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Acta metall mater . Vol. 41, No. 9, pp. 2611-2624, 1993 0956-7151/93 6.00 + 0.00Printed in Great Britain. All rights reserved Copyright 1993 Pergamon Press Ltd

A S E L F -C O N S I ST E N T A N I SO T R O P I C A P P R O A C H F O R T H ESIMULATION OF PLASTIC DEFORMATION AND TEXTURE

DEVELOPMENT OF POLYCRYSTALS: APPLICATION TOZIRCONIUM ALLOYS

R . A. L E B E N S O H N and C . N . T O M f ~ tIns t i tu to de Fis ica Rosario (CONICET-UNR) and Facul tad de Ciencias Exactas ,Ingenier ia y Agrim ensura (UNR), 27 de Febrero 210 bis, 2000 Rosario , Argent ina

Received 28 September 1992; in revised orm 1 March 1993)Ab stra ct-- W e present in this wor k a visco-plastic self-consistent (VPSC) aniso tropic appro ach formodeling the p lastic defor ma tion of polycrystals , toge ther with a thoro ugh discussion of the assumptionsinvolved and the range o f appl ica t ion of such approach. We use the V PSC m odel for predic t ing texturedevelopment du ring rolling and axisymmetric deform ation of Zirconiu m alloys, and to calculate the yieldlocus and the Lan kfor d coefficient of rolled Zircaloy sheet. W e compa re our results with experimental d ataand find tha t they are in goo d agreement with the availab le experimental evidence. W e also com pare theVPSC p redic t ions with the ones of a Ful l Con s tra ints approa ch and observe tha t they differ bothquan titatively and qualitatively: according with the predictions of the VPSC scheme, deforma tion isacco mm odate d mostly by the soft systems, the twinning activity is much lower, and fewer systems areactive, in average, per grain. These results are a consequence of having accounted fo r the grain interactio nwith its surroundings, which is a crucial aspect when m odeling plastically anisotr opic materials .

1 . I N T R O D U C T I O NP o l y c r y s t a l p la s t i ci t y a n d t e x t u r e d e v e l o p m e n t o fn o n - c u b i c m a t e r i a l s a r e c h a r a c t e r iz e d b y t h e v a r i e t yo f a c t i v e d e f o r m a t i o n m o d e s p r e s e n t i n e a c h g r a i n ,n o n - n e g l i g i b le t w i n n i n g a c t i v i ty a c c o m p a n i e d b y as u b s t a n t i a l f r a c ti o n o f g r a i n r e o r i e n t a t io n , a n d h i g h l yd i r e c t i o n a l g r a i n i n t er a c t i o n s . O u r a p p r o a c h t o t h em o d e l i n g o f s u ch a p r o b l e m h a s b e e n , t o t h e e x t e n tt h a t i t i s p o s s i b l e , t o a n a l y z e a n d m o d e l s e p a r a t e l ye a c h o f t h e p r e v i o u s e l e m e n t s , a n d t o e v a l u a t e t h e i rr e l a ti v e c o n t r i b u t i o n t o t h e o v e r a l l m a t e r i a l b e h a v i o r[1-41.

T h e v a r i e t y o f s l ip a n d t w i n n i n g m o d e s f o u n d i na n i s o t r o p i c m a t e r i a l s m a k e s i t i m p r a c t i c a l t o s t u d yt h e d e f o r m a t i o n t e x t u re s a s s o c i a t e d w i t h a l l p o s s i b l ec o m b i n a t i o n s o f t h e i r C r i t i c a l R e s o l v e d S h e a rS t r e s s e s ( C R S S ) . I n a n e a r l y p a p e r [ 1] w e p r o p o s e as y s t e m a t i c p r o c e d u r e t h a t p e r m i t s t o r e d u c e s u b s t a n -t i a ll y t h e c o m b i n a t i o n s t o b e a c c o u n t e d f o r , b yi d e n t i fy i n g d o m a i n s o f C R S S ' s l e a d i n g to b a s i c a l l yt h e s a m e d e f o r m a t i o n t e x tu r e s . M o r e r e c e nt l y , w ep r o p o s e a V o l u m e F r a c t i o n T r a n s f e r S c h e m e ( V F T )w h i c h a c c u r a t e l y a c c o u n t s f o r t h e c o n t r i b u t i o n t ot e x t u r e d e v e l o p m e n t o f t h e t w i n n e d g r a i n f r a c t i o n sa n d g r e a t l y i m p r o v e s t h e p r e d i c t i o n o f t e x t u r e s i na n i s o t r o p i c m a t e r i a l s [ 2 , 3 , 5 ]. A l s o i n a r e c e n t p a p e r[ 4 ] , w e a n a l y z e t h e s t r e s s s t a t e l e a d i n g t o t w i n a c t i -v a t i o n i n m a t e r i a l s o f d i f f e re n t c r y s t a l l o g r a p h i c s tr u c -tPe rm ane nt address: Reacto r Ma terials Research Branch,Whiteshel l Labora tories , Atomic Energy of Canada ,Pinawa, Mani toba , Canada ROE 1L0.

t u r e, a n d c o m e t o t h e c o n c l u s io n t h a t a C R S S o n t h et w i n n i n g p l a n e i s a n e c e ss a r y c o n d i t i o n f o r a c t i v a t i n gt w i n n i n g .

I n t h i s w o r k w e a d d r e s s a m o r e f u n d a m e n t a lp r o b l e m , w h i c h i s a t t h e b a s i s o f e v e r y p o l y c r y s t a lm o d e l , n a m e l y : t h e i n t e r a c t i o n o f t h e g r a i n w i t h i t ss u r r o u n d i n g s . T h e s t r e n g t h o f s u c h i n t e r a c t i o n d i c-t a t es h o w m u c h o f t h e p l a s t ic d e f o r m a t i o n w i l l b ea c c o m m o d a t e d b y t h e g r a i n a n d h o w m u c h b y t h es u r r o u n d i n g s . I t i s e v i d e n t t h a t t h e r e l a t i v e a n i s o t r o p yo f g r a i n a n d m a t r i x w i l l b e d i r e c t l y r e s p o n s i b l e f o rs u c h r e s p o n s e a n d , a s a c o n s e q u e n c e , b o t h h a v e t oe n t e r e x p l i c i t l y i n t h e f o r m u l a t i o n . T h e c l a s s i c a lT a y l o r - B i s h o p - H i l l a s s u m p t i o n [ 6, 7 ] -- - cl e no t ed i nw h a t f o l l o w s a s t h e F u l l C o n s t r a i n t s ( F C ) a p -p r o a c h - i m p o s e s t h e s a m e d e f o r m a t i o n t o e v e r yg r a i n , i r r e s p e c t i v e l y o f i t s a n i s o t r o p y . W h i l e s u c ha s s u m p t i o n a s s u r e s t h e f u l f il l m e n t o f c o m p a t i b i l i t y , i td i s r e g a r d s a n y p o s s i b le d e p a r t u r e o f t h e g r a i n d e f o r -m a t i o n f r o m t h e a v e r a g e , s o i m p l i c i t l y s t a t i n g t h a t t h es u r r o u n d i n g s d i c t a t e th e g r a i n d e f o r m a t i o n , i n d e p e n -d e n t l y o f t h e r e l at i v e a n i s o t r o p ie s . T h e R e l a x e d C o n -s t r a in t s ( R C ) f o r m u l a t i o n [ 8 ] , o n t h e o t h e r h a n d ,a l lo w s f o r s o m e o f t h e s t r a i n c o m p o n e n t s i n t h e g r a i nt o d i f f e r f r o m t h e a v e r a g e o n e s , b u t s u c h r e l a x a t i o ni s b a s e d o n g r a i n s h a p e a n d s t r e s s c o n t i n u i t y c o n -s i d e r a t i o n s a n d n o t i n t h e r e l a t iv e s ti f f ne s s o f g r a i na n d m a t r i x .

T h e p a p e r s o f K r r n e r [9] a n d B u d i a n s k y a n d W u[ 1 0 ] , a r e t h e f i r s t o n e s c o n c e r n e d w i t h t r e a t i n g t h eg r a i n i n t e r a c t i o n e f f e c t s d u r i n g p l a s t i c d e f o r m a t i o n .T h e a p p r o a c h c h o s e n b y t h e s e a u t h o r s i s b a se d o n a

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2 6 1 2 L E B E N S O H N a nd T O M ] ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C RY S T A LSf u l ly e l a st i c a c c o m m o d a t i o n b y t h e m a t r i x o f t h ep l a s t ic m i sf it , w h i c h i n p r a c t i c e a m o u n t s t o a s s u m i n ga r i g i d m a t r i x ( a n d s o a F C a p p r o a c h ) w h e n t h ep l a s t i c d e f o r m a t i o n i s m u c h l a r g e r t h a n t h e e l a s t i c .A n e l a s t o -p l a s t i c m o d e l p r o p o s e d b y H i l l [ 1 1] , w h i c ha l lo w s f o r p l a st i c a c c o m m o d a t i o n i n t h e m a t r i x , w a si m p l e m e n t e d b y H u t c h i n s o n [ 12 ] t o s i m u l a t e t h ee l a s t o - p l a s t i c t r a n s i t i o n i n a r a n d o m a g g r e g a t e o ff . c . c , g r a i n s . A n e l a b o r a t e l a r g e - s t r a i n e l a s t o - v i s c o -p l a s t i c s c h e m e d e v e l o p e d b y N e m a t - N a s s e r a n dO b a t a [ 1 3 ] h a s b e e n r e c e n t l y i m p l e m e n t e d b y H a r r e n[ 14 , 1 5] f o r c a l c u l a t i n g t e x t u r e d e v e l o p m e n t d u r i n gplas t ic de f or ma t ion o f f .c .c , ma te r ia l s . The pr ed ic -t i o n s o f th i s s c h e m e , th o u g h , c o n v e r g e r a p i d l y t o t h er e s u lt s o f t h e F C m o d e l , i n d i c a ti n g t h a t t h e i n c r e m e n -t a l t e c h n i q u e u s e d f o r s o l v i n g t h e e l a s t o - v i s c o - p l a s t i ce q u a t i o n s d o e s n o t d e s c r i b e c o r r e c t l y t h e g r a i n -m a t r i x i n t e r a c t i o n .

A n a l t e r n a t i v e s t r a t e g y f o r t a c k l i n g t h e p r o b l e m o fla r ge p las t ic de f or mat ions i s to neglec t the e las t i ce f fe c t s a n d a s s u m e t h a t s t re s s e q u i l i b ri u m i s g o v e r n e db y a v i s c o - p l a st i c ( in s t e a d o f a n e l a s t o - p l a s t i c )e q u a t i o n . T h i s i s t h e a p p r o a c h a d o p t e d b yH u t c h i n s o n [ 16 ] f o r m o d e l i n g s t e a d y c r e e p o f p o l y -c r y s t a l s , a n d b y M o l i n a r i et a l . [ 17 ] f o r m o d e l i n g t h et e x t u r e d e v e l o p m e n t a s s o c i a t e d w i t h l a r g e d e f o r -m a t i o n s o f c u b i c p o l y cr y s ta l s. A l t h o u g h t h e t a n g e n tm o d e l o f M o l i n a r i et a l . s e e m s t o c o i n c i d e w i t hH u t c h i n s o n ' s i n c r e m e n t a l m o d e l i n t h e s o c a l le d 1 s i t ea p p r o x i m a t i o n , b o t h m o d e l s l e a d t o d i ff e r e n t r e su l ts ,a s w i l l be d i scussed in Sec t ion 3 . For numer ica l lyi m p l e m e n t i n g t h e l - s i t e a p p r o a c h , M o l i n a r i et a l . [17]a s s u m e t h a t t h e v i s c o - p l a s t i c r e s p o n s e o f t h e m a t r i x i si s o t r o p i c , s o s a c r if i c in g p a r t o f t h e a n i s o t r o p i c c h a r a c -t e r o f t h e g r a i n - m a t r i x i n t e r a c t i o n . T h e l - s it e s c h e m eh a s a l s o b e e n a p p l i e d t o m a t e r i a l s w i t h h e x a g o n a l[ 1 8 ] , t r i g o n a l [ 1 9 ] a n d o r t h o r h o m b i c s y m m e t r y [ 2 0 ] .

T h e a p p r o a c h t h a t w e u s e in t h is w o r k i s b a s e d o nt h e a s s u m p t i o n t h a t e a c h g r a i n c a n b e t r e a t e d a s a ni n h o m o g e n e i t y e m b e d d e d i n t h e h o m o g e n e o u s e f fe c -t i v e m e d i u m r e p r e s e n t e d b y t h e p o l y c r y s t a l . S u c h af o r m u l a t i o n l e a d s t o a n i n t e r a c t i o n e q u a t i o n t h a tl inea r ly r e la tes the s t r es s and s t r a in r a te in the gr a inw i th the ov er a l l s t r e ss and s t r a in r a te o f the e f f ec tivem e d i u m . T h e c o n d i t i o n t h a t t h e a v e r a g e o f s tr es s a n ds t r a i n r a t e o v e r a ll t h e g r a i n s h a s t o b e c o n s i s t e n t w i t ht h e e q u i v a l e n t m a c r o s c o p i c m a g n i t u d e s, m a k e s f o rt h e s e l f- c o n s i st e n t re s o l u t i o n o f th e p r o b l e m . N oa t t e m p t i s m a d e i n t h i s w o r k t o i n c l u d e h a r d e n i n geff ect s, w h ich w i l l be the subjec t o f a f u tur e s tudy [ 21] .I n o u r f o r m u l a t i o n w e a d o p t a n i n t e gr a l i n s t e a d o f a ni n c r e m e n t a l a p p r o a c h , w e b o r r o w t h e c o n c e p t o ft a n g e n t b e h a v i o u r f r o m r e f er e n c e [ 17 ], a n d w e e x p l ic -i tl y a c c o u n t f o r t h e p l a s ti c a n i s o t r o p y o f g r a i n a n dpolycr ys ta l , g r a in shape e f f ec t s , and the i r evolu t ionw i t h d e f o r m a t i o n . I n o r d e r t o m a k e a t h o r o u g hd i s c u s s i o n o f t h e a s s u m p t i o n s i n v o l v e d a n d t h e i rv a l i d i ty , a n d i n o r d e r t o c o m p a r e w i t h e x i st i n g fo r m u -l a t i o n s , i t s e e m s a p p r o p r i a t e t o f u l l y r e p r o d u c e o u rf o r m u l a t i o n i n w h a t f o l l o w s .

T h e p l a n o f t h e p a p e r i s a s f o ll o w s : in S e c t i o n 2 w ep r e s e n t t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r t h e g r a i n a n dt h e p o l y c r y s t a i . I n S e c t i o n 3 w e e x p l ai n t h e r e l e v a n ta s p e c t s o f t h e v i s c o - p la s t ic i n c l u s i o n f o r m u l a t i o n ,d e r i v e th e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n a n d d e s c r ib e t h e i t e r-a t i v e s c h e m e f o r s o l v i n g t h e p o l y c r y s t a l d e f o r m a t i o ns e l f - c o n s i s t e n t l y . I n S e c t i o n 4 w e a p p l y t h e V P S Cs c h e m e t o t h e c a l c u l a t i o n o f r o l l in g a n d a x i s y m m e t r i cd e f o r m a t i o n t e x t u r e s i n z i r c o n i u m a l l o y s , c o m p a r et h e p r e d i c t i o n s w i t h e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s a n ddiscuss the r esu l t s . A lso in Sec t ion 4 w e pr ed ic tL a n k f o r d c o e f f i c i e n t s a n d p o l y c r y s t a l y i e l d l o c i o fr o l l e d s h e e t , a n d c o m p a r e t h e m w i t h e x p e r i m e n t a ld a t a f o r Z i r c a l o y - 4 . F i n a l l y , i n S e c t i o n 5 w e d r a ws o m e g e n e r a l c o n c l u s i o n s c o n c e r n i n g a c t i v e d e f o r -m a t i o n m e c h a n i s m s a n d t h e v a l id i ty o f th e V P S Ca n i s o t ro p i c a p p r o a c h . A c o m p r e h e n s iv e d e r i v a ti o n o ft h e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n f o r t h e v i s c o - p l a s t i c i n -c l u s i o n p r o b l e m i s p r e s e n t e d i n t h e A p p e n d i x .2 . C O N S T I T U T I V E E Q U A T I O N S F O R G R A I N A N DPO LY CRY STA L

W e p r e s e n t i n t h is S e c t i o n t h e e q u a t i o n s t h a t r e l a t es t r es s and s t r a in r a te a t the s ing le c r ys ta l and a t thepoly cr ys ta l l eve l. S t r es s and s t r a in r a te a r e secondo r d e r s y m m e t r i c t e n s o r s , w i t h s i x i n d e p e n d e n t c o m -p o n e n t s , a n d c a n b e r e p r e s e n t ed b y m e a n s o f a si xd i m e n s i o n a l v e c t o r . H o w e v e r , s i n c e p l a s t i c d e f o r -m a t i o n t a k e s p l a c e t h r o u g h s h e a r a n d i s i n d e p e n d e n to f t h e h y d r o s t a t i c s t r e ss c o m p o n e n t , p l a s t i c it y c a n b ef o r m u l a t e d i n t e r m s o f o n l y t h e d e v i a t o r i c s tr e ss a n ds t r a in r a te t ensor s . A s a consequence , a f ive d imen-s iona l vec tor suf f ices to r epr esen t those magni tudes .H e r e w e a d o p t t h e c o n v e n t i o n p r o p o s e d b y L e q u e ue t a l . [ 22] ( w i t h t h e f i r s t t w o c o m p o n e n t s i n t e r -c h a n g e d )

a = , / ~ ( ( ~ 3 3 - ~ . ) + ( ~ 3 3 - ~ 2 2 )\ 2 , / g622 - - 61______~1 )2 ' a23' al3, a~2 (1)

\ 2 , / ~ e2 2- el l . . )2 ,q3,E13,~12 (2)w h i c h h a s t h e a d v a n t a g e t h a t s t r e s s a n d s t r a i n r a t ev e c t o r c o m p o n e n t s h a v e t h e s a m e fo r m . A l t h o u g h i ti s e v i d e n t f r o m t h e i r d e f i n i t i o n t h a t t h e v e c t o r c o m -p o n e n t s a r e i n d e p e n d e n t o f th e t e n s o r ' s t r a c e , w e w il lkeep the pr ime on devia tor ic s t r es ses in or de r tod i f f e r e n t i a t e t h e m f r o m t h e C a u c h y s t r e s s c o m -p o n e n t s . A c c o r d i n g t o t h is c o n v e n t i o n , t h e p l as t i ce n e r g y r a t e i s g i v e n b y t h e s c a l a r p r o d u c t b e t w e e nb o t h vectors 0 7 ~ k = a ; j : i j ) . A s i x t h v e c t o r c o m -p o n e n t , p r o p o r t i o n a l t o t h e t e n s o r ' s t r a c e , w i l l b ea d d e d l a t e r ( s e e A p p e n d i x ) , b u t f o r t h e f o r m u l a t i o nt h a t f o l l o w s i t i s r e d u n d a n t a n d w i l l n o t b e c o n -s idered.

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L E B E N S O H N a n d T O M I ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y CR Y S TA L S 2 61 3P l a s t i c d e f o r m a t i o n t a k e s p l a c e w h e n a s l i p o r a

t w i n n i n g s y s t e m b e c o m e s a c t i v e . E a c h d e f o r m a t i o ns y s t e m i s c h a r a c t e r i z e d b y a v e c t o r n ( n o r m a l t o t h es l ip o r t h e t w i n n i n g p l a n e ) a n d a v e c t o r b ( B u r g e r sv e c t o r i n t h e c a s e o f s l i p a n d t w i n s h e a r d i r e c t i o n i nt h e c a se o f t w i n n i n g ). T h e S c h m i d t e n s o r o f s y s t em

s __ 1( s ) , d e f i n e d a s m ~j - 5(n~bj+ njb~), i s s y m m e t r i c a n dt r a c e l e s s , a n d i s r e p r e s e n t e d h e r e u s i n g t h e s a m ev e c t o r c o n v e n t i o n d e f i n e d b y e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 2) . I nv e c t o r n o t a t i o n , t h e r e s o l v e d s h e a r s t r e s s o n t h es y s t e m ( s ) , z ~ , a d o p t s t h e f o r m

z~ = m~ a(, (3)w h e r e r e p e a t e d l o w e r i n d i c es i m p l y s u m m a t i o n . T h ep l a s t i c s t r a i n r a t e a s s o c i a t e d w i t h t h e s h e a r r a t e i n t h es y s t e m ( s ) , ~ , i s g i v e n b y

ek m~ '~'. (4)T h e s h e a r r a t e i n d u c e d i n ( s ) b y a g i v e n a p p l i e d

s t r e s s i s h e r e d e s c r i b e d b y a r a t e s e n s i t i v e c r i t e r i o n ,w h i c h f o r m a l l y a m o u n t s t o a s s u m i n g a n o n - l i n e a rv i s c o u s r e s p o n s e

) (5)wh ere Y0 i s a r e fe rence ra t e , z~ i s a th re s ho ld s t re s s( l inked to Y0) and n i s t he in ve rs e o f the ra t e s ens i -t i v i ty . W h e n n ~ 1 t h e a c t i v i t y o f t h e s y s t e m i sn e g l i g i b l e u n l e s s z ~ i s v e r y c l o s e t o z ~ , a n d t h e l a t t e rc a n b e i d e n t i f ie d w i th t h e C R S S c h a r a c t e r is t i c o f t h eS c h m i d c r i t e r i o n . W e w i l l s e e l a t e r , t h o u g h , t h a t t h ef o r m u l a t i o n t e n d s t o a l o w e r b o u n d w h e n n i s t o ol a r ge , a n d t h a t n s h o u l d n o t b e l a r g e r th a n a p p r o x i -m a t e l y 2 0 . R e p l a c i n g ( 5 ) in ( 4 ) g i ve s a k i n e m a t i ce q u a t i o n f o r e a c h g r a i n o f t h e p o l y c r y s t al

o ' s m ~ fm ]tr] '~"e k= 70 _271 k t-- ~- - (k = 1, 5) (6)w h e r e t h e s u m i s c a r r i e d o v e r a l l t h e s y s t e m s i n t h eg r a in . T h i s n o n - l i n e a r s y s t e m o f 5 e q u a t i o n s c o n t a i n s1 0 u n k n o w n s : t h e 5 s tr a i n r a t e a n d t h e 5 d e v i a t o r i cs t re s s c o m p o n e n t s . W i t h i n t h e F C o r t h e R C a p -p r o a c h e s , t h e s y s t e m i s s o l v e d f o r e a c h g r a i n s e p a r -a t e l y , i m p o s i n g e i t h e r t h e f iv e s t r a i n r a t e c o m p o n e n t so r a c o m b i n a t i o n o f f i ve s t r es s a n d s t r a i n r a t e c o m -p o n e n t s r e s p e c t i v e ly . S i n c e t h e u n d e r l y i n g a s s u m p -t i o n i s t h a t t h e g r a i n " f o l l o w s t h e d i c t a t e s " o f t h ep o l y c r y s t a l , b o t h s c h e m e s g i v e g o o d r e s u l t s w h e nd e a l i n g w i t h m a t e r i a l s o f l o w p l a s t i c a n i s o t ro p y . T h ea p p r o a c h t h a t w e u s e i n t h i s w o r k , i n s t e a d , c o u p l e st h e s t r a i n - r a t e a n d t h e s t r e s s i n e a c h g r a i n w i t h t h ea v e r a g e s t r a i n r a t e a n d t h e a v e r a g e s t r e s s i n t h ep o l y c r y s t a l , s o p r o v i d i n g a n o t h e r s e t o f f iv ee q u a t i o n s . T h e s e e q u a t i o n s h a v e t o b e s o l v e d i nc o m b i n a t i o n w i t h t h e s y s t e m ( 6 ) u s i n g t h e s e l f -c o n s i s t e n t f o r m u l a t i o n t h a t w i l l b e d e s c r i b e d i nSec t ion 3 .

F o l l o w i n g H u t c h i n s o n [ 16 ], e q u a t i o n ( 6 ) i s r e w r i t -t e n i n a p s e u d o - l i n e a r f o r m

. . . . .~,= ~0~=, ~ \ ~ ] j , - M ~ j (~)oj (7)whe re M ~ ~) a re the secant visco-plastic compliancemoduli o f th e g ra in . Ex ce pt fo r n = 1, M ~~~d e p e n d so n t h e s t r e ss a n d t h e v a l i d i t y o f t h e l i n e a r r e l a t i o nb e t w e e n s t r e ss a n d s t r a i n r a t e i s l i m i t e d to t h e p r e c i s ep o i n t a ' ~ t h a t d e s c r i b e s t h e g r a i n s t a te . A l i n e a rr e l a t i o n v a l i d i n the vicinity of the point 6 ~g iso b t a i n e d b y d o i n g a T a y l o r e x p a n s i o n o f ( 7) a r o u n d# ' , w h i c h d e f i n e s t h e tangent modulus M c(tg) an d theb a c k e x t r a p o l a t e d t e r m ~ 0

g g IE i ~ - - 1 ~ / i i t # ~ j.=~,~; + ~0= ..... ,~'~,,'+ ~7. (8)T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e g r a i n ' s s e c a n t a n d t a n g e n tm o d u l i i s s i m p l y

M C ~ t g) ~ n A 4 c ( s e c )_ . ._? . ( 9 )A t t h e m a c r o s c o p i c l e v e l , t h e o v e r a l l p o l y c r y s t a l

r e s p o n s e i s a s s u m e d t o b e d e s c r i b e d b y c o n s t i t u t i v eequ a t ion s s im i l a r to (7 ) and (8 ) . I f 1~ and Z ' a re thep o l y c r y s t a l s t r a i n r a t e a n d d e v i a t o r i c s t r e s s r e s p e c t -i v e l y , t h e s e c a n t r e l a t i o n c a n b e w r i t t e n a s

= MIT~(~'IZ; (lO)w h i l e t h e t a n g e n t r e l a t i o n , v a l i d a l s o in t h e v i c i n i ty o fZ , a d o p t s t h e f o r m

w i t h(tg) ' ,/~i M , : ( Z ) Z j + / ~ (1 11

M t g) = g - ' [ ( 1 2 )H u t c h i n s o n [ 1 6 ] d e m o n s t r a t e s t h a t t h e p o l y c r y s t a lt a n g e n t a n d s e c a n t m o d u l i f u lf i ll t h e s a m e r e l a t i o nd e r i v e d e a r l i e r f o r t h e s i n g l e c r y s t a l m o d u l i

- n M . ( 1 3 )A w o r d i s i n o r d e r a t t h i s p o i n t c o n c e r n i n g t h ep r e v i o u s c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . E q u a t i o n s ( 8 ) a n d( 1 1 ) a r e e x a c t o n l y w h e n t h e y d e s c r i b e t h e s t r a i n r a t ea s s o c i a t e d w i t h t h e s t re s s u s e d a s a r e f e r e n c e f o r t h ee x p a n s i o n , o t h e r w i se t h e y a r e o n l y a p p r o x i m a t e . T h i sd o e s n o t r e p r e s e n t a l i m i t a t i o n i n th e c a s e o f t h eg r a i n , b e c a u s e t h e s t r es s a n d t h e s t r a i n r a t e w i l l b ea s s u m e d t o b e u n i f o r m w i t h i n it , a n d t h e a c t u a l v a l u eo f s t r e s s c a n a l w a y s b e c h o s e n a s t h e r e f e r e n c e f o r t h el i n e a r e x p a n s i o n . T h i s i s a l s o t r u e f o r ( 1 1) w h e n i t i su s e d t o d e s c r i b e t h e r e s p o n s e o f a h o m o g e n e o u sm e d i u m , i n w h i c h c a s e i t i s e q u i v a l e n t t o t h e s e c a n tf o r m ( 10 ). T h e l i m i t a t i o n a p p e a r s , t h o u g h , w h e n ( 1 1 )i s u s e d t o d e s c r i b e t h e r e s p o n s e o f a h o m o g e n e o u sm e d i u m i n t h e v i c i n i ty o f a n i n c l u s i o n , w h e r e l o c a lv a r i a t i o n s i n s t r e s s t a k e p l a c e : i n s u c h a c a s e , t h es t r es s v a r i a t i o n s h a v e t o b e w i t h i n t h e i n t e r v a l w h e r e

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2 6 1 4 L E B E N S O H N a nd T O M t ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F PO L Y C R Y ST A L St h e t a n g e n t a p p r o x i m a t i o n i s a s s u m e d t o b e a d e -q u a t e . A s f o r t h e s e c a n t f o r m , i t i s n o t a p p r o p r i a t e f o rd e s c r i b i n g s u c h d e p e n d e n c e .

in equa t ion ( 16) g ives the c las s ica l in te r ac t ione q u a t i o n . t

i ' = - l ( , l f f ( 1 8 )3 . T H E I N C L U S I O N F O R M A L I S M wh ere 1( 'I is th e interaction matr ix def ined as

T h e t a n g e n t a p p r o x i m a t i o n o f e q u a t io n (1 1)a m o u n t s t o r e g a r d i n g t h e a g g r e g a t e a s a h o m o g e n e o u se q u i v a le n t m e d i u m ( H E M ) h a v i n g a v i sc o - p l a s ti c c o m -plian ce M (ts) plus a reference s train rate 1~ , who seb e h a v i o r i s i d e n t i c al t o t h e o v e r a l l b e h a v i o u r o f t h ep o l y c r y s t a l . E a c h g r a i n , c h a r a c t e r i z e d b y t h e v i s c o -p las t ic co mp l ianc e M ~ tg) p lus a r e f e r ence s t r a in r a te i ,i s i n t u r n r e g a r d e d a s a n i n h o m o g e n e i t y e m b e d d e d i nt h e H E M , w h i c h d i s t u r b s t h e s t re s s fi el d l o c a ll y w h e na u n i f o r m s t r e s s i s a p p l i e d t o t h e H E M . T h e p r o b l e mo f a n i n h o m o g e n e i t y e m b e d d e d i n a h o m o g e n e o u sm a t r i x b e i n g a c t e d u p o n b y t h e u n i f o r m s t r e s s X ' a ti n f i n i t y c a n b e s o l v e d u s i n g t h e E s h e l b y f o r m a l i s m ,w h i c h i s r e v i e w e d i n t h e A p p e n d i x . W i t h i n t h i sa p p r o a c h , t h e i n h o m o g e n e i t y i s r e p l a c e d b y a n' e q u i v a l e n t i n c l u s i o n ' h a v i n g t h e s a m e m o d u l i( Mttg) , ]~0) of the po ly c r ys ta l b u t und er go ing a f ic t i-t i o u s t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n r a t e i * t h a t i n d u c e s t h es a m e s t r e s s i n t h e i n c l u s i o n a n d i n t h e s u r r o u n d i n g sa s t h e i n h o m o g e n e i t y d o e s. T h e c o n d i t i o n t h a t i * h a sto f u l fi ll w i th in th e do m ain of the inc lus ion i s, a f te requa t ions ( 8) and ( 11) , tha t

dk = Mf f ) t r~ + /~0 + d* ( 14)I t i s convenien t , f o r w ha t f o l low s , to w r i te th i se q u a t i o n i n t e r m s o f t h e s t re s s a n d s t r a i n r a t e d e v i -a t i o n s i n t h e i n c l u s i o n w i t h r e s p e c t t o t h e p o l y c r y s t a la v e r a g e s . T h e d e v i a t i o n s a r e d e f i n e d b y

e ; = ~ ; - x ; . ( 1 5 )Replac ing ( 15) in equa t ion ( 14) and us ing ( 11) g ives

~k - ~ ' = M ~ ) # ; ( 16 )W e s h o w i n t h e A p p e n d i x t h a t ( 1 6 ) i s f o r m a l l ye q u i v a l e n t t o t h e e q u a t i o n t h a t d e s c r i b e s t h e e l a s t i ci n c l u s i o n p r o b l e m ( o n c e t h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e i sa c c o u n t e d f o r ) , a n d t h a t t h e s t r a i n r a t e d e v i a t i o n i nt h e i n c l u s i o n i s u n i f o r m a n d g i v e n b y

ek = S k / (17)w h e r e S ki i s th e m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n o f t h e v isco-p las t ic ( ins tead o f the e las t ic ) Eshe lb y tensor , af u n c t i o n o f t h e s h a p e o f th e i n c lu s i o n a n d t h e t a n g e n tv i s c o - p l a st i c m o d u l i . A s w e d i s c u s s i n t h e A p p e n d i x ,t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y a s s o c i a t e d w i t h t h e p l a s t i cd e f o r m a t i o n r e q u i r e s t a k i n g s p e c i a l c a r e w h e n c a l c u -l a t i n g S . R e p l a c i n g t h e i n v e r s e o f e q u a t i o n ( 17 )tTh e ex plicit index notation will be om ited in what follows,and the tensorial contraction will be represented as theprodu ct of boldface tensors .

lq'I = (I - S )- IS M (tg). (19)O b s e r v e t h a t , s i n ce t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e c o m -p o n e n t s o f t h e E s h e l b y t e n s o r a r e a l w a y s l o w e r th a nu n i t y , t h e i n t e r a c t i o n m a t r i x i s o f t h e o r d e r o f th et a n g e n t m o d u l i o f t h e p o l y c r y s t a l. F r o m a p h y s i c a lp o i n t o f vi ew , i t i s m e a n i n g f u l t h a t t h e t a n g e n t m o d u l ie n t e r i n t h e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n , i n s t e a d o f t h e s e c a n tm o d u l i , b e c a u s e i t i s t h e f o r m e r w h i c h d e s c r i b e t h er e s p o n s e o f t h e H E M i n t h e v i c i n it y o f t h e i n c l u si o n ,w h e r e t h e s t r e s s d e p a r t s f r o m t h e a v e r a g e l o a d i n gc o n d i t i o n s . T h e r e l a t i o n b e t w e e n m a c r o s c o p i c s e c a n ta n d t a n g e n t m o d u l i g i v e n b y ( 1 3 ) p e r m i t s t o expressthe equat ions i n t e rm s o f t h e s e c a n t m o d u l i . I n w h a tc o n c e r n s t h e E s h e l b y t e n s o r , i t i s a f u n c t i o n o f t h etangent m odul i b u t , s i n c e i t i s a h o m o g e n e o u s f u n c -t i o n o f d e g re e z e r o ( se e A p p e n d i x ) a n d s in c eM ( tg ) = n M ( ~ ) , the same r esu l t i s ob ta ined w hen ca l -c u l a t e d u s i n g t h e s e c a n t m o d u l i . A s a c o n s e q u e n c e ,t h e i n t e r a c t i o n t e n s o r c a n b e s i m p l y e x p r e ss e d a s

1(-I = n ( I - S) - ISM (~) . (20)M o l i n a r i et al. [ 1 7 ] u s e a g e n e r a l f o r m a l i s m w h i c h

t a k e s i n t o a c c o u n t t h e i n t e r a c t i o n o f e a c h g r a i n w i t ht h e n e a re s t n e i g h b o u rs , a n d a s s u m e s a H E M b e y o n ds u c h a c l u s te r . T h e y a r r iv e a t a m o r e g e n e r a l f o r m o ft h e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n , w h i c h r e d u c e s t o o u r s i nw h a t t h e y c a l l t h e 1-site a p p r o x i m a t i o n , w h i c h c o n -s is ts i n i g n o r i n g t h e n e i g h b o u r i n g g r a i n s , l e a v in g o n l yt h e H E M . F o r t h e p u r p o s e o f n u m e ri c a l im p l e m e n -t a t i o n o f t h e 1 -s it e a p p r o a c h , h o w e v e r , t h e y a s s u m et h a t t h e v i s c o - p la s t ic r e s p o n s e o f t h e H E M i s i s o -t r o p i c , i n w h i c h c a s e t h e c o m p l i a n c e t e n s o r o f t h eH E M i s d e s c ri b e d b y o n l y o n e i n d e p e n d e n t m o d u l u s .T h e d i s a d v a n t a g e o f su c h a n a p p r o a c h is t h a t i t o n l yr e t a in s t h e a n i s o t r o p y o f t h e g r a i n b u t d o e s n o ta c c o u n t f o r t h e p l a st i c a n i s o t r o p y o f t h e m e d i u m .Bes ides, in the i r ca lcu la t io ns they ac tua l ly as sume th evisco- p las t ic s ti ff nes s t enso r to be i so t r op ic , w hich i sa n a p p r o x i m a t i o n b e c a u s e i t s t i l l d e p e n d s e x p l i c i t l yu p o n t h e o v e r a l l s t r e s s c o m p o n e n t s [ 2 3 ] .

So f a r , w e have been ab le to r e la te the s t r es s andt h e s t r a i n r a t e i n e a c h g r a i n w i t h t h e c o r r e s p o n d i n gm a g n i t u d e s i n t h e H E M , a s s u m i n g t h a t t h e v i s c o -p l a st ic m o d u l i o f t h e g ra i n a n d o f th e H E M a r ek n o w n i n a d v a n c e , w h i c h is n o t t h e c as e . T h e a s s u m p -t i o n t h a t t h e H E M d e s cr ib e s t h e a v e ra g e b e h a v i o u r o ft h e a g g r e g a t e , t h o u g h , l e a d s t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h ew e i g h t e d a v e r a g e o f s t re s s a n d s t r a in r a t e o v e r t h eg r a i n s h a s t o c o i n c id e w i th t h e c o r r e s p o n d i n g m a c r o -s c o p i c m a g n i t u d e s . T h e l a t t e r c o n d i t i o n p r o v i d e s a ne x p r e s s i o n f r o m w h i c h t h e o v e r a l l t e n s o r M (~ ) c a n b eca lcu la ted in a s e l f - cons i s ten t i t e r a t ive w ay. U s ing

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L E B EN S O H N a n d T O M I ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C R Y S T A L S 2 6 1 5e q u a t i o n s ( 7 ) a n d ( 1 0 ) , e q u a t i o n ( 1 8 ) m a y b e w r i t t e ni n t h e f o r m

W l f ' = a ' ( 21 )w h e r e

W = ( M ~(~~)+ l q ' I ) - ' ( M~ ) + 1('1) (22)i s c a l l ed the a c c o m m o d a t i o n t e n s o r . T h e s e c a n t r e -l a t i o n ( 7 ) f o r t h e g r a i n a d o p t s t h e f o r m

M ~ ) ( B ~ Z ' ) = i ( 23 )T h e c o n d it i o n t h a t ( i ) = I ~ , w h e re ( ) i n d ic a te sw e i g h t e d a v e r a g e o v e r a l l t h e g r a i n s , l e a d s t o

( M C t ~ ) B c > 2 ; ' = M = ) X ' ( 2 4 )E q u a t i o n ( 2 4 ) i s f u l f il l e d w h e n

M ( ~ ) = ( M ~ t S~ ) B ) ( 2 5 )b u t s i n ce n ~ ) d e p e n d s i m p l i c i t l y u p o n , Y ', w e c a n n o tg u a r a n t e e t h a t t h i s is a n u n i q u e s o l u t i o n . E q u a t i o n( 2 5 ) in d i c a t e s t h a t t h e p o l y c r y s t a l c o m p l i a n c e i s g iv e nb y a n a v e r a g e o f t h e s i ng l e c r y s t a l c o m p l i a n c e s ,w e i g h t e d b y t h e a s s o c i a t e d v o l u m e f r a c t i o n a n d t h ea c c o m m o d a t i o n t e n s o r B c , d e f i n e d b y e q u a t i o n ( 22 ).S ince B ~ i s a f u n c t i o n o f M ~ ) , b o t h e x p l i c i t l y a n dt h r o u g h t h e d e p e n d e n c e o f M u p o n n I = ), t h e e x -p r e s s i o n ( 2 5 ) re p r e s e n t s a n i m p l i c i t e q u a t i o n f r o mw h i c h M ~) h a s t o b e o b t a i n e d s e l f - c o n s is t e n t ly .

A n i n t e r e s t i n g l im i t o f e q u a t i o n ( 2 5 ) i s t h e r a t ei n s e n s i ti v e c as e , w h e n n - - , o o , b e c a u s e i t r e v e a l s al i m i t a t i o n o f t h e l i n e a r r e s p o n s e a s s u m p t i o n i n p a r -t i c u l a r , a n d o f t h e m o d e l in g e n e r a l . E q u a t i o n ( 2 5)m a y b e r e w r i t t e n e x p l i c i t l y i n t e r m s o f t h e s e c a n tm o d u l i u s i n g ( 2 0 ) a n d ( 2 2 ) a s

/ n ~ l = ~ ) [ nt~ "~ ) + n ( l - S ) 1 S M ~ ) ] \M ~ = \ [ M ~c~+ n ( I - S ) -~ SM ~C )] / (26 )Since M `ts") an d M ~s~) are of the sam e or de r ofm a g n i t u d e a n d s in c e t h e c o m p o n e n t s o f ( I - S ) - ~ Sa r e o f t h e o r d e r u n i t y t h e n , i n t h e r a t e i n s e n s i t i v e l i m i tn ~ o c , t h e p r e d i c t e d p o l y c r y s t a l c o m p l i a n c e t e n s o rr e d u c e s t o t h e a v e r a g e o f t h e g r a i n c o m p l i a n c e s

M 2 0 : t h e a v e r a g e n u m b e r o f a c t i v e s y s te m s p e rg r a i n a n d t h e s t r e s s d e v i a t i o n s in t h e g r a i n s w i t hr e s p e c t t o t h e a v e r a g e d e c r e a s e a s n i n c r e a se s b e y o n dn = 2 0. T h e r e a s o n f o r s u c h b e h a v i o u r i s t o b e f o u n di n t he n o n - v a l i d i t y o f t h e t a n g e n t a p p r o x i m a t i o n f o rd e s c r i b i n g t h e i n c r e a s i n g l y n o n - l i n e a r c h a r a c t e r i s t i c so f t h e p o l y c r y s t a l .T h e i n c r e m e n t a l f o r m u l a t i o n p r o p o s e d b yH u t c h i n s o n [ 16 ], o n t h e c o n t r a r y , c o n v e r g e s t o t h e

u p p e r b o u n d i n t h e r a t e i n s e n s i t iv e li m i t , as i s e v i d e n tf r o m o b s e r v i n g t h e r e s u l t s p l o t t e d i n F i g . 1 o f h i sp a p e r . W e w e r e a b l e t o r e p r o d u c e t h o s e r e s u l t s b yu s i n g t h e s e c a n t ( i n s t e a d o f t h e t a n g e n t ) m o d u l u s i ne q u a t i o n ( 1 9 ) , t o c a l c u l a t e t h e i n t e r a c t i o n t e n s o r l f l .S i n c e s u c h e m p i r i c a l c o r r e c t i o n a m o u n t s t o c o n s i d e ra m a t r i x n t i m e s l es s c o m p l i a n t t h a n w h a t o u rf o r m u l a t i o n r e q u i r e s , a n d s i n c e t h e u p p e r b o u n d i sc h a r a c t e r i z e d b y a r i g i d m a t r i x , i t is l o g i c a l t h a t s u c hp r o c e d u r e w i l l l e a d t o t h e u p p e r b o u n d i n t h e l im i tn - - , o o. T h e d i f f e re n c e b e tw e e n H u t c h i n s o n ' s f o r m u -l a t i o n a n d o u r s i s i n t h e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n :H u t c h i n s o n a s s u m e s a r e l a t i o n b e t w e e n t h e s t r e ss a n ds t r a i n r a t e i n c r e m e n t s o f t h e f o r m :

( 6 i - 6 1 ~ ) = - l ~ ' l ( 6 a ' - 6 . r ' ) . ( 2 8 )

O u r i n t e r a c t i o n e q u a t i o n ( 18 ), o n t h e o t h e r h a n d ,a p p l i e s t o t h e t o t a l s t r e s s a n d s t r a i n r a t e , a n d w h e nd i f f e r e n t i a t e d i t b e c o m e s

( 6 i - f i t ) = - I f l ( r ' - 6 i f , ' ) - 6 I f l ( a ' - i f , ' ) . (29)T h e e x t r a t e r m w i t h r e s p e c t t o ( 2 8 ) a r i s e s b e c a u s e o ft h e d e p e n d e n c e o f t h e c o m p l i a n c e o n t h e s t r es s . A sd i s c u s s e d a b o v e , t h e c o n s e q u e n c e s o f t h i s m o d i f i -c a t i o n a r e i m p o r t a n t w h e n n i s l a r g e , a n d f u r t h e rw o r k w i l l b e r e q u i r e d i n t h e f u t u r e i n o r d e r t o c l a r i f yth i s po in t .T h e v i s c o -p l a s ti c f o r m u l a t i o n d e s c r i b e d a b o v e i si m p l e m e n t e d i n t h i s w o r k f o r t h e c a l c u l a t i o n o ft e x t u r e d e v e l o p m e n t a s f o l l o w s : t h e f i n a l p o l y c r y s t a ld e f o r m a t i o n i s a c h i e v e d t h r o u g h s u c c e ss i v e i n c r e m e n -t a l d e f o r m a t i o n s t e p s, o b t a i n e d b y i m p o s i n g a m a c r o -s c o p i c s t r a i n r a t e ~ d u r i n g a t i m e i n t e r v a l A t . A t e a c hs t e p , g u e s s v a l u e s f o r t h e s t r a i n r a t e i i n e a c h g r a i na r e p r o p o s e d : f o r t h e f i r s t d e f o r m a t i o n s t e p , a F Cg u e s s i s u s e d a n d t h e s t r e s s i s c a l c u l a t e d s o l v i n ge q u a t i o n ( 6) ; f o r t h e f o l l o w i n g s t e p s , th e s t r a i n r a t ea n d t h e s t r e ss o f t h e p r e v i o u s s t e p a r e a s s u m e d a ss t a r t i n g g u e s s v a l u e s f o r t h e g r a i n . T h e s e l f - c o n s i st e n tp r o b l e m i s s o l v e d b y m e a n s o f t w o n e s t e d i t e r a t i v ep r o c e d u r e s . W i t h i n t h e i n n e r m o s t l o o p , t h e c r y s t a l ss e c an t m o d u l i M ~ ) a r e c a lc u l a t e d fo r g i v en a ' u s i n g( 7 ) a n d a r e k e p t f i x e d . T h e f i r s t e s t i m a t e o f t h em a c r o s c o p i c s e c a n t m o d u l u s M t s = ) i s d o n e u s i n g aV o i g t a v e r a g e : M t ~c )- ' = ( M c t~ ) ' ) ; f o r c o n s e q u e n te s t i m a t e s t h e v a l u e d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s t e p i su s e d . M (S ~ i s in t u r n u s e d t o c a l c u l a t e t h e E s h e l b yt e n s o r S , t h e in t e r a c t i o n te n s o r l f l a n d t h e a c c o m m o -d a t i o n t e n s o r B c. N e x t , e q u a t i o n ( 2 5) i s s o l v e d i t e r a -t i v e ly , a s f o l lo w s : th e a v e r a g e ( M ~ B ~ ) i s c a l c u l a t e da n d u s e d a s a n i m p r o v e d g u e s s f o r t h e o v e r a l l t e n s o rM ( s~ ). T h e i t e r a t i o n i s r e p e a t e d u n t i l t h e a v e r a g ec o i n c i d e s w i t h t h e i n p u t t e n s o r w i t h i n a c e r t a i nt o l e r a n c e , i n w h i c h c a s e t h e i n n e r m o s t p r o c e d u r e i st e rm ina te d , and the M (s") s o o b ta ine d i s u s ed toc a l c u l a t e t h e m a c r o s c o p i c s t r e s s :

r , = M c~ec) ~1~ (3 0)

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2 6 1 6 L E B E N S O H N a nd T O M ] ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C RY S T A LSReplac ing (6) a n d ( 3 0 ) i n t o t h e i n t e r a c t i o n e q u a t i o n( 18 ), y i e l d s a s y s t e m o f 5 n o n - l i n e a r e q u a t i o n s f o re a c h g r a i n :

sy0 ~ m k ~ - - ~ - - - ] - / ~ k = - - . ~ k t ( t r - Z { ) ( 3 1 )f r o m w h i c h t h e 5 c o m p o n e n t s o f a ' c a n b e c a l c u l a t e da n d r e p l a c e d i n ( 6 ) to d e r i v e t h e a s s o c i a t e d s t r a i n r a t ei n t h e g r a i n i . F o r s e l f - c o n s i s t e n c y t o b e g u a r a n t e e d ,t h e r e c a l c u l a t e d o ' h a s t o c o i n c i d e w i t h t h e v a l u e sa s s u m e d a t t h e b e g i n n i n g o f th e i n n e r m o s t l o o p f o rc a l c u l a t i n g t h e M ~ (~ ). C o n s e q u e n t l y , t w o c o n v e r -g e n c e c o n d i t i o n s a r e t e s t e d a t t h i s p o i n t

I ( o 'on)) - Z ' I < e r r o r(l a '(n) - o ' (n- 1)1) < er ro r (32)

w he r e the subindices ( n - 1 ) and ( n) r e f e r to succes -s ive i t e r a t ions and the r e la t ive e r r or i s typ ica l ly se te q u a l t o 1 % . I f t h e c o n d i t i o n s ( 32 ) a r e n o t s i m u l -tane ous ly ve ri fi ed , the r eca lcu la te ~ and t r ' a r e used ast h e n e w g u e s s t o r e c a l c u l a te M ~ ) , a n d t h e i n n e r m o s ti t e r a t i o n l o o p i s r e p e a t e d .

O n c e c o n v e r g e n c e is a c h i e v e d , t h e r e o r i e n t a t i o n o fe a c h g r a i n d u e t o s l i p a n d t w i n n i n g m u s t b e p e r -f o r m e d b e f o re a t t e m p t i n g t h e n e x t d e f o r m a t i o n s te p .S i n c e t h e f o r m u l a t i o n a l l o w s t h e g r a i n s t o d e f o r m b yd i f f e r e n t a m o u n t s , t h e l a t t i c e r o t a t i o n r a t e f o r e a c hg r a i n i s g i v e n b y

d ) i j = D i j + I I q k lS k lm n E m n - ~ ' - ~ ( b , n j - - b / n , ) ' 9 ~ (33)w h e r e ~ is th e a n t i s y m m e t r i c c o m p o n e n t o f th em a c r o s c o p i c d i s t o r t i o n r a t e , t h e s e c o n d t e r m i s t h er e o r i e n t a t i o n o f t h e a s s o c i a t e d e l l i p so i d d e r i v e d i n t h eA p p e n d i x , a n d t h e l a s t t e r m i s t h e a n t i s y m m e t r i cc o m p o n e n t o f th e p l a s ti c d i s t o rt i o n r a t e. T h e t e r ma s s o c i a t e d w i t h t h e r e o r i e n t a t i o n o f t h e e l l ip s o i d i sp r o p o r t i o n a l t o t h e d i f f e re n c e b e t w e e n t h e s t ra i n r a t ei n t h e g r a i n a n d i n t h e p o l y c r y s t a l , a n d i n c re a s e s w i t ht h e e l l i p s o i d d i s t o r t i o n , a s T i e m e t a l . s h o w f o r t h ee l a st i c i n c l u s io n c a s e [ 2 4 ]. F o r t h e p a r t i c u l a r c a s e s o fr o l l in g a n d a x i s y m m e t r i c te n s i o n w h i c h a r e p r e s e n t e dla te r , th i s t e r m cont r ibu tes l e s s than 1% a t theb e g i n n i n g o f d e f o r m a t i o n , b u t r e p r e se n t s a b o u t 4 0a n d 2 0 % , r e s p e c ti v e ly , o f t h e to t a l l a t t ic e r o t a t i o nr a te a t 1 . 0 t r ue s t r a in .

A s w e h a v e d e m o n s t r a t e d r e c e n t l y [2 , 3 ], m o d e l i n gt h e g r a i n r e o r i e n t a t i o n i n m a t e r i a l s p r e s e n t i n g s u b -s t a n t i a l t w i n n i n g a c t i v i t y , m a k e s i t a d v i s a b l e t o u s et h e V o l u m e F r a c t i o n T r a n s f e r ( V F T ) s c h e m e f o r ap r o p e r t r e a t m e n t o f th e t w i n n e d f r a c ti o n s . W i t h i n t h eV F T s c h e m e t h e p o l y c r y s t a l i s r e p r e s e n t e d b y m e a n s

tZirca loy refers to the cla ss of zirconium alloys containingprimarily Sn, Fe and Cr. Zircaloy-2 and Zirealoy-4 areused in nuclear power reactors, and their compositionin weight percent is: (1.5% Sn, 0.12%Fe, 0.10%C r,0.05%Ni, 0.01%O, Zr b al ) and ( l .5%Sn, 0.21%Fe,0.10%Cr, 0.01%0, Zr bal) , respectively.

o f a d i s c r e t e s e t o f o r i e n t a t i o n s w h i c h a r e k e p t f ix e dw h i l e t h e a s s o c i a t e d v o l u m e f r a c t i o n s a r e a l l o w e d t oe v o l v e d u r i n g d e f o r m a t i o n . T h e E u l e r s p a c e ( B u n g ea n g l e s c o n v e n t i o n ) i s p a r t i t i o n e d r e g u l a r l y i n a p -pr ox ima te ly eq uiaxed ce ll s o f 10 by s ide. T he or ien-t a t i o n s a r e m a d e t o c o i n c i d e w i th t h e c e n t e r o f t h ec el ls a n d a c e r t a i n v o l u m e f r a c t i o n o f m a t e r ia l i sa s s i g n e d t o e a c h c e l l i n c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h ei n i ti a l t e x t u re . P l a s ti c d e f o r m a t i o n i s i m p o s e d t o t h e s er e p r e s e n t a t i v e g r a i n s a n d t h e r e s u l t i n g r e o r i e n t a t i o nc a n b e v i s u a l i ze d a s a d i s p l a c e m e n t i n E u l e r s p a c e o ft h e r e p r e s e n t a t i v e p o i n t . W e a s s u m e t h a t t h e c e l l a sa w h o l e d i sp l a c e s r i g id l y b y t h a t a m o u n t a n d t h a t t h em a t e r i a l i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d w i t h i n i t . W h e ndisp laced , the ce l l pa r t i a l ly over laps w i th the ne igh-b o r i n g c e ll s a n d t h e v o l u m e f r a c t i o n o f m a t e r i a lc o n t a i n e d i n t h e o v e r l a p p e d p o r t i o n s i s s u b t r a c t e df r o m i t a n d t r a n s f e r re d t o t h e n e i g h b o r i n g c e ll s. T h i sp r o c e s s o f t r a n s fe r e n c e , r e p e a t e d a f t e r e v e r y s tr a i ni n c r e m e n t , l e a d s t o a g r a d u a l v a r i a t i o n o f t h e v o l u m ef r a c t i o n i n e a c h c e l l a n d s o t o t e x t u r e d e v e l o p m e n t .W h e n t w i n n i n g i s ac t iv e , a f r a c t i o n o f t h e g r a i na d o p t s a n e w o r i e n t a t i o n a n d i s t r a n s f e r r e d t o t h ec o r r e s p o n d i n g c e ll i n E u l e r s p a c e a n d a c c u m u l a t e d t ot h e f r a c t i o n a l r e a d y a s s i g n e d t o t h e c e ll . B y d o i n g t h isw e m a n a g e t o a c c o u n t e x a c t l y f o r e v e r y t w i n n e df r a c t i o n i n e v e r y t w i n s y s t e m o f e v e r y g r a i n a f t e r e a c hs t r a in inc r ement .

4 . RESU LTS A N D D I SCU SSI O NT h e s e l f - c o n s i s t e n t f o r m u l a t i o n d e s c r i b e d i n t h e

p r e v i o u s s e c t i o n p e r m i t s t o a c c o u n t f o r d e v i a t i o n s i nt h e g r a i n b e h a v i o r f r o m t h e a v e r a g e b e h a v i o r o f t h ep o l y c r y s t a l . S u c h d e v i a t i o n s c a n b e s i g n i f i c a n t f o rm a t e r i a l s w i t h m a r k e d p l a s t i c a n i s o t r o p y a n d , a s ac o n s e q u e n c e , i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s w i t h r e s p e c t t ot h e p r e d i c t i o n s o f c l a ss i ca l f o r m u l a t i o n s s h o u l d b ee x p e c t e d f o r h e x a g o n a l ( a n d , i n g e n e r a l , n o n - c u b i c )m a t e r i a l s . O n t h e c o n t r a r y , n o g r e a t i m p r o v e m e n t sa r e o b t a i n e d f o r c u b i c m a t e r i a l s , a s M o l i n a r i e t a l .h a v e s h o w n u s i n g t h e " i s o t r o p i c H E M " s e l f- c o n s is t -e n t s c h e m e [ 1 7 ] . H o w e v e r , o n e h a s t o b e a r i n m i n dt h a t i f t h e h e t e r o g e n e i t y b e t w e e n t h e g r a i n a n d t h eH E M p r o p e r t i e s i s l a r g e , t h e s t r e s s d e v i a t i o n w i t hr e s p e c t t o t h e a v e r a g e i n t h e v i c i n it y o f t h e g r a i n c a nb e e x p e c t e d t o b e l a r g e t o o , a n d t h e t a n g e n t a p p r o x i -mat ion w i l l be l e s s accur a te in such case .

I n w h a t f o l l o w s , w e p r e s e n t t h e c o m p a r i s o n b e -t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d c a l c u l a t e d t e x t u r e s o b t a i n e dw i t h t h e F C a n d t h e V P S C f o r m u l a t io n s f o r Z i r c o -n i u m a l l o y s d e f o r m i n g i n p l a n e s t r a i n , a x i s y m m e t r i ct e n s i o n a n d a x i s y m m e t r i c c o m p r e s s i o n . T h e P o l y -c r y s t a l Y i e l d S u r f a c e ( P C Y S ) a n d t h e L a n k f o r d c o -e ff ic ien ts o f Z i r c a lo y t shee t a r e ca lcu la ted us ingd i f f e r e n t s c h e m e s a n d a r e a l s o c o m p a r e d w i t h e x p e r -imen ta l r e su lt s . H er e , an e xpo nen t o f n = 19 i s usedt o d e s c r ib e t h e r a t e d e p e n d e n c e o f t h e s li p a n dt w i n n i n g s y s t e m s in t h e c a l c u l a t i o n s t h a t f o l lo w . T h i sexponent i s meant to desc r ibe a f a i r ly r a te insens i t ive

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L E B E N S O H N a n d T O M I ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C R Y S T A L S 2 6 1 7m a t e r i a l , w i t h o u t e x c e e d in g t h e r a n g e o f v a l i d i t y o ft h e ta n g e n t a p p r o x i m a t i o n . T h e a c t iv e d e f o r m a t i o ns y s te m s a r e a s s u m e d t o b e : { 1 0 T 0 } ( I ~ I 0 ) p r i s m s l i p,{10T2}(10T 1) t ens i l e tw ins ( t tw) a nd {21T2}(21-1 -3 )c o m p r e s s i v e t w i n s ( c t w ) . T h e r e l a t i o n b e t w e e nC R S S ' s u s e d h e r e i s t h e o n e t h a t g i v e s t h e b e s ta g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s n a m e l y ,zPr: z ~tw r c~ = 0 .8 :1 :2 . A l th ou gh s uch re l a t ion d i f fe r sf r o m t h e r a t i o 1 : 2 : 2 t h a t w e u s e i n o u r p r e v i o u s F Cc a l c u l a t i o n s [ 3 ] , t h e F C f o r m u l a t i o n i s i n s e n s i ti v e t ot h is d i f fe r e n ce i n C R S S ' s , b e c a u s e b o t h c o m b i n a t i o n sf a ll w i th i n t h e s a m e t o p o l o g i c a l d o m a i n o f t h e S i n g l eC r y s t a l Y i e l d S u r f a c e [ 3 ] . E x c e p t f o r s m a l l d i ff e r e n c est h a t a r i s e f r o m u s i n g a s l i g h t l y d i f f e r e n t E u l e r s p a c ec e ll p a r t i t i o n a n d f r o m d e f o r m i n g u p t o 1 0 0 % ( in -s t e a d o f 5 0 % ) t r u e s t r a i n , i t i s e v i d e n t t h a t t h et e x t u r e s r e p o r t e d i n t h i s w o r k c o i n c i d e w i t h t h e F Ct e x t u r e s r e p o r t e d i n r e f e r e n c e [3 ] . T h e r a t i o o f C R S S ' si s k e p t c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e d e f o r m a t i o n p r o c e ss ,w h i c h a m o u n t s t o n e g l e c t i n g h a r d e n i n g e f f e c ts . A t t h eb e g i n n i n g o f d e f o r m a t i o n t h e g r a i n s a r e a s s u m e d t ob e e q u i a x e d ( t h e r e p r e s e n t a t i v e e l l i p s o i d is a s p h e r e )a n d , a s d e f o r m a t i o n p r o c e e d s , t h e g r a i n s h a p e i su p d a t e d i n av e r age b u t n o t i n d i v i d u a ll y . T h e g r a i ns h a p e e n t e r s i n t o t h e c a l c u l a t i o n o f t h e E s h e l b yt e n s o r s S a n d I I , w h i c h a r e a f u n c t i o n o f t h e e l l i p s o i daxes ,

I n w h a t f o l l o w s , t o g e t h e r w i t h t h e c a l c u l a t e d p o l ef i g u re s , w e p r e s e n t g r a i n s t a t i s t i c s w h i c h p r o v i d ef u r t h e r i n s i g h t c o n c e r n i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h ep o l y c r y s t a l d e f o r m a t i o n , T h e a v e r a g e r e l a t iv e d e v i -a t i o n o f e a c h s t r e s s c o m p o n e n t i s d e f i n e d b y

Acb = x / ( ( a i - Z i ) 2) ( 34 )IlZllT h e s a m e d e f i n i t io n is u s ed f o r t h e s t a n d a r d d e v i a t i o no f t h e s t r a i n r a te c o m p o n e n t s , w h i c h i s z e r o in t h e F Ca p p r o x i m a t i o n . T h e r e l at i v e a c t i v it y o f e ac h d e f o r -m a t i o n m o d e i s c o m p u t e d a s t h e r a t i o o f t w ow e i g h t e d a v e r a g e s o v e r t h e g r a i n s : t h e s u m o f t h ep l a s t i c s h e a r s c o n t r i b u t e d b y a g i v e n m o d e ( i . e .p r i s m a t i c s y s te m s ) d i v i d e d b y t h e s u m o f t h e s h e a r sc o n t r i b u t e d b y a l l t h e d e f o r m a t i o n m o d e s . A n o t h e rs t a t i s t ic r e fe r s t o t h e n u m b e r o f s i g n i f i c a n t ly a c t i v es y s t e m s , d e fi n e d a s t h e w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e a c t i v es y s t e m s i n e a c h g r a i n ( n O ) , w h e r e n i s c o m p u t e d a sf o l l o w s : a f t e r i d e n t i f y i n g t h e s y s t e m w h e r e t h e p l a s t i cs h e a r i s m a x i m u m , a l l t h e s y s te m s i n t h e g r a i n w h e r et h e s h e a r i s a t l e as t 5 % o f t h a t m a x i m u m a r e c o u n t e das ac t ive .4 1 T e x t u r e d e v e l o p m e n t

F i g u r e 1 a ) s h o w s a t y p i c a l e x p e r i m e n t a l ( 00 0 2 ) p o l ef i g ur e o f r o l l e d Z i r c a l o y - 4 r e p o r t e d b y T o m 6 e t a l[ 25 ]. F i g u r e l ( b ) s h o w s t h e ( 1 0T 0 ) p o l e s c o r r e s p o n d -i n g t o t h e s a m e e x p e r i m e n t a l t e x tu r e . T h e b a s a l p o l e sa r e p r e f e r e n t i a l l y o r i e n t e d a t a n a n g l e o f 3 5 f r o m t h eN D t o w a r d s t h e T D , w h i l e t h e p r i sm p o l e s e x h ib i t aw e a k m a x i m u m a t th e R D . F i g u r e l ( c ) a n d ( d) ar e th e

b a s a l a n d p r i s m p o l e f i g u r e s, r e s p e c t iv e l y , p r e d i c t e db y t h e F C a p p r o a c h i n c o m b i n a t i o n w i th t h e V F Ts c h em e . F i g u r e l ( e ) a n d ( f ) c o r r e s p o n d t o t h e V P S Cc a l c u l a ti o n , a l so i m p l e m e n t e d i n c o m b i n a t i o n w i t h aV F T s c h e m e . B o t h s im u l a t i o n s , F C a n d V P S C , a r ec a r r i e d u p t o 1 .0 t r u e s t r a i n , s t a r t i n g f r o m a r a n d o md i s t r i b u t i o n o f o r i e n ta t i o n s . I n w h a t c o n c e r n s t h eb a s a l p o l e d i s t r i b u t i o n , w e o b s e r v e t h a t t h e F Cs i m u l at i o n p r e d ic t s a m a x i m u m i n th e N D - T D p l a ne ,s h i ft e d b y c o m p a r i s o n w i t h t h e e x p e r i m e n t a l l y o b -s e rv e d o n e , a n d t w o u n o b s e r v e d t e x t u r e c o m p o n e n t sa l o n g t h e R D a n d t h e T D . T h e l a t t e r a r e a c o n s e -q u e n c e o f a r e l a t i v e l y h i g h a c t i v i t y o f t h e c o m p r e s s i v et w i n s f o r c e d b y t h e F C f o r m u l a t i o n , a s w i l l b ed i s c u s s e d l a t e r . F o r t h e c a s e o f t h e V P S C c a l c u l a t i o n ,t h e b a s a l p o l e s s h o w a l a r g e r t i l t i n g t o w a r d s t h e T Da n d a b e t t e r a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t , w h i l e t h eu n r e a l is t i c c o m p o n e n t s a l o n g t h e R D a n d t h e T D a r en o t p r e d i c t e d . C o n c e r n i n g t h e p r i s m a t i c p o l e s , i t c a nb e s ee n th a t b o t h F C a n d V P S C t e x t u re s p r e s e n t th em a x i m u m a l o n g t h e R D , a l t h o u g h t h e V P S C s c h em ep r e d i c t i o n m a t c h e s b e t t e r t h e e x p e r i m e n t .

L

( 0 0 0 2 ) ( 1 0 ] 0 )R D R D

T D

R D R D

TD T D

R D R D

T D T DFig. 1. (a) (0002) and (b) (10T0) measured pole figures ofrolled Zr ly-4 I25]; (c) (0002) and (d) (10T0) pole figurescalculated with the FC fo rmu lation, deforming up to 1.0true s t ra in and us ing zPr= 0.8 , z t tw= 1.0 , re 'w= 2.0 ; (e )(0002) a nd (f) (10"1"0) po le figures calculated with VPS Cformula t ion for the same t rue s t ra in and C RSS's . In a l l thefigures, the lines correspond to multiples of random orien-tations an d the do ts indicate density values lower than 1.Equal area and not stereographic projection is used.

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2 6 1 8 L E B E N S O H N a nd T O M ] ~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O LY C R Y S TA L SBes ides the quant i t a t ive d i f f e r ence in the r o l l ing

t e x t u r e s o b t a i n e d w i t h t h e F C a n d t h e S C s c h e m e s ,b o t h f o r m u l a t i o n s g i v e q u a l i t a t i v e l y d i f f e r e n t r e s u l t si n w h a t c o n c e r n s t h e s t r a i n a n d t h e a c t i v e d e f o r -m a t i o n m o d e s i n e a c h g r a in . W i t h i n t h e F C s c h em e ,t h e r e q u i r e m e n t o f e q u a l d e f o r m a t i o n i n e v e r y g r a i nf o r c e s h i g h s t r es s d i s c o n t i n u i t ie s b e t w e e n g r a i n s ( t h es t a n d a r d d e v i a t io n o f th e s t re s s c o m p o n e n t s w i t hr e s p e c t t o t h e a v e r a g e i s t y p i c a l ly o f 3 0 % ) , a n a v e r a g en u m b e r o f a b o u t f i v e a c t i v e s y s t e m s p e r g r a i n a n d an o n n e g l i g i b le a c ti v i t y o f t h e d e f o r m a t i o n m o d e s w i t hh i g h C R S S . W i t h i n t h e V P S C s c h e m e , o n t h e o t h e rs id e , e a c h g r a i n d e f o r m s d i f fe r e n tl y , d e p e n d i n g o n i t so r i e n t a t i o n a n d i ts a n i s o t r o p y r e la t i v e t o t h a t o f t h em a t r i x . A s a c o n s e q u e n c e , t h e s t r e s s d i s t r i b u t i o nb e c o m e s m o r e u n i f o r m ( t h e s t a n d a r d d e v i a ti o n i sn o w o f a b o u t 1 5 % f o r t h e st re s s c o m p o n e n t s , a n d o f2 5 % f o r t h e s tr a in r a t e c o m p o n e n t s ) , d e f o r m a t i o n i sa c c o m m o d a t e d w i t h f e w e r a c t i v e s y s t e m s , a n d t h e" s o f t " d e f o r m a t i o n m o d e s a r e f a v o u r e d w i t h r es p e ctt o t h e ' h a r d ' o n e s . T h i s s i t u a t i o n i s e v i d e n t i nF i g . 2 ( a ) a n d ( b ) , w h e r e t h e r e l a t i v e c o n t r i b u t i o n o fe a c h d e f o r m a t i o n m o d e a n d t h e a v e r a g e n u m b e r o fa c t i v e s y s t e m s p e r g r a i n a r e p l o t t e d a g a i n s t a c c u m u -

( a )1.0 10

o 0.5

1.0

o prttwA ctw

~ x x x x x x x x

I0.5

T r u e s t r a i n(b)

01.0

r~

o>e~

( a )1.0

0.5

o pr ttw& ctw

~ X ~ ~ ~ X I X I X I X [ X [ X I X i

I0.5T r u e s t r a i n

0.0

10

o~

5

~ 0 .5 - 5 > r 5 % .T h e i n i t i a l t r e n d s h o w s a s i n g u l a r b e h a v i o u r f o rsamp les cu t a lon g the t r ansver se d i r ec t ion (~t = 90 ) ,i n d i c a t i n g t h a t t h e r e i s n e g l i g i b l e ( a l t h o u g h n o t e x -a c t l y z e r o ) d e f o r m a t i o n i n t h e t h r o u g h t h i c k n e s sd i r e c t io n . T h e c o n s e q u e n c e o f th i s b e h a v i o u r o n t h en - p l a n e p r o j e c t i o n o f t h e P C Y S is t h a t t h e n o r m a lt o t h e P C Y S a t i t s i n t e r s e c t i o n w i t h t h e T D i sp e r p e n d i c u l a r t o ( o r h a s n o c o m p o n e n t a l o n g ) t h eN D . E x p e r i m e n t a l l y , t h i s i n i t i a l t r e n d i s r a p i d l yo v e r c o m e a n d f in i te s t a b l e v al u e s a re o b t a i n e d f o rE l > 5 % ( se e F i g . 8 ) , p r o b a b l y b e c a u s e o f th e r a p i dh a r d e n i n g i n t h e i n i t i a l l y a c t i v e f a v o u r a b l y o r i e n t e dgr a ins .

T h e o t h e r t h r e e c u r v e s d e p i c t e d i n F i g . 8 a r eo b t a i n e d u s i n g s i m u l a t i o n s c o d e s . B e si d e s t h e F C a n dV P S C r e s u l t s , w e i n c l u d e t h e o n e o b t a i n e d w i t h t h e" i s o t r o p i c H E M " s e l f- c o n s is t e n t sc h e m e [ 2 5 ] . I t c a nb e s e e n t h a t a b e t t e r a d j u s t m e n t o f t h e i n it ia l t r e n d i sg i v en b y t h e V P S C c u r v e, w h i le t h e " i s o t r o p i c H E P "p r e d i c t s a d i v e r g e n c e a t a b o u t ct = 5 0 a n d a n e x p a n -s i o n o f t h e s a m p l e i n th e t h r o u g h t h i c k n e s s d i r e c ti o nw h en ~ > 50 , w h ich r esu l t s in ne ga t ive va lues o f R .O n t h e o t h e r s i d e, t h e L a n k f o r d c o e f f i c ie n t a s s o c i a t e dw i t h t h e F C c a l c u l a t i o n e x h i b i t s a c o m p l e t e l y d i f fe r -e n t b e h a v i o r , s t a y i n g w e ll b e l o w t h e m e a s u r e d v a l u e sf o r m o s t o f th e c t i n t e rv a l . T h e s i n g u l a r b e h a v i o r o ft h e V P S C c u r v e i s t o b e a t t r i b u t e d t o t h e h i g hp r i s m a t i c a c t i v i t y w h i c h , c o m b i n e d w i t h t h e p r e d o m -inant g r a in or ien ta t ion , l eads to a negl ig ib le" t h r o u g h - t h i c k n e s s " s t r a i n a n d r e s e m b l e s t h e i n i ti a le x p e r i m e n t a l t r e n d . O n t h e o t h e r h a n d , w i t h i n t h e F Cc a l c u l a t i o n , d e f o r m a t i o n i s r a t h e r i n s e n s i t i v e t o t h ee x i s te n c e o f a h a r d d i r e c t i o n i n t h e s a m p l e , t w i n n i n ga c t i v i ty i s n o t r e s t r i c te d d e s p i t e i t s h i g h e r C R S S , a n d

+ Z r l y - 4 i n i t i a l t r e n dD Z r l y - 4 s t a b l e v a l u e s, x F C p r e d i c t e d I s o t r o p i c H E M p r e d i c t e d

1 0 - - o S C p r e d i c t e d

8

6R

4

2

0 3 0 6 0 9 0Gt

F i g . 8 . L a n k f o r d c o e f f ic i e n t v s t h e a n g l e b e t w e e n t e n s i l e a x i sa n d r o l l i n g d i r e c t i o n . E x p e r i m e n t a l d a t a [ 2 5] a n d p r e d i c t i o n sof the FC, the isotropic HEM, and the VPSC formulations.

d e f o r m a t i o n i s a c c o m m o d a t e d b y a b o u t t h e s a m ea m o u n t i n t h e t r a n s v e r s e a n d t h e t h r o u g h t h i c k n e s sd i r e c t io n s o f t h e t e n s il e s a m p l e . A s a c o n s e q u e n c e , t h eL a n k f o r d c o e ff i ci e n t a d o p t s v a l u e s c l o se t o u n i t y . N oa t t e m p t s a r e m a d e h e r e a t c a l c u l a t in g t h e e v o l u t i o n o ft h e L a n k f o r d c o e f fi c ie n t a s a f u n c t i o n o f t h e t e n s il es t r a i n . S u c h c a l c u l a t i o n w o u l d r e q u i r e t o a c c u r a t e l ya c c o u n t f o r t h e e v o l u t i o n o f g r a i n o r i e n t a t i o n s , h a r d -en ing and g r a in in te r ac t io n s t res ses . F or th i s r eason ,o n l y t h e c o m p a r i s o n o f o u r p r e d i ct i o n s w i th t h emeasur ed in i t i a l t r end i s emphas ized he r e .

5 . C O N C L U S I O N SW e pr esen t in th i s w or k a v i sco- p las t ic s e l f - cons i s t -

e n t a p p r o a c h f o r m o d e l i n g t h e p la s ti c d e f o r m a t i o n o fp o l y c r y s t a l s . B y a p p l y i n g t h e i n c l u s i o n f o r m a l i s m a n dd e r i v i n g a g e n e r a l e x p r e s s i o n f o r t h e E s h e l b y t e n s o r ,w e a r e a b l e t o e x p l i c i t l y a c c o u n t f o r t h e p l a s t i ca n i s o t r o p y o f g r a in a n d m a t r ix a n d f o r g r a in s h a p ee ff ec ts . W e g i v e a t h o r o u g h d e s c r i p t i o n o f th e f o r m u -l a t i o n , t h e a s s u m p t i o n s i n v o l v e d a n d i t s l i m i t a t i o n s .I n p a r ti c u l a r , w e d e m o n s t r a t e t h a t t h e t a n g e n t a p -p r o a c h u s e d b y u s a n d b y o t h e r a u t h o r s [ 1 6 , 1 7] d o e snot ho ld in the r a te insens i t ive l imi t , and i s l e s sa c c u r a t e w h e n t h e h e t e r o g e n e i t y b e t w e e n g r a i n a n dma t r ix pr op er t ie s i s l a r ge . St il l, by com par i so n w i tht h e c l a s s i c a l F u l l C o n s t r a i n t o r R e l a x e d C o n s t r a i n ta p p r o a c h e s , w e b el ie v e t h a t t h i s f o r m u l a t i o n p r o v i d e sa b e t t e r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p l as t ic b e h a v i o u r o fpolyc r ys ta l s .

W e a p p l y t h e f o r m u l a t i o n t o t h e p r e d i c t i o n o ft e x t u r e d e v e l o p m e n t a n d t h e p l a s t i c r e s p o n s e o fZ i r c o n i u m a l l o y s , a n d c o m p a r e t h e s e r e s u l t s w i t h t h eo n e s d e r iv e d u s i n g a F u l l C o n s t r a i n t s a p p r o a c h . S i n c ei n b o t h c a s e s t w i n n i n g i s p r o p e r l y a c c o u n t e d f o r b ym e a n s o f th e V o l u m e F r a c t i o n T r a n s f e r s c h e m e [3 ],t h e d e p a r t u r e i n t h e p r e d i c ti o n s o f e a c h m o d e l a r e t ob e a t t r i b u t e d t o t h e d i f f e re n c e in t h e t r e a t m e n t o f t h ei n t e r g r a n u l a r i n t e r a c t i o n s . W e b e l i e v e t h a t s u c h a s -p e c t o f t h e p r o b l e m i s c ru c i a l f o r t h e c a s e o f p l a s ti -c a l l y a n i s o t r o p i c m a t e r i a l s , a n d t h e r e s u l t s t h a t w ed e r i v e t e n d t o c o n f i r m t h i s a s s e r t i o n . N o t o n l y m o r ea c c u r a t e t e x t u r e s a r e p r e d i c t e d t h r o u g h t h e V P S Ca p p r o a c h , b u t t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h d e f o r -m a t i o n t a k e s p l a c e a r e c o m p l e t e l y d if fe r e n t: w h i l e t h eV P S C s c h e m e a c c o m m o d a t e s d e f o r m a t i o n m o s t l y b ym e a n s o f t h e s o f t s y st e m s , th e F C s c h e m e r e q u i re s as u b s t a n t i a l " h a r d " t w i n n i n g a c t i v it y . A r e l a t e d a s p e c ti s the f ac t tha t , w i th in the V PSC scheme, l e s s thanf o u r a c t i v e s y s t e m s p e r g r a i n a r e r e q u i r e d , w h i c hp e r m i t s t o t r e a t g r a i n s t h a t c a n n o t a c c o m m o d a t ec e r t a i n d e f o r m a t i o n c o m p o n e n t s , b y l e t t i n g t h e s u r -r o u n d i n g m a t r i x d o s o . A l l t h e s e f a c t s a r e i n b e t t e ra g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e . A l t h o u g h t h eo n l y m a t e r i a l s a n a l y z e d i n t h i s w o r k a r e Z i r c o n i u ma l l o y s, t h e c o n c l u s i o n s t h a t w e d e r iv e a r e o f a g e n e r a lc h a r a c t e r a n d c a l c u l a t i o n s f o r o t h e r n o n - c u b i cmate r ia l s a r e in pr ogr es s [ 21] .

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L E B E N S O H N a nd T OM I~ : P L A S T I C I T Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C R Y S T A L S 2 62 3A c k n o w l e d g e m e n t s - - T h e a u t h o r s w i s h t o a c k n o w l e d g e d i s -c u s s i o n s w i t h G i ll e s C a n o v a a n d F r e d K o c k s w h i c h , w i t h o u td o u b t , h a v e c o n t r i b u t e d t o im p r o v e t h i s m a n u s c r i p t a n d o u rknowledge o f the sub jec t .

R E F E R E N C E S1 . C . N . Tom6 and U. F . Kocks , Aeta metal l . 33, 603

(1985).2 . R . A . L e b e n s o h n a n d C . N . T o m 6 , T e x t u r e s M i c r o -s truct . 14--18, 959 (1991).3 . C . N . T o m 6 , R . A . L e b e n s o h n a n d U . F . K o c k s , A c t ametal l , mater . 39, 2667 (1991).4 . R . A . L e b e n s o h n a n d C . N . T o m ~ , P h i l. M a g . A 6 187(1993).5 . A . D . Ro l le t t , in M o d e l i n g t h e D e f o r m a t i o n o f C r y s -ta l l i ne Sol ids (ed i ted by T . C . Lowe , A . D . Ro l le t t ,P . S . Fo l lansbee and G. S . Daehn) p . 361 . TMS,Warrenda le , Pa (1991) .6 . G . I . Tay lo r , J . I ns t . Metal s 62 , 307 (1938)7 . J . F . W . Bish op and R . Hi l l , P h i l . M a g . 42 , 414(1951).8 . H . H o n n e f f a n d H . M e c k i n g , Proc. S i x th In t . Conf .o n T e x t u r e o f M a t e r i a ls ( 1 C O T O M - 6 ) , (ed i ted by S .Nagash ima) , p . 347 (1981) .9 . E . Kr6ner , A c t a m e t a l l. 9, 155 (1961).1 0 . B . B u d i a n s k y a n d T . T . W u , Proc. 4 th Congr . Appl .M e c h . , p. 1175 (1962).11. R. Hill, J . Mech. Phys . Sol ids 13, 89 (1965).12. J . W. H utch inson , Proc. R . Soc . Lond. A319, 247(1970).1 3 . S . N e m a t - N a s s e r a n d M . O b a t a , Proc. R . Soc . A407,343 (1986).14. S. V. Harren, J . M e c h . P h y s . S o l i d s 39, 345 (1991).15. S. V. Harren, J . M e c h . P h y s . S o l i d s 39, 361 (1991).16 . J . W. Hutch inson , P r o c . R . S o c . A 3 4 8 , 101 (1976).1 7. A . M o l i n a r i , G . R . C a n o v a a n d S . A h z i , A c t a m e t a l l. 35,2983 (1987).

1 8 . C . N . T o m 6 , G . R . C a n o v a , S . A h z i a n d A . M o l i n a r i ,P r o c . 8 th . I n t . C o n f. o n T e x t u r e o f M a t e r i a l s ( I C O T O M -8) (ed i ted by J . S . Ka l lend and G. Got t s te in ) , p . 395 .TMS, Warrenda le , Pa (1988) .1 9 . C . N . T o m 6 , H - R . W e n k , G . R . C a n o v a a n d U . F .K o c k s , J. Geophys . R es . 96, B7, 11865 (1991).2 0 . H - R . W e n k , G . R . C a n o v a , A . M o l i n a r i a n d U . F .K o e k s , J. Geophys . Res . 94, B12, 11865 (1989).2 1 . R . A . L e b e n s o h n a n d C . N . T o m 6 . T o b e p u b li s h e d .22 . P . Lequeu , P . G i lo rm in i , F . Monthe i l l e t , B . Bacro ix andJ. J . Jonas, A c t a m e t a l l . 35, 439 (1987).2 3 . G . R . C a n o v a , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n .24 . S . T iem, M. Berve i l l e r and G . R . Can ova , Aeta metal l .24, 2139 (1986).25 . C . N . Tom& A. Poch e t t ino and R . Pene l le , P r o c . E i g h t hI n t . C o n f . o n T e x t u r e o f M a t e r i a l s ( I C O T O M - g ) ( e d i t e dby J . S . Ka l lend and G. Got t s te in ) , p . 985 . TMS,Warrenda le , Pa (1988) .2 6 . S . R . M a c E w e n , N . C h r i s t o d o u l o u , C . N . T o m 6 ,J . J a c k m a n , T . M . H o l d e n , J . F a b e r J r a n d R . L .H i t t e r m a n , P r o c . E i g h t h I n t . C o n f . o n T e x t u r e o fM a t e r i a l s ( I C O T O M - 8 ) (ed i ted by J . S . Ka l lend an dG. Got t s te in ) , p . 825 . War renda le , Pa (1988) .2 7 . A . S a l i n a s - R o d r ig u e z , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n .28 . A . Sa l inas -Rodr iguez and J . J . Jonas , Metal l . Trans . A23A, 271 (1992).29 . P . Derv in , Ph .D. thes i s , Univers i t6 de Par i s -Su d (1978).3 0 . A . P o c h e t t i n o , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n .3 1 . A . S a l i n a s - R o d r i g u e z a n d J . H . R o o t , T e x t u r es M i c r o -s truct . 14--18, 1239 (1991).32 . R .G . Ba l l inger , T h e A n i s o tr o p i c B e h a v i o u r o f Z i r c a l o y - 2 .Gar land (1979) .3 3 . A . A k h t a r , Metal l . Trans . A 6A, 1217 (1975).34 . T . Mu ra , M i c r o m e c h a n i c s o f D e f e c t s i n S o l i d s .Mart inus -Ni jhof f , The Hague (1987) .

A P P E N D I X( a ) T h e E l a s t i c I n c l u s i o n P r o b l e m

T h e a s s u m p t i o n t h a t t h e g r a i n s c a n b e t r e a t e d a s i n c l u s io n se m b e d d e d i n a v i s c o -p l a s ti c m e d i u m i s a k e y e l e m e n t o f o u rt r e a t m e n t , b e c a u s e i t l e a d s t o t h e g r a i n - m a t r i x i n t e r a c t i o ndesc r ibed by equa t ion (18) . S ince the v i sco-p las t i e p rob lemis fo rmal ly ana logous to the e las t i c inc lus ion p rob lem, inwha t fo l lows we wi l l r ev iew the main resu l t s o f the e las t i cf o r m u l a t i o n .The s t ress in an e las t ic me dium of s t i f fness C~jk~, nducedby a d i s t r ibu t io n o f e igens t ra ins e * (x ) i s de f ined by Hoo ke ' sl a w a n d t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s

aij - C,j~l(uk, -- ekl) ( A I )o,j.j = 0 (A 2)

where a , j is the Cau chy s t ress t ensor a nd uk.z i s the e las t i cd i s t o r t i o n t e n s o r re f er red to t he unt rans formed medium. F o rthe case in which e* i s un i fo rm wi th in an e l l ipso ida l r eg ionand nu l l ou t s ide , Ukj t u r n s o u t t o b e u n i f o r m w i t h i n t h ed o m a i n o f t h e i n c lu s i o n , a n d l i n e a r ly r e la t e d t o e ~ t h r o u g h[16, 341U i . = A i k j i C k l m n f . * m n , (A3)H e r e Cklm. i s the e las t i c s t i f fness t ensor expressed in thepr inc ipa l ax i s o f the e l l ipso id and

Aikjl= 4~ sin 0 dO 2,~j/dq~ (A4 )oi s a four th o rder t ensor , w i th

)'i~jl= K0 ' (~)~k~/ (A5)K , p ( ~ ) = C o p ~ , ~ ( A 6 )a n d

s in 0 cos . s in 0 s in ~ . cos 0~ 2 (A7)al a 2 a3

The ang les 0 < q~ < 2n and 0 < 0 < n a re spher ica l coord i -na tes tha t de f ine the d i rec t ion o f the vec to r ~ wi th respec tto the p r in c ipa l axes o f the e l l ipso id , o f l en g th 2a l , 2a2 , 2a 3 .T h e u n i f o r m e l a s t i c s t r a i n a n d t h e e l a s t i c r o t a t i o n i n t h ei n c l u s i o n a r e g i v e n b y t h e s y m m e t r i c a n d a n t i - s y m m e t r i cc o m p o n e n t s o f t h e d i s t o r t i o n t e n s o r d e f i n e d b y ( A 3 )~ i j = ] 2 M i , - { - U j , ) = ] 2 d i k f l ~ - A j k d ) C k l m n ~ m n = S t j m n ~ n A 8 )

ogij = ~ (u ,j -- uj.i) = 2(Aikjt - Aj~it)(-kt,,~ ~ --/7,jm~e m~. (A 9)Here S i s the c lass ica l Eshe lby tensor , and I I i s the Eshe lbyr o t a t i o n t e n s o r . T h e y c a n b e c a l c u l a t e d s t r a i g h t f o r w a r d l yf rom the express ions (A4) to (A9) g iv ing the t ensor A . I t i se v i d e n t t h a t b o t h S a n d 1 I , a r e h o m o g e n e o u s f u n c t i o n s o fd e g r e e z e ro o f t h e e l a s ti c c o n s t a n t s a n d o n l y d e p e n d u p o nthe aspec t r a t ios o f the e l l ipso id .

( b ) T h e V i s c o - p l a s t i c I n c l u s io n P r o b l e mThe fo rm of equa t ion (16) in Sec t ion 3 :

(~:k - - ~k ) = M~t~g)f f l (k , l = 1 , 5) (A 10 )i n d i c a te s t h a t t h e t a n g e n t f o r m u l a t i o n l e ad s t o a n e q u a t i o nr e s e m b l i n g t h e e l a s ti c e q u a t i o n ( A I ) , w h e r e t h e d e v i a t i o n i nv i sco-p las t i c s t r a in ra te r ep laces the e las ti c s t r a in , the inverseof the v i sco-p las t i c compl iance M (tg) plays the ro le o f thee las t i c cons tan t s , and the dev ia t ion in dev ia to r ic s t r essrep laces the Cauchy s t ress . Whi le the macroscop ic t angen tmo dul i r e la te p las t i c s t r a in ra te w i th the f ive dev ia to r ic s t r essc o m p o n e n t s , t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n t h a t t h e s t r e s s d e v i -at ion tensor fulf i l ls

#,Jd = (a - E) ,j . /= a,j.j = 0 (A11)a p p l i e s t o t h e 6 i n d e p e n d e n t C a u c h y s t r e s s c o m p o n e n t so f t h e v i s c o - p l a s t i c p r o b l e m . F o r o b t a i n i n g a c o m p l e t e

AMM 41/9---H

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2 62 4 L E B E N S O H N a n d T O MI~ : P L A S T I C IT Y A N D T E X T U R E D E V E L O P M E N T O F P O L Y C R Y ST A L Sequiva lence wi th the e las t i c case , i t i s necessa ry to accoun tf o r t h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e i n t h e v i s c o - p l as t ic f o r m u l a t i o n .S u c h e x t e n s i o n i s a c h i e v e d b y a d d i n g a s i x t h i n d e p e n d e n tc o m p o n e n t t o t h e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n o f e q u a t i o n s ( 1 ) a n d(2) , de f ined by

f i l l 4 - ( 7 2 2 [ - 0 3 3 and ~6 - - 1 1 ~ - E 2 2 q - ~ 3 3 (A12)

T h e n e w c o m p o n e n t s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e p r e s s u r e a n dthe d i l a ta t ion ra te , and fu l f i l l the cond i t ion tha t the energyr a t e i s g i v e n b y t h e s c a l a r p r o d u c t o f t h e e x t e n d e d 6 - dv e c t o r s . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e v e c t o r c o m p o n e n t s[equa t ions (1 , 2 ) and (A I2) ] , i t is s t r a igh t fo rwa rd to de r ivet h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s e a n d / ~ t h a t p e r m i t t o t r a n s f o r mv e c t o r i n t o t e n s o r c o m p o n e n t s a n d v i c e v e r s a , s u c h t h a tU i j = O ~ i jk ) kD k ~ ~ k n m 1) nm

a n dC t q k ~ t ,m = 1 S ia m ( i , j , n, m = 1, 3; k = 1, 6). (A1 3)

H e r e v0 is a sym met r ic t en sor an d Vk i s the asso c ia ted v ec to rr e p r e s e n t a t i o n . T h e 6 t h i n d e x i s r e d u n d a n t w h e n t r a n s f o r m -i n g d e v i a t o r ic t e n s o r s b e c a u s e t h e 6 t h v e c t o r c o m p o n e n t i siden t ica l ly ze ro .T h e d e f i n i ti o n o f t h e 5 x 5 t a n g e n t c o m p l i a n c e m a t r i xM ( tg ) a l s o h a s t o b e e x t e n d e d i f i t h a s t o o p e r a t e o n 6 - dv e c t o rs . S u c h e x t e n s i o n i s a c h i e v e d h e r e b y a d d i n g t o i t a 6 t hr o w a n d c o l u m n e q u a l t o z e r o , e x c e p t f o r t h e d i a g o n a lc l e m e n t M ~ ) , w h i c h i s a rb i t r a r i l y se t to a m u c h l o w e r v a l u etha n the o the r d iagon a l c om pon en ts (0 < M ~ )