~~~~~~~~ 1 tfill~~~~~~~ a:g~(tg~~~~~ rr::g~~~~~~~ i [1:!] [t9 [1:!] ~ [lg Acerca del autor: A Vil a, j fN1 ~[J:!J DN1 [J::g ~ . ~.

obtuvo en J 959 el ttulo de Ingeniero l.-1\)l ~ rf\.l ~ Civil y en J 96 J el grado de Maestro en 1 f1\f1 iN1 f\n Lhl l\(1 Ingeniera (Hidrulica) en la Facultad ~ ll'\)1 l.hl ~ [J::9 ~ de Ingeniera de la Universidad Nocio ~~][J::g ,!NI ~!)V FNJFNl naf Autnoma de Mxico. En J 961 y f'\i L)\~ L.:.t\)! ~ 1962, tra&o6 como Investigador Ass ~ l.hl~ rN1 f1\i11N1~ tente por un perodo de seis meses en el ~ l.-1\.)J ~ f1\?1 laboratorio de Investigaciones Hidru Fl'{1 [t9 f\f ~ ~ lico y Mecnica de Suelos en lo Univer ~ N1 U\)l!N 11\(l sidad Tcnica Federal de Zurich y por el

1 IN ~~ iN1, (tgUV ~

mismo perodo en el Laboratorio fede ~ ~ ~ rol de obras Hidrulicas de Karlsruhe. ll (tgFNl FN1 ~P:'N 1?f\71 fN1 Posteriormente, durante diez aos fue , ~ ~ ~ U\)J L.l\)) proyectista de obras hidrulicas en la i\{1 IN1 J\i Secretara de Recursos Hidrulicos y en ~ ,FN1 ~. FNL L ! l)0 ~ lo Comisin del Ro Salsas. LJ\.:..~ ~ L-1'~ ~ ~

Dese/e 1959 ha impartido c/iferen j Q::5J ~-1 [}::Sl f1\n f'N1 tes ctedras de hidrulica, tanto a nivel N1 L.~~ !)V IN profesional como de posgrado en la J~ rm f\J1 ~ facultad ele lngenierla ele la Universic/ac/ 1,, lf'?1 ~~U ~ f1\?1

Gilberto Sotelo

Nacional Autnoma de Mxico y desde l.\)1 l.~ ~ l.hl J 961 es profesor e investigador de l Q::5J ~?l f\71 ~ tiempo completo en dicho centro de J iW1 IN~' FN1 UV[J::g FN1 estudios. Ha publicado ms de 36 tra.. ~ ~ Lhl

HIDRULICA GENERAL

VOWM~ H~~~~Mmm~ GILBERTO SOTELO AVILA

Profesor Tit~rrle la 'Universidad . . '" '\'' '-- .;

Nacional Autnoma de Mxico

~UMUSA MXICO Espalia Venezuela Colombia

LA PRESENTACION Y DISPOSICIN EN CONJUNTO DE:

HIDRULICA GENERAL VOL. 1

SON PROPIEOAD DEl EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEOE SER REPRODUCIDA O TRANSMI-TIDA,. MEDIA,NTE NINGN SISTEMA () MltrODO, ELECTAONICO o MECNICO (INCLUYENDO Et. FOro-COPIADO, lA GRASACIN O CUALQUIER SISTEMA DE RECL!i>ERACiN Y ALMAC'eNAMI~TO DE -INFOR-MACiN), SIN C:()NSENTI~ENTO PORESCAITO DEL EDITOR.

DeeyecHOS RESERVADOS:

. :> 1997, EDITORIAL LIMUSA. S.A. oe C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALOERAS 95, MXICO, D.F. C.P.06040 il 52121-1 5122903

E-MAIL: cnoriega@mail.inlemet.com.mx

CANIEM NM. 121

DECIMAOCTAVA REIMPRESIN

HecHO EN M~:x~eo ISBN 968-18-0503-8

A Rosario, Gberto

r Luca lngrid

\

Prlogo

.r

.. ' :1' . -.' . Los libros de mecnica. de. fluidos, usados actualmente como textos

en los cursos del mismo' nombre yen los cursos introductorios de hidru-lica, forman una iarga list?, Sin embargo, la ~ayora no son obras ori-ginales escritas en espao( dif~ilmente. se adap~ana los programas de estudio vige11tes en las fac,ultades y escuela~_ de ingemeros de nuestros pases, y adems, casi invariablemente, ofrecen .. un tratamiento muy am~ plio, con la idea de que el material presentado pueda 'adaptarse a los .cursos de cualquier rama de_ingeniera a nivel profesional y, a veces, de

. posgr;do .. El of;jeto de e~\ll obra "" .P!"()pofsionr al estlldiante de habla .castellana ~l.gr_do de, esp~cializ;ici11 que se requiere hoy.da y, por ello,

he trtado de inco:-porr e11 un. texto de hidrulica d~ nivel profesional los. fundamentos de la mecbica de fluidos .que tienen aplicacin directa lo~ problemas. que ataen al_ingeniero civil. ..

.. ios .'1?-todos . d~ anli~is ~ 1~ mecnica de. fluidos .se basan en los postulados fundamentales de la. fsica, en.Jas tcnicas del anlisis mate-mtic y en, res!lltados experimentales. Esto permite. establecer ecuacio-ns .de natur;deza genezal, en contraste con la hidrulica emprica, cuyas

' frmulas corresponden a un rea,Jimitada de. experimentacin y, por tanto, requieren _e_xtrapolaciones. que-/-deben tomarse .COn Cierta reserva. furante: muchos. aos os mtodos de anlisis se basaron. en el estudio

. del equilibrio dinmico de volmepes. de ,sontrol infinitesintales y en el , movimiento il).dividual de las prticulas. J;.as ecuacion,es obtenidas de esta forma de anlisis son de tipo diferencial y permiten obtener solu-ciones para casos particul,ares, sin importar la complejidad ni la diver-

: sidadde condiciones de frontera. que se encuentren, enla,prctica; ': ' , ' :,' \ . .- . \. . .

. E11 la ltima dcada ha sido importante elpuevo enfoque de la me-. cnica de fluidos basado en el an.lisis de volmenes fiilltos de control. . Est() ha. fundamentado y sistemaW;ado . los. mtodos de . anlisis y tra-dicionales en la hidrulica, la cual se ha ocupado principalmente del flujo unidimensional.

. .. . . . ..,. .. ._._ ';-

prlogo

que se consideran tradicionales en esta especialidad (por ejemplo, .la ecuacin de Navier-Stokes), sino aquellos conceptos, mtodos y ecuaciO-nes que me parecen importantes para el ingenie:o .civ~l. Con est: fin, he hecho nfasis en diferenciar las bases y las hm1tacwnes que tienen las ecuaciones derivadas.

El texto fue preparado para impartir el primer curso semestral de hidrulica para estudiantes de ingeniera civil. Los temas Y el orden de los mismos se adaptan al programa actualmente vigente en la Facul-tad de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico.

El principio de continuidad, las ecuaciones del movimiento, la ecua-cin de la energa para el flujo permanente y la ley de la cantidad de movimiento se desarrollan ampliamente en la solucin de problemas del flujo de lquidos. De esta' 'mariera, se trata de que el estudiante ~om prenda claramente las propiedades de Jos lquidos, )as leyes que ngen su movimiento y adquiera la habilidad necesaria para -resolver proble-mas' prcticos:

Los cinco primeros captulos se dedican' a la presentacin de .los principios fuiidamentales que abarcan la esttica, cinemtica y dinmica de lquidos; S obtienen las ecuaciones 'fundamentales' del tipo ms ge-neral para flujo no permanente y se particularizan para el permanente. 'En el eaptill~ S se presentan las leyes de similitud'ms importantes en la experimentacin. Con el fin de hacer una rpida aplicacin de la teora y como antecedentes del ,flujo en tubos y can'!les, los captulos 6 y 7 tratan principalmente de orificios; compuertas 'y vertedores de pared del garla. Despus, en el captulo 8, se presenta la resistencia al flujo en conductos a presin como introduccin al anlisis d sistemas de tubos, tratado en el captulo 9. El captulo 10 expolie la teora del flujo con

potencial como un modelo matemtico para la solucin de numerosos problemas de ingeniera civil. Finahnente, en el captulo 11 se propor-ciona una introduccin a los aspectos importantes del empuje de un flujo sobre un cuerpo, de inters no slo en la hidrulica, sino tambin como base para entender el empuje de viento sobre estructuras.

En hidrulica, la presentacin tradicional de las leyes de similitud sude hacerse con base eli el anlisis dimensional. Sin embargo, consi-aero que de esta manera el estudiante se preocupa ms por entender el procedimiento matemtico que la esencia de la teora de la semejanza. Por esta razn he incluido la metodologa del anlisis dimensional en un apndice al final del libro, tratndolo como una herramienta matemtica bsica para el investigador que desea sistematizar un nuevo experimento.

En el Apndice B se trata la teora semiemprica de Prandtl-von . Krmn para flujos viscosos turbulentos a fin de complementar los as-

(

prlogo 9

pectos tericos de la resistencia al flujo tratados en el captulo 8. Ade-ms; en la presentacin de los temas de cada' captulo, he tratado de dar preferencia a los aspecios bsicos, dejando en segundo tnnino los as-pectos puramente informativos. De esta manera, no ser- necesario que el profesor abarque todo el contenido, sino los puntos que son funda-mentales, dejando que el estudiante, por s solo, aprenda a manejar la inf~rmac~n. en la solucin de nuevos problemas. Considero que el pro-psito pnnc1pal de este volumen es sentar las bases de la hidrulica haciendo ~asis en el flujo permanente en estructuras hidrulicas, pa..,;

pode~ continuar, en un segund? volumen, las aJ.>..licaciones a problemas de t1ujo permanente a superficie libre. La presente obra es el producto de un largo 'proceso de adaptaciones y cambios. stos se deben, por una parte, a la experiencia adquirida en quince aos de enseanza de la materia a nivel .Profesional as como de posgrado, Y en la prctica simultnea de la ingeniera hidrulica tanto en sus aspei::ios aplicativos como de investigacin. Por otra parte, son la consecuencia de las distintas reformas hechas en aos recientes en los planes de estudio de las carreras de ingeniera.

He tratado que la obra :sea la continuacin lgica de )os primeros cursos de mecnica, es decir, esttica, dinmica y posiblemente de la mecnica del medio continuo. Se supone que el lector tambin ha estu-diado el lgebra, clculo vectorial y las ecuaciones diferenciales elemen-tales. Los operadores de campos vectoriales se tratan como parte del texto. Adems, . se proporcionan soluciones numricas apropiadas para su programacin en computadoras, teniendo en cuenta la gran irD.por~ tanda de dichas mquinas y que cada vez es ms fcil disponer de ellas.

Se presentan numerosos ejemplos, completamente resueltos, para acla-rar los conceptos y mostrar su aplicacin a problemas especficos. Al final. de cada captulo se incluyen problemas para que los resuelva el

estudiante. Se ha tenido cuidado de evitar problemas que tienen solu-ciones estereotipadas, a fin de propiciar el desarrollo de esa habilidad analtica que debe poseer el ingeniero para resolver los diversos proble-mas encontrados en la prctica. De este. modo, sin demrito en la pre-sentacin de fundamentos, se. intenta cerrar la brecha existente entre teora y prctica. Por ello se espera que el libro sea tambin til al ingeniero que ejerce su profesin, ya que encontrar en l los fundamen-tos de la hidrulica, as como informacin de tipo prctico.

En un libro de este tipo, es difcil hacer el reconocimiento de todas las fuentes originales usadas pero, hasta donde ha sido posible, stas se citan en la Bibliografa de acuerdo con el orden en que aparecen en el texto. Pido disculpas por las omisiones que, obviamente, son involun-tarias.

lO prlogo

No quisiera terminar sin dejar constancia de mi profundo reconoci-miento al Prof. Jos Luis Snchez Bribiesca, pionero en enseanza de la hidrulica moderna en Mxico, quin ha trazado el sendero a seguir me-diante sus investigaciones en la Facultad de Ingeniera de_ la Universidad Nacional Autnoma de Mxico .

. Tambin doy gracias al Dr. Enzo Levi por su calidad humana, sabias enseanzas y por los valiosos consejos que me ofreci durante la prepa-racin del manuscrito.

Finahnente, expreso mi agradecimiento al Instituto de. Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico por el inters mostrado en la publicacin preliminar de esta obra en forma de apWtes, que per-miti usarla de imnediato en la docencia; y tambin a aquellos profe-sores de la asignatura en [a Facultad. de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico que me 'han hecho diferentes observa-ciones y comentllrios respecto a la v.ersin final _de la misma.

PROLOGO A LA SEGUNDA RE~PRESION

El autor agradece la aceptacin que ha tenido el libro, tanto en Mxico como-en los pasesde Latinoamrica, al grado de,agotar las impresiones an-teriores. He recibido muchas cartas .y observaciones personales de colegas nacionaleS- y extranjeros, de. estmulo- y apoyo por el trabajo realizado, lo que agradezco profundamente_ _

En esta nueva reimpresin se han corregido; hasta donde fue posible, los errores tipogrficos de 1as anteriores. Asimismo, al fmal del libro, se han in-cluido los resultados obtenidos en la solucin de los problemas de nmero impar de cada captulo.

Extiendo mi agradecimiento a los ingenieros Juan Jos Mucio y Arturo Manuel Monforte por el esfuerzo realizado en las soluciones de los problemas incluidas en-esta reimpresin.

El autor

Ciudad de Mxico

Contenido

PRLOGO .,.

CAPITULO . l_ PROPIEDMJES DE LOS FLUIDOS

1.1 Introduccin, 15 ' 1.2 Fuerzas que actii~n en el interior de un fluido 18 1.3 Temperatura, 21 .. . ' 1.4. Densidad, ype_.s especfico, 21

' t:5 Viscosidad, 23 . 1.6 Compresibilidad, 28 .1.7 Presin de vaporiiacin, 29 . 1.8 . Tensi~ superficial y ~apilaridad, 30 1.9 PJ;oce~os y jJtopiedades trmicas de los gases, 32 1.10 Velocrdad de las ondas sonoras en el seno de

un flnido, 35 Problemas, 36

~; .. :: ;'.: . CAPiTULO 2- HIDROSTATICA

2.1 2.2. 2.3

Introduccin, 39 Ecu.a~iones fundamentales,. 39 . Dispositivo,s pari'la medicin Ce presiones hidrostticas, 44 . .. .

2.4 Empit~e Ji!drost~co solm~ superficies planas, 45 2.5 Empue hrdrosttico sobre superficies curvas 53 2.6 Principio de Arqumedes, 58 ' 2:7 Condkiones de equilibrio de los. cuerpos

en flotacin, 60 2.8 Equilibrio .del movimiento, 63 :1.9 Fuerzas capilares, 66

Problemas, 68

CAPiTULO 3. CINEMATICA DE LOS LQUIDOS 3.1 Introduccin, 87 . 3.2 Los campo~ de un flujo, .87 .

ll

7

15

39

87

12 contenido

3.3 Los campos vectoriales de velocidad, aceleracin y rotacional, 88

3.4 Clasificacin de los flujos, % 3.5 Mtodos para describir un flujo, 99 3.6 Unea de corriente, trayectoria y tubo de flujo, 100 3.7 Concepto de gasto o caudal, 103 3.8 Funcin de corriente, 105

Problemas, 108

CAPITULO 4. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA JDDRAULICA

4.1 Aspectos generales, 111 , 4.2 Mtodos. de anlisis, 112 4.3 Ecuacin de continuidad, 114 4.4 Ecuacin de la energa, 121' 4.5 Ecuacin de la cantidad de moyimiento, 131 4.6 Sobre la aplicacin d .las. \'1Jllciones de energa

y de la cantidad de movimiento, 133 4.7 Dispositivos de'inedici;, y de .iforo, 136 4.8 . Prdida debida a una ampliacin brusca de

seccin.' Frmula .. de Borda-Carnot, 139 Problemas, 169

CAPITULO 5. Sll\DLITUD DINMICA 5.1 Aspectos generales, 183 5.2 Similitud geomtrica, !85 5.3 Siili!itud cinemtica y dinmica, 186

5.4 Leyes de similitud, 188 .. 5.5 Planeacin y construccin del modelo, 196

Problemas, 197

CAPITULO 6. ORIFICIOS Y COMPUERTAS

6.1 Ecuacin general de los orificios, 203 6.2 Coeficientes de velocidad, contraccin y gasto,

en orificios de pared delgada; 204 6.3 Prdida de energa, 208 6.4 Orificios de grandes dimensiones o cargas

pequeas, 209 6.5 Orificios con contraccin incompleta, 211 6.6 Orificios con descarga sumergida, 212

:ni

183

203

contenido

6.7 Compuertas, 213 6.8 Orificios de pared gruesa, 220 6.9 Orificios de forma especial, 226 6.10 Perfil de chorro en orificios de pared delgada, 228 6.11 Orificios bajo' carga variable, 230

Problemas, 232

CAPITULO 7. VERTEDORES

7.1 IntroducCin, 241 7.2 Vertedores de pared delgada, 241 7.3 Vertedores de pared gruesa, 266 7.4 Vertedores con cresta redondeada, 269

Problemas, 272

CAPITULO 8. RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS A PRESiN

8.1 Aspectos. generales, 227 8.2 Frmula de Darcy-Weisbach, 278 8.3 Investigaciones experimentales .sobre las

prdidas por friccin en tubos, 279 8.4 Resistencia al flujo en tubos comerciales, 281 8.5 Tubos de seccin no circular, 291 8.6 Frmulas empricas de friccin, 292 8.7 Prdidas locales; 2%

Problemas, 317

CAPITULO 9. ANLISIS DE SISTEMAS DE TUBOS 9.1 Introduccin, 323 9.2 Dispositivos de aforo en tuberas, 323 9.3 Conducto sencillo, 329 9.4 ; Sistema de tubos en paralelo, 342 9.5 Redes abiertas, 345 9.6 Redes cerradas,''352 9.7 Dimetro econmico, 365

Problemas, 368 , ...

CAPITULO 10. FLUJOS CON POTENCIAL ~~:]e

10.1 Introduccn, 405 ., .

i. '

'.

13

241

277

323

405

: !

i, :. ','1 1'1. :!

1! ':,

14 contenido

10.2 Ecuaciones fundamentales, 407 10.3 Propiedades de la funcin potencial y condiciones

de frontera, 411 10.4 Mtodos grficos para una red de flujo

bidimensional, 415 10.5 Mtodos numricos de solucin, 424 10.6 Mtodos de solucin analtica, 440 10.7 Analogas, 462

Problemas, 463

CAPITULO U. EMPUJE DINAMICO DE UN FLUJO SOBRE UN CUERPO

11.1 Aspectos generales, 471 11.2 Conceptos fundamentales, 472 . 11.3 Arrastre por friccin, 476 . .

ll.4 Arrastre total de cuerpos bidimensionales, 478 11.5 Arrastre total de cuerpos tridimensionales, 484 11.6 Sustentacin y vibracin, 488 11.7 Empuje de viento sobre estructuras, 493 11,8 Empuje hidrodinmico sobre pilas de

1pUente, 498 \ 11.9 . Cavitacin, 499

.. Problemas,- 500

APNDICE A ANMJSIS DIMENSIONAL A.1 Introduccin, 507 A2 Sistemas de unidades, 507 A.3 Factores de conversin, 511 A.4 Anlisis dimensional, 513

Problemas, 522

TEORA DE LOS. FLUJOS VISCOSOS B.l Concepto de c~da lmite. y rugosidad superficial, 527 B.2 Flujo laminar, ~29 B.3 Flujo trbulento, 532 . . B.4 Leyes de .resistencia al flujo turbulento, 538

Problemas, 543 REFERENCIAS SOLUCION DE LOS PROBLEMAS IMPARES INDICE ALFABTICO ... '

471

507

527

544 549 559

.

'

. .

1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

'

1.1 IntroduCcin

1.1.1 Caractersticas dlos fluidos De acuerdo con el aspecto fsico que tiene en la naturaleza, la materia

se puede Clasificar en tres estados: slido, lquido y gaseoso, de los cuales los dos ltimos se conocen como fluidos.

A diferencia de los slidos, por su constitucin molecular los fluidos pueden cambiar continuamente las posiciones relativas de sus molculas, sinofnicer gran resistencia al desplazamiento entre ellas, aun cuando ste sea Inu~graride. 1

La definicin anterior implica que si el fluido se encuentra en reposo en su interior no pueden existir fuerzas tangenciales a superfiie' alguna,

, cualquiera que sea su orientacin, y que dichas fuerzas ,se presentan,slo cuando el fluido e~t en movimiento. Por el contrario, un slido en reposo s admite fuerzas tangenciales a las superficies -en igualdad de condicio-ne~. las cuales producen desplazamientos relativos entre sus partculas con una maguitud perfectamente definida. Si el slido es elstico y la fuerza no rebasa. una magnitud llamada de fluencia del material, aqul recupera su fornili orignl en el momento en que cesa la fuerza aplicada. Otra caracterstica peculiar del fluido es que, como no tiene forma propia, adquiere la del recipiente que lo contiene.

Con ls consideraciones anteriore~ aparentemnte resultara claro dis-tinguir los slidos de los fluidos; sin embrgo, hay substancias cuya cla-sificacin no es fcil, como' por ejemplo el alquitrn, que a pesar de tener aspecto de slido su comportamiento corresponde al de un fluido. En efec-to, si se colca sobre el piso un bloque de dicha substancia, despus de un perodo largo se notar que el materialsurre lentamente un cambio en su forma. Por otra' parte, ciertos slidos llamados plsticos fluyen cuando la fuerz tangencial que se aplica rebasa ciert:J, 111agnitud.

Lcis fluidos poseen'lma propiedad caraetrstica de. nisistencia a la ra-. pidez de deformacin, cuando se someten a un esfuerzo tangencial, que

explica su fluidez: ,Esta resistenciallamad iiiscosidd no sigue las mismas leyes de deformacin de los slidos, es deCir; los esfuerzos tangenCiales que se producen en un fluido no dependen de las deformaciones que experl-

. inenta, sino de ! raPidez con que stas se producen. Todava ms, la ley 15

16 propiedades de los fluidos

de variacin entre los esfuerzos tangen-ciales y la rapidez con que ocurren las deformaciones es distinta segn el tipo de fluido que se trate; por ejemplo, en los llamados newtonianos el esfuerzo tangen-cial es directamente proporcional a la ra-pidez de la deformacin angular a partir de valores cero iniciales, siendO los casos ms comunes el agua, el aire y algunos aceites minerales. Por el contrario, en los fluidos llamados no newtonianos la varia-cin entre esfuerzo tangencial y rapidez de deformacin angular no es lineal, pues depende del tiempo de exposicin al es-fuerzo (su agitacin) y de la magnitud del mismo. Es el caso del betn, los. compues-tos de celulosa, las colas y grasas, pintu-ras de cei~J/~ bone .. s. gomas, alquitrn, etctera. .

. Otras substancias . ono las mezclas em-pleadas en la inyeccin de suelos (limo, bentonita, arcillas, etc.) presentan un .com. portamiento que corresponde a los sli-dos, en tanto el esfuerzo no alcanza. un cierto valor inicial, pues a partir de ste se. comportan como fluidos. Dichas subs-taJ.cias se consideran dentro del tipo de fluidos de Bingham (tambin .conocido como plstico ideal). Otros cuerpos (me-dios pulverulentos, suelos, asfalto, plsti-cos, etc.) poseen propiedades intermedias entre las de un slido y un fluido.

Fuera de la clasificacin general los flui-dos pueden dividirse en liquidas y gases. Consider!llldo que un lquido cualquiera tiene un volumen definido que vara li-geramente con la presin y la tempera-tura, al colocar cierta cantidad de aqul en un recipiente de mayor volumen, ad~pta la forma del mismo y. deja una super-ficie libre o de. contacto entre .el lquido y su propio vapor, la atmsfera u otro gas presente. NO _sucede lo _mismo Si una can-tidad igual de gas se coloca en el reci-piente, pues este fluido se .expande hasta ocupar ei mximo volumen que se le per-

mita sin presentar una superficie libre. Slo en estas condiciones el gas logra su equilibrio esttico.

La clasificacin anterior se basa en la propiedad llamada compresibilidad, es decir, en su comportamiento bajo la ac-cin. de esfuerzos de compresin (pre-siones). En general, los lquidos se pueden clasificar como incompresibles. Por ejem-plo, en el caso del agua la reduccin media del volumen por cada kg/cm2 de presin es aproximadamente del 0.005% del vo- . lumen original. Por el contrario, los ga-ses son muy compresibles bajo la accin de grandes presiones, pero si los incre-mentos de presin y temperatura en el flujo son pequeos, los gases se pueden considerar tambin incompresibles ; tal es el caso. del aire en movimiento cuando no existen cambios importantes en su tem-peratura y cuando las velocidades son in-feriores al40% de la velocidad del sonido ..

1.1.2 El fluido como un medio continuo A pesar d las diferencias sealadas, una

buena parte del estudio del comportamien-to de slidos. y fluidos, sometidos a un

, sistema .de -fue:tZas, es comn a ambos, ya que si en el m:lisis de su comportamiento se omite la naturaleza aleatoria de su dis-

. tribucin molecular, los slidos y los flui-dos. se pueden considerar medios que po- . seen continuidad en todas sus propiedades .y ser estudiados bajo esta suposicin.

El anlisis riguroso del comportamienJ to de un fluido debera considerar la ac-cin individual de cada molcula; sin embargo, en las aplicaciones propias de la ingeniera el centro de inters reside sobre las condiCiones medias de velocidad, pre-sin, temperatura, densidad, etc., de ah que en lugar de estudiar por separado la conglomeracin real de molculas, se su-pone que .el flujo es un 171edio continuo, es d~ir, una distribu_cin continua de ma-

17 teria . sin espacios vacos. Tal suposicin es normalmente justificable debido a que el nmero de molculas consideradas en esta situacin es muy grande y la distan-cia entre ellas muy pequea. Por esta ra-zn en el desarrollo de los siguientes cap-tulos a veces ser necesario proponer la eXisw

tencia de un elemento pequeo o partcula de! fluido, la cual tendr que ser suficiente-mente grande para contener muchas mo-lculas.

al casi> extremo de que los resultados tu-vieran poca identidad con el fenmeno real. La omisin de algunas propiedades de los fluidos ---

18 propiedades de los fluidos

1.2 Fuerzas. que actan en el interior de .un fluido

Si en .un fluido en movimiento se-asla idealmente un volumen ve.(limitado por la superficie cerrda _SC, como se indica emla Fig. l.la), por la accin del me-dio que rodea al volumen ve se generan fuerzas de diferente magnitud y direccin distribuidas sobre toda la superficie se' las. cuales se designan como. fuerzas de superficie,.

se considera sobre la superficie se un elemento de rea ~A. que encierra al pun-t6 P y sobre. el cual acta .la fuerza de superficie ~F; La magnitud y. orientacin del. elemento ~A se pueden representar

por.~A. vector normal a .dicho elemento que~.por...convencin, esde.direcciil posi-tiva hacia afuera del volumen ve, Evi-dentemente, la fuerza ~F ser tanto ms pequea como reducida sea elrea ~A. Si el elemento ~A se reduce indefinidamente en .su .magnitud, .siempre alrededor del puntoP;ilalrelai:in ~F/~A entre la fuerza Y el elemento de rea se aproxima a un valor lmite que se designa esfue'rzo espe-

il.F

%

.. J .y M ~-'

cfico o unitario o simplemente esfuerzo en el punto' P; esto es, se define como esfuerzo en el punto P, al lmite siguiente:

t.F dF S = lm -- - --

AA-+O ~A dA

Sus dimensiones son: (Sl = (F L-2 ), ge' neralmente kg/m2 o kg/cm2

En general, adems de la fuerza ~F, actuar un par transmitido desde los alre-dedores al elemento superficial. Sin em-bargo, en el lmite, el par debe desparecer haciendo ignalmente vlida la definicin anterior; .,

El esfuerzo no slo depende de la posi-cin del punto P sino tambin de la orien-tcin de ~A en dicho punto. En general, la fuerza; ~F en P podr descomponerse en dos componentes: una normal AF. y otra tangencial ~F, (Fig.l.lb) que sigien-do la definicin, generarn un. esfuerzo normal "y otro tangencial < (o cortante), respectivamente. Los esfuerzos a y "' a- su vez, se pueden representar por sus compo-nentes segn tres direcciones coordenadas

AF

X

a) Fuerzas de superficie y_ de cue_rpo. b) Componentes no~al y. tangencial de la fuerza de superfi~ie.

Figura 1.1

fuerzas que actan en el interior de un fluido 19

elegidas y, a menudo, se considera que el esfuerzo normal es positivo cuando se tra-ta de una tensin y negativo cuando es compresin. .

Adems de las fuerzas de superficie, en cada punto del volumen ve actan las fuerzas de cuerpo que pueden ser de dife-rentes tipos: de peso, electromagnticas etctera. . . .. ' . Estas fuerzas se refieren a la unidad

de masa y se . expresan por el .. vector M= Xi + Yj + Zk,referldo aun siste-ma decoordenadas cartesianas. Por ejem-plo, si act~a exclusivamente la fuerza d peso y el ee z coincide con la vertical del lugar, las componentes de la fuerza de cuerpo son:

Z Mg. . = -. :-;;-- = ~g

dop.de g es la aceleraCin local de la gra-vedad. .. , S considera nuevamente el elemento de a:ea ~A q~e encierra l punto p, ' de la F1g. 1.2a. S1 se acept": a priori que dentro

il.F il.A ..

a) COncepto de presin.

~e un fluido en reposo (o de. un .fluido I~eal o no viscoso, en movimiento).;noac-tuan fuerza~ t.angenciales sobre el elemen-to ~e superficie considerado, en el punto p acta exclusivamente una fuerza 'F

111.. "nor-

ma a e emento de superficie y paralela al vector ~A. Es claro que dicha fuerza tant . . ser , . . o nas pequeif como reducida sea el area M del elemento considerado. Si M se. reduce .!le magnitud indefinidamente ( s1e~p":" alrededor del purito p ycon las restncc~?nes deco,nttnuidad en el fluido), la rela,cwn ~F 1M entre la' Ip.agnitud de la f~eP'a ~. ~el rea se aproxima a ,k valor hmite ~ue se designa como intensidad d~ pre~z6n O, simp!emept~, preSfiz , esto es, ~~ .. def~e' .ce>inresin eii'ei pdnto p allurute s1gwente:

.. .AF dF' -p= hm --=--

.:. /l.A-,>0 M. dA

donde el.signo'negativo implica, que la fue~ ~F produ~ un .esfuerzo de>ccom-presin. Las dimensiones de la presin

%

b) Ca~c~erstiC3s de Ja' presin. Figura 1.2.

20 propiedade de los fluidos corresponden tambin a las de un esfuer-zo [F L-].

Aparentemente la presin no slo de-pende de la posicin del punto sino tam-bin de la orientacin del vector. diferen-cial . de superficie . que se considere. Sin embargo, la. presin en un punto es una magnitud escalar y, por lo tanto, es inva-J;iante cualquiera que sea la orientacin del elemento de superficie para definirla (se observa que ha quedado definida como el.cocieD.te entr dos escalares).

EJ?. fecto, c.onsiderane dF=;pdAn

Si p fuera una magnitud vectorial ten-dra como componentes p., p1, p., de tal manera que las componentes de la fuer-za dF se podrian determinar de igual mo-do a partir de estas componentes, o tam-bin con la ecuaciJ! anterior:

dF, = p,dAcosa. = pdAcosa. dF. =p. dA cosa,= pdAcosa, dF, = p, dA cos a, = p dA cos a,

por lo cual ll = Pv = p, = p; esto es, la presin en un punto es independiente del rea utilizada para definirla y es funcin escalar de las coordenadas de tal punto.

Conviene insistii- qu .la . presin en un punto no debe confundirse con la fuerza resultante de su intensidad; asimismo,

carece de sentido de&J:t- que la presin acta en cualquier direccin o en todas direcciones, pues se trata de una magni-tud escalar. La magnitud, direccin y sen-tido .. de la fuerza que la presin genera quedan definidos a partir del elemento de superficie. que se emplee; es una me-dida de distribucin de la fuerza sobre cualquier superficie asociada a ella .

Aun cuando .existen diferentes instru-mentos para medir la presin, en realidad slo sirven para determinar la diferencia que hay entre la presin de un punto del fluido y la atmosfrica, de ah que sta se emplee comnmente como presin de referencia, esto es, como cero arl>itrario de la escala de medida. La diferencia de presiones registrada por el instrumento de medicin se llama presin relativa o manomtrica, Pm

La condicin de presin absoluta -cero-- exi~te slo en el vaco, ya que al no haber molculas del fluido tam-poco hay. colisiones 01oleculares .. Cuand el cero de la .escala de presiones corres-ponde a estas condicines la presin me-dida se llama absoluta, P sea

P=P.+P ..

donde p. representa la presin atmosfrica del lugar, la cual no es constante (inci> so 2.2.1) pues depende principalmente de la elevacin sobre el nivel del mar y de fac-tores meteorolgicos. Sin embargo, para la gran mayora de las aplicaciones en ingeniera no smi de importancia los cam-bios de presin atmosfriCa de un lugar a otro. y, por lo mismo, la vaiiacin de la presin absoluta para una de tipo mano-mtrico o viceversa. No sucede lo mismo en el caso de un flujo de gases donde resulta necesario considerar presiones ab--solutas y, por lo mis~o, conocer la pre sin atmosfrica local:

La unidad ms utilizada para la pre-

sin es el kg/cm2 Las presiones de gran magnitud se expresan en atmsferas, atm (1 atm = 1.013 kg/cm2 ), o bien en kg/m2

1.3 Temperatura

21

Desde un punto de. vista matemtico la densidad en un punto queda definida como:

. lim AM P=. - . Av_,0 Av

donde AMes la. masa de .fluido contenida en el elemento. de volumen Av que rodea al punto . Nuevamente aqu, Av. se redu-ce :de tamao . alrededor de un. punto, ha~ta. aquel valor en que todava. el flwdo se considere un medio contirmo (ver 1.1.2). . .

Estrechamente asociado con la deiisi-dad est el. peso., especifico y que repre-senta el peso de fluid

22 propiedadeB de los fluidos

den considerar incompresibles ; en cam-bio,' en los gases, vara en la temperatura y la presin que acta, de acuerdo con la llamada ecuacin de estado de los ga-ses perfectos (ver 1.9). En ambos casos el peso especfico depende, adems, de la aceleracin de la gravedad local.

En la Fig. 1.3 se muestrala variacin de p y y del agua con la temperatura, a la presin atmosfrica a: nivel del mar y la aceleracin estndar de la gravedad. Los valores estndar para: p y y son 1

p :"'101.97 kg seg'/m'; y = 1 000 kg/m'

que correspondellalagui:t.puraa 4'C. (Los datos para dibujarla Fig. 1.3 fueron t-. mados de la referen'cia 1 ) . nehe sealarse . , ',.- ' ' ' ,_ -'';,, '-. ,_., .:;

. ;>'

'

io ~ .n; -

r-.... 100

--.. lo..

Y- ./ 98

".

: 96 .

~ 94 '/ ;,.. PM61o

r-

92 / YAffk> r---

o 2 o 40

que las propiedades varan por el conteni-do de sal o de sedimento; por ejemplo, el agua de mar con el contenido normal de sal, de 3.5 % a 4'C, tiene una densidad p = 104.76 kg seg' /m' y un peso. espec-fico y = 1 028 kgjm.

En la Fig. 1.4se muestra la variacin de p y y del aire-con la temperatura-para la presir( atmosfrica. a nivel .del mar y la aceleracin estndar de la gravedad. Los valores estndar para el aire corres-ponden al5'C; valen 'p = OJ25kg sg2/m' yy= 1.225kg/m', es decir, eJiire es, aproximadamente, 815 veces ms ligero qe el agla. (~s datos util~ado's para dibujar la Fig. 1,.4 fueron .toni~dos de la referencia 2). . . ; . .

'.

r--...: 7 ~IJ#WS

. ..... , r--..... ~ :-...

r--... .

.......

.

.

'

.. 6 o 80

l

1

t-.. -.,

~

020

000

980

e ]f ~

960 ._ ' m

~

'. 1 940

920

100 -20

Temperatura, en oc.

Figura 1.3. 'Densidd y peso especfico del ~gua para temperaturaS que se haiiari entre -20 y !OOOC, :a la presin atmosfrica al nivel del mar.

viscosidad 23

14 ~-'

o. 1.4

3

"' . .

\:' 1 , ' P~!re 0.1 .3 2

"' '

. .

P" '

1

/' Yoirc

'..; ~ e o.1 ~ 1 ~ l. ~ ... ....... ~ ~~

.~ ~-.. l. 0.10 o ,

0.09 [,;- 0.9 20 o ' 20 40 ~. 60. . 80. 100

. Temperatura, .en oc .

Figura 1.4. Densidad y ~so e~pecfico del ~~~ p~ra t~m~era~~s qu~. se . haJian :entre -20 y 1~ e, a la presin .atmosfrica a~niveldel mar.:

;J..5 Viscosidad

La viscosidad de un fluido es una me-dida de su resistencia a fluir, como resul-tado de la interaccin y cohesin de sus molculas.

Si se considera el movimiento de un flujo sobre una frontera slida fija, donde las partculas se mueven en lneas reCtas paralelas, se puede suponer que el flujo ~e produce en forma de capas o lminas de espesor diferencial cuyas velocidades va-ran con la distancia y, normal a dicha frontera (Fig. 1.5).

Segn Newton, el esfuerzo tangencial que se produce entre dos lminas separa-das una distancia dy, y que se desplazan con velocidades (v) y [v + (0vj0y) dy], vale

ov'

24 propielbuletr de los flulMs

1

1-------~---oof v(y)

Figura 1.5 Sobre la viscosidad de un fluido.

do no viscoso :on viscosidad !' = O y, el eldstico, con viicosidad !' = co.

Las dimensiones de la viscosidad din-mica, en el sistema absoluto, son [ML-1 r-i J y, en el gravitacional, [F L-2 TJ. Para el sistema absoluto centmetro-gramo roa~ sa-segundo, la equivalencia es g,.jcm seg, que es utilizada como unidad de viscosi-dad cinemtica en este sistema y es cono-cida como poise en honor de Poiseui!Ie :

. 1 g .. 1polSe= --cmseg

Para el sistema gravitacional es ms co-mn la unidad :

1 kg seg ,;, 98.665 ~ m2 cmseg

La viscosidad dinmica es funcin, prin-

Figura 1.6 Tipos de comportamiento reol?gico de un fluido.

cipalmente, cde la temperatura y la pre-sin. La dependencia respecto de la presin es . prcticamente despreciable para los lquidos y pequea o desprecia-ble para la mayora de los gases y vapo-res, a menos que la presin resulte muy grande. En tanto que la viscosidad de los lquidos disminuye con la temperatura, la de los gases aumenta.

En la Fig. 1.7 se muestra la variacin de !' del agua: y del aire, con la temperatu-ra. (Se ha dibujado con datos tomados de la referencia 3 ). . .

Para los clculos prcticos: es ms con-veniente relacionar la viscosidad dinmica del fluido y su densidad, con la frmula

!' Y=- (1.2) p

donde v es la viscosidad cinemtica. La ventaja de usar esta nueva propie-

dad es evidente, ya que sus dimensiones son [L2 T-1 ], esto es, independientes de

2xJO:--

.8

25

los conceptos de masa y fuerza. En el sistema CGS se emplea comnmente la unidad

cm2 . m2 1 stokes = 1-- = 0.0001--

seg seg

El coeficiente v presenta caractersticas semejantes a las de .

En la Fig. 1.8 se muestran los valores de v para el agua y el aire, en funcin de la temperatura y a la presin atmosfrica al nivel del mar, con datos tomados de la re-ferencia 3.

De acuerdo con la Be. ( 1.1 ), el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un flui-do pude desaparecer en alguno de los ca-soS siguientes :

a) Si se desprecia la accin de viscosi-dad (fluido no viscoso).

b) Si la distribucin de velocidades es Uniforme (V = constante) . y por tanto ov /o y = o; sucede cuando el flujo es tur

. bulent( y el efecto viscoso es despreciaple.

S X IO-G

2.S

2.6 .6 \

1..- Aire __, ~ r l. 4

l. 2

l. ov o. S

. 0.6

0.4

0.2 o

,

1\ '\ _......

1~

.

. 20

1 __.. V v

l,r Agua --.....

"-..

--..... r-..

60 80 Temperatura, en ~e

2.4

2.2

2.0

1 .S

1 .6

1

- 1 .2 . !00

:: ..

Figura 1.7. Viscosidad dinmi~ del agua y del aire' a la presin atmosfrica al nivel del mar.

1 1, [:

26 propiedades de .los fluidos

2 7 X lO-G' 0.27-i 0.026 2.6Xl

0.024 2

0.022

Ir. 1/ .4 / 2 .2 V 5 2

26 0.26.

0.25.

. .. j 24 0.24. 0.020 .o Aire~ V 2 0.23 j ~ 0.018 ~0.0.16

~ -~ '* 0.014 : ,.,; 0.012 1ft ~ 0.010 >

0.008

0.006

0.004

0.002

.8 ~ ;:--1

e :ii_ 1

1\ .6 \

.4

i ... 1

~ .2

> l. o

o. 8

o. 6 1

o. 4 . '

o. 2 ;/> o

.

.

\ 1/ !""- /

/ ' j

j/ 20 40

V )

v: . ' .

Agua

V r-... r-

... ...

. 60 . .8 o

2

2

3 ~-

2 ~ .: E

2 1 :

2 o ~ >

1 9

1

1 7

1 6

1 5 100

' 0.2-2 '

. ~ . ~

o.2I ~~ . '

0.18

0.17

0.16

0.15

Temperatura, en C .

Figura }.s .. Viscosidad ci~e~t:ca del agu~ y; del 3ire a la pre~i~- -~trhosfrici\ del nivel del mai:'.

e) En un lquido en reposo donde la ve-locidad en cada punto (y como consecuen-cia ov /o y) vale cero. Problema 1.1. Un lquido con viscosidad dinmica de 1.5 x I0-3 kg seg/m2 fluye sobre una pared horizontal. Calcular .el gradiente de velocidades y la intensidad del esfuerzo tangencial en la frontera y en puntos situados a uno, dos y tres cent-metros desde .la misma ( Fig. 1.9), supo- ;, niendo: a) una distribucin lineal de ve-locidades, y b) una distribucin parablica de velocidades. La parbola tiene su vr-tice en el punto A y el origen del sistema de ejes est en B.

Solucin a). Para. la distribucin .lineal de velocidades, la relacin entre la veloci-dad y la distancia y, es v = 15 y; el gra-diente de velocidades es

dv = 15 dy

Para y= O, v =O; dv/dy = 15 seg- en ton Ces, el esfuerzo tangencial vale

dv < = t-.-= 0.0015 X 15; dy .

< = 0.0225 kg/m2

el. cual es constante para el resto de los puntos, ya que dv/dy nO depende de y.

Solucin b). La ecuacin de la parbola debe satisfacer la condicin de que la ve Jocidad sea cero en el punto B sobre la frontera, siendo la velocidad:

V = 0.45- 500 ( 0.03-'" y )2

/" ,.

viscosidad 27

y

:. Figura 1.9. EsqeriJ.a aclaratorio del problema 1.1. -, ;

porlo que el gradiente de velocidades re-sulta dvfdy,; 1000 (0.03:...: y).

... .

E11 la siguiente tabla se presentan los resultados para

1'

28 propiedades de los fluidos

1.6 Compresibilidad

La compresibilidad de un fluido es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad) cuando se somete a diversas presiones. Cuando un volu-men v de un lquido de densidad p y pre-sin p se somete a compresin por efecto de una fuerza F, como se muestra en la Fig. 1.10, la masa total del fluido P v " permanece constante, es decir, que

d(pv) = pdv +vdp =O

De donde resulta :

Al multiplicar ambos miembros por dp, se obtiene

Eo-= dv/v dp +-- (1.3)

dp/p "

La cantidad B. se conqce como mdulo de elasticidad volumtrica del fluido Y es anlogo al mdulo de la elasticidad li-neal empleado para caracterizar la elas-ticidad de los slidos. Por tanto, el m-dulo de elasticidad volumtrica se define como el cambio de presin dividido entre

F

l'igura 1.10. Compresib;Jidad de un fluido.

el cambio asociado en el volumen (o de~sidad) por uuidad de volumen (o densi-dad), siendo una medi?a directa ?e la compresibilidad del flmdo. Sus dimen-siones son las de un esfuerzo [F L-']. El signo negativo de la Ec. (1.3) indica una disminucin en el volumen v al aumentar la presin p.

La mayoria de los fluidos pos~en un mdulo de elasticidad volumtrica re-lativamente grande que depende de la temperatura. Esto significa que ocurren variaciones pequeas de volumen o de densidad inclusive para variaciones gran-des de presin, y salvo en aquellos fen-menos en que se producen incrementos violentos de presin y tempe~tura (go~pe de ariete, flujos a gran velocrdad, fluJOS con transferencia de calor), en los restan-tes cruios no son de importancia. Lo ante-rior es particularmente cierto en los l-quidos porque se consideran incompre-sibles. " . "

El mdulo de elasticidad volumtnca del agua varia principalmente con la tem-peratura, como se muestra en la Fig: 1.11 (con datos tomados de la referencia 4) donde el valor de las condiciones estn-dar es 2.09 x 10" kg/m', es decir, apr?xi-madamente 100 veces ms compresible que el acero ; en cambio, para el aire el valor estndar resulta de 0.000 105 X 10" kg/m', esto es, 20 000 vec~s aproximad:'-mente ms compresible que el agua; sm embargo, la variacin depende de la natu-raleza" del proceso termodinmico que se efecta indicado en la seccin 1.9. ., Es c~mn designar la compresibilidad como el recproco del mdulo de elasti-cidad volumtrica: ~ = 1/ E., de dimensio-nes [L2"F-' ]; Problema 1.3. Encontrar la variacin de volumen que experimenta 1 m de agua a 20C cuando se somete a .un incremento de presin de 20 k g/ cm". " .

presin de fJtlporizac;.n 29

2.4Xl04 .

/ '

8 V /

/ 1

/ / ". f.,. 2.1

20 40 60

r'\. '\.

.

80"

2.8

2.2 :i3

\. \

2 .!

2, o !00

Tem)Miratura, en ~C Figura _l'.ll. Mdulo de elasticidad volumtrica del agua.

Solucin.. De la Fig. 1.11 se tiene que el mdulo de elasticidad volumcltrica del agua a 2ric es E. = 2.225 x 10' kg/cm2 y, por la E c. ( 1.3), la variacin de volumen resulta:

1.00x20 2.225XIO'

-0.0008~9 m

,1 '' .. '; ~' . ' . .. cTodos los lquidos tienden a" evaporar-se .. al cambiar su estado lquido por gaseo-so; es .decir, que en la inmediata .. vecin-:-pad de la superficie Jibre de un .Jquido a]gunas de sus molculas escpan hacia .eL medio por encima de dicha superficie. "En la misma manera, si la superficie libre

. permanece en un nivel fijo algunas" de las molculas libres regresan al lquido y pue-de alcanzarse " un equilibrio " en el in~el""cambio cuando es" igual el nmero de las ,que s;Uen y las que entran. ,

30 propiedades de los fluidos

bio con las del gas. Para que la ebullicin ocurra se debe alcanzar el equilibrio en el intercambio de molculas debido .a un incremento en la temperatura, hasta lo-grar la presin de vaporizacin (al igualar o exceder la presin total aplicada sobre la superficie libre) o bien por una reduc cin de la presin total en l interior del lquido, hasta que sea igual o menor a la presin de vaporizaCin.

Este fenmeno se presenta en la prc tica cuando en un scurrimiento ocurren grandes descensos locales de la presin, por debajo de la atmosfrica. Es el caso de las grandes cadas de presin en los labes de las turbinas hidrulicas que con ducen, a pesar de las bajas temperatu ras del agua, a la formacin de vapor cuya aparicin y consecuencias se conocen como cavitacin.

1.0 X 1 o <

i

32 propiedade8 de lo fluido

que en el punto de contacto eutre la pared y el lquido las tangentes forman un n-gulo a.

El ngulo a de contacto se puede ob-tener a pitir de las condiciones de equi-librio de la tensin superficial, sobre las fronteras de los tres medios. En la Fig.1.14 se mues~ las tensione.s superficiales a12 ( gs contra lquido), a13 (gas contra pa-red) y a23 (lquido contra pared), actuan-do sobre las superficies de frontera; la ecuacin de equilibrio es

3 Pared

a18 - 0'23 = t11.2 cOs a

1 Gas

Figura 1.14. Capilaridad,

Esta condicin es coaocida como ley de capilaridad y permite el clculo de. a si se conocen las tensiones superficiales .. de los tres medios. Si el trmino a13 ..., 23 .de la ecuacin anterior -cOnocido Como ten .. sin de adherencia- es mayor que a12, entonces no existe condicin de equilibrio y la pared es mojada por el lquido al adquirir a el valor cero. Si a12 > a13 - a23 y adems positivo, el ngulo a es agudo como en el caso. del agua. Si la tensin de adherencia es negtiva, es decir, a2s > ata, el ngulo a es obtuso (e> 90") como en el caso del mercurio y vidrio, para el que a= 138.

1.9 Procesos y propiedades trmicas de los gases

Las propiedades trmicas de los gases

no se puede; explicar con base, exclusiva-mente en consideraciones mecnicas como las anteriores. La adicin de la temperatu-ra, como una variable en el sistema, im-plica utilizar las ecuaciones de estado y las leyes de los procesos temwdinlimicos para describir completamente dichas pro-piedades. .

Para cada estado .interno la condicin de una substancia es nica 'y queda des-crita a travs de S)lS ,.propiedades. Se emplean dos clases . de relaciones en, hl de-terminacin de los estados de una substan-cia: en primer lugar, la ecuacin de .~stado que . se refiere al minJmo nmero de pro-piedades o condiciones necesarias . Pflra determinar .tanto su. ~s.tado como otras propiedades ; en segundo, la .ley 4~1 pro-ceso mediante el cual se produce. el ~bio de condicions y propiedades de. un I)Stado a otro, de acuerdo con el control efectuado que puede ser a temperatura y presin constantes, tranSferencia de calor nula, .etc. . . .

Ecuacin de estado de un gas perfeCto. Las ecuaciones de sta do paraJa mayora de los lquidos son muy complejas y slo pueden expresarse para un nil'eroJimita-do de condiciones, especialmente ,cuando es necesario: xpresarlas inclYC:mdo Va-ris efectos,. tales como presi9n, tempera-tura, volumep., etc .. De ah que restilte IJ1s prctico el. empleo de tablas y i!rficas de sus propiedades, ms que las.propias ecua-ciones de estado pues, por fortunaven los lquidos estas propiedades varan poco con la temperatura.

Las ecuaciones de estado para gases soh complejas para condiciones. cercanas a su punto de condensacin, Aprxilpaciories tiles se obtienen slo para condiciop.es diferentes a las ,del punto de .condensa-cin, y particularmente para aquellas cuyo cbmportamiep.to corresponde al de' un ~s perfecto, esto es, aquel que sigue la ecua-cin de estado de los gases perfectos.

procesos y propie~ trmicas de los gases 33

p=gR0 pT=RpT () donde

g aceleracin de la gravedad, en m/ seg2 p presin absoluta, en kg/m2 T temperatura absoluta, en grados K Ro una constante caracterstica de cada

gas, igual al trabajo en kg n que debe desarrollarse para incrementar a un grado K la temperatura de un kg del gas, a presin constante (sus dimen-siones son kg m/kg "K y vale 29.27 para elaire)

p densidad del gas, en kg seg2/m'

adems, R = g R0

, Se ha en~~htrad6 q!le los resultados experimeJ)tales concuerdan perfectamente con los obtenidos de la Ec. ( 1.4) para)a mayora de los gases reales; .. . .

Problema 1.4. Calcular la densidad del aire: a) a la presin atmosfrica a uivel del mar y a 1Sc ; b) a 1.4 k g/ cm2 de pre-sin absoluta y 37C.

Solucin a). ' Si la presin absoluta del aire a uivel del mar es 1.033 kg/cm2 ( 10 330 kg/m2 y la temperatura de .tsc co):Tesponde., a . 288"K; entonces de .la Ec. ( 1.4) y con Ro = 29.27 resul,ta;

p 10330 p= --= -

gRo T 9.8 X 29.27 X 288 = 0.125 kg seg2 /m'

lo cual coincide con el valor obtenido de la Fig. 1.4.

Solucin b). Como la presin de 1.4 kg/ cm es igual a 14 000 kg/m2 y la tempera-tfira de 3TC corresponde a 310"K, por

tanto, de la misma Ec. {1.4) se obtiene:

p 14000 p = gR0 T = 9.8 X 29.27 X 310 =

= 0.15744 kg seg2 /m'

Procesos temwdinmicos de los gases per-fectos. La adicin de una pequea canti-dad de calor a un sistema produce un estado transitorio de eventos muy comple-jos, dado que la temperatura y presin varan de un punto a otro en tanto que el sistema alcanza una nueva condicin de equilibrio. Se ha visto que slo las condi-ciones inicial y final del estado termodin-IIl:ico se caracterizan por Una temp-eratura uniforme nica. En cOnsecuencia, un sis-tema que sufra cualquier cambio' fsico no puede, en general, ser onsiderado homo-gn~o, es,io es,un.si~teina con temperatura uniforme en su interior y en equilibrio trmico. Sin embargo, si los cambios que ocurren en cualquier periodo finito son infinitamente pequeos, el Sistema se man-tendra continuamente en estado de equi-l_ibrioy, por lo mismo, se puede considerar homogneo: La gran ventja terica de dich proceso (infiuitamente lento) reside en q_e ste es revers'ible, es deCir, puede ser relizado en cualquier orden sin afec-tar; los resultados. .

A continuacin se desCriben los proce-sos y las leyes ms importantes de los ga-ses perfectos.

a) ProceSO a vlurnen constante. Los camlos de temperatura o de presin se realizan. sin cambiar el volumen gel gas ; esto es, el volulllen especfico . . . ,

v. = constante

b) Proceso a presin constante. Se co-noce tambin como isobrico y se efecta sin cambio im la presin del gas; esto es, de la Ec. {1.4') se tiene que

"' T ,':" ccmstante

34 propiedades de los fluidos

e) Proceso a temperatura constante. Tambin llamado isotrmico, representa un proceso en el cual la adicin de calor al gas produce cambios de presin y, ade-ms, una transfo!Tilacin de esa energa calorfica en trabajo mecnico ;proporcio-nado por el gas. De la Ec. ( 1.4)

p - = RT = const

36 propiedades de los fluidos

En los lquidos el valor de e depende principalmente de la temperatura; en los gases, los cambios de densidad causados por ondas de presin ocurren prcticamen-te sin friccin y adiabticamerite; Usando el mdulo de elasticidad volumtrico isen-trpico (Ec. 1.12) se o.btiene:

e=~~. enm/seg p .

Las magnitudes de p y p (en kg/m" Y kg seff/m\ respectivamente) estn rela-cionadas por una ecuacin de estado. As, de la E c. ( 104), la anterior para un gas perfecto, se puede escribir como sigue:

e=VgR0 T (1.14)

Lo erial demuestra que la velocidad del sonido en un gas perfecto depende slo de su temperatura.

Problema 1.6. Calcular la velocidad de las ondas sonoras en :

a) Agua; a una temperatura de 4c.' b) Aire a una temperatura de 15'C,

= .4 y Ro= 29.27kgm/kgK. Solucin a). Para el agua en cqndiciones estndar:

E. = 2.10 X lOS kg/m2 (Fig. 1.11) p = 101.97 kg seff/m4 (Fig. 1.3)

De la Ec. (1.13) resulta que

e = ./21 X lOS= 1435 m/seg ., 101.97

Soluein b). La temperatura absoluta del . . .

aire es

Substituyendo en la Ec. (1.14) resulta que

e=vl.4x9.807x29.27x288-340.20m/seg

Es posible comprobar que con una velo-cidad del aire, de 50 m/ seg, su densidad aumenta 1 /o, es decir, qu~ prctic_amente permanece incompresible; con 100 mjseg aumenta 4 o/o y, con 200 m/seg 16%. Para velocidades mayores el aire debe consi derarse compresible, pues'. ocurren otros fenmenos que no pueden despreciarse.

Comparando el valor de e para el agua y el aire, se observa que a medida que au-menta la compresibilidad del fluido, dis-minuye la velocidad de las ondas de so-nido.

PROBLEMAS

1. Explique la diferencia entre un fluido real y uno ideal.

2. En el ocano la piesin a 8 000 m de- pr" fundidad es de 1 OSO kg/cm. Suponiendo un peso especfico en la superficie .de: .l 025 kgfm3 y que el mdulo de elastiFidad _pro-xiledio es de 23.000 kg/cnl2 para este inter-valo de presiones, calcular: a) el cambio de densidad entre la superficie y la profun didad de 8000 m; b) el volumen y peso especfico a esa profundidad.

3. Indicar en la Fig. 1.5 el punto. en_ que. es mximo el esfuerzo cortante, xplicando Su afirmacin. '

4. Una flecha de 15 cm de dimetro gira a 1 800 rpm en un rodamiento estacionario de 030 m de longitud y 15.05 cm de dime-tro interior. El espacio uniforme entre la flecha y el rodamiento est ocupado por aceite de viscosidad 1.755 x 10-3 kg seg/m2 Detenninar la potencia requerida para ven-cer la resistencia viscosa en el rodamiento. Nota: Potencia = fuerza x velocidad

5. Un aceite combustible, cuya viscosidad es ~e 0.0303 kg seg/m"J,, fluye dentro de una tubena cilndrica de 0.15 m de dimetro. La veloc~d~d en todos los puntos de radio ,r est dada por la ecuacin v,.,6.41 (R'-~)/~ (m/se~).. donde R es el radio de la tuberia en m.

problemas 37

Calcular la intensidad del cortante viscoso en los puntos cuyo radio es r = R/2.

6. Fluye aire a 4C y 1.055 kg/cm2 de presin absoluta a lo largo de una superficie de terreno plano, con un perfil de velocidades semejante al de la Fig. 1.5 y que en la inme-diata vecindad del terreno sigue la ecuacin

v~40y-856Y"

donde y es el desnivel entre la superficie del terreno y el punto, en m, y v la velocidad, en mfseg. Determinar el esfuerzo cortante sobre el terreno.

7. Una pelcula uniforme de aceite con visco-sidad de 1.4 poises y de 0.025 mm de espe-sor separa dos discos montados coaxialmen-te, de 0.20 m de dimetro. Ignorando el efecto de las orillas, calcular el par motor necesario para que un disco gire con velo-

. cidad relativa de 400 rpm respecto del otro. 8. Un bloque cbico de 020 m de arista y 25 kg

de peso, se deja resbalar sobre un plano in-clinado 20" respecto de la horizontal, sobre el cual existe una pelcula de aceite de 2.2 x 10-4 kg segfm2 de viscosidad y 0.025 mm de espesor. Determinar la velocidad a la que descender el bloque, considerando la hip-tesis de distribucin lineal de velocidades.

9, a) Escribir la relacin .de esfuerzo cortante para el plstico ideal de Bingham, equiva-lente a la Ec. ( 1.1) de un fluido newtoniano. b) Un plstico ideal de Bingbam se coloca entre do~ placas planas paralelas, separadas 3 mm, una de las cuales se mueve en direc-cin paralela a su cara con velocidad de 3 m/seg. Si el esfuerzo cortante que se des-arrolla sobre la cara de la placa mvil es

0.366 kgfm2 y el inicial o de fluencia (a par-tir del cual se inicia el movimiento) es de 0.244 kgfm2, enCQntrar la razn con la cual vara el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades. e) Cul seria la viscosidad dinmica si el fluido fuera newtoniano en lugar de no newtoniano?

10. Un tanque cerrado de acero rgido tiene un volumen de 5 ms. Cuntos kilogramos de agua puede contener el tanque a 150 kgfcm2 de presin y 4"C de temperatura?

11. Para probar la resistencia de una tubera larga, a una presin de 40 kg/CJIP, se tapan sus extremos y despus se bombea agua al interior hasta alcanzar la presin propuesta. Suponiendo que el tubo no se dilata longitu-dinali:ri.ente, calcular el peso del agua intro-ducida por la bomba. La longitud de la tubera es de 2 154m, el dimetro interior de 0.55m, el espesor de la pared de 14mm, el mdulo de elasticidad del agua 21 OOOllgfcml y el acero de la tubera de 2f00000 kg/cm.

12. Una llanta de automvil con 0.041 ma de volumen, se infla a 1.76 kg/cm2 a nivel del mar (T ~ 10"C). a) Calcuilu' la presin en la llanta cuando se- conduce a 3 700 m so-bre el nivel del mar y a la misma tempera-tura; b) Calcular la presin cuando se con-duce en el desierto a 52-C; e) Calcular la masa de aire en la llanta.

13. A partir de la densidad del agua, a presiOn atmosfrica al nivel del mar y wac, calcular su densidad y gravedad especfica a 1 000 kg/cm y 94"C, suponiendo que la velocidad del sonido permanece constante. (Realizar los clculos hasta la tercera cifra significa-tiva).

. , ..

2 HIDROST A TI CA

2.1 lnti-oduccin

La esttica de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los flui-dos en reposo, y cuando se trata slo de lquidos, se denomina hidros-ttica. Desde el punto de vista de ingeniera civil s ms importante el'es-tudio de los lquidos en reposo que de los'gases, Jl(lr lo cual aqu se har mayor hincapi en los lquidos y, en particular, en el agua .

. ;

2.2 Ecacio~es f~aD:ientales 2.2.1 Ecuaciones de Euler

Se consid~l'a idealinente un elemento de fluido en forma prismtica que encierr ,Punto P, donde la densidad es p y la presin p (Fig. 2.1). Ha-bindose el~gid un sistema de coordenadas con el eje zvertical, conviene

. orientar los l:los de la partcula segn los ejes del sistema, de tal ma-nera que'la presin se. incremente en magnitudes diferenciales y genere las fuerzas indicadas en la Fig. 2.L ...

z

o

1 oP (P---dy)dxdz . _., 2 oY ..

dy

"I oP (P---dz)dxdy . 2 Q% . '

Figura 2.1. Eqilibdo de una partcula en uri fluido en reposo . . 39

40 hidrosttica

Si la fuerza de cuerpo por unidad de masa de la partcula es M =X i+ Y j +Zk el equilibrio de las fuerzas en la direc-cin x implica que

(p - 1/2 ap dx) dy dz -ax

- (p + lf, ap dx) dydz + ax

+ pX dx dy dz =O

Al simplificar y. hacer idnticos razona- . mientas en las reStantes airecci:.es coor~ : denadas, se 'obtiene .el sistenJa de ecua- . ciones

ap = pX ax

ap =pY. ay ap

.--.. =pZ az

(2.la)

(2.lb)

(2.lc)

conocidas como las ecuaciones estticas de Euler. Si se considera que la nica fuer-za de cuerpo es la debida al campo gravi-tacional- terrestre, sus componentes-, son : X = Y = O, Z = -g, y de las ecuaciones anteriores se tiene :

ap =o ax

ap =o ay ap --=-pg=-'Y az

(2.2a)

(2.2b)

(2.2c)

As se concluye que la presin dentro de un fluido en reposo vara solamente con la coordenada vertical z, y es cons-

tante en todos los puntos contenidos en un mismo plano horizontaL

De las ecuaciones anteriores se deduce finalmente que

dp=-pgdz=-rdz (2.3)

En general, la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos (Ec. 2.3) no se puede integrar a menos que se especifique la naturaleza de p. En la determinacin de la presin se trata entonces por separado a los gases y a los lquidos.

2.2.2. Atmsfera' estndar Por considerarlo de inters en ingenie-

ra, aqu slo se analizar el caso de las propiedades estticas del aire atmosfri-co prximo a a superficie terrestre ( tro-posfera, cuyo espesor aproximado es de 11 OOOm). Siendo el aire un fluido com-

presib!e; su densidad es funcin de la presin y la. temperatura; y, puesto que es un gas perfecto, la ecuacin de estado ( 1.4) relaciona la .densidad con la presin y , temperatura.

p p=--.. gR0 T

Esta ecuacin, substituida en la (2.3), con duce a

dp dz -p=- R0 T (2.4)

La Ec. (2.4 ), que se conoce como ecuacin de la aerostttica, permite determinar la variacin de presiones dentro de un fluido compresible en reposo si se conoce la tem~ peratura como una funcin de z.

De acuerdo con mediciones realizada.s en la troposfera se ha encontrado que la variacin de la temperatura (en "K) es lineal con la altura z, segn la relacin

ecuaciones fundamentales 41

T= T0 -az (2.5) donde:

a es el decremento de temperatura por cada metro de incremento en la altitud z;

To la temperatura estndar al nivel del mar (z =O), en "K. ..

La diferencial de la Ec. (2.5) es dT dz= -- (2.6) a

Substituyendo la Ec. (2.6) en la (2.4) re-sulta .

dp 1 dT -p= R0 a r

cuya integral es

1 lnp=--lnT+C (2.7) R0 a

La constante C de integracin se obtiene para las condiciones estndar a nivel del nJar: z = O, T = To y p = Po; por tan-to, con la Ec. (2.5) la (2.7)se escribe as:

)n!. =R 1 In T =-l- ln(l- az ) Po .o a To R0 a T0

La relacin entre presin y altitud z, es

...!!_ = (1-~//R,a Po T0

(2.8)

L:' relacin densidad-altitud se puede ~envar de la ecuacin de estado (lA) para un gas perfecto, con ayuda de las Ecs. (2.5) y (2.8 ). El resultado es

_P_ = _Y_ = __!:__ _!j__ = Po Yo . Po T (2.9)

P To = - -=---"---To-az Po

Combinando ( 2.8) y ( 2.9). la relacin en-tre presin y densidad es

P ( p )1/(I-R0 a) -=- (2.10)

Po Po

A nivel del mar las caractersticas de la atm?sfera internacional estndar se han elegido ( Ref. 4) como sigue;

Po = 10 333 kgjm T0 = 15"C = 288"K

Yo = 1.225 kg/m' Po = 0.125 kg seg2/m'

R0 = 29.27 m/"K a = 0.0065"K/m

Con los valores anteriores las Ecs. (2.5), (2.8), (2.9) Y (2.10), conducn, respectiva-mente, a las llamadas ecuaciones de la at11Wsfera estndar que permiten determi-nar sus propiedades, a saber: '<

T To = 1 -2.26 X o- z (2.11a)

p. . - = (1- 2.26 x JO- z)'~"' (2.11b)

Po. .. . . p e . . -:-;;- = (l-226 x.IO-z)u,. (2.11c)

Pa ' p -- = (--)'.23' (2.1ld)

\__Po Po

El valor mximo. estndar para z en las Ecs. (2.11) es de 10770m. Se observa que la .. Ec. (2.11d) corresponde aJa ecuacin de un proceso poli trpico (Ec; 1.6), donde n = 1.235. . .

Las Ecs. (2.11) son import~ntes en pro-blemas relacionados con. la cavilacin cuando hay necesidad de comparar la

42 hidr.ositica -

4000 .

300 o

e

1--

!000

o

\ \ f\ 1\ .L=p- 2.26 x IO-Sz)4.:iza P

"' 1\

.

"'\ ' .. ~ ~ = ll - 2.26 X 104.t)$.2SS V ~ Po ';

~ 0.6 0.7 0.8 0.9 pll

Po'

f\ 1.0

p P,

';Figura .2.2. _Variacin con I- altitud de .la pre-sin ~tmosfrica y de la densidad del aire en

la atmsfera estndar.

presin de vaporizacin con la. presin atmosfrica del lugar, o bien en el clculo de la densidad del aire o en el de presiones absolutas~

En la Fig. 2.2 se muestra la representa-cin grfica de las Ecs .. (2.1lb) y (2.1lc) para el intervalo de altitudes entre o y 4000 m sobre el nivel del mar, y la aproxi-macin que sta proporciona es suficien~ te en la solucin de problemas de inge-niera.

Por ejemplo, la elevacin media sobre el nivel del mar de la ciudad 'de Mxico es de 2240 m. En la Fig. 2.2 se observa 'que PIPo = 0.76 y, con Po = 10 333 kg/m2 , la presin atmosfrica estn_dar es

. p" ,;, 0.76 X !O 333 = 7.863 kg/m2 = = 0.786 kg/cm2 .

22.3 Solucin para los lquidos En el caso de un lquido ( p = constan-

te), es posible integrar Ja'Ec. (2.3) como sigue:

.!:. + z =constante y

(2.12)

. La Ec. (2.12) se conoce como ley de Pas-cal y permite calcular la. distribucin de presiones hidrostticas en. ,el seno .de ,un lquido en reposo. Esa presin depende exclusivamente de la coordenada z, es de-cir, de la altura de cada punto respecto de un nivel cualquiera elegido.

Para dos puntos : el O coincidiendo con la superficie libre del lquido y otro cual-quiera de elevacin z (Fig. 2.3), resulta

ecuaciones fundamentales 43

p. p -+z0 =-+z y y

La presin absoluta en el punto conside-rado es

P = P + Y (zo-' z) (2.13).

donde P representa la presin atmosfri-ca sobre la superficie libre dellquido y ( Zo - z) la profundidad del punto consi-derado. En la Ec. (2.13) p corresponde a la presin absoluta del punto de que se trata y' se mide a partir del cero absoluto de presiones. La presin atmosfrica local depende de la elevacin sobre el nivel del mar del lugar en que se encuentra el l-quido, y su valor estndar est dado por la Ec. (2.!1b) o bien en la Fig. 2.2.

Es ms comn medir la presin, hidros-ttica utilizando como valor cero d'refe-rencia ~ la atmosfric local. La presin s medida se llaina manomtrica y '!as unidades ms usuales' scm kg/trn o bien, k'' 2 . . ,.. . .. . .. ' .... g m. La Fig. 2.4 ilustra los diferentes niveles

de referencia para medir la presin ; la atmosfrica estndar a nivel del mar equi-

:.'

1.033 'kg/cm '10.33 m de agua 760 mm de mercurio 1 atmsfera

vale a la producida en la base de una co!iunna de agua de 10.33 m de altura.

Figura 2.3. DistribuCin de presiories hidrostticas en un lquido.

Existen casos en )ue . el lquido no es homogneo, como las soluciones salinas de concentraciones variables o lq..;idos estratificados de temperatura variable. En estas condiciones, el equilibrio slo es po-sible si los lquidos menos densos quedan arriba deJos ms densos. . ,

En tales casos se pueden ap!icar'Ias Ecs. (2.12) o (2.13) para cada nivel, deter-minando la presin como se indica en la Fig. 2.5.

( Presin abnosfrica al nivel del mar

Presin abnosfrica'"local -.------------

Succin } p .6 l . (negativa) res1 n manom nca

Presin absoluta

Cero absoluto (vacio total) Figura2.4. Unidades y escalas para la medicin

de presiones ..

44 hidrosttica

~p,--J V -

~ - - . - -- --" y, - --- -~ Y2 > Yt

' Ys >Y~

r-- P,+lly,A' ---j Figura 2.5. Distribucin de -presiones hidros-

tticas ' en lquidos de diferente -d:ensidad.

2.3 Dispositivos para la medicin de pre-siones hi_drostticas

Se han utilizado varios dispositivos para la medicin de las presiones producidas por tm lqido en tposo con base en la Ec. (2,13), llamadoscomnmente manD-metrOs.

2.3.1 Manmetros simples Los ms importantes son el barmetro

y el tubo piezomtrico. El primero es un dispositivo para medir la presin atmos-frica local; consiste en un tubo de vidrio lleno de mercurio, con un extremo celTa-do y el otro abierto, sumergido dentro de un recipiente que contiene dicho elemento (Fig. 2.6).

Presin atmosfrica

P,

Mercurio (Hg)

h

Figura 2.6. Barmetro.

La presin atmosfrica, ejercida. sobre_ .. la superficie del mercurio en el recipien-

te, lo fuerza a elevarse dentro' clel.tubo hasta alcanzar. la columna una altura fz que equilibra la presin atmosfrica; se expresa .as : ...

p.= y,..h

donde. Y!

: '1 :; 1 ,,

! '

46 hidrosttica

zontal, como se indica en la Fig. 2.9. Sobre esta pared se delimita una superficie de rea A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la presin hi-drosttica, as como su punto de aplica-cin o centro de presiones. La fuerza resultante so\>re la superficie A ser:

P=ff pdA=Yff zdA (2.14) A A

es decir, el volumen .de la cua de distri-bucin de presiones Obcd est limitada por el rea A. La integral que aparece e!C\ la . Ec. (2.14) es el momento esttiCo del J'ea . respecto de la superficie libre del lqui-do y se puede expresar en trminos del rea A y de la profundidad de su centro de gravedad zo. El empuje hidrostdtico es entonces

P=yAzo c2.15>

Las coordenadas (x., y,) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de los momentos estticos de las reas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido por la fuerza resul-tante. Para el eje x tenemos que

Py=ff yyzdA A

donde la integral representa el momento esttico del volumen de la cua de pre-siones respecto del eje x. De aqu se dedu-ce que Y coincid,{con la ordenada de la

p~oye9cin K' del centro de gravedad S, de ! cua.

Se puede dar tambin una interpreta-cin distinta y para ello se substituye z = y sen e en la' ~cuacin anterior:

Py. = ysen~ff ,y" dA .(2.16) A

donde la' integral es el momento de iner-

FigUra 2.9. Empuje hidrosttico y cent~ de presiones sobre una superficie plana e inclinada.

F! 1. i

empuje hlrosttico sobre superficies planas 47

cia del rea A respecto del eje x el cual es tambin

en que l. es el momento de inercia 'del rea respecto de un eje centroidal para-lelo a x; 1. puede tambin expresarse como ir = T/112 A, donde 7111 es el radio de giro de A respecto del eje centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye la Ec. (2.15) en la (2.16), con zo =Yo sen e, resulta:

-. ' Y =--+Yo Yo

(2.17)

Obsrvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de grave-dad del rea. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma anloga a x.:

Px= yseneJJ x y dA A

La integral de esta ecuacin representa el producto de inercia !.,, del rea respecto del sistema de ejes x-y; por tanto

!., ' X~:=-

yoA (2.18)

Generalmente, las superficies sobre. las ' se desea calcular el nlpuje hidros-

son simtricas respecto de un eje , paralelo a y. Esto hace que !, = O y que '

centro de presiones quede sobre di-eje.

Un procedimiento grfico para determi-Y se presenta en la Fig. 2.9: ~obre G'

levan!:a una normal G'M a la superficie r ID; la interseccip de la perpen~

dic:ul

48

Figura

hidrosttica

y=_g__h G 3

Area, A Cuadrado del radio del giro, r;

h' ' = 18 = 0.0556h

_ T6sen2e] 99 2 _, .

2se038co's8 ,.,,~,,. 8 sen8cos8-

64 sen6

8 J - 9 (28 sen2.8JZ

TABLA -2.1 -Centro de gravedad, rea "1 radio . : de giro- de las figuras ms usuales.

empuje hidrosttico sobre superficies planas 49

--=-----

/

a) Pared inclinada

1 1, 1 y(h, ~ h,) j-t!.j :J

/

b) Pared vertical

Figura 2.ll. Empuje hidrosttico sobre una pared inclinada o vertical con liquido en

ambos lados.

h'x2 h 2 z.=--+-=-h= 16m 12h 2 3 '

Este valor tambin es el de la profundidad del centro de gravedad de la cua de dis-tribucin de presiones.

S.olucin b). La distribucin de presiones es lineal en ambos lados y de sentido con-trario, .siendo .la distribucin resultan~e como se muestra en la Fig. 2.11a. .

En la misma forma que en la solu-cin (a), el empuje hidrosttico sobre la pared es el volumen de la cua de distri-bucin de presiones de ancho b, indicada con el rea sombreada, la cual se puede determinar calculando el rea del tringu- lo de presiones de la izquierda me:10$'. eL de la derecha.

Para el tringulo a la izquierda

Para el tringulo a la derecha, se tiene que

h, P2 =yb--2 sen e. aplicada a la distancia Y>z . desde el pun-to A, resulta

h,-(h./3). Y>z = -"~-'-;;'--'

sena

El empuje total est representado por la cua sombreada :

P =P1 -P2 = yb =

:...1' (2.42 -1.42)_ - X 2 2 X 0_866 - 4.388 ton

h, P,=yb2-a

sen . Tmnando n10mentos de las fuerzas respec-

, ;-- . to del punto A, obtenemos ''\

aplicada a la distancia y,,, desde"'el pun:' to A, entonces

2 h,, Ykl =- --.-3 sena

P h,2 2 h,

Y = yb-- X----2sena 3 sena

- y b..!!!_ h,- (h,/3) . . 2sena sena

50 hidrosttica

Substituyendo el valor de P, Y se puede despejar y escribir en la forma

h, 1 h,'- h,S -Y = sen 6 - 3 sen 6 h12 - h/ -

2.4 = 0.866.

2.916 3 X 0.866

1.649m

Solucin e). Para el caso de la Fig. 2.1lb es suficiente hacer e = 90 en las ecuacio-nes anteriores~ resultando

X

h,'-h.' . P=yb =1X2X

2.42 - 1.42

2

2

3.8.ton

1 h,'- h,' Y = t = h, "'::3 h,' -h.'

1 2.43 ~ 1.43 Y =2.4 ~ 3 2.4' ~ 1.4,. ~1.428 ~

Problema 2.2 .. Se desean obtener los em-pujes hidrost.ticos por unidad de ancho, as como los centros de presiones sobre

las caras a, y a2, del muro mostrado en la Fig. 2.12 ..

Solucin. Los empujes estn representa dos por las reas de las cuas sombreadas.

.. 1 P, = -yba12 = 2 .

= 2._ X 1 X 1 X 12 = 0.5 ton 2

a 1 +h P = yb---a, = .. 2 2

. 1 + 3 = 1 x 1-

2-2.2 = 4.4ton

Los centros de presin coinciden con los de gravedad de las reas delas cuas, a saber:

' . 2 . 2 >.' .; ' ' Zk = -a, = - x 1 = 0.667rn 1 3 3 . . . ' .

Para el centro de gravedad del re trapecial de la cua de presiones 2, se puede usar la ecticin indicada en la ta-bla 2.1. ' "'

,'"!

Figura 2.12. Empuje hidrosttico sobre un muro . . . de contencin.

empuje hidrosttico Sobre superficies planas 51

a, a1 +2h =2.2 1+6 = 1283 m Y=3 a,+h 3 1+3

. 2 = 1 + 1.283 -- = 2.166 m 2.2

h-a,) a,

Problema 2.3. En la Fig. 2.13 se mues-tra una pared vertical, metlica, de ancho b = 3m y altura de 5 m;. que se desea cons-truir para 9ue vierta el agua con una car~ ga z0 = 1.00 m. La cua de distribucin de presiones. de forma trapecial ~e des~a .di-vidir eri 4 P'lrtes iguales par'\. s~r soppr-tada pgr 4 largueros de dirnrisioi:is igu~, les. Determinar Ja . ~ga que . soportar cada larguero y las posiciones ad~cuads de los mismos.

Solucin; il! empuje hidrosttico en un punto i, a la profundidad z,, es entonces:

cuya dStribucin es parablica, corno se muestra en la Fig. 2.13; las coordenadas de sus puntos son

'''

,: __

,,..

z, en m 1 2 .3 4 5 . 6

P, en ton 0.0 4.5 12,0 22.5 36.0 52.5 .

El empuje hidrosttico sobre toda la pared corresponde a z. = 6 m, y vale P4 = = 525 ton. Cada parte ser entonces P/4 = 13.125 ton. Mediante una grfica se obtienen la~ reas iguales del trapecio, ari6taD.do- a -~escala, coffio ordenadas, los valores P, ,; 13.i25 ton, P2 = 2 x 13.125 = = 26.25 ton, et6., en la parbola, para ob-tener Jos puntos 1, 2, 3, 4. Analticamente se obtienen las profundidades de estos puntos al despejar :;, de la ecuaCin an-terior:

~ 2P, Z

52 hidrosttica

una de las reas parciales y se puede calcu-lar con la ecuacin correspondiente de la tabla 2.1, resultando as (Ref. 6),

2 h % t, z. [(k+m) -(k+m-1) l

3 y;::m (2.19) donde'

k . nmero de orden del larguero con-tado desd el canto . superior de la compuerta hacia abajo;

n m = (h/Zo)2 .:... 1; n nmero de largueros.

Para este problema:

4 m = -.,--- = 0.1143

(~)' -1 1

2 6 a . . [(k + 0.1143) -z.=

3 y4.1143 ' . t. -(k+ 0.1143-1) . ]

t. z. = 1.972 [(k+ 0.1143) -

-(k- 0.8857)8,.] De esta ecuacin resulta

k 1 2 4

z,, en m 2.243 3. 742 -4.775- 5,618

Este procedimiento se generaliza . para . cualquier forma de distribuci6n de pre-siones y cualquiera que sea el 'nmero de. subdivisiones de la fuerza resultante.

Cuando la altura de la compuerta es igual a la carga h, basta hacer Zo = O en

las ecuaciones anteriores. En este proble-ma la fuerza resultante sobre la compuer-ta es 6'

P = 1 x 3 x T =54 ton y las profundidades de los cuatro lar-gueros:

Z> = 0.3333 X 6 =2m z .. = 0.6095 X 6 = 3.657 m Zs = 0.7893 X 6 = 4.736 ~ z,, = 0.9346 x 6 = 5.608 m

'AlgUlas ocasiones conviene descompo-ner el empuje hidrosttico sol;>re una su-percie en: una componente vertical y otra horiZontal, como se muestra en_ la Fig. 2.14.

Figura 2.14. Descomposicin del empuje hidros-ttico. sobre. una superfi~ie plana.

La componente vertical es ) P, =y ff zcos6dA

A

donde cos 6 dA es la proyeccin del ele-mento de superficie dA sobre un plano horizontal. Esto es, P, es el peso de la columna vertical. del lquido que se apo-ya sobre el rea A. El punto de aplicacin de. esta fuerza queda en el centro de gra-vedad de dicha columna.

empuje hidrosttieo .sobre superficies curvas

Se observa que si 90' < 6 < 180', enton-ces cos a < O; esto significa que P, est dirigida de abajo hacia arriba y que la columna de lquido no existe fsicamente, pero las presiones son ascendentes.

La componente' horizontal de p vale :

P. = yJf z sen a dA ' "

donde sen 6 dA es la proyeccin del ele-mento dA sobre un plano vertical. Por elloiP. es el empuje hidrosttico que ac-ta en la proyeccin de la superficie A, sobre un plano vertical y, por tanto, se localiza en er centro de gravedad de la cua de presiones.

Problema 2.4. Determinar el empuje hi-drosttico P2 , del problema 2.2, en trmi- nos de las componentes vertical y hori-zontal.

Solucin. La componente vertical es igual al peso de la columna de lquido, es decir,

P,.=rb(a,;h) a.cosa=

( 1+3) = 1 X 1 - 2- 2.2 X 0.416 =

= 1.83 ton

La horizontal es

( a, +h) P,,=yb --2- .a2 sena= ( 1+3) 2 =1x1 - -- 2.2x-=4ton

. 2 2.2

El empuje total resultante. vale

P, = yP,.2 + P2.' = y1.832 + 42 =4.4 ton

2.5 Empuje hidrosttico sobre superficies curvas

Cuando es curva la superficie sobre la que se ejerce presin hidrosttica, sta se puede proyectar sobre un sistema. triorto-gonal de planos coordenados, convenien-temente dispuesto, de manera que uno de ellos coinCida en la superficie libre del lquido. As, se procede a calcular ei empu-je hidrosttico por separado sobre cada proyeccin.

Si los planos de las coordenadas x-t y y-z son verticales y el x-y coincide con la superficie del lquido (Fig. 2.1Sa),las com-ponente.s del e:npuje,,hidrosttico soqre la superficie curva 1, 2, 3, 4, son: -

(2.20a)

P, = 'Y ff z dA,= y (za), A, Ay: .

(2.20b)

P, ='Y ff Z dA,= y za A, , A,

(2.20c)

donde A,, A,, A., son las reas de las p~oyecciones de la superficie sobre los tres planos de coordenadas; (zo). y (zo), la profundidad del centro de gravedad de dichas proyecciones y zo la profundidad del. centro de gravedad de la superficie curva en el espacio. La E c. ( 2.20c) indica que P, es igual al peso .. de la columna de lquido soportada por la superficie curva, y zo la altura de dicha columna coincidente con su centro de gravedad (Fig. 2.15a).

En la misma forma, las coordenadas del centro de presiones sobre cada proyeccin de la superficie curva son (Fig. 2.15a): Para. la proyeccin A. :

( ) r, . r ... Z = ( ) A ; Y = ..,.-..) ":--- (2.21a) Za ~ (/} (Za ,A~~~"

Para la proyeccin A, :

54 -, hidrosttica,:

I. I .. x. = (2.2lb) (ZG)v A.

donde

lv momento de inercia de A. respecto "de y

1.. 'producto ;de inercia de' A. respecto d~YYZ. , .

1.. . momento de inercia de Av respecto de x.

1.. producto de inercia de Av respecto de x y z

co.:Uo sucede en 'cualquier sistema de

. ~\

(a)

z (b)

fuerzas en el espacio, no siempre es posiw ble. obtener una fuerza resultante nica sin;, que adems p1.ede 1laber un par .

.. Al proyectarJa superficie curva sobre los tres planos de coordenadas P\lede su ceder que algunas partes de ella.se super pongan, partes que se suprimen en la de-terminacin de P. o P vi ya que se eliminan las presiones horizontales que resultan. Este es el caso de la proyeccin de la su perficie curva ABC( de la Fig. 2.15b) sobre el 'plano yz, ya que resulta como proyec cin Ja superficie A'C', .En el. caso de)a Fig. 2;15c Ja componente P, del empuje hidrosttico sobre la superficie AB, segn la E c. (z.20c) es igual al peso del volumen

..

(e) Figura 2.15 .. a, b, e

empuje hidrosttico sobre superficies curvas 55

imaginario de lquido que soportara la propia superficie.

Problema 2.5. Determinar efempuje hi drosttico y el centro de' presiones sobre la superficie cilndrica AB, mostrada en la Fig. 2.16.

Solucin. La componente horizontal del empuje hidrosttico sobre la superfiCie ci-lndrica, de ancho b, es igual al rea som breada del trapecio, es decir, de acuerdo con las Bes. (2.20) vale

y su posicin corresponde a la profundi dad del centro de gravedad del trapecio:

D 3zo+2D Z= +Zo 3 2zo + D

La co1J1ponente vertical del empuje se puede 'obtener sigiendo este razonarriieri to: sobre la superficie BG se ejerce un empuje vertiC:i p~-~ Sceitdente, que equi-

1 1

~.:: :::..:. _-/ -~-1 1

jyz,l,,

P,. _h.9-~~ k

/ /

vale al peso de la columna virtual de lqui-do sobre esa superficie, como se muestra en la Fig. 2.16. Sobre la superficie AG existe un empuje vertical P,.., descendente, que equivale al peso de la columna real de lquido sobre dicha superficie, como se muestra en la misma figura.' La resultan te de ambas fuerzas es igual al empuje vertical total ascendente sobre toda la su perficie ; esto equivale al peso de la colum-na virtual de lquido encerrado por la su perficie AGB, y aplicada en el centro de gravedad del rea encerrada. 'Resulta

n .. P,= yb-lf'; e= 0.2122D

El empuje total sobre la superficie .. ser la resultante de las .dos componentes:

I? =vP. + p; Esta fuerza debe ser radial al cilindro.

Problema 2.6. Determinar el empuje hi drosttico sobre la compuerta radial nios-

+

/

.FigUra 2.16. 'Empuje hidrosttico sObre un: ' ' superficie cilndrica.

56 hidr.osttica

-F~ 2-.17~ Empuje bidrosttico sobre una com-puerta radial que controla la descarga sobre

un verte4or.

trada en ]a Fig. 2.17a para Jos datos h = l.Sm; R =3m; y a= !S; el ancho de compuerta es b = 5.00 m.

Solucin. De la geometra de la Fig. 2.17b se deduce Jo siguiente:

2 .. .... . z. = '3 x 1.5 = l.OOm P, = ybAu2 '

El rea del sector 012 es:

, i ~ ,;,. '/ 32 x 0.599~1;, 2.697 m2 e = R sen a = 3 x 0.25882 = 0.776 m

' .. ,., ., , El rea del tri~gulo 012 ,ale=. y para el sistema. de ejes indicado, la ecua-cin del segmento es 'h R' sen~ = , x 9 x 0.5641 = 2.538 m

x"+z'=R'=9 De aqu se encuentran las abscisas de los puntos 1 y 2, substituyendo sus ordenadas

Z1 = 0.776m; X1 = 2.898m z. = 2.276m; x, = 1.955m

a= x.-x, = 0.943m

tan a = ~ = 2'276 = 1.1642 X, 1.955

a = 49"20'17" ~=a-"= 3420' 17" = 0.59931 rad

P.= 1hybli'= 1h X 1 xS X 1.52 = = 5.625ton

El rea del segmento 121 es, por tanto, 2.697- 2.538 = 0.159 ni'. El rea del tringulo 123 es :

1/2 h = 1/2 X 0.943 X 1.5 = 0.707 m Fi:lalmtmte, el rea sombreada A122 vale: A123 = 0.159+ 0.107 =0.866 m'

P.= 1 X 5 X 0.866 = 4.33ton

P = VP' + P' - 7.098 ton

tan e = 0.7698; e = 37 35'

La distancia d con respecto al centro de la compuerta vale :

empuje hidrosttico sobre &uperficies curvas 57

2 -h.+c 3

d= 2 a ( R ) , :;+ h (~-sen~)

como fcilmente puede comprobarse to-mando momentos con respecto a 9 ; subs-tituyendo Jos valores, resulta d = 2.308 m.

Problema 2.7. La compuerta ilust111da en la Fig. 2.18 tiene 12 m de longitud y las dimensiones indicadas. La distancia hori-zontal entre el centro de gravedad de la compuerta y la articu.Jacin vale L9f m. Despreciando la friccin en la articulacin y en Jos sellos, determinar el peso w que debe tener la compuerta para lograr el equilibrio esttico .

Solucin. Segn la geometra de la com-pue~a, se tiene que

3.5 sen 61 = -- = 0.7778, o sea a, = 4.5

a, = st 4' = 0.891 rad

. sen ; = sen 25' 32' = 0.43104

cos a, = o.6284 a,

cos - = cos 25' 32' = 0.90233 2

. ,ab = 4.5 (1 ~cosa,).= 1.672 m

. 'sen a, = 0

46

= 0.1373, a,= 7' 53', 3.35

cosa, = o.990s oc = 3.35 x 0.9905 = 3.318 m

La distribucin de presiones vara lineal mente: de cero en la superficie a 3.5 y en la articulacin, y 3.96 y en el punto ms

Figura 2.18. Compuerta de segmento s'obre un cimacio ..

58 hidrosttica

bajo de la compuerta. Las componentes del empuje hidrosttico que actan sobre la compuerta, por cada metro de ancho de la misma, valen

P., = 1/2 (3.5)2 y;, 6.125 ton El empuje P., es el peso del volumen

de agua del tringulo a o b; y 1/2 ab ao = 0.5 x n x 3.5 = 2.926 ton menos el del segmento ob (tabla 2.1) :

y 1/2 (r,2 e,- r,' sen e,) = 1.146 ton

siendo entonces,

P,, = 2.926 ..:... 1.146 = 1.78 ton

P., = 2. (3.5 + 3.96) 0.46 i= 1.716ton . 2 . .. . .

P,, = 2. (3.5 + 3.96) 3.318 = 12.376 ton 2

La localizacin de estas fuerzas es como sigue:

3.5 z, = - 3- =!.167m

z, = ~ 2 x 3.96 + 3.5 = 0_235 m 3 3.5 + 3.96

En el clculo de Xt el peso del volumert de agua del tringulo a o b tiene un bra-zo de palanca respecto de ~ que vale

1 3 x 1.672 = 0.557 m

y el del segmento ob (tabla 2.1) :

( 4 sen' (e,/2)) . . e, ... :

r,-[r,-r, 1~3e,-3sene, ]cos-z=

=r1i1-[1-( 1

=4.5i 1-[1-

4sen3 (e,/2)) ]cos~r= 3e1-3sene, 2

-(1_ 4x0.43104" )J 0_90233r = 3x0.891-3x0.7778 .

=0.6698m

Por tanto, . 2.96 X 0.557-1.146 X{l.6698 0.484 in

x, 1.78 .

Finalment~, 3 35 2x3.96+3.5

x, ,_3- ..:::.;,~,.-;;-;,..;-.:... . 1.709 m

3,5,+3.96 '

Tomando momentos con respecto a la 'ar-ticulacin :

,.

. W .. 1.78 X 0.484 + 6.125X1.167+UX1.92=

= 1.716 X 0.235 + 12.376 X 1.709 . W = 84.653 ton

2.6 . Principio de Arqumedes

En el c~so de. un cuerpo slido cual-.. quieraflotando en un lquido (Fig. 2.19)

existe un estado de equilibrio debido a que

p., dA,

Figura 2.19. Flotacin de un cuerpo.

principio de arqumedes 59

el lquido ejerce sobre el cuerpo una pre-sin ascendente de igual magnitud que el peso propio del cuerpo, que se puede calcu-lar a partir de los resultados del subca-ptulo 2.5.

En efecto, se observa que las campo, nentes horizontales de las fuerzas de pre-sin hidrosttica se eliminan sin existir resultante horizontal alguna. Slo existe la componente vertical P;, la que se de-termina del equilibrio del cilindro vertical de ~eccin transversal horizontal dA., li-mitado por la superficie A que ericie!Ta al cuerpo. Sobre el punto i acta la fuerza elemental p. dA,; y sobre .el punto 2 la fuerza elemental (p, + y z) dA. .. La resul-tante de las fuerzas verticales ascenden-tes es:

P, = ff [(po +y z) dA.- p, dA.] = A, '

=Yff zdA. A,

La integral es igual al volumen u, de la parte de cuerpo en flotacin que se en-cuentra debajo de la superficie libre del lquido; esto es:

(2.22)

La Ec. ( 2.22) es la interpretacin ma-temtica 'del conocido principio de Arqu-medes: "Todo cuerpo sumergido -en un lquido experimenta un empuje vertical ascendente igal al peso del volUnuin de lquidO desalojado." Ei punto de aplica-cin de diclio einpuje coincide con el cen-tro de gravedad del volumen desalojado y' se conoce con el nombre de centro de flotaci6n o de carena. Problema 2.8. Una pieza de oro y plata, leados en cierta ley, pesa 53.96 g fuera del agua y 50.7 g dentro de ella. Si el peso especfico del oro puro es 19.25 g/cm8

y el de la plata 10.3 g/cm3, determinar los .porcentajes a que se han ligado dichos metales.

Solucin. El peso especfico del agua a 4'C es 1 g/cm' y, de acuerdo con la Ec .. (2.22), el volumen de la pieza es v = 53.96 - 50.70 = 3.26 cm'; su peso especfico y, = 53.96/3.26 = 16.55 g/cm3 El porcentaje x, de oro puro de la pieza resulta de plantear la ecuacin

19.25 x t 10.3 (1 ~ x) = 16.55 Se: obtiene x = 0.70, es decir,. 70 o/o de oro y 30 o/o de la,ta. . . . . ..

El principio de flotacin es la base del hidrmetro, aparato utilizado Pal'llmedir el peso specficode un lquido (Fig. 2.20): Consiste en un tubo de vidrio uya sec: c~~l t~an~Ver:sal. tie~e u~a ~r~a f!:,. ce~4a en su extremo superior y que en. ~u ext~~ II)O inf~por rerllata en Un bulbo Jastrado de volumen v0 con objeto de que su cen-tro de gravedad sea lo ms baj~ po~ible y el hidrmetro flo.!e verticalmente.

l

o __j_ u,

Figura 2.20. Hidrmetro,

Conocida la profundidad (hasta el ni-vel 0) a que se sumerge el hidrmetro dentro de un lquido de peso especfico conocido y, para otro lquido dicha pro,

60 hidro.sttica

fundidad ser diferente si su peso espec-fico y,, es tambin distinto. Si el peso total del hidrmetro es G, se cumple que

G = y1 ( v0 + a 1) . G

Para el primer lquido v o. = -.-. ; en ton-. . 'Y

ces resulta que . . . . ..

z=~C,-i) As, con esta ecuacin se puede graduar una escala de longitudes l, sobre el tubo de vidrio,'. pai"a'' 'ula relaci~n .conocida y y, y usarla despus para o~os lquidos. Problema 2.9. El orificio rectangular' de dimensiones b x h {Fig. 2.21), practica-do n la pared- vertical de uri redpieDte, se cierra con mia compuerta de iguales di-mensiOne~ ; dicha Compuerta- est . conc tada a un palmca y unida rgidamente por' oi:ra a un tambor cilndrico h