes.
A) 7 B) 9 C) 5
D) 11 E) 6
12. Encuentre los valores de “a” de modo que la ecuación cuadrática en “x” tenga solución única. ( ) 03694 222 =+++ axax
A) ± 1 B) ± 2 C)
3
2±
D) 2
3± E) 2
1±
13. Si “m” es la diferencia de raíces de la ecuación cuadrática: 1532 =++ nmxx
Calcule 2
2n
A) 25 B) 9 C) 5
D) 1 E) 5
9
14. Si “a” y “b” son raíces de la ecuación
( ) 03 22 =+++ nxnnx y además se cumple
que: 122 =+ba
; un valor de 8
2 3nes
A) -1 B) 2 C) -8
D) 16 E) -2
15. Si en la ecuación cuadrática
012 =++ bxax ; una raíz es el triple de la otra, la relación entre a y b es:
A) ab 163 2 = B) ab 162 =
C) 4
32 ab = D) ab 34 2 =
E) 22 163 ab =
16. Si { }m es el conjunto solución de la ecuación
( ) 042 22 =++− axax ; forme la ecuación
cuadrática que tiene por raíces a los valores de “a”.
A) 0422 =++ xx
B) 04415 2 =++ xx
C) 04415 2 =−− xxD) 041615 2 =−+ xx
E) 041516 2 =++ xx
17. Si “a” es un numero entero positivo además α y β son raíces de lea ecuación en “t”.
Teoría de Ecuaciones Tercer Año
011
22 =
−+
+−
aat
aat ;
calcule: 22 βαβα ++
A) 2A B) a
a1− C)
aa
12 +
D) 4 E) 2
18. { }21; xx es el conjunto solución de la
ecuación en “x” 0122 =+− xxCalcule: ( )3
221
22
314 xxxx +
A) 1 B) 2 C) 3
D) 0 E) 5
19. Resuelva las ecuaciones cuadráticas.I. xx 412 =−
II. ( ) ( ) 112 22 ++= xx
III. 0152 =+− xx
A) { }
±
±±
2
15;
3
71;52
B) { } { }
±±±
2
15;71;51
C)
±
±
±
2
15;
2
71;
2
51
D) { } { } { }15;71;51 ±±±
E) { }
±−
±−±−
2
51;
3
71;52
20. Calcule la ecuación cuyas raíces sean la suma y el producto de raíces de la ecuación
0732 2 =++ xxA) 042294 2 =+− xx B)
042294 2 =++ xxC) 042294 2 =−− xx
D) 042294 2 =−+ xxE) 02184 2 =−− xx
21. Calcule el valor de “m” en la ecuación de
052 =+− mxx ; 0<m , si sus soluciones
verifican 3=+a
b
b
a
A) 5 B) -5 C) 2D) -2 E) -3
22. Calcule el valor “n” de modo que la diferencia de cuadrados de las raíces de
072 =+− nxx sea 21.A) 1 B) 5
C) 10D) 7 E) 9
23. Resuelva la ecuación
0116 23 =++− axxx , si x =1, es una solución. Indique la suma de las ecuaciones positivas.
A) 1 B) 0 C) -6
D) 6 E) 2
24. La ecuación 0132 =+− xx posee como
C.S. = { }ba; . Calcule el valor de
33 −+
− b
b
a
a
A) 7 B) 5 C) 6
D) -7 E) -6
25. Sea la ecuación
0234 =++++ dcxbxaxx ; cuyo C.S. es
{ }201;201;1;1 − . Calcule el valor de: b – a + d – c.
A) 1 B) -1 C) 2
D) 0 E) 3
26. Al resolver la ecuación:
41x3
xx3
2x
4x22
=−−+
−−
, se obtiene:a) x = 0 b) x = 2c) E. Incompatible d) x = 1e) x = -2
27. Si la ecuación:
1 8x2ax2ax2x)4a3(22 +−=++−
Se reduce a una de primer grado en x".Indicar el valor de "x".a) 5/2 b) 4/3 c) 8/3d)2/5 e) 3/4
28. Si : ""γ
es una raíz de la ecuación :
1xx2 =+
Calcular: 1
85
+γ+γ
a) 5 b) -5 c) 3d) -3 e) 1
29. Una de las soluciones de la ecuación mostrada:
)xa(b7)5x)(bx(ax)1a2(2 +=+−−− es 2.
Dar el equivalente de: 1b
b3aE
−+=
a) 3/4 b) 2/3 c) 5/6d) 1/2 e) 7/8
Sistema de Ecuaciones Tercer Año
TEMA Nº 0 9: SISTEMA DE ECUACIONES
Capacidades:
Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no con dos y tres variables
Desarrollo del Tema:
SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES
Un sistema de tres ecuaciones con tres variables (incógnitas) es de la forma:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
=++=++=++
a1, a2, a3, son los coeficientes de “x”b1, b2, b3, son los coeficientes de “y”c1, c2, c3, son los coeficientes de “z”d1, d2, d3, son los términos independientes
Un sistema de ecuaciones de primer grado con tres variables (incógnitas) puede ser resuelto por los siguientes métodos:Por reducción Por sustitución Por igualación Por determinados o por el método de Cramer
Método por Reducción Se elimina una de las incógnitas tomando de dos en dos las ecuaciones. Esto nos permite formar un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos.
Ejemplo 1: Resolver el sistema: x + y + z = 6 ……….. (1)2x – y + z = 3 ,,,,,,,,,,,,. (2)4x – y – z = 4 ……….. (3)Resolución:Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) x + y + z = 6 ……… (1)2x – y + z = 3 ……… (2)
Σ M.A.M: 9z2x3 =+ ……… (4)
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (3)
x + y + z = 6 ……… (1)4x – y – z = 3 ……… (3)
Σ M.A.M: 5x = 10⇒ ∴ 2x =
Reemplazamos el valor de “x” hallado, en la ecuación (4); obteniendo:3 (2) + 2z = 9 ⇒ 6 + 2z = 9 ⇒ 2z = 3
⇒ ∴ 2/3z =Reemplazando los valores de “x” y “z” en (1)
2/5y2
76y6
2
3y2 =∴⇒−=⇒=++
Rpta.: El conjunto solución del sistema es: S = {2 ; 5/2 ; 3/2}
Método por Sustitución
Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituyen en los otros para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Ejemplo 2: Resolver el sistema:
2x – 3y + z = 1 …………..…… (1)
5x – y – 2z = -10 …………….. (2)
2y + 3z = 6 ………………….… (3)
Resolución:
De la ecuación (3), despejamos “y” 2y + 3z = 6 ⇒ 2y = 6 – 3z
2
z36y
−=∴⇒ ……… (4)
4x – 18 + 9z + 2z = 22
11z + 4x = 40 ………….. (5)
Sustituimos el valor de (4) en (2):
20z4z36x10
20z4)z36(x10
10z22
x36x5
−=−+−−=−−−⇒
−=−
−−
10x – z = -14 ………. (6)
Despejamos “z” de la ecuación (6):10x – z = -14 ⇒ 10x + 14 = z⇒ ∴ z = 10x + 14 ……… (7)
Sustituimos el valor de (4) en (1):
⇒ Donde:
22z2)z918(x4
11z2
z363x2
=+−−⇒
=+
−−
Reemplazamos (7) en (5):11(10x + 14) + 4x = 40 ⇒ 114x + 154 = 40⇒ 114x = -114
∴ 1x −=
Reemplazamos el valor de “x” hallado en la ecuación (7):
Z = 10(-1) + 14 ⇒ ∴ 4z =
Reemplazamos el valor de “z” hallado en (4):
3y2
)4(36y −=∴⇒−=
El conjunto solución del sistema es: S = {-1; -3; 4}
c) Método de igualación:Se despeja una incógnita de las tres ecuaciones y se igualan sus valores dos a dos, quedando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Ejemplo 3: Resolver el sistema:2x + y + z = 1……… … (1)
3x + 2y + 2z = 1……… (2)
x – 2y – z = 0………… (3)
Resolución:En cada una de las ecuaciones dadas, despejando la incógnita “x”
)III.........(zy2x0zy2x
)II(..........3
z2y21x1z2y2x3
)I(..........2
zy1x1zyx2
+=⇒=−−
−−=⇒=++
−−=⇒=++
Igualamos las ecuaciones (I) y (III):
)a(.........................z3y51
z2y4zy1
zy22
zy1
+=⇒
+=−−⇒
+=−−
Igualamos las ecuaciones (II) y (III):
)b(.........................z5y81
z3y6z2y21
zy23
z2y21
+=⇒
+=−−⇒
+=−−
Igualamos las ecuaciones (I) y (II)
)c(.........................1zy
z4y42z3y333
z2y21
2
zy1
−−=⇒
−−=−−⇒
−−=−−
Sustituimos el valor de “z” en la ecuación (a)
3z
6x25z21z3)1z(51
−=∴⇒
−=⇒−−=⇒+−−=
Reemplazamos el valor de “z” en la ecuación (a)
2y
6x2)3(3y51
=∴⇒
−=⇒−+=
Reemplazamos los valores de “y” y “z” en la ecuación (1):
1x2x21)3(2x2 =∴⇒=⇒=−++Luego, el conjunto solución del sistema es:
d) Método por Determinantes o Método de Cramer:
Supongamos el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes literales.
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
=++=++=++
=
=
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
;;
c
c
c
b
b
b
a
a
a
d
d
d
b
b
b
a
a
a
z
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
c
c
d
d
d
a
a
a
y
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
c
c
b
b
b
d
d
d
x
Ejemplo 4: Resolver el sistema2x + y + z = 1………… (1)3x + 2y + 2z = 1……… (2)x – 2y – z = 0………… (3)
Resolución: El sistema dado, se puede escribir así:
2x + y + z = 1 ………… (1)3x + 2y + 2z = 1 ……… (2)1x – 2y – 1z = 0 ……… (3)
El método de Sarrus: consiste en añadir las 2 primeras filas y luego hallar la determinante; a través de la suma de los productos (de elementos) de las diagonales principales, menos el producto de cada diagonal secundaria.
}3;2;1{ −=S
Sistema de Ecuaciones Tercer Año
Para el numerador:
1)1()4()0()0()2()2(
221
111
120
221
111
=−−−−−+−+−=−−
Para el denominador:
1)1()4()0()0()2()2(
221
111
120
221
111
=−−−−−+−+−=−−
Luego: 1x1
1x =∴⇒=
Para la variable “y” procederemos de igual modo como se ha hecho para la variable “x”.
2y1
2y
121
223
112101
213
112
y =∴⇒=
−−
−=
Para la variable “z”, hacemos igual como los casos anteriores.
3z1
3z
121
223
112021
123
112
z −=∴⇒−=
−−
−=
Luego el conjunto solución del sistema es:
}3;2;1{S −=
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Resolver:
52y45x3
32y35x2
=−−+
=−−+
2. Resolver:
7y2
9
x3
10
7y3
10
x2
9
−=−
=−
3. Resolver:
33y
12
4x
14
63y
9
4x
6
=+
+−
=+
+−
4. Resolver el sistema:2x – 3y + z = 11
5x – y – 2z = -102y + 3z = 6
5. Resolver el sistema:x + y + z = 19x + y = 16y + z = 12
6. La suma de tres número es 32, la suma de los dos primeros es igual al tercero; y la semisuma del primero con el tercero es igual al segundo aumentado en 1 ¿Cuáles son los números?
7. Resolver:5x – 4y + 6z = 282x + 5y – 7z = 343x – 2y + 5z =30
8. Resolver:
; Aplicamos el método de Sarrus en el numerado y denominador.
Por el método de Cramer, obtenemos:
3z
8
y
6
x
2
8z
4
y
8
x
6
6z
2
y
4
x
3
=+−
=−+
=++
9. Resolver:
65
yx
87
zy
10z2
x
=−
=−
−=−
10. Resolver:x + y + z = 60x – y = 1x + y – 3z = 0
11. Resolver el sistema:2x + y – 1 = x + 3y – 3 = 3x – y + 1 = 20
12. Resolver:
5z
1
y
1
4z
1
x
1
3y
1
x
1
=+
=+
=+
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Resolver el sistema e indicar la mayor solución:2x + 3y = -22x – 6y = 1
A) ½ B) ¼ C) 1/3 D) 1/5 E) 2
2. Si
y6x32
33y5x7
=−
=+
Son dos ecuaciones simultaneas, hallar el valor de (x-y)
A) ½ B) 2
1−
C) 3
1D)
3
1− E) 4
3. Resolver:
2yx4
3
1y3x
=−
=+
y dar como respuesta el valor de “ x ”
A) 12
28B)
13
28
C) 14
28D)
15
28E) 6
4. Resolver:
312
7yx5
8
yx4
85
yx2
3
y3x2
=−+++
=+++
A) 3,5 B) 3,3C) 3,4 D) 3,6 E) N.A.
5. Resolver:
4y3
18
x2
8
0y
9
x
6
=+
=−
A) 13
5;
13
28 − B) 12
5;
12
28
C) 12
5;
12
25 − D) 12;12
16E) N.A.
6. Resolver el Sistema
17zyx2
16zy2x
15z2yx
=++=++=++
A)
3z
4y
5x
===
B)
5z
4y
3x
===
C)
1z
2y
6x
===
D)
3z
2y
8x
===
E)
10z
8y
3x
===
7. Resolver:
2515x5z24zy41y2x3 =−+=++=−+
Sistema de Ecuaciones Tercer Año
2z2yx3
0zy4x2
0z3yx
−=−+=−+
=+−
A)
19
46z
19
3y
19
17x
=
=
=
B)
9z
19y
3x
===
C)
20z
19y
11x
===
D)
0z
1y
4x
===
E)
7z
6y
5x
===
8. Resolver:188zy47z3x5y2x3 =+−=−+=+−
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
9. Resolver:
73
z
2
y
2
x
32
z
4
y
3
x
14
z
3
y
6
x
=−+
−=−+
=−+
e indicar la solución mayor: A) 18 B) 16 C) 24 D) 20 E) 26
10. Resolver:
3z2yx3
10z2y2x
2zy3x2
−=−+=+−=−+
Dar la menor solución:A) 5 B) 4C) 3 D) 2 E) 1
11. Resolver: E indicar x
A) 6 B) 4 C) 5 D) 1 E) 8
12. Resolver:
12z3yx
10zy3x
8zyx3
=++=++=++
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SISTEMAS LINEALES
Forma General:Consideremos un sistema lineal de "m"
ecuaciones con "n" incógnitas.
=+++++
=++++
=++++
nnm n33m22m11m
2nn232 322 212 1
1nn131 321 211 1
bxa. . .xaxaxa
bxa. . .xaxaxa
bxa. . . . . . . . .xaxaxa. .........
. .........
. . . . . .
Donde:,,, 321 xxx ......... nx∧ son las incógnitas, siendo
el conjunto solución de la forma: )}x.....;x;x;x{ (C S
n321=
Observación: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, existen diversos métodos como por ejemplo:* Método de Sustitución.* Método de Reducción.* Método de Igualación.
* Método Matricial.* Método de Cramer (Determinantes).
Sistema Lineal Homogéneo: Es aquel donde los términos independientes son nulos (ceros).Ejemplo:
=−−=++=−+
)3(.....0z2y3x
)2(.......0zyx2
)1(.......0zy2x
Un sistema lineal homogéneo siempre es compatible donde una de sus soluciones es la solución trivial (cada incógnita es igual a cero). Para el ejemplo:Solución trivial = (0; 0; 0). Asimismo, el sistema lineal homogéneo puede tener otras soluciones, las llamadas no triviales.
Resolución de un Sistema lineal según el Método de Cramer : Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n" incógnitas :
=++++
=++++
=++++
nnn n33nn2n11n
2nn232 322 212 1
1nn131 321 211 1
bxa. . .xaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
. .........
. . . .
. . . .
Consideremos:
1. Determinante del Sistema ()
nn3n2n1n
n2232221
n11 31 21 1
s
aaaa
aaaa
aaaa
=∆
2. Determinante de una Incógnita ()Se obtiene a partir del determinante anterior, reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los términos independientes.
nnn2n1n
n222221
n111 21 1
i
abaa
abaa
abaa
=∆
cada incógnita del sistema se obtendrá, según la relación.
n;1i;x
s
i
i=∀
∆∆
=
Ejemplo :
Resolver :
=−=+
)2(......3y2x3
)1(......7y5x2
observar que :
)5)(3()2)(2(23
52
s−−=
−=∆
= -4 - 15 = -19
)5)(3()2)(7(23
57
x−−=
−=∆
= -14 - 15 = -29
)7)(3()3)(2(33
72
y −==∆
= 6 - 21 = -15
1 9
29xx
s
x =→∆∆
=
1 9
1 5yy
s
y =→∆
∆=
=∴ )
1 9
1 5;
1 9
29(CS
Teorema: Dado el sistema lineal homogéneo.
=++++
=++++
=++++
nn n33n22n11n
nn232 322 212 1
nn131 321 211 1
xa. . .xaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
. .........
. . . .
. . . .
0
0
0
si este admite soluciones aparte de la trivial, el determinante del sistema deberá ser nulo, es decir:
0
aaaa
aaaa
aaaa
nn3n2n1n
n2232221
n11 31 21 1
=
Análisis de las Soluciones de un Sistema LinealDado el sistema:
=++++
=++++
=++++
nnn n33n22n11n
2nn232 322 212 1
1nn131 321 211 1
bxa. . .xaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
. .........
. . . .
. . . .
Donde la solución se obtiene a partir de:
s
i
ix
∆∆
=, luego:
1. El sistema tiene solución única, si y sólo si: 0
s=/∆
.2. El sistema tiene infinitas soluciones, si y sólo
si: 00
si=∆∧=∆
.3. El sistema no tiene solución si siendo
0s
=∆ , existe algún
0i
=/∆.
PropiedadUn caso particular de lo visto anteriormente se presenta en el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
=+=+
)2(....cybxa
)1(....cbyax
111
Sistema de Ecuaciones Tercer Año
1. El sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única, si se verifica:
11b
b
a
a =/
2. El sistema será compatible indeterminado, es decir, tendrá infinitas soluciones, si se verifica:
111c
c
b
b
a
a ==
3. El sistema será incompatible, es decir no tendrá solución si se verifica:
111c
c
b
b
a
a =/=
SISTEMAS NO LINEALESCriterios de Resolución:
1. Si el sistema está conformado por ecuaciones de diferentes grados se deberá encontrar una nueva ecuación en función de una sola incógnita, para a partir de ésta determinar las soluciones del sistema.Ejemplo:
Resolver :
==+
)2(.....1 0xy
)1(......7yx
De la ecuación (1) : x = 7 - yReemplazando en (2) : (7-y)y = 10
Efectuando, tenemos : 01 0y7y2 =+−
(y-5)(y-2) = 0De donde, obtenemos : y = 5 ∨ y = 2Si : y = 5 en (2) : x = 2 Sol : (2; 5)Si : y = 2 en (2) : x = 5 Sol : (5; 2) CS = {(2; 5), (5; 2)}
2. Si el sistema está formado por ecuaciones, cuya parte literal es homogéneo y de igual grado se recomienda realizar la siguiente sustitución: y = Kx, donde el parámetro "K"
se determinará por eliminación de las incógnitas x ∧ y.Una vez encontrado el valor de "K", fácilmente se obtendrá el valor de cada incógnita del sistema.Ejemplo:Resolver:
=++
=++
)2(........1 5y3xyx
)1(........21y3xy3x
22
22
Hagamos: x = Ky
Reemplazando en (1) :
21)3K3K(y22 =++
Reemplazando en (2) :
1 5)3kK(y22 =++
Dividiendo m.a-m: 5
7
3KK
3K3K2
2
=++++
De donde, obtenemos : 03K4K2 =+−
K = 3 ∨ K = 1Como : x = Ky x = 3y ∨ x = y
en (1) con x = 3y : 21y3y9y9222 =++
21y212 =1y
2 = y = 1 ∨ y = -1 ↓ ↓ x = 3 ∨ x = -3
Soluciones (3; 1) y (-3; -1)
en (1) con x = y : 21y3y3y222 =++
21y72 =
3y2 =
y = 3 ∨ y = - 3↓ ↓
x = 3 ∨ x = - 3
Soluciones: )3;3(y)3;3( −−
)}3;3(),3;3(),1;3(),1;3{ (CS −−−−=∴
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si el sistema:
=++−=−++
b2y)2b(x)2b(
a2y)3a(x)3a(
Tiene solución única, hallar : b
a
.
a)
−
2
3R
b)
−
3
2R
c)
−−
3
2R
d)
−−
2
3R
e) }0{R −
2. Si :
20yx
1 0x;1 4yx
=+>=−
Entonces : y
x
, es :a) 1 b) -1 c) 0d) 8 e) 4
3. Calcular : 33
yx + , si :
4yx
xy3
yx
xy5=
−=
+a) 63 b) 28 c) 26d) 65 e) 0
4. Si el sistema:3x + 5y = 12ax - by = 8Tiene infinitas soluciones. Hallar el valor de "a-b".a) 52 b) -12 c) 34d) -28 e) 16
5. Indicar un valor de "xy", al resolver:
9yx
4yxyx
22 =−
=−++
a) 12 b) -18 c) 18d) 20 e) 24
6. Respecto al conjunto:A= {(x, y)/2x+3y - 6=0; 4x - 3y - 6 = 0; x - 1 = 1; 3y = 2}a) Tiene 6 elementos.b) Tiene 4 elementos.c) Tiene 1 elemento.d) Es el conjunto vacío.e) Tiene un número ilimitado de elementos.
7. ¿Para qué valores de "m" el sistema de ecuaciones:
2x + 7y = m3x + 5y = 13
Tiene soluciones positivas?
a) 5
91m
3
26 <≤b) 5
91m
3
26 ≤<
c) 5
91m
3
26 ≤≤d) 5
91m
3
26 <<
e) 9 < m < 11
8. Determinar la única solución del sistema:
)2(....nx1 3y
)1(....1 44yx22
=+=+
Si: n > 0; proporcionando el valor de: )
x
y(
a) -7/6 b) -12/5 c) 7/12d) 5/7 e) 3/5
9. Dado el sistema:
=+=+
7y2x
25y4x22
Si: 2y > x, entonces el valor de y
x
es :a) 1 b) 3/2 c) 2d) 8/3 e) 3
10. Hallar "n", para que el sistema sea incompatible:
(n + 3)x + 2ny = 5n - 9(n + 4)x + (3n - 2)y = 2n + 1a) -1 b) -2 c) 0d) 1 e) 2
11. Hallar "a+b", de modo que el sistema:
=++=+−
5y)1b(x2
1 0y4x)1a(
Posea infinitas soluciones.a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
12. Si : x, y, z son enteros y no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema :
xyz3zyx333 =−−
)zy(2x2 +=
Se concluye que :a) Existen cuatro soluciones.b) Existen tres soluciones.c) Existen sólo dos soluciones.d) No existen soluciones enteras.e) Existe más de cuatro soluciones.
13. El conjunto de soluciones del siguiente sistema :
222ryx =+
y = r; para: r > 0 es:
a)φ
b) Conjunto unitario.c) Un conjunto de dos elementos.d) Un conjunto de tres elementos.e) Un conjunto de cuatro elementos.
Sistema de Ecuaciones Tercer Año
14. El mínimo valor de "z" que satisface el sistema de ecuaciones:
1 2yx =+zyx
22 =+Es:a) 9 b) 18 c) 36d) 72 e 144
15. Si :
=−−=++−
=++
0cb5a3
0cba
2cba
Entonces: c2
b
5a2 −+
es igual a :a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9
16. Sea "m" un entero, tal que el sistema de ecuaciones :
2x + 3y = 8mx - y = 373x + 8y = m
sea compatible. Si : ( 0x, 0y ) es la solución
de dicho sistema. Hallar el valor de:)yx(mE 00 +−=
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
17. Hallar el valor de "a" para que el sistema tenga solución única :
=++=+
azyx
zyx22
a) a = 1 b) a = 2/3c) a = 4/3 d) a = -2/3e) a = -1/2
18. Resolver en 2
R el sistema de ecuaciones:
)2(....9yxyx
)1(.....2
3
x
y
y
x
=++
=−
Indicando el menor valor que toma "x".a) 2 b) 3 c) 4d) -2 e) -3
19. Resolver:
7y2xyx
5y2x3
2 =+−
=−
a) (x = 1, y = 8) y (x = 3, y = 9/2)b) (x = 2, y = 3) y (x = 8, y = 9/2)c) (x = 2, y = 9/2) y (x = 3, y = 1)d) (x = 3, y = 5) y (x = 2, y = 8/3)e) (x = 3, y = 2) y (x = 8, y = 19/2)
20. Hallar el producto de los valores de "x+y", que resuelve el sistema:
xy1 1 3yx22 −=+
x + y = 43 - xya) 112 b) -156 c) 121d) 171 e) -171
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. El sistema de segundo grado :
)1(.........1 6yx22 =+
)2(.........m x5y =+Para un cierto valor de "m" admite solución única. Obtener dicho valor de "m".a) 3/4 b) 1/4 c) 7/4d) 1/2 e) 1/5
2. ¿Cuántas soluciones no nulas tiene el sistema:
3xy + 2z = xz + 6y = 2yz + 3x = 0 ?a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Resolver:(x + y) (x - y) = 11 ......... ( 1 )(y + 3) (y - 3) = x ......... ( 2 )Indicando uno de los valores obtenidos para "x" ó "y".
a) - 6 b) - 2 c) 3
d) - 5 e) - 1 0
4. Indicar "z" al resolver :
=++−=++=−=−+
2wyx2
2zyx
7z3x2
5wy2x
a) -1 b) 2 c) -3d) 0 e) 8
5. El valor positivo de "x+y+z", del sistema:2x + y + z = xy + yz2y + x + z = xz + xy2z + x + y = xz + yz
2zyx222 =++
a) 2 + 6 b) 2 + 5 c) 2 + 7
d) 2 + 3 e) 2 + 2
6. Determinar la suma de valores que adopta "k", de tal manera que el sistema lineal homogéneo :
(1 - k) x + y - z = 02x - ky - 2z = 0x - y - (1 + k) z = 0
Admita también soluciones no triviales.a) 12 b) -2 c) 4d) -9 e) 0
7. Hallar: (a+b), para los cuales las ecuaciones:
01 8axx23 =++
01 2bxx3 =++
Tienen 2 raíces comunes.a) 4 b) 6 c) 3d) 5 e) 16
8. Luego de resolver el sistema:x + y + z = 5........ (1)
1 2
1
z
1
y
1
x
1 =++...... (2)
xy+yz+xz = -2 ..... (3)Señale el menor valor que toma "x".a) 2 b) 3 c) 4d) -2 e) -3
9. El sistema:
+=−+
=+−
1az3yx
35zyx
2
Además: x, y, z; son proporcionales a los números 4, 2, 5; respectivamente. Hallar el valor de "a".a) 333 b) 334 c) 335d) 331 e) 925
10. Dar el valor de "a", si para : (x; y) = (5; y0) el sistema verifica :
−=++−=+++
)2(...1y)2a(x)1a2(
)1(...1y)3a(x)1a2(
a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6
11. Hallar : yx
yx
−+
, del sistema :
−=−
−=−+
+
)2(...x1 35)yx(1 1
)1(...91 5yx
y2x3
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12. ¿Cuántas soluciones tiene?
1 3yx22 =+
1 1|y|x2 =+
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
13. Al resolver el sistema:
4
5
1y
3
x
1 =+
+
4
1 5
1y
7
x
4 =+
+
se obtiene :a) x = 1, y = 2b) x = 2, y = 1c) x = 1, y = 3d) x = 3, y = 3e) x = 2, y = 3
14. Sea la terna (a; b; c) solución del sistema de ecuaciones:
7x + 4y - 4z = 77y + 5z = 1211y + 8z = 10Entonces, la suma (b + c), es igual a:a) -100 b) -112 c) 1d) 80 e) 96
Inecuaciones Tercer Año
TEMA Nº 1 0: I N E C U A C I O N E S
Capacidades:
Define y expresa intervalos como conjunto y gráficamente. Opera con intervalos. Resuelve inecuaciones , utilizando la regla de los puntos críticos, que será de gran ayuda para el
análisis de las funciones algebraicas en el conjunto R.
Desarrollo del Tema:
DESIGUALDADESDefinición: Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales, mediante los signos de
relación >, <; ≥ o ≤ .
Ejemplo :Siendo, a y b números reales :a > b a mayor que ba < b a menor que ba ≥ b a mayor o igual que b
a ≤ b a menor o igual que b
Observación : A los signos de relación > o < se les da el nombre de signos simples mientras que
a ≥ o ≤ se les denomina signos dobles.
Axiomas de la desigualdad
1. Ley de Tricotomíabababa:Rba =∨<∨>ε∧∀
2. Ley de Transitividadcacbba/Rcb,a >→>∧>ε∧∀
3. Ley Aditivacbcaba/Rcb,a +>+→>ε∧∀
4. Ley Multiplicativa
4.1. bcacba/RcRb,a >→>ε∧ε∀ +
4.2. bcacba/RcRb,a <→>ε∧ε∀ −
Equivalencias Usuales : Siendo a, b, c números reales.
1. bababa =∨>⇔≥
2. cbbacba <∧<⇔<<
Teoremas de la Desigualdad
1.0a:Ra
2 ≥ε∀
2.0
a
10a >→>
0a
10a <→<
3.Rdc,b,a ε∧
:a > b
c > d
a + c > b + d
4.+ε∧ Rdc,b,a
:a > b
c > d
a . c > b . d
5.−+ ε∧ε∧ Rcb,ao;Rcb,a
a
1
b
1
c
1cba <<→<<
6./Zn,Rcb,a
+εε∧∀
1n21n21n2cbacba
+++ <<→<<
7.++ εε∧∀ Zn,Rcb,a
n2n2n2cbacba <<→<<
Propiedades de la desigualdad
1.22
ac0c,0a >∧><22
cb0cba <≤→<<
2.2
a
1a:0a ≥+>
3.2
a
1a:0a −≤+<
Propiedad adicional:Para números reales positivos, tenemos :MP = Media potencialMA = Media aritméticaMG = Media geométrica
MH = Media Armónica
M HM GM AM P ≥≥≥
Para dos números : a b; +ε Zk
b
1
a
1
2ab
2
ba
2
bakkk
+≥≥+≥+
para tres números : a, b c; +ε Zk
c
1
b
1
a
1
3abc
3
cba
3
cba 3kkkk
++≥≥++≥++
INTERVALOS
Definición: Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos son números reales, dichos elementos se encuentran contenidos entre dos números fijos denominados extremos, a veces los extremos forman parte del intervalo.
1. Intervalos acotados:Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son reales, estos pueden ser :
1.1. Intervalo abierto: No considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación simple.En la recta, se tendrá :
x
a b
Donde : ><ε⇔<< b;axbxa
También : [b;a]x ε
1.2.Intervalo cerrado :Se considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación doble.En la recta real, se tendrá :
x
a b
Donde : ]b;a[xbxa ε⇔≤≤
También : )b;a(x ε
1.3.Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado) :Considera sólo a uno de sus extremos para :
x
a b
]b;axbxa <ε⇔≤<para :
x
a b
>ε⇔<≤ b;a[xbxa
2. Intervalos no acotados : Son todos aquellos donde al menos uno de los extremos no es un número real.
2.1. Intervalo acotado inferiormente :
x
a + ∞Donde : axxa >⇔∞<<
>∞<ε ;ax
x
a ∞Donde: axxa ≥⇔∞<≤
>∞ε ;a[x
2.2. Intervalo acotado superiormente:
x
a − ∞Donde: axax <⇔<<∞−
>−∞<ε a;x
x
a − ∞Donde : axax ≤⇔≤<∞−
]a;x −∞<ε
Observaciones :
1. Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es acotado superiormente e inferiormente a la vez.
2. Para el conjunto de los números reales R, se
tiene : >∞−∞<=∞∞−= ;[;]R
Es evidente que y no son números reales.
3. Como los intervalos son conjuntos, con ellos se podrán efectuar todas las operaciones existentes para conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia simétrica, etc.
Inecuaciones Tercer Año
Clases de desigualdad
1. Desigualdad absoluta:Es aquella que mantiene el sentido de su signo de relación para todo valor de su variable. Vemos un ejemplo:
*Rx;01 0x2x
2 ε∀>++
2. Desigualdad relativa:Es aquella que tiene el sentido de su signo de relación para determinados valores de su variable. Veamos un ejemplo:
* 2x3x1x2 >→+>+
INECUACIONES
Definición Se denomina inecuación a cualquier
desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, el cual se presenta en función de intervalos.
1. Inecuaciones racionales :
1.1. Inecuaciones de primer grado (lineal)
0a x ><+ b
0a/Rba =/ε∧
1.2. Inecuaciones de segundo grado (cuadrática)
>< 0cb xa x2 ++
0a/Rcb,a =/ε∧
Propiedades
I. Trinomio siempre positivo
Si : Rx;0cbxax2 ε∀>++ ,
entonces : 0ac4b0a2 <−∧>
II. Trinomio siempre negativo
Si : Rx;0cbxax2 ε∀<++ ,
entonces : 0ac4b0a2 <−∧<
1.3.Inecuaciones de grado superior :
0a. . .xaxaxan
2n
2
1n
1
n
o+++ −− ><+
0a/Ra....,a,a,a ºn21o=/ε∧
3n/Nn ≥ε
1.4. Inecuaciones fraccionarias :
1] ºH[;0)x(H
)x(F ≥><
Resolución de la inecuación : Se recomienda utilizar el método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en los siguientes pasos :
1. Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre una expresión de coeficiente principal positivo.
2. Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.
3. Se calculan los puntos de corte. Son los valores reales de "x" obtenidos al igualar cada factor primo a cero.
4. Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan en la recta dos o más zonas.
5. Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos "+" y "-".
6. Si el signo de relación es > o ≥ , el conjunto solución estará formado por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o ≤ el conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas.
Ejemplo: Resolver la inecuación:
6xx2 >+
Resolución : De acuerdo con el método de los puntos de corte, procedemos así :
06xx2 >−+
Factorizando: (x+3)(x-2) > 0
Hallando puntos: x = -3; x = 2
En la recta:
- 3 2
Marcando zonas:
- 3 2
+ +
como el signo de relación es > la solución viene dada por todas las zonas positivas.
- 3 2
+ +
>∞<∪>−−∞<ε∴ ;23;x
Ejemplo :
22x
1 0x9 <++
Resolver : Resolución : Procedemos de un modo similar que en el ejemplo anterior :
022x
1 0x9 <−++
02x
6x7 <++
Puntos :
7x + 6 = 0 → 7
6x −=
x + 2 = 0 → x = -2
+ +
- 26
7-
>−−<ε∴7
6;2x
Observación: En una inecuación fraccionaria, si el signo de relación es doble, sólo cerraremos los extremos que provienen del numerador.
Ejemplo :
Resolver : 1
1 2xx
5x2
2
≥−−
−
Resolución :
011 2xx
5x2
2
≥−−−
−
01 2xx
7x2
≥−−
+
Observar que: )3x)(4x(1 2xx2 +−≡−−
0)3x)(4x(
7x ≥+−
+
Puntos : }34,7{ −∧−
+ +
- 7 - 3 4
2. Inecuaciones Irracionales
2.1. Forma: +ε> Zn;BA
n2
Se resuelve:)BA0B0A(S
n2
1>∧≥∧≥=
)0B0A(S2
<∧≥=
21SSC S ∪=∴
2.2. Forma : +ε< Zn;BA
n2
n2BA0B0AC S <∧>∧≥=
2.3. Forma : +ε Znm;BA n2m2
<> ∧
m2n2BA0B0AC S ><∧≥∧≥=
Ejemplo: 1x1x −>+
Resolver :
Resolución : De acuerdo con la forma (2.1), se plantea :
1S
: 2
)1x(1x01x01x −>+∧≥−∧≥+
0x3x01x01x2 >+−∧≥−∧≥+
0x3x01x01x2 <−∧≥−∧≥+
0)3x(x01x01x <−∧≥−∧≥+
+ ∩ +
- 1 1
∩0 3
+ +
Intersectando :
- 1 0 1 3
Observar que : >= 3;1[S
1
01x01x:S2
<−∧≥+
+ ∩- 1 1
+
Intersectando :
1- 1
Observar que : >−= 1;1[S
2
Finalmente : 21SSCS ∪=
Inecuaciones Tercer Año
>−=∴ 3;1[CS
Ejemplo :
Resolver : x52x −<−
Resolución : De acuerdo con la forma (2.3) se plantea:
x52x0x502x −<−∧≥−∧≥−07x205x02x <−∧≤−∧≥−
∩5
+∩2
+ +
7
2
Intersectando :
2 57
2
>=∴2
7;2[C S
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Resolver las siguientes inecuaciones:
I. 5
2x
2
3x −>
−
II. )1x(x)2x(2 −>+
III. )2x(5)5x(3 −>−
IV.3x
51x
22+−
>
V.2x
1x4
33−−
>
VI.2x1x4
3,03,0+− >
2) Resolver:2x1x4x3x2x
55222+++++ −>−−
a) x < 0 b) x > 0 c) x0d) x > 4 e) x >
3) Hallar la suma de los enteros que adopta:
2x
5x3N
−−=
; si : x ]1;2−<ε
a) 4 b) 2 c) 0d) 1 e) 6
4) Hallar lo indicado en cada caso :
I. 3 < x < 5 ⇒ .................x2 ..............
II. -9 < x < -4 ⇒ .................x2 ..............
III.-4 < x < 7 ⇒ .................x2 ..............
IV. -8 < x < 3 ⇒ .................x2 ..............
V. 3 < x < 11 ⇒ .................x-1 .............
VI. -9 < x < -5 ⇒ .................x-1 .............
5) Hallar el valor de : P = |x - y|.Donde : x, y son números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades :
3y
1 1yx2
2y3x5
><+>−
a) -1 b) 7 c) 1d) 8 e) 0
6) Si : -10<a<-5; -2<b<-1; 2<c<5,
entonces, c
ab
está comprendido entre :
a) -10 y -1 b) -10 y 1 c) 2 y 10d) 2 y 20 e) 1 y 10
7) Si : m, n, p , y además :
m p
pm
np
pn
m n
nmK
222222 +++++=
Luego, es posible afirmar que :a) K ≥ 6 b) K ≥ 1/3 c) K ≥ 12d) K ≥ 4/3 e) K ≥ 3
8) Resolver :
1a
abx
a
bax<
−<
−
si : 0 < a < b.
a) >−<
b
a2;1
b) >−−∞< 1;
c) >−∞<
b
a2;
d) ><
b
a2;1
e) φ
9) Resolver:
I. Si : >−ε 2;4[x , indicar el intervalo de
variación de : 1
)8x(6)x(f−−=
II. Si : ]5;3x <ε , indicar el intervalo de
variación de: 1x
6x2)x(f
−+
=
III. ]4;5x −<ε, indicar el intervalo de
variación de: 1 5x6x)x(f2 +−=
10) Resolver el sistema:
≤
>
−−
−+
6x
x2
1x
5x3
)6,0(3
2
)5,1(2
3
a) -3 < x4 b) -3 x < 4c) 0 x < 3 d) 0 < x 4e) -2 < x 4
11) Hallar el valor de, z
yxE
−= , si :
x, y, z, son enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades :
4y
1zy
1 3z5yx2
23z5y3x2
<>−<+−>++
a) 2/5 b) 1/2 c) 0d) 1 e) 2
12) Si : a > b > 0; x > 0 con relación a :
xb
ba1c
+−+=
, podemos afirmar que :a) 1 < c < a/b b) b < c < ac) a / b < c < 1 d) a < c-1 < 1e) a < c < b
13) Resolver cada ecuación cuadrática:
I. 35x1 2x2 ≤−
II. x5)1x(22 >+
III. 05x6x2 <−+−
IV. 29)2x()1x(22 ≥−++
14) Resolver cada inecuación de segundo grado:
I. 01x3x2 <+−
II. 03x9x22 ≥++
III. 08x5x2 >++
IV. 05x2x2 <+−
15) Determinar "m+n", si la inecuación:
0nm xx2 <+−
Presenta como conjunto solución:>−<ε 3;5x
a) -13 b) -17 c) -15d) -2 e) 2
16) Determinar el menor valor de "E", si se cumple:
E5x2x2 ≤+−
Se verifica para todo.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
17) Resolver cada desigualdad :I. (x + 1)(x - 3)(x + 4) > 0
II. 0)5x()2x()1x(532 <−+−
III 0)3x)(1x()4x)(6x(22 ≥+−−−
IV. 0)3x)(x2)(1x( ≥−−−
18) Resolver:
06x9x5x3x234 <+−+−
a) >∞+<∪>−∞<ε ;32;x
b) >∞+<∪>−∞<ε ;21;x
c)Rx ε
d) φεx
e) ><ε 2;1x
19) El conjunto solución de la desigualdad:
6x4xx4x2 −≥−−−
está contenido en :
a) [1; 4] b) >8;4[
c) >< 6;4
d) >∞+;8[ e) ]4;−∞<
20) El conjunto solución obtenido al
resolver:
x41xx2 −<+−
es : . Indicar : a.b
Inecuaciones Tercer Año
a) 4 b) 6 c) 8d) -3 e) -5
21) Hallar el intervalo solución de la inecuación :
0x14x3 <−−−−
a) ]1;1[−
b) ]1;
4
1<
c) ]1;0<
d) >< 2;
2
1
e) >−< 1;1 5
22) Luego de resolver:
3x2xx24 −>++−
Indicar la suma de los extremos finitos del intervalo solución.a) 0 b) 2 c) 1d) -1 e) -2
23) Resolver:
3x1 320x8x2 −>−+−−
a)]1 3;2[]1 0; ∪−−∞<
b)>∞+;1 3[
c) ]1 3;1 0[]2; ∪−−∞<
d) >∞+∪− ;1 3[]1 0;2[
e)φ
24) Indicar el intervalo solución al resolver:
8x6xx32 +−≤
a)>∞+∪ ;8[]1;0[
b)>∞+<∪>< ;42;0
c) >∞+∪ ;4[]2;0[
d)>∞+∪−∞< ;4[]0;
e)]
8
733;
+−−∞<
25) Resolver las inecuaciones:
I. 23x ≥−
II. 35x <−
III. 38x −≥−
IV. 03x ≤−
26) Indicar el intervalo solución de :
x73x −≤−
a) ]7;3[
b) ]5;3[
c) ]7;5[
d) ]5;−∞<
e) >∞;5[
27) Sea "S" el conjunto solución de :
x3x3x31x1 −−+>−−−entonces :
a)>−⊂ 1;4[S
b)><∪>−−<=
2
1;01;3S
c)>−⊂ 0;5[S
d)><∪>−−<=
3
1;01;3S
e)>−<⊂ 2;2S
28) Después de resolver:
08x2x4x23 <−−+
Señalar el mayor entero que verifica la desigualdad.a) 0 b) 2 c) -2d) -1 e) 1
29) Resolver:
I.0
5x
3x4x
2
2
≤−
+−
II. x
1x ≥
III. x
1x
2 ≤
30) Resolver las inecuaciones:
I. 23x ≥−
II. 35x <−
III. 38x −≥−
IV. 03x ≤−
TAREA DOMICILIARIA
1) Indicar el intervalo solución de :
x73x −≤−
a) ]7;3[
b) ]5;3[
c) ]7;5[
d) ]5;−∞<
e) >∞;5[
2) Resolver las inecuaciones:
I. x9x3 ≥
II.24
x71 8x <−
III. )5x(4)3x)(5x(2 −>−−
3) Resolver la inecuación :
)3x(x4)3x(x222 −>−
e indicar un intervalo solución.
a) >−< 3;3 b) >< 3;0
c) >< 4;3
d) >−< 0;3
e) >−∞< 0;
4) Al resolver :
3x
x
x2
1x
+≤
−+
se obtuvo como solución :
>∞<∪>−∞< ;ba;
Hallar: ab + a + b.a) -1 b) -5 c) -6d) -7 e) -8
5) Resolver:
0
2xx
)xx)(x1(
2
2
≤+−−
+−
a) ]1;02; <∪>−−∞<
b) >∪−∞< 4;3[]2;
c)>−<∪>−−∞< 0;12;
d)]0;1[2; −∪>−−∞<
e) φ
6) Sean las funciones:
m2x5x)x(f2 ++=
4mx1 3x2)x(g2 +++=
¿Qué raro?, se observa que al darle cualquier valor a "x" se obtiene que f(x)<g(x), entonces, "m" es :a) Mayor que 12. b) Menor que -12.c) Está entre -12 y 12.d) Mayor que -12. e) Menor que 12.
7) Indicar el menor número "n" entero que
permita: ( ) ( ) nx23x23 <−−++
se verifique para todo "x" real.a) 4 b) 2 c) 3d) 6 e) 10
8) El conjunto:
≥+−+−ε= 0
)1x)(1x(
)2x)(1x(/RxA
2
, es :
a)>∞+<∪>−− ;11;2[
b)>−− 1;2[
c) >∞+<∪>−<∪>−− ;11;11;2[
d)>∞+−<∪−−∞< ;1]2;
e)>∞+<∪>−−∞< ;12;
9) ¿Para qué valores de "a" en la inecuación cuadrática siguiente, se cumple que para
todo: 2x2x22axx22 +−<−+ ?
a) >−<ε 2;6a
b) >−−<ε 7;1 0a
c)><ε 3;1a
d) >−−<ε 1 0;1 5a
e)><ε 6;3a
10) Determinar en qué conjunto de números negativos debe estar contenido "x", para que :
0
)5x8x(x
60x1 7x
2
24
>+−+−
a) >−−< 5;1 2
b) >−−∞< 1 2;
c) >−< 0;1 2
d) >−−∞< 5;
e) >−< 0;5
Inecuaciones Tercer Año
11) Resolver:
01x
)x5x(8x6x22
≥−
−−+−
a) x ∈ φ b) x∈R c) x∈ [2; 4]d) x ∈{2; 4} e) x ∈<1; 7>
12) Si : "S" es el conjunto solución de la desigualdad :
0)1 6x4)(27x(
)5x()3x(x
3
301 61 3
≥+−−+
Entonces, es verdad que :
a)S]0;4[ ⊂−
b) S;3[ >⊂∞+
c)>∞+<∪−<= ;3]0;4S
d)φ=∩> S3;0[
e)S}3{ ⊂/−
13) Determinar el valor de verdad de las proposiciones:
I. Si: ><ε
+⇒>−<ε 1;0
5x2
35;1x
II. Si: 01x
2x
x1 64;0[x >+−
+−⇒>ε
III. Si: 3xx
3x
1x −<⇒>+−
a) FVV b) FVF c) FFVd) FFF e) VVV
14) Resolver: aa2axxx22 >−−−
Si: a < 0.
a)>−< a2;a3
b)>∞− ;a[
c) >∞−<∪>< ;aa;a2
d) >∞−<∪>< ;a2a;a2
e) >∞−<∪>−∞< ;aa3;
57. Determinar, por extensión, el conjunto:
}1 0x22x4x/Rx{A2 −<+−ε=
a) }1;0;1{ −− b) >−< 0;1
c) ]3;2[−
d) { }
e) >< 1;0
15) Al resolver: 0)1x5x)(1x2(22 >+++
se obtiene como solución :]n;m[Rx −ε
Calcular: mn.a) 1 b) -3 c) -4d) -1 e) 0
16) Sea : 0)5x(7x6 ≥−+
¿Entre qué valores está : x
1x +
?
a) ]
5
7;
5
3<
b) ]
5
6;0<
c) ]
5
6;−∞<
d) ]
5
2;1<
e) ]
5
6;1<
17) Dado : cbxax)x(f2 ++= , tal que :
Rx ε; 0)x(f ≥
Hallar el mínimo valor positivo de:
ab
cbaA
−++=
a) 2 b) 5/2 c) 3d) 7/2 e) 4
18) ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?
I. Si : 1x2 > , entonces, x > 1
II. Si : 1x >− , entonces, 1x2 >
III. Si : x < -1, entonces, 1x2 <
IV. Si : x > 1, entonces, 1x2 >
V. Si : 1x2 < , entonces, x < 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
19) ¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación:
31 3x
3x
x3 >+++−
?a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3
20) Hallar el intervalo formado por los valores de "x" que satisfacen la siguiente desigualdad:
1)4x(2x
2x42xx2 >−−
−−−
a) >∞< ;4 b) >< 4;2
c) >∞< ;2
d) >∞< ;0 e) >−< 4;2
21) Resolver:
23x
2x3<
+−
e indicar el número de valores enteros que no la verifican.a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
22) Considerar los 4 pasos para resolver la desigualdad:
2x81
1
9x
1
−≤
+
Paso 1 : 9xx812 +≤−
Paso 2 : 22
)9x(x81 +≤−
Paso 3 : simplificando
04
31 5
2
9x
2
≥+
+
Paso 4 : x Rε , por lo tanto, la solución es todo R.Entonces, se puede decir que : a) Todos los pasos son correctos.b) El primer error se comete en el paso 1.c) El primer error se comete en el paso 2.d) El primer error se comete en el paso 3.e) El único error se comete en el paso 4.
23) Al resolver la ecuación:
9x6x36x1 2x1 44x24x222 +−≥+−−+− ,
Se obtiene un conjunto solución de la forma : [a; b]. Hallar : a + b.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
24) De las siguientes proposiciones:
I.3
abccba:R,c,b,a ≥++ε∀ +
II.2
x
1x:1xRx >+=/∧ε∀ +
III. ,64abc1 2cba:S i
.R,c,b,a
≤→=++ε∀ +
Indicar el valor de verdad de cada una.a) VFV b) VVV c) VFFd) FVF e) FFF
25) Para : a > 0 y b > 0. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
a) ba
ab2ab
+<
b) ba
ab2ab
+≤
c) ba
ab2aab
+=−
d) ba
ab2ab
+>
e) ba
ab2ab
+≥
26) Sean p, q, r, tres números positivos diferentes, que cumplen: pqr = 1.
Entonces, la suma: s = p+q+r satisface.a) s > 3 b) 3 ≤ s < 4c) 0 < s < 3 d) s < 3e) 1 < s < 2
27) Sean : a, b ∈R / ab > 1; el menor valor :
1ab
babaE
22
−++=
; es :a) 2 b) 3 c) 6d) 8 e) 9
28) Resolver el sistema :3x + y > -4x - 2y < -72x + 3y < 6
{x; y} Z. Indicar "xy".a) -2 b) -6 c) 3d) 6 e) 10
23. Si: x, y, z+εR
, hallar el máximo valor de "a" en:
axyzw
wzyx4444
≥+++
a) 1 b) 2 c) 4
d) 2 e) 8
29) Sean: a, b, tal que: a + b = 1.Si:
N1b
b
1a
aM
22
<+
++
≤,entonces, MN
resulta :a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3d) 2/6 e) 1/4
30) Si : 0 < b < a, Además :
)ba(a
b
)ba(b
aK
22
−+
+=
;luego, podemos afirmar que :
a) 2K −≤ b) 1K −≥ c) 0K ≥
d) 8K ≥ e) 18K −≥
Inecuaciones Tercer Año
TEMA Nº 1 1: vALOR ABSOLUTO
Capacidades:
Aplica definición y propiedades de valor absoluto.
Resuelve ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
a) Resolver la siguiente ecuación :
1435 +=− xx
b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones :
743 =−+− yx
13 =−− yx
c) Resolver :
Y = x
xx 2327 +−+ , si x ε <0, 3>
d) Resolver :
296 −++=+ xxx
Desarrollo del Tema:
VALOR ABSOLUTO (V.A.)
Definición : Dado el número real "x", la relación funcional denotada por |x| es el valor absoluto de "x", definido de la manera siguiente :
<−=>
=0x;x
0x;0
0x;x
|x|
Según la definición:* |5|= 5 5 > 0* |-7| = -(-7) -7 < 0
|-7| = 7
Teoremas:
1.Rx;0|x| ε∀≥
2. Rx;|x||x| ε∀−=
3. Ryx;|y|.|x||y.x| ε∧∀=
4.
0y/Ryx;|y|
|x|
y
x =/ε∧=
5. Rx;x|x||x|222 ε∀==
6. Rx|;x|x|x| ε∀≤≤−
7. Ryx|;y||x||yx| ε∧∀+≤+
Propiedades:
1. Si : |x+y| = |x|+|y|,
entonces : 0xy ≥2. Si : |x - y| = |x|+|y|,
entonces : 0xy ≤
Ecuaciones con valor absoluto :
bxbx0b;b|x| −=∨=⇔>=
Ejemplo :Resolver : |2x-1| = 7
Resolución: Observar que : b = 7 > 0. Luego, tenemos :
3x4x
6x28x2
71x271x2
−=∨=−=∨=
−=−∨=−
}3;4{C S −=∴
Ejemplo:
Resolver: |5x - 1| = 2 - x
Resolución: Se plantea lo siguiente :)2x1x521x5(0x2 −=−∨=−∧>−
)1x43x6(02x −=∧=∧<−
)4
1x
2
1x(2x −=∨=∧<
Observar que : 2
1x =
verifica x < 2.
4
1x −=
Verifica x < 2.
}4
1;
2
1{CS −=∴
Inecuaciones con Valor Absoluto
1.bxbxb|x| −<∨>⇔>
2. )bxb(0bb|x| <<−∧>⇔<
3. 0)yx) (yx(|y||x| −+⇔< < < <
Valor Absoluto Tercer Año
Ejemplo :Resolver : |3x + 4| < 5
Resolución : De acuerdo con la forma (2), se plantea :
)54x35(05
R
<+<−∧> ? p o r q u e e s u n a v e r d a d¿
Luego, sólo se resuelve :-5 < 3x + 4 < 5
-5 - 4 < 3x < 5 - 4
-9 < 3x < 1
-3 < x < 1/3
>−<ε∴3
1;3x
Ejemplo :
Resolver : 4|x|3x
2 +≥
Resolución : Se sabe que 22
|x|x = . Luego, se tendrá :
4|x|3|x|2 +≥
04|x|3|x|2 ≥−−
0)1|x(|)4|x(| ≥+−
Observa que : Rx;01|x| ε∀>+
En consecuencia : 04|x| ≥−
4|x| ≥
Según la forma (1) : 4x4x −≤∨≥
>∞∪−−∞<ε∴ ;4[]4;x
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Resolver : 3223 +=− xx
Dar la suma de soluciones. a) –1/5 b) 5 c) 24/25
d) 24/5 e) 2
2. xx 64053 2 −=−
a) { }2,5− b) { }2,3−
c) { }3,5 −− d) { }3,5− e) { }5,3−
3. 432 +=−− xx
a) 2
1 b)
2
5−
)
−
25
,2
11 d) 1 e)
−
21
,25
4. Después de resolver la ecuación :
235 =+−x ; se puede decir que:
a) Su solución es x = 5 b) Su solución es x = 8c) Su solución es x = 0d) Es una ecuación indeterminadae) Es una ecuación imposible.
5. Las soluciones de la ecuación :
03=+xx ; son :
a) –1; 0 b) –2; -1 c) –2; 0
d) –1; 1 e) 0; 1
6. Las soluciones de la ecuación :
xxx −=−− 3318 2 son :
a) –5 y 3 b) –7 y –5 c) –6 y 2 d) –5; -7 y 3 e) –5; -6 y 3
7. Resolver :
05314332 =−−−− xx
a) { }2,2− b) { }4,3− c) { }8,2−
d) { }3,5− e) { }1,3− 8. Resolver :
06125122
=−−+−−+ xx
a) { }5,9− b) { }2,3− c) { }9,5−
d) { }3,5− e) { }4,8−
9. Resolver : 233 +=− xx
a) { }2,5− b)
−
4
1,
4
5 c) { }3,2−
d) { }3,5− e) { }5,5−
10.Resolver :
252312 +=−+−−+ xxxx
a)
−
3
11,
3
1,5 b)
−
3
11,
3
2,3
c)
−−
3
1,3,2 d) { }3,5−
e)
−−
3
1,5,3
11. Resolver: 20924 =++− xx
Dar como respuesta el máximo valor entero del conjunto solucióna) -2 b) -1 c) 2 d) 1 e) 3
12. Resolver:
0
1x
1|x|x
3
2
≥−
−
13. Hallar el máximo de:|x| - |x - 2006|
a) -2006 b) 2006 c) -2005d) 2005 e) 2004
14. Resolver: |3x - 1|< |2x - 3|
a) >∞<∪>−−∞< ;
5
42;
b)
>−< 4;5
4
c) >−−<
5
4;4
d) >−<
5
4;2
e) >−<
5
4;4
15. Si : 2433|x| += , y
2763|y| +=
Entonces:a) x + |y| < 0 b) -|y| < xc) |x| - |y| > 0 d) |y| xe) |y| - |x| < |
16. Resolver:
6|2x|)2x(2 <−+−
a) >−< 4;2 b) >< 4;0 c) >< 5;1
d) >< 4;1
e) >−< 5;2
17. Resolver: |3x + 8 | < 9x + 1.
a) >−<∪>−−∞<
6
7;
9
1
4
3;
b) >−−∞<
4
3;
c) >−<
6
7;
9
1
d) >∞< ;
6
7
e) >−<
6
7;
4
3
18. Dados los conjuntos:|}1x||2x|/Rx{A +<−ε=
|}3x||2x||4x|/Rx{B +<−+−ε=Entonces: es igual a :
a) >< 9;1
b) >∞< ;1
c) >∞< ;
2
1
d) >∞< ;1 e) >< 2;
2
1
19. Al resolver:
01|x|xx2 ≤+++
, podemos afirmar:a) x = {-1} b) x = {0; 1}c) x > 0 d) x < 0
e) x φε
TAREA DOMICILIARIA
1. Resolver : 0422 =−− xx
Dar la suma de soluciones. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2. Resolver la ecuación siguiente :
xxx −=−+ 3122
Dar la suma de soluciones. a) 1 b) 3 c) 5 d) –5 e) -3
3. Resolver: |2x + 3| = 6, e indicar la suma de
soluciones.
a) 0 b) 8 c) -3d) 4 e) 1
4. Una solución de : |2x+3| = |x - 1| es :a) 2/3 b) – 2/3 c) 4d) -1/4 e) 3/2
5. Luego de resolver :
0|20x4||1 5x3|xx5x23 =−−−−−
Indicar la suma de soluciones obtenidas.a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 2
Valor Absoluto Tercer Año
6. Hallar los valores de "x" en :||3x|4|||3x|5| −+=−−
Indicar la suma de estos.a) -2 b) 0 c) 5d) 6 e) 4
7. Hallar el conjunto solución de la ecuación mostrada :
32x64x5x3xx 422 −−=+−−+−
a) }2;1{
b) }3;2{ c) }3;2{
d) R e) { }
8. Indicar el producto de soluciones de la
ecuación:54x5x =−+−
a) 7 b) 10 c) 35d) 14 e) 5
9. Luego de resolver:17x8x =−−−
¿Para cuántos valores se verifica la ecuación mostrada?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Infinitos
10. Hallar el único valor entero que verifica la ecuación :
0|xx|...|xx||xx||xx||1x|n1n34232 =−++−+−+−+− +
a) 2 b) -1 c) 0
d) 4
4 e) 1646 −
11. Resolver:
4x
1 6x
1x
x22
+−
=−
Indicar el conjunto solución:
12. Resolver:
6x
8x ≤+
a) [-4; 4] b) [-2; 2]c) [-3; 3] d) [-4; -2][2; 4]e) [-4; -3][3; 4]
13. Resolver:
2x
1x ≥+
a) +
R b) −
R c) R - {0}
d) +oR
e) −oR
14. Resolver:
2x
1
1x2
5
−≥
−e indicar un intervalo solución.
a) >−∞< 1; b) >< 5;
2
1
c) >∞+< ;3
d) >∞+;3[ e) ]
7
1 1;
2
1<
15. Resolver :|2006x||2006x||x2| ++−< e indicar el
número de valores enteros de "x".a) 4010 b) 4009 c) 4011d) 2006 e) 2001
16. Resolver :
06|x|
x>
−e indicar un intervalo solución.
a) >− 0;6[
b) >< 5;2 c) >−−∞< 6;
d) >∞+< ;6 e) >∞+< ;0
17. Resolver:
02006x
|x|<
−
a) }0{2006; −>−∞< b) >−∞< 2006;
c) R - {2006} d) }2006{R −+
e) R
18. Resolver:|x42||1x3||1x7| −++≤−
a) >< 1;0
b) [0; 1] c) +
R
d) +oR
e) R
19. Resolver e indicar un intervalo solución de:||2 - x|-3| < 1
a) >−< 0;2 b) >6;4[
c) >− 0;2[
d) >−< 0;3 e) >< 7;4
20. Resolver : xx|3x|
22 +>−
21. Resolver:
21|x|
11 ≤
−≤
Logaritmos Tercer Año
TEMA Nº 12 : L O g A R I T M O S
Capacidades:
Define logaritmo.
Aplica propiedades de logaritmos.
Resuelve ecuaciones con logaritmos
Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.
Desarrollo del Tema:
LOGARITMACIÓN.- Es la operación que nos permite encontrar el exponente conociendo la
base “b” y la potencia “N”.
Ejemplos:
23 = 8 ; 34 = 81 ; 5-2 = 28;25
1 3 =
25
15;813;82;3814 ==== xxx
LOGARITMO.- El logaritmo de un número real positivo “N” en base “b” positiva diferente de uno, es el exponente “x” al que hay que elevar a la base “b” para obtener el número “N”.
Bx = N ⇒ Logb N = x
b = base (+) ≠ 1
N = número real (+)
x = logaritmo de “N”
Ejemplos:
1. 24 = 16 ⇒ log2 16 = 4
2. 35 = 243 ⇒ log3 243 = 5
3. 52 = 25 ⇒ log2 25 = 2
4. 3125
1log
125
15
5
3 −=⇒=−
BASE.- Es el número que se ha tomado para formar un sistema de logaritmos. Cualquier número positivo diferente de 1, puede servir de base para formar un sistema de
logaritmos.
SISTEMA DE LOGARITMOS.- Es el conjunto de los logaritmos de todos los números respecto a una misma base.
El número de sistemas de logaritmos es ilimitado, puesto que cualquier número positivo
(diferente de 1) puede servir de base sin embargo, hay sólo dos sistemas que han sido
tabulados.
1. EL SISTEMA DE LOGARITMOS VULGARES O DE BRIGS
Llamado también logaritmos decimales y cuya base es 10.
2. EL SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS
Es igual que tiene como base al número: e = 2,7182818459...
CASOS: bx = N ⇒ logb N = x
PRIMER CASOConociendo el número “N” y la base “B”, hallar el logaritmo “n”.
ACTIVIDAD
1. x=243log27
2. x=333
243log 5
3. x=3125
1log 3 5.5
4. x=2
32
42
2log
5. x=33
24327log 3
6. x=564 16
1log
SEGUNDO CASOConociendo el número “N” y el logaritmo “x”. Hallar la base “b”.
ACTIVIDAD
1. 333log =b
2. 12729
1log −=b
3. 72187log =b
4. 532
1log −=b
5. 1424327log 3 =b
TERCER CASOConociendo la base”b” y el logaritmo “x”, hallar el valor de “N”.
ACTIVIDAD
1. 5
18log
22=N
2. 3
20log
22−=N
3. 3
2log
37
8 −=N
4. 5log5 −=N
5) 16log314
=N
PROPIEDADES
I. LOGARITMO DE UN PRODUCTO
El logaritmo de un producto de dos o más factores es igual a la suma de los logaritmos
de dichos factores.
log a.b.c. = loga + logb + logc
Logaritmos Tercer Año
II. ALGORITMO DE UN COCIENTE
Es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
bab
alogloglog −=
III. LOGARITMO DE UNA POTENCIA
Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de dicha potencia.
log an = n log a
IV. LOGARITMO DE UNA RAÍZ
Es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.
n
aan log
log =
V. LOGARITMO DE UN NÚMERO
bx = N
logbx = logN
xlogb = logN
b
Nx
log
log=
VI. bx = N x = log N IX. NbNb == loglog
VII. N
N b
b
1loglog 1 == X. El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.
VIII. ( ) 2
2loglog NNbb ==
ACTIVIDADAplicando las propiedades generales de los logaritmos, expresa:
1. logm4 n2 x3
2. 42
34
logym
xa
3. ba
ba3
3 32
log−
4. ( ) 41
432
3 512
log−−−
−−
cba
cba
5. ( ) 61
421
3 21
log−−−
−−
cba
cab
6. Demuestra que:
2log243
32log
9
5log2
16
75log =+−
PRÁCTICA DE CLASE
Halla el valor de “x” en:
1. log2 32 = x
2. x=16log2
3. x=1728log32
4. x=125log55
5. log4 0,25 = x
6. xlos =256
122
7. x=3
1log9
8. logm2x . n-3x = log px+3
9. ( )25log28log18log2
12log −++=x .
10. log2 0,0625 = x
11. log0,01 1000 = x
12. log0,001 0,0001 = x
13. log3 x = 4
14. log4 x = 3
15. log144 x = 0,5
16. logx 12 = 0,5
17. logx+1 8 = 3
18. logx+2 64 = 3
19. log a2x-1 . n-3x = log px+3
20.Simplifica
171
77log
90
143log
7
13log2
65
133log +−+=P
PRÁCTICA DOMICILIARIA
Halla el valor de:
1. log464 + log3 243 – log100 + log√2 4
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.
2. log29 – log88 + log216 – log5 125
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3.49
1log64log01,0log 72
−+
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.A.
4. 223 2log
16
1log
9
1log a
a+−
a) 2 b) –2 c) 6 d) –6 e) N.A.
5. 10000log125,0log81
1log 1023 +−
a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5
6. log9 81-3/6
a) – ¾ b) 1 c) ¾ d) –1 e) N.A
Logaritmos Tercer Año
7. log49 71/3
a) 1/5 b) 1/6 c) 1/7 d) 1/8 e) N.A.
8. Simplifica: 7
15log
7
12log
5
22log −+
a) 0 b) 1 d) –1 d) 2 e) N.A.
9. Simplifica:
546log650log84log −+
a) 0 b) 1 d) 2 d) 4 e) N.A.
10. Log2 (x+4) – log2 (x+1) = 1
a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5
11. log3 (2x2 + 3x + 7) – log3 1 = 3
a) 5/2; -5 b) – 5/2; 4 c) 2/5
d) 5/2, ¼ e) N.A.
12. log6 (x+2) + log6 (x+7) = 2
a) 11; -2 b) –11; 2 c) 12; 3
d) –12; 3 e) N.A.
13. 12
400log
2
1 =+x
a) 16 b) –16 c) 15 d) –15 e) N.A.
14. Log (5x+2) = log (3x2–7x-6) – log (x-3)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15.2
log3288loglog5x
x =−
a) 5 b) 6 c) 7 d) –6 e) N.A.
16.Calcula la suma de las raíces de la
ecuación:
1 + 2logx – log(x + 2) = 0
a) 1/9 b) – 1/9 c) – 1/9
d) 10
1− e) N.A.
17. log864 – log201 – log 0,01
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. los327 – log232 + log42 + log√33
a) 0 b) ½ c) 1 d) - ½ e) –1
19.Luego de resolver:
40log1)1log()2log( =+++− xx
Indique la suma de raícesa)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20.Resolver:
)4(log)1(log)1(log 266
36 +=−−− xxx
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
21. Resolver: ( ) 2)1(log63log 22
2 =−−+− xxx
y dar como respuesta el mayor valor de “x”
a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10
22.Simplificar la expresión
)(log2)(log3 4332 baba bb −
a) 1 b) b c) 2 d) 2b e) 0
23.Hallar el valor de “x” en:
5243log −=x
a) 3 b) 3
1 c) 2 d)
2
1 e)
5
1
24. Hallar el de “x” en: 2
1
2
1log )21( −=
− x
a) 2
3 b)
2
3− c) 2
5− d)-4 e) -2
TEMA Nº 15: RELACIONES y F U N C I O N E S
Capacidades:
Calcula el dominio y rango de una relación.
Define y grafica Relaciones y funciones.
Resuelve problemas con funciones.
Desarrollo del Tema:
RELACIONES
1. Definiciones Previas
1.1. Par ordenado:Es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden. Si los elementos del par ordenado son "a" y "b", al conjunto se le denota por (a; b) y se define de la manera siguiente :
( a ; b ) = { { a } ; { a ; b } }
Donde :a = primera componente del parb = segunda componente del par
Propiedades :
I. (a; b) =/ (b; a); ba =/∀
II. (a; b) = (c; d) → a = cb = d
1.2. Producto Cartesiano:Dados los conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese
orden), se denota así BA× y se define de la siguiente manera:
}BbAa/)b;a{ (BA ε∧ε=×Donde :A = conjunto de partidaB = conjunto de llegada
Ejemplo : Dados los conjuntos :A = {1; 2; 3} ∧ B = {-1; 2}
Determinar: ABBA ×∧×
Resolución :
Para , BA× , tenemos :}2;1{}3;2;1{BA −∧=×
BA× = {(1; -1), (1; 2), (2; -1), (2; 2), (3; -1), (3; 2)}
Para AB × , tenemos:
= {(-1; 2), (-1; 2), (-1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)}
Propiedades :
I. El producto cartesiano no es conmutativo :
ABBA ×=/×
II. El número de elementos es igual al número de elementos de y se obtiene según la fórmula :
)B(n.)A(n)AB(n)BA(n =×=×
2. Relación Binaria
2.1. Definición:Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que R es una relación de A en B (en ese orden), si y sólo si, R es un subconjunto de , es decir :
BAR ×⊂
}bRaBbBa/)b;a{ (R ∧ε∧ε=
Donde :a R b, indica la relación que existe entre los componentes "a" y "b".
Ejemplo : Dados los conjuntos :A = {1; 2; 4} ∧ B = {2; 3}
Determinar la relación de R de A en B definida de la manera siguiente :
}baBbAa/)b;a{ (R <∧ε∧ε=Resolución :Hallar el producto cartesiano de A por B. = {1; 2; 4} {2; 3} = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (4; 2), (4; 3)}Observar que los elementos de R son
todos los pares (a; b) ba/BA <×ε . Luego, tenemos:
Logaritmos Tercer Año
R = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)}
2.2. Relación en A :Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A, si y solamente si,
AAR ×⊂ .
2.3. Clases de Relación :
Sea R una relación en A ( BAR ×⊂ ), luego R podrá ser :
I. ReflexivaR)a;a(Aa ε→ε∀
II. Simétrica
R)a;b(R)b;a( ε→ε
III. Transitiva
R)c;a(R)c;b(R)b;a( ε→ε∧ε
IV. De equivalenciaSiempre y cuando sea a la vez reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo : Dado el conjunto A = {1; 2; 3}
Se define una relación en A de la manera siguiente :R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 3), (2; 1)}
¿R es una relación de equivalencia?
Resolución: Si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.
Reflexiva R)a;a(Ra ε→ε∀
1 A (1; 1) → ¡Correcto!
2 A (2; 2) → ¡Correcto!
3 A (3; 3) → ¡Correcto!
Evidentemente, R es reflexiva.
Simétrica R)a;b(R)b;a( ε→ε
R)1;2(R)2;1( ε→ε → ¡Correcto!
Evidentemente, R es simétrica.
Transitiva R)c;a(R)c;b(R)b;a( ε→ε∧ε
R)2;1(R)2;1(R)1;1( ε→ε∧ε ¡Correcto!R)2;1(R)2;2(R)2;1( ε→ε∧ε ¡Correcto!R)1;1(R)1;2(R)2;1( ε→ε∧ε ¡Correcto!
Evidentemente, R es transitiva.
∴ R es una relación de equivalencia.
FUNCIONES
1. Definición:
Dada una relación F de A en B )BAF( ×⊂ , se dice que F es una función de A en B si y sólo
si para cada Ax ε existe a lo más un
elemento By ε , tal que el par F)y;x( ε
, es decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.
Ejemplo:¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones,
)}7;1(),3;0(),1;2{ (R1 −=)}1;5(,)0;4(),0;3{ (R 2 =
)}2;4(),1;4(),1;5{ (R 3 −=Son funciones?
Resolución : De acuerdo con la definición, se observa que:
1R es función
2R es función
3Rno es función, ¿por qué?
Porque 33 R)2;4(R)1;4( ε∧ε− , siendo pares ordenados distintos.
1.1. Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente:
zyF)z;x(F)y;x( =→ε∧ε
2. Dominio y Rango de una función F2.1. Dominio de F = Dom(F)
)D( F denominado también pre imagen,
es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida.
2.2. Rango de F = Ran(F)
)R( F denominado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de segundos elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de llegada.
Ejemplo : Dada la relación funcional representada por el diagrama digital.
1
2
3
4
0
- 1
2
4
A A
Determinar la función, indicando su dominio y rango.
Resolución :Del diagrama, se tiene :
F = {(1; 2), (3; 0), (4; 2)}De donde es evidente que :
FD = {1; 3; 4} ∧ FR
= {2; 0}
2.3. Propiedad:Sea F una función de A en B, luego se
denota por: BA:F → y se cumple lo siguiente:
BRAD FF ⊂∧⊂
3. Aplicación3.1. Definición
Dada una función F de A en B, BA:F → . Se dice que F es una
aplicación, si y sólo si, su dominio es igual al conjunto de partida.
F e s a p l i c a c i n D AóF
=
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
1. Definición :
Dada una función F de A en B, BA:F → , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real.
RBRA,BA:F ⊂∧⊂→Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual
viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir :
) }x(FyDx/R)y;x{ (F F2 =∧εε=
la igualdad mostrada : y = F(x) expresa la regla de correspondencia de la función real F.
1.1. Teorema Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto.Fig. (1)
y
x
F
F corresponde a la gráfica de una función.Fig. (2)
y
x
H
H no corresponde a la gráfica de una función.
1.2. Criterios para determinar el dominio y el rango I. Para el Dominio:
Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente.
II. Para el Rango:Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente.
A veces, el rango se determina a partir del dominio.
Observación : Frecuentemente, para determinar dominios y rangos es necesario reconocer la existencia de las
Logaritmos Tercer Año
expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos :
Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, donde :
* 0BR
B
A =/↔ε
* 0≥↔ ARA ε
Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, donde :
3x
1x2)x(Fy/RR:F
−+==→
Resolución :De acuerdo con los criterios para el dominio :
3x
1x2y
−+=
3x
03xRy
=/=/−↔ε
}3{Rx −ε
}3{RD F −=∴
para el rango :
3x
1x2y
−+=
xy - 3y = 2x + 1xy - 2x = 3y + 1(y - 2)x = 3y + 1
2y
1y3x
−+=
02yRx =/−↔ε
2y =/}2{Ry −ε
}2{RRF −=∴Ejemplo :Determinar el rango de la función, la cual viene dada por :
]1 0;5x;3x2)x(Fy/RRF <ε−==→=
Resolución :Observar que el rango se puede encontrar a partir del dominio, pues con
]1 0;5x <ε bastará determinar la
extensión de : y = 2x - 3. Veamos:
Por condición: ]1 0;5x <ε
de donde tenemos : 1 0x5 ≤<Multiplicando por 2 20x21 0 ≤<
Sumando -3 1 73x27 ≤−<
1 7y7 ≤<
]1 7;7y <ε
Observar que : ]1 7;7RF <=∴
2. Igualdad de Funciones2.1. Definición
Dadas las funciones F y G, tal que :
)x(Fy/RR:F =→)x(Gy/RR:G =→
se dice que éstas son iguales : F = G, si y solo si verifican simultáneamente las condiciones :
I. GF DD =
II. GF DDx;)x(G)x(F =ε∀=
Ejemplo : Dadas las funciones:
2x
x)x(Fy/RR:F ==→
x
1)x(Gy/RR:G ==→
¿son iguales?Resolución :De acuerdo con la definición, veamos si se verifican las condiciones :
I. Para F : 2
x
xy =
0xRy2 =/↔ε
}0{Rx0x −ε→=/}0{RD F −=∴
II. Para G : x
1y =
0xRy =/↔ε}0{Rx0x −ε→=/
}0{RD G −=∴
Observar que : GF DD = .
II. Regla de correspondencia para F.
2x
x)x(Fy:F ==
como x =/ 0 : F(x) = x
1
Regla de correspondencia para G.
x
1)x(Gy:G ==
Observar que : F(x) = G(x).
GF ∧∴son
iguales
1. FUNCIONES ESPECIALES1.1. Función Lineal
F : y = F ( x ) = m x + b
y
x
θ
Fm = p e n d i e n t e
m = T g θ
RFRD FF =∧=
1.2. Función Identidad
F : y = F ( x ) = x
y
x
F
4 5 º
RFRD FF =∧=1.3. Función Constante
F : y = F ( x ) = k ; k Rεy
x
Fk
}k{RRD FF =∧=
1.4. Función Valor Absoluto
F : y = F ( x ) = | x |
<−=>
==0x;x
0x;0
0x;x
|x|y
y
x
F
1
- 1 1
>∞=∧= ;0[RRD FF
1.5. Función Signo
F : y = F ( x ) = S g n ( x )
>=<−
==0x;1
0x;0
0x;1
)x(Sgny
y
x
F1
- 1
1.6. Función Escalón Unitario
F : y = F ( x ) = u ( x )
≥<
==0x;1
0x;0)x(uy
y
x
F
Logaritmos Tercer Año
}1;0{RRD FF =∧=
1.7. Función Máximo Entero
]]x[[)x(Fy:F ==Definición : Dado el número real "x", el máximo entero de "x" es la relación
funcional denotada por ]]x[[ y definida como el mayor entero menor o igual que "x", veamos algunos ejemplos :
* 3]]1 5;3[[ = ¿por qué?
Porque 1 5;33 ≤
* 4]]4[[ = ¿por qué?
Por que 44 ≤
Teorema :
Zy;1yxyy]]x[[ ε+<≤↔=
3
2
1
1 2 3
- 1
- 2
- 3
- 3 - 2 - 1
x
F
y
RRRD FF =∧=
1.8. Función Cuadrática Simple:
2x)x(Fy:F ==
y
x
F
>∞=∧= ;0[RRD FF
1.9. Función Cúbica Simple:3
x)x(Fy:F ==
y
x
F
RRRD FF =∧=
1.10. Función Raíz Cuadrada:
x)x(Fy:F ==
y
x
F
>∞=∧>∞= ;0[R;0[D FF
1.11. Función Raíz Cúbica
3x)x(Fy:F ==
y
x
F
RRRD FF =∧=
1.12. Función Inverso Multiplicativo
x
1)x(Fy:F ==
y
x
F
}0{RR}0{RD FF −=∧−=
2. DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNConociendo la gráfica de la función F, donde:
F : y = F(x)y
x
y considerando un número positivo "h", tenemos :
2.1. Desplazamiento Horizontal
y
x
F ( x + h )
y
x
F ( x - h )
" h " u n i d a d e s h a c i a
l a i z q u i e r d a
" h " u n i d a d e s h a c i a
l a d e r e c h a
2.2. Desplazamiento Vertical
y
x
F ( x ) - h
y
x
F ( x ) + h
" h " u n i d a d e s
h a c i a a b a j o
" h " u n i d a d e s
h a c i a a r r i b a
2.3. Giro con respecto al eje "x"y
x
- F ( x )
El eje "x" se comporta como si fuese un espejo.
2.4. Giro con respecto al eje "y"y
x
F ( - x )
El eje "y" se comporta como si fuese un espejo.
2.5. Giro producido por el valor absoluto
Logaritmos Tercer Año
y
x
| F ( x ) |
La parte de la gráfica debajo del eje "x", se refleja por encima del mismo.
TAREA DOMICILIARIA
1) Determinar el valor de "m.n", si se cumple que : (m+n; 3) = (9; 2m-n)
a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
2) Sean los conjuntos:}1 8x61 2/Zx{A <≤−ε= y
}9x/Zx{B2 ≤ε=
Calcular el número de elementos que contiene el producto cartesiano AxB.a) 40 b) 35 c) 30d) 25 e) 20
3) Sean los conjuntos :A = {1; 2; 3} B = {2; 4; 6}
Determinar por extensión la relación R, de A en B, definida por :
R = {(x; y) e AxB/y =2x}a) R = {(1; 2), (2; 4}b) R = {(0; 1), (2; 4), (3; 5)}c) R = {(1; 2), (2, 4), (3; 6)}d) R = {(1; 2), (2; 4), (4; 8)}e) R = {(2; 4), (1; 6)}
4) Sea el conjunto : A = {1; 2; 3} y sean las relaciones R, S y T definidas en A; donde R, S y T son reflexiva, simétrica y transitiva, respectivamente; si :
R = {(1; a), (2; 3), (2; b), (3; c)}S = {(1; 3), (e; d)}T = {(1; 2), (2, 3), (f; g}Calcular el valor de : a+b+c+d+e+f+g.a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20
5) ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representa a una función?
I. F = {(2; 3), (2; 4), (3; 4)}II. G = {(3; 1), (-1; 4), (4; 3)}III. H = {(-2; 2), (-1; 3), (2; 3), (4; 2)}
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) II y III
6) ¿Cuál o cuáles de las siguientes gráficas representa a una función?
y
x
( I )y
x
( I I )y
x
( I I I ) y
x
( I V )
a) Sólo I b) Sólo II y III c) Sólo I y IVd) I, III y IV e) II y IV
7) Calcular el valor de "ab", si el conjunto :
F = {(2; 5), (-1; 7); (2; a+2b); (3; a-9); (3; 2b)}representa una función.a) -5 b) -6 c) -7d) -8 e) -9
8) Del problema anterior, dar la suma de elementos del dominio y rango de la función.
a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16
9) Dadas las funciones :F = {(2; 6), (3: b), (3; a-b), (d; a)}G = {(4; d+1), (4; 6), (p; b)}
Calcular : )()d()2d()2( GFFF π− +−+
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
10) Determinar el dominio de la siguiente función:
4x
5x)x(f
2 −+
=
a) }2;2{;5[ −−>∞+−
b) >∞+−< ;5
c) }2;2{R −−
d) >∞+− ;5[
e) >−< 2;2
11) Determinar el dominio de la siguiente
función: 1x5
2x3
3x2
1x4)x(g
−+
−++
=
a) }
5
3;2{R −
b) }2;
5
3{R −−−
c) }
5
1;
2
3{R −−
d) }1;4{R −
e) }2{R −−
12) Determinar el dominio de :
1x
3x73x)x(h
2
4
−−−++=
a) }1{]7;3[ −−
b) ]7;11;3[ <∪>−−
c) }1;1{]7;3[ −−−
d) }1;1{7;3 −−>−<
e) }1;1{R −−
13) Determinar el rango de:
5x
x34)x(f
+−
=
a) }3{R − b) }3{R −−
c) >∞+−<∪>−−∞< ;55;
d) >∞+;
3
4[
e) }5{R −−
14) Indicar el rango de :
−==
3x
xy/)y,x(H
a) R - {- 3} b) R c) R - {1}d) R - {0} e) R - {3}
15) Hallar el rango de la función :
3x)x(f2 −=
a) >∞+;3[
b) >− 0;3[
c) >∞+− ;3[
d) >∞+;0[ e) >∞+∞−< ;
16) Determinar el rango de la función:
31x)x(f2 +=
a) >∞+;31[ b) ]31;−∞<
c) R
d) R- d) }31{R −
17) Determinar el rango de la función F, donde:
5x2)x(Fy/30;1 5[8;5[:F +==>→>
a) >1 3;1 0[
b) >21;1 5[
c) ]1 3;1 0<
d) >30;1 5[
e) >65;35[
18) Sea la función:
3x2)x(Fy/RR:F +==→ ; ]1 1;3x <ε
Determinar el rango de F(x).
a) >< 5;3
b) >5;3[
c) ]5;3<
d) +oR
e) }2{5;3[ ∪>
19) Sea : 2x
3
4x
x6)x(f
−+
−−=
con dominio en el conjunto Z. Hallar la suma de elementos del rango.
Logaritmos Tercer Año
a) 14 b) 2
132 +
c) 2
34 +d) 2
235 +
e) 18
20) Determinar el rango de la función F, donde:
7x4x)x(Fy/RR:F2 ++==→ ;
]4;5x −<εa) [12; 39] b) [2; 11] c) [3; 39]
d) ]39;1 2< e) >< 39;1 2
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Sea la función :
>−ε−−==→ 2;8[x;xx41 6)x(Fy/RR:F2
Determinar el rango de dicha función.
a) >− 1 6;20[
b) ]1 6;20−<
c) ]20;1 6[ +− d) >−< 20;1 6
e) >∞+−<− ;6R
2) Determinar el rango de la función:
4x6x)x(g2 ++=
a) >−−∞< 5;
b) >∞+− ;5[
c) >−< 5;5
d) ]5;5[ +−
e) ]5;−−∞<
3) Sea la función :
+=ε=
9x
3y/R)y,x(F
2
2
se sabe que su rango es : ]b;a<
.Hallar : 9b + a.a) 2 b) 1 c) 3d) 0 e) 4
4) ada la función :
Rx;2x3x2)x(F2 ε++=
donde : >∞
+= ;
1a
a[)F(Ran
Calcular "a".a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
5) Determinar el rango de la función real de variable real, cuya regla de correspondencia es :
1x
x2)x(Fy
2 +==
a) ]1;1[−
b) >−< 1;1 c) >∞− ;1[
d) ]1;0[
e) ]0;−∞<
6) Determinar el menor valor que asume la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:
2xx2
1x)x(Fy
2
2
+++==
a) 2/5 b) 2/3 c) 5/2d) 5/3 e) 1
7) Sea la función : A)x(f/RR:f =→, llamada función constante.
Se sabe que : 1 2)1 003(f)2005(f2 =+ .
Hallar:
)k(fE1 0
1k
∑== .
a) - 40 b) - 20 c) 30d) 20 e) 40
8) Si : ]b;a<
es el dominio de la función F, definida por:
<εε
++= ]1 0;0x/R)x;
3x2
1x2(F
2
entonces, la relación correcta entre los valores de "a" y "b", es :a) a + 3b = 25 b) 3a + 6b = 10c) 6a + 23b = 25 d) 6a + 46b = 44e) 5a + 6b = 36
9) Si tenemos:
>ε+>ε=
5;2[x;1x2
2;0[x;x)x(f
2
si : >ε
2
3;1[x
Hallar: )x2(f)1x2(f2−−
a) 14 b) 2x - 1 c) -4x
d) 2
x e) 2x
10) Dada la función:
t
3|t||t3|)t(f
−−+=
; redefina la función en los intervalos de:
>−>−−∞< 0;3[,3; y >∞+;0[
Luego, calcular : )4()1()5( fff5 −+ −−
a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) -10
11) Para la función :
|x||1 0x|3x2x)x(f2 +−++−= ;
1 0x2 ≤≤ ."A" es el menor valor real y "B" es el mayor
valor real. Tal que : A)x(fB ≤≤ .]1 0;2[x ε∀
. Hallar : A + B.
Logaritmos Tercer Año
a) 80 b) 96 c) 103d) 106 e) 115
12) Hallar el rango de :
}x3x5y/R)y,x{ (G2 ++−=ε=
a) ]4;2[y ε
b) ]4;0[y ε
c) Ry ε d) ]4;22[y ε
e) ]22;0[y ε
13) Determinar el dominio de la función F, donde:
x23)x(Fy/RR:F −+==→
a) >∞< ;0 b) >∞;0[ c) ]4;0[
d) >4;0[ e) ]4;4[ −
14) Hallar el dominio de :
xx|3x|)x(f −−+−=, e indicar el
número de valores enteros que posee.a) Infinitos b) 8 c) 9d) 10 e) 11
15) Sea la función polinomial:
RR:)x(f →1 2x3x3x)x(f
246 −+−= ; encontrar
su dominio, si su rango es >− 1 6;1 2[ .
a) >∞;1[ b) >−< 1 2;1 6
c) >−< 2;2
d) >−< 4;1
e) ]1;4−<
16) Dada la función:
0aNn;xa)x(Fn nn >∧ε−=
I. Dom(F) = R; ∀ n impar
II. Dom(F) = [-a; a] n∀ par
III. F(x) = F(-x); ∀ n parIndicar el valor de verdad.a) VVV b) VVF c) VFVd) FFV e) FFF
17) ¿Qué conjuntos de pares ordenados son funciones?
}Rt/)t;3t{ (A2 ε+=
}Rt/)t;5t{ (B ε+=
}Rt/)t;1t{ (C2 ε−=
}Rt/)t;2t3{ (D ε+=a) Sólo B. b) A y B. c) Sólo B.d) Todos. e) B y D.
18) Calcular el rango de la función :
xx2)x(f −−=
Si : ]9;1[xD F ε= .
a) >< 1 5;1 b) >−< 1 5;1
c) ]1;1 5<
d) ]1;1 5[ −−
e) ]1 5;0<
19) Determinar el rango de la función:
x5)x1|5x(|)x(F −++−=
a) >∞;0[
b) >∞−< ;1 c) ]0;−∞<
d) R e) ]4;−∞<
20) Sea la función lineal : RR:f → cuya regla de correspondencia es :
3axax|2aax3ax|)x(f
22 +−+−+−=indicar los valores del parámetro real "a", que definen completamente la función "f".
a) ><ε 5/8;0a b) ><ε 3/5;1a
c) >−<ε 1;
5
8a
d) Raε
e) >−<ε 0;
5
8a
TAREA DOMICILIARIA
1) Dada la gráfica de F(x) :
y
x- 6 - 1
3
4- 2
- 5
0
Indicar lo correcto :
a) ]3;0]2;5)F(D om <∪−−<=
b) ]3;02;5[)F(Ran <∪>−−=
c) ]4;01;6)F(Ran <∪>−−<=
d) >∪−−<= 4;0[]1;6)F(D om
e) >−<= 0;2)F(Ran
2) Graficar : F(x) = 3x - 2
a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
3) Graficar la función :
23x)x(F +−=
a)
y
x3 b)
y
x- 3
c)
y
x- 3
- 2 d)
y
x- 2 2
e)
y
x
2
3
4) Graficar: F(x) = 2x −−
a)
y
x2
b)
y
x2
c)
y
x- 2
d)
y
x2
e)
y
x- 2
5) Graficar:
≥<=
0x:si;x
0x:si;x)x(F
2
a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
6) Graficar: F(x) = |x - 3|+ 2.
a)
3
2
y
x
b)
- 3
2
y
x
Logaritmos Tercer Año
c) - 3
2
y
x
d)
3
2
y
x
e)
y
x
7) Luego de graficar :
1 4x6x)x(F2 −+−= , se obtiene una
parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular : a + b.
a) 8 b) 2 c) -2d) -8 e) 5
8) Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones F y G, tales que :
F(x) = |x-5| y G(x) = 3.
a) 6 u2 b) 8 c) 9d) 12 e) 16
9) Graficar: |3x|)x(F2 −=
a)
y
x
3
b)
y
x
3
c)
y
x
- 3
d)
y
x
3
e)
y
x
- 3
10) Se tiene la gráfica de la función F(x) :y
x
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a : H(x) = F(x-3) + 3 ?
a)
y
x
3
b)
y
x
3
- 3
c)
y
x
3
3
d)
y
x
- 3
e)
y
x- 3
11) Obtener la pendiente de :2BAx)x(F ++=
Sabiendo que la gráfica F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; -2).a) -2 b) 4 c) 3d) 5 e) 1
12) Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones:
0ab;babx)x(f2 >−=
2
b2)x(g =con el eje de las ordenadas.
a)
23
ua
b9
b) 3
b9
a2
c) a9
b23
d) ab e) a2
b93
13) Hallar el área de la región sombreada :
y
x6
F ( x ) = x 2 - 4 x - 5
a) 21 u2 b) 42 c) 28d) 14 e) 24
14) En la función : b)ax()x(f2 +−= .
El valor de "x" que hace que la función acepte a 7 como mínimo valor, es 7.Hallar "ab".a) 7 b) 14 c) 49d) - 49 e) 0
15) La función cuadrática:
1x1 2x2)x(f2 ++−=
tiene un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su valor?a) Un mínimo, 19. b) Un máximo, 19.c) Un máximo, 3. d) Un mínimo, 3.e) Un máximo, 20.
16) La ganancia de cierta compañía está dada
por: 1 500x60x2)x(G2 ++−=
Encontrar la ganancia máxima.a) 1945 b) 1950 c) 1955d) 1960 e) 1965
17) Hallar los puntos de intersección de las gráficas de :
3x2x)x(f2 +−= y 9x5)x(g −=
e indicar la suma de coordenadas de uno de ellos.a) 7 b) 8 c) 15d) 16 e) 20
18) Dadas las funciones:
4x3x2)x(f2 +−=
ppx3x7)x(g2 +−−=
se elige "p", de manera que sus gráficas tengan un único punto en común. Entonces, las coordenadas (x; y) de dicho punto son: a) (0 ; 0) b) (1 ; 1) c) (-1 ; 3)d) (1 ; 3) e) (1 ;-3)
19) Determinar el área de la región formada por la función: F(x) = -|x| + 4 y el eje de las abscisas.
a) 8 u2 b) 12 c) 14d) 16 e) 32
20) Graficar:
<
≥=
1x;x
1x;x)x(F
2
a)
y
x
b)
y
x
c)
y
x
d)
y
x1
1
e)
y
x
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) La gráfica de la función:F(x) = x|x|; es:
a)
y
x
b)
y
x
Logaritmos Tercer Año
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
2) Las gráficas corresponden a las funciones:
22x
2
1)x(gx2x)x(f =∧+−=
si la máxima longitud vertical "d" se encuentra en la abscisa "a". Calcular "a".
y
x
g
fd
a
a) 1 b) 3/2 c) 2/3d) 1/3 e) 3/4
3) Dada la gráfica de F(x) :
- 7 - 2
5
2
1 7
y
x
- 1
- 5
se cumple :]d;c[b;a[)F(Ran)F(D om ∪>=∩
Calcular : a + b + c + d.a) 0 b) 1 c) - 3d) 13 e) - 13
4) Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta cuya pendiente (- 3).
( - 1 ; 1 5 )
A
y
x
L
a) 15 u2 b) 21 c) 24d) 28 e) 32
5) Calcular el área de la región sombreada limitada por las funciones indicadas.
H ( x ) = 6 - x - 2
G ( x ) = 4
y
x
a) 24 b) 32 c) 48d) 16 e) 20
6) Graficar: |4x|)x(F −=
a)
y
x1 6 b)
y
x- 4
c)
y
x
4
1 6
d)
y
x
- 1 6
e)
y
x 4
7) Indicar la gráfica de la función:
2xx)x(F +=
a)
y
x
b) y
x
c)
y
x
d)
y
x
e)
y
x
8) Hallar el área de la región sombreada :
y
x5
F ( x ) = x 2 - 2 x - 3
a) 36 u2 b) 18 c) 24d) 12 e) 25
9) ¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica?
1x
xy
+=
a) (0; 0) b) )1;
2
1( −−
c) )
3
1;
2
1(
d) (-1; 1) e) (-2; 2)
10) Graficar : 22
mm x2x)x(F ++= .Si : m < 0.
a)
y
x b)
y
x
c)
y
x
d) y
x
e)
y
x
11) Si "h" es una función lineal de pendiente 3 e intersección con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función g(x), si:
g(x) - x = h(1) + h(x+1)a) g(x) = 4x + 4 b) g(x) = 4x + 16c) g(x) = 4x +12 d) g(x) = 3x +13
e) g(x) = 3x + 12
12) En el siguiente gráfico:y
x( 2 ; 0 )
Hallar la ecuación de la parábola si el punto (3, 2) pertenece a ella y su rango es el
intervalo >∞+− ;
4
1[
.
a) y2x3x2 =+− b) 2x3xy
2 ++=
c) 2x3xy2 −−= d) y2x3x2
2 =++
e) y2x3x22 =−−
Logaritmos Tercer Año
13) Indicar cuántos puntos de la forma (a; b) donde:
a y b e Z se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones :
F(x) = (x+2)(x-2) y G(x) = (2+x)(2-x)a) 21 b) 19 c) 14d) 12 e) 17
14) De la gráfica:y
xa
b
S
Si el área "S" del rectángulo es máxima, hallar dicha área.
a) ab b) 2
ab
c) 4
ab
d) 3
ab
e) 6
ab
15) Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto vértice sobre la recta de ecuación y = - 2x + 8. El área máxima que puede tener el rectángulo es igual a :
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
16) Sea f, una función de proporcionalidad, tal que :
f(3) + f(7) =20. Entonces, el valor del producto :f(21/5) f(5) f(7), es :a) 147 b) 1470 c) 1170d) 1716 e) 1176
17) Dado el gráfico : y
x
V
Donde : 8x6x)x(F2 −+−=
Hallar el área de la región sombreada.
(V : vértice de la parábola).
a) 1 u2 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
18) Si la gráfica adjunta, representa a :y = f(x)
1
2
¿Cuál de las gráficas representa a :y = f(-x) ?
a)
1
2- 2b) - 1
2- 2
c)
- 1
- 2
d)
1
- 2
e)
2
- 1
19) Según el gráfico de "f".y
x
1
- 2
f
Indicar el gráfico: H(x) = f(-x) - 1.
a)
y
x
1
2
b)
y
x
- 1
2
c)
y
x
1
2
d)
y
x
- 1
2
e)
y
x
- 2
1
20) Dada la función "f" cuya regla de
correspondencia es ax2x)x(f2 +−= .
Entonces, podemos afirmar que los gráficos adjuntos corresponden:
I.
f
x II.
f
x
III.
f
x
a) El gráfico II ocurre cuando a > 1.b) El gráfico II ocurre cuando a < 1.c) El gráfico III ocurre cuando a = 1.d) El gráfico I ocurre cuando a < 1.e) El gráfico II ocurre cuando a > 1.
PRÁCTICA DIRIgIDA
1. Si los siguientes pares ordenados: (a+2; 7) y ( 8; b+1 ) son iguales. Encontrar los valores de “a” y “b”
2. Si el conjunto A tiene 4 elementos y el conjunto B tiene 5 elementos ¿Cuántos elementos tendrá el producto cartesiano AxB?
3. Dada la relación: R = {(3; 6); (2; 4); (7; 6) ; (7; 8)}; completa: La imagen de 3 es . . . . . . La imagen de 2 es . . . . . . 7 es pre-imagen de . . . . . . 2 es pre-imagen de . . . . .
4. Verificar el valor de veracidad de las siguientes proposiciones:a) (X; Y) ≠ (Y; X)b) A x B ≠ B x Ac) n(AxB) = n(A) x n(B)d) D(R) representa al dominio de la
relación y es el conjunto de todas las preimágenes.
e) R(R) representa al rango de la relación y es el conjunto de todas las imágenes.
5. Dado los conjuntos A= { 1; 2; 3; 4} y B ={ 1; 5; 7} Encontrar:- El producto cartesiano AxB, usando
el diagrama sagital
- R = { (x;y) ∈ AxB / x + y = 8}- Dominio y Rango de la relación
6. Dado los conjuntos A= { 2; 5; 6; 9} y B ={1; 3; 4} Encontrar:- El producto cartesiano AxB, usando
el diagrama del árbol- R = { (x;y) ∈ AxB / x > y}- Dominio y Rango de la relación
7. Si los siguientes pares ordenados: (2a-1; -8) y ( -9; 3b+1 ) son iguales. Encontrar el valor de “(a+b)2- (a-b)2”
a) -48 b) 48 c) 12 d) 28
8. Si el conjunto A tiene 13 elementos y el conjunto B tiene 12 elementos ¿Cuántos elementos tendrá el producto cartesiano AxB?a) 108 b) 156 c)12 d) F.D.
9. Dado el conjunto A= { 2; 3; 4} Encontrar:
- La relación Binaria AxA- R = { (x;y) ∈ AxA / x+ y < 6}- La relación inversa de R
10.Dado el conjunto A= { 1; 3; 5} Encontrar:- La relación Binaria AxA- R = { (x;y) ∈ AxA / x+ y < 4}
Logaritmos Tercer Año
- La relación inversa de R
11.Si los siguientes pares ordenados: P = { x+4 ; 8} Q = {y+z;10} y R = { x+z;12 } su primera componente tiene mismo valor que su segunda componente. Hallar: x + 4y – za) 4 b) 10 c) 6 d) 8
12.Dado los conjuntos A= {1; 2; 4; 6} y B={1; 3; 5} Encontrar:- El producto cartesiano AxB- R = { (x;y) ∈ AxB / x < y}- Dominio y Rango de la relación
13.Dado el conjunto A= { 3; 4; 5} Encontrar:- La relación Binaria AxA- R = { (x;y) ∈ AxA / x + y < 8}- La relación inversa de R
14.Dado los conjuntos: A = {2x-1 / x ∈ N y -1 < x < 5 } y B = {1+2x / x ∈ N y -2 < x < 4} Encontrar:- Los elementos del Conjunto A y B
expresados por extensión- El producto cartesiano AxB, usando
el diagrama cartesiano- La relación: R = { (x;y) ∈ AxB / x >
y}- Dominio y Rango de la relación - La relación inversa de R
15.En la siguiente función “n” es:F = { ( 3 ; 8 ) , ( 3 ; n ) , ( 4 ; 5)}
16.En la siguiente función, hallar los valores de “a” y “b”F = { (1; 2) , (3; 1), (1; a+4), (3; b-2) }
17.Dado los conjuntos: A = { 1; 2; 4} y B ={3; 5; 6} y dadas las relaciones:R1 = {(1; 5); (2; 6); (4;3)}R2 = {(1; 3); (2; 3); (4;3)}R3 = {(1; 5); (2; 3); (4; 5)}R4 = {(1; 6); (2; 2); (4;3)}R5 = {(3; 1); (5; 2); (6;4)}R6 = {(1; 3); (2; 6)} ¿Cuáles si son funciones?
18. La gráfica de la función y = x - 4, ¿En qué punto corta al eje de las ordenadas?
19.En la siguiente función, hallar los valores de “a” y “b”
F = { (6; 1-a) , (7; b+1), (6; 2), (7; 4) }
20. Dada la función: y = f(x) = x2 - 2x + 3.¿Cuál es el valor de f(0)+f(-3) + f(1)?
21.Dada la función: F(3x+10) = 2x – 4 Hallar F(13)
22.Dada las siguientes gráficas, reconocer ¿Cuáles son funciones?
23. Sea la función f: RR, definida por: f = { (x; y) / y = x - 4} - Elaborar una tabla de valores- Graficar la función- Hallar su dominio y rango.
24. Dada la función: y = f(x) = x2+ 6x -5.¿Cuál es el valor de f(-2) + f(4)?
25. La gráfica de la función y = x + 2, ¿En qué punto corta al eje de las ordenadas?
26. Los gráficos de las funciones: F(x) = 3x-2 y g(x) = 3-2x; ¿Se interceptan en qué punto?
27. Indicar el gráfico de la función: y = x2
a
b
dc
