1 examen final 30-12-14
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UNIVERSIDAD NACIONAL “HERMILIO VALDIZÁN”
1 KN/m
12 KN
6 m4 m4 m
4 m
2 m
2 KN/m
1
2 3
4
5
6
EI
2EI
EI EI
2EI
PROBLEMA N° 02.Resolver el pórtico mostrado en la figura, graficando sus diagramas de fuerzas internas
SOLUCIÓN:
PASO 1: DETERMINAMOS EL GRADO DE INDETERMINACIÓN DEL SISTEMA.
GH°E = a– (3+e)
GH° = (a+3b) – (3n+e)
GH°I = 3N ó GH° – GH°E
GH° = (a+3b) – (3n+e) = 8 + 3 × 5 – (3 × 6 + 1) = 4
GH°E = a– (3+e) = 8 – (3+1) = 4
GH°I = 3N = 0
Cumple, por lo tanto el pórtico es cuatro veces hiperestático.
1 KN/m
12 KN
4 m 4 m 6 m
4 m
2 m
2 KN/m
1
2 3
4
5
6
EI
2EI
EI EI
2EI 5
Q4
Q4
Q3 Q3
Q1
Q2
+
2.- ISOSTATIZAMOS.
Para isostatizar la estructura quitaremos la rótula, y quitaremos el apoyo doble en el nudo 4, obteniendo
dos estructuras isostáticas. Levantamos la indeterminación obteniendo la redundante Q1, Q2, Q3, y Q4.
3.- PROCEDIMIENTO.La ecuación canónica será:
DQ 𝐪 × 𝐩 = DQS 𝐪 × 𝒑 + F q×q Q q×p
Del cuál.
DQS = DQL + DQR + DQT + DQP DQS = DQL
Resolviendo y reemplazando las respectivas ecuaciones tenemos lo siguiente.
0 = DQL + F q×q Q q×p ………………………………(*)
DQL q×p=
DQL1DQL2DQL3DQL4
4×1
F q×q =
f11 f12f21 f22
f13 f14f23 f24
f31 f32f41 f42
f33 f34f43 f44 4×4
Q q×p =
Q1Q2Q3Q4 4×1
Nuestro objetivo es calcular las redundantes, Q1, Q2, Q3 Y Q4, con esto conoceremos las respectivas cargas liberadas.Al isostatizar tenemos dos miembros, lo cual solo trabajemos con el primero, luego por equilibrio tendremos las cargas del segundo miembro y lo uniremos, para los gráficos finales.
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR DE LA FIGURA ISOSTATICA.
1
2 3
4
5
14.2868
5.8876
4.1628
0.0899
4 m
5
6
EI
DQL4
DQL4
DQL3 DQL3
+DQL1
DQL2
3.1- Los efectos de las cargas generan desplazamientos en nuestras redundantes.
DQL q×p=
DQL1DQL2DQL3DQL4
4×1
DQL1 = 1
EI
2
36 × 3.95 × 1 +
1
EI
1
24 × 5.8876 ×
8
3
DQL2 = -1
2EI
2
38 × 4.1628 × 3 +
1
EI
1
28 × 14.2868 × 3 +
1
2EI
2
36 × 3.95 × 8
DQL3 = 1
EI
2
36 × 3.95 × 3 +
1
EI
1
24 × 5.8876 ×
4
3
DQL4 = 1
2EI
2
38 × 4.1628 × 3 +
1
2EI
1
28 × 14.2868 × 3 +
1
EI
2
36 × 3.95 × 7 +
1
EI
1
24 × 5.8876 × 6
Entonces:
DQL q×p=
47.2134.7363.1
278.0728 4×1
1
EI
4 m 4 m 6 m
2 m
1
2 3
4EI
2EI
EI
2EI 5
Q1=1
4 m
5
6
EI
+
S31 S31
S11
S21
4 m 4 m 6 m
2 m
5
4 mEI
+
4
44
4
2
S41
S41
3.2- Armamos la matriz de flexibilidad de 4 × 4
Para Q1 = 1, Qi≠1 = 0
U = AB M2
2EIdx ;
𝜕 U
𝜕P= §P
§P = AB
𝜕 U
𝜕P
EIdx = A
B Mm
EIdx
𝑓11= 1
EI
1
24 × 6 × 1 +
1
EI4 × 4 ×
8
3= 54
EI
𝑓21 = 1
EI
1
24 × 6 × 8 +
1
2EI4 × 8 × 4 =
160
EI
𝑓31= 1
EI
1
24 × 6 × 3 +
1
EI4 × 4 ×
4
3= 57.333
EI
𝑓41= 1
EI
1
24 × 6 × 3 +
1
EI4 × 4 × 3 +
1
2EI4 × 8 × 7 =
196
EI
Para Q2 = 1, Qi≠2 = 0
1 KN/m
12 KN
4 m 4 m 6 m
2 KN/m
1
2 3
4EI
2EI
EI
2EI 5
Q2 = 1
4 m
5
6
EI
+
2 m
S31 S31
S42
S42
S32 S32
S12
S22
2 m
5
4 m 4 m 6 m
4 mEI
4 m
++
2 m
8
8S41
S41
§P = AB
𝜕 U
𝜕P
EIdx = A
BMm
EIdx
𝑓12 = 1
EI
1
28 × 6 × 1 =
160
EI
𝑓22 = 1
2EI
1
28 × 8 ×
16
3+
1
EI6 × 8 × 8 =
469.33
EI
𝑓32 = 0
𝑓42 = 1
2EI
1
28 × 8 × 3 +
1
2EI6 × 8 × 7 =
216
EI
Para Q3= 1, Qi≠3= 0
1 KN/m
12 KN
4 m 4 m 6 m
4 m
2 KN/m
1
2 3
4
5
6
EI
2EI
EI EI
2EI 5Q3 = 1 Q3 = 1
++
2 m
S43
S43
S33 S33
S13
S23
4 m 4 m 6 m
4 m
++
2 m
6
§P = AB
𝜕 U
𝜕P
EIdx = A
BMm
EIdx
𝑓13 = 1
EI
1
26 × 6 × 8 =
57.333
EI
𝑓23= 0
𝑓33= 1
EI
1
26 × 6 × 7 =
216
EI
𝑓43= 1
EI
1
26 × 6 × 4 = -
72
EI
Para Q4= 1, Qi≠4= 0
1 KN/m
12 KN
4 m 4 m 6 m
4 m
2 KN/m
1
2 3
4
5
6
EI
2EI
EI EI
2EI 5
Q4 = 1
Q4 = 1
++
2 m
S44
S44
S34 S34
S14
S24
4 m 4 m 6 m
4 m
++
2 m
6
14
§P = AB
𝜕 U
𝜕P
EIdx = A
BMm
EIdx
𝑓14 = 1
2EI
1
214 × 14 × 4 =
196
EI
𝑓24 = 1
2EI
1
214 + 6 × 8 × 6 -
1
2EI6 × 6 × 2 =
216
EI
𝑓34 = 1
EI
1
26 × 6 × 4 = -
72
EI
𝑓44 = 1
2EI
1
214 + 6 × 8 × 7 +
1
2EI6 × 6 × 4 =
352
EI
AHORA REEMPLAZAMOS.
DQL + F 4×4 Q 4×1= 0
DQL q×p=
DQL1DQL2DQL3DQL4
4×1
+
f11 f12f21 f22
f13 f14f23 f24
f31 f32f41 f42
f33 f34f43 f44 4×4
Q1Q2Q3Q4 4×1
=
0000 4×1
DQL q×p=
47.2134.7363.1
278.0728 4×1
1
EI+
f11 f12f21 f22
f13 f14f23 f24
f31 f32f41 f42
f33 f34f43 f44 4×4
1
EI×
Q1Q2Q3Q4 4×1
=
0000 4×1
Q1Q2Q3Q4 4×1
= -
54 160160 469.33
57.333 1960 216
57.333 0196 216
126 −72−72 352
1
EI
4×4
−1 47.2134.7363.1
278.0728 4×1
1
EI
Q1Q2Q3Q4 4×1
= -
−7.12 × 10−3 2.33 × 10−5
2.33 × 10−5 3.13 × 10−36.23 × 10−3 5.22 × 10−3
−1.26 × 10−3 −2.19 × 10−3
6.23 × 10−3 −1.26 × 10−3
5.22 × 10−3 −2.19 × 10−34.04 × 10−3 −1.86 × 10−3
−1.86 × 10−3 8.96 × 10−4
EI ×
47.2134.7363.1
278.0728 4×1
1
EI
Por lo tanto.
Q1Q2Q3Q4 4×1
=
−1.3455−4.38761.4719
−15.0746 4×1
4.- DIAGRAMAS FINALES.De esta manera, las reacciones en los apoyos y diagramas finales de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector, son los mostrados en la figura, la reacción, horizontal en D es igual a cero por simple inspección.
1.- REACCIONES EN LOS APOYOS.
3.1826
4.5378
4.959815.0746
4.3876
1.4719
1.3455
5.3818
4 m
2 m
4 m 4 m 6 m
1 KN/m
12 KN
2 KN/m
2 3
4
EI
2EI
EI EI
2EI 5
6
2.- DIAGRAMA DE FUERZA AXIAL.
4.5378
15.0756 4.7876
2.8174
1.3455
6
1
2 3
4
5
4 m
2 m
4 m 4 m 6 m
-
-
-
-
-
3.- DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE.
4 m 4 m 6 m
4 m
2 m
1
2 3
4
5
6
+
-
+
-
+-
++
3.1826
2.8174
4.5378
7.4622
1.4719
4.3876
7.6124
1.3455
4.- DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR.
4 m 4 m 6 m
4 m
2 m
1
2 3
4
5
6
+
-
+
-
+-
++
3.1826
2.8174
4.5378
7.4622
1.4719
4.3876
7.6124
1.3455
5.- DEFORMADA.
D6=0
D2=134.73/EI
D2= 134.73/EI
D3= 63.1/EI
D4= 328.911/EI
D4= 328.911/EI
D5= 400.008/EI
D1= 47.2/EI
D4= 328.911/EI
D6= 400.008/EIC
D1= 47.2/EI D1= 47.2/EI
1
23
4
5
6
2EI
Determinar la matriz de rigidez, DMF, DFC y la deformada de la figura mostrada:
Paso 1: DETERMINAR EL SISTEMA DE COORDENADAS GLOBAL (SCG)
Paso 2: DETERMINAR EL SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL (SCL)
Paso 3: DETERMINAR MATRIZ DE COMPATIBILIDAD 𝐴 𝑒𝑛 𝑒𝑙 (SCG)
DEFINIMOS LA MATRIZ DE COMPATIBILIDAD 𝐴
Paso 4: DETERMINAR MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS 𝑓
Paso 5: DETERMINAR MATRIZ DE RIGIDEZ 𝐾
PASO 6: DETERMINAR MATRIZ DE CARGAS 𝑄
Se trabaja con los signo cambiado de los momento de empotramiento para al final sumar a las respuestas.
Paso 7: DETERMINAR MATRIZ DE DESPLAZAMIENTO 𝐷
Paso 8: DETERMINAR MATRIZ DE ESFUERZOS 𝑑
Paso 9: DETERMINAR MATRIZ 𝑞𝑡
Paso 10: GRAFICAMOS DMF
Paso 11: GRAFICAMOS DFC
Paso 12: GRAFICAMOS LA DEFORMADA