17 情報工学講義第3 木5限 for 学生0524 - keio university2017/04/17 ·...

ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ191

9回目

パケットスケジューリング（その１）


目的

FIFO (First in First Out)のモデルを学ぶ ns3 の標準的なリンクはこれ。 DropTail

FIFOによる待ち行列の性質を学ぶ M/M/1 M/D/1


到着とサービス

（待ち室容量：S）到着

（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）

窓口でサービス（分布：H）

サービス完了で退去…


ポアソン到着 (Poisson Arrival)

スーパーのレジに到着する客に性質客どうしは、互いに相談なしにレジに到着

する。到着の独立性

どの時刻でも到着の様子は同じ。到着の定常性

時刻 t の関数にならない。

十分短い時間に、２人以上の客が同時に到着することはない。到着の希少性

状態の変化のバリエーションが少ない。

ポアソン到着


到着客数の確率的な性質

任意の時間区間 t0< t < t1における到着客数をNt0,t1として、 Nt0,t1の値がk人となる確率

を具体的に決定する。

定常性より、時間間隔t1-t0が同じなら、開始時刻t0には依存しない。

t=t1-t0と置いて、

,2,1,0,, 10, 10 kttkNP tt

,2,1,0,, ktkNP t


平均到着客数

一分間あたりにレジに到着する客数の平均値をλ(人/分)とする。任意の短い時間区間でもこの平均値で客は到着する

と考える。

短い時間Δtの間に到着する平均到着客数は λΔt


微小区間Δｔにおける到着確率その１

十分に長い時間区間Lをm等分して、一区間をΔtとする。いつでも平均してλL人が到着している。

Lが十分大きければ、λLは整数と考えられる。希少性より同時に２人以上到着しないので、客が１人ずつ相異な

るλL個の小区間に到着する。 m個の場所にλL人が到着する場合の数は

1 2 3

1 2 3 4 λL-1 λL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

L

m


微小区間Δｔにおける到着確率その２

ある小区間に着目。その小区間に客が１人到着して、残りのm-1個の区間にλL-1人が到着する場合の数は

注目した小区間に客が１人到着する確率は

1 2 3

1 2 3 4 λL-1 λL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

11

Lm

tmL

Lm

Lm

1

1

注意：λΔt


長さｔの時間区間での到着客数の確率

微小時間Δtの区間に１人の客が到着する確率：λΔt 長さtの区間をn等分(十分に大きなｎを考える)して、小

区間の長さをΔtとする。 n個の小区間のうち、相異なるk個の区間に客が１人ずつ到着し、

残りn-k個の区間には客が到着しない確率

,2,1,0,, ktkNP t

nkttkn knk ,,1,01

～二項分布

A B C

tt/ｎ＝△ｔ

D E


長さｔの時間区間での到着客数の確率

aay

y

x

x

x

x

ey

xa

xe

11lim

1lim

11lim

～平均λのポアソン到着で、時間tの間にk人到着する確率

tk

k

n

n

k

k

n

kn

k

knk

n

knk

nt

knk

nt

ekt

ntn

tnnn

knnnkt

ntn

tnkn

nkt

nt

nt

kknn

nt

nt

kn

kNP

nttnktt

kn

kNP

!

1

1111!

1

111!

!!

1!!

!1

,,,2,1,01

lim

lim

limlim

lim


マルコフ過程(Markov Processes)を用いた導出方法

状態kから状態k+1へ微小時間Δtで遷移する確率がpk,k+1Δt Δtは省略して記述される状態kからkへの遷移は省略される

【参考】

k-1 k k+1

pk-1, k pk, k+1

pk-1, k+1

pk+1, k-1


ポアソン過程の状態遷移図

時刻0から時刻tまでの全到着客数をNtとする。平均到着客数λのポアソン到着

微小時間Δtに客が１人到着する確率はλΔt

Δt時間内に客が１人も到着しない確率= 1-λΔt - o(Δt)

0 21 k-1 k k+1

λ λ λ λ λ λ λ

客が２人以上同時到着する場合も考慮した項

【参考】


微分方程式の導出

時刻0からt+Δtの間に客が１人も到着しない確率P(Nt+Δt=0) Nt=0であり、かつΔt時間内の到着客数が0

0000lim

000100

0

ttttt

t

tttt

ttt

NPdtNdP

tNPNP

NPtto

tNPNP

totNPNP

【参考】


微分方程式を解く

初期条件、時刻t=0で客数0、P(N0=0)=1

t

tt

t

t

t

tt

e

CNPtCeNP

CtNP

dtNPNdP

NPdtNdP

1100,0

0log00

00

0 よりで

tk

t ektkNP !

のk=0に相当

【参考】


ｋ＝０からｋ＝１への遷移

Nt=0で、Δtの時間内に１人到着

Nt=1で、Δtの時間内に１人も到着しない

0 1

λ

totNP t 0

totNP t 11

ttt

ttttt

tttt

eNPdtNdP

NPttoNP

tto

tNPNP

totNPtotNPNP

11

01111101

【参考】


微分方程式を解く

初期条件、時刻t=0で客数0、P(N0=0)=1従って、P(N0=1)=0

tt

tt

ttttt

tt

t

t

tt

t

teNP

NPteCtNP

CtCdtdC

eCeCeedtdC

dtNdP

CeNPdtNPNdP

eNPdtNdP

1

010,1

1

111

11

01

1

で

tk

t ektkNP !

のk=1に相当

定数変化法で解ける。

=0と置いて、変数分離形にする

【参考】


一般解

tektkNPe

ktkNP

kNPteCktkNP

CktC

kt

dtdC

ektCeCee

dtdC

dtdy

Ceyydtdy

ektkNPkNPkNP

dtkNdP

tk

tt

k

t

tk

t

kk

tk

ttt

t

tk

tttt

0,!!1

1

010,!1

1

!1!

!

!,11

1

01

1

1

1

で

【参考】


ポアソン到着の到着間隔

到着客数の確率

続いて到着する２人の客の到着間隔を I とする。到着間隔 I がｔを超える確率P(I > t)を考える。

客Aの到着後、時間tの間到着客数が0

Iの確率密度関数をpI(t)とする。

tektkNP t

k

t 0,!

t

客A

tt eNPtIP 0

tI etIPdtd

dttIdPtp 1 指数分布


確率分布

確率変数Xが整数値のような、離散的な値をとる離散的確率変数

Xが値nをとる確率、P(X=n) をXの確率関数という確率をXの分布関数という (xは実数)

Xが実数値をとるとき連続的確率変数

Xがx以下になる確率をXの分布関数という F(x)の導関数をXの確率密度関数という

xn

nXPxF

xXPxF

dx

xdFxf

全区間で積分すると1

【参考】


確率変数の例その４

指数分布(Exponential distribution) μを正の実数とする。連続的確率変数Xの分布関数が、

であるとき、確率変数Xは指数分布に従うという。 Xの確率密度関数は

確率変数Xは、指数分布に従うという。指数分布は、客に対するサービス時間を表わす。

平均値は1/μになる

00

01

xxe

xFx

00

0

xxe

xfx

【参考】


指数分布の確率密度関数の例

λ=0.5, 1.0, 2.0 平均到着数が大きいほど、到着間隔は小さい方に集中する。

0 1 2 3 40.0

0.5

1.0

1.5

2.0

ｔ

p Ⅰ（ｔ

）

λ=2.0

λ=1.0

λ=0.5

【参考】

確率密度関数の値は1より大きくても良い




（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）



ポアソン到着k人到着する確率到着間隔は指数分布

tk

t ektkNP !

tI etp

ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

代表的な待ち室での待ち方（その1）

FIFO (First In First Out) ~ Queue 入った順に、待ち室を出てサービスを受ける。

前の客が出ていかないと、後の客はサービスされない。

213

…

ゲートが開くと出ていける

一列で待つ

一杯で入れない時は捨てられる

Drop Tail



LIFO (Last In First Out) ~ Stack 最後尾から、待ち室を出てサービスを受ける。

後ろの客が出ていかないと、前の客はサービスされない。

214

…

ロープが下げられると出ていける

一列で待つ


First In Last Out (FILO)とも呼ぶ

入れる動作をPUSH出す動作をPOP



FIRO (First In Random Out) 前の客を飛び越してサービスを受けることができる。

どの客を選ぶのかは、ポリシー次第

215

…迎えが来ると出ていける

一列で待つ





（分布：A）

呼損

待ち室で待つ

（N個）



FIFO (Queue) ：入った順に出て行く


サービス（指数サービスと一定サービス）

指数サービス

無記憶性サービスが終了する確率は、これまでのサービス時間とは無関係。

いつサービスが開始されていても次の時刻に終了する確率は等しい。

単位時間あたりにサービスされる平均客数をμ [人/単位時間]とする。

Δt 時間後にサービスが終了する確率

1 2 3

1 2 3 4 μL-1 μL

ｍ-1 ｍ

LL/ｍ＝△ｔ

tmL

Lm

Lm

1

1 時間Lで、μL人サービス終了


指数サービスのサービス時間確率

サービス時間 Y が時間ｔよりも長くなる確率 P(Y>t) を求める。時刻0から時刻 t までと、時刻 t から t+Δt で、サービスが終了して

いない確率は、 tot 1

10,

0

1

YPtYPdt

tYdPt

tYPtto

ttYPttYP

tottYPttYP

ty

t

edt

tYdPtp

etYP

2個以上終了


一定サービス(deterministic service)

どんな客に対してもサービス時間が同じ

サービス時間の分散は0

例

固定長パケットの処理時間


待ち行列解析 (M/M/1, M/D/1)

客のシステム内での平均滞在時間

処理遅延時間

平均システム内客数

平均利用バッファ量

システム内客数がn人である確率最大必要バッファ量

W

Q

,2,1,0npn


解析の約束事

単位時間あたりの平均到着客数～到着率：λ 単位時間あたりにサービスされる平均客数～

サービス率：μ 待ち室数Sが無限の時に、待ち行列長が無限大

にならない条件

λ < μ ρ=λ/μ < 1 ～トラヒック密度

待ち室数Sが有限の場合、ρ>1を許容


Littleの公式 (1961年)

一つの入り口から入り、一つの出口から出るサービスシステムを考える

出入り口が複数あっても、仮想的に一つと考える

出口以外からの流出は無い

定常状態では、平均到着率＝平均退去率＝λ

サービスシステム（システム内平均個数＝）

入口出口

平均到着率：λQ

WQ

システム待ち時間(平均経過時間)W

処理時間＋処理待ち時間W


M/M/1 (M/M/1/∞)

ポアソン到着、指数サービス、窓口数1、待ち席数無限大・・・ λ


状態nとn-1とn+1の考察

定常状態において

状態ｎからの流出量=状態ｎへの流入量

全ての確率の和は1

n-1 n n+1

λ λ

μ μ

,2,111 nppp nnn

10

nnp


pnの計算

境界p0 (p0のままか、p1から遷移)

より

001

100 1

ppp

ppp

02002

201

1 pppp

ppp

11 nnn ppp

0ppn

n


p0を計算

より

仮定より0≦ρ


システム内の平均客数の計算

1

11

32

32

1,1

32

432

32

0

00

Q

s

s

ns

nnpQp

n

n

n

n

nn

nn

リトルの公式 WQ

11

11 QWシステム内平均滞在時間

期待値（平均値）


M/M/1

228

1,1

1/

WQ

p nn


M/M/1 の適用場所

ネットワークシミュレータのモデル

トラヒック送信元 n0, n1, n2 UDP: 送信元毎に異なるパケットサイズ、平均ON時間、平均OFF

時間を与える

ON/OFF時間が指数分布となる

トラヒック受信先 n4

229

n0

n2

n3 n4

Sink01Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

EXP n11Mbps, 10ms

UDP

Packet size: 1000BBurst: 2secIdle: 1secRate: 200K, 200K, 200K

Sink1

Sink2

M/M/1 を適用可能 (入力本数が多ければ理論値と合う)

指数分布トラヒックジェネレータ


M/D/1

ポアソン到着、一定サービス時間

固定長パケット（セル）の処理で多用

サービス時間が一定であることに着目して、離散的な時間でのシステム内の変化を調べる

離散時間のマルコフ連鎖

M/M/1は、連続時間のマルコフ過程


M/D/1の状態確率

1

111

zz

ezezzp

,3,2,!1!11

.....230.....20

110

10

1

1

3

2

1

0

n

jnj

jnjep

pppp

epp

pp

n

j

jnjnjjn

n

Pollaczek-Khintchinの公式(Pollaczekが1930年に発表、Khintchinが1932年に整理)


M/D/1の平均キュー長と平均待ち時間

1

111

zz

ezezzp Pollaczek-Khintchinの公式

1211

1221

1211221

22

QW

pQ

11

1

W

Q

M/M/1 (μ=1)

※上記は処理時間=1を仮定している。λは処理時間を単位として与える。


M/D/1 の適用場所

ネットワークシミュレータのモデル

トラヒック送信元 n0, n1, n2 UDP: パケットサイズ固定、平均ON時間、平均OFF時間を与える

ON/OFF時間が指数分布となる

トラヒック受信先 n4

233

n0

n2

n3 n4

Sink01Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

1Mbps, 10ms

EXP n11Mbps, 10ms

UDP

Packet size: 64BBurst: 2secIdle: 1secRate: 200K, 200K, 200K

Sink1

Sink2

M/D/1 を適用可能 (入力本数が多ければ理論値と合う)

指数分布トラヒックジェネレータ


M/M/1/K 待ち行列

p0とp1の関係 pKとpK-1の関係

0 21 K-1 K

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

10 pp

KK pp 1

1,,2,111 Knppp nnn

10

K

nnp

【参考】


pnの計算

Knpp

ppp

KKnpp

ppKnpp

ppppp

pp

K

n

nK

K

n

KK

n

nn

nn

KKn

n

,,1,01

1,11

111

,1,,2,1,0

,1,,2,1

1

110

0

1

00

0

0

10

02

2201

01

とは限らない

【参考】


システム内の平均客数

1

1

10

1

1

2

112

132

12

0

01

0

1111

11

111

111

12

12

11

K

K

K

KK

n

nK

KK

KK

KK

KK

KKK

n

n

K

n

nK

K

nn

KnQ

Ks

KKs

KKs

KKns

nnpQ

K大で、ρ


平均システム内滞在時間

11

1

1

1

10

1

11

11111

1111

11

K

K

K

K

K

K

K

KK

n

nK

KQW

WQ

KnQ

【参考】


システムの棄却率

n=Kのときに到着した客は、待ち席に空きがないので退去させられる。

pKを棄却率という ρ>1の場合は、p0


M/M/S 待ち行列

待ち席数∞ 到着率λのポアソン到着サービス窓口数S 他の窓口と独立にサービス率μの指数

サービス

窓口全部塞がっていたら最後尾で待つ

サービスが終了したらただちに退去

サービス窓口1

待ち席数＝∞

ポアソン到着(到着率λ）

指数サービス(サービス率μ）

サービス窓口2

サービス窓口S

：：

：：

【参考】


待ち行列の特性

窓口数Sで、各窓口のサービス率μ システム全体でのサービス率 Sμ

トラヒック密度ρ=λ/Sμ 待ち席数∞なので、ρ


1≦n≦Sの場合のnからn-1への遷移

サービスを受けているのはn人 Δtの時間に1人がサービスを終了する確率はμΔt n人のうち誰かが終了する確率はnμΔt

厳密には。。。。

totntn

tn

tt

n

n

11

1

1

スを終了する確率は人のうち誰かがサービ

はビスが終了しない確率個の窓口で、全員サー

しない確率は、時間にサービスが終了

【参考】


システム内客数の定常確率その１

0 21 S-1 S S+1

λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ 3μ (S-1)μ Sμ Sμ Sμ

0

2

00012

01

11

11

10

21

2222

,1,1,,2,11

pppppp

pp

SSnpSppSSnpnppn

pp

nnn

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その２

1,,1,0!1

231

321

32

332

21,

1,,2,11

0

0

3

00

2

123

0

2

201

11

Snpn

p

p

ppppp

pppp

Snpnppn

n

n

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その３

00

0

2

0

121

0

11

!1

!111

!21

!111

1

1,,1,0!1

1,,2,11

pS

pS

SS

pSS

pSS

Sp

pSppS

Snpn

p

Snpnppn

SS

SS

S

SSS

n

n

nnn

【参考】


システム内客数の定常確率その４

,1,!

1

!1

!1

!11

!1

,1,

,,1,0!1

0

0

1

0

1

0

1

01

11

11

0

SSnpSS

p

pSS

pSS

SS

pSS

pSS

Sp

pSppSSSnpSppS

Snpn

p

Sn

n

n

SS

SS

S

SSS

nnn

n

n

【参考】


システム内客数の定常確率その５

110

0

2

1

00

0

00

11

!!

11

!1

!11

,1,!

1,,,1,0!1

SS

nSp

SSSS

SSnpp

SSnpSS

pSnpn

p

SS

n

n

SS

Sn

n

SnSn

nS

n

n

nn

Sn

n

n

n

n

【参考】


システム内客数の定常確率その６アーランC式

,1,!

1,,1,0!

11

!!

0

0

11

00

SSSpSS

SSpn

S

p

SS

nSp

Sn

n

n

SS

n

n

すぐにサービスを受けられない確率＝待たないといけない確率

11

!!! 000 SSp

SSpp

SSpC

S

Sn

nS

Sn

Sn

Snn

Erlang C式

【参考】


システム内平均客数その１

2

1

0

1

10

2

1

21

21

21

0

1

00

0

11!!1

11

1121

!!

SSSS

n

n

SS

SSS

SS

SSSSn

n

Sn

nSS

n

n

nn

SSSp

nSpQ

SS

SSSSS

n

nSSp

nSnpnpQ

を計算する。とおいて、

【参考】


システム内平均客数その２

021

2

1

0

1

00

11

0

11

0

2

0

1

1

2

1

0

1

10

1!

11!11

!!1

11

!!1

11

!!111

!!

!!1

11!!1

pSSS

SSSp

SSp

SSpSQ

SS

SSpS

SS

SS

SS

mSS

mSS

nS

SSSp

nSpQ

SS

SSSSS

SS

SSSS

m

m

S

m

mS

n

n

SSSS

n

n

11

00 1

1!!

S

Sn

SpSS

n

n

【参考】


システム内平均滞在

021

02

1!1

1!

1

pSS

pS

SS

QW

WQ

SS

SS

より

S

【参考】


演習８

ルータへパケットが毎秒個の到着率でランダムに到着する。パケット１個の処理時間が平均0.1 ms の分布に従う時、

を求めよ。パケットバッファは無限大とする。


演習９

パケットの処理時間が一定で、0.1 msの時の1)~4)を求めよ。

※ヒント：処理時間を単位時間として全てを計測する必要があります。

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