3.dpsimplekscozumyontemi

5/25/2018 3.DPSIMPLEKSCOZUMYONTEMI

1/31

Matematiksel ProgramlamaDP SMPLEKS ZM YNTEM

r.Gr.Dr.Habip KOAKMarmaraniversitesi

1

MATEMATKSEL PROGRAMLAMA

DORUSAL PROGRAMLAMA

SMPLEKS ZM YNTEM


2/31



2

DP Simpleks zm Yntemi

Grafikle zmn uygulanamad ok deikenli

dorusal programlama problemlerinin zmnde yaygnbiimde kullanlan yntemsimpleks yntemidir.

George B. Dantzig tarafndan gelitirilen bu yntemtekrarl bir yntem olduundansimpleks algoritmaolarakda adlandrlmaktadr.


3/31



3

Kanonik Ve Standart Biimler1.Kanonik Biim

Zenb= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxn

a11x1+ a12x2 + ... + a1nxnb1a21x1+ a22x2 + ... + a2nxnb2. . ... . .

am1x1+ am2x2+ ... + amnxnbm

x10, x20, ..., xn0

olarak formle edilen dorusal programlama aadaki zelliklere sahipse, kanoni biimde olduu sylenir.

1. Tm karar deikenleri negatif deildir.

2. Ama fonksiyonu en bykleme tipindedir.3. Tm kstlayc fonksiyonlar () iaretlidir.

2.Standart Biim

Zenk/enb= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxn

a11x1+ a12x2 + ... + a1nxn= b1

a21x1+ a22x2 + ... + a2nxn= b2. . ... . .

am1x1+ am2x2+ ... + amnxn= bmx10, x20, ..., xn0

olarak formle edilen dorusal programlama modeli aadaki zelliklere sahipse,standartbiimde olduu sylenir.

1. Tm karar deikenleri negatif deildir.2. Ama fonksiyonu en bykleme veya en kkleme tipindedir.3. Tm kstlayc fonksiyonlar (negatif olmama koulu dnda) = iaretlidir.4. Kstlayc fonksiyonlarn sa taraf sabitleri negatif deildir.


4/31



4

Standart ve Kanonik Biim Dntrme lemleri1.En iyilemenin anlamn deitirmeZenb= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxn olarak tanmlanmken,= (-Zenb) = -C1x1- C2x2- ... - Cnxn

veya

Zenk= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxn olarak verilmiken,= (-Zenk) = -C1x1- C2x2- ... - Cnxn

yazlabilir.rnek olmas bakmndan ama fonksiyonunun aadaki gibi formle edildiinidnelim.

Zenk= 3x1- 4x2+ 2x3- 5x4Ama fonksiyonundaki tm terimlerin iaretlerinin deitirilmesiyle ama

fonksiyonu aadaki gibi yazlabilir.= (-Zenk) = -3x1+ 4x2- 2x3+ 5x4Dntrme ilemi, karar deikenlerinin en iyi deerlerini deitirmez.

Problemi zdkten sonra ama fonksiyonunun en iyi deeri (-1) ile arplrsaorijinal problemin Zenk (Zenb) deeri bulunur.


5/31



5

Dntrme lemleri-devam2.Eitsizliklerin ynn deitirme: Herhangi bir eitsizliin her ikitaraf (-1) ile arpldnda eitsizlik yn deitirir. Szgelimi, a

11x

1

+ a12x2b1ile her iki tarafnn (-1) ile arplmasyla elde edilen -a11x1- a12x2-b1birbirlerine eittir. Benzer biimde, a11x1+ a12x2

b1yerine -a11x1- a12x2-b1yazlabilir.3.Eitlii eitsizlie dntrme: Eitlik biimindeki bir kstlayc

fonksiyon iki eitsizlikle aklanabilir. rnein, a11x1+ a12x2= b1biimindeki bir fonksiyon yerine, a11x1+ a12x2b1 ve a11x1+ a12x2b1veya a11x1+ a12x2b ve -a11x1- a12x2-b1yazlabilir.4.areti snrlandrlmam deikenler: areti snrlandrlmam

bir deiken (pozitif, negatif veya sfr) negatif olmayan iki deiken

arasndaki fark olarak aklanabilir. Szgelimi, x iaretisnrlandrlmam bir deiken ise, x yerine (x+-x-) kullanlabilir.Burada, x+0 vex-0dr. Negatif olmayan x+ve x-deikenlerinden en fazla biri en iyi zmde pozitif deerli olur.


6/31



6

Dntrme lemleri-devam

5.Eitsizlik biimindeki kstlayc fonksiyonlarn eitlik biimine dntrlmesi:

Simpleks yntem bir eitlikler sistemine, standart ilemlerin tekrar tekraruygulanmasyla zm arayan bir sretir. Bu nedenle yntemin en nemli admkstlayc fonksiyonlarn eitlik biiminde yazlmasdr. Eitsizlik biimindeki birkstlaycnn eitsizliin yn bakmndan iki trl olduu bilinmektedir. Eitsiz-

likler a xij ijj

n

1

biveya a xij ijj

n

1

bibiimindedir.

() iaretli eitsizlikleri eitlik biimine dntrmek iin bunlarn sol taraflarnanegatif olmayan birer deiken eklenir. Aylak deiken ad verilen bu deikenlerxn+1, xn+2, ..., xn+m ile gsterilir. () iaretli eitsizlikler ise, sol taraflarndan negatiolmayan birer deiken kartlmasyla eitlik biimine dntrlr. Eitsizliin iki

taraf arasndaki fark gsteren bu deikene artk deikendenir. Bu deikenler deaylak deikenler gibi xn+1, xn+2 , ..., xn+m, sembolleriyle gsterilirler. Yukardaakland gibi, negatif olmama koulu karar deikenlerinin yan sra aylak ve artkdeikenlere de uygulanmaktadr. Bunun nedeni, kstlayc fonksiyonlardaki () ve() artlarnn gereklemesini salamaktr.


7/31



7

Dntrme lemleri-devam

6. Mutlak deerli kstlayc fonksiyonlarn eitsizlik biiminde yazlmas: ok sk

olmasa da mutlak deer ieren kstlayc fonksiyonlara rastlanabilir. Hangi yntemuygulanrsa uygulansn bu tr kstlayclarla zme ulalamaz. Bu yzden mutlakdeerden kurtulmak gerekir. rnek olmas bakmndan, kstlayc fonksiyonuna x + a x1 1 2 2 b eklinde formllendiini dnelim. Bu durumda yaplmas

gereken a x + a x1 1 2 2 b yerine a1x1 + a2x2 -b ve a1x1 + a2x2 b ikilisini

yerletirmektir. Kstlayc a x + a x1 1 2 2 b ise a x + a x1 1 2 2 b yerine geecekeitsizlikler a1x1+ a2x2b ve a1x1+ a2x2-b biimindedir.

Herhangi bir dorusal programlama modelinin standart veya kanonik biimde yazl-masn bir rnek zerinde aklayalm.


8/31



8

rnek 4.1

rnek 4.1: Aadaki gibi verilmi olan dorusal programlama problemini,a

.Kanonik biimde, b. Standart biimde yaznz.

Zenk= -6x1+ 7x2+ 7x3- x4

x1+ 2x2 - 4x3 302x1 + 9x2+ 6x3+ x4606x

1 + x

3+ x

4= 15

|3x1+ 4x2| 80

x1, x2, x40, x3snrlandrlmam


9/31



9

zm 4.1. a-

Zenb

' = 6x1- 7x

2- 7( x x

3 3

) + x4

-x1- 2x2+ 4( x x3 3 ) -30

2x1+ 9x2+ 6( x x3 3 ) + x4 60

6x1 + ( x x3 3 ) + x4 15

-6x1 - ( x x3 3

) - x4 -153x1+ 4x2 80-3x1- 4x2 80

x1, x2, x 3 , x

3

, x40


10/31



10

zm 4.1. b-

Zenk= -6x1+ 7x2+ 7( x x3 3 ) - x4

x1+ 2x2- 4( x x3 3 ) - x5 = 30

2x1+ 9x2+ 6( x x3 3 ) + x4 + x6 = 60

6x1 + ( x x3 3 ) + x4 = 15

-3x1- 4x2 + x7 = 803x1+ 4x2 + x8 = 80

x1, x2, , x4, x 3

, x3

, x5, x6, x7, x80


11/31



11

Simpleks zm Ynteminin AklanmasAadaki gibi bir modelin olduunu varsayalm.

Zenb= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxna11x1+ a12x2 + ... + a1nxnb1a21x1+ a22x2 + ... + a2nxnb2

. . ... . .

am1x1+ am2x2+ ... + amnxnbm

x10, x20, ..., xn0


12/31



12

Simpleks zm Ynteminin Aklanmas-devamSimpleks yntemin ilk adm tm eitsizliklerin (negatif olmama koulu hari) eitlikbiimine dntrlmesidir. Kesim 4.2de akland gibi () iaretli bir eitsizliieitlie dntrmek iin eitsizliin sol tarafna negatif olmayan bir aylak deikeneklenir. Her bir eitsizlik iin bir aylak deiken kullanlmasyla yukardakikstlayc fonksiyonlar aadaki gibi olur.

a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn+ 1xn+1+ 0xn+2+ ... + 0xn+m= b1a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ 0xn+1+ 1xn+2+ ... + 0xn+m= b2

. . ... . . . ... . .am1x1+ am2x2+ ... + amnxn+ 0xn+1+ 0xn+2+ ... + 1xn+m= bm

Aylak deikenlerin eklendikleri kstlayc fonksiyonlardaki katsaylarnn +1, dier-lerinde sfra eit olduu grlebilir.

Karar deikenleri ile aylak deikenler negatif olmadndan, standart biiminnegatif olmama koulu aadaki gibi olur.

x1, x2, ..., xn, xn+1, xn+2, ..., xn+m0Aylak deikenlerin ama fonksiyonu katsaylar, bir baka deyile bu deikenlerinama fonksiyonuna birim katklar (birim krlar) sfrdrBu durumda ama fonksiyonu aadaki gibi olur.

Zenb= C1x1+ C2x2+ ... + Cnxn+ 0xn+1+ 0xn+2+ ... + 0xn+m


13/31



13

Standart Biimin Matris Gsterimi

Standart biimdeki dorusal programlama modelinin kstlayc fonksiyonlar matris-

lerle yle gsterilir.

m

2

1

mn

2n

1n

n

2

1

mn121m

n22221

n11211

b

.

.

b

b

=

x

.

.

x

x

x

.

.

x

x

.

1...00

......

......

0...10

0...01

a...aa

......

......

a...aa

a...aa

14


14/31



14

Balang zm Tablosu

Standart biimin oluturulmasndan sonra en iyi zmn

aratrlmas ilemine geilebilir. Simpleks yntemin ardktekrarlar balang zm tablosuad verilen bir tablonundzenlenmesinden sonra balar. Balang zm tablosu,aadaki tablo esasna gre dzenlenir.

M ik l P lS S 15


15/31



15

3

4

Tablo 4.1

Simpleks Balang zm Tablosu

TDV x1 x2 xn xn+1 xn+2 xn+m V

0 xn+1 a11 a12 a1n 1 0 0 b1

0 xn+2 a21 a22 a2n 0 1 0 b2

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0 xn+m am1 am2. amn 0 0 1 bm

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj- Cj -C1 -C2 -Cn 0 0 0 -

Tablo 4.1 kapsamndaki blmler aada aklanmtr.1.Deikenler satr:Tablonun ilk satrdr. Standart biimin tm deikenleri ncekarar deikenleri, sonra dier deikenler olmak zere bu satrda gsterilir.

2. Temel deikenler stunu: Tablonun ilk stunudur. Tablodaki zme karlkgelen temel zmn deikenleri ile bu deikenlerin ama fonksiyonu katsaylarngsterir.

2 5

6

7

1

M t tik l P lDP SMPLEKS ZM YNTEM 16


16/31



16

3.Gvde: Problemin orijinal karar deikenlerinin kstlayc fonksiyonlardaki katsa-

larndan (aij, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) oluan m x n matristir.

4.

Bir im matris: Aylak deikenlerin kstlayc fonksiyon katsaylarnn oluturduum x m birim matristir.

5. zm vektr: Temeldeki deikenlerin zm deerlerini gsteren m x 1 stun

vektrdr. Balangta, kstlayc fonksiyonlarn sa taraf sabitlerinden oluur.

6. Zjsatr: Yrlkteki temelde bulunan deikenlerin ama fonksiyonu katsaylar

ile xjstunundaki katsaylarn karlkl arpmlarnn toplamndan oluur. Buna gre

rnein, Z1= 0(a11) + 0(a21) + ... + 0(am1) = 0 olur.3.Gvde: Problemin orijinal karar deikenlerinin kstlayc fonksiyonlardaki katsa-

larndan (aij, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) oluan m x n matristir.

4.Bir im matris: Aylak deikenlerin kstlayc fonksiyon katsaylarnn oluturduu

m x m birim matristir.

5. zm vektr: Temeldeki deikenlerin zm deerlerini gsteren m x 1 stun

vektrdr. Balangta, kstlayc fonksiyonlarn sa taraf sabitlerinden oluur.6. Zjsatr: Yrlkteki temelde bulunan deikenlerin ama fonksiyonu katsaylar

ile xjstunundaki katsaylarn karlkl arpmlarnn toplamndan oluur. Buna gre

rnein, Z1= 0(a11) + 0(a21) + ... + 0(am1) = 0 olur.

7.Zj- Cjsatr: Tablonun son satrdr. Elemanlar, Zjile o stunla ilgili deikenin

ama fonksiyonu katsays arasndaki farka eittir. Zj- Cjfarklar xjdeikeninin

temele alnmasnn ama fonksiyonunda yol aaca deiiklii ters iaretle gsterir.



17/31



17

Anahtar Stun: Simpleks ynteminde, temeli terkeden deikenin bulunduu satraanahtar satrdenir.

Anahtar satr: Simpleks ynteminde, temeli terkeden deikenin bulunduu satraanahtar satrdenir.

Anahtar Say: Anahtar stun ile anahtar satrn kesitii gzedeki deere anahtarsaydenir.

Temele girecek deikenin yeni deerlerinin hesaplanmas:(Anahtar Satr Deerleri/Anahtar Say)

Dier Satr Deerlerinin Deerleri:

Eski

SatrElemanlar

-

Eski Satrla

Anahtar StununKesitii Gzedeki Say

x

Anahtar

Satrn Yeni

Elemanlar



18/31



18

rnek 4.2rnek 4.2: Bir sanayii iletmesi bakr, alminyum ve inko metallerinin farkl alamlarnkullanarak A ve B gibi iki eit rn retmektedir. letmenin elinde 20 ton bakr, 30 ton

alminyum ve 40 ton inko vardr. Bir birim A ve bir birim Bnin retiminde kullanlanbakr, alminyum ve inko miktarlar (ton) ile A ve Bnin bir biriminden elde edilen karlar(TL) aadaki tabloda gsterilmitir.

Bu bilgileri ve tablodaki verileri kullanarak problemin dorusal programlama modelinikurunuz ve iletmenin karn en bykleyen retim miktarlarn simpleks yntemle bulunuz.

Hammadde

rn Bakr Alminyum inko KrA 6 3 1 2

B 4 1 1 3



19/31



19

zm 4.2zm 4.2: Problemin dorusal programlama modeli aada gsterilmitir.

Zenb= 2x1+ 3x2

6x1+ 4x220 (Bakr kst)3x1+ x230 (Alminyum kst)x1+ x240 (inko kst)

x1, x20

Standart Biim

Zenb= 2x1+ 3x2+ 0x3+ 0x4+ 0x5

6x1+ 4x2+ x3 + 0x4+ 0x5= 20

3x1+ x2+ 0x3 + x4+ 0x5= 30

x1+ x2+ 0x3 + 0x4+ x5= 40

x1, x2, x3, x4, x50

Tablo 4.2

Simpleks Balang zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 V Oran0 x3 6 4 1 0 0 20 20/4

0 x4 3 1 0 1 0 30 30/1

0 x5 1 1 0 0 1 40 40/1

Zj 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj -2 -3 0 0 0 -

AS

ASZj satr elemanlar, bulunduklar stundaki katsaylarla temel deikenlerin amafonksiyonu katsaylarnn karlkl arpmlarnn toplam olarak aadaki gibihesaplanmtr.

Z1= 0(6) + 0(3) + 0(1) = 0Z2= 0(4) + 0(1) + 0(1) = 0

Z3= 0(1) + 0(0) + 0(0) = 0

Z4= 0(0) + 0(1) + 0(0) = 0Z5= 0(0) + 0(0) + 0(1) = 0

Z6= 0(20) + 0(30) + 0(40) = 0

Yukardaki Zjdeerlerinin kullanlmasyla Zj- Cjdeerleri aadaki gibi bulunur.

Z1- C1= 0 - 2 = -2

Z2- C2= 0 - 3 = -3Z3- C3= 0 - 0 = 0

Z4- C4= 0 - 0 = 0

Z5- C

5= 0 - 0 = 0

Matematiksel ProgramlamaDP SMPLEKS ZM YNTEM 20


20/31



20

zm 4.2

Bu durumda Z = 15, ama fonksiyonu iin bulunabilecek en byk deerdir. Bu zmde x1= 0, x2=5, x3= 0, x4= 25, x5= 35dir. Bu durumda, iletme Bden 5 birim retirken Adan hi retmeyecek,bylece en yksek kr 15 TL olacaktr.Aylak deikenlerin en iyi zmdeki deerleri x3= 0, x4= 25, x5= 35dir.

Anahtar satrn yeni elemanlar,

6 4 4 4 1 4 0 4 0 4 20 4/ / / / / /

veya gerekli aritmetik ilemlerin yaplmasyla aadaki gibi olur.

3 2 1 1 4 0 0 5/ /

Bu deerlerin yeni zm tablosuna yerletirilmesinden sonra tablonun dierelemanlar hesaplanabilir.

x4deiken satrndan balayarak dier satr elemanlarn hesaplayalm. x4deikensatrnn eski elemanlar aada gsterildii gibidir.

3 1 0 1 0 30

Bu satrla anahtar stunun kesitii yerdeki say 1 ve anahtar satrn yeni elemanlar,

3 2 1 1 4 0 0 5/ / olduuna gre, x4deiken satrnn yeni elemanlar,

3 1 0 1 0 30

(-1) 3 2 1 1 4 0 0 5/ /

3/2 0 -1/4 1 0 25olarak hesaplanr.

Ayn yaklamla x5deiken satrnn yeni elemanlarnn,

[1 1 0 0 1 40](-1)[3/2 1 1/4 0 0 5]

-1/2 0 -1/4 0 1 35

Tablo 4.3

Simpleks Birinci (En yi) zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 V3 x2 3/2 1 1/4 0 0 5

0 x4 3/2 0 -1/4 1 0 25

0 x5 -1/2 0 -1/4 0 1 35

Zj 9/2 3 3/4 0 0 15

Zj - Cj 5/2 0 3/4 0 0 -



21/31



21

rnek 4.3rnek 4.3: Aadaki dorusal programlama problemini simpleks yntemle znz.

Zenb= 10x1+ 22x2+ 18x3x1+ 4x2+ 3x3 24

2x1+ 2x2+ 4x3 463x1+ 5x2+ 6x3 604x1+ 8x2+ 3x3120

x1, x2, x30



22/31



22

zm 4.3zm 4.3: Problemin standart biimi aada gsterilmitir.

Zenb= 10x1+ 22x2+ 18x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6+ 0x7

x1+ 4x2+ 3x3+ x4 + 0x5+ 0x6+ 0x7= 242x1+ 2x2+ 4x3+ 0x4 + x5+ 0x6+ 0x7= 463x1+ 5x2+ 6x3+ 0x4 + 0x5+ x6+ 0x7= 60

4x1+ 8x2+ 3x3+ 0x4 + 0x5+ 0x6+ x7= 120

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x70

Problemin simpleks balang zm tablosu yledir.

Tablo 4.4


TDV x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 V Oran

0 x4 1 4 3 1 0 0 0 24 24/4 = 6

0 x5 2 2 4 0 1 0 0 46 46/2 = 23

0 x6 3 5 6 0 0 1 0 60 60/5 = 12

0 x7 4 8 3 0 0 0 1 120 120/8 = 15

Zj 0 0 0 0 0 0 0 0

Zj - Cj -10 -22 -18 0 0 0 0 -

AS

AS



23/31



23

zm 4.3Anahtar satrn yeni deerleri:

[1 4 3 1 0 0 0 24]

olduuna gre, anahtar satrn yeni elemanlar,[1/4 4/4 3/4 1/4 0/4 0/4 0/4 24/4]

veya gerekli aritmetik ilemlerin yaplmasyla aadaki gibi bulunur.

[1/4 1 3/4 1/4 0 0 0 6]

Bu deerlerin yeni zm tablosuna yerletirilmesinden sonra bu tablonun dierelemanlar hesaplanabilir.

x5deiken satrndan balayarak dier satr elemanlarn hesaplayalm. Sz konusu

deerler aadaki gibi bulunur.

x5deiken satrnn yeni elemanlarnn hesaplanmas:

[2 2 4 0 1 0 0 46]

(-2)[1/4 1 3/4 1/4 0 0 0 6]

3/2 0 5/2 -1/2 1 0 0 34


[3 5 6 0 0 1 0 60](-5)[1/4 1 3/4 1/4 0 0 0 6]

7/4 0 9/4 -5/4 0 1 0 30


[4 8 3 0 0 0 1 120]

(-8)[1/4 1 3/4 1/4 0 0 0 6]

2 0 -3 -2 0 0 1 72



24/31



24

zm 4.3Tablo 4.5

Simpleks Birinci zm Tablosu

TDV x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 V Oran22 x2 1/4 1 3/4 1/4 0 0 0 6 6/(1/4) = 24.00

0 x5 3/2 0 5/2 -1/2 1 0 0 34 34/(3/2) = 22.33

0 x6 7/4 0 9/4 -5/4 0 1 0 30 30/(7/4) = 17.11

0 x7 2 0 -3 -2 0 0 1 72

Zj 11/2 22 33/2 11/2 0 0 0 132

Zj - Cj -9/2 0 -3/2 11/2 0 0 0 - -

Tablo 4.6

Simpleks kinci (En iyi) zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 V

22 x2 0 1 3/7 3/7 0 -1/7 0 12/7

0 x5 0 0 4/7 4/7 1 -6/7 0 58/7

10 x1 1 0 9/7 -5/7 0 4/7 0 120/7

0 x7 0 0 -39/7 -4/7 0 -8/7 1 264/7

Zj 10 22 156/7 16/7 0 18/7 0 1464/7

Zj - Cj 0 0 30/7 16/7 0 18/7 0 -



25/31



25

rnek 4.4rnek 4.4: Aadaki dorusal programlama problemini simpleks yntemle znz.

Zenb= -2x1- 3x2- x3

x1+ 4x2+ 2x383x1+ 2x2+ x36

x1, x2, x30

zm 4.4: Simpleks yntemle zm yapabilmek iin nce eitsizlikleri eitlikbiiminde yazalm. Her bir kstlayc fonksiyona birer yapay deiken eklenir, aynkstlayclardan birer artk deiken kartlrsa rnek problemin modeli simpleksyntem iin uygun biime dntrlm olur.

Zenb= -2x1- 3x2- x3+ 0x4+ 0x5- MA1- MA2

x1+ 4x2+ 2x3- x4+ A1 = 8

3x1+ 2x2+ x3- x5 + A2= 6

x1, x2, x3, x4, x5, A1, A20

Standart biimdeki bilgilerin kullanlmasyla oluturulan tablo aada gsterilmitir.

Tablo 4.7


TDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V Oran

-M A1 1 4 2 -1 0 1 0 8 8/4 = 2

-M A2 3 2 1 0 -1 0 1 6 6/2 = 3

Zj -4M -6M -3M M M M M -14M

Zj - Cj -4M+2 -6M+3 -3M+1 M M 0 0 -

AS

AS

Z1= (-M)(1) + (-M)(3) = -4MZ2= (-M)(4) + (-M)(2) = -6MZ3= (-M)(2) + (-M)(1) = -3M

Z4= (-M)(-1) + (-M)(0) = M

Z5= (-M)(0) + (-M)(-1) = MZ6= (-M)(1) + (-M)(0) = -M

Z7= (-M)(0) + (-M)(1) = -MZ8= (-M)(8) + (-M)(6) = -14M

Z1- C1= (-4M) - (-2) = -4M + 2Z2- C2= (-6M) - (-3) = -6M + 3

Z3- C3= (-3M) - (-1) = -3M + 1

Z4- C4= M - (0) = MZ5- C5= M - (0) = M

Z6- C6= (-M) - (-M) = 0Z7- C7= (-M) - (-M) = 0



26/31



zm 4.4Tablo 4.8


TDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V-3 x2 1/4 1 1/2 -1/4 0 1/4 0 2

-M A2 5/2 0 0 1/2 -1 -1/2 1 2

Zj 3 10

4

M -3 -3/23 2

4

M M 3 2

4

M -M -2M-6

Zj - Cj5 10

4

M 0 -1/2 3 24

M M 3 64

M 0 -

Tablo 4.9

Simpleks kinci zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V

-3 x2 0 11/2

-3/10 1/10 3/10 -1/10 9/5-2 x1 1 0 0 1/5 -2/5 -1/5 2/5 4/5

Zj -2 -3 -3/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -7

Zj - Cj 0 0 -1/2 1/2 1/22 1

2

M 2 12

M -



27/31



zm 4.4Tablo 4.10

Simpleks nc (En iyi) zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V

-1 x3 0 2 1 -3/5 1/5 3/5 -1/5 18/5

-2 x1 1 0 0 1/5 -2/5 -1/5 2/5 4/5

Zj -2 -2 -1 1/5 3/5 -1/5 -3/5 -26/5

Zj - Cj 0 1 0 1/5 3/55 1

5

M

5 3

5

M

-

Tablo 4.10daki temel uygun zmde tm Zj - Cj0 olduundan zm en iyidir.Bu zmde, x1 = 4/5, x2 = 0, x3 = 18/5, x4 = 0, x5= 0, A1 = 0, A2 = 0 olarakbelirlenmitir. Ama fonksiyonunun en byk deeri Zenb= -26/5dir.



28/31



rnek 4.5rnek4.5: Aadaki dorusal programlama problemini simpleks yntemle znz.

Zenb= 21x1+ x2+ x3

2x1+ x2+ 4x3= 20x1+ 3x2+ 4x3= 30

x1, x2, x30

zm 4.5: Kstlayclar eitlik biiminde olduundan, her birine (+1) katsayl yapaydeiken eklenmesi gerekir. Bu yolla elde edilen model aada gsterilmitir.

Zenb= 21x1+ x2+ x3- MA1- MA2

2x1+ x2+ 4x3+ A1 = 20x1+ 3x2+ 4x3 + A2= 30

x1, x2, x3, A1, A20

Tablo 4.11

Simpleks Balang zm TablosuTDV x1 x2 x3 A1 A2 V

-MA1

2 1 4 1 0 20

-MA2

1 3 4 0 1 30

Zj -3M -4M -8M -M -M -50M

Zj - Cj -3M-21 -4M-1 -8M-1 0 0 -



29/31



zm 4.5Tablo 4.14

Simpleks nc (En yi) zm TablosuTDV x1 x2 x3 A1 A2 V

21 x1 1 0 8/5 3/5 -1/5 6

1 x2 0 1 4/5 -1/5 2/5 8

Zj 21 1 172/5 62/5 -19/5 134

Zj - Cj 0 0 167/2

5 62

8

M 5 19

5

M

-

Son satrn tm elemanlar 0 olduundan, en iyi zm elde edilmitir. Bu en iyizmde, x1= 6, x2= 8, x3= x4= x5= 0 ve Zenb= 134dr.



30/31



Enkkleme Problemlerirnek 4.6: Aadaki dorusal programlama problemini simpleks yntemle znz.

Zenk= 3x1+ 2x2+ x3

2x1+ 3x2+ x321x1+ x2+ x312

x1, x2, x30zm 4.6: nceden olduu gibi ncelikle problemin standart biimde yazlmasgerekmektedir. Yukarda yaplan aklamalar dorultusunda eklenen ve kartlandeikenlerle problemin standart biimi aadaki gibi elde edilir.

Zenk= 3x1+ 2x2+ x3+ 0x4+ 0x5+ MA1+ MA2

2x1+ 3x2+ x3- x4+ A1 = 21x1+ x2+ x3- x5 + A2= 12

x1, x2, x3, x4, x5, A1, A20Problemin standart biimindeki bilgilerin kullanlmasyla dzenlenen balangzm tablosu aada gsterilmitir.

Tablo 4.15

Simpleks Balang zm TablosuTDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V

M A1 2 3 1 -1 0 1 0 21

M A2 1 1 1 0 -1 0 1 12

Zj 3M 4M 2M -M -M M M 33M

Zj - Cj 3M-3 4M-2 2M-1 -M -M 0 0 -



31/31


zm 4.6Tablo 4.16


TDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V2 x2 2/3 1 1/3 -1/3 0 1/3 0 7

M A2 1/3 0 2/3 1/3 -1 -1/3 1 5

ZjM4

3

2

2 2

3

M M23

-M

M 2

3

M 5M+14

Zj - Cj

M5

3

0

2 1

3

M M23

-M

4 2

3

M 0 -

Tablo 4.17

Simpleks kinci (En yi) zm Tablosu

TDV x1 x2 x3 x4 x5 A1 A2 V

2 x2 1/2 1 0 -1/2 1/2 1/2 -1/2 9/2

1 x3 1/2 0 1 1/2 -3/2 -1/2 3/2 15/2

Zj 3/2 2 1 -1/2 -1/2 1/2 1/2 33/2

Zj - Cj -3/2 0 0 -1/2 -1/2 2 1

2

M 2 12

M -

Tm Zj- Cj 0 olduundan, en iyi zme ulalm ve x1= 0, x2= 9/2, x3= 15/2, x4= 0, x5= 0, A1= 0, A2= 0 ve Zenk = 33/2 olarak belirlenmitir.

3.dpsimplekscozumyontemi

Documents

arpldnda eitsizlik yn

am1x1 am2x2 amnxnbmx10

b1a21x1 a22x2 a2nxn

am1x1 am2x2 amnxn

kanonik biim dntrme

kanoni biimde olduu

c1x1 c2x2 cnxn

standartbiimde olduu