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MATHMATIQUES

Srie L

preuvedespcialitDuredelpreuve:3heures Coefficient:3Lutilisation

dune

calculatrice

est

autorise.

Cesujetcomporte6pagesnumrotesde1/66/6.LANNEXE(page6)ESTRENDREIMPRATIVEMENTAVECLACOPIE.

Lecandidatestinvitfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mmeincomplteounonfructueuse,quilauradveloppe.

Ilestrappelquelaqualitdelardaction,laclartetlaprcisiondesraisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslapprciationdescopies.

Lecandidatsassureraquelesujetestcomplet.Lesujetnencessitepasdepapiermillimtr.Lusagedundictionnaireestinterdit.

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Exercice 1 (5 points)

Un club a 100 adhrents. Leur rpartition est dcrite dans le tableau suivant ci-dessous :

Hommes FemmesMari(e)s 48 27Clibataires 12 13

On choisit un adhrent au hasard.On considre les vnements :

H lvnement : ladhrent choisi est un homme ; F lvnement : ladhrent choisi est une femme ; M lvnement : ladhrent choisi est mari ;

C lvnement : ladhrent choisi est clibataire .

Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque probabilit.

1. Calculer la probabilit de lvnement F ainsi que celle de lvnement M.2. Dterminer la probabilit que ladhrent choisi soit mari sachant que cest une femme.

Les vnements F et M sont-ils indpendants ? Justifier la rponse.

3. Dterminer la probabilit que ladhrent choisi soit un homme sachant quil est clibataire.

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Exercice 2 (4 points)

Dans cet exercice, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non

fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.

Soient f , g et h trois fonctions dfinies sur 0; par :

)1(ln)1(2

1)( xxxf , xxg e5,0)( et

22

1)(

xxh

On note ( )fC , ( )gC et ( )hC les courbes reprsentatives de f , g et h dans le plan muni dun

repre orthonorm (O; , )i j

.

On note f

la fonction drive de f .

1. Soit A le point de coordonnes (0 ;2

1) dans le repre (O; , ).i j

Dmontrer que le point A est

commun aux trois courbes ( )fC , ( )gC et ( )hC .

2. Dmontrer que, pour tout nombre rel positifx,)1(2

1)(

x

xxf .

3. Dmontrer que les trois courbes ( )fC , ( )gC et ( )hC admettent la mme tangente au point A.

4. Dmontrer quune seule des trois fonctions f , g et h nest pas dcroissante sur 0; .

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Exercice 3 (6 points)

Pour tout entier naturel non nul n, on note ( )u n le nombre entier naturel qui scrit dans le

systme dcimal avec n chiffres tous gaux 1.

Par exemple u(3) est gal 111.

1. Existe t-il un entier n tel que u(n) soit divisible par 2 ? Justifier la rponse.2. Donner une condition ncessaire et suffisante sur n pour que le nombre entier u(n) soit

divisible par 3.

Dans toute la suite de lexercice on sintresse au problme suivant : Trouver des entiers

naturels non nulsn tels que le nombre entier u(n) soit divisible parn+1.

3. Montrer que 6 est une solution de ce problme.4. On considre lalgorithme suivant :

Entre : n un entier naturel non nul.

Initialisation : A=0, U=0 et D=1.

Traitement: tant que A

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Exercice 4 (5 points)

Le dessin ci-dessus reprsente, en perspective parallle, un terrain ABCD qui a la forme dun carrde centre I. lintrieur de ce terrain, A1B1C1D1est une aire de jeu dont la forme est celle dun carr. Celui-cia pour centre I et ses bords sont parallles ceux du carr ABCD.Les segments [IP] et [AM] reprsentent deux piquets plants verticalement, la hauteur de [AM]tant gale au double de celle de [IP].

Un dessin est donn en annexe. Il est complter au fur et mesure de la rsolution de

lexercice et rendre avec la copie. Les candidats sont invits laisser apparents les traits de

construction.

Le dessin en annexe est une reprsentation en perspective centrale du terrain ABCD danslaquelle le plan (ABM) est frontal.

Les points a, b, c, d, m et b 1 reprsentent respectivement les points A, B, C, D, M et B1.

a. La ligne dhorizon (h) est parallle la droite (ab). Complter cette reprsentation enperspective centrale par le point w, point de fuite principal, la ligne dhorizon (h), ainsi queles deux points de distance w1 et w 2 .

b. Construire les points i, a 1 , c 1 et d 1 reprsentant les points I, A1, C1 et D1 puis reprsenterle piquet [IP].

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a b

d c

m

b1

Annexe Exercice 4 ( complter et rendre avec la copie)