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1=l'ojet liB fln d'ntmles'Ecole polytechnique de Thies
Deuartement de Genie Civil
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Proj5. 11
~~Dysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~ŒD~Œœs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms
A me s parents,
A tous me s :frères et. soeurs,
A t.ous ceux qui ont contribué
â Fe i r e de mo i ce que je sui s.
Fa i t ~ g1Lb c) 0 U' g1L ~ i ~
Ecole Polytechnique de ThiésCi&CLIIJE :!!! JE
Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~~no/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~U~mü~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~
REMIERCRIEMENTS
Je tiens à remercier, ici, Ml'. Jean Claude WARMAOES,
professeur à l'Ecole Polytechnique qui, malgré ses
lourdes charges à l a tête du département de génie
mécanique n'a jamais cessé de nous soutenir et de nous
encourager tout au long du travail,pas toujours facile
que nous avons eu à mener.
Je confonds dans le même hommage Ml' Samba DIALLO,
professeur de Route et transport au département de génie
civil de l ' Ec 0 l e Polytechnique de Thiès, dont
l'expérience pratique dans
gr-arid secours.
le domaine nous a été d'un
Que tout le personnel du centre de calcul tl'ouve ici
aussi l'expression de notre profonde gratitude pour le
soutien actif qu'il n'a cessé de nous apporter.
Je remercie, enifin tout ceux qui, d'une façon ou
d'une autre,
au j our-d ' riu i .
ont fait de ce projet ce qu'il est
Fa i t ~ ~Lb dl 0 U:. ~L "l i "lEcole Polytechnique de Thiés
<l&CU:lE. ;!!:IE.Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~~DV5œ ~œ5 5œ~aœs ~~~m~D~Œa~~œs~~~ ~~ rnœ~~~~œ ~œ œV~-~D~S
TABLE [lES MATmElRlES
INTRODUCTION. . . . . . . . . 1
CHAPITRE 1
PRESENTATION DE LA METHODE. . .
1.2 Cheminement de la méthode ...
CHAPTIRE 2.
IDENTIFICATION . . . . . . . . . .
2.1 Processus Autorégressifs AR .,
6
9
10
2.2 Processus de moyenne mobi le MA .. . . Il
2. 3 Processus mixte ARMA 12
2.4 Méthodologie d'identification .. .. 13
2. 5 Méthode 15
2.6 Exemples de processus .. .,.. 21
CHAPITRE 3
ESIMATION . . . .
3. 1 Estimé des paramètres.
30
31
Fa i t ~ g!Lb d 00 U 1 g1L'l i 'lEcole POlytechnique de Thiés
cseu~E.:!!~E.
Année Scolaire 1966-67
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Am~Uo/sœ Œœs sœ~Dœs ~~~~m~o~mô~~œs~~~ D~ rnœ~~~Œœ Œœ œID~-~Dms
3.2 Qualité des coefficients. 35
3. 3 Redondance paramétrique. 36
CHAPITRE l!
DIAGNOSTIC CHECKING.
ll-. 1 oua l i té des coefficients.
ll-. 1. 1 Stationnari te.
ll-. 1. 2 inversibi lité.
ll-.2 Autocorrélation des résidus.
4. 3 Test du portemanteau.
4.4 Reformulation du modèle.
CHAPITRE 5
PREVISIONS.
5. 1 Intervall es de confiance.
CONCLUSION.
ANNEXES.
37
37
38
39
41
L~2
45
ll-6
48
ll-9
51
Fa i t ~ g1Lb do 0 u. g1L"J i "JEcole Polytechnique de Thiés
fi&«J1E. !! lE.Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~nysœ ~œs sœ~ôœs ~~~m~n~ffiô~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~O~
1WIITI RiGi DWI cm 1101 N
La statistique mathématique moderne peut se définir
comme un ensemble de méthodes pour prendre des décisions
raisonnables en présence d'incertitudes.
Cette réorientation de la statistique, opération-
nelle depuis le début du siécle, sous la houlette des
théoriciens anglo-saxons dont les chefs de file furent
K. PEARSON et FISHER se veut totalement différente de
l'idée qui consistait à considérer la statistique comme
la science du dénombrement. Cette nouvelle approche,
sous-tendue par le calcul des probabilités, est basée
sur une méthode inductive, i. e., utiliser le raisonne-
ment mathématique pour essayer de trouver le mécanisme
générateur d'une série statistique donnée.
La démarche de la statistique, à partir de ce moment
s'articule en trois phases qui peuvent étre schématisées
comme suit:
- La description qui consiste à effectuer une
mise en ordre de la série considérée en vue de
réduire le volume de données à une dimension
plu s man i ab le.
Fait~ ~b~ou' ~~ i. ~Ecole Polytechnique de Thiés
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fi&(L.J1E.!!1E.Année Scolaire 1986-87
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AUlalD'0/ Se d1œ s s œu' 0e S <I: IhIr<DUlID D<DIE 0q]Ulœ S~aI~ Dai rnœa~<Ddlœ d1œ œV~-~D~
L'information contenue dans la sêrie est alors
exprimêe sous forme condensée à l'aide de
quelques graphiques ou valeurs types (moyenne,
êcart type, techniques multidimensionnel-
1es ... ) .
- L'analyse des r-ë s u Lt a t s s'en suit. Il s'agit
d'une tentative de formalisation de
l'information contenue dans 1 a série et
exprimêe lors de l'étape prêcêdente par les
graphiques ou valeurs types. Cette formalisa-
tion conduit à l'établissement d'une formule
mathématique rendant compte du comportement
passé de la sêrie et permettant d'en faire une
projection sur le futur.
- La prevision but ultime de la presque totalitê
des processus de modélisation consiste à pro-
jeter le modèle obtenu dans futur le pour
organiser cet avenir et ainsi prendre des
décisions.
Fait par: ~!.bdoU Il ~? ~ ?Ecole Polytechnique de Thiés
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Ci&<U1E ;!! JEAnnée Scolaire 1986-87
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Am~Oo/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~O~mü~~œs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~
Dans la grande majorité des modèles statistiques, il
est couramment admis que l.es observations varient
indépendamment les unes des autres. A tel point que,
dans plusieurs applications, une interdépendance de ces
observations, si petite soit elle, est considérée comme
nuisible à la qualité du modèle. Mai's une telle situa-
tion relève quand même de l'idéal car dans la réalitë de
tous les jours, les données, quelque soit leur- nature ou
leur processus d'acquisition, sont toujours liées entre
elles. Essayer de quantifier cette dépendance temporelle
existant à l'intérieur d'une série de données est le but
que se fixe la méthode de BOX et JENKINS dont il est
question dans ce projet. Plus même, elle fait de
l'interdépendance existant à l'intérieur d'une série
chronologique le soubassement de la démarche de cons-
truction de modêles stochastiques ainsi que de leur uti-
l isation. Nous allons dans ce qui suit essayer de
présenter succinctement cette méthode dans le but non
zeulement d'en rêv~ler toute la puizzance, maiz aussi de
montrer tout l'attrait qu'elle devrait avoir pour tous
les corps de métiers en général et pour les ingénieurs
de conception en particulier.
Fait par: ~booU' ~~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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(SCUE!!:EAnnée Scolaire 1985-87
1
Proj5. 11
Am~Dys~ ~~s sœ~fi~s ~~~~m~D~mfi~~~s~~~ D~ rnœ~~~~~ ~~ œID~-~D~
Avant l'apparition de la méthode de BOX-JENKINS,
le type de prévision le plus souvent rencontré dans
la pratique statistique consistait à. admettre
l'existence d'une loi fondamentale indépendante de la
série, représentée par les données disponibles avec
un cert.ain caractère aléatoire. L'activité principale
de la méthode consistait donc à. isoler, le mieux pos-
sible, les caractéristiques stat.istiques de ladite
loi afin de l'utiliser comme base des projections
dans le futur.
Autrement di t , l'anal yse statistique, jusqu'à.
l'apparition des méthodes telles que celle de BOX et
JENKINS, se résumait à. une tentative d'ajustement des
observations à. un modéle préétabli par le calcul de
certains par-amë t r-e s. Ces mê t.ho de s , appl icabl es, quand
série contenait peu de fluctuations, atteignaient
Fait par: ~Lbôou. ~L~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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G<U:IE.;!!:IE.Année Scolaire 1986-87
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Am~Dys~ ~~s s~~ü~s ~~~~~~D~mü~~~s~~~ D~ rn~~~~~~ ~~ œID~-~O~
rapidement leurs limites quand la vraie loi de varia-
tion de la sSrie ne suivait plus, pour diffSrentes
raisons, le criemi nerne n t qu'on voulait lui imposer.
Quand on sait qu'une sSrie est en gSnSral soumise â
la combinaison de trois types de variation:
- la tendance de la sSrie
- 1a composante cyc 1igue
- les variations alSatoires
on se rend compte que jusqu'ici le travail de
l'analyste des donnSes n'Stait pas de tout repos.
La mSthode de BOX-JENKINS a voulu s'affranchir
de cette contrainte et se propose, au lieu de suppo-
ser que la sSrie suit une loi de comportement prSala-
blement ê t.ab l Le , de dë t er-rru n e r- q u r e l Le est, pour
nous, 1 a mei Il eure loi de comportement de 1 a s ê r Le .
Cette nouvelle approche de la prSvision fait de
la mSthode dSveloppSe par les professeurs BOX et JEN-
KINS une v ë r t tabl e phi l o s oph i e car, en pl us de sup-
primer la n ê c e s s Lt.ë de faire au dSpart l'hypothèse
d'une loi de comportement de la s é r Le , elle offre
l'opportunitS de juger si une loi de variation est
Fa i t par: ab ~ <:> u 1 sglL'=J i '=JEcole Polytechnique de Thiés
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(j&UE!!]~
Année Scolaire 1986-87
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~aDo/sœ ~œs sœ~oœs ~~~m~D~mO~~œs
~a~ Da rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~
satisfaisante et même è~ quelle est la prêcision
qu'on pourrait en attendre. Même si elle ne l'est
pas, elle donne des indications supplémentaires per-
mettant d'identifier la loi correcte.
m. l ChelmiilnellTlemlt dIe mal Iméltlhodle
La démarche suivie par la méthode de BüX-JENKINS
est celle en trois étapes de toutes les méthodes
d'analyse prêvisionnelle. A ce titre il peut être
schématisê par le diagramme suivant
Fait par: gltb~ou' ~(,~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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C!&CL.JE!!:IE.Année Scolaire 1986-87
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AmffiO~sœ ~œs sœ~fiœs ~~~m~O~~fi~wœs~ffi~ Offi rnœ~~~~œ'~œ œID~-~D~
Etape 3 Test(DIQgnoSb'c. chee
klll j )
CHQ:ïx- d'un ,av de .rl.usieur~
~m'odeles sU5cèphblec; d~rr'e
m~cl1l'\ismes ge",!..rateu.r-s
E'shme.r. les rClr~me.he5·
Je~ rnoc:le.\t"SGhois-is ;
1ie~e:rpe 1.
Ver;fier /ic;adè'fuabon
du n'\ode\e
tai re d0Gpreci~loM
o~it.e rnod·ele
e';J~ -i\ Sa h5~i~c:i~r
Figure 1 : Organigramme de fonctionnement de
mêthode de BOX/et JENKINS"., ';;:",
Fa i t ~ ~b Cll <> u. ~ "3 ~ "3 C:&«..J:JE.!!:JE.Ecole Polytechnique de Thiés Année Scolaire 1986-87
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Am~Do/sœ ~œs sœ~ôœs ~~IDmIDDID~ô~~œs~~~ D~ rnœ~~ID~œ ~œ œID~-~D~
PROCE~SUS
~ "H d;,...l.\:.\ a. acv.. 0 ~ ~"(t:l f-i" \4~ cl i sto "t' i 6\<l.s
Su,. V\'\ a.- "(li. y i <li l:. la. Q Ia.A to \,.a 1 \ ... LI u '" \4 ~
\a. ~a:'cQ~is..".1'l ~t:"IIi(<:ltw( ""'o~ha\'lr
1" "~'f i 4h "\0 dt.. è. ci Q"!> \~ ta. "n4 ~ 50
(1) ( J ),\)" ~(t;lc.(/.":>sus 1'!\(.O'YIYlIJ
do ""1\'1\ ll. .,.. ai 51'!> ~ 1ICJl... 1
t\ '" S 4.'(\(
0"/\ ez..":>t4..'<t. 1ua. la.'"T'I\o4«-k Ùlo\'il\ eL<:.r '
~di 9"" r
I~EALISATION ., MODE-LE
( 2)I----------'.-:".,~.. (U"CL.fCl.'ra:S(,~ ~q \-io';"~ldlA
.fto C:Cl.:c;,<,(t<s·.t-<O:\J~a. 'CM_,
v,~\\s!\",r. \~. ~~i \e) ,o"#. Ùt\oivi'r ...L.-~-:, ~ --J
,v.,.: ......... 0 ~~ \ a . "i.lJ ~ ~et.·r \-\ ~ la.det. .cl 0 "V\ YI 4. '( \ (l.. """ CL C.'0. 'YI i '!> '\'\4(1
~(''1\a:''('", t4U'/' da. ~ $a.-ii4.
Figure 2 _ Processus en trois étapes de la méthode de
BOX et JENKINS
Fait par: Z1LbooU 1 Z1L~ i. ~ Ci&CUlE.!!lE.Ecole Polytechnique de Thiés Année Scolaire 1986-87
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ChaoLfn.<?\
2
Iii l '1 Iii
Froj5. 11
~al 0'r s œ dJœ s s œlr Ôœs ([ OllrlDOllD 0lDlE Ôq]lIJœ s~allr Oal rnœ~~lDdJœ dJœ œ~~-~Dms
L'identification est, par 'léfinition, le proces-
sus par le quel on reconnait la classe d'appartenance
d'un modèle. Elle repose sur le principe suivant:
Les données, dans une série chronologique, sont
r i ëes entre elles. La forme et la force de cette
interdépendance
caractéristiques
sont indiquées
statistiques
par
que
les deux
sont:
l'autocorrélation que nous abrégerons par acf (~uto-
correlation !unction) et l'autocorrélation partielle
ou pacf (Eartial ~uto~orrelation !unction).
L'étude du comportement de ces deux paramètres
permet de classer chaque série chronologique dans
l'une des trois catégories suivantes.
Fait par: ~f.bdou 1 ~f.~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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<l&<U1E 2!1E.Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Mal 0 'l' s œ dJœs s œlr ôœ s cc Ollr(D01(D 0(DIE Ôq]LDœ slPallr 0al onœ1tOl(DdJœ dJœ lB([)X'(-.lJIIlI'D:OINS
Un processus est dit auto régressif quand la
val eur de la variable aléatoire Z à un instant t
donné est une combinaison linéaire des p valeurs
antérieures de cette mêrne variable aléatoire. On dit
alors qu'on a un processus autorégressif d'ordre p et
on le note AR(p). L'équation générale d'un processus
autorégressif d'ordre p s'écrit:
Cette équation se lira de la façon suivante:
La val eur de la variable aléatoire Z à
l'instant t est significativement liée aux p valeurs
précédentes de cette même variable aléatoire.
Exemples de processus ~
Zt=C+01Zt-1+at------------------------- AR(1)
Fa i t ~ ~b 0 <0 u. ~L 'O:J i 'O:JEcole Polytechnique de Thiés
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C!&<LlI1E,:!!! 1E,Année Scolaire 1986-87
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Note:
AlnalO~sœ dJœs sœrrfiœs <r:lhrr([)Ul([)O([)/EfiqJUJœs~alrr Dai rnœ~lh([)dJœ dJœ œ~~-~D~
On r-e c onna L t dans le premier exempl e un pro--
cessus Markovien ce qui a fait dire à certains
auteurs que la méthode de BOX et JENKINS est
une nouvelle façon de considérer les processus
stochastiques.
Un processus est dit de moyenne mobile si la
valeur de la variable aléatoire Z à un instant donné
est une combinaison linéaire des valeurs des valeurs
de l'erreur de régression jusqu'à l'ordre q. On dit
que ce processus est une moyenne mobile d'ordre q et
on le note MACq).
L'équation générale d'un processus de moyenne
mobile peut alors s'écrire de la forme suivante:
Fa i t ~ ~I.b dl 0 U. ~ -=J i. -=JEcole Polytechnique de Thi~s
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C!&CLJ1E~ lEAnnée Scolaire 1986-87
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ÂMllalOysœ dlœs sœll'fiœs a::lha'(I)IIl(I)O(I)/EUqjLOœSlPalll' 0al ll11œilOl(I)dlœ dlœ lB([)}1(-JJIEINI)(UlNS
Exemples de processus~
Zt=C.. e1Clt-1+at-----:-------------------- MA(1)
Note: Le signe (- ) devant les paramètres e est
une convention d'écriture
- Le paramètre (Cl est appelée tendance cen-
traIe de la série et une
moyenne de la série.
fonction de la
- L'appellation moyenne mobile est abusive
car la somme des différents coefficients e
n'est pas égal e à 1. Malgré cet
inconvénient, elle est couramment utilisé
dans la littérature.
C'est, comme l'indique assez clairement son nom,
un processus ayant les caractéristiques des deux pro-
Fa i t ~ ~Lb 00 U 1 gi!. -:, i -:,Ecole Polytechnique de Thiés
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Cl&<U1E 2!!1EAnnée Scolaire 1986-87
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tWlal 0or s œ dlœs s œu' üœs ([ OlU'(DIIl(D 0(DIE Üqunœ s(pallr' 0al onœ1t01(Ddlœ dlœ lBtD>1C-JJŒIMJ::OINS
cessus sus-citées. C'est le processus le plus général
et le plus couramment rencontré en pratique, mais il
est beaucoup moins utilisé que les précédents car
demandant un effort de calcul nettement plus Lrnpo r->
tant donc moins économique. On le note ARMA(p,q) où p
est l'ordre de la composante autorégressive du modèle
et q est l'ordre de la composante de moyenne mobile.
Avant de présenter la démarche à suivre pour
reconnaitre un modèle, nous allons présenter quelques
opérations sur les séries chronologiques:
* Le centrage
Il a pour but de supprimer le paramètre C des
équations générale des modèles. Il est
par l'équation suivante:
défini
avec ~= (Ezt)/n est l'espérance mathématique de
la variable aléatoire Z
Fa i t ~ ~Lb d 0 U. ~L ':J i ':JEcole Polytechnique de Thies
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C!&(LJ]E~ lEAnnée Scolaire 1986-87
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~~Oo/sœ ~œs sœ~üœs Œ~~mmmOm~ü~wœs
~~~ O~ rnœ~~m~œ ~œ œ~~-~D~
* La différenciation
Elle permet une expression plus concise, donc
plus facile â manipuler, des mod~les. Elle se
présente sous la forme suivante:
BZt=Zt-1
Bl<Zt =Zt-K
L'opérateur (B) appelé ainsi â cause de la ter-
minologie anglo-saxonne (BacKshift operator) se
comporte comme l'opérateur différentiel (d).
En utilisant cette double notation nous pouvons
réécrire les processus précédemment mentionnés de la
mani~re suivante:
MA :
où
autorégressif
de moyenne mobile
est 1" opérateur
Fa i t ~ ~b 00 u. ~L ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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<!SoUlE!! :JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Aolal Dys œ dlœs s œil" Üœs ([ iJlll"<DU1<D D<Dffl Üq]LDœ s~alll" Oal rnœ~iJl<Dcllœ cllœ œ~~-~oms
il'. • 5i Mé ltllloOdloO 1100 91 ii e
Comme mentionné au précédent chapi tre,
l'identification consiste essentiellement en l'étude
de la loi de variation des deux caractéristiques
statistiques que sont la fonction d'autocorrélation
(acf)
(pacf).
et la fonction d'autocorrélation partielle
,Comme toute autre type de corrélation, la fonc-
tion d'autocorrélation exprime la direction et la
force d'un lien unissant deux variables aléatoires.
L'autocorrélation ne se distingue de cette définition
que par le fait qu'elle exprime la corrélation
existant entre deux paramètres de la mème variable
aléatoire d'où le préfixe auto-. Comme fonction de
corrélation ses valeurs possibles vont de
avec:
-1 à 1
-1 pour une corrélation parfaitement négative
+1 pour une corrélation parfaitement positive
o quand les deux variable aléatoire son totale-
ment indépendantes
Fa i t ~ s;lLb Ô <>u. s;lL ~ i ~
Ecole Polytechnique de Tl1iés
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C!&CU:JE :!!:JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Amal D0/Sœ clJœ s s œ[)" üe s cr: Ihlr<DD1<D D<DIE Üq]UJœ s~al[)" Dal rnœ~~<DclJœ clJœ œID~-~D~S
La formule la plus utilisêe pour calculer
l'autocorrêlation s' êcrit:
n-1E
N N
ZtZt+kt =1
rK=n-kE ( Zt)'t =1
Cette êquation est dêduite d'un calcul de
rêgression linêaire simple
Quant à l'autocorrêlation partielle (pacf) elle
exprime elle aussi la force et la direction de la
relation d'interdêpendance existant entre deux varia-
bles d'une même sêrie chronologique mais, à 1 a
diffêrence de son homologue (ae f) , elle permet en
outre de tenir compte de l'effet des autres variables
situêes entre celles que l'on essaie de caractériser.
C'est pourquoi elle est appelêe autocorrêlation avec
mémoire. Pour calculer ses valeurs. il faudrai t.,
idéalement procéder à un régression multiple. Mais
YULE et WALKER ont développé des formules simples
permettant, avec moins d'effort de programmation,
d'en avoir des estimations très précises.
Fa i t ~ ~b dl <> ut 1 ~"=J i "=JEcole polytechnique de Thiés
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œCU:lE :!! EAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~Do/s~ ~~s sœ~D~s ~~~~~D~mD~~~S~~~ D~ rnœ~~~~~ ~~ œ~~-~D~
H,-1
rK- E iJK - 1, J rK - jJ =1
k- 1
1 - E iJ]<: - 1, J r- jj =1
Une fois ces deux caractéristiques calculées, on
reconnait les modèles gràce aux trois principes sui-
vants:
1* Une loi de variation peut être approximée par
un modèle autorégressif stationnaire si et
seulement si sa fonction d'autocorrélation
décroît, en valeur absolue, exponentiellement
vers zéro tandis que sa fonction
d'autocorrélation partielle est identiquement
nulle au-delà du temps t-p. La valeur de p qui
est aussi égale au nombre pics significatifs
dans la représentation en histogramme des
p ac f s , est appelé ordre du processus. On note
.
Fait par: ~booU' ~~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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(6VE ;!!:lEAnnée Scolaire 1986-87
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Am~Do/s~ ~~S sœ~D~s ~~~~m~D~mD~Œ~SIP~~ 0~ lIl1œllDl~~~ ~~ 1B({))\,(-JlIIDO: OINS
alors ce processus AR(p}.
2* Une loi de variation peut être approximée par
un modèle de moyenne mobile stationnaire si
et seulement si sa fonction d'autocorrélation
partielle décroît, en valeur absolue, exponen-
tiellement vers zéro tandis que sa fonction
d'autocorrélation est identiquement nulle au-
delà du temps t-q. La valeur de q qui est
aussi égale au nombre pics significatifs dans
la représentation en histogramme des a c f s , est
appe l ë ordre du processus. On note alors ce
processus MA «n .
3* Une loi de variation peut être approximée par
un modële de processus mixte stationnaire si
et seulement si fonction d'autocorrêlation
tout comme celle d'autocorrëlation partielle
décroissent rapidement vers zéro. L'ordre du
Il
processus est obtenu en prenant le temps (pl
au-delà duquel les autocorrêlations partielles
peuvent être prises pour identiquement nulles
et le temps «n au-delà duquel les auto-
Fait par: ~bd<>U. ~~, ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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GUE ~]E
Année Scolaire 1986-87
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~ffiDysœ ~œs sœ~ôœs ~hr~m~D~mô~~œs~ffi~ Dffi rnœ~~~~œ ~œ œID~-~O~
corrélations sont considérées comme toutes
null es.
Dans les trois propositions précédentes nous
avons utilisée le terme "identiquement nulle". Ceci
est à comprendre au sens statistique. Et pour savoir
jusqu'à quel point une des valeurs des autocorréla-
tions peut être prise pour non nulle; on procédera à
un test de l'hypothêse de nullité HO'
Pour ce faire on calculera l'erreur commise sur
l'estimation des autocorrélations. Pour un processus
stationnaire dont les résidus sont normalement dis-
tribués BARTLETTT a développé la formule suivante:
K-1s (rK) = (1 + 2 *E r l
j ) y, *n - y,j =1
Pour tester l'hypothèse HO nous utiliserons le T
de STUDENT de la façon suivante:
La distribution du T de Student nous permet de
Fait~ ~b~oU 1 ~'=J ~ '=JEcole Polytechnique de Thiés
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GUE. !!15Année Scolaire 1986-87
Froj5. 11
dire que:
~~Do/sœ ~œs sœ~üœs ~~~m~D~ffiü~~œs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~
rK est statistiquement dirrerent avec 95ï. de
niveau de conriance si trK~2.0
Pour les autocorrêlations partielles BARTLETT
donne la formule suivante:
Le calcul de ces caractêristiques permet de
choisir un modêle d'essai aprês inspection visuelle
de la reprêsentation grapllique sous forme
d'llistogramme des acfs et p ac f s . Une fois un ou plu-
sieurs modèles retenus, on peut procêder à
l'estimation de ses paramètres.
Fait par: ~boou' glL~ i. ~Ecole Polytechnique de Thiés
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(5CUlE~lE
Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
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Proj5. 11
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Froj5. 11
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Proj5. 11
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Proj5. 11
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Proj5, 11
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3
Proj5. 11
Am~Oysœ ~œs sœ~oœs ~~~~m~O~mo~~œs
~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~
[~lUI!!~[l!.!.Q.l!i.
lQ.L~Ji
~~i!I~J.~JI[lE.[~
L'estimation des paramètres d'un modèle peut
ètre vue comme étant un raffinement de l'analyse
faite lors de l"étape d'identiflcation. En effet, une
fois les autocorrélations et autocorrélations par-
tie 11 es cal cul ê e s et qu r uri modè l e de base (AR, MA, ou
ARMA ) aété choisi en suivant les principes exposés
dans le chapitre précédent, l'estimation consiste ~
calculer les paramètres requis par le modèle en ques-
tion et ~ discuter de leur qualité et de leur apti-
tude ~ modéliser la série donnée.
Il Existe plusieurs méthodes d'estimation de ces
paramètres allant d'une simple analyse de regression
(pour les processus autorégressifs purs) au lissage
par la méthode des moindres carrés non linéaires.
La meilleure de ces méthodes ce jour
dë ve Loppë e , est celle dite du compromis de MARQUARDT.
Fait par: glLbdou' glL':J i ':JEcole Polytechnique de Thies
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C!&(LJ:lE ;!!:lEAnnee Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~Dys~ ~~s sœ~ôœs ~~~~m~D~Œô~~~S~~~ D~ mœ~~~~~ ~~ œ~~-~u~ ]
Compromis parce qu'alliant la résolution des syst~mes
équations non linéaires par la méthode de GAUSS-
NEWTON au moindres carrés non linéaires. Dans sa
démarche, le compromis de MARQUARDT part d'un ensem-
ble de valeurs d'essais pour les coefficients tente
d'en trouver de meilleurs, c'est à dire des coeffi-
cients minimisant l a somme des carrés des r-ë s i du s. Sa
procédure systématique a pour résultat d'entrainer
une convergence raplde vers les meilleures estima-
tions possibles pour les param~tres recherchés.
Pour notre part nous avons préféré utiliser la
méthode développée par YULE et WALKER pour estimer
les paramètres du modèle pour des raisons d'ordre
pratique, mais aussi guidé par un souci de cohérence
entre toutes les étapes.
YULE et WALKER nous font rema~quer que le calcul
des paramètres d'un modèle général d'ARMA(p, q) peut
Fait par: ~f.boou' ~f.-=J i-=JEcole Polytechnique de Thiès
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Cs&CU1E :!!! 1EAnnée Scolaire 1986-87
Froj5. 11
km~Oysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~O~Œü~~œs
~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~D~
être fait en deux étapes successives:
- Déterminer les coefficients d'autorégression
du modèle
- Réécrire le modèle sous la forme d'une moyenne
mobile pure
Déterminer les coefficients du modè 1 e de
moyenne mobile
En appliquant cette méthode on trouve pour les
modèles d'ordre infêrieur ou égal à 2 les valeurs de
la page suivante.
La procêdure de YULE-WALKER fournit en même
temps les matrices de variance covariance qui permet-
tent d'avoir, au moment de l'estimation, une idêe sur
non seulement la dispersion des paramètres estimées,
mais aussi sur la degré de corrélation existant entre
les paramètres que l'on vient d'estimer. Ceci nous
permet, à ce stade, de procéder à une première véri-
fication de l'adéquation entre le modèle que l'on
suppose générateur de la série et la série
Fa i t ~ g:!Lb ô 0 u. g:lf. "l '" "lEcole Polytechnique de Thiés
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Cl&<UJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~Uysœ ~œs sœ~üœs ~~~m~U~mü~~œsIP~~ U~ rrnœ"tl:.lh~~œ cüe 1E([J}l(-JJŒIM)(DINS
Processus
AR (1)
MA (1)
AR(2)
Paramètres
r =Q1 1
-8ri = 1
1 +81
r (1-r )Qi = 1 2
1-ri1
r -ri82=--Z--i
1-r l
1
1
8 (1-8 )
ri =- 1 2
1 +81 +81
MA(2) 1 2
8r2=- 2
1 +81 +81
1 2
(1-8 ~\ ) ({) -8 )
ri = 1 1 1
1 +81 -2Q 81 1 1
ARMA (1, 1 )r2= r {)
1 1
Tableau 1: Valeurs des coefficientspour les modèles les plus
courants
Fa i t ~ glLb 0 00 u, gll."'l i "'lEcole Polytechnique de Thiés
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C!&eu~E 2! ~EAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~@Oysœ ~œs s~~fiœs ~~~IDmIDOIDmfi~~œs~@~ O@ rn~~~ID~œ ~œ œID~-~U~
Les mêmes équations donnent aussi une estimation de
l'erreur commise ainsi que de la corrélation entre les
par-amë t r-e s estimés. Ces résultats sont compilés dans le
tabl eau suivant.
Modèles
AR (1)
MA (1)
MA(2)
ARMA (1, 1 )
Variance-corrélation
V ( Q1 ) =n - 1 ( 1 - QI 1)
V(8 ,8 ) =n- 1 (1-81 )122
8a=- __1_
1-82
(1-Q8)1 (l-QI )
V (Q) = -(Q -81 )
(1-Q8)1 (1-81 )
v (8) =(Q-81 )
( 1 - Q8) ( 1 - QI ) (1 - 81 )a=-----------
( Q-81 )
Tableau 2: Variances et coefficientsde corrélations des modèles courants
Fa i t ~ glLb dl 0 LI 1 glL ~ a ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Cl&CU:lEi:!!! :lEiAnnée Scolaire 1985-87
Am~ilo/s~ ~~s sœ~ü~s ~~~m~il~Œü~~~S[p~n' il al l1T1œitlh~~~ cüœ lB([)}1(-JJIllNlJ( OINS
Proj5. 11
Ir========================ïl
Tout comme lors de la précédente étape (IDENTI-
FICATION), la qualité statistique des coefficients
estimés est à vérifier. Pour ce faire, on uti 1 isera
le même T-test de STUDENT pour évaluer l'hypothèse de
nullité HO:
teK=
les racines carrés des
variances données dans le tableau prêcédent.
Fa i t ~ glLb 0 <> u.' glL"'J & "'J1 Ecole Polytechnique de TI1iés
Cl&CUJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87
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Froj5. 11
~l~Oysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~O~~ü~wœs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms
lRedlq:>lndlalln<ce /pallrél1llllé ltr ii qlule
On dit qu'on a une redondance paramétrique dans
un modèle ARMA(p,q) s'écrivant:
où
9 (B) = ( 1 - aB) 9' (B)
8 ( B) = ( 1 - f3B) 8' (B)
si a=f3.
En effet, après simplification, l'ordre du
modèle diminue de 2 unités et ne pas relever cette
particularité, serait d'essayer d'appliquer au modèle
plus de paramètres qu'il n'en requiert, ce qui en
plus de ne pas être économique conduit quelques fois
â des singularités dans certaines matrices de tra-
vail.Ce serait le cas par exemple d'un processus
ARMA(l,l) où 9=8. En effet, en ce moment, la variance
du processus tend vers l infini. Ce cas est rencontré
dans la pratique lorsque les paramètres d'un modèle
AR(l) ou MA(l) sont très petits et ont été assimilés
â zéro lors d'un premier essai d'identification.
Fait par: ~boou U ~{.~, ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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c&eu~E !!!~EAnnee Scolaire 1956-87
· III
4
Proj5. 11
km~fiysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~&fi~~œs
~~~ U~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~D~
Une fois les paramètres du modèle expliqués dans
le chapitre précédent, il s'agit dans celui-ci de
procéder à la certification ele ces paramètres pour se
prononcer leur aptitude réelle à ètre utiliser pour
établir des prévisions.
La première étape du diagnostic est la
vérification de la qualité statistique des coeffi-
cients trouvés lors de l'étape d'identification du
modèle. Pour ce faire, les paramètres trouvés doivent
satisfaire plusieurs exigences qui ont pour nom:
- stationnarité
- inversibilité
- significativité
Fa i t ~ ~Lb ô <> U. ~"=J i. "=JEcole Polytechnique de Thies
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CI&<LlI:JE. :!!:JE.Annee Scolaire 1986~87
Proj5. 11
~~Oysœ ~œs sœ~Dœs ~~~~m~O~mü~~œs
~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms
L'objectif de ce critère est d'assurer une con-
vergence de la procédure d'estimation de ces par-
amètres qui, est-il besoin de le rappeler, est une
procédure itérative de résolution de systèmes
d'équations non linéaires.
Pour vérifier si un processus est stationnaire ou
non, nous procédons dans la pratique a
un inspection visuelle de la courbe
représentative de la série considérée pour
essayer de voir si on n'a pas une variation
dans le temps de la moyenne auquel cas nous
devrons procéder a une différenciation de la
série autant de fois que cela s'avérera
nécessaire
un examen de la représentation des auto-
corrélations pour voir si elles décroissent
"rapidement" vers zéro. C'est a dire, prati-
quement, si les valeurs absolues du T
(T-val) sont inférieures a environ 1.6 pour
les valeurs de K(time-lag) supérieures a 5.
Fa i t ~ 2;lLb <.:lI 0 LI' 2;lL ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Ct&CLJJE :!.!JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~D~sœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~O~mfi~wœs
~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms
Ces nombres ne sont donnés qu'à titre
catif.
indi-
examiner chaque coefficient Q pour voir
satisfait les conditions limites
établ i e s. Ces coefficients seront donnés
pl us bas, dans le t.ab l eau 3.
Ce critère s'applique aux coefficients e des
processus de moyenne mobile (MA). Il sert à vérifier
que l'influence des autres valeurs de la série dimi-
nue à mesure que l'on s'éloigne dans le passé ( ce
qui est presque naturel). Cela peut se faire en
s'assurant que
vérifiées.
les conditions du tableau 3 sont
Le tableau 3 est donné à la page suivante
Fa i t ~ g1Lb 00 0 LI 1 g1L ~ ~ ~
Ecole Polytechnique de Thi~s
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Cl&CLJ:lE:!!! :lEAnnee Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Ordre
~~Dysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~D~mfi~~œs
~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~o~
Stationnarité Inversibilté
1 -1 < Ql < 1 -1 < e < 11
-1 < Q < 1 -1 < e < 12 2
~2 + Q < 1 el' + e < 12 fi 1 "l- 1
Q - Ql < 1 e - e < 12 2 1
l , 1 -1 < e < 11
Tableau 3 Limites de validité des coefficients
Une fois les paramétres vérifiés, on doit
procéder à la vérification globale de tout le modéle.
Pour ce faire, on se rappelle qu'on avait posé comme
hypothése que les erreurs résiduelles suivaient une
distribution normale de tendance centrale nulle.
C'est cette caractéristique que l'on essaie de
vérifier en se penchant sur l'autocorrélation des
résidus.
Fa i t par: glLb dl <> U. glL"J i "JEcole Polytechnique de Thiés
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<I&<U:J5. 2!!!]5.Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~m~nysœ ~œ5 5œ~ôœs ~~~m~n~mô~~œs~~~ n~ mœ~~~~œ ~œ œID~-~Dms
Soit racf, l'autocorrélation des résidus (at) de
l a série. Le calcul de ce paramètre se fait dans le
but d'avoir une idée, comme lors de l'identification,
sur la relation d'interdépendance existant entre les
résidus (at). Si cette caractéristique est statisti-
quement différente de zéro, on peut alors conclure
qu'il y a un ou plusieurs paramètres qui n'ont pas été
pris en compte dans l'expression mathématique de la
série, dépendamment du nombr-e de racfs qui ont été
non nulles.
L'autocorrélation des résidus se calcule de la
méme maniè~e que l'autocorrélation de la série. La
série s'écrit alors:
ns(rj{)=(1+2E r· J
h 2 ) Y.n - Y,t =1
s étant la variance des racfs (BARTLETT)
Fa i t ~ 2:lLb dl 0 u B g1L ~ ~ ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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CS«UJE!!JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Cette
~~nvsœ ~œs sœ~üœs ~~~m~n~mü~~œs~~~ n~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~oms
dispersion des racfs nous permet de
vérifier l'hypothèse de nullité en utilisant le test
du T de STUDENT.
Les valeurs des autocorrélations résiduelles
sont statistiquement différentes de zéro si:
k ! 3
k > 3
1 T-val 1 z 1. 25
1 T-val 1 !. 1. 60
Il est utilisé pour tester l'hypothèse de nul-
lité HO mais avec la condition de simultanéité en
pl us.
HO: r-1 =r 2 =r 3 = =r 15: a
Pour ce faire, LJUNG et BOX proposent de cal-
culer la caractéristique Q suivante:
Fa i t ~ sglLb 00 U 1 sglL'Cf i 'CfEcole Polytechnique de Thiés
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Ci&CUl1E ;!!!1EAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~~Dysœ ~œs sœ~üœ5 ~~~~m~D~Œü~~œs
~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms
10:n(n+2) L: (n-]<;.) -l r]<;.A2 (at)
]<;. :
5
1
LJUNG et BOX ont montré que 0 suivait une distri-
bution en KHI-CARRE avec 15-m degrés de liberté 00 m
est le nombre de paramètres nécessaires pour un
modè 1 e donné:
m:2 pour les processus AR(l) et Ma(l)
m=3 pour les processus AR(2), MA(2) et ARMA(l,l)
Les valeurs de 0 obtenues dans la formule sont à
comparées avec les valeurs critiques données dans le
tableau suivant:
Degré Niveau de confianceProcessus de
Liberté 75 f. 90 f. 95 f.
AR (1) 13 16. 0 19. 8 22.4-
AR(2) 12 14. 8 18. 5 21. 0
MA( 1) 13 16.0 19. 8 22.4-
MA(2) 12 14. 8 18. 5 21. 0
ARMA (1, 1 ) 12 14. 8 18. 5 21. 0
Tableau ~ Valeurs critiques de 0
Fait ~ ~f.booU' ~~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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CI&<UJE !!JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~~Dysœ ~œs sœ~üœs Œ~~~m~D~mü~~œs~~~ D~ mœ~~~~œ ~œ œ~~-.mDNOCD~
Si le paramètre Q calculé est ini'erieur il une
valeur du tableau precedent, alors on dit que
l'hypothèse qui veut que les coei'i'icients
d'autocorrélations des résidus soient tous nuls, est
satisi'aite il un niveau de coni'iance correspondant il
la colonne qui a éte utilisée pour établir cette
comparaison.
Pour un processus AR (1) par exempl e, pour les
autocorrélations des résidus soient significativement
différentes de zéro avec 95 ï. de niveau de confiance,
il faut que Q > 22.4
Il existe aussi d'autres caractéristiques per-
mettant de se prononcer sur le choix d'un ou de
plusieurs modèles stochastiques comme mécanismes
générateurs d'une série donnée. Nous en avons choisie
deux: la RMSE (Root Mean Square Error) et la MAPE
(Mean Absolute Percent Error). La première est une
autre expression de la dispersion des résidus tandis
que la seconde mesure le degré de précision, en val-
eur relative, qu'on devra attendre du modèle. Elles
sont données par les formules suivantes:
Fait ~ g1Lboou U g1L~' ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Ci&CUJE !!JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
~~Do/sœ ~œs sœ~Dœs ~~~m~D~mD~~œs~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œv~-~n~
1 nRMSE=----
n
100MAPE=----
n
m
:t\_1t .
La reformulation du modèle a lieu quand on
trouve une certaine autocorrélation des résidus.
Comme guide de la reformulation on utilisera le
diagramme des autocorrélations des résidus qui donne
le nombre de paramètres manquant à la formulation par
le nombre d'autocorrélations résiduelles non nulles.
Fa i t ~ SJlLb 00 u, glL ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Ci&CU:lE.2!:lE.Année Scolaire 1986-87
5
l'': - I."·'.~ -. · · · . · l':: 1·'t·~····I>·.- ~, . ~ .., ... -', ... . . -.
Proj5. 11
~~Dys~ ~~s sœ~ü~s ~~mmmDm~ü~w~s
~~~ D~ rnœ~~m~~ ~~ œID~-~U~
Cette ultime étape de la méthode de BOX-JENKINS
est la finalité de tout modèle d'analyse prévision-
ne Ile. La prévision se fait par l'utilisation de
l'équation développée et vérifiée lors des précéden-
tes étapes:
avec
nC=~(1-L:: ih)
i =1
1 n~ = - L:: Zt
n t=l
A l'a.lde de l'équation précédente, pour
n'importe qu'elle valeur de t, Zt peut ètre calculé
si les valeurs antécédentes ) sont
connues. A partir d'une origine définie, toutes les
valeurs subséquentes de Zt peuvent ètres générés en
faisant les hypothèses suivantes:
- A un instant t postérieur à la dernière date
de l a série, les valeurs de Zt-l et de at-l
sont égales à leurs valeurs les plus probables
Fa i t ~ glLb 0 0 ur' glL ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Cl&CU15, ;!!15,Année Scolaire 1986-87
Froj5. 11
~m~Dysœ ~œs sœ~oœs Œ~~m~D~mo~wœs~~~ D~ mœ~~~~œ ~œ œ~~-~ows
* pour Zt, sa val eur la plus probable
est celle obtenue à pratir de
l'équation précédente.
* pour at, sa val eur la plus probable
est égale à zéro.
Rappelons que, tel que mentionné à
l'introduction, la méthode de BOX et JENKINS
s'appliquent à la prévision à court terme. La raison
en est que la supposition faite précédemment conduit,
pour une série stationnaire, à une convergence des
prévisions vers la moyenne arithmétique de la série
car, si l a val eur l a pl us probabl e du terme tenant
compte de l'erreur résiduelle est nulle, on remar-
quera, en regardant l'expression générale des séries,
qu'à la limite nous n'aurons que des termes autoré-
g r-e s s i f s qui, comme on l'a déjà montré au chapitre
précédent tendent vers zéro, à mesure que l'ordre du
processus augmente. On peut même dire que pour un
processus de type MA(q), à un instant to " t+q, t
étant l'origine de l a prévision, toutes les valeurs
prévues de
considérée.
ZtO sont égales à la moyenne de la série
Fa i t ~ ~t::> Ô' 0 u! ~L ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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œ CUJE. :!! :lE.Année Scolaire 1986-87
Froj5. 11
Am~Oysœ ~œs sœ~ôœs ~~~~m~O~mô~~œs
~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Dms
Si on a par exemple un processus MA(l), toutes
les valeurs de prévisions au-delà de l'ordre 1 sont
égales la moyenne de la série.
Notons que si la série n'est pas originellement
stattionnaire et qu'il a donc fallu lui appliquer la
méthode de BOX et JENKINS après l'avoir rendue sta-
tionnaire par différenciation successive, ce qui
vient d'être dit plus haut ne lui est pas applicable
car ne fluctuant pas autour d'une valeur fixe ( cri-
tère de stationnarité), on ne doit pas s'attendre à
ce que ses valeurs les plus probables (prévisions)
convergent vers la moyenne de la série.
Il 1I11l<elr'!'al Il Il e s dl<e lC<lHli1' li amc e d1<e:li IPtré'!' ii:li li <OII1:1i
Soit et(l) l'erreur de prévision commise sur une
valeur située à une distance
prévisions. On la note:
l de l'origine des
Fa i t ~ ~b dl 0 u. glL"=J i. "=JEcole Polytechnique de Thi~s
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Cl&<UJE :!! JEAnnée Scolaire 1956-57
Proj5. i i
Am~Dysœ ~œs sœ~üœs ~~~romroDromü~~œs~~~ D~ rnœ~~ro~œ ~œ œID~-~O~
La valeur de la dispersion des erreurs résiduel-
les de prévision est donnée par leur variance.
al [e t ( l ) ]
Si les erreurs résiduelles son normalement dis-
tribuées (hypo t.n ë s e que nous avons déjà formulée), et
si la taille de l'échantillon est assez grande, alors
les les prévisions suivent elles aussi une distibu-
tion qui peut être prise pour normale. On peut donc,
autour de chaque point de prévision, définir un
intervalle de confiance en utilisant une table de
probabilités pour une distibution normale.
Fait par: glLt::>dou D glL~ ~ ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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CI&CLlIJE :!!! JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~Oysœ ~œs sœ~fiœs ~~~~m~O~mfi~~œs
~~~ O~ mœ~~~~œ ~œ œ~%-~o~
lfJQJ~.lf..l1.11U2. illQ.l!!.
Nous dirons que l'outil qui a été présenté dans
les pages préëédentes n'est et ne sera jamais qu'un
outil, puissant certes, mais il n'est ni plus ni
moins q'un instrument de travail dont la pleine
mesure n'est atteinte que par un utilisateur ayant un
solide background en théorie des processus stochasti-
ques. Mais il n'en demeure pas moins utilisable (dans
sa version programme d'ordinateur) par n'importe
qu'elle personne sachant manipuler un tant soit peu
des données statistiques.
Sa facilité d'abord fait, de jour en jour, gros-
sir le nombre de ses adeptes. Mais il faudrait peut
être dire qu'aucune méthode statistique ne peut
fournir des résultats de prévision plus précis que
les données elles-mêmes. C'est pourquoi une attention
soutenue devrait être accordée aux méthodes
d'acquisitions des données en vue de leur traitement
stat i st ique.
Fa i t par: ~b CIl 0 U. S9L ~ ~ ~
Ecole Polytechnique de ThiésCl&CU:lE ~:lE
Année Scolaire 1986-87
Proj5. 11
Am~Oysœ ~œs sœ~ôœs ~~~m~O~mô~~œs~~~ O~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~o~
La méthode qui vient d'être présentée est
générale et s'applique à tous les corps de métiers.
Cette universalité est due au fait qu'elle ne présup-
pose pas l'existence d'une loi fondamentale sous-
jacente à une série statistique donnée mais propose
plutôt une démarche rigoureuse applicable quelque
soit l'origine et la dimension de la série.
Nous avons en ce qui nous concerne essayer de
déblayer le terrain et de proposer à l'analyste des
données, un outil qui, bien que paraissant simplifié,
n'en permet pas moins de résoudre la quasi-totalité
des problèmes qui se posent à lui.
Les cinq modèles stochastiques présentés tout au
long de ce travail doivent nécessairement satisfaire
ses besoins. Si tel n'était pas le cas, il devrait se
poser des questions sur les jugements qu'il a fait
tout au long du processus de modélisation.
Le programme joint en annexe devrait l'aider
dans cette tâche souvent ignorée qu'est l'analyse
prévisionnelle.
Fa i t ~ glLb dl <> lU. glL '=J i '=JEcole Polytechnique de Thiés
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Ci&CUJE :!! JEAnnée Scolaire 1986-87
Proj5. i i
, -Am~Dvsœ ~œs sœ~uœs Œ~~m~D~mD~~œS
~~~ D~ rnœ~~~~œ ~œ œ~~-~Drns
Dans les pages qui vont suivre nous donnons le
listing du programme qui a été écrit comme support
pratique de l'analyse des données par la méthode de
BOX et JENKINS.
Le programme écrit en FORTRAN 77 se veut modu-
laire et chacun des chapitres précédents fait
l'objet de
repérabl es.
sous programmes et sont ainsi aisément
La technique de choix à l'aide de menus a été
utilisé tout au long du développement de ce logiciel,
ceci dans le but d'offrir à l'utilisateur une cer-
taine forme d'interactivité lui permettant de reve-
nir à n'importe quel moment de la modélisation sur
les décisions qu'il a prises ou alors de modifier l'
ordre des étapes pour satisfaire des besoins propres.
On peut par exemple, tout de suite après avoir estimé
les coefficients du modèle, procéder à une prévision
dans 1 e but, par exemple, d'avoir une idée sur le
Fa i t par: ~b 0 QI u, glL ~ i ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Ci&(LJ:JE ~:JEAnnée Scolaire i966-87
'Proj5. 11
~ffiDysœ ~œs sœ~üœs ~~~~m~D~Œü~~œs
~ffi~ Dffi rnœ~~ID~œ ~œ œID~-~Dms
comportement de la sérle dont on dispose à un certain
ordre.
Il faut quand mème noter que cette version est
préliminaire car nous n'avons pas pu procèdé
pr-o c ë de r-, au moment de la remise du projet à un test
complet du logiciel. Néanmoins une version compilée
devrait être disponible au centre de calcul de
l'Ecole POlytechnique de Thiès.
Fa i t ~ glf,b 0 <> U 1 s;lL ~ ~ ~
Ecole Polytechnique de Thiés
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Ct&eulE~lE
Année Scolaire 1956-57
Proj5. 11
AmmDysœ ~œs sœ~üœs ~~~ID~IDDID~ü~~œs~m~ Dm rnœ~~ID~œ ~œ œ~~-~D~
BIBLIOGRAPHIE
.GEPBO)( ét· G.'M J"EN KIN5 "Time series"c.
Box ,
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HINE.5 e~ MONTGOME,R Y ,\ Pro6tlb-,lity and
~rah·st".,-cs in Inseneennj and manG\3ement. scien-c.e 1/
, , ,
Fa i t ~ gI{. b dl 00 U' gI{. "J i "J C!&CU:JE!!:JEEcole Polytechnique, de Thiés Année Scolaire 1986-87
Programm ArimaImplicit rea1K8(a-h, o-z)criar-ac t er-s i z entree, sortieDimension donnees (2000), acf (15,3), p a c f (15,3)
cC
1 Format('1', 'Entrer le nom du fichier de données"" ',a12,$)2 Format(' ','Entrer le nom du fichier de résultats ,.',a12,$)
Read(M,1) Entreeread(M,2) Sortie
c Open(unit=5, file=Entree)c Ope n ï un Lt e ô , file=sortie)c
do 10 i = 1, 1000010 read(5, M, ERR:20) donnees (i)
20 n=ic3 format (' 1', 20x, 'M M MME N U G E N E R A L M MM')4 Format(4(/))c6 format(' ',10x,'[1] Identifier la série',I,10x)7 format (' [2] Estimer les paramètres du modèle', /', 10x)8 format ( ' [3] Tester les paramètres', /', 10x)9 format(' [4] Faire des prévisions', Il, 10X)5 format(' [0] Quitter le programme', 1111, 30x, $)cc30 wr i t e ( M, 3)
write(M,4)Wri te (M, 6)
wri te (M, 7)
wri te (*, 8)
wri te (*, 9)
wri te (*, 5)r-e ad t x , *) in
cif(in, eq. 0) goto 100if(in,eq.1) goto 200if (in, e q, 2) goto 300.I f (in, eq, 3) goto 400if(in. eq,4) goto 500
c
c200
300
4-00
500
cC100
goto 30
calI identifiergoto 30calI Estimergoto 30calI Testergoto 30
calI Prevoirgoto 30
stopEND
5ubroutine trace(acf,pacf)Implicit real~8(a-h, o-z)character code*2, cllgne*~Odimension xl igne (~O), acf (15,3), pacf (15,3)
ccc
codeFF= char (12)codeLF=char(10)
ccc
, ',58('='),'ï1')
[ , , a 5 8, ' Il ' )( , 3 ( , 11"' ) , ~O ( , ~' ) , '{ ) , "
r '[ Lag IICoef. liT-val li ,20x, R ,19x, Il )r , ',3 ( , 'C' ) , ~O ( ='), '11' "l
[ , , r 5, ' Il ' , f [. 2, r Il r , f 5. 2, r Il ' , a~O, r Il r )
r , 3 ( , 'C' ) , ~6 ( r =' ) , '~' )
Format(' ,Format ('Format('Forniat('Format('Format ('Format ('
xligne(1)=-1.Do 100 i =2, 11-0xligne(i) =xligne(i-1) +.05100
cc123~.
557c
wri te (5, *) codeFFwr-i t e (5,1)
cc
wr i t e ( 5, 2) ,Wr i t e ( 5, 2) ,wr i te (5, 2)wri te (5, 3)write(6,~)
wr i te (5, 5)
A U TOC 0 R REL A T ION S
do 10 i = 1, 15ac 1 =ac f ( i, 1)ac 2 =ac f ( i, 2)c a i i ligne(ac1, ac2)write(5,5) i, aC1, acf(i, 3), codeligne
10 continuewr i te (5, 7)write(5, *) codeLFwrite(*,~) 'Appuyer sur ~~ pour continuer'r-e a d t s i x ) code
cwrite(5,1)wr i t e ( 5, 2) r
Wr i t e ( 5, 2) ,wr i te ( 5, 2) r
wr i te (5, 3)write(5, ~)
write (5,5)
Autocorrélations partielles
cdo 20 i=1, 15pac 1 =pac f ( i, 1)pac2=pacf(i,2)c a l l ligne(pac1,pac2,xligne, cligne)wr i te (6, 6) i, pac 1, pac f (i, 3) • cl i gne
20 continuewrite (6. 7)wr i t e ( 6, M) code LFwrite(M"M) 'Appuyer sur 4--' pour continuer'r-e ad t x , M) code
cc
ReturnEnd
cc
Subroutine Identifier(don,nx, acf,pacf)Implicit realx5(a-h, o-z)dimens i on don (rix ) , ac f ( 15, 3) , pac f ( 15, 3)
characterx2 codeccc
CodeCS= char (12)cc1 Format(' ' .. x MENU D"IDENTIFICATION .. x',III)2 Format (l, 1üx,' [1] Calculer les coefficients de corrélation')3 Format (l, 10x, r [2] Différenciere la série')4- Format (l, 10x, r [0] Retourner au Menu Général')5 Format(lIII,20x,'Vous désirez ?',i2,$)cc10 write(x, x) codeCS
wr i te ( x, 1 )wri te (x, 2)wri te (x, 3)write(x,4-)read(x,5) in
c
20
c
if(in. eq. 0) returnif (in. e q. 1) then
do 20 i=1,nx-1don(i)=don(i+1)-don(i)nx=nx-1
elseif(in. eq. 2) then
calI centrer(don,nx, acf,pacf)endifendif
goto10
END
Subroutine centrer(dat,nx, acf,pacf)Implicit real*8(a-h, o-z)dimension dat(nx), d(2000), acf(15, 3),pacf(15, 3)
cc
Do 10 1: l , nxd ( i ) : da t ( i )som:som+d(i)
10 som2:som2+d(i)**2moy:moyjnx
cc
20c
c
do 20 i:l,nxd(i) =d(i) -rno y
calI acorr(d,nx, acf)calI pacorr(acf,pacf)calI trace(acf,pacf)
returnend
102030lJ-O
5055lJ-0
6070
123lJ56789
121110
c
subroutine ligne(a,b, c, xligne)implicit r-e a r x e ra-fi. o-t)
character, car (lJ-0)dimension xligne(lJ-O)do 10 0 i. = 1. lJ-0100 car ( i ) = "do 10 i: 1, lJ-0aa=a-xligne(i)if(aa) 920,20,10CONTINUEif (i-20) 30, lJ-0, 50do 35 j =i, 19c ar ( i) : ' « ,go to lJ-Odo 55 j =21, ic ar ( i ) =' » ,car(20):'1'do 50 i=20,lJ-0bb=b-xligne(i)if(bb) 70,70,50continuecar(i)=']'car(20-i) =' ['wr i t e ( 6, M) (c ar ( i ) , i = 1 , lJ-0) , ' Il 'returnENDSUBROUTINE ESTIMER(acf, pacf, P, t)implicit real M8 (a-h,o-z)dimension acf(15, 3),pacf(15, 3),p(15), t(15)character codeM2LOGICAL EVALcode rb=char(07)FORMAT('o')'MMM ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELEFORMAT(II Il,10X,'[1] ar(1):auto regressif d'ordre 1')FORMAT II, 10x,' [2] ar(2): auto regressif d'ordre 2')FORMAT (/,10x,'[3] MA(1): moyenne mobile d'ordre 1')FORMAT (l, 10x, ' [lJ-] ma(2) : moyenne mobile d'ordre 2')FORMAT (/, 10x,' [5] arma(1, 1): modele mixte')FORMAT (/, 10x, .r [5] CAS GENERAL')FORMAT (~' 10x,' [0] retour au menu appelant ')FORMAT ( Il,20x,'vous desirez ?',i2,$)DO 12 i = ,15P(i):OT(i) =0DO 10. i = 1, 8WRITE (M, i)read (M,9) inIF(in.lt.O.OR.IN.GT.5) go to 11IF (in. eq. 1) then v i e ac r ç t , 1)
v2:acf(1,2)v3=acf(1,3)
if(in.eq.1) p(1)=R1If (in. eq. 3) thent1 =- 1/2/R 1 + ( 11 ( 2 li R 1 ) li li 2 - 1 ) **."5
t 2 = - 1/2/R 1 - ( 11 (2 *Ri) * * 2- 1 ) * *. 5T ( 1 ) =donax (t 1, t 2)endifif(in. eq. 2) thenp(1) = (1-R2) *r1/(1-R1u2)p ( 2 ) = (R'2 - Ri u 2 ) 1 ( 1 - Ri uR 2 )i f (dab > (p ( 1 ) ). l t. 11. and. (p ( 1 ) +P ( 2) ). l t. 12. and. (p(2)-p(1)).lt.1)eval=dab>p(1).lt. 1. and. (p(1)+p(2)). lt. 1. and. (p(2)-p(1)). lt. 1IF(. not. eval) . call messageendif
if(in. eq. 5)thenp( 1) =r2/R (1)
t 1 =O.P1=p(1)do 20, i=1, 100T1= ((1-P1*T1) * (p1-t1) (r1-1-T1u2)/2/P1T(1)=t1IF EVAL =dabs(p1).lt.AND.DABS(t1).LT.IF(.NOT. EVAL) call messageendifif(in. eq.~) thenTi =0T2=0DO 30 i=1 • 100T1= (t2-t1)/R1/1+T1**2+T2**2)
30 T2=-1/R2/(1+T1**2+T2**2)e v a l e d ab s (t1).LT. LAND. (T2+T1).LT.1.AND. (t2-T1).LT. 1. AND. DABS(T2).LT.1IF(. NOT. EVAL) call messageendifif(IN. EG. 6) call car gen (acf, pac f , p, t)if(IN.EG.O) returnwr-Lt e ï s •• ) , appuyer sur 4..J pour continuer'read (*, *) code
go to IlendSUBROUTINE MESSAGECHAR ACTER CODE
C
WRITE (*. *)'LES PARAMETRES DE CE MODELE SONT EN DEHORS DES LIMITES PERMISE~
WRITE (*, 'III'. 20x) 'appuyer sur <l..J pour continuer'read (*, *) code
CreturnendSUBROUTINE CAR GEN(acf.pacf,p, t)implicit real*8(a-h, o-z)character code *2di me n si 0 n a c f ( 1 5. 3) ,pa c f (1 5, 3) , P ( 1 5) , t ( 1 5 )
cwrite (*.' 10x') ,'non encore implementee'wri te (*, 1 Ox) , 'appuyer sur 4..J pour continuer, '\READ (*, *) codeend
SUBROUTINE TESTER (n,mx,res,da t,model)IMPLICIT REALM8(a-h,o-z)DI MENSIO N R ES(-1:n x),da t(-1:n x),t(15),p(15)
dat(-1)=0dat(O)=Ores(-1)=0r e s r o j e oS 1 =0S 2 =0do 10 i=1,nxz:dat(i)z1=dat(i-1)Z2=dat(i-2)a i e r e s t i v t j
a2:res(i-2)A= Z-(P 1*Z 1+ P2 * Z2 -T1 MA1-T2 MA2)r e s t t j e as i e s t e o a b s ra z z ls2=s2+A**2
10 CONTINUErn e oDO 20 I=1,15IF (T(i).NEQ.O) m e m-eiIF (p(i).NEQ.O) m c m ei
20 CONTINUEM=m+ 1ESMR :1/(n-m)Ms2 '\epam :1/NMS1
cif (modele.eq.1) thenS(1,1):p1S(1,2)=(1-p1MM2)/n8(1,4-)=1ENDIFif (modele.eq.2) thens(1,1)=p1s(2,1)=p2s(1,2)=(1-p2lflf2)/ns(2,2)=s(1,2)s(1,4-)=-p1(1-p2)s(2,4-)=s(1,4-)ENDIFIF (m od e Le .eq.ô) thens(1,1)=t1S(1,2)=(1-T1**2)/NS(1,4-)=1ENDIFIF(modele,eq,4-) thens(1,1)=t1S(2,1)=t2s(1,2)=(1-t2lflf2)/ns(2,2)=s(1,2)s(1,4-)=-t1/(1-t2)s(2,4-)=s(1,4·)ENDIF
-;....x- ,
IF (modele.eq.5) thens(1,1)=p1s(2,1)=t1s(1,2)=(1-p1~t1)**2~(1-pH*2)/(p1-t1~*2)
S ( 2 , 2 ) = ( 1 - P 1 * t1 ) ** 2 * ( 1 - t 1 * * 2 ) / ( P 1 - t 1 ~ * 2 )S ( 1 , 4 ) = (1 - P 1 * 2 ) * ( 1 - P 1 * ~ 2 ) ( 1 - t 1 * * 2 ) / ( P 1 - t 1* * 2 )s(2,4)=S(1,4)ENDIFrn e m-1do 30 i=1,m
30 s(i,3)=dabs(s(i,1)/s(i,2)SUBROUTINE DIGNOSTIC (res,nx)IMPLICIT REAL~8 (a-h,o-z)DIMENSION racf(15,3),res(nx)CALL CENTER(res,nx,racf)
SUBROUTINE TESTERIMPLICITE REAU8(a-h,o-z)D lM ENSI ON r acf (15,3), r p a c f (15 ,3),c oe f( 4)DATA /COEF /22.4,21.0,22.4,21.0,21.0,21.0/CALL CENTER (ics,nx,racf,rpacf)S 1 0 0do 10 1<;=1,15s 1=s 1+ r a c f( 1<; , 1 ) MK2 / ( n x - K )x q e n x xt n x s ê j xs tIF(xq.LT.COEF(modele)) thenwr i te(M,K) 'le modele choisi est adequat pour la precision'elsewri te (M,20) xqwrite (M,K) 'elle ne satisfait pas a l'hypotheae de nulliteavec 95ï.DE NIVEAU DE CONFIANCE'ENDIFWRITE (M,X) 'appuyer sur <-1 pour retourner au menu r
read (K,M) code20 format (' ".' la valeur Q du test de L~TUNG-BOX vaut',
f5.1 )returnENDSUBROUTINE PREVOIRIMPLICIT REAL M8(a-h,o-z)CHAR ACTER CODEx2DIMENSION DONNEES(2000),da t(2000),res(2000)w(i)= plKdat(i-1)Mp2xpdat(i-2)xres(i)
-t1xres(i-l)-t2Mres(i-2)tl=t(l)pl=p(1)t2=t(2)p2=p(2)pdat(-l)=OPDAT(O)=ODO 10 i=l,nx
10 p d a t t i j e w t L)
20 FORMAT (' ','ENTRER LES BORNES DE L'INTERVALLE DE PRECISION .r
$)
READ (x,20) 10,11IF (lO.GT.NX) thenDO 39 i=nx,lO
30 pdat(i)=w(i)ENDIF
RETURNEND
-
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Valeur de reet
00000 0 000o ~ ~ G ~ ~ ~ ~ ~ ~ _
-~~~~~~t0~~~r-. -.~~~;~~
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':.,.0.16 0o '0
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0'··0,,00. 0
o 0
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