2 example of time series forecasting by ssa

7/28/2019 2 Example of Time Series Forecasting by SSA

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2 E x a m p l e o f T i m e S e r i e s F o r e c a s t i n g b y S S A

1

L e t u s i l l u s t r a t e t h e ` C a t e r p i l l a r ' - S S A t e c h n i q u e [ 1 ] b y t h e e x a m p l e o f t h e t i m e s e r i e s f o r e c a s t .

W e c o n s i d e r t h e t i m e s e r i e s F O R T ( m o n t h l y v o l u m e s o f f o r t i e d w i n e s a l e s i n A u s t r a l i a f r o m

J a n u a r y 1 9 8 4 t i l l J u n e 1 9 9 4 , F i g . 1 ) . C e r t a i n l y , t i m e s e r i e s f o r e c a s t i n g s h o u l d b e b a s e d o n t h e

p r e l i m i n a r y t i m e s e r i e s i n v e s t i g a t i o n . I n t h i s c a s e w e r e l y o n t h e t i m e s e r i e s a n a l y s i s p e r f o r m e d i n

[ 2 ] ( s e e a l s o h t t p : / / w w w . g i s t a t g r o u p . c o m / c a t / ) . W e e x a m i n e b o t h t h e i n i t i a l t i m e s e r i e s o f l e n g t h

e q u a l t o 1 7 4 a n d i t s s u b s e r i e s c o n s i s t i n g o f t h e r s t 1 2 0 p o i n t s . W e n a m e t h e f o r m e r F O R T 1 7 4

w h e r e a s t h e l a t t e r F O R T 1 2 0 . P r e s e n t e d g r a p h s s e r v e s t o i l l u s t r a t e c o n c e p t s a n d t h e o r e t i c a l

a s p e c t s o f t h e m e t h o d .

G e n e r a l l y , f o r e c a s t i n g b y t h e C a t e r p i l l a r - S S A m e t h o d s h o u l d b e a p p l i e d t o t i m e s e r i e s

g o v e r n e d ( m a y b e a p p r o x i m a t e l y ) b y l i n e a r r e c u r r e n t f o r m u l a e ( L R F s ) . T h a t ' s w h y w e s t a r t

w i t h t h e s t u d y o f t h e s e r i e s F O R T f r o m t h i s p o i n t o f v i e w .

2 . 1 L i n e a r r e c u r r e n t f o r m u l a g o v e r n i n g t h e t i m e s e r i e s

A s w e f o u n d o u t i n [ 2 ] , F O R T t i m e s e r i e s c a n b e d e c o m p o s e d i n t o a s u m o f a s i g n a l a n d a n o i s e .

W e p e r f o r m e d t h i s d e c o m p o s i t i o n q u i t e w e l l u s i n g

L = 84(

w- c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e s i g n a l

c o m p o n e n t a n d t h e n o i s e c o m p o n e n t i s s m a l l e n o u g h ; i t i s e q u a l t o 0 . 0 0 4 ) . T h u s , w e k n o w t h a t

t h e s i g n a l p r o d u c e s 1 1 e i g e n t r i p l e s , s o i t s t r a j e c t o r y s p a c e s h o u l d b e r a t h e r w e l l a p p r o x i m a t e d

b y a s u b s p a c e o f d i m e n s i o n 1 1 . I n t u r n , t h e s u b s p a c e g e n e r a t e s a L R F o f d i m e n s i o n 83 = L 1( w e c a l l s u c h f o r m u l a e f u l l L R F s ) , s u c h t h a t t h e r e c o n s t r u c t e d t i m e s e r i e s ( t h e s i g n a l ) w o u l d

a p p r o x i m a t e d b y a t i m e s e r i e s g o v e r n e d b y t h i s L R F .

T a b l e 1 p r e s e n t s t h e i n f o r m a t i o n f o r 1 9 ( o f 8 3 ) l e a d i n g r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l

c o r r e s p o n d i n g t o t h i s L R F . T h e r o o t s ( r e c a l l t h a t t h e y a r e c o m p l e x n u m b e r s ) a r e o r d e r e d i n

d e s c e n d i n g o f t h e i r m o d u l i . T h e l a b e l " c o m p l . " f o r t h e " T y p e " c o l u m n o f T a b l e 1 n o t e s t h a t t h i s

l i n e r e l a t e s t o t w o c o n j u g a t e c o m p l e x r o o t s . I n t h i s c a s e , t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e r o o t i m a g i n a r y

p a r t i s l i s t e d i n t h e t a b l e . T h e r s t s i x r o w s c a n b e i n t e r p r e t e d e a s i l y : t h e r o w s 1 - 3 a n d 5 - 6

c o r r e s p o n d t o c o n j u g a t e c o m p l e x r o o t s , w h i c h p r o d u c e h a r m o n i c s w i t h p e r i o d s 6 , 4 , 2 . 4 , 1 2 , a n d

3 . M o d u l i g r e a t e r t h a n o n e c o r r e s p o n d t o h a r m o n i c s w i t h i n c r e a s i n g a m p l i t u d e s , a m o d u l u s l e s s

t h a n o n e r e e c t s d e c r e a s i n g a m p l i t u d e . T h e s e r e s u l t s a r e i n a c c o r d a n c e w i t h [ 2 , F i g . 9 ] . T h e

f o r t h r o w o f t h e t a b l e c o r r e s p o n d s t o t h e r e a l - v a l u e d r o o t w i t h m o d u l u s e q u a l t o 0 . 9 9 7 . T h e r e

a r e n o m o r e m a i n r o o t s , s i n c e t h e i r a m o u n t s h o u l d b e e q u a l t o 1 1 . O t h e r r o o t s a r e e x t r a n e o u s ;

f u r t h e r m o r e , t h e i r m o d u l i a r e l e s s t h a n o n e . F i g . 2 r e p r e s e n t s a l l t h e r o o t s i n c o m p l e x c o o r d i n a t e s

( R e , I m ) .

L e t u s c h e c k w h e t h e r t h e t i m e s e r i e s i s w e l l t t e d b y t h e f u l l L R F . M a x i m u m e r r o r o f t o t a l

a p p r o x i m a t i o n i s e q u a l t o 1 3 2 a n d i s s m a l l e r t h a n 1 0 % o f t h e t i m e s e r i e s v a l u e s . N o t e t h a t w e

u s e t h e r s t 8 3 p o i n t s a s i n i t i a l d a t a f o r t h e L R F a n d s o t h e a p p r o x i m a t i o n e r r o r i s c a l c u l a t e d

s t a r t i n g f r o m t h e 8 4 t h p o i n t .

L e t u s c o n s i d e r a n e w m i n i m a l L R F o f d i m e n s i o n 1 1 g e n e r a t e d b y t h e e l e v e n m a i n p o l y n o m i a l

r o o t s . I f w e t o o k t h e p o i n t s 7 3 - 8 3 a s t h e i n i t i a l d a t a f o r t h i s L R F , i t w o u l d b e t t e r a p p r o x i m a t e

t h e t i m e s e r i e s ( m a x i m u m e r r o r i s e q u a l t o 9 4 ) . N o w o n d e r t h a t i f w e t o o k t h e r s t 1 1 p o i n t s a s

t h e i n i t i a l d a t a , t h e n t h e m a x i m u m e r r o r e s t i m a t e d o n t h e p o i n t s 1 2 - 1 7 4 w o u l d i n c r e a s e t o 4 9 5 .

T h u s w e c o n c l u d e t h a t t h e t i m e s e r i e s i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y t h e t i m e s e r i e s g o v e r n e d b y t h e

m i n i m a l 1 1 - d i m e n s i o n a l L R F w i t h r o o t s r e p r e s e n t e d i n F i g . 3 . S o w e k n o w t h e a n a l y t i c a l f o r m o f

t h e a p p r o x i m a t i n g t i m e s e r i e s u p t o c o n s t a n t s b e f o r e a d d e n d s . R e l a t i o n b e t w e e n r e s u l t s o f l o c a l

a p p r o x i m a t i o n i s t h e s a m e ( m a g n i t u d e s o f e r r o r s a r e s m a l l e r ) .

1

T h i s i s t h e e x a m p l e s e c t i o n o f [ 3 ] . S e e a l s o h t t p : / / w w w . g i s t a t g r o u p . c o m / c a t /

1


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1 : T i m e s e r i e s F O R T : r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l f o r t h e f u l l L R F

N R e I m M o d u l u s F r e q u e n c y P e r i o d T y p e

1 0 . 4 9 7 0 . 8 7 1 1 . 0 0 3 1 . 0 5 3 5 . 9 6 9 c o m p l .

2 - 0 . 0 0 2 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 5 7 3 3 . 9 9 4 c o m p l .

3 - 0 . 8 7 0 0 . 4 8 9 0 . 9 9 8 2 . 6 3 0 2 . 3 8 9 c o m p l .

4 0 . 9 9 7 0 . 0 0 0 0 . 9 9 7 0 . 0 0 0 n o r e a l

5 0 . 8 6 1 0 . 4 9 7 0 . 9 9 4 0 . 5 2 4 1 2 . 0 0 2 c o m p l .

6 - 0 . 4 7 8 0 . 8 6 6 0 . 9 8 9 2 . 0 7 5 3 . 0 2 8 c o m p l .

7 - 0 . 0 9 4 0 . 9 7 2 0 . 9 7 6 1 . 6 6 7 3 . 7 6 8 c o m p l .

8 - 0 . 3 9 1 0 . 8 9 4 0 . 9 7 5 1 . 9 8 3 3 . 1 6 8 c o m p l .

9 0 . 7 9 6 0 . 5 6 3 0 . 9 7 5 0 . 6 1 5 1 0 . 2 1 2 c o m p l .

1 0 0 . 4 0 1 0 . 8 8 8 0 . 9 7 5 1 . 1 4 7 5 . 4 8 0 c o m p l .

S i n c e w e k n o w t h e e x a c t p e r i o d o f t h e t i m e s e r i e s p e r i o d i c a l c o m p o n e n t ( d u e t o i t s s e a s o n a l

b e h a v i o r ) , w e c a n a d j u s t t h e L R F b y c h a n g i n g t h e r o o t s s o t h a t t h e y c o r r e s p o n d t o p e r i o d s 6 , 4 ,

2 . 4 , 1 2 a n d 3 . ( R e c a l l t h a t t h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n l i n e a r r e c u r r e n t f o r m u l a e

a n d r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l s . ) T h i s 1 1 - d i m e n s i o n a l f o r m u l a i s c a l l e d a n a d j u s t e d

m i n i m a l L R F . T h e l o c a l a p p r o x i m a t i o n e r r o r s c o r r e s p o n d i n g t o t h e a d j u s t e d m i n i m a l L R F e v e n

d e c r e a s e h e r e .

L e t u s g i v e a n a n a l y t i c a l f o r m o f t h e t i m e s e r i e s g o v e r n e d b y t h e a d j u s t e d m i n i m a l L R F :

fn = C10.997n + C20.994

n sin(2n/12 + 2)++C3 sin(2n/4 + 3) + C41.003

n sin(2n/6 + 4)++C50.998

n sin(2n/2.4 + 5) + C60.989n sin(2n/3 + 6).

( 1 )

T h e c o e c i e n t s Ci a n d i a r e d e t e r m i n e d b y i n i t i a l d a t a . T h e a d d e n d s a r e o r d e r e d b y d e c r e a s i n g o f t h e i r c o n t r i b u t i o n s t o t h e i r s u m f o r t e r m s f r o m 1 t o 1 7 4 ( i . e . , b y e i g e n v a l u e s h a r e s ) . R e c a l l

t h a t o r d e r i n g b y r o o t s m o d u l i g e n e r a l l y d i e r s f r o m o r d e r i n g b y e i g e n v a l u e s , s i n c e r o o t s m o d u l i

a r e r e l a t e d t o r a t e s o f i n c r e a s i n g / d e c r e a s i n g o f t i m e s e r i e s c o m p o n e n t s a n d t h e r e b y i n u e n c e a

f u t u r e b e h a v i o r o f t h e t i m e s e r i e s g o v e r n e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g L R F .

T h u s , t h e p r e l i m i n a r y i n v e s t i g a t i o n i m p l i e s t h a t t h e t i m e s e r i e s F O R T w e l l t s t o t h e r e q u i r e d

m o d e l , s o w e c a n s t a r t t h e f o r e c a s t i n g .

2 . 2 F o r e c a s t a n d c o n d e n c e i n t e r v a l s

R o b u s t l o n g - t e r m f o r e c a s t . A s w e d e m o n s t r a t e d a b o v e , t h e t i m e s e r i e s F O R T i s q u i t e

a p p r o p r i a t e f o r f o r e c a s t i n g : i t c o n s i s t s o f t h e s i g n a l p e r f e c t l y a p p r o x i m a t e d b y t h e t i m e s e r i e s

w h i c h i s g o v e r n e d b y t h e L R F a n d o f t h e w h i t e n o i s e . F i g . 4 d e p i c t s t h e r s t 2 4 p o i n t s o f

t h e r e c u r r e n t 6 0 - s t e p f o r e c a s t . T h i s f o r e c a s t i s p e r f o r m e d u s i n g t h e f u l l L R F p r o d u c e d b y t h e

s u b s p a c e , w h i c h i s g e n e r a t e d b y t h e l e a d i n g 1 1 e i g e n t r i p l e s . T h e r e s u l t s o f t h e v e c t o r f o r e c a s t a s

w e l l a s o f t h e r e c u r r e n t f o r e c a s t t h a t u s e s t h e m i n i m a l a d j u s t e d L R F 1 a r e v e r y s i m i l a r t o t h e

r e s u l t s d e p i c t e d i n F i g . 4 s o w e d o n ' t p r e s e n t t h e m . S u c h c o i n c i d e n c e j u s t c o n r m s r o b u s t n e s s o f

t h e p e r f o r m e d f o r e c a s t .

F i g . 5 r e p r e s e n t s t h e b o o t s t r a p c o n d e n c e i n t e r v a l s w i t h c o n d e n c e l e v e l e q u a l t o 0 . 9 5 .

C e r t a i n l y , w e s h o u l d c h e c k w h e t h e r t h e r e s i d u a l s s a t i s f y n e c e s s a r y c o n d i t i o n s . T h u s w e s h o u l d

c h e c k w h e t h e r t h e r e s i d u a l t i m e s e r i e s

F(2) = F F(1) , w h e r e F(1) i s r e c o n s t r u c t e d u s i n g

2


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t h e l e a d i n g 1 1 e i g e n t r i p l e s s i g n a l , i s a r e a l i z a t i o n o f i n d e p e n d e n t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m

v a r i a b l e s . T e s t i n g o f r e s i d u a l s h a s a l r e a d y b e e n c a r r i e d o u t d u r i n g t h e a n a l y s i s o f t h e t i m e s e r i e s .

H y p o t h e s i s o f i n d e p e n d e n c e i s n o t r e j e c t e d w h e r e a s t h e c r i t e r i o n f o r t e s t i n g o f t h e n o r m a l i t y

h y p o t h e s i s y i e l d s t h e p - l e v e l e q u a l t o 0 . 0 1 . T h i s s l i g h t n o n - n o r m a l i t y i n t h e r e s i d u a l d i s t r i b u t i o n

c a n l e a d t o a s m a l l m o d i c a t i o n o f t h e c o n d e n c e i n t e r v a l s b u t w e c a n r e l y o n c o n d e n c e l i m i t s

a n y w a y . Y o u s e e t h a t s i z e o f t h e c o n d e n c e i n t e r v a l s i n c r e a s e s d u r i n g v e y e a r s v e r y s l o w .

T h u s , w e h a v e c o n s t r u c t e d t h e r o b u s t 6 0 - s t e p f o r e c a s t o f t h e F O R T t i m e s e r i e s . W e c a n r e l y

o n i t u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e t i m e s e r i e s w i l l n o t c h a n g e i n f u t u r e .

S h o r t - t e r m f o r e c a s t . I t i s i m p o s s i b l e f o r s o m e d a t a t o d o a p r o p e r l o n g - t e r m f o r e c a s t . I t

c a n b e c a u s e d b y : 1 ) s m a l l l e n g t h o f a t i m e s e r i e s a s c o m p a r e d t o a n o i s e m a g n i t u d e a n d / o r

t o a s i g n a l c o m p l e x i t y ; 2 ) n o n - l i n e a r s t r u c t u r e o f a s i g n a l . W e c o n s i d e r s t r u c t u r e o f a s i g n a l a s

n o n - l i n e a r i f t h e s i g n a l i s p o o r l y a p p r o x i m a t e d b y a t i m e s e r i e s g o v e r n e d b y a n L R F o f r e l a t i v e l y

s m a l l d i m e n s i o n . B e l o w w e d e m o n s t r a t e o n l y t h e r s t c a s e .

L e t u s t r u n c a t e F O R T 1 7 4 a n d c o n s i d e r t h e s u b s e r i e s c o n s i s t i n g o f t h e r s t 1 2 0 p o i n t s o f

t h e i n i t i a l t i m e s e r i e s , a s w e l l a s w e d i d f o r t h e t i m e s e r i e s a n a l y s i s i n [ 2 ] . W e u s e d e s i g n a t i o n s

F O R T 1 2 0 f o r t h i s s u b s e r i e s , w h e r e a s F O R T 1 7 4 f o r t h e i n i t i a l t i m e s e r i e s . T h e t i m e s e r i e s a n a l y s i s

p e r f o r m e d i n [ 2 , A p p e n d i x B ] y i e l d s t h a t f o r t h e w i n d o w l e n g t h L = 60 t h e s i g n a l i s p r o d u c e d b y t h e l e a d i n g 1 1 e i g e n t r i p l e s . R e c a l l t h a t w e o b s e r v e d m i x i n g o f t w o h a r m o n i c s a r i s i n g a t t h e

s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n s t a g e . H o w e v e r , t h i s m i x t u r e i s i n s i g n i c a n t f o r f o r e c a s t i n g i f w e

i n c l u d e t h e s e e i g e n t r i p l e s 8 1 1 t o g e t h e r .

L e t u s c o n s t r u c t 6 0 - s t e p f o r e c a s t f o r t h e F O R T 1 2 0 t i m e s e r i e s u s i n g t h e l e a d i n g 1 1 e i g e n t r i p l e s ,

a s w e l l a s w e d i d f o r F O R T 1 7 4 . T h e s t r u c t u r e o f t h e e i g e n s p a c e p r o d u c e d b y t h e l e a d i n g 1 1

e i g e n t r i p l e s i s t h e s a m e b o t h f o r t h e i n i t i a l t i m e s e r i e s a n d f o r t h e s u b s e r i e s . H o w e v e r , s i n c e

F O R T 1 2 0 i s s h o r t e r , t h e q u a l i t y o f a p p r o x i m a t e s e p a r a b i l i t y o f a s i g n a l f r o m a n o i s e i s n o t s o

g o o d . E r r o r o f g l o b a l a p p r o x i m a t i o n c o n r m s i t ; i t s v a l u e i s e q u a l t o 3 1 2 ( c o m p a r e w i t h 1 3 2 f o r

F O R T 1 7 4 ) .

W h e n w e f o r e c a s t t h e t r u n c a t e d t i m e s e r i e s , w e c a n c o m p a r e t h e f o r e c a s t v a l u e s w i t h t h e

k n o w n t i m e s e r i e s v a l u e s ( t h a t i s , w e h a v e s o c a l l e d v a l i d a t i o n p e r i o d ) . I t h e l p s u s t o e s t i m a t e t h e

f o r e c a s t q u a l i t y . F i g . 6 d e p i c t s t h e r e c u r r e n t f o r e c a s t o f F O R T 1 2 0 ( t h e b o l d s o l i d l i n e ) a s w e l l a s

t h e F O R T 1 7 4 t i m e s e r i e s . I t c a n b e s e e n t h a t t h e f o r e c a s t d e s c r i b e s t h e f u t u r e b e h a v i o r f o r t h e

r s t 2 4 p o i n t s v e r y w e l l , b u t t h e n d i s c r e p a n c y b e g i n s t o i n c r e a s e . T a b l e 2 c o n t a i n s i n f o r m a t i o n

a b o u t t h e l e a d i n g 1 9 o f 5 9 r o o t s o f c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l c o r r e s p o n d i n g t o t h e f u l l L R F u s e d

f o r t h e f o r e c a s t o f F O R T 1 2 0 . T h e c o m p a r i s o n w i t h T a b l e 1 m a k e s c l e a r t h a t s u c h b e h a v i o r o f

F O R T 1 2 0 f o r e c a s t i s c a u s e d b y a l a r g e m o d u l u s o f c o m p l e x c o n j u g a t e r o o t s c o r r e s p o n d i n g t o

a m p l i t u d e - m o d u l a t e d h a r m o n i c w i t h 6 - m o n t h s p e r i o d ( t h e r s t l i n e o f T a b l e 2 ) . F i g . 6 c o n r m s

t h e s u p p o s i t i o n t h a t t h i s h a l f - y e a r h a r m o n i c w i t h i n c r e a s i n g a m p l i t u d e i s r e s p o n s i b l e f o r t h e

d i s c r e p a n c y o f t h e f o r e c a s t w i t h t h e t i m e s e r i e s d a t a .

T o d e m o n s t r a t e l e s s r o b u s t n e s s o f t h e F O R T 1 2 0 t i m e s e r i e s f o r e c a s t i n c o m p a r i s o n w i t h

r e l i a b i l i t y o f t h e F O R T 1 8 4 f o r e c a s t , w e p r e s e n t c o n d e n c e i n t e r v a l s . F i g . 7 s h o w s t h a t s i z e s o f

t h e b o o t s t r a p c o n d e n c e i n t e r v a l s i n c r e a s e f a l l i n g e v e n i n t o n e g a t i v e v a l u e s a r e a .

L e t u s m a k e c e r t a i n t h a t t h e l a c k o f s e p a r a b i l i t y d o e s a c c o u n t f o r t h e p o o r q u a l i t y o f t h e

l o n g - t e r m F O R T 1 2 0 f o r e c a s t r a t h e r t h a n c h a n g i n g o f t h e t i m e s e r i e s s t r u c t u r e a f t e r t h e 1 2 0 t h

p o i n t . W e a p p l y t o F O R T 1 2 0 t h e a d j u s t e d m i n i m a l L R F p r o d u c e d b y t h e F O R T 1 7 4 t i m e s e r i e s

a n d g i v e n b y t h e f o r m u l a ( 1 ) . T h e r e s u l t i s p r e s e n t e d i n F i g . 8 a n d d e m o n s t r a t e s a q u i t e g o o d

q u a l i t y o f t h e f o r e c a s t ( t h e b o l d s o l i d l i n e c o n n e c t s t h e f o r e c a s t e d p o i n t s w h i l e t h e r e a l v a l u e s

a r e m a r k e d b y s q u a r e s ) .

B y m e a n s o f f o r e c a s t i n g t r u n c a t e d t i m e s e r i e s w e c a n e s t i m a t e f o r e c a s t e r r o r s , f o r e x a m p l e ,

t h e m e a n - s q u a r e d e v i a t i o n o f f o r e c a s t e d v a l u e s f r o m r e a l v a l u e s . T h e r e c u r r e n t f o r e c a s t u s i n g t h e

3


4/7

2 : T i m e s e r i e s F O R T 1 2 0 : r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f t h e f u l l L R F

N R e I m M o d u l u s F r e q u e n c y P e r i o d T y p e

1 0 . 5 0 5 0 . 8 7 8 1 . 0 1 3 1 . 0 4 9 5 . 9 9 0 c o m p l .

2 - 0 . 8 8 5 0 . 4 8 0 1 . 0 0 7 2 . 6 4 4 2 . 3 7 6 c o m p l .

3 0 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 0 0 1 . 5 7 1 4 . 0 0 1 c o m p l .

4 0 . 9 9 7 0 . 0 0 0 0 . 9 9 7 0 . 0 0 0 n o c o m p l .

5 0 . 8 6 2 0 . 4 9 6 0 . 9 9 4 0 . 5 2 2 1 2 . 0 3 3 c o m p l .

6 - 0 . 4 9 0 0 . 8 5 1 0 . 9 8 2 2 . 0 9 3 3 . 0 0 2 c o m p l .

7 0 . 3 6 6 0 . 8 9 6 0 . 9 6 8 1 . 1 8 3 5 . 3 1 1 c o m p l .

8 0 . 7 6 8 0 . 5 8 7 0 . 9 6 6 0 . 6 5 2 9 . 6 3 5 c o m p l .

9 - 0 . 1 2 8 0 . 9 5 7 0 . 9 6 6 1 . 7 0 4 3 . 6 8 8 c o m p l .

1 0 - 0 . 8 9 9 0 . 3 5 0 0 . 9 6 5 2 . 7 7 1 2 . 2 6 8 c o m p l .

f u l l f o r e c a s t i n g L R F p r o d u c e s m e a n - s q u a r e e r r o r e q u a l t o 5 4 9 , t h e v e c t o r f o r e c a s t y i e l d s t o t h e

s m a l l e r e r r o r 5 3 5 , w h e r e a s t h e f o r e c a s t u s i n g t h e m i n i m a l a d j u s t e d L R F d i m i n i s h e s t h e e r r o r u p

t o 3 1 4 .

T h u s , t h e c o n s i d e r e d e x a m p l e o f t h e t i m e s e r i e s a n a l y s i s / f o r e c a s t i n g c o n r m s t h e o r e t i c a l

r e s u l t s a b o u t r e l a t i o n b e t w e e n f o r e c a s t q u a l i t y a n d s e p a r a b i l i t y a c c u r a c y .

[ 1 ] G o l y a n d i n a N . , N e k r u t k i n V . , a n d Z h i g l j a v s k y A . A n a l y s i s o f T i m e S e r i e s S t r u c t u r e : S S A

a n d R e l a t e d T e c h n i q u e s , L o n d o n : C h a p m a n & H a l l / C R C , 2 0 0 1 , 3 0 5 P .

[ 2 ] G o l y a n d i n a N . T h e ' C a t e r p i l l a r ' - S S A M e t h o d f o r T i m e S e r i e s A n a l y s i s : T r a i n i n g A i d s ,

S t . P e t e r s b u r g , S t . P e t e r s b u r g S t a t e U n i v e r s i t y , 2 0 0 4 , 8 7 P . ( I n R u s s i a n ) .

[ 3 ] G o l y a n d i n a N . T h e ' C a t e r p i l l a r ' - S S A M e t h o d f o r T i m e S e r i e s F o r e c a s t i n g : T r a i n i n g A i d s ,

S t . P e t e r s b u r g , S t . P e t e r s b u r g S t a t e U n i v e r s i t y , 2 0 0 4 , 5 3 P . ( I n R u s s i a n ) .

4


5/7

Jan80 Jul81 Jan83 Jul84 Jan86 Jul87 Jan89 Jul90 Jan92 Jul93

1208

1759

2311

2862

3413

3964

4516

5067

5618

. 1 : F O R T 1 7 4 : i n i t i a l t i m e s e r i e s o f m o n t h l y v o l u m e s o f f o r t i e d w i n e s a l e s i n A u s t r a l i a

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

. 2 : F O R T 1 7 4 : m a i n a n d e x t r a n e o u s r o o t s o f c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l f o r t h e f u l l L R F

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0

0.5

1.0

. 3 : F O R T 1 7 4 : r o o t s o f c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l f o r t h e m i n i m a l L R F

5


6/7

Jan80 Jan82 Jan84 Jan86 Jan88 Jan90 Jan92 Jan94 Jan96

700

1700

2700

3700

4700

5700

. 4 : F O R T 1 7 4 : r e c u r r e n t 2 4 - s t e p f o r e c a s t

Jan95 Jan96 Jan97 Jan98 Jan99

200

1200

2200

3200

4200

. 5 : F O R T 1 7 4 : r e c u r r e n t 6 0 - s t e p f o r e c a s t a n d b o o t s t r a p c o n d e n c e i n t e r v a l s

Jan88 Jan89 Jan90 Jan91 Jan92 Jan93 Jan94

500

1500

2500

3500

4500

. 6 : F O R T 1 2 0 : r e c u r r e n t 6 0 - s t e p f o r e c a s t u s i n g t h e f u l l L R F o n t h e b a c k g r o u n d o f t h e r e a l

v a l u e s

6


7/7

Jan90 Jan91 Jan92 Jan93 Jan94

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

. 7 : F O R T 1 2 0 : r e c u r r e n t 6 0 - s t e p f o r e c a s t a n d b o o t s t r a p c o n d e n c e i n t e r v a l s

Jan88 Jan89 Jan90 Jan91 Jan92 Jan93 Jan94

500

1500

2500

3500

4500

. 8 : F O R T 1 2 0 : R e c u r r e n t 6 0 - s t e p f o r e c a s t u s i n g t h e m i n i m a l a d j u s t e d L R F ( F O R T 1 7 4 ) o n

t h e b a c k g r o u n d o f t h e r e a l v a l u e s

7

2 example of time series forecasting by ssa

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