~ 9 ~T.KAINOY

ฟั�งก์�ชั�นเพิ่��ม (Increasing Function) คื�อ ฟั�งก์ชั�นซึ่��ง ถ้�า x2

> x1 แล้�ว f (x2) > f (x1)

หรื�อถ้�าคื�า x มี�คื�าเพิ่��มีขึ้��น ทำ!าให� f (x) มี�คื�าเพิ่��มีขึ้��นด้�วยเชั�น f(x) = 2x – 6

ฟั�งก์�ชั�นลด (Decreasing Function) คื�อ ฟั�งก์ชั�นซึ่��ง ถ้�า x2

> x1 แล้�ว f (x2) < f (x1)

หรื�อถ้�าคื�า x มี�คื�าเพิ่��มีขึ้��น ทำ!าให� f (x) ก์ล้�บมี�คื�าล้ด้ล้งเชั�น f(x) = -3x+5

คื�อก์ารืน!าฟั�งก์ชั�นมีาบวก์ ล้บ คื&ณ หารื ก์�น ซึ่��งผล้ทำ��ได้�มี�ล้�ก์ษณะด้�งน��1. f + g = {(x , y)y = f(x) + g(x)} โด้ยทำ�� Df+g =

Df Dg

2. f - g = {(x , y)y = f(x) - g(x)} โด้ยทำ�� Df-g = Df Dg

3. f . g = {(x , y)y = f(x).g(x)} โด้ยทำ�� Dfg = Df Dg

ฟั�งก์�ชั�นเพิ่��ม (Increasing Function) แล้ะ ฟั�งก์�ชั�นลด

พิ่� ชั ค ณิ� ต ข อ ง

~ 10 ~T.KAINOY

4. fg = {(x , y)y =

f ( x )g ( x )} โด้ยทำ�� D ขึ้อง

fg = Df

Dg-{xg(x) = 0}ต�วอย่�างที่�� 9 ให� f={(1,4 ) , (2,9 ) , (3,8 ) , (4,6 ) , (5,1)}

g= {(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , (4,0 ) ,(6,3)}

จงหา f + g , f – g , fg แล้ะ fg

ว�ธี�ทำ!า (1) Df +g=D f∩D g= {1,2,3,4 }

f +g= {(1 ,……… ) , (2 ,………) , (3 ,…… .. ) ,(4 ,…… ..)}∴ f +g= {(1 ,…. ) , (2 ,…. ) , (3 ,…. ) ,(4 ,….)}

(2) Df −g=Df∩D g={1,2,3,4 }f−g={(1 ,………) , (2 ,……… ) , (3 ,…… .. ) ,(4 ,……..)}∴ f−g={(1 ,…. ) , (2 ,…. ) , (3 ,…. ) ,(4 ,….)}

(3) Dfg=D f∩Dg={1,2,3,4 }fg={(1 ,………) , (2,……… ) , (3 ,…… .. ) ,(4 ,…… ..)}∴ fg={(1 ,…. ) , (2 ,…. ) , (3 ,…. ) ,(4 ,….)}

(4) D fg

=Df∩D g− {x∨g ( x )=0}

¿ Df∩D g− {….. } (เพิ่รืาะว�าg (…. )=0) ¿ {…. ,…. ,…. }

fg={(1 ,………) , (2 ,……… ) , (3 ,…… .. ) }

∴ fg={(1 ,…. ) , (2 ,…. ) , (3 ,…. ) }

ต�วอย่�างที่�� 10 ให� f ( x )=2 x−1 แล้ะ g( x )=3x+4

จงหา ( f +g )( x ) , ( f−g )( x ) , ( fg )( x ) แล้ะ (fg )( x )

ว�ธี�ที่�า (1) ( f +g )( x ) = f ( x )+g( x )

= (2 x−1)+(3 x+4 )= ………………………………

(2) ( f−g )( x ) = f ( x )−g( x )

= (2 x−1)−(3 x+4 )= ………………………………

(3) ( fg )( x ) = f ( x )g (x )

= (2 x−1)(3 x+4 )=

…………………………………………………………………………=

…………………………………………………………………………

~ 11 ~T.KAINOY

(4)( fg

)(x )=

f ( x )g ( x )

=…………………………………………………………………………

คื�อฟั�งก์ชั�นทำ��มี�ก์ารืถ้�ายทำอด้คืวามีสั�มีพิ่�นธีจาก์เรืนจขึ้องฟั�งก์ชั�นหน��งไปย�งโด้เมีนขึ้องอ�ก์ฟั�งก์ชั�นหน��งก์!าหนด้ f แล้ะ g เป1นฟั�งก์ชั�น

f={(0,3 ) , (1,4 ) , (2,5 ) ,(3,6)} แล้ะ g= {(3,6 ) , (4,7 ) , (5,8 ) ,(7,9)}

จาก์ตั�วอย�าง R f∩Dg= {3,4,5 } จ�งเก์�ด้ก์ารืถ้�ายทำอด้คืวามีสั�มีพิ่�นธีจาก์ฟั�งก์ชั�น f ไปฟั�งก์ชั�น g

เก์�ด้เป1นฟั�งก์ชั�นปรืะก์อบขึ้อง f แล้ะ g ใชั�สั�ญล้�ก์ษณ gof อ�านว�า จ�โอเอฟัgof= {(0,6 ) , (1,7 ) ,(2,8)}

สั�วนฟั�งก์ชั�นปรืะก์อบขึ้อง g แล้ะ f ใชั�สั�ญล้�ก์ษณ fog อ�านว�า เอฟัโอจ� เป1นคืวามีสั�มีพิ่�นธีจาก์ฟั�งก์ชั�น g ไปฟั�งก์ชั�น f ด้�งน��

ฟั�งก์�ชั�นประก์อบ (Composite

~ 12 ~T.KAINOY

จาก์ตั�วอย�าง Rg∩D f=∅ จ�งไมี�สัามีารืถ้หาฟั�งก์ชั�น fog ได้�

น�ยมีใชั�สั�ญล้�ก์ษณ gof(x) = g(f(x))fog(x) = f(g(x))

ต�วอย่�างที่�� 11 ให� f={(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) } แล้ะ g= {(2,4 ) , (3,9 ) ,(4,16)} จงหา gof

จาก์ gof(x) = g(f(x)) gof(1) = g(f(1)) = g(2) = 4gof(2) = g(f(2)) = g(3) = 9gof(3) = g(f(3)) = g(4) = 16

gof = Dgof = Rgof= ต�วอย่�างที่�� 12 ให� f={(1 , a ) , (2 ,b ) , (3 , c ) } แ ล้ ะ g= {(a ,1 ) , (b ,2 ) ,(c ,3)} จ ง ห า gof แล้ะ fog

ระว�ง gof ต"องเร��มจาก์ f ก์�อน แล"วตามด"วย่ g

~ 13 ~T.KAINOY

gof = fog = ต�วอย่�างที่�� 13 ให� f ( x )=2x+5 แล้ะ g ( x )=x2−1จงหา gof แล้ะ fog

ว�ธี�ที่�าRf = R แล้ะ Dg = R

Rf Dg ≠ จ�งหาคื�าขึ้อง gof ได้� gof(x) = g(f(x))

= g(2x+5)= (2x+5)2 – 1= 4x2+20x +24

Rg ≥ -1 แล้ะ Df = R

Rg Df ≠ จ�งหาคื�าขึ้อง fog ได้� fog(x) = f(g(x))

= f(x2-1)= 2(x2-1) + 5= 2x2 + 3

ต�วอย่�างที่�� 14 ให� f ( x )=√x+3 แ ล้ ะ g ( x )=x2+1จ ง ห า gof(3) แ ล้ ะ fog(1)ว�ธี�ที่�าRf …….. แล้ะ Dg …….

Rf Dg ≠ จ�งหาคื�าขึ้อง gof ได้� gof(x) = g(f(x))

====

gof(3) = Rg ……แล้ะ Df …….

Rg Df ≠ จ�งหาคื�าขึ้อง fog ได้� fog(x) = f(g(x))

===

fog(1) = สมบ�ต�ของฟั�งก์�ชั�นประก์อบ

~ 14 ~T.KAINOY

1)gof ไมี�จ!าเป1นตั�องเทำ�าก์�บ fog เพิ่รืาะ gof เป1นฟั�งก์ชั�นปรืะก์อบจาก์ f ไป g สั�วน fog เป1นฟั�งก์ชั�นปรืะก์อบจาก์ g ไป f

2)Dgof = Df แล้ะ Rgof Rg

3)(fog)oh = fo(goh)4)gof เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��ง เมี��อ f แล้ะ g เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อ

หน��ง

คื�อ ฟั�งก์ชั�นซึ่��งเก์�ด้จาก์ก์ารืสัล้�บสัมีาชั�ก์ตั�วหน�าแล้ะสัมีาชั�ก์ตั�วหล้�งขึ้องทำ4ก์คื&�อ�นด้�บ ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นใชั�สั�ญล้�ก์ษณ f-1 ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นสัามีารืถ้เขึ้�ยนในรื&ปบอก์เง��อนไขึ้ ด้�งน��

f-1 = (y,x) (x,y) fจาก์เรื��องคืวามีสั�มีพิ่�นธี ถ้�า r เป1นคืวามีสั�มีพิ่�นธี จะได้�ว�า Dr−1=Rr

แล้ะ Rr−1=Dr

ในทำ!านองเด้�ยวก์�น ถ้�า f เป1นฟั�งก์ชั�น จะได้�ว�า Df−1=R f แล้ะ R f−1=D f

ฟั�งก์ชั�น f ใด้ๆ ก์6จะหาอ�นเวอรืสั f − 1 ได้�เสัมีอ แตั� f − 1

อาจไมี�เป1นฟั�งก์ชั�นถ้�า f – 1 เป1นฟั�งก์ชั�นจะเรื�ยก์ว�า ฟั�งก์�ชั�นอ�นเวอร�ส หรื�อ ฟั�งก์�ชั�นผก์ผ�น แล้ะเขึ้�ยนเป1น f − 1(x) ได้�พิ่�จารืณา

f 1 = (0,3) ,(1,4) ,(2,5) ซึ่��งเป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��งf 1−1= (3,0) ,(4,1) ,(5,2) ซึ่��งเป1นฟั�งก์ชั�นf 2 = (0,3) ,(1,3) ,(2,4) ซึ่��งเป1นฟั�งก์ชั�นซึ่��งไมี�ใชั�ฟั�งก์ชั�นหน��ง

ตั�อหน��งf 2−1= (3,0) ,(3,1) ,(4,2) ซึ่��งไมี�เป1นฟั�งก์ชั�น

จาก์ตั�วอย�างสัรื4ปได้�ว�า ฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��งมี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�น สั�วนฟั�งก์ชั�นซึ่��งไมี�เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��งไมี�มี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�น

ฟั� ง ก์� ชั� น ผ ก์ ผ� น (Inverse

~ 15 ~T.KAINOY

ก์ารตรวจสอบความเป'นฟั�งก์�ชั�นของต�วผก์ผ�นของฟั�งก์�ชั�นสัามีารืถ้ตัรืวจสัอบโด้ยก์ารืตัรืวจสัอบคืวามีเป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��ง

- ถ้�าฟั�งก์ชั�นทำ��ก์!าหนด้เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��งแล้�ว ตั�วผก์ผ�นขึ้องฟั�งก์ชั�นน��นเป1นฟั�งก์ชั�น

- ถ้�าฟั�งก์ชั�นทำ��ก์!าหนด้ไมี�เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��งแล้�ว ตั�วผก์ผ�นขึ้องฟั�งก์ชั�นน��นไมี�เป1นฟั�งก์ชั�น

ต�วอย่�างที่�� 15 จงตัรืวจสัอบว�าฟั�งก์ชั�น f(x) = 2x – 7 มี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นหรื�อไมี�ว�ธี�ที่�า ถ้�า (x1,y) f จะได้� y = 2x1 – 7

ถ้�า (x2,y) f จะได้� y = 2x2 – 72x1 – 7 = 2x2 – 7 x1 = x2

f(x) = 2x – 7 เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��ง f(x) = 2x – 7 มี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นต�วอย่�างที่�� 16 จงตัรืวจสัอบว�าฟั�งก์ชั�น f(x) = x-6 + 3 มี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นหรื�อไมี�ว�ธี�ที่�า แทำน f(x) = 10 ใน f(x) = x-6 + 3

10 = x-6 + 3 7 = x-6 x – 6 = 7 x = 13 หรื�อ -1

f(x) = x-6 + 3 ไมี�เป1นฟั�งก์ชั�นหน��งตั�อหน��ง f(x) = x-6 + 3 ไมี�มี�ฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นสมบ�ต�ของฟั�งก์�ชั�นผก์ผ�น

1) ( f −1( x ))−1=f ( x )

2) ( fof−1 )( x )=( f −1of )( x )=x

3) ( gof )−1 (x )=f−1( x )og−1( x )

4) ( fof−1 )( x ) ไมี�จ!าเป1นตั�องเทำ�าก์�บ ( f −1of )( x )

~ 16 ~T.KAINOY

ก์ารเข�ย่นฟั�งก์�ชั�นผก์ผ�นในร)ปบอก์เง*�อนไข สัามีารืถ้ทำ!าได้� 2 ว�ธี� คื�อว�ธี�ที่�� 1 สล�บต�าแหน�งของค)�อ�นด�บ (x,y) โด้ยสั�วนทำ��บอก์เง��อนไขึ้คืงเด้�มี เชั�นf={( x , y )∈ A×B y=2x+7 }f−1= {( y , x )∈B×Ay=2 x+7 }ว�ธี�ที่�� 2 สล�บต�าแหน�งของ x และ y ในส�วนบอก์เง*�อนไข โด้ยสั�วนขึ้องคื&�อ�นด้�บคืงเด้�มี เชั�นf={( x , y )∈ A×B y=2x+7 }f−1= {( x , y )∈B×Ax=2 y+7 }

เน��องจาก์ก์ารืเขึ้�ยนสั�วนบอก์เง��อนไขึ้ไมี�น�ยมีเขึ้�ยนในรื&ป y = จ�งสัามีารืถ้เขึ้�ยนในรื&ปf−1={(x , y )∈B×Ay= x−7

2 }ต�วอย่�างที่�� 17 จงเขึ้�ยนฟั�งก์ชั�นผก์ผ�นขึ้อง

f={( x , y )∈ A×By=3 x−12 x+5 }

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย่�างที่�� 18 ก์!าหนด้ให� f ( x )= {(1,5) ,(2,4 ) ,(3,6 ),(7,9 )} แล้ะ

g( x )={( 4,1) ,(2,2) ,(1,4 ) ,(−2,7 )}

จงหา ( f +g−1 )(x )

ว�ธี�ที่�า จาก์ f ( x )= {(1,5) ,(2,4 ) ,(3,6 ),(7,9 )}

g( x )={( 4,1) ,(2,2) ,(1,4 ) ,(−2,7 )} g−1 (x )={(1,4 ),(2,2 ), (4,1) ,(7 ,−2)}D f={1,2,3,7 } Dg−1={1,2,4,7 }D f∩Dg−1= {1,2,7 }

( f +g−1 )(x ) = f ( x )+g−1( x )

~ 17 ~T.KAINOY

= {(1 , . .. .. .. . .. ), (2 , . .. .. . .. .. .) ,(7 , .. . .. .. . .. .. .) }= ………………………………………..

ต�วอย่�างที่�� 19 ก์!าหนด้ให� f ( x )=2 x−3 แล้ะ g( x )=x2+5 จ ง ห า ( f−1⋅g−1)(5 )

ว�ธี�ที่�าจาก์ f ( x ) จะได้� y=2x−3

f−1( x ) จะได้� x=2 y−3

y= x+3

2

จาก์ g( x ) จะได้� y=x2+5

g−1 (x ) จะได้� x= y2+5

y=√x−5( f−1⋅g−1)( x ) = f−1( x ) g−1( x )

= ( x+32 ) (√x−5 )

( f−1⋅g−1)(5 ) =………………………………………………………………

=

………………………………………………………………

ต�วอย่�างที่�� 20 ก์!าหนด้ให� f ( x )=3 x−5 แล้ะ g( x )=x2+1 จ ง ห า f−1og−1( x )

ว�ธี�ที่�าจาก์ f ( x ) จะได้� y=3 x−5

f−1( x ) จะได้� x=3 y−5

y= x+5

3

จาก์ g( x ) จะได้� y=x2+1

g−1 (x ) จะได้� x= y2+1

y=√x−1f−1og−1( x ) = f−1( g−1 ( x ))

~ 18 ~T.KAINOY

= f−1(√ x−1)

=√x−1+5

3

ต�วอย่�างที่�� 21 ก์!าหนด้ให� f ( x )= {(0,5) ,(1,9 ) ,(2,10 ), (3 ,15 )} แล้ะ g( x )={(3,5 ) ,(−1,9 ) ,(2,10 ), (4,7 )}

จงหา g−1of ( x )

ว�ธี�ที่�า g−1 (x )={(5,3 ) ,(9 ,−1 ) ,(10 ,2 ) ,(7,4 )}

g−1of ( x ) =………………………………………………………..

1. ถ้�า f แล้ะ g เป1นฟั�งก์ชั�น ซึ่��ง f−1( x )= x+4

3 แล้ะ ( fog )( x )=3 x2+2 แล้�ว f ( x )+g( x )

ว�ธี�ที่�า จาก์f−1( x )= x+4

3 จะได้�y= x+4

3

หาฟั�งก์ชั�น f โด้ยก์ารืเปล้��ยน y เป1น x แล้ะเปล้��ยน x เป1น y

ประลองย่-ที่ธีก์�บโจที่ย่�

~ 19 ~T.KAINOY

จะได้�x= y+4

3

y=3 x−4

น��นคื�อ f ( x )=3 x−4

( fog )( x )=3 x2+2f (g ( x ))=3x2+23 g( x )−4=3 x2+2

g( x )=………………………………..

g( x )=………………………………..f ( x )+g( x ) =

………………………………………………………………………………..

=

………………………………………………………………………………..

2. ก์!าหนด้ให� f ( x+1 )=3 x+2+f (x ) แล้ะ g(3 x−1 )=2x+8

ถ้�า f (0)=1 แล้�ว จงหา g−1 ( f (2 ))

ว�ธี�ที่�า จาก์ f ( x+1 )=3 x+2+f (x )

ให� x=0 f (0+1)=3(0 )+2+ f (0 )

f (1)=0+2+1 f (1)=3

ให� x=1 f (1+1)=3 (1)+2+f (1)

f (2)=3+2+3 f (2)=8

ด้�งน��น g−1 ( f (2 ))=g−1(8 )

จาก์ g(3 x−1 )=2x+8

g−1 (2x+8 )=3 x−1

ให� 2 x+8=8 จะได้� x=0

ด้�งน��น g−1 (2x+8 )=g−1 (8)=3(0 )−1=−1

น��นคื�อ g−1 ( f (2 ))=−1

3. ให� f ( x )=x2+5 แล้ะ g( x )=√x−5 จงหา

สมบ�ต�ส�าค�ญมาก์ๆๆๆๆf() = ก์1ต�อเม*� อ

~ 20 ~T.KAINOY

(1) (gof)(5) (2) (fog)(7)ว�ธี�ที่�า (1) (gof)(5) = ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

= …………………………………………………………………………………….. (2) (fog)(7) = ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..

= ……………………………………………………………………………………..4. ให� f ( x )=2 x+1 แล้ะ ( fog )( x )=x3−3 จงหา g( x )ว� ธี�ที่�า……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….5. ให� f ( x )=3 x2−2x+1 จงหาคื�าขึ้องฟั�งก์ชั�นทำ�� x=1,3,5

~ 21 ~T.KAINOY

ว� ธี�ที่�า……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….