Decomposição em Valores Singulares Aplicada à Compressãode Imagens

Clicia G. A. Pereira 1, Messias Meneguette Junior

2, Vanessa Botta

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1Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP

2Departamento de Matemática e Computação, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP

3Departamento de Matemática e Computação, FCT/UNESP, Presidente Prudente, SP

1 Introdução

O objetivo desse trabalho é mostrar a importância do uso da Decom-

posição em Valores Singulares (DVS) na otimização do espaço de arma-

zenamento de imagens. Dada uma imagem colorida, depois de transformá-

la em uma �gura em tons de cinza, é possível representá-la por uma

matriz A, onde cada elemento desta corresponde a um píxel na imagem.

O fato dessas imagens serem mantidas e transmitidas na forma de

matrizes de dimensões grandes requerem muito espaço de armazena-

mento [3]. Com intuito de otimizar esse processo aborda-se neste tra-

balho a redução no espaço de armazenamento de imagens utilizando a

DVS de uma matriz.

A técnica de DVS de uma matriz A ∈ Rm×nconsiste em fatorá-la em

um produtoUΣV T, ondeU ∈ Rm×m

e V ∈ Rn×nsão matrizes unitárias,

Σ ∈ Rm×nem que Σ = [σij] satisfazendo σij = 0 se i 6= j [2] . Utiliza-se

a DVS para calcular o posto da matriz A. Esse resultado decorre do fato

de que o número de valores singulares de A (denotados por σj) não nu-

los obtidos da DVS é o posto deA [1]. A ideia é obtermos uma matrizAk

que melhor aproxime a matrizA, para tal aplicamos o seguinte resultado:

dada A ∈ Rm×n, se k < p = posto(A) e Ak =

∑kj=1 σjujv

Tj , note que

V = [v1, . . . , vn], U = [u1, . . . , um] e Σk = diag[σ1, σ2, . . . , σk, 0, . . . , 0],então min

posto(Ak)‖A− Ak‖2 = σk+1, onde posto(Ak) = k [1]. Como con-

1cliciageovana@gmail.com

sequência pode-se pensar em Ak, (k < p), como uma boa aproximação

para A, assim a imagem obtida será próxima da imagem original [3].

2 Aplicação da DVS a Uma Imagem

Considerando uma imagem colorida, criamos um programa no soft-ware MATLAB que, após a leitura da imagem original, converte-a em

uma imagem em escala de cinza [4].

Seja A = UΣV Ta DVS de A. A matriz Ak =

∑kj=1 σjujv

Tj nos dá a

melhor aproximação paraA, no sentido da norma dois. Portanto se σk+1

for su�cientemente pequeno é seguro considerar k valores singulares

[3]. É preciso apenas (m + n) · k entradas a partir das quais podemos

reconstruirAk. Em comparação, é precisom·n entradas para armazenar

A, ou seja, A ≈ Ak, onde Ak tem posto menor [1].

A qualidade da aproximação Ak, com respeito a A, pode ser quan-

ti�cada através do erro relativo ε = σk+1/σ1 e do raio de compressão

r = (m + n)k/m · n [1]. O erro relativo ε caracteriza os valores singu-

lares dominantes, os que não podem ser ignorados, pois caso contrário

a imagem perde por completo a qualidade [3]. O raio de compressão re-

laciona a quantidade de armazenamento requerida para Ak com relação

à necessária para A [1]. Na �gura [1] tem-se algumas imagens compa-

rativas da aplicação do método.

(a) (b) (c)

Figura 1: (a) Imagem original em tom de cinza; (b) k = 5, r = 0, 09884701, ε = 8, 10185 × 10−3; (c)

k = 60, r = 0, 0220944, ε = 0, 097222

3 Conclusões

A imagem (b) é obtida com os primeiros 60 valores singulares. Re-

quer o armazenamento de 151260 coe�cientes (duas matrizes de dimen-

sões 1080 × 60 e 1440 × 60 e os primeiros 60 valores singulares) em

vez dos 1555200 coe�cientes que seriam necessários para armazenar a

imagem original. Conclui-se que a decomposição de valores singulares

na compressão de imagens atua de forma e�ciente.

Agradecimentos

À CAPES pela bolsa de mestrado e à Unesp pela infraestrutura.

Referências

[1] J.W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, Editora Siam, Mas-

sachusetts, 1996.

[2] B. Noble, J.W. Daniel, Álgebra Linear Aplicada, Editora PHB, Rio

de Janeiro, 1986.

[3] S.G.G. Nobre, A Decomposição em Valores Singulares e Suas Aplica-ções, Dissertação de Mestrado, Faculdade de Ciências e Tecnologia,

Faro, Portugal, 2007.

[4] Mathworks, Working with Images in MATLAB Graphics. 2016. Dis-

ponível em:

<http://www.mathworks.com>. Acesso em: 25 de novembro de

2016.