Cambios de variable para integrales trigonometricas

1) Si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en seno), se hace cos x = tcon lo que

sen x =√

1− t2 ; − sen x dx = dt =⇒ dx =−dt√1− t2

Ejemplo:

∫sen3 x cos2 x dx =

∫sen2 x︸ ︷︷ ︸

1−t2

cos2 x sen x dx︸ ︷︷ ︸−dt

= −∫

(1− t2)t2 dt.

2) Si R(sen x,− cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en coseno), se hace sen x = tcon lo que

cos x =√

1− t2 ; cos x dx = dt =⇒ dx =dt√

1− t2

Ejemplo:

∫(cos3 x + cos x) sen2 x dx =

∫(cos2 x + 1︸ ︷︷ ︸

2−t2

) sen2 x cos x dx︸ ︷︷ ︸dt

=

∫(2− t2)t2 dt.

3) Si R(− sen x,− cos x) = R(sen x, cos x), se hace tan x = t , con lo que

cos x =1√

1 + t2; sen x =

t√1 + t2

; (1 + tan2 x) dx = dt =⇒ dx =dt

1 + t2

Ejemplo:

∫cos2 x

sen4 xdx =

∫dt

t4.

4) En los restantes casos, se hace tanx

2= t , con lo que

cosx

2=

1√1 + t2

; senx

2=

t√1 + t2

=⇒ sen x =2t

1 + t2; cos x =

1− t2

1 + t2

(1 + tan2 x

2

)d

(x

2

)= dt =⇒ dx =

2dt

1 + t2

Ejemplo:

∫2 + sen x

2 + cos xdx =

∫1 + t + t2

(3 + t2)(1 + t2)dt.

5) Cambio de productos en sumas. A partir de

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y

cos(x− y) = cos x cos y + sen x sen y

sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

sen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y

se obtiene

sen x sen y =cos(x− y)− cos(x + y)

2

cos x cos y =cos(x− y) + cos(x + y)

2

sen x cos y =sen(x− y) + sen(x + y)

2