15_ujit_2sample_ragamhomogen

© 2011 http://www.smartstat.info | Uji-t Student 9

Uji-t untuk 2 sampel (Menguji Kesamaan dua rata-rata):

Pada uji-t satu sampel kita hanya membandingkan suatu populasi dengan suatu nilai tertentu, namun pada kenyataannya kasus yang menggunakan jenis uji ini sangat jarang terjadi. Para peneliti, khususnya di bidang pertanian, lebih banyak meneliti kasus-kasus yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau dua rata-rata populasi. Sebelum kita melakukan analisis, harus diperhatikan terlebih dahulu apakah kedua populasi tersebut berasal dari distribusi normal dan apakah kedua ragam populasi tersebut sama? Hal ini akan memandu kita dalam memilih metode dan rumus yang tepat dalam melakukan analisis uji-t untuk membandingkan kedua nilai rata-rata populasi.

a. Uji t 2 sampel dengan Ragam homogen (σ1 = σ2)

Jenis Uji: Dua Arah Pihak Kanan Pihak Kiri H0 : μ1 = μ2 H0 : μ1 = μ2 H0 : μ1 = μ2 HA : μ1 ≠ μ2 HA : μ1 > μ2 HA : μ1 < μ2 Keputusan:

Tolak H0 jika: |t| > tα/2,df t > tα,df |t| > |-tα,df | Keterangan: |t| = nilai mutlak t Apabila ragam kedua populasi sama (σ1 = σ2 = σ) dan nilai σ tidak diketahui nilainya, nilai tersebut didekati dengan nilai perkiraannya, yaitu simpangan rata-rata contoh, s. Karena kedua populasi tersebut mempunyai nilai s, maka s yang digunakan ada s gabungan (sp) dari kedua populasi tersebut :

Simpangan baku populasi (Sebenarnya): 21

1121 nnpyy +=− σσ

Simpangan baku populasi contoh (Perkiraan): 21

1121 nn

ss pyy +=−

Dimana simpangan baku gabungan: 2

)1()1(

21

222

211

−+−+−

=nn

snsnsp

Uji Statistik:

21

21

yysyy

t−

−=

21

21

11nn

s

yyt

p +

−= dengan 2df 21 −+= nn

http://www.smartstat.info/�


Contoh 1: Uji satu arah

Mata kuliah Pemrograman Komputer diberikan pada dua kelas mahasiswa yang berbeda. Kelas A yang terdiri dari 12 mahasiswa diajar dengan metode biasa. Sedangkan kelas B yang terdiri dari 10 mahasiswa diajar dengan metode pengajaran yang baru. Pada akhir semester kelas A dan B diberi materi ujian yang sama. Di kelas A nilai rata-rata mahasiswa adalah 85 dengan simpangan baku 4, dan kelas B nilai rata-ratanya adalah 81 dengan simpangan baku 5. Yakinkah anda bahwa metode pengajaran biasa tetap lebih baik daripada metode pengajaran yang baru dengan taraf signifikan 0,01? Diasumsikan dua populasi mendekati distribusi normal dengan variansi yang sama.



Jawab

Sampel A: n1 = 12; 1y = 85; s1 = 4; dan Sampel B: n2 = 10; 2y = 81; s2 = 5.

1. Langkah ke-1: Klaim: Metode pengajaran lama tetap lebih baik, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ1 > μ2 vs μ1 = μ2

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ1 = μ2 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μ1 > μ2.

a. H0: μ1 = μ2

b. H1: μ1 > μ2

3. Taraf nyata : α = 0.01

4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; n < 30 (namun diasumsikan berdistribusi normal) dan σ1 = σ2 = σ. Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t independent dengan ragam homogen.

5. Hitung nilai thit:

a. Simpangan baku gabungan:

( ) ( ) ( ) ( )478.405,20

2059411

211

s22

21

222

211

p ==+

=−+−+−

=nn

snsn

b. 09.2

101

121478.4

808511

21

21 =+

−=

+

−=

nns

yyt

p

c. df = n1 + n2 -2 = 12+10-2 = 20; α = 0.01

d. tkritis = t(0.01,20) = 2.528

6. Karena tobs < tkritis maka H0 diterima

7. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 1%, metoda pengajaran biasa tidak berbeda dengan metoda pengajaran baru. Apabila biaya metoda pengajaran baru lebih murah, kita bisa memilih metode tersebut, karena kualitasnya tidak berbeda dibandingkan dengan metode pengajaran biasa.



t = 0 tc = 2.528

= α = 0.01

Terima H0 Tolak H0

tobs = 2.09



Contoh 2: Uji 2 arah [Pertambahan bobot anak sapi Holstein (Torrie, 1980)]

Sebanyak 28 ekor sapi Holstein, dikelompokkan menjadi dua, kelompok pertama sebanyak 14 ekor sapi diberi vitamin A, sedangkan kelompok kedua tidak diberi vitamin A sebagai kontrol. Untuk mengetahui perbedaan berat kedua kelompok sapi tersebut digunakan uji statistik t dengan 2 sample bebas (independent). Data pertambahan berat sapi yang diperlakukan dengan vitamin A disajikan pada Tabel 1:

Tabel 1.1. Pertambahan berat sapi Holstein akibat pemberian vitamin A

Nomor Berat sapi(lb) Kontrol Vitamin A

1 175 142 2 132 311 3 218 337 4 151 262 5 200 302 6 219 195 7 234 253 8 149 199 9 187 236

10 123 216 11 248 211 12 206 176 13 179 249 14 206 214



Hasil Perhitungan dengan menggunakan software SPSS v.16:

Uji Normalitas

Kolmogorov-Smirnova atau Shapiro-Wilk digunakan untuk menguji asumsi apakah sampel yang diambil berdistribusi normal atau tidak. Asumsi ini diperlukan sebelum melakukan uji-t. Uji-t hanya dapat dilakukan apabila sampel berdistribusi normal.

H0 = sampel berdistribusi normal; H1 = sampel tidak berdistribusi normal.

Kesimpulan:

• H0 ditolak: signifikan (biasanya p < 0.20) = sampel tidak berdistribusi normal • H0 diterima: tidak signifikan (biasanya p > 0.20) = sampel berdistribusi normal

Group Statistics Kelompok N Mean Std. Deviation Std. Error Mean Perlakuan Kontrol 14 187.6429 38.09827 10.18219

Vitamin A 14 235.9286 54.28623 14.50860

Tests of Normality Kelompok Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Perlakuan Kontrol .127 14 .200* .964 14 .793

Vitamin A .143 14 .200* .973 14 .915 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance.

Independent Samples Test Levene's Test

for Equality of Variances

t-test for Equality of Means

F Sig. t df Sig. (2-tailed)

Mean Difference

Std. Error Difference

95% Confidence Interval of the Difference

Lower Upper

Perlakuan

Equal variances assumed

1.339 .258 -2.724 26 .011 -48.28571 17.72503 -84.72003 -11.85140

Equal variances not assumed

-2.724 23.306 .012 -48.28571 17.72503 -84.92613 -11.64530



Uji normalitas (Kolmogorov-Smirnova/ Shapiro-Wilk) untuk kedua kelompok tidak nyata. Uji Kolmogorov-Smirnov untuk kelompok Kontrol = p > 0.2, dan Vitamin A =p > 0.2. Hal ini menunjukkan bahwa kedua sampel tersebut berdistribsi normal.

Uji kehomogenan ragam:

Uji Levene digunakan untuk menguji kehomogenan ragam diantara kedua populasi (kelompok).

• H0 = ragam homogen; • HA = tidak semua ragam sama.

Histogram: KontrolK-S d=.12716, p> .20; Lilliefors p> .20

Shapiro-Wilk W=.96434, p=.79334

100 120 140 160 180 200 220 240 260

X <= Category Boundary

0

1

2

3

4

No.

of o

bs.

Histogram: Vitamin AK-S d=.14323, p> .20; Lilliefors p> .20

Shapiro-Wilk W=.97310, p=.91517

100 150 200 250 300 350X <= Category Boundary

0

1

2

3

4

5

6

No.

of o

bs.



Kesimpulan Uji Levene:

• H0 ditolak yang berarti Uji Levene signifikan (biasanya p < 0.10) = ragam tidak sama (σ1 ≠ σ2) • H0 diterima yang berarti Uji Levene tidak signifikan (biasanya p > 0.10) = ragam homogen (σ1 = σ2)

Perhatikan kembali hasil perhitungan dengan menggunakan software SPSS di atas. Terdapat dua asumsi varians pada output Independent Samples Test, yaitu Equal variance assumsed, dan not assumses. Hasil Uji Levene menunjukkan bahwa kedua populasi tersebut mempunyai ragam yang homogen (p = 0.258 > 0.10), sehingga uji t yang digunakan adalah uji-t dengan asumsi ragam homogen (Equal variance assumed). Hal ini menunjukkan bahwa kedua sample sapi berasal dari populasi yang sama.



Perhitungan: Cara 1 (Metode Klasik/Tradisional)

Sampel A: n1 = 14; 1y = 187.6429; s1 = 38.09827; dan

Sampel B: n2 = 14; 2y = 235.928685; s2 = 54.28623.

1. Langkah ke-1: Klaim: Ada perbedaan diantara kedua perlakukan, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ1 ≠ μ2 vs μ1 = μ2

2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ1 = μ2 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μ1 ≠ μ2.

a. H0: μ1 = μ2

b. H1: μ1 ≠ μ2

3. Taraf nyata : α = 0.05

4. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; n < 30; berdistribusi normal (Uji Kolmogorov-Smirnov/Shapiro-Wilk) dan σ1 = σ2 = σ (Uji Levene). Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t independent dengan ragam homogen.

5. Hitung nilai thit:

a. Simpangan baku gabungan:

( ) ( ) ( ) ( )

46.8962199.2365

26235.93938.1011

211

s22

21

222

211

p

==

+=

−+−+−

=nn

snsn

-2.72415317.72548.2857-

121

12146.896

235.9286187.642911

21

21

==

+

−=

+

−=

nns

yyt

p

b. df = n1 + n2 -2 = 14+14-2 = 26; α = 0.05

c. tcrit = t(α/2;df) = t(0.025,26) = 2.056

6. Karena |tobs| > tcrit = |-2.73| > 2.056, maka H0 ditolak!

7. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, berat antara kelompok sapi yang tidak diberi vitamin A (kontrol) dengan yang diberi Vitamin A berbeda.



Cara ke-2 (Metode Modern)

• Nilai dugaan ragam, σ2, dengan derajat bebas 26 adalah Syi-y2 = 17.73 lb • Nilai kritis uji t sebesar -2,73 • Nilai peluang signifikansi (p-value) pada nilai tkritis sebesar 0.011 (dua arah) Hampir semua software statistik menggunakan metode modern dalam menguji suatu hipotesis, yaitu dengan menggunakan nila peluang (p-value) untuk menyatakan apakah hipotesis nyata atau tidak (biasanya disimbolkan dengan Sig. atau p-value). Berbeda dengan metode perhitungan tradisional yang membandingkan nilai uji statistik (misal thitung) dengan nilai kritisnya (misal t-tabel).

Perbedaan antara Metode modern dengan metode tradisional pada kasus uji-t di atas:

Metoda Tradisional Metoda Modern Nyata (H0 ditolak)

|nilai thitung| > | nilai ttabel.| misal: |-2.724| > |2.056|

nilai peluangnya (Sig.) < taraf nyata yang ditentukan misal: Sig = 0.011 < 0.05

Tidak Nyata (H0 diterima)

|nilai thitung| < | nilai ttabel.|

nilai peluangnya (Sig.) > taraf nyata yang ditentukan

Kesimpulan:

Karena nilai signifikasinya (Sig. = 0.011) < 0.05, maka H0 ditolak dan HA diterima. Hal ini menyatakan bahwa terdapat perbedaan antara kelompok sapi yang diberi vitamin A dan kelompok kontrol.

Pada output Tabel di sertakan juga nilai selang kepercayaannya.

P(-84,72 < μ1 - μ2 < -11.85) = 95%,

Artinya: 95% kita yakin bahwa perbedaan rata-rata keduanya terletak pada kisaran antara -84,72 dan -11.85.

t = 0 tc = 2.056 tc = -2.056

= α/2 = 0.025

= α/2 = 0.025

Terima H0 Tolak H0 Tolak H0

tobs = -2.724


15_ujit_2sample_ragamhomogen

Documents