3.1 electromagnetisml

8/18/2019 3.1 electromagnetisml

1/14

Cap. 3 Electromagnetismul

3.1 Câmpul magnetic al conductoarelor parcurse de curentelectric

3.1.1 Generalitãþi

În electrostaticã ºi electrocineticã s-a prezentat unul din aspectelecâmpului electromagnetic: câmpul electric. În prezentul capitol vom studiacâmpul magnetic ºi stãrile electromagnetice variabile în timp, în carecâmpul electric ºi câmpul magnetic se condiþioneazã reciproc ºi direct.

Între câmpul electric ºi câmpul magnetic existã o legãturãindisolubilã, ele constituind douã aspecte diferite ale aceleiaºi forme dematerie: - câmpul electromagnetic.

xperimental se poate pune în evidenþã existenþa câmpului

magnetic în spaþiul care încon!oarã magneþii permanenþi ºiconductoarele parcurse de curent. "acã în apropierea conductoarelorparcurse de curenþii electrici sau în apropierea corpurilor magnetizateeste adus un ac magnetic, acesta tinde sã se orienteze dupã o anumitãdirecþie# de asemenea între conductoarele parcurse de curenþii electricise exercitã acþiuni mecanice $forþe ºi momente%. &ceste fenomene suntmanifestãri ale câmpului magnetic care dovedesc cã în !urul circuitelorparcurse de curenþi sau în !urul corpurilor magnetizate existã câmpmagnetic care exercitã forþe magnetice asupra altor circuite parcurse decurenþi electrici sau asupra altor circuite parcurse de curenþi electrici sauasupra altor corpuri magnetizate.

'orþele magnetice sunt de mai multe categorii:- forþele electrodinamice, care se exercitã între circuite parcurse

de curent#- forþe magnetoelectrice, care se exercitã între un circuit parcurs

de curent ºi un corp magnetizat#- forþe magnetostatice, care se exercitã între magneþi

permanenþi.(rin câmp se poate înþelege:a% sistemul )zic, diferit de corpuri, care se exercitã în !urul ºi în

interiorul conductoarelor parcurse de curent ºi ale corpurilormagnetizate $câmpul electromagnetic considerat sub aspectulsãu magnetic%. &ceasta este semni)caþia fundamentalã#

b% regiunea din spaþiu în care se exercitã forþe ºi momente asupraunor corpuri magnetizate sau parcurse de curent electric#

c% mãrimea numitã intensitate a câmpului magnetic.*âmpul magnetic poate ) produs de conductoare parcurse de curent

electric# de corpuri magnetizate de câmpul electric variabil în timp.

3.1.2 Bucla de curent

(entru explorarea câmpului magnetic este necesar un corp deprobã. *el mai adecvat corp de probã magnetic se realizeazã cu o micã

A


2/14


3/14

Inducþia magneticã este o mãrime ce caracterizeazã câmpulelectromagnetic în )ecare punct, a cãrui direcþie constituie direcþiaprivilegiatã a câmpului magnetic# cuplul executat asupra buclei de curenttinde sã roteascã bucla în aºa fel, încât momentul magnetic al buclei sã )eparalel cu vectorul inducþie magneticã 5v$r% $)g. .%.

'ig. .

*uplul )C( sub formã vectorialã capãtã expresia:)r (BmC

v b ×= . $.6%

iar modulul sãu este:α⋅⋅⋅=α⋅⋅= sinBAisinBmC vv b $.7%

unde s-a notat cu α ung+iul format de momentul magnetic al buclei cuvectorul inducþie magneticã.

"acã se exploreazã cu a!utorul buclei de curent tot spaþiul din !urulunui circuit oarecare parcurs de curent, se poate determina vectorul vBpentru toate punctele spaþiului $prin mãsurarea cuplului exercitat asuprabuclei% ºi apoi se pot trasa o serie de linii, astfel încât tangenta la linie înorice punct al sãu sã coincidã ca direcþie cu vectorul inducþie magneticã

vB . &ceste linii se numesc liniile vectorului inducþiei magnetice sau liniilecâmpului magnetic# ele sunt prevãzute cu sãgeþi care indicã sensulvectorului vB . 8nducþia magneticã este o mãrime fundamentalã cecaracterizeazã câmpul magnetic.

Flux magnetic. 3e de)neºte 9uxul magnetic al vectorului inducþiemagneticã B printr-o suprafaþã oarecare 3 $desc+isã%:

,sdBdscosBsdBS

nSS ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅=⋅α⋅=⋅=φ $.%

unde α este ung+iul format de normala la suprafaþa 3 ºi vectorul inducþie

magneticã, iar 5n este componenta normalã a vectorului 5 $)g. .6%.Fluxul magnetic reprezintã totalitatea liniilor de câmp care strãbat osuprafaþã oarecare situatã în câmp, iar inducþia magneticã reprezintã omãrime egalã cu densitatea de 9ux magnetic, reprezentând totalitatealiniilor de câmp care strãbat unitatea de suprafaþã.

În cazul câmpurilor magnetice uniforme, inducþia magneticã areaceeaºi valoare în orice punct al câmpului, iar 9uxul magnetic printr-osuprafaþã 3 a9atã în câmp $)g. .7% are expresia:

α⋅⋅=φ cosSB $.;%

n

i

α

A bm

Bu B

B

3

αsd

5n

n

!

B


4/14

'ig. .6 'ig. .7*ând suprafaþa 3 este normalã pe liniile de câmp, 9uxul care

strãbate suprafaþa este maxim:SB ⋅=φ . $.nitatea de mãsurã pentru inducþia magneticã 5 este ?b@m/ sau A$Aesla%.

'luxul magnetic se mãsoarã în ?b $Beberi%.>nitãþile de mãsurã pentru momentul magnetic, inducþia

magneticã ºi 9uxul magnetic sunt aceleaºi în sistemul raþionalizat ºineraþionalizat.Continuitatea uxului magnetic. Ciniile câmpului magnetic sunt

curbe înc+ise# neavând început ºi sfârºit. 3ensul liniilor de câmp esteasociat sensului curentului prin regula burg+iului drept. *ontinuitatea9uxului magnetic este o consecinþã a faptului cã nu existã sarcinimagnetice, analoge sarcinilor electrice, câmpul magnetic )ind produs deconductoare parcurse de curent electric, iar în cazul magneþilorpermanenþi de curenþii elementari din interiorul acestora# curenþiielementari se datoresc miºcãrii orbitale ºi miºcãrii de rotaþie a electronilor în !urul axelor proprii. Ciniile magnetice în interiorul magneþilor reprezintã

o continuare a liniilor care trec în afara magneþilor $)g. .%.

'ig. .

"atoritã faptului cã liniile câmpului magnetic sunt curbe înc+ise$neexistând sarcini magnetice%, 9uxul magnetic printr-o suprafaþã înc+isãΣ este întotdeauna egal cu zero:

∫∫ Σ =⋅ .0sdB $.D%0elaþia de mai sus reprezintã legea uxului magnetic. *onform

acestei legi: uxul magnetic care strãbate o suprafaþã închisã este nuladicã uxul magnetic care intrã într!o suprafaþã închisã este egal cuuxul magnetic ce iese din acea suprafaþã"

*onform acestei legi, 9uxul magnetic are aceeaºi valoare prin toatesuprafeþele desc+ise care se spri!inã pe acelaºi contur# deci 9uxulmagnetic depinde numai de conturul ce limiteazã o suprafaþã desc+isã ºinu depinde de forma ei.

1 3


5/14

#ubul de câmp magnetic este constuit dintr-un mãnunc+i de linii alecâmpului magnetic, )ind mãrginit de o suprafaþã lateralã ºi având oanumitã secþiune transversalã ∆3 $)gura .;%.

'ig .;

Aubul de câmp este elementar atunci când secþiunea satransversalã ∆3 este atât de micã încât vectorul B nu se modi)cã de la

un punct la altul al acestei secþiuni.

3.1.3 "ermea#ilitatea magneticã. Intensitatea câmpuluimagnetic

$ermeabilitatea magneticã se noteazã cu µ ºi este o mãrime )zicãce de)neºte proprietãþile magnetice ale mediului în care ia naºterecâmpul. xperimental se aratã cã inducþia magneticã ce apare, depindede natura mediului, de mãrimea curenþilor din conductoare precum ºi depoziþia circuitelor.

4idul se considerã ca )ind mediul de referinþã# permeabilitateamagneticã a vidului se noteazã cu µE, iar permeabilitatea magneticãrelativã $µr% se de)neºte ca raportul dintre inducþia magneticã într-unmediu oarecare ºi inducþia magneticã în vid, creatã de acelaºi sistem deconductoare.

.B

B

0

r =µ $.E%

"eoarece inducþia magneticã depinde de proprietãþile magneticeale mediului, permeabilitatea relativã a unui mediu oarecare se maide)neºte ca )ind egalã cu raportul permeabilitãþilor magnetice absolute

ale mediului respectiv ºi vidului;

0

r µµ

=µ $.%

de unde:.r 0µµ=µ $./%

(ermeabilitatea magneticã relativã este o mãrime adimensionalãcare se determinã pe cale experimentalã pentru )ecare material# pentruvid µr2, iar pentru aer µr≈.

(ermeabilitatea magneticã a vidului în sistemul =3& este:

.m/H10 !

0

−

⋅π⋅=µ $.%


6/14

În relaþia de mai sus F $+enrG% este simbolul pentru unitatea demãsurã a inductivitãþii.

În funcþie de permeabilitatea magneticã relativã, materialele se împart în douã grupe: materiale diamagnetice la care µrH ºi

paramagnetice la care µrI. "in grupa materialelor paramagnetice facparte materialele feromagnetice $µrII% care au un rol important înconstrucþia maºinilor ºi aparatelor electrice.

Intensitatea câmpului magnetic este o mãrime vectorialã de starelocalã a câmpului magnetic care nu depinde de proprietãþile )zice alemediului în care ia naºtere câmpul magnetic, ci depinde numai decon)guraþia sistemului de conductoare ºi de valorile curenþilor ce strãbatconductoarele. &ceastã mãrime se de)neºte ca )ind raportul dintreinducþia magneticã 5 ºi permeabilitatea magneticã a mediului:

;BHµ= $.6%

pentru vid:

0

00

BH

µ= . $.7%

Unitatea de mãsurã se deduce din relaþia:

[ ] [ ]

[ ] [ ] m/s"ir#AHsau;m/A

m

Sm

VSB

H2

⋅==⋅Ω

=µ

= .

3.1.$ Forþe magnetice

"upã cum s-a mai arãtat în paragrafele anterioare, forþelemagnetice pot ) împãrþite în trei grupe: forþe electromagnetice, forþeelectrodinamice ºi forþe magnetostatice.

3.1.$.1 Forþa electromagneticã

ste forþa ce se exercitã asupra unui conductor parcurs de curentelectric ce se a9ã într-un câmp magnetic. ai este cunoscutã ºi sub

denumirea de forþa %aplace."acã se mãsoarã forþa ce se exercitã asupra unui conductor parcurs

de curentul i, având lungimea %∆ a9at într-un câmp de inducþie vB , seconstatã valabilitatea expresiei:

vB%i& ⋅∆⋅=∆ . $.%(entru demonstrarea relaþiei $.% se considerã cazul particular al

unui cadru dreptung+iular de dimensiuni ∆l ºi d $)g. .


7/14

'ig. .<*adrul se poate roti în !urul axei punctate. 'orþele ce se exercitã pe

laturi de lungime %∆ vor da momente.omentul cuplului este:

1&dC ×= . $.;%"acã se înlocuieºte expresia $.% în $.;% se va obþine:

v

B%idC ×∆×=, $.


8/14

B' V

&%im

0V

×==

∆∆

→∆. $./%

&supra unui conductor masiv strãbãtut de curentul de inducþie i seexercitã o forþã a cãrei densitate de volum este egalã cu produsulvectorial dintre densitatea de curent 'i inducþia magneticã în punctul

considerat"

3.1.$.3 Forþa electrodinamicã '&orþa lui (mp)re*

ste forþa ce se exercitã între douã conductoare paralele de lungimel, a9ate în câmp la distanþa d unul de celãlalt ºi parcurse de curenþii 8 ºi 8/$)g. .E%.

(rin experienþele sale &ndrJ-ariJ-&mpKre a constatat $în


9/14

%d

2& 2121 ⋅⋅π

µ= . $./D%

3e observã din relaþiile $./% ºi $./D% cã forþa ce se exercitãasupra conductoarelor este aceeaºi

'/ 2 '/ 2 ' $.E%

ºi se numeºte forþã electrodinamicã.xperimental se constatã cã cele douã conductoare se atrag când

curenþii au acelaºi sens ºi se resping când curenþii au sensuri opuse$)g. .%.

'ig. .

(e baza forþelor electrodinamice funcþioneazã o serie de aparateca: Battmetre, contoare etc. "e asemenea atunci când se proiecteazãaparata!ul electric, precum ºi a diferitelor instalaþii, se þine cont deeforturile electrodinamice care apar.

În sistemul =3& $respectiv 38%, amperul absolut, unitatea demãsurã a curentului electric s-a de)nit pe baza forþelor electrodinamice,

astfel: intensitatea curentului constant care menþinut în douãconductoare (liforme paralele rectilinii de lungime practic in(nitãa'ezate la o distanþã de un metru unul de altul în vid determinã întreaceste conductoare o forþã de !102 −⋅ ne)toni pe metru de lungime"

3.2 Formula lui Biot+!aart+-aplace

(e baza rezultatelor experimentale, obþinute de Lean 5aptiste 5iot ºi'elix 3avart în


10/14

'ig. ./

&plicând principiul suprapunerii efectelor, Caplace a stabilit formulacu a!utorul cãreia se calculeazã intensitatea câmpului magnetic produs deun circuit )liform înc+is parcurs de curentul i:

∫ Γ ×

π=

*+

+ sd

iH

. $./%

*ând se lucreazã cu aceastã formulã trebuie sã se sublinieze cãintegrala trebuie efectuatã numai asupra unor curbe înc+ise, rezultatulaplicãrii relaþiei asupra unor circuite desc+ise nu are semni)caþie )zicã,

deoarece curenþii continui sunt întotdeauna înc+iºi.

3.2.1 Câmpul magnetic al unui conductor rectiliniu, innitlung parcurs de curent

3e considerã un conductor )liform in)nit lung $considerat cã se înc+ide pe la in)nit% parcurs de curentul i $)g. .% ºi ne propunem sãdeterminãm intensitatea câmpului magnetic într-un punct ( a9at ladistanþã d de axul conductorului.

'ig. .

)sin(+ +

ds

iH

* α−π

π= ∫

∞+

∞−, $.%

din )gura . se pot determina urmãtoarele:

α=α⋅

α=

αα

⋅=sin

d+ ;d

sin

d-ds ;

sin

cosds

2 , iar relaþia $.% devine:

.d2

icos

d

i

dsind

id

d

sin

sin

d

iH

0

00

2

*

2

π=α⋅

π=

=ααπ

−=α⋅α

⋅απ

−=

π

ππ ∫ ∫

3ensul intensitãþii câmpului magnetic se stabileºte cu a!utorulregulii burg+iului drept $sensul de rotaþie al burg+iului drept care înainteazã în sensul curentului%, liniile de câmp )ind circulare.

DEo d (

sd

α

+ s

H

Hδ

i


11/14

3pectrul liniilor de câmp magnetice este format din linii înc+ise spredeosebire de spectrul câmpului electric, ale cãrui linii de câmp plecau dela sarcini pozitive la sarcinile negative.

3ensul forþelor electrodinamice se poate stabili intuitiv cu a!utorulspectrului liniilor de câmp $)g. .%, þinând seama de McompresiuneaM

lateralã ºi de Mîntinderea longitudinalãM pe care le exercitã liniile de câmp.În ambele cazuri )rele conductoare sunt împinse spre regiunea cu

linii de câmp mai rare. Aot cu a!utorul liniilor de câmp se poate determina sensul forþei

& ce se exercitã asupra unui conductor parcurs de curentul i ce se a9ã într-un câmp magnetic de inducþie vB $)g. .6%.

'ig. .6

În )gura .6b, sunt desenate liniile rezultante, din a cãrorrepartiþie se poate deduce urmãtoarea regulã: conductorul este acþionat

de o forþã transversalã îndreptatã dinspre regiunea cu câmp magneticmai intens spre regiunea cu câmp magnetic mai slab $regula lui itNevici%.

3.2.2 Intensitatea câmpului magnetic /ntr+un punct pe axaunei spire circulare parcurse de curent electric

O spirã circularã de razã a este parcursã de curentul i $)g. .7%. 3ecere sã se determine intensitatea câmpului magnetic într-un punct ( situatpe axa spirei la distanþa z de centrul acesteia.

'ig. .7

z

(

Hδθ

+ z

x

GO

i θ

sd

a

H


12/14

8ntensitatea câmpului magnetic în punctul ( corespunzãtoare unuielement de lungime sd se poate exprima cu relaþia:

2* +

ds

i

+

ds+

idH ⋅

π=

⋅⋅

π= , $.6%

unde s-a þinut cont cã ung+iul dintre + ºi sd este DEo.4ectorul Hd are douã componente:

-. HdHdHd += , $.7%unde: θ= cosdHdH ºi θ= sindHdH- .

"acã se considerã elementul de arie sd în douã poziþii diametraleale spirei, rezultã o sumã geometricã nulã a celor douã componente -Hdcorespunzãtoare acestor poziþii. "eci pentru toatã spira, intensitateacâmpului magnetic rezultant nu are o componentã orizontalã, vectorul

HH = )ind situat pe axa spirei ºi obþinându-se prin însumarea$integrarea% componentelor dFz , adicã:

,ds+

cos

idHHa2

0 2 ∫ ∫ π θ⋅

π== $.%

unde, înlocuind+

acos =θ se obþine:

∫ π ⋅

=π⋅

= a2

0 *

2

2 + 2

iads

+

iaH , $.;%

având în vedere cã: 222 a+ += , rezultã

( ) *2

*22

2

+ 2

ia

a2

iaH

⋅=

+

⋅= . $.


13/14

'ig. .

∫ ×′

π=

B

A *+

+ %d

H

cu notaþiile din )gurã, conform teoremei 5iot-

3avart-Caplace.

∫ α′

π⋅=

B

A *+

sin+ %d

uH

, unde u este un versor perpendicular pe planul

)gurii, orientat spre )gurã. 3e observã cã: a% =′ )(c/ α−π⋅ 2 α⋅− c/a #

α=

α−π=

sin

a

)sin(

a+ ºi

αα=′2sin

ad%d .

8ntegrala devine:

).cos(cosa

u

dsina

u

sin

asin

sinda

uH

21

B

A

2

22

2

1

α−απ

=

=ααπ

⋅=

α⋅α

α⋅α⋅π

= ∫ ∫ α

α

3.2.$ Intensitatea câmpului magnetic /n interiorul unei#o#ine

cilindrice

3e cere sã se determine intensitatea câmpului magnetic într-unpunct de pe axa unei borne cilindrice parcursã de curentul 8, având raza 0,lungimea l ºi 1 numãrul de spire $)g. .;%.

'ig. .;

3e considerã bobina cu stratul de spire foarte subþire ºi spirelefoarte aproape una de alta. >n element de lungime dx al bobinei poate )identi)cat de o altã spirã ec+ivalentã )liformã, parcursã de curentul

dx%

Nd = . *onform relaþiei:

. . .. . . . . . .......

0

1,8

(

xdx

ββ β

/

l


14/14

( )*222

a2

aH

+= $.6E%

în care a20, z2d, intensitatea câmpului magnetic produs de aceastã spirã într-un punct ( de pe axa bobinei, la distanþa x de spira elementarã, este:

( )*222

x+ 2

dx%

N+ dH

+= . $.6%

"in )gurã rezultã:

β=+β=

2

222

sin

+ x+ ,+cx ,

respectivβ

β−=

2sin

d+ dx , cu care relaþia $.6% devine:

%2

dsin NdH

ββ= . $.6/%

(entru toatã lungimea bobinei, când β variazã între liniile β ºi β/,rezultã:

( )21

coscos%2

NH β−β= ,

de unde se vede cã intensitatea câmpului magnetic depinde de poziþiapunctului ( ºi de lungimea l a bobinei. Ca o bobinã de lungime mare înraport cu diametrul sãu 01 ≅β ºi π≅β2 , deci:

%

NH ≅ . $.6%

În cazul în care lII/0, relaþia $.6% devine:

F218. $.66%3ensul intensitãþii câmpului în interiorul solenoidului se determinã

cu a!utorul regulii burg+iului drept aplicate ca la spira circularã sau curegula mâinii drepte, astfel: se apucã solenoidul cu mâna având degetele îndreptate în sensul curentului, iar degetul mare desfãcut la DEo ne vaindica sensul câmpului.

0elaþia $.66% este precisã când solenoidul nu are suprafeþeterminale, adicã constituie un solenoid de formã toroidalã $inelarã% $)gura.

3.1 electromagnetisml

Documents