1.1 estudio del cambio uniforme

Instituto Tecnológico de Sonora Cálculo I Depto. Matemáticas

Unidad I. La ProblemáticaTema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo LinealSituación Problema 1.1: En seguida presentamos tres contextos reales en los que se considera la variación de una magnitud con respecto a otra. En cada contexto se cuenta con información a partir de la cual se puede responder las preguntas planteadas. El propósito de esta Situación Problema consiste, además de contestar, en analizar la problemática común que se presenta en los tres contextos reales y su estrategia de solución.

Primer contexto real: Un automóvil transita por una carretera recta.

La siguiente tabla muestra el kilómetro sobre la carretera en el que se encuentra el automóvil para diferentes valores del tiempo en su recorrido.

a) ¿Cuál será la posición del automóvil a las t=3 horas?

b) ¿Dónde estará el automóvil a las 2 horas y cuarto?

c) Suponiendo que el automóvil mantiene su velocidad constante, ¿En qué instante pasará por la gasolinera más cercana que se encuentra en el kilómetro 167 de la carretera?

d) Muestre en un sistema de ejes coordenados el comportamiento gráfico de la posición del auto con respecto al tiempo, tomando al eje horizontal como el tiempo t y el eje vertical la posición x del automóvil.

1

t(en horas)

x(kms sobre la

carretera)0 25

0.5 511 77

1.5 1032 129


Segundo contexto real: Se coloca una olla con agua en una parrilla encendida de modo que la temperatura T del agua aumenta uniformemente a razón de 6°C/minuto.

a) En un lapso de tres minutos, ¿Cuánto aumenta la temperatura?

b) Si a los 2 minutos la temperatura del agua era de 50°C, ¿Cuál será su temperatura a los cinco minutos?, y ¿Cuál fue la temperatura al inicio, cuando se colocó la olla en la parrilla?

c) ¿Cuál es el cambio en la temperatura ocurrido entre los 5 y 6.5 minutos?, ¿Y entre los 8 y 9.5 minutos?

d) Construye una expresión matemática a través de la cual se pueda predecir la temperatura del agua, T (en °C) cuando transcurre un tiempo “arbitrario” de t minutos.

e) ¿En qué instante comienza a hervir el agua? (suponer el grado de ebullición de 100°C)

f) Realiza la gráfica de la Temperatura de la olla “T” con respecto al tiempo “t”.

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Tercer contexto real: la temperatura de la atmósfera en la primera de sus capas (tropósfera) disminuye uniformemente con respecto a la altitud; lo hace a razón de -6.5 °C/kilometro. Cierto montañista llega a la cumbre de una montaña de altura desconocida y reporta por radio su compañero (que está en la base de la montaña) que la temperatura allá arriba es de -1°C. Por su parte, su compañero, en la parte más baja de la montaña, observa el termómetro marca 20°C.

a) Construye una expresión matemática que permita predecir la temperatura T para diferentes valores de la altitud h.

b) ¿Cuál es la altura de la montaña?

c) Realiza la gráfica de la Temperatura “T” en función de la altitud “h”.

Cuarto contexto real. Dos tanques con agua tienen la misma forma y tamaño: la de un cilindro circular recto de 1 m de altura y 2500 cm2 como área de su base. A uno de ellos, cuyo nivel actual del agua es 12 cm, una llave lo está llenando a razón constante de 7500 cm3/min; al otro, cuyo nivel actual del agua es 80 cm, una llave lo está vaciando a un ritmo de 5000 cm3/min.

a) ¿Por qué va llegar un momento en que ambos tanques tendrán el mismo nivel?

b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el nivel del agua en ambos tanques sea el mismo? y ¿cuál es dicho nivel común que ambos tanques tendrán?

c) ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque cuyo nivel está creciendo?

d) ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque cuyo nivel está decreciendo?

e) Realiza las gráficas de las dos ecuaciones del nivel de los tanques con respecto al tiempo en un mismo plano coordenado

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Quinto contexto real. Dos automóviles transitan sobre una carretera recta con dos carriles. El primero de ellos va en el carril con circulación de izquierda a derecha, y el segundo, en el carril con circulación contraria. Un eje x (medido en metros), ha sido colocado sobre la carretera con el origen en el punto O y con dirección positiva de izquierda a derecha. El primer automóvil se encuentra en x = 20 cuando t = 3 segundos y avanza hacia la derecha a un ritmo constante de 5 metros cada segundo. El segundo automóvil se encuentra en x = 80 cuando t = 2 segundos y avanza hacia la izquierda a un ritmo constante de 5 metros cada segundo. Contesta lo siguiente.

a) La ecuación que expresa la posición del primer automóvil en términos del tiempo.

b) La ecuación que expresa la posición del segundo automóvil en términos del tiempo.

c) ¿En qué tiempo los autos están en la misma posición?

d) ¿Cuál es el valor de x donde los autos están en la misma posición?

e) Dibuja las gráficas de las dos ecuaciones en un mismo plano coordenado, donde la variable t se coloca en el eje horizontal, y la variable x en el eje vertical y señala en ella las respuestas de los cuatro incisos.

4

2do. auto1er. auto eje x O

t

x


Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo LinealProblemas ComplementariosProblema 1. Cuando un paracaidista se lanza desde una gran altura y abre su paracaídas, llega un instante en que su movimiento es prácticamente uniforme. Consideremos que un paracaidista se encuentra a 2,500 metros de altura y está descendiendo uniformemente a una rapidez de 5 metros/segundo.

a) Construye la función que permita predecir la altura h (en metros) del paracaidista.

b) Calcula el tiempo que tarda el paracaidista en llegar al suelo.

c) En el instante de t = 1.23 minutos ¿Qué posición tendrá el paracaidista?

d) Grafica la función de la altura h con respecto al tiempo t.

Problema 2. La presión p que experimenta bajo el agua un buzo depende de la profundidad h a la que se encuentra éste. La razón con lo que está cambiando la presión (con respecto a la profundidad) es constante e

igual a 0.0994 atmósferas/metro.

a) Construye la función que permita predecir la presión a la que está expuesto un buzo considerando que la presión en la superficie es de 1 atmosfera.

b) ¿Cuál será la presión a la que se encuentra el buzo a los 50 metros de profundidad, si la presión en la superficie es de 1 atmósfera?

c) Grafica la función de la presión p con respecto a la profundidad h.

Problema 3. Cuando un automóvil está en movimiento, la cantidad de gasolina en su tanque disminuye con respecto a la distancia que recorre. En un Tsuru 2011 la razón con la que disminuye la gasolina es de 0.05 litros por kilómetro. Supongamos que vamos en ese automóvil por la carretera nacional y sabemos que hay 40 litros de gasolina en el tanque del carro.

a) Construye la función que predice la cantidad de gasolina en el tanque en términos de los kilómetros recorridos.

b) ¿Cuántos litros quedarán en el tanque una vez que el carro ha recorrido 130 kilómetros?

c) ¿Cuántos kilómetros se habrán recorrido cuando en el tanque quedan 18 litros de gasolina?

d) ¿Alcanzará o no alcanzará la cantidad actual de gasolina para viajar desde Monterrey a México, que se encuentra aproximadamente a 930 kilómetros de distancia?

e) Realiza la gráfica de la Gasolina del tanque con respecto a los kilómetros recorridos.5


Problema 4. Una llave está llenando de agua un tanque que tiene la forma de un cilindro de un metro y medio de altura y radio en su base de 45 centímetros. La siguiente tabla muestra los valores del nivel de agua en el tanque en determinados tiempos.

Los datos en la tabla nos permite suponer que a partir de que lo observamos (en t=0) el nivel del agua en el tanque está cambiando uniformemente en el tiempo.

a) ¿Cuál es el valor de la razón de cambio (constante) del nivel h con respecto al tiempo t?

b) Construye la función lineal que permite predecir el nivel de agua en cualquier tiempo admisible, mientras el tanque se está llenando.

c) ¿Cuál será el nivel del agua en el tanque a los 21.5 minutos?

d) ¿Cuánto tiempo se tardará en llenar el tanque?

e) ¿Cuál es el cambio que produce en el nivel entre los 3 y 3.5 minutos?

f) Construye la gráfica del nivel h con respecto al tiempo t.

Problema 5. Haciendo ejercicio en una bicicleta elíptica, manteniéndose a un ritmo de 30 revoluciones por minuto, por cada segundo que pasa el tablero muestra que se acumulan 0.2 calorías. Supongamos que se realiza una rutina de calentamiento en la que se han acumulado 40 calorías.

a) Construye la función que calcule las calorías acumuladas en términos del tiempo (medido en minutos) una vez que ya se ha realizado la rutina de calentamiento y se mantiene el ritmo.

b) ¿Cuántas calorías muestra el tablero un cuarto de hora después del calentamiento?

c) Para satisfacer los requerimientos de una dieta balanceada en carbohidratos, proteínas y grasas se recomiendan acumular en la bicicleta elíptica diariamente 375 calorías. ¿Cuántos minutos (aparte de los del calentamiento) se debe usar la elíptica diariamente al ritmo de 30 revoluciones por minuto?

d) ¿Cuál es el cambio que se produce en la cantidad de calorías por cada 5 minutos?

e) Grafica la función de las calorías con respecto al tiempo.

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Tiempo t (minutos)

Nivel h (centímetros)

0 202 294 386 478 56


Problema 6. La Ley de Charles establece que a presión constante, el volumen de un gas cambia uniformemente respecto a la temperatura. La siguiente tabla muestra valores del volumen de un gas contenido en un recipiente a determinadas temperaturas:

a) ¿Cuál es la razón de cambio (constante) con el volumen de gas V respecto a la temperatura T?

b) Construye la función que modela el comportamiento del volumen de gas V (medido el mililitros) en términos de la temperatura T (medida en grados)

c) ¿Cuál será el volumen del gas cuando la temperatura sea de 40°C?

d) Si extrapolamos la función lineal para valores de la temperatura fuera del intervalo o donde esta magnitud es conocida, podrías contestar a qué temperatura el volumen del gas es igual a cero.

e) Grafica la función lineal de V(t) desde la temperatura en la que V se supone cero hasta que se llega a la temperatura de 100°C.

7

Temperatura T (°C)

Volumen V (mililitros)

0 107.95 109.87510 111.8515 113.82520 115.8


Tema 1.1 Estudio del cambio uniforme. Modelo LinealTarea 1.1Problema 1. Una taza de café se calienta en un horno de microondas alcanzado una temperatura de 65°C. Se extrae y se expone al medio ambiente que se encuentra a una temperatura de 21°C. Para fines prácticos se puede suponer que en los primeros 8 minutos la temperatura de a taza de café disminuye uniformemente a razón de 3.5 °C/minuto.

a) Construye la función que permite predecir la temperatura T para diferentes valores del tiempo t medido en minutos.

b) ¿Cuántos minutos se deberá esperar a partir de su extracción del horno para beber el café a una temperatura de 40°C?

c) Si consideramos este modelo lineal funcionando por más tiempo ¿Qué temperatura alcanza el café a los 15 minutos? ¿Es eso posible?

d) Realiza la gráfica de la Temperatura T con respecto al tiempo t.

Problema 2. Los aviones comerciales deben estar provistos de sistemas de presurización en la cabina de pasajeros ya que la presión atmosférica disminuye a razón de 1 milibar por cada 9 metros de altura. A nivel del mar la presión atmosférica es de 1013 milibares.

a) Construye la función que representa la presión atmosférica P en términos de la altura h, tomando como referencia el nivel del mar.

b) Encuentra la presión atmosférica en el exterior de un avión que está colocado a 8 kilómetros de altura.

c) Predice el valor de la altura que debe alcanzar un avión para que la presión atmosférica a esa altura sea de 927.5 milibares.

d) Realiza la gráfica de la presión P con respecto a la altura h.

Problema 3. La temperatura T en cualquier lugar de nuestro planeta disminuye a razón constante con respecto a la altura h sobre el nivel del mar. En la siguiente tabla se muestran temperaturas (en grados centígrados) a diferentes alturas (en kilómetros) en cierto lugar del planeta.

a) ¿A qué razón está cambiando la temperatura T con respecto a la altura h?

b) Construye la función que calcula la temperatura T en términos de la altura h.

c) ¿A qué altura podemos esperar que la temperatura sea 0°C?

d) Construye la gráfica de T con respecto a h.8

h (Km) T (°C)0 151 8.72 2.43 -3.94 -10.2


Problema 4. Al saltar de un bungee, el alargamiento de la cuerda elástica cambia uniformemente en función del peso de la persona que está saltando. Consideremos que el largo de la cuerda sin deformar es de 15 metros y que alcanza un largo de 24 metros cuando utiliza una persona de 45 kilogramos.

a) Calcula la razón de cambio del largo de la cuerda L con respecto al peso p de la persona.

b) Construye la función que prediga el largo de la cuerda L, en términos del peso p, de la persona.

c) Si la superficie de concreto se encuentra a 45 metros abajo del punto donde está atada la cuerda del bungee, cuál es el máximo peso para que una persona de 1.7 metros de altura pueda alcanzar sin que se golpee con el suelo. Se asume que la cuerda del bungee está atada a los tobillos de la persona.

d) Construye la gráfica de L con respecto a p.

Problema 5. Considera los dos tanques mostrados en la siguiente figura:

En el tiempo t=0, el agua entra a razón constante de 4 litros/minuto por la llave

superior del Tanque A y contiene 20 litros de agua; y sale a razón constante de

8 litros/minuto de la llave inferior del Tanque B, y contiene 140 litros de agua.

Contesta lo siguiente:

a) Determina la ecuación que calcule la cantidad de agua V en el tanque A en función del tiempo t, es decir V A (t ).

b) Determina la ecuación que calcule la cantidad de agua V en el tanque B en función del tiempo t, es decir V B ( t ).

c) Encuentra el tiempo en el ambos tanques tiene la misma cantidad de agua V A ( t )=V B(t); además calcula cuántos litros de agua tienen los tanques en ese momento.

d) Si el tanque A tiene una capacidad máxima de almacenar 180 litros de agua ¿En qué momento se llenará el tanque?

e) ¿En qué momento se vaciará por completo el tanque B?

f) Realiza la gráfica del comportamiento de ambos tanques, colocando toda la información obtenida en los incisos anteriores.

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Tanque B

Tanque A


Problema 6. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) Evalúa la función lineal y ( x )=2.5 x−1.3 en x=−1.1

b) Iguala a – 1.1 la función lineal y ( x )=2.5 x−1.3 y obtén el valor correspondiente de x .

c) Despeja x de y ( x )=−52

x+3

d) Despeja y de 32

x−5 y=13

e) Sustituye y=1−2 x en 2 x−3 y+5=0 y encuentra el valor de x.

f) Sustituye x=2 y−5 en y=−2x+1.5 y encuentra el valor de y.

g) Iguala a 0 (cero) la y en −52

x+3 y−6=0 y encuentra el valor de x.

h) Iguala a 0 la x en −2.5 x+ y3−6=0 y encuentra el valor de y.

i) Sustituye x por -2 en −2.5 x−3 y+6=0 y encuentra el valor de y.

j) En la función y ( x )= 23−1

3x, si y vale -5 ¿Cuánto vale x?

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1.1 estudio del cambio uniforme

Documents

temperatura t

t minutos

tiempo t

temperatura ocurrido

temperatura all

olla t

primer contexto real

tiempo arbitrario