1.1 integral riemann

8/16/2019 1.1 Integral Riemann

1/26

1

1. La integral definida

María Concepción González Enríquez

1.1

Sumas finitas

La Integral Definida es uno de los dos conceptos fundamentales delCálculo Diferencial e Integral. En el desarrollo del pensamiento humano se

tiene en forma natural la idea de área de una región, mismo que produce elconcepto de Integral definida, aunque la integral definida tiene muchas más

interpretaciones en el mundo físico y matemático.Usando los conceptos de sumas inferiores, sumas superiores y sumas de

Riemann, llegaremos a la definición de la integral definida de una funciónsobre un intervalo cerrado.

Trataremos con sumas de una cantidad finita de números reales, las cuales

tienen una notación simplificada de la forma siguiente:

Notación nnk

k

k aaaa ++++++++++++====∑∑∑∑====

====

K211

k se llama índice de la suma, puede tomar cualquier otro nombre de letra

del abecedario,k

a denota el término general k-ésimo de la suma; 1====k en

la parte inferior de la suma nos indica que la suma inicia con el término 1a ,

pudiendo ser cualquier otro término inicial en la suma siempre que se

indique en la parte inferior. En la parte superior de la suma de igual formase indica que la suma termina con el término na

Lo primero es expresar una suma desarrollada en notación abreviada, einversamente una suma abreviada en una suma desarrollada.

Ejemplo. Desarrolle la siguiente suma abreviada ∑∑∑∑====

4

1 !

2

k

k

k

Calculamos cada uno de los términos!

2

k a

k

k ====

21

2

!1

21

1 ============a , 22

4

!2

22

2 ============a 3

4

6

8

!3

23

3 ============a ,3

2

24

16

!4

24

4 ============a

Así, escribimos

3

2

3

422

!

24

1

++++++++++++====∑∑∑∑====k

k

k


2/26

2

Ejemplo. Desarrolle la siguiente suma abreviada ∑∑∑∑====

−−−−7

1

)1(

k

k

k

Observamos que si k es impar el término será negativo, si k es par eltérmino será positivo.

Calculamos cada uno de los términosk

ak

k

)1(−−−−====

11

1

1

)1( 1

1 −−−−====−−−−====−−−−

====a , 2

1

2

)1( 2

2 ====−−−−

====a 3

1

3

)1( 3

3 −−−−====−−−−

====a ,4

1

4

)1( 4

4 ====−−−−

====a

5

1

5

)1( 5

5 −−−−====−−−−

====a 6

1

6

)1( 6

6 ====−−−−

====a ,7

1

7

)1( 7

7 −−−−====−−−−

====a

Así, escribimos

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1)1(7

1

−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−−

∑∑∑∑====k

k

k

Ejemplo. Exprese en notación abreviada la siguiente suma:

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1++++++++++++++++++++

Observamos que los numeradores son los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5,6. Y los denominadores son el numerador más uno. Así, escribimos

∑∑∑∑==== ++++

6

1 1k k

k , es decir

∑∑∑∑==== ++++

====++++++++++++++++++++6

1 17

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

k k

k

Ejemplo. Exprese en notación abreviada la siguiente suma:)1025()816()69()44()21( −−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−

Observamos que los primeros términos de cada resta son los númerosnaturales elevados al cuadrado: 1, 4, 9, 16, 25. Y los segundos números son

el doble de los números naturales: 2, 4, 6, 8, 10. Así, escribimos

∑∑∑∑====

−−−−5

1

2)2(

k

k k

Es decir ∑∑∑∑====

−−−−====−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−5

1

2)2()1025()816()69()44()21(

k

k k

Las propiedades de las sumas finitas se obtienen de las propiedades y

axiomas correspondientes a los números reales y la mayoría se puededemostrar usando el Principio de Inducción Matemática.

Propiedades de las sumas finitas y ejemplos:

1. ∑∑∑∑∑∑∑∑========

====n

k

k

n

k

k acca11

, aquí c es una constante en el sentido de que su

valor no depende del índice k .


3/26

3

Ejemplo. ∑∑∑∑∑∑∑∑========

−−−−−−−−====−−−−−−−−5

1

5

1

)12()2()12)(2(k k

k k

Desarrollando de lado izquierdo

5018141062

)9)(2()7)(2()5)(2()3)(2()1)(2()12)(2(5

1

−−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−−−−−−∑∑∑∑====k

k

Desarrollando de lado derecho

∑∑∑∑∑∑∑∑========

−−−−====−−−−====++++++++++++++++−−−−====−−−−−−−−====5

11

50)25)(2()97531)(2()12()2(k

n

k

k k ac

2. ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

============

++++====++++n

k

k

n

k

k

n

k

k k baba111

)(

Ejemplo. ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

++++====++++4

1

24

1

4

1

23)3(

k k k

k k k k


602818104

)1612()99()46()13()3(4

1

2

====++++++++++++====

++++++++++++++++++++++++++++====++++∑∑∑∑====k

k k


603030

)16941()12963(34

1

24

1

====++++====

++++++++++++++++++++++++++++====++++∑∑∑∑∑∑∑∑======== k k

k k

3.

ncc

n

k ====∑∑∑∑====1

Ejemplo. )6(5)6(5

1

−−−−====−−−−∑∑∑∑====k

Es una consecuencia de la propiedad de factorización o propiedad

distributiva de los números reales.

30)6(5)6()6()6()6()6()6(5

1

−−−−====−−−−====−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−−∑∑∑∑====k

4.

nmaaan

mk

k

m

k

k

n

k

k


4/26

4

conozcan fórmulas para hacer la suma desde el término uno, como lo

veremos más adelante, aquí podemos despejar por ejemplo la sumadel término 4 al 7 y las otras dos sumas empiezan desde el término 1.

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

++++−−−−++++====++++3

1

27

1

27

4

2)1()1()1(

k k k

k k k

Las propiedades 5. y 6. son consecuencias directas de las propiedades

de orden y del valor absoluto de números reales respectivamente.

5. Si ∑∑∑∑∑∑∑∑========

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤n

k

k

n

k

k k k bank ba11

,1 para

Ejemplo. Tomamos 41 para entonces y 2 ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤======== k bak bk a k k k k

Por lo tanto ∑∑∑∑∑∑∑∑========

≤≤≤≤4

1

24

1 k k

k k


1043214

1

====++++++++++++====∑∑∑∑====k

k


30169414

1

2 ====++++++++++++====∑∑∑∑====k

k y se tiene 3010


5/26

5

Ejemplo.

7

61

7

1

6

1

7

1

5

1

6

1

4

1

5

1

3

1

4

1

2

1

3

11

2

11

1

16

1

−−−−====−−−−====

−−−−++++

−−−−++++

−−−−++++

−−−−++++

−−−−++++

−−−−====

−−−−

++++∑∑∑∑====k k k

FÓRMULAS BÁSICAS

2

)1(

1

+=∑

=

nnk

n

k

6

)12)(1(

1

2 ++=∑=

nnnk

n

k

4

)1( 22

1

3 +=∑=

nnk

n

k

La suma geométrica 1,1

11

0

≠≠≠≠−−−−

−−−−====

++++

====∑∑∑∑ a

a

aa

nn

k

k

Cualquiera de estas expresiones se demuestran por inducción matemática.

Ahora calculamos algunas sumas que requieren de las propiedades yfórmulas enunciadas anteriormente

Ejercicio. Calcule la suma ∑∑∑∑====

−−−−++++10

1

)3)(1(k

k k

)32()3)(1(10

1

210

1

−−−−−−−−====−−−−++++ ∑∑∑∑∑∑∑∑========

k k k k k k

se realiza primero la multiplicación

24530110385

)10(32

)11(1026

)21)(11(10

)3(210

1

10

1

10

1

2

====−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============ k k k

k k

Ejercicio. Calcule la suma ∑∑∑∑====

−−−−7

0

)2(k

k

Es una suma geométrica con 2−−−−====a

853

1256

12

1)2()2(

87

0

−−−−====−−−−

−−−−====

−−−−−−−−

−−−−−−−−====−−−−∑∑∑∑

====k

k

Ejercicio. Calcule la suma ∑∑∑∑====7

4 32

k k

k

Es una suma geométrica con3

2====a

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

−−−−====3

0

7

0

7

4 3

2

3

2

3

2

k k

k

k k

k

k k

k


6/26

6

2187

1040

3

)8116(16

3

)32(2

3

322

33

3

13

2

3

2

3

13

21

3

21

3

21

3

21

3

21

3

21

77

444

7

448

8

8

4

4

8

8

4

4

8

8

48

====++++−−−−

====++++−−−−

====++++−−−−

====

++++−−−−====

++++−−−−−−−−====

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

====

Ejercicio. Calcule la suma ∑=

+8

1

2)3(

k

k

Forma 1. Desarrollando el binomio

∑∑∑∑∑∑∑∑========

++++++++====++++8

1

28

1

2)96()3(

k k

k k k

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

++++++++====8

1

8

1

8

1

296

k k k

k k

49272)9(24)17(12)9(82

)9(86

6

)17)(9(8====++++++++====++++++++====

Forma 2. Con una sustitución o cambio de variableTomamos 3+= k i y calculamos los valores del primer y último valor delnuevo índice:Si 1=k entonces 4=i

Si 8=k entonces 11=i Podemos reescribir la suma como sigue:

49214)23(226

)7)(4(3

6

)23)(12(11

)3(

3

1

211

1

2

11

4

28

1

2

=−=−=

−=

=+

∑∑

∑∑

==

==

i i

i k

i i

i k

Ejercicio. Calcule la suma ∑= ++

9

12 209

1

k k k

Como )5)(4(2092 ++=++ k k k k

Separamos en fracciones simples:54)5)(4(

1

++

+=

++ k

B

k

A

k k


7/26

7

)5)(4(

45)(

)5)(4(

45

)5)(4(

)4()5(

54)5)(4(

1

++

+++=

++

+++=

++

+++=

++

+=

++

k k

B Ak B A

k k

B Bk A Ak

k k

k Bk A

k

B

k

A

k k

Igualamos numeradores: B Ak B A 45)(1 +++= Como en el lado izquierdo no hay término en k , tenemos el sistema deecuaciones :

145

145

0

=+−

−=→

=+

=+

B B

B A

B A

B A

de aquí que 1y1 o 1 =−==− A B B

entonces5

1

4

1

)5)(4(

1

+−

+=

++ k k k k

Y la suma se reescribe como

∑= ++

9

12 209

1

k k k

∑∑==

+

−+

=++

9

1

9

1 5

1

4

1

)5)(4(

1

k k k k k k

−−−−++++

−−−−++++++++

−−−−++++

−−−−====

14

1

13

1

13

1

12

1

7

1

6

1

6

1

5

1L

70

9

70

514

14

1

5

1====

−−−−====−−−−====

Ejemplo. Calcule la suma ∑=

+

−5

112

1

k k

k

Usamos que 11 2

1

22

1+++−=−k k k

k k k

∑=

+

+−

5

112

1

2k k k

k k la cual es una telescópica

32

13

2

32

2

3

2

1

2

6

2

1

2

6

2

5

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

5

4

56

6543322

5

11

=−

=−=−=

−++

−+

−+

−=

+−∑

=+

Lk

k k

k k

Ejemplo. Calcule la suma ∑=

+

6

0123

1

k k


8/26

8

19683

7381

59049

59048

8

3

9

19

8

3

9

91

8

319

1

8

3

9

8

1

9

1

3

1

19

1

19

1

3

1

9

1

3

1

)3(

1

3

1

3)3(

1

3

1

5

5

5

5

5

5

54

0

4

02

4

02

4

012

=

=

−=

−−=

−−=

−

−

=

−

−==== ∑∑∑∑

====+

k k

k k

k k

k k

1.2

Cálculo de áreas a través de rectángulos inscritos y circunscritos

Ahora introduciremos los axiomas que definen el concepto de área de unaregión plana.

Axiomas del área de una región plana

- El área de una región plana es un número real no negativo.

Sean GyFE, regiones planas:

-

)()( entonces FE Si F área E área ≤⊆ .

- entonces ,0)(yEG Si == F E área F IU

).()()( F área E áreaG área ++++====

- Si E es un cuadrado de lado a , entonces 2)( a E área ====

Proposición. Si E es un rectángulo de lados ba, entonces ab E área =)(

Demostración. Con el rectángulo construimos la siguiente figura

Tenemos el cuadro grande C de lado ba ++++ , por el axioma 4 su área es2)( ba ++++ ,

En medio se formó un cuadro D de lado ab −−−− , por lo que su área es2)( ab −−−−

a

b

2)( ab −−−−

2)( ba +

R

R

R

R

R

D

C


9/26

9

Luego R R R R DC UUUU==== y las regiones D y R ´s se intersectan en

segmentos de recta que tienen área cero, por el axioma 2 de áreas).(4)()( Rárea DáreaC área ++++====

Entonces )(4)()( 22 Ráreaabba ++++−−−−====++++

)(44

)(422

)(422 2222

Ráreaab

Ráreaabab

Ráreaaabbbaba

====++++−−−−====

++++++++−−−−====++++++++

Por lo tanto )( Ráreaab ====

Ejemplo. Una demostración del teorema de Pitágoras.Con el triángulo rectángulo T cuyos catetos son ba, y la hipotenusa c

se forma un cuadrado de lado ba ++++ como lo muestra la figura

Tenemos el cuadro grande C de lado ba ++++ , por el axioma 4 su área es2)( ba ++++ ,

En medio se formó un cuadro D de lado c , por lo que su área es 2c

Luego T T T T DC UUUU==== y las regiones D y T ´s se intersectan en

segmentos de recta que tienen área cero, por el axioma 2 de áreas).(4)()( T área DáreaC área ++++====

Entonces

++++====++++

24)( 22

abcba

abcbaba 22 222 ++++====++++++++ Por lo tanto 222 cba ====++++

Ejemplo. Demostrar que el conjunto A de puntos del plano que satisfacenla expresión 1=+ y x tiene área cero.

Se dividen los intervalos [ ]0,1− y [ ]1,0 tanto en el eje X como en el ejeY en n subintervalos de la misma longitud

a

b

D

2

)( ba +

c

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

cc

C

T

T

T

T

T


10/26

10

El conjunto A está contenido en la región acotada por n4 cuadrados cuyo

lado esn

1 y cuya área es

2

1

n por lo tanto el área de los n4 cuadrados es

nn

n 442 = , de tal manera que cuando n tiende a infinito, el área es cero.

Y como el conjunto A está contenido en la región que involucra a los n4 cuadrados entonces el área de A es cero.

Iniciamos con unas definiciones para llegar al concepto de integral

definida.

Definición. Una partición del intervalo [ ]ba, es un conjunto finito de puntos

n x x x ,,, 10 K , tal que b x x xa n =≤≤≤= K10 . La cual se denota como

{ }nk x P k ,,1,0: K== .

Ejemplo. Para el intervalo [[[[ ]]]]4,2−−−− consideremos los siguientes conjuntos

−−−−−−−−−−−−==== 4,2

7,1,0,

2

1,

2

3,21 P es una partición de [[[[ ]]]]4,2−−−−

{{{{ }}}}3,2,7,0,1,22 −−−−−−−−==== P No es partición de [[[[ ]]]]4,2−−−−

X

Y

)( x f

0 x a ==== n x b ====1−−−−k x k x

X

1=− y x

1=+ y x

Y

1=+− y x

1=−− y x

11−

1−

1


11/26

11

Cuando un intervalo se divide en n subintervalos iguales, se dice que la

partición es uniforme de orden n.

Ejemplo. Escribir la partición uniforme de orden 3 del intervalo[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]1,1, −−−−====ba

Tenemos que la longitud del intervalo es 2)1(1 ====−−−−−−−−====−−−− ab , luego la

longitud de cada subintervalo [[[[ ]]]]k k x x ,1−−−− es3

21 ====

−−−−====−−−− −−−−

n

ab x x k k

Entonces

b x

x

x

a x

=====

===

++++−

−−−=

===

====

++++−−−−====

−−−−====++++−−−−====

−−−−========

13

2

31

3

1

3

221

3

2

3

21

,1

3

2

1

0

Así que

−−−−−−−−==== 1,3

1,

3

2,1 P

Ejemplo. Escribir la partición uniforme de orden 5 del intervalo[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]6,2, ====ba Tenemos que la longitud del intervalo es 426 ====−−−−====−−−− ab , luego la longitud

de cada subintervalo [[[[ ]]]]k k x x ,1−−−− es5

41 ====

−−−−====−−−− −−−−

n

ab x x k k

Entonces

b x

x

x

x

x

a x

========

++++====

====

++++====

====

++++====

====

++++++++====

====++++====

========

65452

5

26

5

442

5

22

5

432

5

18

5

422

5

14

5

42

,2

5

4

3

2

1

0

Así que

==== 6,5

22,

5

18,

5

14,2 P

En general para el intervalo [ ]ba, la partición uniforme de orden n , es


12/26

12

−

+=−

+−

+= bn

abk a x

n

aba

n

abaa P k ,,

)(,,

)(2,, KK

Ahora definimos las sumas inferiores y superiores de una función )( x f

respecto a la partición P de [[[[ ]]]]ba,

Consideramos una función )( x f acotada en un intervalo [[[[ ]]]]ba, .Esto es, existen constantes M ym tales que M x f m ≤≤ )( par todo

[ ]ba x ,∈

Dada cualquier partición P de [[[[ ]]]]ba, , existen[[[[ ]]]]{{{{ }}}}k k k x x x x f f M ,:)(sup)( 1−−−−∈∈∈∈==== y [[[[ ]]]]{{{{ }}}}k k k x x x x f f m ,:)(inf )( 1−−−−∈∈∈∈==== , para

cada nk ,,1K=

Definición. La suma inferior de )( x f respecto a la partición P en elintervalo [[[[ ]]]]ba, , se denota por ),( P f L y se define como

∑∑∑∑====

−−−−−−−−====n

k

k k k x x f m P f L1

1))((),( .

Definición. La suma superior de )( x f respecto a la partición P en elintervalo [[[[ ]]]]ba, , se denota por ),( P f U y se define como

∑=

−−=n

k

k k k x x f M P f U 1

1))((),( .

La suma inferior corresponde a la suma de áreas de rectángulos inscritos enla gráfica de la función, mientras que la suma superior corresponde a la

suma de áreas de rectángulos circunscritos en la gráfica.Por el segundo axioma de áreas y de acuerdo a como están contenidos los

rectángulos inscritos en la región que deseamos calcular su área y ésta a suvez contenida en la región de los rectángulos circunscritos tenemos

),(gráficala bajoárea),( P f U P f L ≤≤

X

Y

)( x f

1−−−−k x k x

)( f M k

X

Y

)( x f

1−−−−k x k x

)( f mk


13/26

13

para cualquier partición P de [[[[ ]]]]ba, .

Ejemplo. Calcule las sumas superior e inferior para la función 29)( x x f −−−−==== en el intervalo [[[[ ]]]]3,1 , use la partición uniforme de orden n.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

f(x)=9-x̂ 2

La longitud del intervalo es 213 ====−−−−====−−−− ab , y cada subintervalo de la

partición tiene longitudnn

ab x x k k 2

1 ====−−−−====−−−− −−−− y el punto k-ésimo de la

partición es de la forman

k

n

abk a x x k k

)2(1

)(++++====

−−−−++++========

Entonces

++++====++++++++==== 3,,)2(

1,,)2(2

1,2

1,1 KKn

k x

nn P k

El intervalo k-ésimo es [[[[ ]]]]k k x x ,1−−−− Como la función es decreciente el ínfimo del intervalo queda en el extremo

derecho y el supremo en el izquierdo, así que2)2(

19)2(

1)()(

++++−−−−====

++++========n

k

n

k f x f f m k k y

2

1

)2)(1(19

)2)(1(1)()(

−−−−++++−−−−====

−−−−++++======== −−−−

n

k

n

k f x f f M k k

Lo cual sustituimos en

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

====

========−−−−

++++−−−−====

++++−−−−====−−−−====

n

k

n

k

n

k

k k k

n

k

n

nn

k x x f m P f L

1

2

1

2

1

1

)2(19

2

2)2(19))((),(

−−−−−−−−−−−−====

++++++++−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

================

========

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

k n

k nn

n

k

n

k

n

1

2

2111

12

2

1

4419

2

4419

2


14/26

14

++−

+−−=

6

)12)(1(4

2

)1(49

22

nnn

n

nn

nnn

n

( )

++−+−=

3

)1322128

2 2 nn

nnn

n

−−=

−−=

−−=

−−−−=

++−−=

2

2

2222

2

167

3

4

167

3

4

3

212142

3

2646182

3)1322262

nn

n

nn

n

nn

nn

nnnn

n

nnn

nn

Para la suma superior:

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

====

========−−−−

−−−−++++−−−−====

−−−−++++−−−−====−−−−====

n

k

n

k

n

k

k k k

n

k

n

nnk x x f M P f U

1

2

1

2

1

1

2219

2

2)2)(1(19))((),(

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−++++

−−−−++++−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

================

========

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

k n

k nn

n

k

n

k

n

1

2

2111

12

2

1

)1(4

)1(4

192

)1(4)1(419

2

Aquí sustituimos:2

)1()1(

1

−−−−====−−−−∑∑∑∑====

nnk

n

k

y6

)12)(1()1(

1

2 −−−−−−−−====−−−−∑∑∑∑====

nnnk

n

k

(((( ))))

++++−−−−−−−−−−−−−−−−====

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−====

3

)1322128

2

6

)12)(1(4

2

)1(49

2

2

2

nn

nnn

n

nnn

n

nn

nnn

n

−−−−++++====

−−−−++++====

−−−−++++====

−−−−++++−−−−++++====

++++−−−−−−−−++++====

2

2

2222

2

167

3

4

167

3

4

3

212142

3

2646182

3

)132226

2

nn

n

nn

n

nn

nn

nnnn

n

nn

n

n

n


15/26

15

Observamos que la diferencia entre las dos sumas inferior y superior

−−=

2

167

3

4),(

nn P f L ,

−+=

2

167

3

4),(

nn P f U

esn

6± y cuando n es muy grande, cuando tiende a infinito, la diferencia

tiende a cero; además por propiedades de área sabemos que el área buscadasatisface

),(área),( P f U P f L ≤≤

Entonces

−+≤≤

−−

22

167

3

4área

167

3

4

nnnn

Luego haciendo tender a infinito n , tanto de lado derecho como izquierdo

nos queda la constante3

287

3

4=

.

Podemos conjeturar que el área buscada es328

Ejemplo. Calcule las sumas superior e inferior para la función x x f 32)( ++++==== en el intervalo [[[[ ]]]]5,0 , use la partición uniforme de orden n.

La longitud el intervalo es 5, y cada subintervalo de la partición tiene

longitudn

5

Entonces

======== 5,,)5(

,,)5(2

,5

,0 KK

n

k x

nn

P k

El intervalo k-ésimo es [[[[ ]]]]

−−−−====−−−−

n

k

n

k x x k k

)5(,

)5)(1(,1

Como la función es creciente el ínfimo del intervalo k-ésimo queda en el

extremo izquierdo y el supremo en el derecho, así que

−−−−++++====

−−−−====

n

k

n

k f f mk

)1(532

)1(5)( y

++++====

====

n

k

n

k f f M k

532

5)(

Para

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

====

========−−−−

−−−−++++====

−−−−++++====−−−−====

n

k

n

k

n

k

k k k

n

k

n

nn

k x x f m P f L

1

11

1

)1(532

5

5)1(532))((),(


16/26

16

−−−−++++====

−−−−++++====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

============

========

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

k nn

k nn

111

11

553

25

)55(3

25

−−−−++++++++====

−−−−

++++++++==== 2 105532552 )1(5325 nnnnnnnnn

−−−−====

−−−−====

−−−−++++====

nn

nnn

n

1519

2

51519

2

5

2

151545

Para la suma superior

∑∑∑∑∑∑∑∑========

−−−−

++++====−−−−====

n

k

n

k

k k k nn

k x x f M P f U

11

1

5)532))((),(

++++====

++++====

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

========

====

n

k

n

k

n

k

k nn

n

k

n

11

1

152

5

532

5

++++====

++++====

++++++++====

++++++++====

++++++++====

nn

nnn

n

nn

n

nn

nn

n

1519

2

51519

2

5

2

151545

2

1152

5

2

)1(152

5

En este ejemplo la diferencia entre las dos sumas inferior y superior

−=

n

P f L15

19

2

5),( ,

+=

n

P f U 15

19

2

5),(

esn

15± y cuando n es muy grande, cuando tiende a infinito, la diferencia

tiende a cero; además por propiedades de área sabemos que el área buscadasatisface

),(área),( P f U P f L ≤≤

Entonces

+≤≤

−

nn

1519

2

5área

1519

2

5

Luego haciendo tender a infinito n , tanto de lado derecho como izquierdo

nos queda la constante2

951925 =

.

Podemos conjeturar que el área buscada es2

95.


17/26

17

−9−8−7−6 −5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x

y

f(x)=2+3x

En este caso podemos verificarlo directamente usando la gráfica de la

función, la cual forma una figura de un trapecio cuya área podemos

calcular como2

95

2

5)217(

2

)(=

+=

+ hb B

Ejemplo. Calcule las sumas superior e inferior para la función 21)( x x f ++++==== en el intervalo [[[[ ]]]]2,1−−−− , use la partición uniforme de orden 6.

−3 −2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

5

x

y

f(x)=1+x̂ 2

La longitud el intervalo es 3, y cada subintervalo de la partición tiene

longitud2

1

6

3====

Entonces

−−−−−−−−==== 2,2

3,1,

2

1,0,

2

1,1 P

la función es decreciente en [[[[ ]]]]0,1−−−− y creciente en [[[[ ]]]]2,0

Para

4

17

2

17

2

1

4

13211

4

5

2

1

2

3

2

1)1(

2

1)0(

2

1)0(

2

1

2

1

2

1))((),(

1

1

====

====

++++++++++++++++====

++++++++++++++++

−−−−====−−−−==== ∑∑∑∑

====−−−− f f f f f x x f m P f L

n

k

k k k


18/26

18

)2(2

1

2

3

2

1)1(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)1(

2

1

))((),(1

1

f f f f f f

x x f M P f U n

k

k k k

++++

++++++++

++++

−−−−++++−−−−====

−−−−==== ∑∑∑∑====

−−−−

8

59

4

59

2

1

54

13

24

5

4

5

22

1

====

====

++++++++++++++++++++====

1.3 Suma de Riemann

Para llegar a la definición de integral definida, generalizamos los conceptos

de suma superior e inferior a lo que llamamos una suma de Riemann.

Consideramos una función )( x f acotada en un intervalo [ ]ba, , paracualquier partición { }nk x x x P ,,,,1 KK= de [ ]ba, , una suma de Riemann

es una suma de la forma ∑=

−−n

k

k k k x x x f 1

1

*))((

donde [ ]k k k x x x ,1*

−∈ es cualquier punto.

Nota: [ ]k k k x x x ,1*

−∈ no necesariamente es el supremo o el ínfimo, es el que

se quiera escoger siempre que esté en el intervalo k-ésimo.Nota: Las sumas superior e inferior de una función respecto a una particiónson un caso particular de sumas de Riemann.

1.4 Definición de integral definida

Al considerar el límite cuando n tiende a infinito

))((lim 11

*

−=

∞→−∑ k k

n

k

k n

x x x f

Puede suceder que si exista el límite o que no exista.

En caso de existir dicho límite, decimos que la función es Riemann

integrable y tomamos el valor del límite como el valor de la integral de la

función sobre el intervalo [ ]ba, , esto es

))((lim 11

*

−=

∞→−= ∑∫ k k

n

k

k n

b

a

x x x f f

Nota: el límite debe existir independientemente de la elección de puntosintermedios que se escojan en los subintervalos.


19/26

19

Si f es una función con variable independiente x se acostumbra la

notación: ∫∫∫∫b

a

dx x f )( , nombrando a )( x f el integrando y ba, los

extremos inferior y superior de la integral respectivamente.

Ejemplo. Encuentre ∫∫∫∫ ++++3

0

2 )1( dx x calculando

i) ),(lim)()(lim 11

p f U x x f M n

k k

n

k

k n ∞∞∞∞→→→→

−−−−====

∞∞∞∞→→→→====−−−−∑∑∑∑

ii) ))((lim 11

*

−−−−====

∞∞∞∞→→→→−−−−∑∑∑∑ k k

n

k

k n

x x x f donde *k x es el punto medio del intervalo

[ ]k k k x x x ,1*

−∈

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

f(x)=1+x̂ 2

i) La longitud del intervalo es 3, y cada subintervalo de la partición tiene

longitudnn

ab x x k k 3

1 ====−−−−====−−−− −−−− yn

k

n

k x k 3)3(0 ====++++====

Como la función es creciente el ínfimo del intervalo queda en el extremoizquierdo y el supremo en el derecho, así que

2

22 91

31

3)()(

n

k

n

k

n

k f x f f M k k ++++====

++++====

========

Lo cual sustituimos en

++++++++====

++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++====

++++====

++++====−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

========

========−−−−

22

222

2

2

1

2

21

12

2

1

1

398

2

3398

2

3

2

39623

132

2

33

6

)12)(1(93

91

3

391))((),(

nnn

nn

n

nnn

n

n

nnn

n

nnn

nn

n

k nn

nn

k x x f M P f U

n

k

n

k

n

k

n

k

k k k


20/26

20

Luego

(((( )))) 1282

3398

2

3lim

),(lim)()(lim

2

1

1

========

++++++++====

====−−−−

∞∞∞∞→→→→

∞∞∞∞→→→→−−−−

====∞∞∞∞→→→→ ∑∑∑∑

nn

p f U x x f M

n

nk k

n

k

k n

ii) El punto medio del subintervalo [[[[ ]]]]k k x x ,1−−−− es

n

k

n

k

n

k x x x k k k

2

363)1(3

2

1

2

1* −−−−====

++++

−−−−====

++++==== −−−−

y2

22

1*

4

)36(1

2

361

2

36

2)(

n

k

n

k

n

k f

x x f x f k k k

−−−−++++====

−−−−++++====

−−−−====

++++==== −−−−

El intervalo tiene longitudnn

ab x x k k

31 ====

−−−−====−−−− −−−− , lo cual sustituimos en

−−−−++++====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑ ====−−−−==== nn

k x x x f

n

k

k k

n

k

k 34

)36(1)()(1

2

2

1

1

*

(((( ))))

−−−−++++====

−−−−++++==== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

============

n

k

n

k

n

k

k nnn

k

n 1

2

211

2

2

)36(4

11

3

4

)36(1

3

(((( ))))

(((( ))))

++++++++−−−−++++++++++++====

++++

++++−−−−

++++++++++++====

++++−−−−++++====

++++−−−−++++====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

============

====

9)1(18)132(64

13

92

)1(36

6

)12)(1(36

4

13

936364

13

936364

13

2

2

111

2

2

1

2

2

nnnn

nn

nnnnnn

nn

n

k k n

nn

k k n

nn

n

k

n

k

n

k

n

k

−−−−====

−−−−====

++++−−−−−−−−++++++++++++====

22

2

22

316

4

3316

4

3

4

918186181243

nn

n

n

nnnn

n

Luego

12)16(4

3316

4

3lim))((lim

211

* ========

−−−−====−−−−

∞∞∞∞→→→→−−−−

====∞∞∞∞→→→→ ∑∑∑∑ n x x x f

nk k

n

k k n

Podemos concluir que

12)1(

3

0

2 ====++++∫∫∫∫ dx x


21/26

21

Ejemplo. Encuentre ∫∫∫∫ ++++−−−−4

1

2 )64( dx x x calculando ))((lim 11

*

−−−−====

∞∞∞∞→→→→−−−−∑∑∑∑ k k

n

k

k n

x x x f

donde *k x es el extremo derecho del intervalo [[[[ ]]]]k k x x ,1−−−−

314 ====−−−−====−−−− ab ,nn

ab x x k k

31 ====

−−−−====−−−− −−−− y

n

k

n

k x k

31

)3(1 ++++====++++====

Luegon

k x x k k

31

* ++++======== ,

2

2

2

2

2

*

9636

124

961

63

143

13

1)(

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k f x f k

++++−−−−====++++−−−−−−−−++++++++====

++++

++++−−−−

++++====

++++====

Sustituimos en

++++++++++++++++−−−−

====

++++++++++++

++++−−−−

====

++++−−−−

====

++++−−−−====−−−−

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

============

====−−−−

====

n

nnnn

n

nnn

n

nn

nn

n

k n

k nn

nn

k

n

k x x x f

n

k

n

k

n

k

n

k

k k

n

k

k

2

)12)(1(3)1(33

3

6

)12)(1(9

2

)1(63

3

9633

3963))((

2

1

2

211

12

2

1

1

*

++++++++

====

++++++++

====

++++++++++++−−−−

====

++++++++++++−−−−

====

2

2

2

2

2

336

2

3

336

2

3

2

39663

2

3963

3

nn

n

nn

n

nnn

n

n

nn

n

Por lo que

933

62

3lim))((lim)64(

21

1

*

4

1

2 ====

++++++++

====−−−−====++++−−−−

∞∞∞∞→→→→−−−−

====∞∞∞∞→→→→ ∑∑∑∑∫∫∫∫ nn x x x f dx x x nk k

n

k

k n


22/26

22

−2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)=x̂ 2-4x+6

Analizando la gráfica de la función vemos que en una parte la función esdecreciente y en otro tramo es creciente, de modo que usar una suma

superior o una suma inferior sería más laborioso por que los supremos nosiempre corresponden a los extremos derechos de los intervalos ni siempre

corresponden a los extremos izquierdos; por lo cual fue más práctico usarlos extremos derechos, sin importar que fueran supremos o ínfimos delintervalo correspondiente.

Ejercicio. Identifique las siguientes expresiones como una integraldefinida.

i) ∑=

−−

→−

+n

k

k k k k

P x x

x x

1

1

3

1

0)(

2lim

donde P es una partición de [ ]4,1 .Tenemos el término )( 1−− k k x x que es la longitud del intervalo y el

cual se identifica con la diferencial dx

luego la expresión2

1−+ k k x x corresponde al punto medio del

intervalo k-ésimo, el cual se encuentra dentro de l intervalo

correspondiente; por último identificamos la función aplicada a dicho punto y es la elevación al cubo, por lo tanto escribimos:

∫∑ =−

+

=−

−

→

4

1

3

1

1

3

1

0)(

2lim dx x x x

x x n

k

k k k k

P

ii) ∑=

−→

−

+

n

k

k k

k

k

P x x

x x

1

10

)(1

lim

donde P es una partición de 5,0

∫∑ +=−

+=−

→

5

01

10 1

)(1

lim dx x

x x x

x

x n

k

k k

k

k

P


23/26

23

iii) ∑=

−→∞

−n

k

k k n

x x 1

2

1

2)(lim

donde P es una partición de [ ]0,2−

∫

∑

∑∑

−

=−

−

∞→

=−−

∞→=

−∞→

=

−

+=

−+=−

0

2

1

11

1

11

1

2

1

2

2

)(2

2lim

))((lim)(lim

xdx

x x x x

x x x x x x

n

k

k k k k

n

n

k

k k k k n

n

k

k k n

Ejemplo. Una función no integrable. En el intervalo [[[[ ]]]]1,0

∉

∈=

Q x

Q x x f

si 0

si 1)(

Dada cualquier partición { }nk x x x P ,,,,1 KK= de [[[[ ]]]]1,0

Si seleccionamos cada [ ]k k k x x x ,1* −∈ como un racional1)( * =

k x f , luego la suma de Riemann es

ab x x x x x f n

k

k k

n

k

k k k −=−=− ∑∑=

−=

−1

1

1

1

*)(1))((

Porque la segunda suma es una telescópica,

Entonces abab x x x f n

k k

n

k

k n

−=−=−∞→

−=

∞→ ∑ )(lim))((lim 1

1

*

En cambio si los puntos que elegimos [ ]k k k x x x ,1*

−∈ no son racionales,

1)(* =k x f , la suma de Riemann es 0)(0))((

1

1

1

1

* =−=− ∑∑=

−

=

−

n

k

k k

n

k

k k k x x x x x f

y 00lim))((lim 11

* ==−∞→

−=

∞→ ∑

nk k

n

k

k n

x x x f

hemos encontrado diferentes del límite para diferentes elecciones de puntos, por lo tanto no existe tal límite y la función no es integrable en

[[[[ ]]]]1,0 .

Se mencionó que ),(área),( P f U P f L ≤≤ y como la integral representa el

área, podemos escribir ),(),( P f U f P f Lb

a

≤≤≤≤≤≤≤≤ ∫∫∫∫

Ejemplo. Encuentre una aproximación de ∫∫∫∫−−−−

2/

2/

cos

π

π

xdx usando la partición

uniforme de orden 4 para el intervalo y el resultado anterior.


24/26


25/26

25

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

f(x)=5-|x-5|

El valor de la integral es la suma de las áreas del triángulo y el trapecio

232

46

2

21

2

253

2

)25(

2

)5(5

2

)(

2)55(

8

0

========++++====++++

++++====++++

++++====−−−−−−−−∫∫∫∫ hb Bbh

dx x

Teorema. Si )( x f es acotada y continua en [[[[ ]]]]ba, , excepto en un número

finito de puntos entonces es integrable en [[[[ ]]]]ba, .

Ejemplo. Calcule ∫∫∫∫

15

03

dx x

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

f(x)=[x/3]

30)4321(3)3(4)3(3)3(2)3(1)3(03

15

0

====++++++++++++====++++++++++++++++====

∫∫∫∫ dx

x

Bibliografía:

- Zill. Cálculo. McGraw Hill

-

Stewart, James. (2008) Cálculo de una variable. Cengage LearningEditores.

- Haaser, LaSalle, Sullivan. Análisis Matemático.Vol. 1 Ed. Trilla.s-

Spivak Michael. Cálculus. Ed. Reverte.

- Kosmala W. Advanced Calculus. Prentice Hall.


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1.1 integral riemann

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