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THE MANAGEMENT

SCIENTIST

MC. PEDRO PABLO CANTO LEAL

JUNIO/2011

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INDICE

INTRODUCCIÓN DEL PROGRAMA “THE MANAGEMENT SCIENTIST”....................................................................................................4

HISTORIA..............................................................................................................................6

APLICACIONES....................................................................................................................6

COMO OBTENERLO............................................................................................................8

COMO INSTALARLO..........................................................................................................9

CAPÍTULO I:................................................................................................11

ANALISIS DE DECISIONES......................................................................11

1.TOMA DE DECISIONES SIN PROBABILIDAD..........................................................12

2. TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDAD.......................................................21

3. ANALISIS DE RIESGO Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD........................................24

PROBLEMA.........................................................................................................................25

CAPITULO II................................................................................................31

PROGRAMACIÓN LINEAL......................................................................31

UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN...........................................................................34

UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN.............................................................................44

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD...................................................50

MÁS SOBRE DOS VARIABLES DE DECISIÓN.............................................................71

CAPÍTULO III..............................................................................................86

TRANSPORTE, TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN DE PUESTOS.......86

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL........................................................................................87

TRANSBORDO..................................................................................................................105

EL PROBLEMA DE TRASBORDO: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL......................................................................................105

ASIGNACION DE PUESTOS...........................................................................................113

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EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL......................................................................................113

ORIGEN FICTICIO PROBLEMA KLEIN CHEMICALS ..............................................120

CAPÍTULO IV............................................................................................127

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS PERT YCPM...........................127

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS: CON DE TIEMPOS DE ACTIVIDAD CONOCIDOS.....................................................................................................................127

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON TIEMPOS DE ACTIVIDAD INCIERTOS.............................................................................................................................................135

CONSIDERACION DE INTERCAMBIOS DE TIEMPO – COSTOS..........................138

CAPÍTULO V..............................................................................................141

MODELOS DE INVENTARIO.................................................................141

MODELO DE TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN ECONÓMICO...................156

PATRÓN DE INVENTARIO EN EL MODELO DE TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN...................................................................................................................158

TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN ECONÓMICO............................................162

CAPITULO VI............................................................................................167

ELABORACION DE PRONOSTICOS....................................................167

COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO............................................................168

METODOS DE SUAVIZACION......................................................................................169

PROMEDIOS MÓVILES ...............................................................................................169

SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................177

PROYECCIÓN DE LA TENDENCIA..............................................................................183

CAPÍTULO VII...........................................................................................191

MODELOS DE LINEA DE ESPERA (TEORÍA DE COLAS ).............191

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA.........................................191

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIOS EXPONENCIALES.................................205

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ANALISIS ECONÓMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA............................................213

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS.................................219

INTRODUCCIÓN DEL PROGRAMA “THE MANAGEMENT SCIENTIST”

El autor de este programa es Thomas A. Williams, profesor de Gestión de la Ciencia en la

escuela de Negocios de Rochester Institute of Techonology. Nació en Elmira, Nueva York,

obtuvo su licenciatura en la Universidad de Clarkson. Hizo sus estudios de Posgrado en el

Instituto Politécnico Rensselaer, donde recibió los grados de maestría y doctorado.

El Instituto Politécnico Rensselaer, conocido habitualmente como RPI (acrónimo de

Rensselaer Polytechnic Institute), es una de las principales instituciones dedicadas a la

docencia y a la investigación especialmente en ciencia e ingeniería. Ahí fue donde Thomas

A. Williams perfeccionó y aplicó sus conocimientos sobre el programa Management

Scientist.

The Management Scientist es un software de ordenador personal que ayuda a los estudiantes

matriculados de los Métodos Cuantitativos y los cursos de ciencias de la gestión de una

manera sencilla y eficiente el tomar decisiones en las operaciones de negocios. Se utiliza

para resolver una amplia variedad de problemas de libros de texto, así como los pequeños

problemas surgidos en la práctica o en la vida real y como tomar la mejor decisión de un

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manera rápida y práctica. El uso de este programa en la computadora es una muy valiosa

herramienta sobre la aplicación de métodos cuantitativos a los problemas de decisión. Se

compone de doce programas de ordenador, llamados módulos, que utilizan métodos

cuantitativos para desarrollar la toma de decisiones.

Ciencias de la Administración (Management science), es una rama interdisciplinaria de la

matemática aplicada, la ingeniería y las ciencias que utiliza la investigación científica basada

en varios principios, estrategias y métodos analíticos, incluidos modelos matemáticos, las

estadísticas y algoritmos para mejorar la capacidad de una organización para promulgar una

racional y significativa gestión. Las decisiones de llegar a soluciones óptimas o casi óptimas

a los problemas de negocios complejos. La disciplina esta típicamente relacionada con la

determinación de los máximos (de beneficios, prestaciones de la línea de ensamblaje,

rendimiento de la cosecha, ancho de banda, etc.) o los mínimos (de la pérdida, de riesgo,

etc.) de parte de la función objetivo.

El campo es también conocido como Investigación de Operaciones (OR) en los Estados

Unidos y Canadá, o la investigación operativa en el Reino Unido. Estos tres términos se usan

indistintamente para describir el mismo campo.

La investigación en ciencias de gestión se puede realizar en niveles:

1.-El nivel fundamental radica en tres disciplinas matemáticas: Probabilidad, Optimización, y

la teoría de sistemas dinámicos.

2.-El nivel de modelado es sobre la construcción de modelos, analizando matemáticamente,

la recopilación y análisis de datos, la aplicación de modelos en computadoras, solución de

los mismos, todo esto es parte de la investigación en Ciencias de Gestión en el nivel de

modelado.

El mandato de la administración es utilizar la ciencia racional, sistemática, basada en

técnicas para informar y mejorar las decisiones de todo tipo. Por supuesto, las técnicas de la

ciencia de la gestión no se limitan a las aplicaciones de negocio, pero puede aplicarse a la

milicia, medicina, administración pública, grupos de beneficencia, grupos políticos o grupos

de la comunidad.

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HISTORIASus orígenes se remontan a la investigación de operaciones, hizo su debut en la Segunda

Guerra Mundial cuando las fuerzas aliadas de varias disciplinas la utilizaron para ayudar con

las operaciones militares. En estas primeras aplicaciones, los científicos utilizan modelos

matemáticos sencillos para hacer un uso eficiente de tecnologías y recursos limitados. La

aplicación de estos modelos en el sector empresarial se conoce como la ciencia de gestión.

APLICACIONESLas aplicaciones de la ciencia de la administración son abundantes en la industria como en

las compañías aéreas, las empresas de fabricación, las organizaciones de servicios, las ramas

militares, y en Gobierno. La gama de problemas y cuestiones que la ciencia ha contribuido

en la gestión de ideas y soluciones es amplia. Las Ciencias de la Administración se ocupa

también de los llamados "soft-análisis operativo", que se refiere a los métodos de

planificación estratégica, apoyo a las decisiones estratégicas, y los métodos de estructuración

de problemas (PSM).

Este nivel de abstracción, modelos matemáticos y de simulación no es suficiente. Por lo

tanto, durante los últimos 30 años, un número no cuantificado de los métodos de

modelización se han desarrollado.

El programa contiene 12 módulos, que permiten resolver problemas en muchas áreas, y son

los siguientes:

Programación lineal

Transporte

Asignación

PERT/CPM

Programación lineal del número entero

La ruta más corta

Modelos de inventario

Modelos de línea de espera

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Árbol que atraviesa mínimo

PERT/CPM

Inventario

Línea de espera

Análisis de decisión

Pronóstico

Procesos de Markov

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COMO OBTENERLOSe puede acceder al programa descargándolo de internet mediante la página:

http://www.amazon.com/Management-Scientist-Version-6-0/dp/0324191332

http://www.amazon.com/Management-Scientist-Version-6-0/dp/0324191332

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Cabe aclarar que para obtener el programa, previamente habrá que pagar un importe de

$69.97 DLL. El envío es gratis.

COMO INSTALARLOINGLES ESPAÑOL

Installing the software on your computer is

easy. Install The Management Scientist as

follows:

1. Place the disk in the CD-ROM drive.

2. In Windows from the Start taskbar, choose

Run.

3. On the Command line, type D:\ Setup. If

your CD-ROM drive is not D: substitute the

appropriate letter.

4. Clic the OK button or press the Enter key.

5. Follow the prompts of the installation.

La instalación del software en su computadora es fácil.

Instale The Management Scientist de la siguiente forma:

1. Coloque el disco en la bandeja de CD-ROM.

2. En Windows del comienzo taskbar, elija el

funcionamiento.

3. En la línea de comando, mecanografíe la disposición

de D:\. Si su impulsión de CD-ROM no es D:, substituya

la letra apropiada.

4. Presione el botón ACEPTABLE o presione la llave de

insertar.

5. Siga los avisos de la instalación.

6.-.-Hacer “clic” en el cuadro “ok”

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7.-El siguiente paso será darle “clic” al icono de la computadora para continuar la

instalación.

8.-Se selecciona el programa deseado, es este caso, el Management Scientist

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9.-Se espera a que se concluya la instalación, y una vez terminada se le da “clic” en “ok”

para ejecutar el programa.

CAPÍTULO I:

ANALISIS DE DECISIONES1

La toma de decisiones es el proceso mediante el cual

se realiza una elección entre las alternativas que se

tienen, o son formas para resolver diferentes

situaciones de la vida, estas se pueden presentar en

diferentes contextos: a nivel laboral, familiar,

sentimental, empresarial (utilizando metodologías

cuantitativas que brinda la administración), etc., es

decir, en todo momento se toman decisiones, la

diferencia entre cada una de estas es el proceso o la

forma en la cual se llega a ellas. Para los

administradores, el proceso de toma de decisión es sin

duda una de las mayores responsabilidades.

Debemos empezar por hacer una selección de

decisiones, y esta selección es una de las tareas de

1 Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T., Camm,, J., Martin, K. (2011) Métodos cuantitativos para los negocios. (11ª edición). Pág. 97

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gran trascendencia. Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, es necesario conocer,

comprender, analizar un problema, para así poder darle solución; en algunos casos por ser

tan simples y cotidianos, este proceso se realiza de forma implícita y se soluciona muy

rápidamente, pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una mala o buena

elección puede tener repercusiones en la vida y si es en un contexto laboral en el éxito o

fracaso de la organización. Para los cuales es necesario realizar un proceso más estructurado

que puede dar más seguridad e información para resolver el problema. Las decisiones nos

atañen a todos ya que gracias a ellas podemos tener una opinión crítica.

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1.TOMA DE DECISIONES SIN PROBABILIDAD

“Pittsburg Development Corporation (PDC) compro un terreno donde construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La localización proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y el Goleen Triangle, donde los ríos Allegheny y Monongahela se unen para formar el río Ohio. PDC planea asignar precios a las unidades de condominios individuales entre 300,000 y 1,400,000.

PDC encargo los planos arquitectónicos preliminares para tres proyectos diferentes: uno con 30 condominios otro con 60 y el último con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y el evento fortuito concerniente a la demanda que tengan los mismos. El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto de condominios de lujo que generara la mayor utilida dada la incertidumbre de la demanda.

Un factor en la selección de la mejor alternativa de decisión es la incertidumbre asociada al evento fortuito concerniente a la demanda de los condominios. Cuando se le pregunto por la demanda posible para el condominio, el presidente de PDC reconoció una amplia variedad de posibilidades, pero decidió que sería adecuado considerar dos posibles de los eventos fortuitos: una demanda fuerte y una demanda débil.”

En el análisis de decisiones los resultados posibles para un evento fortuito se conocen como estados de la naturaleza, los cuales se definen de modo que ocurra uno y solo uno de todos los estados posibles. Para el problema de PDC, el evento fortuito relativo ala demanda de los condominios tiene dos estados de la naturaleza:

Alternativas de decisión:

D1: un complejo pequeño con 30 condominios

D2: un complejo mediano con 60 condominios

D3: un complejo grande con 90 condominios

S1= demanda fuerte para los condominios

S2= demanda débil para los condominios

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TABLA DE RESULTADOS PARA EL PROYECTO DE CONDOMINIOS DE PDC

ESTADO DE LA NATURALEZA

Alternativa de decisión Demanda fuerte s1 Demanda débil s2

Complejo pequeño d1 8 7

Complejo mediano d2 14 5

Complejo grande d3 20 -9

Enfoque optimista:

En el enfoque optimista se evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir la alternativa de decisión que se recomienda es aquella que proporciona el mejor resultado posible. Para un problema en el cual se desea obtener las máximas utilidades, como el problema de PDC, el enfoque optimista llevara al tomador de decisiones a elegir la alternativa que corresponde a la utilidad mayor que en este caso corresponde ala alternativa tres que es construir un complejo grande de 90 condominios, al enfoque optimista solo le interesa la alternativa de las mayores ganancias sin tomar en cuenta las consecuencias de que exista una demanda baja sobre la alternativa elegida.

Resolvemos el problema mediante el software The Management Scientist

1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en el ícono

para abrir el programa, al hacer esto se abrirá la siguiente ventana.

2.-Se abre el siguiente cuadro en el cual se presentan todos los módulos que ofrece el

programa para auxiliar a los administradores o tomador de decisiones de las empresas. En

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este caso se seleccionará el módulo o la casilla 10 de “Decisión Analysis” y se hará clic en

el botón “OK”.

3.-Al aceptar la opción se abre la nueva ventana en la cual se hace clic en el menú “File” y

se elegirá la opción “New…”

4.-Con ello se abrirá una nueva ventana en la que se especificará el número de decisiones y

de estados de la naturaleza, en este problema las decisiones son 3 y los estados de la

naturaleza serán 2

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5.-Seguidamente nos saldrá una ventana en donde tenemos que poner el número de

alternativas y el número de estados de naturaleza

6.-Después se le da clic en solution, y acto seguido en solve, luego el programa arrojará

nuevamente un cuadro para seleccionar las opciones deseadas

7.-Luego se seleccionan las casillas correspondientes. Para mostrar el resultado máximo para

cada alternativa de decisión para PDC en este caso el criterio optimista y se le da clic en ok.

8.- A continuación el programa arrojará la mejor alternativa de decisión para un punto de

vista optimista que este caso es la alternativa tres con 20 millones de dólares a ganar.

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Enfoque conservador:

Evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de solución recomendada es aquella que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el cual la medida de salida son las utilidades, como el problema de PDC, el enfoque conservador llevaría al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximice las utilidades mínimas posibles que se pudieran obtener. Para problemas que involucran la maximización, este enfoque identifica la alternativa que minimizara el resultado máximo.

Para explicar el enfoque conservador, desarrollamos una recomendación para el problema de PDC utilizando este enfoque. Primero se identifica el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión; luego se selecciona la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo.

Como 7, que corresponde a la alternativa 1 (d1), produce el valor máximo de los resultados mínimos, se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios pequeño. Este enfoque de decisión se considera conservador debido a que identifica los peores resultados posibles y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad de obtener resultados sumamente “malos”. En el enfoque conservador se garantiza que PDC obtenga una utilidad de al menos $7 millones. Aunque PDC puede hacer mas, no puede ganar menos de $7 millones.

1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en

el ícono para abrir el programa, al hacer esto se abrirá la siguiente ventana.

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este caso se seleccionará el módulo o la casilla 10 de “Decisión Analysis” y se hará clic en

el botón “OK”.

3.-Al hacer clic en el botón ok se abre la nueva ventana en la cual damos clic en el menú

“File” y se elegirá la opción “New…”

4.-Se abrirá una nueva ventana en la que se especificará el número de decisiones y de estados

de la naturaleza, en este problema las decisiones son 3 y los estados de la naturaleza son 2



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6.-Se le da en solución y luego en solve

7.-Nos aparecerá este cuadro en donde le daremos en maximizar y se cambia al criterio

conservador

8.-Seguidamente le damos ok y nos dará el máximo de los valores del resultado mínimo.

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Enfoque de arrepentimiento mínimax:

El enfoque de arrepentimiento mínimax para la toma de decisiones es solamente optimista o solamente conservador. Explicaremos el enfoque de arrepentimiento mínimax al mostrar como se utiliza para seleccionar una alternativa de decisión para el problema de PDC.

Suponga que PDC construye un complejo de condominios pequeño decisión 1 (d1) y la demanda y la demanda resulta ser fuerte (s1). Sin embargo, dado que ha ocurrido el estado de la naturaleza de demanda fuerte (s1), nos damos cuenta de que la mejor decisión hubiera sido construir un complejo de condominios grande (d3) que produce una utilidad de $20 millones. La diferencia entre el resultado de la mejor alternativa de decisión ($20 millones) y el resultado de la decisión de construir un complejo de condominios pequeño ($8 millones) es la perdida de oportunidad, o arrepentimiento, asociada con la alternativa de decisión d1 cuando ocurre el estado de la naturaleza s1; por tanto, para este caso, la pérdida de oportunidad o arrepentimiento es $20 millones – $8 millones = $12 millones. Asimismo, si PDC toma la decisión de construir un complejo de condominios mediano (d2) y ocurre el estado de la naturaleza de demanda fuerte (s1), la perdida de oportunidad, o arrepentimiento, asociada con (d2) sería $20 millones – $14 millones = $6 millones.

Resolvemos el problema de maximización con el enfoque de arrepentimiento mínimax.

1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en

el ícono para abrir el programa, al hacer esto se abrirá la siguiente ventana.

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2.-La cual al hacer clic en el botón “Continue” se abre el siguiente cuadro en el cual se

presentan todos los módulos que ofrece el programa para auxiliar a los administradores o

tomador de decisiones de las empresas. En este caso se seleccionará el módulo o la casilla

10 de “Decision Analysis” y se hará clic en el botó “OK”.

3.-Al hacer clic en el botón ok se abre la nueva ventana en la cual damos en el menú “File”

y se elegirá la opción “New…”

4.-Con ello se abrirá una nueva ventana en la que se especificará el número de decisiones y

de estados de la naturaleza, en este problema las decisiones son 3 y los estados de la

naturaleza serán 2



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6.-Después se le da clic en solution, y acto seguido en solve, luego el programa arrojará

nuevamente un cuadro para seleccionar las opciones deseadas.

7.-Seleccionamos maximizar y el criterio minimax seguidamente le damos en ok

8.-Nos dará como resultado el mínimo del arrepentimiento máximo para cada alternativa de

decisión de PDC que en este caso es la alternativa dos con 6 millones.

2. TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDAD

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En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando están disponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperado para identificar la mejor alternativa de decisión.

PDC es optimista respecto al potencial para el complejo de condominios de lujo. Suponga que este optimismo conduce a una evaluación de probabilidad subjetiva inicial de 0.8 de que la demanda será fuerte (s1) y una probabilidad correspondiente de 0.20 será débil.

Entonces calculamos el valor esperado para cada una de las tres alternativas como sigue:

Resolvemos el problema de PDC conociendo las probabilidades asignadas a los estados de la

naturaleza.

1.- entramos al programa The Management Scientist y le damos clic en continue

2.-Seguidamente nos aparecerá un cuadro en donde seleccionamos análisis de decisiones y le damos en OK.. esto nos lleva la pantalla principal del programa donde seleccionaremos menu file> nuevo

VE (d1)=0.8 (8)+0.2 (7)=7.8

VE (d2)=0.8 (14)+0.2 (5)=12.2

VE (d3)=0.8 (20)+ 0.2 (-9)= 14.2

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3.-Seguidamente nos aparecerá este cuadro donde pondremos el numero de alternativas y el

numero de estados de naturaleza, esta vez como sabemos las probabilidades de los eventos

fortuitos (estados de la naturaleza) s1=.8 y s2=.2 habilitamos la casilla de numero de

probabilidades y seguidamente le damos clic en el botón OK.

4.- Se abre una ventana con la tabla para colocar los datos que se dan en la tabla y en la

última fila se colocarán las probabilidades. Asentamos los valores de la tabla de resultados y

las respectivas probabilidades para cada estado de la naturaleza.

5.-Para ver la solución del ejercicio se selecciona en el menú “Solution” la opción “Solve”,

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6.-Después se abrirá una ventana en la que se seleccionará la casilla para minimizar o

maximizar, en este caso será maximizar las ganancias. Le damos clic en ok

7.-La ventana de resultados que arroja el programa indica la decisión recomendada con la

palabra “YES” y en la parte inferior indica el número de decisión y el valor esperado,

separados con el punto (.), por lo tanto la mejor decisión o la recomendada es la decisión del

complejo grande (d3) con valor de $20 millones.

3. ANALISIS DE RIESGO Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

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ANALISIS DE RIESGO

El análisis de riesgo ayuda al tomador de decisiones a reconocer la diferencia

entre el valor esperado de una alternativa de decisión y el resultado que puede

ocurrir en realidad.

El análisis de sensibilidad también ayuda al tomador de decisiones describiendo

como los cambios en los resultados o ambos afectan las alternativas de decisión

recomendada.

PROBLEMAProyecto de construcción de condominios PDC. Usando el enfoque de valor esperado,

identificamos sobre el complejo de condominios grande (d3) como la mejor alternativa de

decisión. El valor esperado de 14.2 millones para de d3 se basa en una probabilidad de 0.8 de

obtener una ganancia de 20 millones y una probabilidad de 0.2 de obtener una pérdida de 9

millones. La probabilidad de 0.8 para el resultado de $20 millones y la probabilidad de 0.20

para el resultado de -$9 millones dan el perfil de riesgo para la alternativa de decisión del

complejo grande.

PERFIL DE RIESGO

PROBABILIDAD GANANCIAS

.8 20 millones

.20 -9 millones

PERFIL DE RIESGO PARA LA ALTERNATIVA DE DECISIÓN DEL

COMPLEJO GRANDE PARA EL PROYECTO DE CONDOMINIOS

DE PDC

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar valores diferentes para las

probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados y luego resolver el

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problema de análisis de decisiones. Si cambia la alternativa de decisión recomendada

sabremos que la solución es sensible a los cambios hechos.

En el problema PDC la probabilidad para una demanda fuerte se revisa en 0.20 y la

probabilidad para una demanda débil se revisa en 0.80 P (s1)=.20 Y P (s2)=.80

1.-Damos clic sobre el icono para abrir el programa y comenzar a resolver el

ejercicio.

2.-Le damos clic en continúe…

3.-Seguidamente nos aparecerá este cuadro en donde seleccionamos análisis de decisiones y

le damos en ok

VE (d1)=.20 (8) +.80 (7)=7.2

VE (d2)=.20 (14)+.80 (5)=6.8

VE (d3)= .20 (20)+.80 (-9)=-3.2

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4.-Le damos clic en el botón new

5.-Seguidamente nos aparecerá este cuadro donde pondremos el numero de alternativas y el

numero de estados de naturaleza esta vez como contamos con la probabilidad seleccionamos

la casilla de numero de probabilidades y seguidamente le damos clic en el botón ok.

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6.-Se ponen los datos pero aquí las probabilidades cambian se invierten (puede ser cualquier

probabilidad) para saber si es sensible a los cambios.

7.-Le damos clic en solution y luego solve

8.-Tomamos la opción Maximize y luego presionamos el botón ok

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9.-Con los resultados obtenidos de la evaluación realizada con The Management Scientist, la

alternativa de decisión recomendada es construir un complejo pequeño de condominios (d1),

con un valor esperado de $ 7.2 millones. La probabilidad de una demanda fuerte es de solo

0.20, así que construir el complejo de condominios grande (d3) es la alternativa menos

preferida, con un valor esperado de -$3.2 millones es decir una perdida.

Cuando la probabilidad de una demanda fuerte es grande, PDC debería construir el complejo

grande; cuando la probabilidad de una demanda fuerte es pequeña PDC debería construir el

complejo pequeño.

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CAPITULO II

PROGRAMACIÓN LINEAL2

HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN

LINEAL

La programación lineal se plantea como un

modelo matemático desarrollado durante la

Segunda Guerra Mundial para planificar los

gastos y los retornos, a fin de reducir los

costos al ejército y aumentar las pérdidas

del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta

1947. En la posguerra, muchas industrias lo

usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George

Dantzig, quien publicó el algoritmo

simplex, en 1947, John Von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo

año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la

economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro

matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era

resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo

método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría

un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El objetivo de la programación lineal es encontrar las condiciones en que se maximiza la

denominada función objetivo, una ecuación que determina, por ejemplo, el ingreso que se

obtendrá produciendo determinadas mercancías; dicha función está sujeta a ciertas

restricciones, constituidas por un grupo de ecuaciones lineales que indican el consumo de los

diversos factores productivos que se necesitan -en este caso- para obtener un determinado

producto. De este modo se establece que, contando con un grupo limitado de recursos,

pueden producirse ciertas cantidades de los bienes A, B,... etc., cada uno de los cuales


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Narendra_Karmarkar&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_polinomial

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Khachiyan

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Kantor%C3%B3vich

http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplex



http://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig

http://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig

http://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_Guerra_Mundial

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produce un ingreso determinado. La programación lineal indica entonces la combinación

óptima de bienes a producir para obtener el máximo beneficio a partir de un conjunto finito

de recursos.

La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación

Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las

funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales

en las variables de decisión.

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para

abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales,

lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados

a su utilización.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministas (MD) o

Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros

asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos

Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución

de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa

generalmente se enfocan sólo en Modelos Deterministas.

En resumen:

• La programación lineal es una técnica de modelado (construcción de modelos).

• La programación lineal (PL) es una técnica matemática de optimización, es decir, un

método que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

• Su interés principal es tomar decisiones óptimas.

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• Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. Si bien esos sectores han sido quizá

los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector público de la economía

también la han aprovechado ampliamente.

• La estructura básica de un problema de programación lineal (PL) consta de una función

objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de

igualdades o desigualdades.

Conceptos clave:

• Función objetivo: La función por optimizar (maximizar o minimizar)

• Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de

igualdades y desigualdades (≤ Ó≥)

Ejemplos de “función objetivo y restricciones”:

1. Maximizar P = X + 1.2 Y

Sujeto a 2X + Y < 180

X + 3Y < 300

X > 0

Y > 0

2.-Maximizar: C = 6X + 8Y

Sujeto a 40X + 10Y > 2400

10X + 15Y >2100

5X + 15Y >1500

Función objetivo

Restricciones

Función objetivo

Restricciones

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X > 0

Y > 0

UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN

RMC, Inc. es una pequeña empresa que fabrica una variedad de productos basados en

sustancias químicas. En un proceso de producción particular, se emplean tres materias

primas para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El

aditivo se vende a las compañías petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y

combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de compañías de

productos químicos y se emplea en artículos de limpieza para el hogar y la industria.

Las tres materias primas se mezclan para formar el aditivo para combustible y la base para el

solvente, tal como se indica en la siguiente tabla, en la que se muestra que una tonelada de

aditivo para combustible es una mezcla de 0.4 ton de material 1 y 0.6 ton de material 3,

mientras que una tonelada de base para solvente es una mezcla de 0.5 ton de material 1, 0.2

ton de material 2 y 0.3 ton de material 3.

35

La producción de RMC está restringida por una disponibilidad limitada de las tres materias

primas. Para el periodo de producción actual, RMC tiene disponibles las siguientes

cantidades de cada materia prima:

Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de producción, los materiales que no se

lleguen a usar en una corrida de producción no se pueden almacenar para las subsiguientes,

son inútiles y deben desecharse.

El departamento de contabilidad analizó las cifras de producción, asignó todos los costos

relevantes y llegó a precios para ambos productos que generarían una contribución a las

utilidades de $40 por cada tonelada de aditivo para combustible producido y $30 por cada

tonelada producida de base para solvente.

Utilicemos ahora la programación lineal para determinar la cantidad de toneladas de aditivo

para combustible y de base para solvente a producir con el fin de maximizar la contribución

total a las utilidades.

PRODUCTO

ADITIVO PARA COMBUSTIBLE

BASE PARA SOLVENTE

Material 1 0.4 0.5

Material 2 0.2

Material 3 0.6 0.3

MATERIAL CANTIDAD DISPONIBLE PARA PRODUCCIÓN

Material 1 20 toneladas



36

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

La formulación del problema es el proceso de traducir una descripción verbal de un problema

en un enunciado matemático. El enunciado matemático del problema se conoce como

modelo matemático.

RMC quiere determinar cuánto de cada producto debe producir para maximizar la

contribución total a las utilidades. El número de toneladas disponibles de los tres materiales

que se requieren para fabricar los dos productos delimitan la cantidad de toneladas de cada

producto que pueden elaborarse.

• Describir el objetivo : El objetivo de RMC es maximizar la contribución total a las

utilidades.

• Describir cada restricción : Tres restricciones limitan la cantidad de toneladas de aditivo

para combustible y la cantidad de base para solvente que puede producirse

Restricción 1: el número de toneladas de material 1empleadas debe ser menor o igual que

las 20 toneladas disponibles

Restricción 2: el número de toneladas de material 2 empleadas debe ser menor o igual que

las 5 toneladas disponibles

Restricción 3: el número de toneladas de material 3 empleadas debe ser menor o igual que

las 21 toneladas disponibles.

• Definir las variables de decisión :

1) El numero de toneladas de aditivo para combustible por producir.

2) El numero de toneladas de base para solvente por producir.

37

Se utilizará la siguiente notación para las variables de decisión:

F = cantidad de toneladas de aditivo para combustible

S = cantidad de toneladas de base para solvente

• Escribir la función objetivo de las variables de decisión :

La contribución a las utilidades de RMC proviene de la producción de F toneladas de aditivo

para combustible y S toneladas de base para solvente. Debido a que RMC gana $40 por cada

tonelada de aditivo para combustible producida y $30 por cada tonelada de base para

solvente producida, la empresa ganara $40F de la producción del aditivo para combustible Y

$30S de la producción de la base para solvente. Por tanto.

Contribución total a las utilidades = 40F + 30S

Debido a que el objetivo, maximizar la contribución total a las utilidades, es una función de

las variables de decisión F y S, nos referimos a 40F + 30S como la función objetivo.

Utilizando “Max” como una abreviatura para maximización, podemos escribir el objetivo de

RMC como sigue:

ESCRIBIR LAS RESTRICCIONES EN FUNCIÓN DE LAS VARIABLES DE

DECISIÓN

Restricción 1:

Toneladas de material 1 utilizado < Toneladas de material 1 disponible

Cada tonelada de aditivo para combustible que RMC produce utiliza 0.4 toneladas de

material 1. Por tanto se utilizan 0.4F toneladas de material 1 para producir F toneladas de

aditivo para combustible. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que RMC

produce utiliza 0.5 toneladas de material 1, así que se emplean 0.5S toneladas de material 1

se usan para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, el número de

Max 40F + 30 S

38

toneladas de material 1 utilizado para producir F toneladas de aditivo para combustible y S

toneladas de base para solvente es

Toneladas de material 1 utilizadas = 0.4F + 0.5S

Debido a que se dispone de 20 toneladas de material 1 para utilizar en la producción, la

declaración matemática de restricción 1 es:

Restricción 2:

Toneladas de material 2 empleadas < Toneladas de material 2 disponibles

El aditivo para combustible no utiliza material 2, pero cada tonelada de base para solvente

que RMC produce utiliza 0.2 toneladas de material 2, así que se utilizan 0.2S toneladas de

material 2 para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, el número de

toneladas de material 2 empleadas para producir F toneladas de aditivo para combustible y S

toneladas de base para solvente es

Tonelada de material 2 utilizadas = 0.2S

Debido a que se dispone de 5 toneladas de material 2 para la producción, el enunciado

matemático de la restricción 2 es:

Restricción 3:

Toneladas del material 3 utilizadas < Toneladas del material 3 disponibles

Cada tonelada de aditivo para combustible que RMC produce utiliza 0.6 toneladas de

material 3. Por tanto, se utilizan 0.6F toneladas de material 1 para producir F toneladas de

aditivo para combustible. Del mismo modo, cada tonelada de base para solvente que RMC

0.4F + 0.5S < 20

0.2S < 5

39

produce utiliza 0.3 toneladas de material 3, así que se emplean 0.3S toneladas de material 1

para producir S toneladas de base para solvente. Por consiguiente, el número de toneladas de

material 3 empleadas para producir F toneladas de aditivo y S toneladas de base es:

Toneladas de material 3 utilizadas = 0.6F + 0.3S

Dado que se dispone de 21 toneladas de material 3 para la producción, el enunciado

matemático de la restricción 3 es:

• Añadir las restricciones de no negatividad:

RMC no puede producir una cantidad negativa de toneladas de aditivo para combustible ni

una cantidad negativa de toneladas de base para solvente. Por tanto, se deben añadir

restricciones de no negatividad para prevenir que las variables de decisión F y S tengan

valores negativos. Estas restricciones de no negatividad son

F > 0 y S > 0

Las restricciones de no negatividad son una característica general de los problemas de

programación lineal.

MODELO MATEMÁTICO PARA EL PROBLEMA DE RMC

Ahora está completa la formulación del problema. Ahora podemos traducir la definición

verbal del problema de RMC en el siguiente modelo matemático:

Max 40F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 21 Material 3

0.6F + 0.3S < 21

40

F, S > 0

Nuestra tarea ahora es encontrar la mezcla de productos (es decir, la combinación de

F y S) que satisfaga todas las restricciones y, al mismo tiempo, produzca un valor máximo

para la función objetivo. En cuanto se calcula los valores de F y S, encontraremos la

solución optima para el problema.

1. Para resolver el ejercicio damos clic sobre el icono para abrir el programa,

después seleccionamos “programación lineal” y luego “Ok”

2.- Elegimos la opción “File” y luego “new”

3.- En la siguiente ventana indicamos el número de variables y de restricciones,

seleccionamos “maximizar” y luego “Ok”

41

4.- Procedemos a llenar el cuadro con la información del modelo matemático que obtuvimos

del problema y posteriormente damos clic en “solution” y luego en “solve”

5.- En la siguiente ventana obtenemos el resultado.

42

Ahora interpretemos la solucion por computadora para el problema. Primero observemos que

el número 1600.000, que aparece a la derecha del valor de la función objetivo, indica que la

solución optima a este problema proporcionará una utilidad de $1600. Directamente debajo

del valor de la función objetivo están los valores de las variables de decisión de la solución

óptima. Por tanto, tenemos F=25 toneladas de aditivo para combustible y S=20 toneladas de

base para solvente como cantidades de producción optimas.

VARIABLES DE HOLGURA

Además de la solución optima y su contribución a las utilidades asociadas, los gerentes de

RMC querrán información sobre los requerimientos de producción para los tres materiales.

Podemos determinar esta información al sustituir los valores de la solución óptima

(F = 25, S = 20) en las restricciones del programa lineal.

RESTRICCIÓNTONELADAS REQUERIDAS

PARA F = 25, S = 20

TONELADAS DISPONIBLES

TONELADAS SIN UTILIZAR

Material 1 0.4(25) + 0.5(20) = 20 20 0

Material 2 0.2(20) = 4 5 1

Material 3 0.6(25) + 0.3(20) = 21 21 0

Por tanto, la solución óptima indica a la gerencia que la producción de 25 toneladas de

aditivo para combustible y 20 toneladas de base para solvente requerirán todo el material 1 y

material 3 disponibles pero sólo 4 de las 5 toneladas del material 2. La tonelada que queda

sin utilizar del material 2 se conoce como holgura. En la terminología de la programación

lineal, cualquier capacidad sin utilizar o desocupada para una restricción de < (menor o

igual que) se conoce como una holgura asociada con la restricción. Por ende, la restricción

del material 2 tiene una holgura de 1 tonelada.

43

La capacidad sin utilizar no contribuye en lo absoluto a las utilidades, por lo que las

variables de holgura tienen coeficientes de cero en la función objetivo.

La información mostrada en la columna Slack/Surplus (Holgura/Excedente) proporciona el

valor de la variable de holgura para cada una de las tres restricciones.

La información se resume como sigue:

NÚMERO DE RESTRICCIÓNES

NOMBRE DE RESTRICCIÓN

VALOR DE LA VARIABLE DE

HOLGURA

1 Material 1 0

2 Material 2 1

3 Material 3 0

44

UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN

M&D Chemicals produce dos productos que se venden como materias primas a empresas

que fabrican jabones para baño y detergentes para lavar ropa. Con base en un análisis de los

niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el mes siguiente, la gerencia de

M&D ha especificado que la producción combinada de los productos A y B debe sumar un

total de 350 galones como mínimo. Por otra parte, también debe surtirse el pedido de un

cliente importante de 125 galones del producto A. El producto A requiere 2 horas de tiempo

de procesamiento por galón, mientras que el producto B requiere 1 hora de tiempo de

procesamiento por galón, y para el siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de

procesamiento disponibles. El objetivo de M&D es satisfacer estos requerimientos con un

costo de producción total mínimo. Los costos de producción son $2 por galón para el

producto A Y $3 por galón para el producto B.

Para elaborar el programa de producción con un costo mínimo, formularemos el problema

de M&D Chemicals como un programa lineal. Siguiendo un procedimiento similar al que

utilizamos en el problema de RMC, primero definimos las variables de decisión y la función

objetivo para el problema. Sea

A = número de galones del producto A

B = número de galones del producto B

Debido a que los costos de producción son de $2 por galón para el producto A y $3 por galón

para el producto B, la función objetivo que corresponde a la minimización del costo total de

producción puede escribirse como:

Min 2A + 3B

A continuación consideramos las restricciones impuestas al problema de M&D Chemicals.

Para satisfacer la demanda del cliente importante de 125 galones del producto A, sabemos

que A debe ser por lo menos 125. Por tanto, escribimos la restricción

45

1A > 125

Debido a que la producción combinada para ambos productos debe sumar por lo menos 350

galones, escribimos la restricción

1A + 1B > 350

Por último, la limitación en el tiempo de procesamiento disponible de 600 horas significa que

debemos añadir la restricción

2A + 1B < 600

Después de añadir las restricciones de no negatividad (A, B > 0), tenemos el siguiente

programa lineal para el problema de M&D Chemicals:

Min 2A + 3B

Sujeto a

1A > 125 Demanda del producto A

1A + 1B > 350 Producción total

2A + 1B < 600 Tiempo de procesamiento

A, B > 0

1.- Para resolver el ejercicio damos clic sobre el icono para abrir el programa

después seleccionamos “programación lineal” y luego “OK”

46

2.-Seleccionamos el menú “file” y le damos clic en “nuevo”

3.- Indicamos el número de variables y el número de restricciones, seleccionamos

“minimizar” y luego “ok”



47


El resultado de la computadora muestra que la solución con costo mínimo produce un valor

de $800 en la función objetivo. Los valores de las variables de decisión muestran que 250

galones del producto A y 100 galones del producto B proporcionan la solución de costo

mínimo.

48

VARIABLES DE EXCEDENTE

La solución óptima para el problema de M&D Chemicals muestra que la producción total

deseada A + B = 350 galones, se logra al utilizar todo el tiempo de procesamiento disponible

de 2A + 1B = 2(250) + 1(100) = 600 horas. Además, observe que la restricción que requiere

que se cumpla la demanda del producto A se satisface con A = 250 galones. De hecho, la

producción del producto A excede su nivel mínimo por 250 – 125 = 125 galones. Este

exceso de producción para el producto A se conoce como excedente. En la terminología de

la programación lineal, cualquier cantidad que rebase la cantidad correspondiente a una

restricción de > se conoce como excedente.

Es importante mencionar que con una restricción de <, una variable de holgura debe añadirse

(+) en el lado izquierdo de la desigualdad para convertir la restricción a la forma de igualdad.

En cambio, con una restricción >, una variable de excedente debe restarse (-) del lado

izquierdo de la desigualdad para convertir la restricción a la forma de igualdad.

Al igual que con las variables de holgura, a las variables de excedente se les proporciona un

coeficiente de cero en la función objetivo debido a que no tienen efecto sobre su valor.

Después de incluir dos variables excedentes, S1 y S2, para las restricciones de > y una

variable de holgura, S3, para la restricción de <, el modelo de programación lineal del

problema de M&D Chemicals se vuelve

Min 2A + 3B + 0S1 + 0S2 + 0S3

Sujeto a

1A - 1S1 = 125

49

1A + 1B -1S2 = 350

2A + 1B +1S3 = 600

A, B, S1, S2, S3 > 0

Siempre que se escribe un programa lineal de manera que todas las restricciones estén expresadas como igualdades, se dice que está escrito en forma estándar.

Todas las restricciones ahora son igualdades. Por consiguiente, la formulación anterior es la

representación en forma estándar del problema de M&D Chemicals.

En la solución óptima de A = 250 Y B = 100, los valores de las variables de holgura y

excedente son los siguientes:

RESTRICCIÓN VALOR DE LA VARIABLE DE HOLGURA O DE EXCEDENTE

Demanda del producto A S1 = 125

Producción total S2 = 0

50

Tiempo de procesamiento S3 = 0

La columna Slack/Surplus (Holgura/Excedente) muestra que la restricción 1 de > que

corresponde a la demanda del producto A tiene un excedente de 125 unidades. Esta columna

nos indica que la producción del producto A en la solución óptima excede la demanda por

125 galones. Mientras que los valores de Slack/Surplus para el requerimiento de producción

total (restricción 2) y la limitación del tiempo de procesamiento (restricción 3), son

de cero.

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD3

El análisis de sensibilidad es el estudio de cómo los cambios en los coeficientes de un

problema de programación lineal afectan a la solución óptima.

Es importante para los tomadores de decisiones debido a que los problemas reales ocurren en

un entorno en constante cambio. Los precios de las materias primas, la demanda de

productos, las capacidades de producción, los precios de las acciones, todo ello cambia.

Si un modelo de programación lineal se utiliza en un entorno como éste, podemos esperar

que algunos de los coeficientes del modelo cambien con el tiempo y tal vez queramos

determinar cómo estos cambios afectan a la solución óptima. El análisis de sensibilidad

proporciona la información necesaria para responder a esos cambios sin requerir una

solución completa de un programa lineal modificado.

Recordemos el problema de RMC que deseaba determinar el número de toneladas de aditivo

para combustible (F) y el número de toneladas de base para solvente (S) a producir con el

objeto de maximizar la contribución total a las utilidades para los dos productos. Tres

restricciones de materias primas limitan las cantidades de los dos productos que pueden

fabricar. El modelo de programación líneal de RMC se replantea aquí:

Max 40F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1


51

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 21 Material 3

F , S > 0

La solución óptima, F = 25 toneladas y S = 20 toneladas, proporcionó una contribución

máxima a las utilidades de $1600.

La solución óptima se baso en las contribuciones a las utilidades de $40 por tonelada para el

aditivo para combustible y $30 por tonelada para la base solvente. Sin embargo, suponga que

después nos enteramos de que una reducción en los precios provoca que la contribución a las

utilidades del aditivo para combustible disminuya de $40 a $30 por tonelada. El análisis de

sensibilidad se utiliza para determinar si la producción de 25 toneladas de aditivo para

combustible y 20 toneladas de base para solvente sigue siendo lo mejor. De ser así, no es

necesario resolver un problema de programación lineal con 30F + 30S como la

nueva función objetivo.

El análisis de sensibilidad también puede utilizarse para determinar cuáles coeficientes en un

modelo de programación lineal son cruciales. Por ejemplo, suponga que la gerencia cree que

la contribución a las utilidades de $30 por tonelada de la base para solvente es sólo una

estimación aproximada de la contribución a las utilidades que en realidad se obtendrá.

Si el análisis de sensibilidad muestra que la solución óptima serán 25 toneladas de aditivo

para combustible y 20 toneladas de base para solvente cuando la contribución a las utilidades

para la base para solvente esté entre $20 y $50, la gerencia debe sentirse cómoda con la

estimación de $30 por tonelada y las cantidades de producción recomendadas. Sin embargo,

si el análisis de sensibilidad muestra que 25 toneladas de aditivo para combustible y 20

toneladas de base para solvente son la solución óptima sólo si la contribución a las utilidades

de la base para solvente está entre $29.90 y $30.20 por tonelada, quizás la gerencia quiera

revisar la precisión de la estimación de $30 por tonelada.

Otro aspecto del análisis de sensibilidad tiene que ver con los cambios en los valores del lado

derecho de las restricciones. Recordemos que en el problema de RMC la solución

óptima utilizaba todo el material 1 y todo el material 3 disponibles. ¿Qué le sucedería

a la solución óptima y a la contribución total a las utilidades si RMC pudiera obtener

52

cantidades adicionales de cualquiera de estos recursos? El análisis de sensibilidad

puede ayudar a determinar cuánto vale cada tonelada de material adicional y cuántas

toneladas pueden añadirse antes de que disminuyan los rendimientos establecidos.

COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Comencemos con la solución del problema de RMC original, en el cual la solución óptima

para la función objetivo 40F + 30S fue de F = 25 y S = 20. Por tanto

40(25) + 30(20) = 1600 es el valor de la solución óptima.

Ahora suponga que RMC se entera de que una reducción en el precio del aditivo para

combustible ha disminuido su contribución a las utilidades a $30 por tonelada. Con esta

reducción, la gerencia de RMC puede cuestionar la conveniencia de mantener la solución

óptima original de F = 25 toneladas y S = 20 toneladas. Tal vez, ahora la solución óptima

sea diferente. El programa lineal de RMC con la función objetivo modificada es el siguiente:

Max 30F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 21 Material 3

F . S > 0

53






54




Los valores para la solución óptima que se nos proporcionan en la ventana anterior aun

siguen siendo F = 25 y S = 20. Por tanto, aun cuando la contribución total a las utilidades

55

disminuyó a 30(25) + 30(20) = 1350, la disminución en la contribución a las utilidades del

aditivo para combustible de $40 a $30 por tonelada no cambia la solución óptima

F = 25 y S = 20.

Ahora supongamos que una reducción posterior en el precio provoca que la contribución

total a las utilidades del aditivo para combustible se reduzca a $20 por tonelada.

¿F = 25 y S = 20 sigue siendo la solución óptima?

El programa lineal de RMC con la función objetivo modificada es el siguiente:

Max 20F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 21 Material 3

F . S > 0



56






57


Con la función objetivo modificada a 20F + 30S los valores que se nos proporcionan para

la solución óptima ahora son F = 18.75 y S = 25. La contribución total a las utilidades

disminuyó a 20(18.75) + 30(25) = 1125.

No obstante, en este caso vemos que la disminución en la contribución a las utilidades del

aditivo para combustible a $20 por tonelada cambia la solución óptima. La solución F = 25 y

S = 20 ya no es óptima.

58

Ahora analicemos la siguiente ventana en donde se encuentra la solución para el problema de

programación lineal original de RMC por medio del programa “The management scientist”

• La ventana es la misma que obtuvimos anteriormente en el paso número 5 del

problema de maximización simple.

Al Centrarnos en la sección remarcada OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES

(Rangos del coeficiente objetivo), consideremos la fila para el aditivo para combustible F (en

este caso X1). El límite inferior (Lower Limit) es $24, el valor actual (Current Value) es $40

y el límite superior (Upper Limit) es $60. El rango $24 a $60 es el del coeficiente objetivo

para el aditivo para combustible. Por tanto, suponiendo que todos los demás aspectos del

problema RMC original no cambian, la contribución a las utilidades del aditivo para

combustible puede variar de $24 a $60 por tonelada y la solución F = 25

y S = 20 seguirá siendo la función óptima.

59

De hecho, este resultado es lo que observamos en el problema anterior, cuando la

contribución a las utilidades del aditivo para combustible se redujo a $30 por tonelada

(aun encontrándose dentro del rango del coeficiente objetivo de $24 a $60), la solución

F = 25 y S = 20 aun es óptima. Sin embargo, cuando la contribución a las utilidades del

aditivo para combustible se redujo a $20 por tonelada (encontrándose ya fuera del rango de

$24 a $60), la solución F = 25 y S = 20 ya no es óptima.

En resumen, si el coeficiente de la función objetivo del aditivo para combustible está dentro

del rango del coeficiente objetivo, $24 a $60 , y todos los demás aspectos del problema de

RMC original permanecen sin cambios, la solución óptima para el problema de RMC seguirá

siendo F = 25 y S = 20 toneladas.

También podemos interpretar la información sobre los cambios en el coeficiente de la

función objetivo para la base solvente. Suponiendo que la contribución a las utilidades del

aditivo para combustible es $40 por tonelada y que todos los demás aspectos del problema de

RMC original permanecen inalterados, el rango del coeficiente objetivo para la base solvente

(en este caso X2) es de $20 a $50.

Por tanto, concluimos que siempre que la contribución a las utilidades para la base solvente

esté dentro del rango de $20 a $50, la solución F = 25 y S = 20 seguirá siendo optima.

Si esta contribución para la base solvente queda fuera de este rango, un punto extremo

diferente y una solución distinta se volverán óptimos.

60

CAMBIOS SIMULTÁNEOS

La información del análisis de sensibilidad proporcionada por los coeficientes de la función

objetivo se basa en el supuesto de que sólo cambia un coeficiente de la función objetivo a la

vez y que todos los demás aspectos del problema original permanecen sin cambios. De ahí

que el rango del coeficiente objetivo sea aplicable a cambios en un solo coeficiente objetivo.

Sin embargo, en algunos casos nos podría interesar lo que ocurre si dos o más coeficientes de

la función objetivo cambian simultáneamente. Como demostraremos, es posible hacer un

análisis de los cambios simultáneos con la ayuda de la regla del 100 por ciento.

A continuación replanteamos los rangos del coeficiente objetivo para el problema de

programación lineal original de RMC.

RANGO DEL COEFICIENTE OBJETIVO

VARIABLE DE

DECISIÓN

LÍMITE INFERIOR

VALOR ACTUAL

LÍMITE SUPERIOR

DISMINUCIÓN PERMISIBLE

AUMENTO PERMISIBLE

F 24 40 60 16 20

S 20 30 50 10 20

Las columnas Allowable Decrease (Disminución permisible) y Allowable Increase

(Aumento permisible) indican cuánto puede disminuir o aumentar el valor actual del

coeficiente de la función objetivo sin que cambie la solución óptima. Los valores de

disminución y aumento permisibles se calculan como sigue:

Disminución permisible = Valor actual – Límite inferior

Aumento permisible = Límite superior – Valor actual

61

Supongamos que el departamento de contabilidad de RMC revisa los datos tanto del precio

como del costo de los productos. Como resultado, la contribución a las utilidades del aditivo

para combustible se incrementa a $48 por tonelada y la contribución a las utilidades de la

base para solvente disminuye a $27 por tonelada. Por tanto, el aditivo para combustible tiene

un incremento de $48 - $40 = $8 por tonelada. En la tabla anterior vemos que el aumento

permisible para el coeficiente del aditivo para combustible es $60 - $40 = $20. Por

tanto, el incremento de $8 en el coeficiente de la función objetivo del aditivo para

combustible es 8/20 = 0.40, o 40%, de su aumento permisible. Del mismo modo, la base

solvente tiene un decremento de $30 - $27 = $3 por tonelada. Con una disminución

permisible de $30 - $20 = $10, la disminución de $3 en el coeficiente de la función objetivo

de la base para solvente es 3/10 = 0.30, o 30% de su disminución permisible. La suma del

incremento porcentual para el aditivo para combustible y la disminución porcentual para la

base solvente es 40% + 30% = 70%.

Definiremos ahora la regla del 100 por ciento cuando se aplica a cambios simultáneos en los

coeficientes de la función objetivo.

Al aplicar la regla del 100 por ciento al problema de RMC, vemos que la suma de los

porcentajes de los aumentos y los decrementos permisibles es 70%. Por tanto, la regla del

100 por ciento indica que si la contribución a las utilidades del aditivo para combustible

aumenta a $48 por tonelada y la contribución a las utilidades de la base para solvente

disminuye a $27 toneladas, la solución F = 25 toneladas y S = 20 toneladas sigue siendo

óptima. Por tanto, con los coeficientes de la función objetivo modificados y la misma

solución óptima, la contribución total a las utilidades se vuelve 48(25) + 27(20) = $1740.

REGLA DEL 100 POR CIENTO PARA LOS COEFICIENTES DE LA

FUNCIÓN OBJETIVO

Para todos los coeficientes de la función objetivo que cambian, sume los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles; si la suma es menor o igual que 100%, la solución óptima no cambiará.

• Si la suma de los porcentajes es mayor que 100% puede existir una solución optima diferente. Por tanto, el problema modificado debe resolverse para determinar la solución óptima.

62

LADOS DERECHOS

Ampliemos la exposición del tema de análisis de sensibilidad al considerar cómo un cambio

en el lado derecho de la restricción afecta a la solución óptima de un problema de

programación lineal. Al igual que con el análisis de sensibilidad para los coeficientes de la

función objetivo, consideramos lo que ocurre cuando hacemos un cambio a la vez. Por

ejemplo, supongamos que en el problema de RMC se dispone de 4.5 toneladas adicionales de

material 3. En este caso, el lado derecho de la tercera restricción se incrementa de 21 a 25.5

toneladas. El modelo de programación lineal de RMC modificado es el siguiente:

Max 40F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 25.5 Material 3

F , S > 0



63




4.- Procedemos a llenar el cuadro con la información del modelo de programación lineal de

RMC modificado y posteriormente damos clic en “solution” y luego en “solve”


64

La solución óptima que se nos proporciona en la ventana anterior ahora es F = 37.50 y

S = 10. Por tanto el valor de la solución óptima es 40(37.5) + 30(10) = $1800.

Recordemos que la solución óptima al problema original de RMC era F= 25 toneladas y

S = 20 toneladas, y el valor de la solución óptima era $1600. Entonces, las 4.5 toneladas

adicionales de material 3 en el problema modificado proporcionan una nueva solución

óptima e incrementan el valor de esta solución a $1800 - $1600 = $200. Sobre una base por

tonelada, las 4.5 toneladas adicionales de material 3 incrementan el valor de la solución

óptima a una razón de $200/4.5 = $44.44 por tonelada. (4.5 toneladas * $44.44 = $200)

El precio dual es la mejora en el valor de la solución óptima por incremento unitario en el

lado derecho de una restricción. Por consiguiente, el precio dual para la restricción del

material 3 es $44.44 por tonelada. En otras palabras, si se incrementa 1 tonelada en el lado

derecho de la restricción del material 3, el valor de la solución óptima mejorara $44.44.

Por el contrario, si se disminuye 1 tonelada en el lado derecho de la restricción del material

3, el valor de la solución óptima empeorará $44.44. En general, el precio dual indica lo que

ocurrirá al valor de la solución óptima si se hace un cambio de una unidad en el lado derecho

de una restricción.

65

Ahora analizaremos los precios duales de la solución del problema original de RMC.

La columna remarcada Dual Prices (Precios duales) proporciona la información siguiente:

RESTRICCIÓN PRECIO DUAL

66

Material 1 $33.33

Material 2 $0.00

Material 3 $44.44

Observemos que el precio dual para el material 3, $44.44 por tonelada, concuerda con los

cálculos que hicimos anteriormente. También observemos que el precio dual para la

restricción del material 1 indica que el valor de la solución óptima mejorará a una razón de

$33.33 por tonelada de material 1. Por último, podemos notar que el precio dual para la

restricción del material 2 es $0.00.En la ventana de la solución del problema original de

RMC, vemos que la solución óptima nos indica que el material 2 tiene una holgura de una

tonelada, por lo que en la solución óptima 1 tonelada de material no se usa. El precio dual de

$0.00 nos indica que las toneladas adicionales del material 2 se añadirán a la cantidad de

holgura para la restricción 2 y no cambiarán el valor de la solución óptima.

Ahora para determinar el rango en que el precio dual es aplicable, centrémonos en la sección

remarcada RIGHT HAND SIDE RANGES (rangos del lado derecho). Siempre que el lado

derecho de una restricción permanezca dentro de su rango correspondiente, el precio dual es

aplicable. Por ejemplo, al referirnos a la restricción 3 vemos que el precio dual de $44.44 por

tonelada del material 3 se aplica, siempre y cuando el lado derecho de la restricción 3 este

entre 18.75 y 30 toneladas. Este rango indica que para cada tonelada adicional de material 3

que RMC pueda obtener, hasta un total de 30 toneladas, el valor de la solución óptima

mejoraría $44.44 por cada tonelada añadida. Sin embargo, si se dispusiera de más de 30

toneladas, RMC no podría esperar que le precio dual de $44.44 por tonelada, fuera aplicable;

asimismo, el precio dual para la restricción 1 es $33.33 por tonelada, siempre y cuando la

cantidad de material 1 disponible esté entre 14 y 21.5 toneladas. También podemos notar que

el precio dual de $0.00 para la restricción 2 es aplicable, siempre y cuando la cantidad de

material 2 disponible sea por lo menos 4 toneladas.

CAMBIOS SIMULTÁNEOS

La información del análisis de sensibilidad del lado derecho se basa en el supuesto de que

sólo un lado cambia a la vez. Sin embargo, en algunos casos, nos puede llegar a interesar lo

que ocurre si dos o más lados derechos cambian de forma simultánea. Es posible realizar un

análisis de cambios simultáneos con la ayuda de la regla del 100 por ciento.

67

A continuación se replantea la información del rango del lado derecho para el problema de

programación lineal original de RMC.

RANGO DEL COEFICIENTE OBJETIVO

RESTRICCIÓNLÍMITE

INFERIORVALOR

ACTUALLÍMITE

SUPERIORDISMINUCIÓN PERMISIBLE

AUMENTO PERMISIBLE

Material 1 14 20 21.5 6 1.5

Material 2 4 5 Sin límite superior

1 Sin límite superior

Material 3 18.75 21 30 2.25 9

Las columnas Allowable Decrease (Disminución permisible) y Allowable Increase

(Aumento permisible) indican cuánto puede disminuir o aumentar el valor actual del lado

derecho sin que cambie el precio dual. Los valores de la disminución permisible y el

aumento permisible se calculan como sigue:

Disminución permisible = Valor actual – Límite inferior

Aumento permisible = Límite superior – Valor actual

Ahora suponga que la gerencia de RMC decide comprar 0.5 toneladas adicionales de

material 1 y 4.5 toneladas adicionales de material 3. Como se muestra en la tabla anterior, el

material 1 tiene un aumento permisible de 1.5 toneladas; por consiguiente, el incremento del

lado derecho de dicho material es 0.5/1.5 = 0.333, o 33.3%, de su aumento permisible. De

manera similar, como el material 3 tiene un aumento permisible de 9 toneladas, el

68

incremento del lado derecho de dicho material es 4.5/9 = 0.5, o 50%, de su aumento

permisible. La suma de los porcentajes para los dos lados derechos es 33.33% + 50% =

83.33%.

Establezcamos ahora la regla del 100 por ciento cuando se aplica a los cambios simultáneos

en los lados derechos de un problema de programación lineal.

Al aplicar la regla del 100 por ciento al problema de RMC, vemos que la suma de los

porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles es 83.33%. Por tanto, la regla

del 100 por ciento indica que el precio dual para la restricción del material 1 aún es $33.33

por tonelada, y el precio dual para la restricción del material 3 sigue siendo $44.44 por

tonelada.

Por lo tanto las 0.5 toneladas adicionales de material 1 y las 4.5 toneladas adicionales de

material 3 mejorarían el valor de la función objetivo 0.5 (33.33) + 4.5 (44.44) = $216.65.

En este caso, el lado derecho de la primera restricción se incrementa de 20 a 20.5. y el lado

derecho de la tercera restricción se incrementa de 21 a 25.5 El modelo de programación

lineal de RMC modificado es el siguiente:

Max 40F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20.5 Material 1

0.2S < 5 Material 2

REGLA DEL 100 POR CIENTO PARA LOS LADOS DERECHOS

Para todos los lados derechos que cambian, sume los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la suma de los porcentajes es menor o igual que 100%, los precios duales no cambian.

• Si la suma de los cambios porcentuales es mayor que 100% pueden existir precios duales diferentes. Por tanto, el problema modificado debe resolverse para determinar la nueva solución óptima y los nuevos precios duales.

69

0.6F + 0.3S < 25.5 Material 3

F , S > 0



2. Seleccionamos el menú “file” y le damos clic en “nuevo”



70




71

La solución óptima que se nos proporciona en la ventana anterior ahora es F = 36.667 y

S = 11.667. Por tanto el valor de la solución óptima es 40(36.667) + 30(11.667) = $1816.667.

Recordemos que la solución óptima al problema original de RMC era F= 25 toneladas y S =

20 toneladas, y el valor de la solución óptima era $1600. Entonces, las 0.5 toneladas

adicionales de material 1 y las 4.5 toneladas adicionales de material 3 en el problema

modificado proporcionaron una nueva solución óptima e incrementaron el valor de esta

solución a $1816.667 - $1600 = $216.667.

MÁS SOBRE DOS VARIABLES DE DECISIÓN

72

En esta sección llevaremos a cabo la formulación y la solución de un programa lineal con

tres variables de decisión por medio de The Management Scientis. Al hacerlo, se mostrara

cómo interpretar la parte del costo reducido del resultado y también se ilustrara la

interpretación de los precios duales para restricciones que involucran porcentajes.

PROBLEMA DE RMC MODIFICADO

La formulación del problema original de RMC se replantea aquí:

Max 40F + 30S

Sujeto a

0.4F + 0.5S < 20 Material 1

0.2S < 5 Material 2

0.6F + 0.3S < 21 Material 3

F , S > 0

Recuerde que F es la cantidad de toneladas de aditivo para combustible producidas y S es la

cantidad de toneladas de base para solvente producidas. Suponga que la gerencia también

está considerando producir un líquido limpiador de alfombra. Las estimaciones son que cada

tonelada de líquido limpiador de alfombra requerirá 0.6 toneladas de material 1, 0.1

toneladas del material 2, y 0.3 toneladas de material 3. Debido a las capacidades únicas del

nuevo producto, la gerencia de RMC considera que la empresa obtendrá una contribución a

las utilidades de $50 por cada tonelada de líquido limpiador de alfombras producido durante

el periodo de producción actual.

Consideremos las modificaciones en el modelo de programación lineal original que se

requieren para incorporar el efecto de esta variable de decisión adicional. Sea C la cantidad

de toneladas del líquido limpiador de alfombras producido.

73

Después de añadir C a la función objetivo y a cada una de las tres restricciones, obtenemos el

programa lineal para el problema modificado:

Max 40F + 30S + 50C

Sujeto a

0.4F + 0.5S + 0.6C < 20 Material 1

0.2S + 0.1C < 5 Material 2

0.6F + 0.3S + 0.3C < 21 Material 3

F , S , C > 0



2.- Seleccionamos el menú “file” y le damos clic en “nuevo”

74






75

La solución óptima exige la producción 27.5 toneladas de aditivo para combustible, 0

toneladas de base para solvente y 15 toneladas de líquido limpiador para alfombras. El valor

de la solución óptima es $1850.

Observemos la información contenida en la columna Reduced Costs (Costos Reducidos). El

costo reducido indica cuánto tendría que mejorar el coeficiente de la función objetivo para

una variable en particular antes de que la variable de decisión asuma un valor positivo en la

solución óptima. Como muestra el resultado en la ventana anterior, los costos reducidos para

las variables de decisión F y C son cero, debido a que estas variables ya tienen valores

positivos en la solución óptima. El costo reducido de $12.50 para la variable de decisión S

indica que la contribución a las utilidades para la base solvente tendría que aumentar al

menos $30 + $12.50 = $42.50 antes de que S tomar un valor positivo en la solución óptima.

En otras palabras, a menos que la contribución a las utilidades para S se incremente por lo

menos $12.50, el valor de S seguirá siendo cero en la solución óptima.

Supongamos que el coeficiente de S aumenta $12.50 y luego resolvemos el problema

utilizando The Management Scientist.

76




77




RMC modificado y el incremento en el coeficiente S, posteriormente damos clic en

“solution” y luego en “solve”


78

Aunque S tome un valor positivo en la nueva solución (S = 20.000), el valor de la solución

óptima ($1850.020) sólo se ha incrementado dos centavos. Notemos que la diferencia de los

dos centavos es sólo 20 (el número de unidades de S producidas en la nueva solución),

multiplicado por 0.001 (la cantidad que incrementamos el coeficiente de S además de los

$12.50 ósea 30 + 12.50 + 0.001 = 42.501 ). Fue necesario aumentar esta centésima ya que

en este software al aumentar el coeficiente de la función objetivo de S exactamente $12.50

dará como resultado una solución en la cual S asume un valor de 0 y el valor de la función

objetivo seguirá siendo $1,850. En otras palabras, incrementar la contribución a las utilidades

de S, exactamente la cantidad del costo reducido, dará como resultado soluciones óptimas

alternas. Sin embargo, siempre que la contribución a las utilidades de S aumente más de

$12.50, S no permanecerá en cero en la solución óptima.

La ventana anterior igual nos muestra que los precios duales para las restricciones 1 y 3 son

$75.000 y $16.667, respectivamente. Por tanto, cada tonelada adicional de material 1

incrementaría el valor de la solución óptima $75, y cada tonelada de adicional de material 3

incrementaría el valor de la solución óptima $16.667.

Supongamos que después de revisar la solución óptima anterior, la gerencia decide añadir el

requerimiento de que el número de toneladas de base solvente debe ser por lo menos 25% del

79

número de toneladas de aditivo para combustible producidas. Al escribir este requerimiento

utilizando las variables de decisión F y S, se obtiene:

S > 2.5F o -0.25F + S > 0

Al añadir esta nueva restricción al programa lineal de RMC modificado procedemos a

resolver el problema utilizando The Management Scientist.




80




RMC modificado y la nueva restricción, posteriormente damos clic en “solution” y

luego en “solve”

5.- En la siguiente ventana obtenemos la solución óptima.

81

Ahora interpretemos el precio dual para la restricción 4, es decir, el requerimiento de que el número de toneladas de base para solvente producidas debe ser por lo menos 25% del número de toneladas de aditivo para combustible producidas. El precio dual de -$12.121 indica que un incremento de una unidad en el lado derecho de la restricción reducirá las utilidades $12.21. Por tanto, lo que en realidad indica el precio dual de -$12.121 es lo que ocurrirá con el valor de la solución óptima si la restricción cambia a

S > 2.5F + 1

La interpretación correcta del precio dual de -12.21 ahora puede plantearse como sigue: si producimos 1 tonelada de base para solvente por encima del requerimiento mínimo de 25%, la utilidad total disminuirá $12.21. Por el contrario, si relajamos el requerimiento mínimo de 25% por 1 tonelada (S > 2.5F - 1), las utilidades totales aumentarán $12.21.

El precio dual para una restricción de porcentaje como ésta no proporciona respuestas directas a las preguntas concernientes al incremento o la disminución en el lado derecho de la

82

restricción. Por ejemplo, ¿ Qué le pasaría al valor de la solución óptima si el número de toneladas de base para solvente producidas tuviera que ser como mínimo 26% del número total de toneladas de aditivo para combustible?

Para responder a esta pregunta, debemos resolver el problema utilizando la restricción -0.26S + F > 0 y luego en el resultado, interpretar correctamente el precio dual como se hizo anteriormente.

Debido a que las restricciones de porcentaje con frecuencia ocurren en los modelos de programación lineal, debemos considerar otro ejemplo. Imaginemos que la gerencia de RMC establece que el número de toneladas de líquido limpiador de alfombras producidas no puede exceder de 20% de la producción total. Como la producción total es F + S + C, podemos escribir esta restricción como:

C < 0.2 (F + S + C)

C < 0.2F + 0.2S + 0.2C

-0.2F – 0.2S + 0.8C < 0



83

2. Seleccionamos el menú “file” y le damos clic en “nuevo”



84


RMC modificado y la nueva restricción, posteriormente damos clic en “solution” y

luego en “solve”

5.- En la siguiente ventana obtenemos la solución óptima que incorpora tanto los efectos del

nuevo requerimiento porcentual como del requerimiento previo (-0.25F + S > 0).

85

Después de redondear, el precio dual que corresponde a la nueva restricción (restricción S) es $16.13. De ahí que cada tonelada adicional de líquido limpiador de alfombras que podamos producir sobre el límite de 20% actual aumentará el valor de la función objetivo $16.13; además, el rango del lado derecho para esta restricción muestra que esta interpretación es válida para incrementos de hasta el 1.333 toneladas.

86

CAPÍTULO III

TRANSPORTE, TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN DE

PUESTOS4

Se encarga del estudio de la

distribución de un producto

homogéneo desde un conjunto de

fábricas a un conjunto de almacenes

o puntos de venta de modo que se satisfagan las demandas de los almacenes y no se superen

las disponibilidades de las fábricas, con coste mínimo

El problema del transporte tiene que ver con la selección de rutas entre plantas de fabricación

y bodegas de distribución o entre bodegas de distribución regional y puntos de distribución

local. Al aplicar este método la gerencia está buscando una ruta de distribución que

optimizará algún objetivo; éste puede ser la minimización del costo total del transporte o la

minimización del tiempo total involucrado.

El método de transporte fue formulado por primera vez como un procedimiento especial para

encontrar el programa de costo mínimo para distribuir unidades homogéneas de un producto

desde varios puntos de abastecimiento a varios puntos de consumo.

Entre los datos del modelo se cuenta:

Nivel de oferta de cada fuente y la cantidad de la demanda en cada destino.

El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.

TRANSPORTE


87

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El problema de transporte surge con frecuencia en la planeación de la distribución de

productos y servicios desde varios sitios de suministro hacia varios sitios de demanda. La

cantidad de productos disponibles en cada locación de suministro (origen), por lo general, es

limitada, y la cantidad de productos necesarios en cada una de varios sitios de demanda

(destinos) es un dato conocido. El objetivo usual en un roblema de transorte es minimizar el

costo de enviar mercancía desde el origen a sus destinos.

Lo ilustraremos considerando un problema de transporte enfrentado por Foster Generators.

Este problema implica la movilización de un producto de tres plantas a cuatro centros de

distribución. Foster Generators opera plantas en Cleveland, Ohio; Bedford, Indiana y York,

Pennsylvania. Las capacidades de producción a lo largo del siguiente periodo de planeación

de tres meses para un tipo de generador son las siguientes:

La firma

distribuye

sus

generadores

a través de

cuatro

centros

regionales localizados en Boston, Chicago, San Luis y Lexington; el pronóstico de la

demanda en los tres meses para los centros de distribución es la siguiente:

DESTINO CENTRO DE

DISTRIBUCIÓN

PRONÓSTICO DE LA

DEMANDA PARA TRES

ORIGEN PLANTA

CAPACIDAD DE

PRODUCCIÓN EN TRES

MESES (UNIDAD)

1 Cleveland 5000

2 Bedford 6000

3 York 2500

Total = 13500

88

MESES (UNIDADES)

1 Boston 6000

2 Chicago 4000

3 San Luis 2000

4 Lexington 1500

Total = 13500

A la administración le gustaría determinar cuánta de su producción debería embarcarse desde

cada planta a cada centro de distribución. La siguiente grafica muestra las 12 rutas de

distribución que puede usar Foster. Esta gráfica se llama red; los círculos se conocen como

nodos y las líneas que los conectan como arcos; cada origen y destino se presenta con un

nodo y cada ruta de embarque posible se representa con un arco.

La cantidad de suministro se escribe junto a cada nodo de origen y la cantidad de la demanda

se escribe junto a cada nodo de destino. Los bienes embarcados de los orígenes a los destinos

representan el flujo en la red. Observe que la dirección del flujo (del origen al destino) está

indicada por las flechas.

El objetivo del problema de transporte de Foster es determinar las rutas a usar y la cantidad

que se embarcará por cada ruta para lograr que el costo de transporte total sea mínimo.

El costo para cada unidad embarcada en cada ruta se da en la tabla siguiente:

DESTINOS

89

Origen Boston Chicago San Luis LexingtonClevelan

d3 2 7 6

Bedford 7 5 2 3York 2 5 4 5

Puede usarse un modelo de programación lineal para resolver este problema de transporte.

Usamos variables de decisión con doble subíndice, con x11 denotando la cantidad de unidades

embarcadas del origen 1 (Cleveland) al destino 1 (Boston), x12 denotando la cantidad de

unidades embarcadas del origen 1 (Cleveland) al destino 2 (Chicago), etcétera.

Los problemas de transporte necesitan restricciones debido a que cada origen tiene un

suministro limitado y cada destino tiene un requerimiento de demanda. Consideraremos

primero las restricciones de suministro. La capacidad en la planta de Cleveland es de 5000

unidades. Con la cantidad total de unidades desde la planta de Cleveland expresado como

X11 + X12 + X13 + X14 < 5000 Suministro de Cleveland

Con tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tres restricciones de

suministro. Dada la capacidad de 6000 unidades en la planta de Bedford y de 2500 unidades

en la planta de York, las dos restricciones de suministro adicionales son:

X21 + X22 + X23 + X24 < 6000 Suministros de Bedford

X31 + X32 + X33 + X34 < 2500 Suministros de York

90

Con los centros de distribución como los destinos, se necesitan cuatro restricciones de

demanda para asegurar que se satisfarán las demandas de destino:

X11 + X21 + X31 = 6000 Demanda de Boston

X12 + X22 + X32 = 4000 Demanda de Chicago

X13 + X23 + X33 = 2000 Demanda de San Luis

X14 + X24 + X34 = 1500 Demanda de Lexington

Combinar la función objetivo y las restricciones en un modelo proporciona una formulación

de programación lineal de 12 variables y 7 restricciones del problema de transporte de

Foster Generators:

Min 3x11+ 2x12+ 7x13+ 6x14+ 7x21+ 5x22+ 2x23+ 3x24+ 2x31+ 5x32+ 4x33+ 5x34

s.a x11+ x12+ x13+ x14 < 5000

x21+ x22+ x23+ x24 < 6000

x31+ x32+ x33+ x34 < 2500

x11+ x21+ x31 = 6000

x12+ x22+ x32 = 4000

x13+ x23+ x33 = 2000

x14+ x24+ x34 = 1500xij > 0 para i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4

92

Usando el programa the Manangement Scientist lo podremos resolver de dos maneras:

I.- como se había formulado antes en un problema de programación lineal con 12 variables y

7 restricciones.

Comenzamos con entrar al programa por medio de la ruta genérica que ya conocemos y en la

siguiente pantalla selecciona

1.- Seleccionamos programación lineal y luego “OK”

2.- Tomamos la opción “File” y luego “new”

3.- Ponemos el número de variables y de restricciones. Y ponemos MINIMIZAR

93

4.- Procedemos a llenar el cuadro y posteriormente le damos solución y luego “solve”

5.- Obtenemos el resultado óptimo que es 39500

94

II.- También lo podemos resolver seleccionando el modulo transportación

1.- Seleccionamos transporte y luego “ok”

2.- Le damos en clic “File” y luego en new

3.- Ponemos el número de orígenes y de destinos respectivamente y le damos “ok”

95

4.- Procedemos a llenar el cuadro con las demandas, los suministros y los costos de

transporte y posteriormente le damos clic en solución y luego “solve”

5.- Escogemos si vamos a maximizar o a minimizar en este caso minimizar y le damos clic

en “ok”

6.- El programa te da el resultado más óptimo. Que es el costo total mínimo $39500

96

SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA EL PROBLEMA DE TRANSPORTE DE FOSTER

GENERATORS.

RUTA Unidades Costo por Costo

Desde Hasta embarcadas unidad TotalClevelan

dBoston 3500 $3 10500

Cleveland

Chicago 1500 $2 3000

Bedford Chicago 2500 $5 12500Bedford San Luis 2000 $2 4000Bedford Lexington 1500 $3 4500

York Boston 2500 $2 5000$ 39500

97

VARIACIONES DEL PROBLEMA.

-ORIGEN FICTICIO.

-DESTINO FICTICIO.

El suministro total no es igual a la demanda total.

Con frecuencia el suministro total no es igual a la demanda total. Si el suministro total

excede ala demanda total, nos es necesaria ninguna modificación en la formulación de

programación lineal. El exceso de suministro parecerá como una holgura en la solución de la

programación lineal.

La holgura para cualquier origen particular puede interpretarse como la oferta sin usar o la

cantidad no enviada desde el origen.

Si el suministro total es menor que la demanda total, el modelo de programación lineal de

un problema de transporte no tendrá solución factible. En este caso, modificamos la

representación de red al añadir un origen ficticio con suministro igual a la diferencia entre la

demanda total y el suministro total. Con la adición del origen ficticio y un arco desde el

origen a cada destino, el modelo de programación lineal tendrá una solución factible. A cada

arco que sale del origen ficticio se asigna un costo unitario de cero, de modo que el valor de

la solución óptima para el problema modificado representara el costo de envío de las

unidades que en realidad se enviaron (no se harán envíos reales desde el origen ficticio).

Cuando se implementa la solución optima, los destinos que muestran envíos desde el origen

ficticio serán los destinos que experimentaran un déficit en la demanda insatisfecha.

1. ORIGEN FICTICIO

Para ilustrar como se aplica el origen ficticio, modificaremos la demanda del problema

de Foster, de tal manera que esta sea mayor que el suministro.

98

La firma distribuye sus generadores a través de cuatro centros regionales localizados en

Boston, Chicago, San Luis y Lexington; el pronóstico de la demanda en los tres meses para

los centros de distribución es la siguiente:

Pronóstico de la

Centro de demanda para tres

Destino Distribución meses (unidades)1 Boston 60002 Chicago 40003 San Luis 20004 Lexington 3000Total = 15000

Nos damos cuenta que la demanda en lexington aumento asta llegar a 3000 unidades,

por lo tanto nos damos cuenta que con la producción con la que contamos de

suministro no alcanza para satisfacer la demanda requerida, es necesario agregar un

origen ficticio de suministro que sea igual ala diferencia entre la demanda total y

suministro total que en este caso será de 1500

Las capacidades de producción a lo largo del siguiente periodo de planeación de tres meses

para un tipo de generador son las siguientes:

Planta

Capacidad de producción en tres

meses (unidad)

Origen 1 Cleveland 50002 Bedford 60003 York 25004 Ficticio 1500

Total = 15000

99

Resolvemos el problema con the manangement scientist




Numero de orígenes

Numero de destinos

100




en “ok”


101

RESULTADO OPTIMO

RUTA Unidades Costo por CostoDesde Hasta embarcadas unidad Total

Cleveland Boston 2000 $3 6000Cleveland Chicago 3000 $2 6000Bedford Chicago 1000 $5 5000Bedford San Luis 2000 $2 4000Bedford Lexington 3000 $3 9000

York Boston 2500 $2 5000Ficticio Boston 1500 $0 0Total $ 35000

Hay una demanda insatisfecha en Boston de 1500 unidades.

DESTINO FICTICIO

Las capacidades de producción a lo largo del siguiente periodo de planeación de tres meses

para un tipo de generador son las siguientes:

La firma

distribuye sus

Capacidad de producción en tres

meses (unidad) PlantaOrigen

1 Cleveland 5000

2 Bedford 6000

3 York 4000

Total = 15000

102

generadores a través de cuatro centros regionales localizados en Boston, Chicago, San Luis y

Lexington; el pronóstico de la demanda en los tres meses para los centros de distribución es

la siguiente:

Centro de Distribución

Pronóstico de la demanda para tres meses (unidades)

Destino1 Boston 60002 Chicago 40003 San Luis 20004 Lexington 1500Total = 13500

Esta vez el suministro es mayor que la demanda, por lo tanto no será necesario

modificar el modelo de red.

Resolvemos el problema con the manangement scientist


103






en “ok”

104


Aparece como holgura el excedente de suministro que se tiene en origen 2 que es

Bedford por 1500 unidades

105

TRANSBORDO

EL PROBLEMA DE TRASBORDO: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

El problema de transbordo es una extensión del problema de transporte en el que se agregan

nodos intermedios, llamados nodos de transbordo, para representar localizaciones como

almacenes. En este tipo más general de problema de distribución, pueden hacerse embarques

entre cualquier par de los tres tipos generales de nodos: de origen, de transbordo y de

destino.

Considerando el problema de transbordo enfrentado por Ryan Electronics, Ryan es una

compañía electrónica con instalaciones de producción en Denver y Atlanta. Los

componentes producidos en cualquier instalación pueden embarcarse a cualquiera de los

almacenes regionales de la firma que se localizan en Kansas City y Louisville. De los

almacenes regionales, la empresa provee a tiendas de ventas al menudeo en Detroit, Miami,

Dallas y Nueva Orleáns.

Costo de transporte por unidad para el problema de transbordo de Ryan Electronics

ALMACEN

Planta Kansas City LouisvilleDenver 2 3Atlanta 3 1

106

Tiendas de ventas al menudeo

Planta Detroit Miami Dallas Nueva OrleánsKansas City 2 6 3 6Louisville 4 4 6 5

Como con los problemas de transporte y asignación, podemos formular un modelo de

programación lineal del problema de transbordo a partir de una representación de red. Como

es usual, la función objetivo refleja el costo total de embarque por las 12 rutas existentes.

Combinar la función objetivo y las restricciones conduce a un modelo de programación

lineal de 12 variables y 8 restricciones del problema de transbordo de Ryan Electronics.

Formulación de programación lineal del problema de transbordo de Ryan Electronics

Min 2x13 + 3x14 + 3x23 + 1x24 + 2x35 + 6x36 + 3x37 + 6x38 + 4x45 + 4x46 + 6x47 + 5x48

s.a x13 + x14 <600 x23 + x24 <400 - x13 - x23 + x35 + x36 + x37 + x38 = 0 - x14 - x24 + x45 + x46 + x47 + x48 = 0 x35 + x45 =200 x36 + x46 =150 x37 + x47 =350 x38 + x48 =300

1.- Seleccionamos programación lineal y luego “OK”

107

2.- Tomamos la opción “File” y luego “new”

3.- Ponemos el número de variables y de restricciones. Y ponemos MINIMIZAR

4.- Procedemos a llenar el cuadro y posteriormente le damos solución y luego “solve”

NUMERO DEVARIABLES

NUMERO DE CONSTANTES

108

5.- Obtenemos el resultado óptimo que es 5200

109

RESULTADO OPTIMO

Ruta Unidades Costo por CostoDesde Hasta embarcadas unidas TotalDenver Kansas City 550 2 1100Denver Louisville 50 3 150Atlanta Louisville 400 1 400

Kansas City Detroit 200 2 400Kansas City Dallas 350 3 1050Louisville Miami 150 4 600Louisville Nueva Orleans 300 5 1500

Total 5200

110

1.- Abrimos el programa y Seleccionamos Programación lineal y le clic damos en “ok”

111

2.- Le damos clic en el menú “File” y después en New

3.- Ponemos el número de orígenes y el número de destinos y seleccionamos minimizar y le

damos en el botón ok

4.-Nos saldrá un cuadro en donde introduciremos la función objetivo y las restricciones del

problema y los demás datos.

5.-Le damos clic en solution y luego en solve

112

Y nos dará el resultado

Y quedaría de la siguiente manera

RUTA

Desde Hasta Unidadesembarcadas

Costo por unidad

Costo total

Denver Kansas City 550 $2 $110Denver Louisville 50 $3 $150Atlanta Louisville 400 $1 $400Kansas City Detroit 200 $2 $400Kansas City Detroit 350 $3 $1050Louisville Miami 150 $4 $600Louisville Nueva

Orleans300 $5 $1500

113

ASIGNACION DE PUESTOS

EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN: EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL.

La compañía Fowle Marketing Research enfrenta la tarea de asignar un líder de proyecto

(agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos

y están disponibles para las obligaciones de líder de proyecto; sin embargo, la administración

de Fowle se da cuenta de que el tiempo requerido para completar cada estudio dependerá de

la experiencia y capacidad del líder asignado al proyecto. Los tres proyectos tienen

aproximadamente la misma prioridad y la administración desea asignar líderes de proyecto

para minimizar la cantidad total de días requeridos para completar los tres proyectos. Si solo

se le va asignarse un líder a un cliente ¿qué asignaciones deberían hacerse? Para responder la

pregunta de asignación, la administración de Fowle debe considerar en primer lugar todas

las asignaciones de líder de proyecto- cliente posibles y luego estimar los tiempos para

completar el proyecto correspondiente. Con tres líderes de proyecto y tres clientes, son

posibles nueve alternativas de asignación. Tiempos estimados para completar el proyecto

(días) para el problema de asignación de Fowle Marketing Research.

UN MODELO DE RED DEL PROBLEMA DE ASIGNACION

Cliente

Líder en proyecto 1 2 31. Terry 10 15 92. Carle 9 18 53. McClymonds 6 14 3

114

1.-Le damos clic en el icono para abrir el programa y nos aparecerá una ventana en

donde le daremos en continuar y nos aparecerá una lista de opciones en donde le daremos

clic en el modulo 3 assignment o asignación y luego en ok

2.-Seguidamente le daremos clic file y luego new

115

3.-Seguidamente nos aparecerá esta ventana en donde se tiene que meter el numero de tareas

y el número de agentes y le damos en ok

4.-Luego en la siguiente ventana introduciremos los tiempos estimados para completar los

proyectos

5.-Luego le damos clic en solution y luego en solve

6.-A continuación nos aparece un cuadro en donde le debemos dar en minimization objetive y

luego en ok por que se le quiere asignar solo un líder de proyecto a cada cliente.

116

Nos dará la cantidad total días en que los líderes de proyecto terminarán y que cliente se le

asigna a cada líder de proyecto.

Se puede resolver también de la siguiente manera como programación lineal:

El problema de asignación es un caso especial del problema de transporte en el que todos los

valores de suministro y demanda son igual a 1, y la cantidad embarcada en cada arco es 0 o1

y debido a que es un caso especial de transporte puede elaborarse una formulación de

programación lineal. Para ello necesitamos una restricción para cada nodo y una variable

para cada arco. Con X11 representamos la asignación del proyecto 1(Terry) al cliente 1, X12

la asignación del líder del proyecto 1(Terry) al cliente 2 y así sucesivamente. Definimos las

variables de decisión para el problema como:

Uno si el líder del proyecto i se asigna al siguiente cliente

Xij= 0 de otra manera

Donde i = 1, 2,3y j=1, 2,3

Usando esta notación y los datos del tiempo de la tabla elaboramos expresiones que indica el

tiempo necesario para completar los proyectos:

Días requeridos para la asignación de Terry =10X11+15X12+9X13

Días requeridos para la asignación Carle = 9X21+18X22+5X23

Días requeridos para la asignación McClymonds = 6X31+14X32+3X33

117

La suma de los tiempos para completar de los tres líderes de proyectos proporcionara los

días totales requeridos para completar las tres asignaciones. Por lo tanto la función objetivo

es:

Min 10X11+15X12+9X13 +9X21+18X22+5X23 +6X31+14X32+3X33

Las restricciones para el problema refleja que cada líder de proyecto puede asignarse,

cuando mucho, a un cliente y que cada cliente debe de tener un líder de proyecto. Estas

restricciones se escriben así como sigue:

X11+X12+X13<1 asignación de Terry

X21+X22+X23<1 asignación de Carle

X31+X32+X33<1 asignación de McClymonds

X11+X12+X13=1 cliente 1

X21+X22+X23=1 cliente2

X31+X32+X33=1 cliente 3

Combinar las restricciones y la función objetivo proporciona el siguiente modelo de

programación lineal de nueve variables y seis restricciones, para resolver el problema de

asignación de Fowle Marketing Research

Min 10x11+ 15x12+ 9x13+ 9x21+ 18x22+ 5x23+ 6x31+ 14x32+ 3x33+

s.a x11+ x12+ x13+ < 1

x21+ x22+ x23+ < 1

x31+ x32+ x33+ < 1

x11+ x21+ x31 < 1

x12+ x22+ x32 < 1

x13+ x23+ x33 < 1xij > 0 para i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4

118



clic en la opción programación lineal y luego en ok

2.-Seguidamente le daremos clic en file y luego en new

3.- Luego nos aparecerá la siguiente ventana se pondrá el número de restricciones y el

número de las variables de decisión, seleccionamos minimize y luego en ok

4.- Nos aparecerá una ventana en donde introduciremos los datos del modelo de programacion lineal que formulamos:como funcion objetivo restricciones y alternativas.

119

5.- Seguidamente le damos clic en solution y luego en solve

Y nos dará el resultado del problema.

En la imagen nos indica que cliente le toco a cada líder de proyecto. A Terry le fue asignado

el cliente 2 y requerirá 15 días, a Carle le fue asignado el cliente 3 y requerirá 5 días y a

McClymonds el cliente uno y requerirá 6 días que da un total de 26 días en terminar los tres

proyectos.

Líder de proyecto

Cliente asignado

Días

Terry 2 15Carle 3 5

McClymonds 1 6 Total 26

120

ORIGEN FICTICIO PROBLEMA KLEIN CHEMICALS

Klein Chemicals produce un material especial con base en aceite que en la actualidad esta

escaso. Cuatro clientes de Klein ya han colocado pedidos que en conjunto exceden la

capacidad combinada de las dos plantas existentes y la administración enfrenta el problema

de decidir cuantas unidades debería ser suministrada a cada cliente. Como los cuatro

clientes están en diferentes sectores, pueden cargarse diferentes precios, debido a las

diversas estructuras de asignación de precios de la industria. Sin embargo, costos de

producción ligeramente diferentes en las dos plantas y los costos de transporte variables

entre las plantas y los clientes hacen inaceptable una estrategia de “vender al mejor postor”.

Después de considerar el precio, los costos de producción y los costos de transporte, Klein

estableció la siguiente utilidad por unidad para cada alternativa planta-cliente.

Capacidad de la planta(unidades )

Pedidos del distribuidor (unidades )

Clifton Springs 5000

D1 2000

D2 5000Danville

3000D3 3000

D4 2000

Cliente

Planta D1 D2 D3 D4Clifton Springs

$32 $34 $32 $40

Danville $34 $30 $28 $38

121

Representación de red del problema Klein Chemicals

122



clic en el modulo 2 transportation (transporte) y luego en ok


3.-Luego nos aparecerá un cuadro en donde se introducirá el número de orígenes y el

número de destinos que en este caso serán 3 orígenes ya que uno es ficticio y le damos en ok.

4.-Se introducen los datos, la demanda y la capacidad de origen y la cantidad de

suministros que nos hacen falta para cubrir la demanda se lo asignamos al origen ficticio.

123

5.-Le damos clic en solution y luego en solve

6.-Nos aparecerá un cuadro en donde le daremos en maximizar porque Klein Chemicals

busca maximizar sus ganancias y le damos ok

Y nos dará el resultado total del costo de transporte.

124

EN FORMA DE PROGRAMACION LINEAL

Se formula un modelo de programación lineal, planteamos la función objetivo en el cual se

busca maximizar las ganancias.

Max 32x1+ 34x2+ 32x3+ 40x4+ 34x11+ 30x12+ 28x13+ 38x14+ 0+ 0+ 0+ 0

x1+ x2+ x3+ x4 <5000 Clifton Springs

x11+ x12+ x13+ x14 < 3000 Danville

0 4000 Origen ficticio

x1+ x11 < 2000 D1

x2+ x12 < 5000 D2

x3+ x13 < 4000 D3

x4+ x14 < 2000 D4

Max 32x1+ 34x2+ 32x3+ 40x4+ 34x11+ 30x12+ 28x13+ 38x14+ 0+ 0+ 0+ 0

x1+ x2+ x3+ x4 < 5000

x11+ x12+ x13+ x14 < 30000 < 4000

x1+ x11 < 2000

x2+ x12 < 5000

x3+ x13 < 4000

x4+ x14 < 2000

125



clic en la opción programación lineal y luego en ok


3.- Luego nos aparecerá la siguiente ventana se pondrá el número de restricciones y el

número de las variables de decisión, seleccionamos maximize y luego en ok

126

4.- Introducimos el modelo de programación lineal, colocamos función objetivo y los demás

datos.

5.- Seguidamente le damos clic en solution y luego en solve

Y nos dará el resultado del problema.

Y queda de la siguiente manera

D1 D2 D3 D4 Total

Clifton 0 4000 0 1000 5000DanvilleFicticio

20000

01000

03000

10000

30000

127

CAPÍTULO IV 5

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS PERT YCPM

El PERT/CPM fue

diseñado para

proporcionar diversos

elementos útiles de

información para los

administradores del

proyecto. Primero, el

PERT/CPM expone la

"ruta crítica" de un

proyecto. Estas son las

actividades que limitan

la duración del proyecto.

En otras palabras, para

lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse

pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo

se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una

cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto

como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la

cantidad de tiempo disponible para retardos

El PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del

proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del

proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo.

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS: CON DE TIEMPOS DE ACTIVIDAD CONOCIDOS


128

PERT y CPM pueden usarse para planear, programas y controlar una amplia variedad de

proyectos. Estos proyectos son tan grandes o complejos que es posible que el administrador

no recuerde toda la información relacionada con el plan, el programa y el proceso del

proyecto.

Programación de proyectos con tiempos de actividades conocidos.

El propietario de Western Hills Shopping Center planea modernizar y expandir el complejo

actual de 32 locales de negocios del centro comercial; se espera que el proyecto proporcione

espacio para ochos a 10 locales nuevos y el financiamiento se arregló por medio de un

inversionista privado. Todo lo que resta es que el propietario del centro comercial planee,

programe y complete el proyecto de expansión. El primer paso en el proceso de

programación PERT/CPM es elaborar una lista de las actividades que conforman el proyecto

Lista de Actividades Shopping Center

Red del proyecto de Western Hills Shopping Center con tiempos de actividad Para

determinar el tiempo en que se completa el proyecto debemos analizar la red e identificar la

llamada ruta crítica para la red

129

Ruta es una secuencia de nodos conectados que conduce desde el nodo INICIO hasta el

nodo FIN. Todo el proyecto se demora si se demoran las actividades en la ruta más larga, por

lo que es la ruta critica. Las actividades en esta ruta se conocen como las actividades críticas

del proyecto.

Determinación de la ruta critica

130

Se comienza por encontrar el tiempo de inicio más temprano y el tiempo de inicio más tardío

para todas las actividades en la red.

ES = tiempo de inicio más temprano para una actividad.

EF = tiempo de finalización más temprano para una actividad

T = tiempo de la actividad

El tiempo de finalización más temprano para cualquier actividad es:

EF = ES + t

Escribimos los tiempos de inicio y finalización más temprano en el nodo a la derecha de la

letra de la actividad. Usando la actividad A cono ejemplo, tenemos

EF = ES + t0 + 5 = 5

Debido a que una actividad no puede empezar antes de que todas las actividades

predecesoras inmediatas hayan terminado, se utiliza la siguiente regla. El tiempo de inicio

más temprano para una actividad es igual al más largo de los tiempos de finalización más

tempranos para todas sus predecesoras inmediatas. Red del proyecto de Western Hills

Shopping Center en el que se muestran los tiempos de inicio y finalización más tempranos

para todas las actividades.

131

Continuamos el algoritmo para encontrar la ruta critica haciendo una pasada hacia atrás a

través de la red. Como el proyecto puede completarse en 26 semanas, comenzaremos la

pasada hacia atrás con un tiempo de finalización más tardía.

LS = tiempo de inicio más tardío para una actividad.

LF = tiempo de finalización más tardío para una actividad

LS = LF – t

Puede usarse la siguiente regla para determinar el tiempo de finalización más tardío para

cada actividad en la red.

“El tiempo de finalización más tardío para una actividad es el menor de los tiempos de

inicio más tardío para todas las actividades que le siguen inmediatamente”.

Se establece que el tiempo más tardío en que puede terminarse una actividad es igual al valor

más temprano (menor) para el tiempo de inicio más tardío de las actividades siguientes.

Podemos usar la regla del tiempo de finalización más tardío para verificar los valores LS y

LF mostrados para la actividad.

Después de que se ha completado las pasadas hacia adelante y hacia atrás, podemos

determinar la holgura asociada con cada actividad. La holgura es el tiempo que puede

demostrarse una actividad sin aumentar la duración total del proyecto. La holgura se calcula:

HOLGURA = LS – ES = LF – EF

Programa de actividades para el proyecto de Western Hills Shopping Center

Tiempo de inicio más tardío

I

2

5

24

24

26

26

24

Tiempo de finalización más tardío

132

Actividad Inicio más temprano

(ES)

Inicio más

tardío (LS)

Finalización más

temprana (EF)

Finalización más tardía

(LF)

Holgura (LS – ES)

¿Ruta critica?

A 0 0 5 5 0 SIB 0 6 6 12 6C 5 8 9 12 3D 5 7 8 10 2E 5 5 6 6 0 SIF 6 6 10 10 0 SIG 10 10 24 24 0 SIH 9 12 21 24 3I 24 24 26 26 0 SI

Red del proyecto de Western Hills Shopping Center en la que se muestran los tiempos de inicio y finalización más tardíos en cada nodo

1.- Abrir el programa Management, y dar clic en continuar.

133

2.- Seleccionar la opción de PERT/CPM, seguido de OK.

3.- Dar clic en la pestaña “File” y seleccionar la opción “Nuevo”

4.- En el siguiente cuadro dar clic en la opción “Tiempos de Actividad Conocidos”,

agregar el “Numero de Actividades” y dar clic en OK

134

5.- Seleccionar cada “Actividad”, sus “Predecesoras” y así mismo “El tiempo de cada

una”

6.- El programa proporciona la “Tabla Final” con los resultados más óptimos, según su ruta

crítica que es A-E-F-G-Y y el tiempo en completar el proyecto que es 26 semanas, los inicios

más tempranos y tardíos, la finalización más temprana y la más tardía y las holguras las

cuales quedan en 0 son actividades criticas.

135

PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS CON TIEMPOS DE ACTIVIDAD INCIERTOS

H S daugherty company a fabricado aspiradoras industriales por muchos años. En fechas

recientes un miembro del equipo de investigacion de productos nuevos envio un reporte

sugireiendo que la compañía considera fabricar una aspiradora inalambrica. El nuevo

producto nombrado porta –vac podria contribuir a la expansion de daugherty en el mercado

domestico. La administracion espera fabricar con un costo razonable y por ser portatiles y

sin cables, seran extraordinariamente atractivas. La administracion de daugherty desea

estudiar la factibilidad de fabricar la porta-vac para ello desidio llevar a cabo el estudio de

factibilidadque permitira decidir la accion de emprender.

Lista de actividades para el proyecto porta-vac

Actividad Descripcion. Predesedora inmediata.

A Elaborar diseño de producto

B Planear investigacion de mercados

C Preparar enrutamiento A

D Contruir modelo prototipo A

E Preparar folleto de mercadotecnia A

F Preparar estimaciones de costos C

G Hacer pruebas preliminares de producto D

H Completar encuestas de mercado B,E

I Preparar asignacion de precio y reporte de pronosticos

H

J Preparar reporte final F,G,I

136

Red del proyecto de la aspiradora inalambrica PORTA-VAC.

Tiempo de actividad estimados, optimista, mas probable y pesimista para el proyecto de

PORTA-VAC (en semanas)

Actividad Optimista(a)

Mas probable(m)

Pesimista(b)

A 4 5 12B 1 1.5 5C 2 3 4D 3 4 11E 2 3 4F 1.5 2 2.5G 1.5 3 4.5H 2.5 3.5 7.5I 1.5 2 2.5J 1 2 3


137


3.- Dar clic en la pestaña “File” y seleccionar la opción “Nuevo”

4.- En el siguiente cuadro dar clic en la opción “Tiempos de Actividad inciertas”, agregar

el “Numero de Actividades” y dar clic en OK

5.- Seleccionar cada “Actividad”, sus “Predecesoras” y así mismo “El tiempo de cada una”

138


crítica.

Y en el resultado nos muestra la ruta crítica que hay que seguir:

La ruta critica que se tiene que seguir es A-E-H-I-J

CONSIDERACION DE INTERCAMBIOS DE TIEMPO – COSTOS

139

Los elaboradores originales del CPM proporcionaron al gerente del proyecto la opción de

agregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo para completar el

proyecto. Los elementos agregaos generalmente aumentan los costos del proyecto. Así que

la decisión de reducir los tiempos de actividad debe tomar en cuenta el costo adicional

implicado. Un proyecto de mantenimiento de dos maquinas consiste en 5 actividades.

Debido a que la administracion ha tenido consideranble experiencia en proyectos similares

los tiempos para las actividades de mantenimiento se cosideran conocidos; por consiguente

se da una sola estimacion detiempo para cada actividad.

Actividad. Descripcion. Predecedora inmediata

Tiempo esperado (dias)

A Revision de la maquina 1 ---- 7B Ajuste de la maquina 1 A 3C Revision de la maquina 2 ---- 6D Ajuste de la maquina 2 C 3E Probar el sisitema B,D 2

Red del proyecto de mantenimiento de dos maquinas.

140



3.- Seleccionar cada “Actividad”, sus “Predecesoras” y así mismo “El tiempo de cada una”


crítica.

141

CAPÍTULO V 6

MODELOS DE INVENTARIO

Inventario se refiere a mercancías o materiales mantenidos en reserva por una organización para usarlos en el futuro. Los artículos contenidos en el inventario incluyen materias primas, piezas adquiridas, componentes, subensambles, trabajo en proceso, artículos terminados y suministros. Algunas razones por las que una organización mantiene el inventario se relacionan con las dificultades para predecir con precisión los niveles de venta, los tiempos de producción, la demanda y las necesidades de uso.

Por tanto, el inventario sirve como reserva contra el uso fluctuante e incierto y mantiene una existencia de artículos disponible en caso de que sean requeridos por la organización o sus clientes. Aun cuando el inventario desempeña un rol importante y esencial, el gasto asociado con el financiamiento y mantenimiento de los inventarios es una parte significativa del costo de realizar negocios. En organizaciones grandes, el costo asociado con el inventario puede llegar a ser millones de dólares.

En aplicaciones que implican inventario, los gerentes deben responder dos preguntas importantes:

1. ¿Qué tanto debe ordenarse cuando se renueva el inventario?

2. ¿Cuándo se debe renovar el inventario?

El propósito de este capítulo es mostrar como los modelos cuantitativos puedan ayudar en la toma de decisiones de cuánto y cuándo ordenar. Primero se consideran modelos de inventario determinísticos en los cuales suponemos que el grado de demanda del artículo es constante o casi constante. Más adelante se consideran modelos de inventario probabilísticos en los que la demanda del artículo fluctúa y puede describirse en términos de probabilidad.


142

MODELO DE CANTIDAD ECONÓMICA DEL PEDIDO (EOQ)

El modelo de cantidad económica del pedido es pertinente cuando la demanda de un artículo muestra una tasa, constante o casi constante, y cuando toda la cantidad solicitada llega al inventario en un momento dado. El supuesto de tasa de demanda constante significa que el mismo número de unidades se toma del inventario cada determinado tiempo, tal como 5 unidades cada día, 25 unidades cada semana, 100 unidades casa cuatro semanas, etc.

Para ilustrar el modelo EOQ, consideremos la situación confrontada por R&B Beverage Company. Esta empresa distribuye cerveza, vino y bebidas refrescantes. Desde su almacén principal localizado en Columbus, Ohio, R&B le suministra bebidas a casi 1000 tiendas minoristas. El inventario de cerveza, el cual constituye aproximadamente 40% del inventario total de la empresa, promedia aproximadamente 50,000 cajas. Con un costo promedio por caja de aproximadamente $8, R&B calcula que el valor de su inventario de cerveza es de $400,000.

El gerente de almacén decidió realizar un estudio detallado de los costos de inventario asociado con Bub Beer, la cerveza de mayor venta de R&B. El propósito del estudio es establecer las decisiones de cuánto y cuándo ordenar la cerveza, que den como resultado el menor costo total posible. Como primer paso en el estudio, el gerente del almacén obtuvo los siguientes datos de demanda de las últimas 10 semanas.

En rigor, estas cifras de demanda semanal no indican una tasa de demanda constante. Sin embargo, dada la relativamente baja variabilidad de la demanda semanal (la cual va de 1900

SEMANA DEMANDA (CAJAS)

1 2000

2 2025

3 1950

4 2000

5 2100

6 2050

7 2000

8 1975

9 1900

10 2000

Cajas totales 20,000

Cajas promedio por semana 2,000

143

cajas hasta 2100 cajas) la planeación del inventario con una tasa de demanda constante de 2000 cajas por semana parece razonable.

La decisión de cuánto ordenar implica seleccionar una cantidad que constituya un compromiso entre

1) Mantener inventarios pequeños y ordenar con frecuencia.

2) Mantener inventarios grandes y ordenar de vez en cuando.

La primera alternativa produce “costos de ordenar” indeseablemente altos, en tanto que la segunda produce “costos de retención” indeseablemente altos. Para determinar un compromiso óptimo entre estas alternativas de control, consideremos un modelo matemático que expresa el costo total como la suma del costo de retención y el costo de ordenar.

Los costos de retención son los costos asociados con el mantenimiento de un nivel de inventario determinado; estos costos dependen del tamaño del inventario. El primer costo de retención es el costo de financiar la inversión del inventario. Cuando una empresa pide dinero prestado, incurre en un costo de interés por el capital empleado en el inventario. Este costo de capital en general se expresa como un porcentaje de la suma invertida. R&B estima su costo de capital a una tasa anual de 18 por ciento.

Otros costos de retención, como seguros, impuestos, rotura, hurtos y gastos generales del almacén también dependen del valor del inventario. R&B estima estos costos a una tasa anual de aproximadamente 7% del valor de su inventario. Por tanto, el costo de retención del inventario de cerveza de R&B es 18% + 7% = 25% del valor del inventario. El costo de una caja de Bub Beer es $8. Con una tasa del costo de retención anual de 25%, el costo de retención de una caja de Bub Beer en inventario durante un año es de 0.25 ($8) = $2.00.

El siguiente paso en el análisis del inventario es determinar el costo de ordenar. Este costo, considerado fijo sin importar la cantidad solicitada, cubre la preparación de la factura, el procesamiento del pedido incluido el pago, porte de correos, teléfono, transporte, verificación de la factura, recepción, etc. Para R&B Beverage, la mayor parte del costo de ordenar involucra los salarios de los compradores. Un análisis del proceso de compra mostró que un comprador pasa 45 minutos preparando y procesando un pedido de Bub Beer. Con un costo por salario y prestaciones de los compradores de $20 por hora, la porción de mano de obra del costo de ordenar es de $15. Al considerar un margen por los costos de papelería, porte de correos, teléfono, transporte y recibo de $17 por pedido, el gerente estima que el costo de ordenar es de $32 por pedido. Es decir, R&B paga $32 por pedido haciendo caso omiso de la cantidad solicitada en el pedido.

El costo de retención, el costo de ordenar y la información sobre la demanda son los tres datos que deben conocerse antes de utilizar el modelo EOQ. Después de recabar estos datos para el problema de R&B, podemos ver cómo se utilizan para desarrollar un modelo de costo total. Comenzamos por definir Q como la cantidad a ordenar. Por tanto la decisión de cuánto

=

= QC h

144

ordenar implica encontrar el valor de Q que minimizará la suma de los costos de retención y ordenar.

El inventario para Bub Beer tendrá un valor máximo de Q unidades cuando reciba un pedido de tamaño Q del proveedor. R&B satisfará entonces la demanda del cliente del inventario, hasta que éste se agote, momento en el cual se recibirá otro embarque de Q unidades. Así pues, suponiendo una demanda constante, la gráfica del inventario para Bub Beer es como se muestra a continuación.

INVENTARIO PARA BUB BEER

Observemos que la gráfica indica un inventario promedio de 1/2Q para el periodo en cuestión. Este nivel debiera parecer razonable porque el inventario máximo es Q, el mínimo es cero, y el inventario declina a una tasa constante a lo largo del periodo.

La gráfica muestra el patrón de inventario durante un ciclo de pedido de duración T. Conforme pasa el tiempo, este patrón se repetirá. El patrón del inventario completo se muestra en la siguiente grafica. Si el inventario promedio durante cada ciclo es 1/2Q, el inventario promedio durante cualquier número de ciclos también es 1/2Q.

PATRON DEL INVENTARIO CORRESPONDIENTE AL MODELO DE INVENTARIO EOQ

=

=

= QC h

145

El costo de retención se calcula con ayuda del inventario promedio. Es decir, calculamos el costo al multiplicar el inventario promedio por el costo de guardar una unidad en el inventario durante el periodo establecido. El periodo seleccionado para el modelo podría ser una semana, un mes, un año, o más. Sin embargo, como el costo de retención para muchas industrias y negocios se expresa como un porcentaje anual, la mayoría de los modelos de inventario se desarrollan con base en un costo anual.

Sean

I = tasa de costo de retención anual

C = costo unitario del artículo de inventario

Ch = costo anual de mantener una cantidad en el inventario

El costo anual de mantener una unidad en el inventario es

La ecuación general del costo de retención anual de un inventario promedio de 1/2Q unidades es la siguiente:

C h = IC

=

Costo de retenciónanual

=

= QC h

146

Para completar el modelo de costo total, ahora debemos incluir el costo anual de ordenar. El objetivo es expresar el costo de ordenar anual en función de la cantidad solicitada Q. La primera pregunta es, ¿Cuántos pedidos se colocarán durante el año? Sea D la demanda anual del producto. Para R&B Beverage, D = (52 semanas)(2000 cajas por semana) = 104,000 cajas por año. Sabemos que solicitando Q unidades cada vez que hacemos un pedido, tendremos que hacer D/Q pedidos por año. Si Co es el costo de colocar un pedido, la ecuación general para el costo de ordenar anual es:

Por tanto, el costo anual total, denotado TC, se expresa como sigue:

Costo anualde ordenar

=

= Co

147

Utilizando los datos de Bub Beer

Ch = IC = (0.25)($8) = $2,

Co = $32 y

D = 104,000

el modelo de costo anual total es

TC =

El desarrollo del modelo de costo total se adentra en la solución del problema del inventario. Ahora podemos expresar el costo anual total como una función de cuánto deberá ordenarse. El desarrollo de un modelo de costo total realista es quizá la parte más importante de la aplicación de los métodos cuantitativos en la toma de decisiones relacionadas con inventarios. La ecuación del costo anual total es la ecuación del costo total general para situaciones de inventario en las que son validas las suposiciones del modelo de cantidad económica a ordenar.

DECISIÓN DE CUÁNTO ORDENAR

El siguiente paso es determinar la cantidad de pedido Q que reduzca al mínimo el costo anual total para Bub Beer. Al utilizar un procedimiento de prueba y error, podemos calcular

Costo anualtotal = +

TC = QC h + Co

148

el costo anual total de varias cantidades de pedido posibles. Como punto de partida, considere Q = 8000. El costo anual total para Bub Beer es

La cantidad de pedido probada de 5000 da

Los resultados de otras cantidades probadas se muestran en la siguiente tabla.

COSTOS ANUAL

CANTIDAD DE PEDIDO

RETENCIÓN

(MANTENIMIENTO)

ORDENAR

(PEDIDO)

TOTAL

5000 $5000 $666 $5666

4000 $4000 $832 $4832

3000 $3000 $1109 $4109

2000 $2000 $1664 $3664

1000 $1000 $3328 $4328

Como se indica en la tabla, la solución del menor costo es aproximadamente 2000 cajas.

La ventaja del método de prueba y error es que es un tanto fácil de realizar y proporciona el costo anual total correspondiente para varias decisiones de cantidad a ordenar posibles. En este caso, la cantidad a ordenar de costo mínimo en apariencia es de 2000 cajas. Sin

149

embargo, la desventaja de este método, es que no proporciona la cantidad a ordenar de costo total mínimo exacta.

Utilizando cálculo diferencial, se puede desarrollar la fórmula de la cantidad óptima a

ordenar ( ) para el modelo EOQ:

Dada la ecuación para el costo anual total del modelo EOQ,

podemos determinar la cantidad a ordenar (Q) que minimice el costo anual total igualando la

derivada dTC/dQ a cero y resolviendo para Q*.

Por consiguiente,

Esta fórmula se conoce como la fórmula de la cantidad económica a ordenar (EOQ).

Al utilizarla, la cantidad a ordenar de costo anual total mínimo para Bub Beer es

En realidad, el Q* de la ecuación es 1824.28, pero como no podemos ordenar fracciones de caja de cerveza, lo indicado es manejar un Q* de 1824.

TC = QC h + Co

Q* =

Q* = = 1824 cajas

150

El uso de una cantidad a ordenar de 1824 muestra que la política de inventario de costo mínimo para Bub Beer tiene un costo anual de $3648.56.

En la siguiente tabla podemos observar que Q* = 1824 balancea los costos de retención (mantenimiento) y los de pedido.

COSTOS ANUAL

CANTIDAD DE PEDIDO

RETENCIÓN

(MANTENIMIENTO)

ORDENAR

(PEDIDO)

TOTAL

1824 $1824 $1824.56 $3648.56

Ahora lo comprobaremos mediante el programa.

1.- Damos clic sobre el icono para abrir el programa después seleccionamos

“inventory” (inventario) y luego “OK”


151

3.- En la siguiente ventana seleccionamos el modelo que utilizaremos, y le damos clic en

“Ok”

4.- Procedemos a llenar el cuadro utilizando los datos de Bub Beer y posteriormente damos clic en “solve”

152


DECISIÓN DE CUÁNDO ORDENAR

Ahora que sabemos cuánto ordenar, deseamos abordar la pregunta de cuándo ordenar. Para

responder esta cuestión, tenemos que introducir el concepto de posición de inventario, que

se define como la cantidad del inventario disponible más la cantidad del inventario ordenada

153

o pedida. La decisión de cuándo ordenar se expresa en función de un punto de reorden, la

posición del inventario en la cual se debe colocar un nuevo pedido.

El fabricante de Bub Beer garantiza una entrega en dos días de cualquier pedido colocado

por R&B Beverage. Por consiguiente, suponiendo que R&B opera 250 días por año, la

demandad anual de 104,000 cajas implica una demanda diaria de 104,000/250 = 416 cajas.

Por tanto, esperamos que se vendan (2 días)(416 cajas por día) = 832 cajas de Bub beer

durante los dos días que un nuevo pedido tarda en llegar al almacén de R&B. En

terminología de inventario, el periodo de entrega de dos días se conoce como

tiempo de espera de un nuevo pedido y la demanda de 832 cajas anticipada durante este

periodo se conoce como demanda de tiempo de espera. Por tanto, R&B debe solicitar un

nuevo envío de Bub Beer al fabricante cuando el inventario alcance 832 cajas. Para los

sistemas de inventarios basados en el supuesto de tasa de demanda constante y un tiempo de

espera fijo, el punto de reorden es el mismo que la demanda de tiempo de espera. Para estos

sistemas, la expresión general para el punto de reorden es como sigue:

donde

r = punto de reorden

d = demanda por día

m = tiempo de espera de un pedido nuevo en días

Ahora se puede responder la pregunta de qué tan frecuente se colocará el pedido. El periodo

entre pedidos se conoce como tiempo de ciclo.

Anteriormente en la ecuación del costo anual de ordenar definimos D/Q como el número

de pedidos que se colocará por año. Por tanto D/Q* = 104,000/1824 = 57 es el número de

pedidos de Bub Beer que R&B Beverage colocará cada año. Si R&B coloca 57 pedidos a lo

r = dm

154

largo 250 días hábiles, ordenará aproximadamente cada 250/57 = 4.39 días hábiles.

Por tanto, el tiempo del ciclo es 4.39 días hábiles. La expresión general para un tiempo de

ciclo de T días es





155


“Ok”

4.- Procedemos a llenar el cuadro utilizando los datos de Bub Beer. En este caso seleccionamos “Compute Reorder Point” (calcular el punto de reorden), luego en

156

“Enter Lead Time in days” (indicar el tiempo de espera en días) indicamos que es de 2, posteriormente damos clic en “solve”


MODELO DE TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN ECONÓMICO

El modelo de inventario presentado en esta sección es similar al modelo EOQ en que

intentamos determinar cuánto y cuándo se deberá ordenar. De nuevo supongamos una tasa de

demanda constante. Sin embargo, en lugar de suponer que el pedido llega en un envío de

157

tamaño Q, como en el modelo EOQ, suponemos que las unidades se suministran al

inventario a una tasa constante a lo largo de varios días o varias semanas. La suposición de

una tasa de suministro constante implica que el mismo número de unidades se suministran

al inventario en cada periodo de tiempo (por ejemplo, 10 unidades cada día o 50 unidades

cada semana). Este modelo esta diseñado para situaciones de producción en las que, una vez

que se hace un pedido, la producción y un número constante de unidades se agrega al

inventario cada día hasta que la fase de producción se ha completado.

Si el sistema de producción produce 50 unidades por día y decidimos programar 10 días de

producción, tenemos un tamaño de lote de producción de 50(10) = 500 unidades. El tamaño

de lote el número de unidades en un pedido. En general, si Q indica el tamaño del lote de

producción, la forma de tomar decisiones de inventario es similar al modelo EOQ; es decir,

elaboramos un modelo de costo de retención y ordenar que exprese el costo total en función

del tamaño del lote de producción. Por tanto intentamos determinar el tamaño del lote de

producción que reduzca al mínimo el costo total.

Otra condición que debemos mencionar en este momento es que el modelo sólo aplica en

situaciones donde la tasa de producción es mayor que la tasa de demanda; el sistema de

producción debe ser capaz de satisfacer la demanda. Por ejemplo, si la tasa de demanda

constante es de 400 unidades por día, la tasa de producción debe ser por lo menos de 400

unidades por día para satisfacerla.

Durante la fase de producción, la demanda reduce el inventario, mientras que la producción

lo incrementa. Como suponemos que la tasa de producción excede la tasa de demanda, cada

día durante una fase de producción producimos más unidades que las demandadas. Por tanto,

el exceso de producción incrementa de forma gradual el inventario durante el periodo de

producción. Cuando la fase de producción se completa, la demanda continua causa que el

inventario disminuya en forma gradual hasta que se inicia una nueva fase de producción.

El patrón del inventario con este sistema se muestra en la siguiente gráfica.

158

PATRÓN DE INVENTARIO EN EL MODELO DE TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN

Como en el modelo EOQ, ahora estamos tratando con dos costos, el costo de retención y el

costo de ordenar. En este caso, el costo de retención es idéntico al definido en el modelo

EOQ, pero la interpretación del costo de ordenar es ligeramente diferente. De hecho, en una

situación de producción el costo de ordenar se denomina de manera más correcta como costo

de preparación de la producción. Este costo, el cual incluye los costos de mano de obra, de

material y de la producción perdida, incurridos mientras se prepara el sistema de producción

para su operación, es un costo fijo que ocurre durante cada fase de producción sin importar el

tamaño del lote de producción

MODELO DE COSTO TOTAL

Comencemos a construir el modelo de tamaño del lote de producción escribiendo el costo de

retención en función del tamaño del lote de producción Q. Una vez más, el enfoque es

desarrollar una expresión para el inventario promedio y luego establecer los costos de

retención asociados con el inventario promedio. Para el modelo se utiliza un periodo de un

año y un costo anual.

En el modelo EOQ el inventario promedio es la mitad del inventario máximo, o 1/2Q.

La grafica anterior muestra que para un modelo de tamaño del lote de producción durante la

fase de producción ocurre una tasa de incremento del inventario constante, y durante el

periodo de no producción ocurre una tasa de reducción drástica del inventario constante;

por tanto, el inventario promedio será la mitad del inventario máximo. Sin embargo, en este

sistema de inventario el tamaño del lote de producción Q no entra en el inventario en un

punto en el tiempo y, por consiguiente, el inventario nunca alcanza un nivel de Q unidades.

159

Para demostrar cómo podemos calcular el inventario máximo, sean

d = tasa de demanda diaria

p = tasa de producción diaria

t = número de días de una fase de producción.

Puesto que suponemos que p será mayor que d, la tasa de incremento diaria del aumento

durante la fase de producción es p – d. Si hacemos que fluya la producción durante t días y

colocamos p – d unidades en el inventario cada día, el inventario al final de la fase de

producción será (p - d)t. En la gráfica anterior podemos ver que el inventario al final de la

fase de producción también es el inventario máximo. Por tanto

Si se sabe que estamos produciendo un tamaño de lote de producción de Q unidades a una

tasa de producción diaria de p unidades, entonces Q = pt y la duración de la fase de

producción t debe ser

Por tanto,

Inventario máximo = (p - d)t

160

El inventario promedio, el cual es la mitad del inventario máximo, está dado por

Con un costo de retención unitario anual Ch, la ecuación general del costo de retención anual es la siguiente:

Si D es la demanda anual del producto y Co es el costo de preparación de una fase de producción, entonces el costo de preparación anual, el cual toma el lugar del costo anual de ordenar en el modelo EOQ, es como sigue:

Por tanto, el modelo de costo anual total (TC) es

161

Suponga que la planta de producción opera 50 días por año. Entonces podemos escribir la demanda diaria d en función de la demanda anual D como sigue

Ahora si P denota la producción anual del producto y si éste se produjera cada día. Entonces

Por tanto

Por consiguiente, podemos escribir el modelo de costo anual total como sigue:

Esta última ecuación es equivalente con la del modelo de costo anual total anterior. Sin embargo la última se utiliza con más frecuencia porque el modelo de costo anual hace que el analista piense en función de recabar datos de demanda anual (D) y datos de producción anual (P) en vez de datos diarios.

162

TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN ECONÓMICODadas las estimaciones del costo de retención (Ch), el costo de preparación (Co), la tasa de demanda anual (D) y la tasa de producción anual (P), por medio de un método de prueba y error podríamos calcular el costo anual total de varios tamaños de lote de producción (Q). Sin embargo, esto no es necesario; podemos utilizar la fórmula de costo mínimo para Q * desarrollada por medio de cálculo diferencial.

Dada la ecuación del costo anual total para el modelo de tamaño del lote de producción,

Podemos determinar la cantidad de pedido Q que reduzca al mínimo el costo total igualando la derivada dTC/dQ a cero y resolviendo para Q*.

Resolviendo para Q* se obtiene

Por consiguiente,

163

Un ejemplo

El jabón Beauty Bar Soap se elabora en una línea de producción cuya capacidad anual es de 60,000 cajas. La demanda anual se estima en 26,000 cajas, con la tasa de demanda esencialmente constante a lo largo del año. La limpieza, preparación de la línea de producción cuesta aproximadamente $135. El costo de fabricación por caja es de $4.50 y el costo de retención anual se calculó a una tasa de 24%. Por tanto Ch = IC = 0.24($4.50) = $1.08.

¿Cuál es el tamaño del lote de producción recomendado?

Al utilizar la ecuación anterior se obtiene:

Utilizando la ecuación de costo anual total ( y sustituyendo Q* = 3387) obtenemos: $2073. Otros datos relevantes incluyen un tiempo de espera de cinco días para programar y preparar una fase de producción y 250 días hábiles por año. Por tanto, la demanda durante el tiempo de espera de (26,000/250)(5) = 520 cajas es el punto de reorden. El tiempo de ciclo es el tiempo entre fases de producción, al utilizar su ecuación (vista con anterioridad) para calcularlo, el tiempo de ciclo es T = 250 Q*/D = (250)(3387)/26,000 que da como resultado 33 días hábiles.




164



“Ok”

165

4.- Procedemos a llenar el cuadro utilizando los datos del ejemplo. En este caso seleccionamos “Compute Reorder Point” (calcular el punto de reorden), luego en “Enter Lead Time in days” (indicar el tiempo de espera en días) indicamos que es de 5, posteriormente damos clic en “solve”


167

CAPITULO VI 7

ELABORACION DE PRONOSTICOS

Un aspecto esencial de la administración de cualquier organización es la planeación del futuro. En efecto el éxito a largo plazo de una organización depende de cuan bien la gerencia anticipa el futuro y elabora las estrategias apropiadas. El buen juicio la intención y tener conciencia del estado de la economía pueden dar a un gerente una idea aproximada o “intuición” de lo que es probable que suceda en el futuro. Sin embargo, con frecuencia es difícil convertir esta intuición en un número que pueda usarse, como el volumen como el volumen de ventas del siguiente trimestre o el costo de la materia prima por unidad para el año próximo. Este capitulo presenta varios métodos de elaboración de pronósticos para este propósito.

Suponga que le hemos pedido que proporcione pronosticos trimestrales del volumen de ventas para un producto en particular durante el proximo año. Dichos pronosticos afectarian los programas de producción, los planes de compras de materias primas, las politicas de inventario y las cuotas de venta. En consecuencia los malos pronosticos deben dar como resultado un incremento en los costos de la empresa. ¿Cómo debemos proceder para proporcionar los pronosticos trimestrales del volumen de ventas?

Desde luego, deberiamos revisar los datos de las ventas reales del producto en periodos anteriores. Con estos datos historicos podemos identificar el nivel gerencial de ventas y cualquier tendencia, como un incremento o disminución del volumen de ventas con respecto al tiempo. Una revision mas a fondo de los datos podria revelar un patron estacional, como las ventas maximas que ocurren en el tercer trimestre de cada año y el volumen de ventas que alcanza su nivel mas bajodurante este primer trimestre. Al revisar los datos históricos, con frecuencia podemos comprender mejor el patron de las ventas pasadas, lo que conduce a mejores predicciones de las ventas futuras del producto.

Los datos historicos de ventas forman una serie de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos sucesivos en el tiempo o a lo largo de periodos sucesivos. El objetivo de estos analisis es proporcionar buenos pronosticos o predicciones de los valores futuros de la serie de tiempo.

Los metodos de elaboración de pronosticos se clasifican como cuantitativos o cualitativos. Los metodos cuantitativos se utilizan cuando 1) se dispone de información pasada sobre la variable que se pronosticara, 2) la información puede cuantificarse, y 3) es razonable suponer que el patron del pasado seguira ocurriendo en el futuro. Es estos casos puede elaborarse un pronostico con un metodo de series de tiempo o un metodo casual.


168

Si los datos historicos se restringen a valores pasados de la variable que tratamos de pronosticar el procedimiento de elaboración de pronosticos se llama metodo de serie de tiempo. El objetivo de los metodos de los metodos de serie de tiempo es descubrir un patron en los datos historicos y luego extrapolarlo hacia el futuro; el pronostico se basa solo en valores pasados de la variable que tratamos de pronosticar o en errores pasados.

COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO.

El patron o comportamiento de los datos de una serie de tiempo tiene varios componentes. El supuesto usual es que cuatro componentes separados: tendencia, ciclico, estacional e irregular, se combinen para proporcionar valores especificos de la serie de tiempo.

• Componente de tendencia

en el analisis de las series de tiempo, las mediciones pueden tomarse cada hora, dia, semana, mes o año, o en cualquier otro intervalo regular. Aunque los datos de series de tiempo por lo general exiben fluctuaciones aleatorias, las series de tiempo pueden seguir mostrando cambios o movimientos graduales hacia valores relativamente mayores o menores en un periodo prolongado. El cambio gradual de la serie de tiempo se conoce como tendencia en la serie de tiempo. Este cambio o tendencia por lo general es el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la población, caracteristicas demograficas de la población, tecnología y preferencias de consumo.

• Componente cíclico

Aunque la serie de tiempo puede mostrar una tendencia durante periodos prolongados, todos los valores futuros de las series de tiempo no caen exactamente en la linea de tendencia. De hecho, las series de tiempo con frecuencia muestran secuencias de puntos que se alteran por encima y por debajo de la línea de tendencia. Cualquier secuencia de puntos recurrente por encima y por debajo de la línea de tendencia que dura más de un año puede atribuirse al componente cíclico de las series de tiempo.

• Componente estacional

Mientras los componentes ciclicos y de tendencia de una serie de tiempo, se identifican mediante el analisis de los movimientos de los años multiples en datos historicos, muchas series de tiempo muestran un patron regular durante periodos de un año. Por ejemplo un fabricante de albercas espera una actividad de ventas bajas durante los meses de otoño e invierno, y ventas altas durante los meses de primavera y verano. Por el contrario, los

169

fabricantes de equipo para retirar nieve y ropa gruesa esperan esperan justo el patron anual opuesto. Como es logico, el componente de las series de tiempo que representa la variabilidad en los datos debido a influencias estacionales se llama componente estacional. aunque por lo general consideramos que el componente estacional en una serie de tiempo ocurre en un año. Por ejemplo, los datos del volumen de transito diario muestran el comportamiento “stacional” dentro del dia, con niveles maximos durante las horas pico, un flujo moderado durante el resto del dia y uno ligero apartir de la media noche y hasta las primeras horas de la mañana.

• Componente irregular

El componente irregular de las series de tiempo es el factor residual o “comodin” que incluye las desviaciones de los valores de serie de tiempo reales de aquellos esperados según los efectos del componente cíclico, de tendencia y estacional. Este componente representa la variabilidad aleatoria en las series de tiempo y es resultado de factores a corto plazo, imprevistos y no recurrentes que afectan a la serie de tiempo, es impredecible; no podemos intentar predecir su impacto en las series de tiempo.

METODOS DE SUAVIZACION

En esta seccion estudiamos tres metodos de elaboración de pronosticos: promedios moviles, promedios moviles ponderados y suavizacion exponencial. El objetivo de cada uno de estos metodos es “suavizar” las fluctuaciones aleatorias causadas por el componente irregular de las series de tiempo, por lo que se conocen como metodos de suavizacion. Este tipo de metodos es apropiado para una serie de tiempo estable, es decir, una que no exibe efectos significatios de tendencia, ciclicos o estacionales, debido a que se adaptan bien a los cambios en el nivel de las series de tiempo. Sin embargo, sin modificacion, no funcionan tan bien cuando existe una tendencia significativa o variación estacional.

Los metodos de suavizacion son faciles de usar y por lo general proporcionan un alto nivel de precisión para pronosticos de corto alcance como un pronostico para el siguiente periodo. Uno de los metodos, la suavizacion exponencial, tiene requisitos de datos minimos y por tanto es un buen metodo para usar cuando se requieren pronosticos para cantidades grandes de articulos.

PROMEDIOS MÓVILES El metodo de promedios moviles utiliza el promedio de los n valores de datos mas recientes en la serie de tiempo como el pronostico para el siguiente periodo. En terminos matematicos,

170

el termino movil indica que, mientras se dispone de una nueva observación para la serie de tiempo, reemplaza a la observación mas antigua de la ecuación y se calcula un promedio nuevo. Como resultado el promedio cambiara, o se movera, conforme surjan nuevas observaciones.

Para ilustrar el metodo de promedios moviles, consideraremos las 12 semanas de datos presentados en la siguiente tabla. Estos datos muestran el numero de galones de gasolina vendidos por una estacion de servicio en bennington, vermont, durante las 12 semanas anteriores.

Ventas (miles de galones)

1 17

2 21

3 19

4 23

5 18

6 16

7 20

8 18

9 22

10 20

11 15

12 22

Grafica de la serie de tiempo en la venta de gasolina

171

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Serie1

para utilizar promedios moviles con el fin de pronosticar las ventas de gasolina, primero se debe seleccionar el numero de valores de datos que se incluiran en el promedio movil, por ejemplo, calculemos los pronosticos con un promedio movil para las primeras tres semanas de la serie de tiempo de ventas de gasolina

Promedio móvil (semana 1 a 3)= 19

3

192117 =++

Luego utilizamos este valor de promedio movil como el pronostico para la semana 4. el valor real observado en la semana 4 es 23, asi que el error de pronostico en la semana 4 es 23 – 19 = 4. en general, el error asociado con un pronostico es la diferencia entre el valor observado de la serie de tiempo y el pronostico.

El calculo para el segundo promedio movil de tres semanas es

Promedio móvil (semanas 2 a 4 )= 21

3

231921 =++

por consiguiente, el pronostico para la semana 5 es 21 y el error asociado con este pronostico es 18 – 21 = -3. de ahí que el error de pronostico pueda ser positivo o negativo, dependiendo de si el pronostico es demasiado bajo o demasiado alto. Un resumen completo de los calculos

172

del promedio movil de tres semanas para la serie de tiempo de ventas de gasolina se muestran en la tabla 6.2.

Para pronosticar las ventas de gasolina para la semana 13 con un promedio movil de tres semanas, se necesita calcular el prmedio de ventas para las semanas 10, 11 y 12. el calculo de este promedio movil es

promedio movil (semanas 10 a 12) = 19

3

221520 =++

Por tanto, el pronostico para la semana 13 es 19, o 19,000 galones de gasolina. La figura 6.6 muestra una grafica de la serie de tiempo original y los pronosticos del promedio movil de tres semanas.


1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en el ícono


173



este caso se seleccionará el módulo o la casilla 11 de “forecasting” y se hará clic en el botón

“OK”.



4.- con ello nos aparece la pantalla siguiente que nos pide que especifiquemos el numero de

periodos en la serie de tiempo estableciendo 100 como maximo. Escribimos el numero 12

que corresponde a nuestro problema

174

5.- procedemos a llenar la tabla con los valores de cada periodo de la serie de tiempo.

6.- le damos clic en solución y después “solve”

175

7.- nos lleva al siguiente cuadro nos pide seleccionar el metodo utilizar y el numero de periodos que se usaran.

8.- obtenemos el resultadote pronostico con el método de promedio móvil.

176

Promedios móviles ponderados

En el método de promedios móviles, cada observación en el calculo recibe el mismo peso. Una variación, conocida como promedios móviles ponderados, consiste en seleccionar diferentes pesos para cada valor de datos y luego calcular un promedio ponderado de los n valores de datos mas recientes como el pronostico. En la mayoría de los casos, la observación más reciente recibe el mayor peso, y el peso disminuye para los valores de datos mas antiguos. Por ejemplo, podemos utilizar la serie de tiempo de las ventas de gasolina para ilustrar el calculo de un promedio móvil ponderado de tres semanas, donde la observación mas reciente recibe un peso del triple del peso dado a la observación mas antigua y la siguiente observación mas antigua recibe un peso del doble que la observación mas antigua.

Para la semana 4 el cálculo es

Pronostico de promedios móviles ponderados para la semana 4 =

( ) ( ) ( ) 33.19176

121

6

219

6

3 =++

177

Observe que para el promedio móvil ponderado, la suma de los pesos es igual a 1. En realidad esta condición también fue verdadera para el promedio móvil simple: cada peso era de 1/3. Sin embargo, recuerde que el promedio móvil simple o ponderado proporciono un pronóstico de 19.

SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL

La suavización exponencial utiliza un promedio ponderado de valores de serie de tiempo pasadas como pronóstico; es un caso especial el método de promedios móviles ponderados en el cual seleccionamos solo un peso, el peso para la observación mas reciente. Los pesos para los demás valores se calculan de forma automática y se vuelven cada vez mas pequeños a medida que las observaciones se alejan en el pasado. El modelo de suavización básico es

( ) 11 1 FYF tt αα −+=+

Donde

=+1tF Pronostico de serie de tiempo para el periodo t +1

=tY Valor real de la serie de tiempo en el periodo t

=tF Pronostico de la serie de tiempo para el periodo t

=α Constante de suavización ( )10 ≤≤ α

Para ilustrar el enfoque de suavización exponencial para el pronostico, considere la serie de tiempo de venta de gasolina que se presento antes, como se indico, el pronostico de suavización exponencial para el periodo 2 es igual

al valor real de la serie de tiempo en el periodo 1. por tanto con 171 =Y

establecemos que 172 =F para iniciar los cálculos de suavización exponencial.

A partir de los datos de la serie de tiempo, encontramos que el valor real de la

178

serie de tiempo en el periodo 2 de 212 =Y . Por tanto, el periodo 2 tiene un

error de pronostico de 21-17=4.

Al continuar con los cálculos de la suavización exponencial, el uso de una constante de suavización de 02.=α proporciona el pronóstico para el periodo 3:

( ) ( ) 8.17178.0212.08.02.0 223 =+=+= FYF


1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en el icono





“OK”.

179



4.- con ello nos aparece la pantalla siguiente que nos pide que especifiquemos el número de

periodos en la serie de tiempo estableciendo 100 como máximo. Escribimos el número 12


180



181

7.- nos lleva al siguiente cuadro nos pide seleccionar el método utilizar y la constante de suavización que se va a asignar.

8.- Obtenemos el resultado de pronóstico con el método de suavización exponencial.

182

GRAFICA DE LAS SERIES DE TIEMPO REAL Y PRONOSTICADA DE LAS VENTAS DE GASOLINA CON UNA CONSTANTE DE SUAVIZACION α=0.2

183

0

5

10

15

20

25

semanas

semanas

ven

tas (

mil

es d

e g

alo

nes

)

serie detiempo real

serie detiempopronosticada

PROYECCIÓN DE LA TENDENCIA

En esta sección mostramos como pronosticarlos valores de una serie de tiempo que exhibe una tendencia lineal a largo plazo. el tipo de series de tiempo para las cuales el metodo de proyeccion de tendencias es aplicable, muestra un incremento o disminución constante en el

184

tiempo. debido a que este tipo de serie de tiempo no es estable, los metodos de suavizacion descritos en la sección anterior no son aplicables.

Considere la serie de tiempo para la venta de bicicletas de un fabricante en particular durante los 10 años anteriores, como se muestran en la siguiente tabla y la grafica. Advierta que se vendieron 21,600 bicicletas en el año 1; 22,900 en el año 2, etc.

Año Ventas(miles)

(t) ( tY )

1 21.6

2 22.9

3 25.5

4 21.9

5 23.9

6 27.5

7 31.5

8 29.7

9 28.6

10 31.6

185

ventas de bicicletas

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ventasdebicicletas

Como visiblemente tenemos una tendencia ascendente en la venta de bicicletas podemos aplicar el metodo de recta de tendencia o recta de regresión.

186

Para hacerlo entraremos al programa the manangement scientist para ilustrar el problema de pronostico.

1.-Para utilizar el TMS (The Management Scientist) se hace doble clic en el icono





“OK”.



187

4.- con ello nos aparece la pantalla siguiente que nos pide que especifiquemos el número de

periodos en la serie de tiempo estableciendo 100 como máximo. Escribimos el número 10



188


7.- nos lleva al siguiente cuadro nos pide seleccionar el método utilizar y el numero de periodos a pronosticar.

189

8.- Obtenemos el resultado de pronóstico con el método de recta de regresión.

Pronóstico para los 12 periodos siguientes.

190

La grafica con la recta de tendencia se vería de esta manera.

Scatter Diagram

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y

191

CAPÍ TULO VII 8

MODELOS DE LINEA DE ESPERA (TEORÍA DE COLAS )

La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación

de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva

de un servicio excede a la oferta efectiva.

Con frecuencia, las empresas deben tomar

decisiones respecto al caudal de servicios que

debe estar preparada para ofrecer. Sin

embargo, muchas veces es imposible predecir

con exactitud cuándo llegarán los clientes que

demandan el servicio y/o cuanto tiempo será

necesario para dar ese servicio; es por eso que

esas decisiones implican dilemas que hay que

resolver con información escasa.

Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento puede

implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado, carecer de la

capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos.

Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir nuestros servicios, están

pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban. Las líneas de espera largas también

son costosas por tanto para la empresa ya que producen pérdida de prestigio y pérdida de

clientes.

ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA

Se han desarrollado modelos que sirvan para que los gerentes entiendan y tomes mejores decisiones en relación con la operación de las líneas de espera. En la terminología de las 8 Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T., Camm,, J., Martin, K. (2011) Métodos cuantitativos para los negocios. (11ª edición). Pág. 655

192

ciencias de la administración, una línea de espera se conoce como cola, y la serie de conocimientos que tienen que ver con las líneas de espera se conoce como teoría de colas.

Los modelos de línea de espera se componen de fórmulas y relaciones matemáticas que pueden utilizarse para determinar las características de operación (medidas de desempeño) de una línea de espera. Las características de operación de interés incluyen:

1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema

2. El número promedio de unidades en la línea de espera

3. El número promedio de unidades en el sistema (el número de unidades en la línea de

espera más el número de unidades que están siendo atendidas)

4. El tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera

5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (el tiempo de espera más el

tiempo para que atiendan)

6. La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan.

Los gerentes que cuentan con esta información son más capaces de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio contra el costo de proporcionar el servicio.

LÍNEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

193

“Consideremos la línea de espera en el restaurant de comida rápida Burguer Dome donde

venden hamburguesas sencillas con queso, papas a la francesa, bebidas refrescantes y

malteadas. Aunque a Burguer Dome le gustaría atender de

inmediato a cada cliente, en ocasiones llegaban más clientes

de los que podían ser atendidos por el personal. Por tanto,

los clientes hacían cola para hacer y recibir sus pedidos.

A Burgue Dome le preocupa que los métodos que

actualmente utiliza para atender a los clientes ocasionen

tiempos de espera excesivos. La gerencia desea estudiar la

línea de esper a para dete rminar el mejor método de reducir los tiempos de espera y mejorar

el servicio.

En la operación actual de Burguer Dome, un despachador toma el pedido de un cliente,

determina el costo total del pedido, recibe el dinero del cliente y luego surte el pedido. Una

vez que el pedido del primer cliente se surte, el despachador toma el pedido del siguiente que

espera a que lo atiendan. Esta operación es un ejemplo de una línea de espera de un solo

canal. Cada cliente que entra al restaurant debe pasar a través de un canal

-una estación de toma y entrega de pedidos- para hacer un pedido, pagar la cuenta y recibir la

comida. Cuando llegan más clientes de los que pueden ser atendidos de inmediato, forman

un línea y esperan a que se desocupe la estación de toma y entrega de pedidos”

194

DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS

La definición del proceso de llegada a una línea de espera implica determinar la distribución

probabilística del número de llegadas en un lapso de tiempo determinado. En muchas

situaciones de línea de espera las llegadas ocurren al azar e independientemente de otras

llegadas, y no podemos predecir cuándo ocurrirá una. En esos casos, los analistas

cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson provee una

buena descripción del patrón de llegadas.

La función de probabilidad de Poisson de la probabilidad x de llegadas en un periodo de

tiempo especifico. La función de probabilidad es la siguiente.

donde

x = número de llegadas en el periodo de tiempo

= número medio de llegadas por periodo de tiempo

e = 2.711828

El número medio de llegadas por periodo de tiempo se llama tasa de llegadas.

Suponga que Burguer Dome analizó los datos sobre las llegadas de los clientes y concluyó

que la tasa media de llegada es de 45 clientes por hora. Durante un periodo de un minuto, la

tasa de llegadas seria = 45 clientes/60 minutos = 0.75 clientes por minuto. Así, podemos

utilizar la siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x

llegadas durante un periodo de un minuto.

195

Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas de clientes durante un periodo de un

minuto son:

La probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto es de 0.4724,

la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de un minuto es 0.3543

y la probabilidad de que lleguen dos clientes en un periodo de un minuto es 0.1329.

SOLUCIÓN POR MEDIO DE PHSTAT

1. Entramos a Microsoft Excel, Complementos, PhStat. Seleccionamos la opción Probability & Prob. Distributionns, Poisson.

196

2. Procedemos a llenar el cuadro. Se pone el resultado de λ= 45 clientes / 60 minutos = .75 y luego damos clic en OK

3. En la siguiente tabla obtenemos el resultado.

Poisson Probabilities

197

DataAverage/Expected number of

successes: 0.754.

Poisson Probabilities TableX P(X)0 0.4723671 0.3542752 0.1328533 0.0332134 0.0062275 0.0009346 0.0001177 0.0000138 0.0000019 0.000000

10 0.00000011 0.00000012 0.00000013 0.00000014 0.00000015 0.00000016 0.00000017 0.00000018 0.00000019 0.00000020 0.000000

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO

198

En Burger Dome, el tiempo comienza cuando el cliente recibe el pedido. Los tiempos de servicio rara vez son constantes. Y la cantidad de artículos ordenados y la mezcla de estos varían de manera considerable de un cliente al siguiente.

Usando una distribución de probabilidad exponencial, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de duración t es:

donde

µ= la cantidad de unidades que puede servirse por periodo

e = es la constante 2.71828

El número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de tiempo, µ, se llama tasa de servicio.

Suponga que Burger Dome estudió el proceso de toma y surtido de pedidos y encontró que el empleado solo puede procesar un promedio de 60 pedidos por hora, por lo que si se considera por minuto, la tasa de servicio media será µ = 60 clientes / 60 minutos = 1 cliente por minuto.

Podemos utilizar la ecuación para calcular la probabilidad de que un pedido pueda procesarse en medio minuto o menos, un minuto o menos y dos minutos o menos

SOLUCIÓN POR MEDIO DE PHSTAT

199

1.

Entramos a Microsoft Excel, Complementos, PhStat. Seleccionamos la opción Probability & Prob. Distributionns, Poisson.

5. Procedemos a llenar el cuadro con la información de la tasa de servicio (µ ) y el tiempo de servicio. Luego le damos clic en Ok

200

Con ello se puede decir que hay una probabilidad de .3935 de que un pedido pueda procesarse en medio minuto o menos.

Con ello se puede decir que hay una probabilidad de .6321 de que un pedido pueda procesarse en un minuto o menos.

Exponential Probabilities

DataMean 1X Value 2

Results


DataMean 1X Value 0.5

ResultsP(<=X) 0.3935


DataMean 1X Value 1

ResultsP(<=X) 0.6321

201

P(<=X) 0.8647

Con ello se puede decir que hay una probabilidad de .8647de que un pedido pueda procesarse en dos minutos o menos.

Las siguientes formulas se utilizan para calcular las características de operación constante de una línea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde

λ = la cantidad promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas)

µ= la cantidad promedio de servicios por periodo (tasa de servicios)

202

Ahora resolveremos el problema mediante el programa The Management Scientist


“Waiting Lines” (líneas de espera) y luego “OK”


203

3.- En la siguiente ventana seleccionamos el modelo “Poisson Arrivals / Exponential Service

(Distribución de Poisson / Servicio Exponencial) y le damos clic en “Ok”

4.- Procedemos a llenar el cuadro con los datos del análisis sobre las llegadas de los clientes y posteriormente damos clic en “solve”


204

Como podemos observar:

La probabilidad de que no haya unidades en el sistema (Po) es: 25%

La cantidad promedio de unidades en la línea de espera (Lq) es 2.25 clientes

La cantidad promedio de unidades en el sistema (L) es: 3 clientes

El tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera (Wq) es: 3 minutos

El tiempo que pasa una unidad en el sistema (W) es: 4 minutos

La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio (Pw) es: 75%

Y la probabilidad de que haya n unidades (clientes) en el sistema (Pn) es:

205

Para mejorar la operación de la línea espera los analistas se centran en formas de mejorar la

tasa de servicio. Por lo general, las mejoras en la tasa de servicio se obtienen realizando los

siguientes cambios de manera individual o conjuntamente.

1.- aumentar la tasa de de servicio media ɱ haciendo un cambio creativo en el diseño o

usando nueva tecnología.

2.- agregar canales de servicio de modo que pueda servirse a más clientes simultáneamente.

MODELO DE LÍNEA DE ESPERA CON CANALES MULTIPLES CON LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIOS EXPONENCIALES

206

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se

supone son idénticos en función de capacidad de servicio. En el sistema de múltiples canales,

las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego se dirigen al primer canal

disponible para ser atendidas. La operación de un solo canal de Burguer Dome puede

expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicios.

Suponga que la gerencia de Burguer Dome desea evaluar la conveniencia de abrir una

segunda estación de procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser

atendidos al mismo tiempo. Suponga una línea de espera única con el primer cliente que se

dirige al primer despachador disponible. Evaluemos las características operativas para este

sistema de dos canales.

Las siguientes formulas se utilizan para calcular las características de operación de líneas de

espera de canales múltiples, donde:

= tasa media de llegada para el sistemaʎ

µ= la tasa media de servicio para cada canal

k = cantidad de canales

207

Con un sistema de canales k = 2, una tasa media de llegada = 0.75 clientes por minutoʎ

y una tasa media de servicio de μ = 1 cliente por minuto por cada canal, usamos las

siguientes ecuaciones para determinar las características operativas de este sistema


208




3.- En la siguiente ventana seleccionamos el modelo “Poisson Arrival / Exponential Service


209

4.- Seguidamente nos aparecer un cuadro en donde introduciremos los datos tasa media de

llegada para el sistema ( ),tasa media de servicio para cada canal (µ) y la cantidad deʎ

canales (k) y después le damos clic en solve.

210

5.- En

la

siguiente ventana obtenemos el resultado a este problema de línea de espera de 2 canales.


La probabilidad de que no haya unidades en el sistema (Po) es: 45%

La cantidad promedio de unidades en la línea de espera (Lq) es 0.1227 clientes

La cantidad promedio de unidades en el sistema (L) es: .8727 clientes

El tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera (Wq) es: 0.1636 minutos

El tiempo que pasa una unidad en el sistema (W) es: 1.1636 minutos

La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio (Pw) es: 20%

211

Y la probabilidad de que haya n unidades (clientes) en el sistema (Pn) es:

212

Ahora podemos comparar las características de operación constante del sistema de dos

canales con las características de operación constante del sistema original de un solo

canal.

Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema (tiempo de espera más tiempo de

servicio) se reduce de W= 4 minutos a W= 1.1636 minutos.

La cantidad promedio de clientes en la línea de espera se reduce de Lq= 2.25 clientes

a Lq = 0.1227 clientes

213

El tiempo promedio que pasa un cliente en la línea de espera se reduce de Wq=

3minutos a Wq= 0.1636 minutos.

La probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio se reduce de Pw=

0.75 a Pw= 0.2045.

Es evidente que el sistema de dos canales mejorará de forma significativa las

características de operación de la línea de espera.

ANALISIS ECONÓMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA

Es posible que un gerente desee identificar el costo de operar el sistema de línea de espera y luego basar la decisión con respecto al diseño del sistema en un costo de operación mínimo por hora o día. Antes de que pueda realizarse un análisis económico, se debe desarrollar un modelo de costo total, el cual incluye el costo de espera y el costo de servicio.

Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, comenzamos por definir la notación que se utilizará:

Cw = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad

L = número promedio de unidades en el sistema

Cs = costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal

k = número de canales

TC = costo total por periodo de tiempo

El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio se obtiene de la siguiente manera:

Para realizar un análisis económico de una línea de espera demos obtener estimaciones razonables del costo de esperar y el costo de servicio. En el problema de Burger Dome, el costo de espera sería el costo por minuto que un cliente espera para que lo atiendan. Este no es un costo directo para la empresa. Sin embardo, si Burger Dome lo ignora t permite líneas de espera largas, los clientes finalmente se irán a otra parte; así, Dome perderá ventas y, en realidad, incurrirá en un costo.

En el problema de Burger Dome, el costo de servicio incluiría los salarios y prestaciones del empleado y cualquier otro costo directo asociado con las operaciones del canal de servicio.

214

En Burger Dome este coso se estima de $ 7.00 por hora y está dispuesto a asignar un costo de $10.00 por hora para el tiempo de espera del cliente.

Sistema de un solo canal

Sistema de dos canales

SISTEMA DE UN SOLO CANAL

Resolveremos el problema mediante el programa The Management Scientist




215

3.- En la siguiente ventana seleccionamos el modelo “Pisson Arrivals / Exponential Service


4.- Seguidamente nos aparecer un cuadro en donde introduciremos los datos: la cantidad de

canales (k), la tasa media de llegada para el sistema ( ) y la tasa media de servicio paraʎ

cada canal (µ) , después seleccionamos Economic Analysis e introducimos los datos,

luego le damos clic en solve.

216

5.- En la siguiente ventana obtenemos el resultado del Costo Total para el sistema de un solo

canal.

SISTEMA DE DOS CANALES


217




3.- En la siguiente ventana seleccionamos el modelo “Pisson Arrivals / Exponential Service


218


canales (k), la tasa media de llegada para el sistema ( ) y la tasa media de servicio paraʎ

cada canal (µ) , después seleccionamos Economic Analysis e introducimos los datos,

luego le damos clic en solve.

5.- En la siguiente ventana obtenemos el resultado del Costo Total para el sistema de dos

canales.

219

Por tanto, con base en los costos provistos por Burger Dome, el sistema de dos canales

opera de forma más económica.

MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS

Para los modelos de línea de espera presentados hasta ahora, la población de unidades o clientes que llegan para ser atendidos se ha considerado ilimitada. En términos técnicos, cuando se establece límite sobre cuántas unidades pueden buscar ser atendidas, se dice que el modelo tiene una población con fuente infinita. Con base en este supuesto, la tasa de llegadas permanece constante independientemente de cuántas unidades estén en el sistemaʎ de línea de espera.

En otros casos, el número máximo de unidades o clientes que buscan ser atendidos se supone que es infinito. En esta situación la tasa de llegadas al sistema cambia, según el número de unidades que hay en la línea de espera, y se deice que el modelo tiene una población con fuente finita.

El modelo de población con fuente finita analizada en esta sección se basa en los siguientes supuestos:

1. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas .ʎ

220

2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con tasa de servicios µ.

3. La población de unidades que buscan ser atendidas es finita.

Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población con fuente finita.

La tasa de llegadas del modelo M/M/1 con una población con fuente finita se define en función de qué tan frecuentemente llega una unidad o busca que la atiendan. Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera previos, en los cuales denotaba la tasa deʎ llegadas del sistema. Con una población con fuente finita, la tasa de llegadas del sistema varía, según el número de unidades en el sistema. En lugar de ajustar con base en la tasa de llegadas variable, en el modelo de población con fuente finita indica la tasa de llegadas deʎ cada unidad.

Una de las aplicaciones primordiales del modelo M/M/1 con una población finita se conoce como problema de reparación de máquinas. En este problema se considera que un grupo de máquinas es la población finita de “clientes” que puede solicitar el servicio de reparación. Siempre que una máquina se descompone ocurre una llegada en el sentido de que se inicia una nueva solicitud de reparación. Si otra máquina se descompone antes de que se haya completado el trabajo de reparación de la primera, la segunda máquina comienza a formar una “línea de espera” para el servicio de reparación. Otras máquinas que se descompongan prolongarán la línea de espera. El supuesto de que el primero que llega es el primero al que se le atiende indica que las máquinas se reparan en el orden en que se descomponen. El modelo M/M/1 muestra que una persona o canal está disponible para realizar el servicio de reparación. Para regresarla a operación, cada máquina descompuesta debe ser reparada por la operación de canal único.

221

Ejemplo. Kolkmeyer Manufacturing Company utiliza un grupo de seis maquinas idénticas; cada una funciona un promedio de 20 horas entre descomposturas. Por tanto, la tasa de llegadas o solicitud de servicios de reparación de cada máquina es = 1/20 = 0.05 por hora.ʎ Con las descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegadas de maquinas descompuestas. Una persona del departamento de mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único para las seis maquinas. Los tiempos de servicio exponencialmente distribuidos tienen una media de dos horas por maquina, o una tasa de servicios de µ = ½ = 0.50 maquinas por hora.

Las fórmulas de las características de operación de los modelos de línea de espera anteriores deberán modificarse para explicar el efecto de la población finita.

Las siguientes formulas se utilizan para determinar las características de operación constante de un modelo M/M/1 con una población con fuente finita, donde

= tasa de llegadas de cada unidadʎ

µ= tasa de servicios

N = tamaño de la población

Con = 0.05, µ = 0.50 y ʎ N = 6 usamos las siguientes ecuaciones para determinar las características operativas de este sistema.

223

Ahora lo resolveremos por medio de The Management Scientist:




224




canales (k), tasa media de llegadas de cada unidad ( ),tasa media de servicio de cadaʎ

canal (µ) , el tamaño de la población y después le damos clic en solve.

225

5.- En la siguiente ventana obtenemos el resultado a este problema


La probabilidad de que ninguna máquina esté en el sistema, Po = 48%

El número promedio de máquinas en la línea de espera, Lq = 0.3297

El número promedio de máquinas en el sistema, L = 0.8451

El tiempo promedio que una máquina pasa en la línea de espera, Wq = 1.2790

EL tiempo promedio que una máquina pasa en el sistema, W = 3.2790

La probabilidad de que una máquina que llega tenga que esperar, Pw = 0.5155

226

Y la probabilidad de que haya n número de máquinas en el sistema de reparación (Pn) es:

Como en otros modelos de línea de espera, las características de operación informan al

gerente sobre la operación de la línea de espera. En este caso, el hecho de que una máquina

descompuesta espere un promedio de Wq = 1.2790 horas antes que se inicie el

mantenimiento y el hecho de que más de 50% de las máquinas descompuestas esperen el

servicio de reparación, Pw = 0.5155, indica que puede que se requiera un sistema de dos

canales para mejorar el servicio de reparación de las máquinas.

227

Ahora resolveremos el mismo problema por medio de The Management Scientist pero esta vez utilizando 2 canales en lugar de 1:




228




canales (k), tasa media de llegadas de cada unidad ( ),tasa media de servicio de cadaʎ

canal (µ) , el tamaño de la población y después le damos clic en solve.

229

5.- En la siguiente ventana obtenemos el resultado a este problema


La probabilidad de que ninguna máquina esté en el sistema, Po = 56%

El número promedio de máquinas en la línea de espera, Lq = 0.0227

El número promedio de máquinas en el sistema, L = 0.5661

El tiempo promedio que una máquina pasa en la línea de espera, Wq = 0.0834

EL tiempo promedio que una máquina pasa en el sistema, W = 2.0834

La probabilidad de que una máquina que llega tenga que esperar, Pw = 0.1036

230

Y la probabilidad de que haya n número de máquinas en el sistema de reparación (Pn) es:

Ahora sabemos que con dos reparadores, el tiempo de espera promedio de una máquina

descompuesta se reduce a Wq = 0.0834 horas, o 5 minutos, y solo 10%, Pw = 0.1036 de

las máquinas descompuestas esperan para ser reparadas.

Por lo tanto, después de analizar los dos resultados que nos dio el programa, para un canal y

dos canales, podemos concluir que el sistema de dos canales mejora significativamente la

operación de servicio de reparación. Por último, considerando el costo del tiempo que esta

parada la máquina y el costo del personal de reparación, la gerencia puede determinar si el

servicio mejorado del sistema de dos canales es efectivo en cuanto a costos.

BIBLIOGRAFÍA

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T., Camm,, J., Martin, K. (2011)

Métodos cuantitativos para los negocios. (11ª edición). México, D.F: Cengage Learning

Editores, S.A de C.V

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