153088 sheets hc 11

1 Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Richard Boucherie Stochastische Operations Research – TW, Ravelijn H 219

http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html

Ack

Internet

S0

S1

D1

S2

D2

D0

R1 R2 R3

X ms X ms

10 ms 10 ms240 ms

L1 L2

Poisson proces (1) •  Definitie

–  indien aankomstproces een vernieuwingsproces is en de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn, dan is het aankomstproces een Poisson proces

•  Telprocess aantal aankomsten N(t) in (0,t]

Poisson proces (3)

•  Eigenschappen –  de aankomstenprocessen in twee willekeurige

disjuncte intervallen zijn onderling onafhankelijk, en alleen afhankelijk van lengte intervallen

–  De superpositie van twee Poisson processen met intensiteiten λ1 en λ2 , levert wederom een Poisson proces, met intensiteit λ1+ λ2

–  het willekeurig uitdunnen van een Poisson proces met intensiteit λ (klanten gaan met kans p<1 het systeem binnen) levert wederom een Poisson proces met intensiteit p⋅λ.

4

Een eenvoudig wachtsysteem

•  Klanten arriveren volgens Poisson proces •  Klanten wachten op hun beurt •  Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele •  Een bediende •  Gemiddelde wachttijd? •  Kans op wachten? •  Dimensionering systeem?

5

Wachttijdtheorie

•  Herhaling: aankomstproces

•  Notatie

•  M/M/1 queue of Single server queue

•  Wachttijden en de Formule van Little

Notatie voor wachtsystemen wijkt af van Winston, zie dictaat OR II

•  Algemeen : A|B|S|N –  A de tussenaankomsttijdverdeling, –  B de bedieningsduurverdeling, –  S het aantal (parallelle) servers, en –  N de capaciteit van de wachtruimte (indien N < ∞)

•  Standaardsymbolen voor A en B –  M : exponentiële verdeling (Markov) –  D : deterministische verdeling (constant) –  En : Erlang verdeling met n fasen –  GI : niet nader gespecificeerde verdeling (GI = General

Independent), aankomstproces is vernieuwingsproces –  G : niet nader gespecificeerde (bedieningsduur)verdeling

7

Wachttijdtheorie


•  Notatie



Het M|M|1 model (1)

oneindige Wachtruimte

FCFS

aankomsten (Poisson λ)

vertrekken (exponentieel µ)

Het M|M|1 model (2)

oneindige Wachtruimte

FCFS



Het M|M|1 model (3)

Het M|M|1 model (4)

Het M|M|1 model (5)

Het M|M|1 model (6)

•  Stationaire verdeling

•  stationariteitsvoorwaarde

€

ddt P0(t) = −λ ⋅ P0(t) + µ ⋅ P1(t)

ddt Pn (t) = λ ⋅ Pn−1(t) − (λ + µ) ⋅ Pn (t) + µ ⋅ Pn+1(t)

waarbij Pn (t) =1n= 0

∞

∑ , t ≥ 0

Het M|M|1 model (7)

•  Kolmogorov’s diff. vergelijkingen

€

ρ =λµ

<1

€

Pn = limt→∞

Pn (t)

Het M|M|1 model (8)

•  Globale evenwichtsvergelijkingen

•  interpretatie •  Stationaire verdeling

€

µ ⋅ Pn+1 = λ ⋅ Pn

Pn = ρn ⋅ P0 = (1− ρ) ⋅ ρn n = 0,1,2,...

Het M|M|1 model (9)

0

1

2

µ

λ

λ

λ

µ

µ

3 λ µ

€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = µ ⋅ P2

€

λ ⋅ P2 = µ ⋅ P3

€

λ ⋅ P3 = µ ⋅ P4

•  Transitiediagram

(etcetera)

• Bezettingsgraad

Het M|M|1 model (10)

€

Pnn=1

∞

∑ =1− P0 = ρ

• Aantal klanten in het systeem

• Aantal klanten in de wachtrij

• Gemiddelde wachttijd?

18

Wachttijdtheorie


•  Notatie



Formule van Little (1) •  Notatie

–  E{L} : gemiddelde aantal klanten in systeem –  E{Lw} : gemiddelde aantal klanten in wachtrij –  E{F} : gemiddelde verblijftijd per klant –  E{W} : gemiddelde wachttijd per klant

•  Onderlinge relaties

Formule van Little (2)

de formule van Little geldt ongeacht de volgorde waarin klanten worden bediend

•  Intuitieve verklaring –  veronderstel dat iedere klant 1 euro betaalt voor iedere

tijdseenheid dat hij in het systeem resp. in de wachtrij is –  Betaling per tijdseenheid van verblijf E{L} per tijdseenheid –  bij binnenkomst voor gehele verblijftijd: E{F} per klant –  aantal aankomsten per tijdseenheid λ –  Betaling binnenkomst voor geh verbftijd λ E{F} per tijdseenh

21

Wachttijdtheorie


•  Notatie




• Aantal klanten in wachtrij ; in systeem

• Verblijftijd en wachttijd (Little)


•  Verdeling van de verblijftijd

€

P(F ≤ t) =1− e−µ⋅(1−ρ )⋅ t

E{F} =1

µ ⋅ (1− ρ)

€

P(W ≤ t) =1− ρ ⋅ e−µ⋅(1−ρ )⋅ t

E{W } =ρ

µ ⋅ (1− ρ)

•  Verdeling van de wachttijd

•  Formule van Little

Wachttijdtheorie Hoe hoog mag de belasting van een machine zijn?

En hier al 100 x • 

•  je staat hier 10 x je bedieningstijd te wachten

•  0.9 0.99

EF/EB=1/(1-ρ) F= verblijftijd B = bedieningsduur ρ = bezettingsgraad

25

Een eenvoudig wachtsysteem

•  Klanten arriveren volgens Poisson proces •  Klanten wachten op hun beurt •  Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele •  Een bediende •  Gemiddelde wachttijd? •  Kans op wachten? •  Dimensionering systeem? •  Andere wachtsystemen?

26

Geboorte sterfte processen

•  M|M|1 •  M|M|1|K •  M|M|s •  M|M|s|0 •  M|M| ∞ •  Geboorte sterfte processen •  PASTA •  Wachttijdverdeling M|M|1

Het M|M|1 model (1)

oneindige wachtruimte

server



Het M|M|1 model (2) •  Transitiediagram

0

1

2

µ

λ

λ

λ

µ

µ

3 λ µ

€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = µ ⋅ P2

€

λ ⋅ P2 = µ ⋅ P3

€

λ ⋅ P3 = µ ⋅ P4

€

µ ⋅ Pn+1 = λ ⋅ Pn

Pn = ρn ⋅ P0 = (1− ρ) ⋅ ρn n = 0,1,2,...

Een netwerkprinter •  Situatieschets

–  bij een netwerk-printer arriveren jobs volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 1 per minuut

–  de lengte van een job is bij benadering exponentieel verdeeld met een gemiddelde van 10 pagina’s

–  de verwerkingscapaciteit van de printer bedraagt 20 ppm •  Interessante grootheden

–  de aankomsten vertrekintensiteit zijn resp. λ = 1 en µ = 2 –  de bezettingsgraad bedraagt ρ = λ/µ = ½ –  het gem aantal jobs bij de printer bedraagt ρ / (1-ρ) = 1,

de gemiddelde verblijftijd 1/λ = 1 minuut per job (Little) –  het gem aantal jobs in de wachtrij bedraagt ρ2 / (1-ρ) = ½,

de gemiddelde wachttijd ½/λ = ½ minuut per job (Little) –  de kans dat een job niet binnen twee minuten is afgedrukt is

e-2µ(1-ρ) = e-2 ≈ 0.14

30



Het M|M|1|K model (1)

eindige wachtruimte (capaciteit K)

server




0

1

K+1

µ

λ

λ

λ

µ

K λ µ

µ

1 1


€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = µ ⋅ P2

€

λ ⋅ PK−1 = µ ⋅ PK

€

λ ⋅ PK = µ ⋅ PK +1


•  Stationaire verdeling (ρ=λ/µ)

• Aantal klanten in het systeem

• Verblijftijd en wachttijd (Little)

• Aantal binnengekomen klanten

€

E{W } = E{F}− 1µ

Een wasstraat •  Situatieschets –  bij een wasstraat arriveren auto’s voor een (eventuele)

wasbeurt met een gemiddelde van 12 per uur –  een auto rijdt door indien er drie auto’s staan te wachten –  de lengte van een wasbeurt bezit een exponentiële verdeling

met een gemiddelde van 4 minuten •  Interessante grootheden

–  de aankomsten vertrekintensiteiten bedragen resp. λ = 12 en µ = 15, de capaciteit van de wachtruimte K=3

–  de bezettingsgraad van de wasstraat bedraagt 1-P0=0.70 –  de blokkeringskans d.w.z. de kans op een volle wasserette

bedraagt P4 = 0.12 –  er zijn gemiddeld 1.56 auto’s in de wasstraat aanwezig

dit komt overeen met 1.56-0.70=0.86 wachtenden –  gemiddelde doorlooptijd bedraagt 1.56/(0.20*0.88) = 8.90 min

35



Het M|M|s model (1)

oneindige wachtruimte

server



server


Het M|M|s model (2)

0

1

s

µ

λ

λ

λ

λ

2·µ

s-1 λ (s-1)·µ

s·µ

1 1

s·µ


1 1

€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = 2 ⋅µ ⋅ P2

€

λ ⋅ Ps−1 = s ⋅µ ⋅ Ps

€

λ ⋅ Ps = s ⋅µ ⋅ Ps+1(etcetera)

Het M|M|s model (3)

•  Stationaire verdeling (ρ=λ/µ<s) :

€

E{Nw} = (n − s) ⋅ Pn =ρ

s− ρn= s+1

∞

∑ ⋅ P(Z ≥ s)€

P(Z ≥ s) = Pn =ρ s

(s− ρ) ⋅ (s−1)!n= s

∞

∑ ⋅ P0

• Aantal in wachtrij

• Kans alle servers bezet

€

n ⋅ Pnn= 0

s−1

∑ + s ⋅ P(Z ≥ s) = ρ• Gem aantal bezette servers

1 Euro per minuut •  Situatieschets –  bij een 0900-informatienummer, waar maar liefst 12

telefonistes werken, komen klanten aan volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 600 per uur

–  de bedieningsduur per klant bezit een exponentiële verdeling met een gemiddelde van 1 minuut, gesprekskosten E 1 / min

•  Interessante grootheden –  de aankomsten vertrekintensiteit bedragen λ = 10 en µ = 1 –  het aantal servers is s=12 –  het gem aantal bezette telefonistes is gelijk aan ρ=λ/µ=10 –  kans alle telefonistes bezet 0.45,

kans op directe bediening 1-0.45=0.55 –  er zijn gem 2.25 wachtenden voor u; de gemiddelde wachttijd

bedraagt daarmee 0.225 minuut ≈ 13.5 seconden per klant –  inkomsten bedragen gemiddeld 600 · (1 + 0.225) is 735 euro

per uur; dit komt overeen met E 61.25 per telefoniste

40



Het M|M|s|0 model (1)

geen wachtruimte

server



server


Het M|M| s|0 model (2)

0

1

s

µ

λ

λ

λ

2·µ

s-1 λ (s-1)·µ

s·µ

1 1


€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = 2 ⋅µ ⋅ P2

€

λ ⋅ Ps−2 = (s−1) ⋅µ ⋅ Ps−1

€

λ ⋅ Ps−1 = s ⋅µ ⋅ Ps

Het M|M| s|0 model (3)

•  Stationaire verdeling :

• Erlang verlies formule

GSM

•  Situatieschets –  een GSM cel op de campus met 2 frequenties heeft 15

kanalen beschikbaar voor communicatie; in de pauze tussen hoorcolleges komen gesprekken aan volgens een Poisson proces met een gemiddelde van 600 per uur

–  de gespreksduur per gesprek bezit een exponentiële verdeling met een gemiddelde van 1 minuut

•  Interessante grootheden –  Blokkeringskans voor een nieuw gesprek: 3.6% –  het gemiddelde aantal bezette kanalen=10*(1-3.6%)=9.64

–  http://www.erlang.com/calculator/erlb/

45



Het M|M|∞ model (1)

geen wachtruimte

nodig

server



server


Het M|M| ∞ model (2)

0

1

s

µ

λ

λ

λ

λ

2·µ

s-1 λ (s-1)·µ

s·µ

1 1

(s+1)·µ


€

λ ⋅ P0 = µ ⋅ P1

€

λ ⋅ P1 = 2 ⋅µ ⋅ P2

€

λ ⋅ Ps−2 = (s−1) ⋅µ ⋅ Ps−1

€

λ ⋅ Ps−1 = s ⋅µ ⋅ Ps

(etcetera)

Het M|M| ∞ model (3)

•  Stationaire verdeling :

• Gemiddelde aantal bezette servers

• Uitdunningsargument

• Bijvoorbeeld via limiet s ∞

49


•  M|M|1 •  M|M|1|K •  M|M|s •  M|M|s|0 •  M|M| ∞ •  Geboorte sterfte processen

153088 sheets hc 11

Documents

mm1 model

de formule van little

de volgorde

poisson proces klanten

gemiddelde aantal klanten

t poisson proces

little formule van little

systeem aantal klanten