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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 1
Expressions for the MSE of Predictors in Balanced Two Stage Predictors of Realized Random Cluster Means With Response Error
(This develops the MSE for more general predictors than in c03ed20.doc) Ed Stanek
Introduction We outline the development of the MSE of predictors of realized cluster means in a balanced mixed model. Similar developments was given in c03ed20.doc and c03ed11.doc. Other developments were given in c02ed29.doc and c02ed30.doc. The document c03ed11.doc develops such expressions without response error. We use the expressions for the predictors given in c02ed31v8.doc. We begin with equation (3.2) from c02ed31v8.doc given by
( ) ( )( )
** * * * * *ˆ 1
n I M mI nm I t n I m t nm I II NM nm I
N n MT Y k Y kρ ρ
−
−−
⊗′ ′ + − ⊗ + + +
P Y 1g 1 P Y 1 P Y g 1 0=
or ( ) ( )
( ) ( ) ( )
* * * *
* * * *1, 2,
ˆ 1I nm I t n I m t nm I
II I n I M m II In M m N n M
T Y k
Y k Y
ρ ρ
−− −
′ + − ⊗ + ′ ′+ + ⊗ +
g 1 P Y 1 P Y
g 1 P Y 1 g 1
=.
Note that ( ) * *M m mn I n I M mm
− ×−
⊗ = ⊗
JP Y P Y 1 and * *m
n I n I mm ⊗ = ⊗
JP Y P Y 1 . As a result,
( ) ( )( )
( )
* * * *ˆ 1
M m mnNM nm nmnm m
I t n t nm I II I
N n M nm
mT k knm m nm
ρ ρ
− ×
− ×
− ×
⊗ ′ ′+ − ⊗ + + +
JJ PJ J
g P P Y g Y
0
=
. We express this as ( ) *ˆI II IP ′ ′ ′ ′+g A g B Y=
where ( ) *1nm mt n t nmk
nm mρ ρ
′ = + − ⊗ +
J JA P P and
( )( )
( )
*
M m mnNM nm nm
N n M nm
mknm
− ×
− ×
− ×
⊗ ′ = +
JJ P
B
0
.
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2
If we are interested in predicting a cluster mean where mI iI M
′′ ′= ⊗
1g e and
M m MII iI iIIM M
−′ ′ ′ ′ ′= ⊗ ⊗
1 1g e e and we are interested in positions where i n≤ so that
iII′ =e 0 , then we can simplify the predictor. Using these expressions, we simplify
( )
( )( )
( )
* *
* *
ˆ 1m nm miI t n t nm I
M m mnNM nm nmM m M
iI iII I
N n M nm
T kM nm m
mkM M nm
ρ ρ
− ×
− ×−
− ×
′ ′ ⊗ + − ⊗ +
⊗′ ′ ′ ′+ ⊗ ⊗ +
1 J Je P P Y
JJ P1 1
e e Y
0
=
to
( ) ( ) ( )* * * * * * * *ˆ 1t t i im M mT Y k Y Y Y k Y YM M
ρ ρ − + + − − + + − =
noting that * * *m nm nmiI I I
m m YM nm M nm M′ ′ ′ ⊗ = =
1 J 1e Y Y ,
( )* * * *m m miI n I iI n I i
m m Y YM m M m M′ ′ ′ ′⊗ ⊗ = ⊗ = −
1 J 1e P Y e P Y ,
m m n m m m n m miI nm iI iI iI iI iI n
m mM M n M m M n M m M m′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⊗ = ⊗ − ⊗ = ⊗ − ⊗ = ⊗
1 1 J 1 J 1 J 1 1e P e e e e e P
(and hence ( )* *miI nm i
m Y YM M′ ′ ⊗ = −
1e P ),
( ) * *NM nm nmM m MiI iII I
M m YM M nm M
− ×− ′ ′ − ′ ′⊗ ⊗ =
J1 1e e Y , and
( )
( )
( )
( )
* *
* * *
M m mn M m mM m M mM
iI iII I iI n I
N n M nm
miI n I i
mM M M m
M m M m Y YM m M
− ×
− ×− −
− ×
⊗ ′ ′′ ′ ′ ′⊗ ⊗ = ⊗ ⊗
′− − ′= ⊗ = −
JJP1 11
e e Y e P Y
0
1e P Y
.
This agrees with previous expressions. ..
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 3
General Expressions for the MSE when there is Response Error
We wish to predict the expected value given by ( ) II II
II
P ′ ′=
Yg g
Y by
( ) *ˆI II IP ′ ′ ′ ′+g A g B Y= . As a result, ( )( )
*
ˆI
I II I II I
II
P P ′ ′ ′ ′ ′ ′− = + − −
Yg A g B g g Y
Y. We
express ( )( ) ( ) nmI II I II I II
NM nm−
′ − ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′+ − − = ′ −
A I 0g A g B g g g g B 0 I . As a result,
( )*
ˆI
nmI II I
NM nmII
P P−
′ − ′ ′− = ′ −
Y0A I
g g YIB 0
Y, and .
Now from c02ed29.doc (p. 6,7,8, and 10), ,
,
var I I III
II I IIII
=
V VYV VY
, where
( )2 *I e nm n m nmN
σσ σ2
2= + ⊗ −V I I J J , ( )
( )( )
*,
n M m mII I NM nm nm
N n M nmNσσ
2− ×2
− ×
− ×
⊗ = −
I JV J
0
, and ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
* 2n M m n M m N n M
II NM nm e NM nmN n MN n M n M m
Nσσ σ
− 2− × −2− −
−− × −
⊗ = − + ⊗
I J 0V J I
0 I J. Also, from
c02ed31v6.doc (p17), 1 2 3
* *,
,
, ,
varI I I I II
I I I I II
II II I II I II
ξ ξ ξ
=
Y V V VY V V VY V V V
where * 2I I nmσ= +V V I . We
express this as 1 2 3
*,
2,
, ,
varI I I I II nm
I I I I II
II II I II I II
ξ ξ ξ σ
= +
Y V V V I 0 0Y V V V 0 0 0Y V V V 0 0 0
.
As a result,
( )
( )
1 2 3
1 2 3
*
ˆvar
varI
InmI II I nm
IINM nmII NM nm
P Pξ ξ ξ
ξ ξ ξ−
−
− =
′ − ′ ′ − ′ − −
Y A B gA I 0g g Y I 0 gB 0 I
Y 0 I
or
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 4
( )
( )
( )
1 2 3
,
,
, ,
2
ˆvar
I I I IIInm
I II I I I II nmIINM nm
II I II I II NM nm
nmnm
I II nmNM nm
NM nm
P Pξ ξ ξ
σ
−−
−−
− =
′ − ′ ′ − ′ − −
′ − ′ ′+ − ′ − −
V V V A B gA I 0g g V V V I 0 gB 0 I
V V V 0 I
I 0 0 A BA I 0
g g 0 0 0 I 0B 0 I
0 0 0 0 I
I
II
gg
.
Now
( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
,
, ,
,
, , ,
I I I IInm
I I I II nmNM nm
II I II I II NM nm
nm I nm I nm I IInm
I II I I II I I II IINM nm
nm I nm n
−−
−
′ − − = ′ − −
′ ′ ′ − − − − = ′ ′ ′− − − − ′ ′− − −
V V V A BA I 0
V V V I 0B 0 I
V V V 0 I
A BA I V A I V A I V
I 0B V V B V V B V V
0 I
A I V A I A I( )( )( )( )
,
, , ,
m I I II
I II I nm I II I I II II
−
′ ′ ′− − − − +
V B V
B V V A I B V B V B B V V
.
We simplify this expression using
( )
( )
( ) ( )
*
*
*
1
1
1 1
nm mt n t nm
nm m nmt n t nm t
m nmt nm t n t
knm m
knm m nm
km nm
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
′ = + − ⊗ +
= + − ⊗ + − = + − ⊗ + −
J JA P P
J J JP I
J JI P
,
so that
( ) ( )
( )
( )
*
*
*
1 1
1
1
m nmnm t nm nm t n t
m nmt nm n
mt n nm
km nm
km nm
km
ρ ρ ρ
ρ
ρ
′ − = − + − ⊗ + −
= − − + ⊗ +
= − ⊗ −
J JA I I I P
J JI P
JP P
or
( ) *1 mnm t n nmk
mρ
′ − = − ⊗ −
JA I P P .
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 5
We refer to results in c03ed23.doc for some details. Using
( )2 *I e nm n m nmN
σσ σ2
2= + ⊗ −V I I J J ,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
* 2
* * *
2 * * *
2
1
1 1
1 1
1
mnm I t n nm e nm
m mt n nm n m t n nm nm
m mt e n nm t n n m nm n m
t e
km
k km m N
k km m
k
ρ σ
σρ σ ρ
ρ σ ρ σ
ρ σ
22
2
′ − = − ⊗ −
+ − ⊗ − ⊗ − − ⊗ − = = − ⊗ − + − ⊗ ⊗ − ⊗ =
= −
JA I V P P I
J JP P I J P P J
J JP P P I J P I J
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
* * *
2 * * *
2 * * * 2
1
1 1 1
1 1
m nn nm t n m n m m
mt e n nm t n m
mt e n e nm
km n
k km
k m km
ρ σ
ρ σ ρ σ
ρ σ σ σ
2
2
2
⊗ − + − ⊗ − ⊗ − ⊗ = = − ⊗ − + − − ⊗ =
= − + − ⊗ −
J JP P P J I J J
JP P P J
JP P
. Then ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2 2 * * * 2 *
2* 2 * * * 2
2 2 * * * 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1
nm I nm
m mt e n e nm n nm
m mt e n e nm n
mt e n nm e nm
t e
k m k km m
k k m km m
k m km
k
ρ σ σ σ
ρ σ σ σ
ρ σ σ σ
ρ σ
2
2
2
′ ′− − =
− + − ⊗ − ⊗ −
= − + − ⊗ − ⊗
− − + − ⊗ −
= −
A I V A I
J JP P P P
J JP P P
JP P P
( )( )
( ) ( )( ) ( )
*2 * * * * 2
2 22 * * * 2
1
1 1 1
me n
mt e n t e nm
m k k km
k m km
σ σ
ρ σ σ ρ σ
2
2
+ − − ⊗ − − + − ⊗ + −
JP
JP P
which simplifies (see c03ed23.doc for details) to
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 * * *
2 22 * * * 2
2 22 * * * 2 * * * 2
2 2 * * * 2 * * 2
1 1
1 1
1 1 1
1 1
mnm I nm t e n
mt e n t e nm
mt e e n t e nm
t e e e
m k km
m k mm
m k k m k mm
m k k m k m
ρ σ σ
ρ σ σ σ ρ σ
ρ σ σ σ σ σ ρ σ
ρ σ σ σ σ σ
2
2 2
2 2 2
2 2
′ ′− − = − + − ⊗ − − + − ⊗ + −
= − + − − + + ⊗ + −
= − + − − + + +
JA I V A I P
JP P
JP P
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2* 2 2
2 22 * * * * 2
22 2* 2 * 2
1
1 1 1 1
1 1 1
me n t e nm
m mt e n t e n nm
mt e n t e n m
m
m k k km m
k mm
σ σ ρ σ
ρ σ σ ρ σ
ρ σ σ ρ σ
2
2
2
− ⊗ + − = − + − − + ⊗ − − ⊗ −
= − − + ⊗ + − ⊗
JP P
J JP P P
JP I P
or
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2* 2 * 21 1 1mnm I nm t e n t e n mk m
mρ σ σ ρ σ2 ′ ′− − = − − + ⊗ + − ⊗
JA I V A I P I P
. We can express this equivalently as
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2* * * * 2 21 1 2 1mnm I nm t e n t e nmk m k k
mρ σ σ ρ σ2 ′ ′− − = − − + − ⊗ + −
JA I V A I P P
. Next, we evaluate the expression for ( )( ),nm I I II′ − −A I V B V . First (note the error
in c03ed23.doc), since ( ) ( )
( )*nm NM nm m M m
n nm N n Mk
nm m× − × −
× −
= + ⊗
J JB P 0 ,
( ) ( ) ( )
( )2 * * 2 *nm NM nm m M m
I e e n nm N n M
nmm k mN nm mσσ σ σ σ
2× − × −2 2
× −
= + − + + ⊗
J JV B P 0 .
Also, since ( )
( ) ( )*
,m M m
I II n nm N n M nm NM nmm
m Nσσ
2× −2
× − × −
= ⊗ −
JV I 0 J , then
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 7
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 * * 2 *,
*
2 * * 2 *
nm NM nm m M mI I II e e n nm N n M
m M m nm NM nmn nm N n M
nm NM nm m M me e n nm N n M
nmm k mN nm m
nmmm N nm
m k mnm m
σσ σ σ σ
σσ
σ σ σ σ
2× − × −2 2
× −
2× − × −2
× −
× − × −2 2
× −
− = + − + + ⊗ − ⊗ +
= + + + ⊗
J JV B V P 0
J JI 0
J JP 0
( )
( )* m M m
n nm N n Mm
mσ × −2
× −
− ⊗
JI 0
or
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 * * 2 *,
*
nm NM nm m M mI I II e e n nm N n M
m M mn nm N n M
m k mnm m
mm
σ σ σ σ
σ
× − × −2 2
× −
× −2
× −
− = + + + ⊗
− ⊗
J JV B V P 0
JI 0
. Using these results,
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 8
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 * *,
* 2 * *
* *
1
1
1
nm NM nmmnm I I II t e n nm
m M mmt e n nm n nm N n M
m M mmt n nm n nm N n M
m km nm
k m km m
m km m
ρ σ σ
ρ σ σ
σ ρ
× −2
× −2
× −
× −2
× −
′ − − = − + ⊗ −
+ − + ⊗ − ⊗ − − ⊗ − ⊗
JJA I V B V P P
JJP P P 0
JJP P I 0
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
* 2 * *
* *
1
1
m M m m M mmt e n n nm nnm N n M nm N n M
m M m m M mmt n n nm nnm N n M nm N
k m km m m
m km m m
ρ σ σ
σ ρ
× − × −2
× − × −
× − × −2
× − ×
=
= + − + ⊗ ⊗ − ⊗
− − ⊗ ⊗ − ⊗
J JJP P 0 P P 0
J JJP I 0 P I 0
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
* 2 * *
* *
1
1
n M
m M m m M mt e n nnm N n M nm N n M
m M m m M mt n nm nnm N n M nm N n M
k m km m
m km m
ρ σ σ
σ ρ
−
× − × −2
× − × −
× − × −2
× − × −
= + − + ⊗ − ⊗
− − ⊗ − ⊗
J JP 0 P 0
J JP 0 P I 0
. Now ( )
( )
( )
( )
m M m m M mnm n nnm N n M nm N n Mm m
× − × −
× − × −
⊗ = ⊗
J JP I 0 P 0 so that
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 9
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
,
* 2 * *
* *
1
1
nm I I II
m M m m M mt e n nnm N n M nm N n M
m M m m M mt n nnm N n M nm N n M
k m km m
m km m
ρ σ σ
σ ρ
× − × −2
× − × −
× − × −2
× − × −
′ − − =
+ − + ⊗ − ⊗
− − ⊗ − ⊗
A I V B V
J JP 0 P 0
J JP 0 P 0
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
* 2 * *
* *
* * 2 * *
1 1
1 1
1 1
m M mt e n nm N n M
m M mt n nm N n M
m M mt e n nm N n M
k m km
m km
k k m mm
ρ σ σ
σ ρ
ρ σ σ σ
× −2
× −
× −2
× −
× −2 2
× −
= + − + − ⊗
− − − ⊗
= − − + − ⊗
JP 0
JP 0
JP 0
or ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
,
* * 2 * *1 1
nm I I II
m M mt e n nm N n Mk k m m
mρ σ σ σ × −2 2
× −
′ − − =
= − − + − ⊗
A I V B V
JP 0
.
Finally, we evaluate , ,I II I I II II′ ′− − +B V B V B B V V . Since
( ) ( )
( )*nm NM nm m M m
n nm N n Mk
nm m× − × −
× −
= + ⊗
J JB P 0 and
( ) ( ) ( )
( )2 * * 2 *nm NM nm m M m
I e e n nm N n M
nmm k mN nm mσσ σ σ σ
2× − × −2 2
× −
= + − + + ⊗
J JV B P 0 ,
![Page 10: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/10.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 10
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
2 * *
* 2 * *
M m mnNM nm nm nm NM nm
I e
N n M nm
M m mnNM nm nm m M m
e n
N n M nm
nm mm kN nm nm
mk m knm m
σσ σ
σ σ
− ×2
− × × −2
− ×
− ×
− × × −2
− ×
⊗ ′ = + − +
⊗ + + + ⊗
JJ JP
B V B
0
JJ JP
P
0( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 * *2 2 *
nm N n M
M mNM nm n nm N n M
e e
N n M n M m N n M N n M
nm mm k mN nmσσ σ σ σ
× −
−2
−2 2 × −
− × − − × −
⊗
= + − + +
0
JJ P 0
0 0
.
Also, since ( )
( )( )
*,
n M m mII I NM nm nm
N n M nmNσσ
2− ×2
− ×
− ×
⊗ = −
I JV J
0,
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
*,
* *
*
n nm NM nmM m mII I NM nm nm
N n M nm
n m M mM m mnNM nm nm nm N n M
N n M nm
n N nnM m M
N nm
kN m
n n
σσ
σσ
σ
2× −− ×2
− ×
− ×
2× −− ×2
− × × −
− ×
× −2 − −
⊗ = −
⊗ + − ⊗
⊗ ⊗=
JI JV B J
0
JI JJ P 0
0
JJJ J
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
* *n M m n M m N n M
m MNM nm
N n M n M m N n M N n MN n M n M m N n M N n M
kNσσ
2− − × −2×−
− × − − × −− × − − × −
⊗ + −
P J 0J
0 00 0
since ( )
( ) ( ) ( )1n NM nm n M m NM nmmn M m m n m n
× − − × −×
− ×
⊗ ⊗ =
J JJI J , and
( )
( )( )
m M mn n n M mM m m m
× −
−− ×
⊗ ⊗ = ⊗
JI J P P J . Finally, combining terms,
![Page 11: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/11.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 11
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
, ,
2 * *2 2 *
* * *2
I II I I II II
M mNM nm n nm N n M
e e
N n M n M m N n M N n M
n N nn n M m n M m N n MM m M m M
N n MN n M n M m N n M N n M
nm mm k mN nm
kn n
σσ σ σ σ
σ σ
−2
−2 2 × −
− × − − × −
× − − − × −2 2− − ×
− ×− × − − × −
′ ′− − + =
⊗
= + − + +
⊗ ⊗ ⊗
− −
B V B V B B V V
JJ P 0
0 0
JJ P J 0J J00 0 ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
* *
2
2
n M m N n M N n M
NM nm
nM m n M mn M m N n M n M m N n M
N n MN n n N n M n M m
M M m N n M N n M
NM nm e NM nm
N
n
n
N
σ
σ σ
σ σ
− − × −
2
−
− −− × − − × −2 2
−− × − × −
× − − × −
2
− −
+
⊗ ⊗ − + ⊗ ⊗
− +
0
J
JJ 0 I J 0
J 0 I JJ 0
J I
or
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
, ,
2 * *2 2 * * *
*
2
I II I I II II
M mNM nm n nm N n M
e e
N n M n M m N n M N n M
nn N n M mn n M m N n M
M m M m M
N n nN n M n M m N n M N n M M
mm k m k mnm
nn n
n
σ σ σ σ σ
σ
−−2 2 2 × −
− × − − × −
× − − − × −2 − − ×
− ×− × − − × − ×
′ ′− − + =
⊗
= + + + −
⊗ ⊗ ⊗
− + ⊗
B V B V B B V V
JJ P 0
0 0
JJ J 0JJ J
J0 0 J
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
* 2
M m N n M N n M
n M m n M m N n M
e NM nmN n MN n M n M m
σ σ
− − × −
− − × −2−
−− × −
⊗ + + ⊗
0
I J 0I
0 I J
We use these expression to summarize the expression for ( ) ( ) ( )( )( )( )
,
, , ,
nm I nm nm I I II
I II I nm I II I I II II
′ ′− − − −
′ ′ ′− − − − +
A I V A I A I V B V
B V V A I B V B V B B V V. The corresponding terms are
given by
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2* 2 * 21 1 1mnm I nm t e n t e n mk m
mρ σ σ ρ σ2 ′ ′− − = − − + ⊗ + − ⊗
JA I V A I P I P
,
![Page 12: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/12.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 12
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
,
* * 2 * *1 1
nm I I II
m M mt e n nm N n Mk k m m
mρ σ σ σ × −2 2
× −
′ − − =
= − − + − ⊗
A I V B V
JP 0
and
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
, ,
2 * *2 2 * * *
*
2
I II I I II II
M mNM nm n nm N n M
e e
N n M n M m N n M N n M
nn N n M mn n M m N n M
M m M m M
N n nN n M n M m N n M N n M M
mm k m k mnm
nn n
n
σ σ σ σ σ
σ
−−2 2 2 × −
− × − − × −
× − − − × −2 − − ×
− ×− × − − × − ×
′ ′− − + =
⊗
= + + + −
⊗ ⊗ ⊗
− + ⊗
B V B V B B V V
JJ P 0
0 0
JJ J 0JJ J
J0 0 J
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
* 2
M m N n M N n M
n M m n M m N n M
e NM nmN n MN n M n M m
σ σ
− − × −
− − × −2−
−− × −
⊗ + + ⊗
0
I J 0I
0 I J
.
Simplifying Terms for ( ) ( )nm I nm′ ′− −A I V A I We express
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2* 2 * 21 1 1mnm I nm t e n t e n mk m
mρ σ σ ρ σ2 ′ ′− − = − − + ⊗ + − ⊗
JA I V A I P I P
as
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2* 2 * 2
2 22 22 * * *
1 1 1
1 1 1 1
mnm I nm t e n t e n m
mt e n n m t n m
k mm
k km
ρ σ σ ρ σ
ρ σ ρ σ
2
2
′ ′− − = − − + ⊗ + − ⊗
= − − ⊗ + ⊗ + − − ⊗
JA I V A I P I P
JP I P P J
. Now
( ) ( )
( )
( ) ( )
2*
*2 *
*2 *
1
2
2
mn n m
m m m n m mn n n n m n
m n mn n m
km
k km m m n m m
k km n m
− ⊗ + ⊗ =
= ⊗ − ⊗ + ⊗ − ⊗ + ⊗ − ⊗
= − ⊗ + ⊗ − ⊗
JP I P
J J J J J JP P I I I I
J J JP I I
.
Simplifying Terms for ( )( ),nm I I II′ − −A I V B V
![Page 13: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/13.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 13
We express ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
,
* * 2 * *1 1
nm I I II
m M mt e n nm N n Mk k m m
mρ σ σ σ × −2 2
× −
′ − − =
= − − + − ⊗
A I V B V
JP 0
using ( ) ( )* 2 * * * 2 * *1e ek m m k k mσ σ σ σ σ2 2 2+ − = + − as
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
22* * * *
, 1 1 1enm I I II t n m M m nm N n M
k k kmσ
ρ σ 2
× − × −
′ − − = − − + − ⊗ A I V B V P J 0
. Simplifying Terms for , ,I II I I II II′ ′− − +B V B V B B V V We express this as
![Page 14: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/14.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 14
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ,
2 *
*2 2 * * *
*
1
2
I II I I II II
n M m n N n M m M
e
N n n M M m N n M N n M
M mn nm N n M
e
N n M n M m N n M N n M
n M m n N n M m M
N n M n M m N n M
mnm
mk m k m
n
σ σ
σ σ σ
σ
− × − − ×2
− × × − − × −
−
2 2 × −
− × − − × −
2 − × − − ×
− × − −
′ ′− − + =
⊗ ⊗ = + ⊗
⊗
+ + −
⊗ ⊗−
B V B V B B V V
J J J J
J J J
JP 0
0 0
J J J J
0 0( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
* 2
2 *
*
1
1
n M m n M m N n M
N n M N n n M M m N n M N n M
n M m n M m N n M
e NM nmN n MN n M n M m
n M m n N n M m M
e
N n n M M m N n M N n M
mnm
km
σ σ
σ σ
− − × −
× − − × × − − × −
− − × −2−
−− × −
− × − − ×2
− × × − − × −
⊗ + ⊗ ⊗ + + ⊗
⊗ ⊗ = + ⊗
+
J J 0
J J 0
I J 0I
0 I J
J J J J
J J J
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 * * *
*2 2 * * *
*
2
1 2
n M m nm N n M
e
N n M n M m N n M N n M
n M m nm N n M
e
N n M n M m N n M N n M
n nM m M mn N n M m M n M m
N n M n M m N n M N n M
m k m
k m k mnm
n
σ σ σ
σ σ σ
σ
− × −2 2
− × − − × −
− × −2 2
− × − − × −
2 − −× − − × −
− × − − × −
⊗ + −
⊗ − + −
⊗ ⊗ ⊗ − +
I J 0
0 0
J J 0
0 0
J J J J J J 0
0 0( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
* 2
N n M
N n n M M m N n M N n M
n M m n M m N n M
e NM nmN n MN n M n M m
σ σ
× −
− × × − − × −
− − × −2−
−− × −
⊗ ⊗ + + ⊗
J J 0
I J 0I
0 I J
or equivalently as
![Page 15: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/15.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 15
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
, ,
2 *
2 *
*2 2 * * **
* *
2 *
2 **
11
1 2
11
I II I I II II
e
e
e n M m n N n M m M
e
eN n n M M m N
mnm m
nmk m k mnm
nn n
mnm m
nmn
σ σσ σ
σ σ σσ
σ σ
σ σσ σ
σ
2
2
2 2− 2 × − − ×
2 2
2
22 − × × −
′ ′− − + =
+ + − + − ⊗ ⊗ − − −= + ⊗ + −
B V B V B B V V
J J J J
J J J( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
*2 2 * * *
*
*
2
1 2
n M N n M
en M m nm N n M
N n MN n M n M m
e NM nm
k m k mm
σ σ σ
σ
σ
σ
− × −
2 2
− × −2
2−− × −
−
+ − ⊗ + +
⊗ +
I J 0
0 I J
I. Now
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *2 * *2 2 * * *
* * *2 * *2
2 * *2 * *
2*2 * *2 *
2*2 * * * *
2*2 * * *
1 1 2
1 2 21
1 11 2 1
11 1 2 1
11 1 1 2 1
11 1 1
e e
e
e
e
e
e
m k m k mnm nm n n
km knm n n
m k knm n
k k knm n
k k k knm n
k k knm n
σ σσ σ σ σ σ
σ σσ σ
σ σ σ
σσ
σσ
σσ
2 22 2 2
2 22
2 2
2
2
2
+ − + − − − =
= + − + −
= + − + −
= − + − + −
= − + − + − −
= − + − +
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2*2 * * *
2*2 * * *
2
11 1 1 2
11 1 1
e
e
k k knm n
k k knm n
σσ
σσ
2
2
−
= − + − + −
= − + − − or
![Page 16: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/16.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 16
( ) ( )
( ) ( )
* *2 * *2 2 * * *
22*2 * *
1 1 2
11 1
e e
e
m k m k mnm nm n n
k knm n
σ σσ σ σ σ σ
σσ
2 22 2 2
2
+ − + − − − =
= − − −
.
Also,
( )2* *
2 * 2 *1 1 1 ee em
nm n nm n n nmσσ σσ σ σ σ
2 22 2+ − = + − = ,
and
( ) ( )
( )
*2 2 * * * * *2 2 * *2 *
2*2 2 * *
1 12 2 1
1 1
e e
e
k m k m k k km m
k km
σ σ σ σ σ σ
σ σ
2 2 2 2
2
+ − + = + − +
= + −.
As a result, the first term simplifies to
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 *
2 *
*2 2 * * **
* *
2 *
2 **
11
1 2
11
e
e
e n M m n N n M m M
e
eN n n M M m N n M N n M
mnm m
nmk m k mnm
nn n
mnm m
nmn
σ σσ σ
σ σ σσ
σ σ
σ σσ σ
σ
2
2
2 2− 2 × − − ×
2 2
2
22 − × × − − × −
+ + − + − ⊗ ⊗ − − −
+ ⊗ + −
J J J J
J J J
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 22*2 * *
22 *
11 1
1
e en M m n N n M m M
eeN n n M M m N n M N n M
k knm n nm
mnm nm
σ σσ
σσ σ
2− × − − ×
2
− × × − − × −
− − − ⊗ ⊗
= ⊗ +
J J J J
J J J
while the second term reduces to
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
*2 2 * * *
*
*
2*2 2 * *
*
1 2
1 1
en M m nm N n M
N n MN n M n M m
e n M m nm N n M
N n MN n M n M m
k m k mm
k km
σ σ σ
σ
σ
σ σ
σ
2 2
− × −2
2−− × −
2− × −
2−− × −
+ − ⊗ =+
⊗ + − ⊗ = ⊗
I J 0
0 I J
I J 0
0 I J
.
As a result,
![Page 17: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/17.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 17
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
2 22*2 * *
22 *
2*2 2 * *
*
11 1
1
1 1
I II I I II II
e en M m n N n M m M
eeN n n M M m N n M N n M
e n M m nm N n M
N n MN n M n M m
k knm n nm
mnm nm
k km
σ σσ
σσ σ
σ σ
σ
2− × − − ×
2
− × × − − × −
2− × −
2−− × −
′ ′− − + =
− − − ⊗ ⊗
+ ⊗ + + − ⊗ + ⊗
B V B V B B V V
J J J J
J J J
I J 0
0 I J
2e NM nmσ −I
or
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
, ,
*2 22* *
*
2
*2 22* *
1 1
1
I II I I II II
en M m nm N n M
N n MN n M n M m
n M m n N n M m Me
N n MN n n M M m
en M m nm N n M
N n M n
kk
n m
n
nm
kk
m
σσ
σ
σ
σσ
2− × −
2
−− × −
− × − − ×
−− × × −
2− × −
− ×
′ ′− − + =
− + − ⊗
+ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
+ − ⊗
B V B V B B V V
J J 0
0 J J
J J J J
J J J J
I J 0
0( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
*
*2 22* *
2
*
1
e NM nm
N n MM m
en M m nm N n M
NM nme NM nm
N nN n MN n M n M m
kk
mnm
n
σσ
σσ
σ
σ
−2
−−
2− × −
−−
2 −−− × −
+ ⊗
+ − ⊗ = + + + ⊗
II J
P J 0J
IJ
0 I J
. Summary of Results In summary,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
222 2* 2
22 * *
1 1 1
1 1
enm I nm t n m t e n m
t n m
km
k
σρ ρ σ
ρ σ 2
′ ′− − = − − ⊗ + − ⊗
+ − − ⊗
A I V A I P J I P
P J,
![Page 18: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/18.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 18
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
2* *
,2* *
1 1
1 1
et
nm I I II n m M m nm N n M
t
k km
k
σρ
ρ σ× − × −
2
− − ′ − − = ⊗ + − −
A I V B V P J 0 , and
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ,
*2 22* *
*
22
1
I II I I II II
en M m nm N n M
N nN n MN n M n M m
n nM m M mnm N n M nm N n Me
eM MN n N nN n M n M m N n M n M m
kk
m
n
nm
σσ
σ
σσ
2− × −
2 −−− × −
− −× − × −
− −− × − − × −
′ ′− − + =
+ − ⊗
= + ⊗ ⊗ ⊗
+ ⊗ ⊗
B V B V B B V V
P J 0
J0 I J
I I 0 J J J
0 I I J J J
As a result, ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
,
, , ,
222 *
2* *
22 * *
2* *2 2
* *
1 11 1
1 11 11
1 1
nm I nm nm I I II
I II I nm I II I I II II
et n m
et
t n m n m M m nm N n M
tt e n m
et
km
k kmk
k
k k
σρ
σρ
ρ σρ σρ σ
σρ
2
× − × −2
′ ′− − − −
′ ′ ′− − − − + =
− − ⊗
− − + − − ⊗ ⊗ + − − + − ⊗
− −
A I V A I A I V B V
B V V A I B V B V B B V V
P J
P J P J 0
I P
( )( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
*2 2
2* *22
2
2* * 2
*
22
2
1
1 1
e
n M m
en e n M mM m m nm N n M
t en M m
N nN n M
ee MN nN n M nm N n M n M m
eMN n
km
k
mnm
k
nm
n
nm
nm
σ
σσ
σρ σ σ
σ
σσ
σ
−2
−− × × −2
−
2 −−
−− × − × −
−
⊗ + − ⊗ + ⊗ + − − + ⊗ + ⊗
+ ⊗
+ ⊗
P J
P J I I J
J J
JI J
0 J I I
J J
. We express this as
![Page 19: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/19.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 19
( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
,
, , ,
2 22 * *
2 2* * *
1 1 1 1
1 1 1
nm I nm nm I I II
I II I nm I II I I II II
t n m t n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n M nm
k k
k k
ρ ρ
σ ρ
× − × −
2−− × × −
− ×
′ ′− − − −
′ ′ ′− − − − +
+ − − ⊗ + − − ⊗ = + − − ⊗ + − ⊗
A I V A I A I V B V
B V V A I B V B V B B V V
P J P J 0
P J P J 0
0( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
22 * * *
2* * *2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
N n MN n M n M m
t n m t n m M m nm N n M
et n n M mM m m nm N n M
N n MN n M nm N n M n M m
t n m nm n M m
e
k k k
k k km
ρ ρ
σρ
ρ
σ
−− × −
× − × −
−− × × −
−− × − × −
× −
− − ⊗ − − ⊗
+ − − ⊗ ⊗
− ⊗
+
0 0
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
I P 0( )
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2* 2
1
nm N n M
n M m
n M m nm nm N n Mn M m
N n MN n M nm N n M n M m
nm nm n M m nm N n M
ee n M mn M m nm nm N n M
e N n eN n M e MN n N nN n M nm N n M n M m
nm
nm
nm n nm
σσ
σ σσ σ
× −
−
− × × −−
−− × − × −
× − × −
−− × × −
2 −− − −− × − × −
⊗
+ ⊗
+
+ ⊗ + ⊗ +
0
I I0 0
J J
0 0 0
0 0 0
0 0 J
J0 J I J I I J M
⊗
J
Evaluation and Simplification of 2σ′ ′
′ ′
A A A BB A B B
Finally, we evaluate
![Page 20: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/20.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 20
2 2
2
nmnm
nm nmNM nm
NM nm NM nm
σ σ
σ
−− −
′ ′− − = − ′ ′− − − ′ ′
= ′ ′
I 0 0 A B A BA I 0 A 0 0
0 0 0 I 0 I 0B 0 I B 0 0
0 0 0 0 I 0 I
A A A BB A B B
. Now
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
* *
*
* *
*
1 1
1
1 1
1
nm m nm mt n t nm t n t nm
nm nm mt n t nm
m nm mt n t n t nm
nm mt nm t n
k knm m nm m
knm nm m
k km nm m
knm m
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
′ = + − ⊗ + + − ⊗ +
= + − ⊗ + + − ⊗ + − ⊗ +
+ + − ⊗
J J J JA A P P P P
J J JP P
J J JP P P
J JP P
( ) ( )
( )
( ) ( )
* *
*
* * 2
1 1
1
1 1 2
t nm
nm
mt t t n
mt t n t t nm
nm mt t t n t nm
nm
k km
km
k knm m
ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+
=
+ − − + ⊗ + − ⊗ +
= + − − + ⊗ +
P
J
JP
JP P
J JP P
or
( ) ( )2 * *1 2 1 m nmt nm t t t nk k
m nmρ ρ ρ ρ ′ = + − + − ⊗ +
J JA A P P .
Also,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
*
* *
* *
1 1
1 1
1 1
nm NM nmm nmt nm t n t
m M mm nmt nm t n t n nm N n M
nm NM nm m M mt t t t n nm N n M
km nm nm
k km nm m
k knm m
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
× −
× −
× −
× − × −
× −
′ = + − ⊗ + −
+ + − ⊗ + − ⊗ = + − + + − ⊗
JJ JA B I P
JJ JI P P 0
J JP 0
( ) ( ) ( )
( )* *1nm NM nm m M m
t t n nm N n Mk k
nm mρ ρ× − × −
× −
= + + − ⊗
J JP 0
,
![Page 21: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/21.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 21
or
( ) ( )
( )
( )* *1 m M m nm NM nmt t n nm N n M
k km nm
ρ ρ × − × −
× −
′ = + − ⊗ +
J JA B P 0 .
Finally,
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
*
* *
*2
NM nm nm nm NM nm m M mn nm N n M
M m mn nm NM nm m M m
n nm N n M
N n M nm
M mNM nm n nm N
knm nm m
mk knm m
mknm
− × × − × −
× −
− ×
× − × −
× −
− ×
−−
×
′ = + ⊗
⊗ + + ⊗
⊗= +
J J JB B P 0
JJ JP
P 0
0
JJ P 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
n M
N n M n M m N n M N n M
−
− × − − × −
0 0
,
or ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
*2
M mNM nm n nm N n M
N n M n M m N n M N n M
mknm
−−
× −
− × − − × −
⊗
′ = +
JJ P 0
B B0 0
.
To summarize,
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
2* *
* *
2
11 2 1
nmnm
nmNM nm
NM nm
m M mt nmt t n nm N n M
mt t t n
nm NM nnm
k km
k km
nm
σ σ
ρρ ρ
ρ ρ ρ
σ
−−
× −
× −
× −
′ ′′ − − = ′ ′′ − −
+ − ⊗ + − + − ⊗
++
=
I 0 0 A B A A A BA I 00 0 0 I 0 B A B BB 0 I0 0 0 0 I
JP P 0J
PJ
J ( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
* *
*2
1
m
M m mn
M mt tNM nm n nm N n M
N n M nm
N n M n M m N n M N n M
NM nm nm
nm
mk kmk
nm
nm
ρ ρ
− ×
−−
× −− ×
− × − − × −
− ×
⊗ + − ⊗ +
+
JP
JJ P 0
00 0
J
or
![Page 22: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/22.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 22
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2 2
2
* ** *
2
* *
11 2 1
1
nmnm
nmNM nm
NM nm
t nmm M m
t t nm nm N n Mt t t n
t t
k kmk k
m
k k
σ σ
ρρ ρ
ρ ρ ρ
σ
ρ ρ
−−
× −
× −
′ ′′ − − = ′ ′′ − −
+ − ⊗ + − + − ⊗
=
+ −
I 0 0 A B A A A BA I 00 0 0 I 0 B A B BB 0 I0 0 0 0 I
P JP 0J
P
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
*2
2
M m m M mn n nm N n M
N n M n M m N n M N n MN n M nm
NM
m mk
nmσ
− × −
× −
− × − − × −− ×
⊗ ⊗
+
J JP P 0
0 00
J
. We express this as
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
* * * *
2* * *2
2
2
1 2 1 1
1
t t t n m t t n m M m nm N n M
t t n n M mM m m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t nm nm n M
k k k k
k k km
σ
ρ ρ ρ ρ ρ
σ ρ ρ
ρ
σ
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× −
′ ′ = ′ ′
+ − + − ⊗ + − ⊗ = + − ⊗ ⊗
A A A BB A B B
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
P 0( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
m nm N n M
NM
n M m nm n M m n M m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
nmσ
× −
− × − × − × −
− × − × − − × −
+
0J
0 0 0
0 0 0
or since ( ) ( )* * * * * *2 * *1 1t t t t tk k k k k k k kρ ρ ρ ρ ρ + − = + − = + − and
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )
* * * *2
* *2 *2 2 *2
*2 * *2 2 *2
1 2 1 2 1 1 1
2 1 2
2 1 2
t t t t t t t
t t t t
t t t t
k k k k
k k k k
k k k k
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+ − + − = − + − − = − + − +
= + − − +
.
Then,
![Page 23: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/23.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 23
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2
* * *
2* *
2*2
2 1 2 1
1
t t n m n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
n m n m M m nm N n M
n M
k k k
k km
km
σ
ρ ρ
σρ
σ
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× − × −
−
′ ′ = ′ ′
− − + ⊗ − ⊗ = − ⊗
⊗ ⊗
+ ⊗
A A A BB A B B
P J P J 0
P J 0 0
0 0 0
P J P J 0
P J( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
n M mm m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t nm nm n M m nm N n M
NM
n M m nm n M m n M m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
nm
ρ
σ σ
−× × −
− × − × − − × −
× − × −
− × − × − × −
− × − × − − × −
⊗
+
P J 0
0 0 0
P 0 0J
0 0 0
0 0 0
or since ( ) ( )( )* * *2 1 2 2 1t t t tk k kρ ρ ρ ρ− − + = − − − ,
![Page 24: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/24.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 24
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
22 *
2* *
2
1
n m nm n M m nm N n M
t n M mn M m nm nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t n m n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n M nm N
km
k km
σ
σρ
ρ
σρ
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× − × −
−− × × −
− ×
′ ′ = ′ ′
⊗
= −
− ⊗ ⊗
− ⊗
A A A BB A B B
P J 0 0
0 0 0
0 0 0
P J P J 0
P J 0 0
0 0( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2*2
2
2
n M n M m N n M N n M
n m n m M m nm N n M
n n M mM m m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t nm nm n M m nm N n M
n M m nm n M m n M m nm N n M
N
kmσ
ρ
σ
− × − − × −
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× − × −
− × − × − × −
−
⊗ ⊗ + ⊗ ⊗
0
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
P 0 0
0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 NM
n M nm N n M n M m N n M N n M
nmσ
× − × − − × −
+
J
0 0
. Summary
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 25
( ) ( ) ( )( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
, , ,
2
2* *
1 1
1 1
nm I nm nm I I II
I II I nm I II I I II II
t n m t n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n MN n M nm N n M n M m
e
k
ρ ρ
σ ρ
σ
× − × −
2−− × × −
−− × − × −
′ ′− − − −
′ ′ ′− − − − +
+ − ⊗ − ⊗ = − − ⊗ ⊗
+
A I V A I A I V B V
B V V A I B V B V B B V V
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
22 * * *
2* * *2
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
t n m t n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n MN n M nm N n M n M m
t n m nm n M m nm N n M
n M m
e n M m nm nm N n Mn M m
N
k k k
k k km
nm
ρ ρ
ρ
ρ
σ
× − × −
−− × × −
−− × − × −
× − × −
−
− × × −−
− − ⊗ − − ⊗ − − ⊗ ⊗
− ⊗
⊗+
+ ⊗
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
I P 0 0
I I0 0
J J
0( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2* 2
N n Mn M nm N n M n M m
nm nm n M m nm N n M
en M mn M m nm nm N n M
e N n eN n M e M MN n N nN n M nm N n M n M m
nm
nm n nm
σ
σ σσ σ
−− × − × −
× − × −
−− × × −
2 −− − −− × − × −
+ + ⊗ + ⊗ + ⊗
0 0
0 0 0
0 0 J
J0 J I J I I J J
and
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C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 26
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
22 *
2* *
2
1
n m nm n M m nm N n M
t n M mn M m nm nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t n m n m M m nm N n M
t n n M mM m m nm N n M
N n M nm N
km
k km
σ
σρ
ρ
σρ
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× − × −
−− × × −
− ×
′ ′ = ′ ′
⊗
= −
− ⊗ ⊗
− ⊗
A A A BB A B B
P J 0 0
0 0 0
0 0 0
P J P J 0
P J 0 0
0 0( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2*2
2
2
2
n M n M m N n M N n M
n m n m M m nm N n M
n n M mM m m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
t n m
t nm n M m nm N n Mn m
n M m nm n M m n M
km
nm
σ
ρ
ρ
σ
− × − − × −
× − × −
−− × × −
− × − × − − × −
× − × −
− × − ×
⊗ ⊗ + ⊗ ⊗
⊗
− ⊗
0
P J P J 0
P J P J 0
0 0 0
I I0 0
J J
0 0( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
m nm N n M
N n M nm N n M n M m N n M N n M
n m n m M m nm N n M
n n M mM m m nm N n M
N n MN n n M m N n n M M m
nmσ
− × −
− × − × − − × −
× − × −
−− × × −
−− × × − × × −
⊗ ⊗
+ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
0
0 0 0
J J J J 0
J J J J 0
J J J J J J
Special Cases
![Page 27: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/27.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 27
We now consider a special case of this expression where terms simply. The
special case has mI iI M
′′ ′= ⊗
1g e and M m M
II iI iIIM M−′ ′ ′ ′ ′= ⊗ ⊗
1 1g e e . We assume that we
are interested in positions where i n≤ so that iII′ =e 0 . Then
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )
1 2 3
,
, , ,
2
ˆvarnm I nm nm I I II I
I IIIII II I nm I II I I II II
II II
II
P Pξ ξ ξ
σ
′ ′− − − − ′ ′− = ′ ′ ′− − − − + ′ ′ ′ ′+ ′ ′
A I V A I A I V B V gg g gB V V A I B V B V B B V V
A A A B gg g B A B B g
. Now 1iI n iI
nn− ′ =
e P e , 1iI iI′ =e e , and 1iI n iI′ =e J e . Then
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
,
, , ,
2 2 2* * 2
222 * 2 * * *2
2
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2 1 1
nm I nm nm I I II II II
III II I nm I II I I II II
t t
et t
n k m m M m M mnn k m k k m M m k Mn mM
σ ρ ρ
σρ ρ
2
′ ′− − − − ′ ′ ′ ′ ′− − − − +
− − − + − − + − − = + − − + − − − + −
A I V A I A I V B V gg g gB V V A I B V B V B B V V
( )
( )
2
22e
m
M mM m
nmσ
− + − +
or
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
,
, , ,
2 2* *
2 2* *2
2
1 1 1
1 1 1 1
1
nm I nm nm I I II II II
III II I nm I II I I II II
t
et
e
n k m M mnn k m k M mn mM
M mM m
nm
σ ρ
σρ
σ
2
′ ′− − − − ′ ′ ′ ′ ′− − − − + − − − + − − = + − − + −
− + − +
A I V A I A I V B V gg g gB V V A I B V B V B B V V
.
We simplify this using the fact that ( )( ) ( )
( ) ( )
* * * * * *
* *
1 1
1
t t t
t
k m k M m mk m k m m Mk mk
m k M k f
ρ ρ ρ
ρ
− − + − = − + − + −
= − + −
to
![Page 28: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/28.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 28
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) [ ]
( ) ( )
( )
,
, , ,
22 22* * * *
2
* *
1 11 1
1 1
1 1
nm I nm nm I I II II II
III II I nm I II I I II II
et t t
e
n nk f k k f f fn n m
f nf fnmn kn
σσ ρ ρ ρ
σ
σ
2
2
′ ′− − − − ′ ′ ′ ′ ′− − − − + − − = − − + + − + −
+ − + −
− = −
A I V A I A I V B V gg g gB V V A I B V B V B B V V
[ ] ( ) ( )
( ) ( )
22 22 *
2
11 1 1
1 1 1
et t t
e
nf k f fn m
f f nnm
σρ ρ ρ
σ
− − + − − −
+ − + −
. The second term reduces to
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22 * 2
2* * 2
22*2 2
2
22 2 2
22
1
11 2 2
1 1 2
II II
II
t
t t
tt
nk mm n
nk k m m M mm n
nk m m M m M mm nM
m mnm
Mnm
σ
σρ
σρ ρ
σ
ρσ ρ
σ
′ ′ ′ ′ = ′ ′ − −
− + − − + − − = + + − + − − +
A A A B gg g B A B B g
.
Now ( ) ( )
( )
2 2 22 2 2 2 2t t
t
m m M m m m mM mm
mM m M m
ρ ρ
ρ
− + − = − + −
= + −
and hence
![Page 29: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/29.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 29
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
22 * 2
2* *
222*2 2
2 22 2 2 2
2
1
111
1 2
II II
II
t
t t
tt
t
nk mm n
nk k mM m M mm n
nM k m m M m M mm n
m m Mnm nm
k
σ
σρ
σρ ρ
σ
ρ σσ ρ
ρ
′ ′ ′ ′ = ′ ′ − − − + − + − = − + + − + − − +
−
=
A A A B gg g B A B B g
( ) ( )
( ) ( )
2* 2
2* *
2*2
2 22 2
2 * 2
* *2 2
*2
2 2
1
11 1
1
1
1 11
t t
t
t
t t
t
n fm n
nk k f f fm n
nkm n
nfm n nm
k f
k k f f fnm n nmk
f
σ
σρ ρ
σ
σ σρ
ρ
ρ ρσ σ
ρ
−
− + − + − − +
− +
− + − + − − = + + +
.
Now ( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 * 2 * * *2 2 2
* * *2 *2
* * * *2
* * *2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
t t t t
t t t t
t t t
t t t
k f k k f f f k f
f k f k f k f f k
f f k k k f k
f k f k f k
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
− + − + − + + =
= − + + − − + − + + =
= − + − + − + =
= − + + − +
.
Then
( )( ) ( )
2
2 2* * * *21 1 1
II II
II
t t tn f k f k k f k
m n nm
σ
σ σρ ρ ρ
′ ′ ′ ′ = ′ ′ − = − + + − + +
A A A B gg g B A B B g
.
In summary, the MSE simplifies to
![Page 30: · 2009-04-24 · C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 2 If we are interested in predicting a cluster mean where m IiIM 1 ge and Mm M II iI iIIM M 1 1 ge e and we are interested in positions](https://reader034.vdocuments.us/reader034/viewer/2022042211/5eb0dc7ecf5976621b2fcf27/html5/thumbnails/30.jpg)
C03ed25.doc 8/7/2003 3:47 PM 30
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) [ ] ( )
1 2 3
,
, , ,
2
22 2* * *
ˆvar
1 11 1 1
nm I nm nm I I II II II
III II I nm I II I I II II
II II
II
et t
P P
n nk f k fn n m
ξ ξ ξ
σ
σσ ρ ρ2
′ ′− − − − ′ ′− = ′ ′ ′− − − − + ′ ′ ′ ′+ = ′ ′
− − = − − + −
A I V A I A I V B V gg g gB V V A I B V B V B B V V
A A A B gg g B A B B g
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 2* * * *2
1 1 1 1
1 1 1
et
t t t
f f f nnm
n f k f k k f km n nm
σρ
σ σρ ρ ρ
− − + − + −
− + − + + − + + which Checks (numerically- see c03MSEcheck.xls) with the result on page 7 of c03ed20.doc!