18 plano tangente y recta normal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Rosa Ñique Alvarez 1

PLANO TANGENTEY

RECTA NORMAL

SUPERFICIE

S: F( x, y, z)=0 ó S: z = f( x, y)

CAPÍTULO IICÁLCULO VECTORIAL

HIPERSUPERFICIE

Superficie de Nivel w = cF( x, y, z) = c

Superficie de Nivel para w = 0

S: F( x, y, z) = 0

),,( zyxFw =



Superficie de Nivel S: F(x, y, z)=0

F(x, y, z)=0

Ecuación del Plano Tangente a S en P(x0,y0,z0)


( ) ( ) 000 =∇⋅− PFPP

( )),,(),,,(),,,(),,( 000000000000 zyxFzyxFzyxFzyxF zyx=∇

TEOREMA 1: Ecuación del Plano Tangente a S: F(x, y, z) = 0 (modelo implícito) en el puntoP(x0,y0,z0) .


0)(),,(

)(),,()(),,(

0000

00000000

=−

+−+−

zzzyxF

yyzyxFxxzyxF

z

yx


Vector gradiente a una superficie S: z = f (x, y)(modelo explicito)en P(x0, y0, z0) viene dadopor:

0),(),,( =−= zyxfzyxF

( )( )1),,(,,),,( 0000000 −=∇ yxfyxfzyxF yx

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El plano tangente a una superficieS: z = f (x, y) (modelo explicito)enP(x0, y0, z0) viene dado por:

0)()(),()(),( 0000000 =−−−+− zzyyyxfxxyxf yx


EJEMPLO 1

)3,2,1(puntoelen;394

222 =++

zyx


0)3(3/2)2(1)1(2 =−+−+− zyx

Ecuación del plano tangente:

EJEMPLO 2

)2,2,2(puntoelen;10

4 22−

+=

yxz

0)2()2(58)2(

52

=−−+−− zyx


Ecuación del plano tangente:


Recta Normal a S: F(x, y, z)=0

F(x, y, z)=0

Recta Normal

TEOREMA 2: Ecuación de la Recta Normal a S: F(x, y, z) = 0.


+=

+=

+=

),,(

),,(),,(

0000

0000

0000

zyxFtzz

zyxFtyyzyxFtxx

z

y

x

Ecuaciones Simétricas de la recta normal a S en P

),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0zyxF

zzzyxF

yyzyxF

xx

zyx

−=

−=

−







S: z = f (x, y) en (x0, y0, z0)


−=

+=

+=

tzz

yxftyyyxftxx

y

x

0

000

000

),(),(

1),(),(0

00

0

00

0−−

=−

=− zz

yxfyy

yxfxx

yx

EJEMPLO 3

;1: 32 =−+ zzyxxS


Considere la superficie

Determine la ecuación de la recta normal a Sen el punto (1,1,1)

Solución

)1,1,1(puntoelen;132 =−+ zzyxx


( )23;;2),,( zxyxzyzxzyxF −+=∇

( )2;1;3)1,1,1( −=∇ F

Solución

)1,1,1(puntoelen;132 =−+ zzyxx


tztytx 21;1;31 −=+=+=

21

11

31

−−=−=− zyx

DEFINICION 2: La recta tangente a una curva C en P


Todas las rectas tangentes a C en P estan contenidas en el Plano Tangente


Plano

Tangente a S

P

S






INTERSECCION DE SUPERFICIES


Recta Tangente a una curva en el Espacio

S1: G(x, y, z) = 0 y S2: H(x, y, z) = 0

21: SSC ∩


),,(y),,( 21 zyxHNzyxGN ∇=∇=

N1 x N2 sirven como los números directores de la recta tangente a C

EJEMPLO 4

21: SSC ∩


4923: 2221 =++ zyxS

102: 2222 =−+ zyxS

Recta tangente a C en el punto (3,-3,2)

Solución


4923: 2221 =++ zyxS

102: 2222 =−+ zyxS

)3,14,10(12)4,3,3(2)2,3,3(

)2,6,9(2)2,3,3(

21

2

1

−=−−=−∇=

−=−∇=

NNGNFN

x

Solución


32

143

103

−−

=+

=− zyx

Recta tangente a C en el punto (3,-3,2)







EJEMPLO 5: Las superficies


plano;5),,(:dehiperboloi;1),,(:

2

2221

=++=

=−+=

zyxzyxGSzyxzyxFS

)2,6,8()2,2,1()2,2,1(N)1,1,1()2,2,1(

)4,4,2()2,2,1(

21

2

1

−−=∇×∇==∇=

−=∇=

GFNGNFN

x

tztytx 22;62;81 −=−=+=

22

62

81

−−

=−−

=− zyx

Las superficies


plano;5),,(:dehiperboloi;1),,(:

2

2221

=++=

=−+=

zyxzyxGSzyxzyxFS

)2,6,8()2,2,1()2,2,1(N21 −−=∇×∇= GFN x

tztytx 22;62;81 −=−=+=

22

62

81

−−=

−−=− zyx





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