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I E E E T R A N S A C T I O N S O N P O W E R A P P A R A T U S A N D S Y S T E M S , V O L . P A S - 9 0 , N O . 1 , J A N U A R Y / F E B R U A R Y 1 9 7 1

Digital Calculation o f Impedance forTr a nsmissi o n Li ne Protection

BARRY J . MANN, MEMBER, IEEE, AND I . F . MORRISON, MEMBER, I E E E

A b s t r a c t - T h e p a p er p r o p o s es a m e t h o d o f d i s t a n c e - t y p e p r o t e c -t i o n s u i t a b l e f o r o n - l i n e d i g i t a l c o m p u t e r p r o t e c t i o n o f t r a n s m i s s i o nl i n e s . T h e b a s i c p r i n c i p l e i s t h e p r e d i c t i v e c a l c u l a t i o n o f p e a k f a u l tc u r r e n t a n d v o l t a g e f r o m a s m a l l number o f s a m p l e v a l u e s . T h e m a g -n i t u d e s o f v a ri o u s s o ur c e s o f e r r o r a r e d i s c u s s e d . T h e r e s u l t s o fe x p e r i m e n t a l w o r k o n a m o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e a n d o n a h i g h -v o l t a g e t r a n s m i s s i o n s y s t e m a r e d e s c r i b e d . The c a l c u l a t i o n t i m e sf o r i m p l e m e n t a t i o n i n r e a l t i m e a r e e s ti m a te d .I N T R O D U C T I O N

THE g r o w i n g c o m p l e x i t y o f t h e c o n t r o l r eq u i r e me n t s o nn m o d e r n p o w e r s y s t e m s i s r e s u l t i n g i n i n c r e a s i n g a t t e n t i o nb e i n g p a i d t o t h e p o s s i b i l i t y o f a l l o c a t i n g t h e f u n c t i o n s o f h i g h -v o l t a g e s u b s t a t i o n s t o o n - l i n e d i g i t a l c o m p u t e r s [ 1 ] - [ 3 ] . S u c hc o m p u t e r s o f f e r a t t r a c t i v e c o m p a c t n e s s a n d f l e x i b i l i t y .O f a l l t h e m o d e r n s u b s t a t i o n f u n c t i o n s , t h e p r o t e c t i o n o ft r a n s m i s s i o n l i l n e s a n d s u b s t a t i o n e q u i p m e n t w o u l d a p p e a r t ob e t h e m o s t d e m a n d i n g i n t e r m s o f c o m p u t e r s p e e d , c y c l et i m e , a n d p e r i p h e r a l e q u i p m e n t . R o c k e f e l l e r [ 2 ] , i n t h e b a s i cw o r k i n t h i s f i e l d , p r o p o s e s a c o m p l e t e g r o u p o f p r o g r a m s f o rp r o t e c t i o n b y d i g i t a l c o m p u t e r . T h i s g r o u p c o n t a i n s p r o g r a m s f o rt h e p r o t e c t i o n o f t r a n s m i s s i o n l i n e s a s w e l l a s t r a n s f o r m e r s a n db u s p r o t e c t i o n a n d a l s o i n c l u d e s a v a l u a b l e a c c o u n t o f e x e c u t i v er o u t i n e s f o r d e t e c t i o n o f f a u l t s a n d t h e o r g a n i z a t i o n o f s u b s e q u e n tp r o t e c t i o n o p e r a t i o n s .T h e t e c h n i q u e o f t r a n s m i s s i o n l i n e p r o t e c t i o n p r o p o s e d b yR o c k e f e l l e r i s e s s e n t i a l l y a n a d a p t a t i o n t o d i g i t a l c o m p u t e r o fe a r l i e r a n a l o g z o n e p a c k a g e d l i n e - d r o p c o m p e n s a t i o n r e l a y i n g .T h e m e t h o d o f t r a n s m i s s i o n l i n e p r o t e c t i o n i n t e n d e d f o rd i g i t a l c o m p u t e r a p p l i c a t i o n p r o p o s e d h e r e a t t e m p t s t o s t a r tf r o m b a s i c l ) r i n c i p l e s . A s m a l l n u m b e r o f c u r r e n t a n d v o l t a g es a m p l e s a r e u s e d t o e s t i m a t e n u m e r i c a l l y t h e p e a k v a l u e o fc u r r e n t a n d v o l t a g e . F r o m t h e s e t h e t r a n s m i s s i o n l i n e i m p e d a n c ec a n b e c a l c u l a t e d a n l d f a u l t c o n d i t i o n s d e t e c t e d a n d m e a s u r e d b yt h e d r o p i n i m p e d a n c e . T h e i n h e r e n t n u m e r i c a l e r r o r s a r ea s s e s s e d a n d t h e m e t h o d i s a p p l i e d t o f a u l t d a t a o b t a i n e d b o t hf r o m a m o d e l l i n e a n d f r o m a h i g h - v o l t a g e t r a n s m i s s i o n s y s t e m .An e s t i m a t e i s t h e n m a d e o f c a l c u l a t i o n t i m e o n a t y p i c a l p r o c e s s -c o n t r o l c o m p u t e r o f t h e g e n e r a l t y p e t h a t c o u l d b e u s e d i ne v e n t u a l a p p l i c a t i o n s .

P a p e r 7 0 TP 1 6 5 - P W R , r e c o m m e n d e d a n d a p p r o v e d b y t h eP o w e r S y s t e m R e l a y i n g C o m m i t t e e o f t h e I E E E P o w e r G r o u p f o rp r e s e n t a t i o n a t t h e I E E E W i n t e r P o w e r M e e t i n g , New Y o r k ,N . Y . , J a n u a r y 2 5 - 3 0 , 1 9 7 0 . M a n u s c r i p t s u b m i t t e d S e p t e m b e r 8 ,1 9 6 9 ; m a d e a v a i l a b l e f o r p r i n t i n g D e c e m b e r 5 , 1 9 6 9 . T h i s w o r kw a s s u p p o r t e d b y t h e E l e c t r i c a l R e s e a r c h B o a r d a n d t h e E l e c t r i c i t yC o m m i s s i o n o f New S o u t h W a l e s , A u s t r a l i a .T h e a u t h o r s a r e w i t h t h e S c h o o l o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g , U n i -v e r s i t y o f New S o u t h W a l e s , K e n s i n g t o n , N . S . W . , A u s t r a l i a .

T H E O R YB a s i c P r i n c i p l e s

T h e m e t h o d o f c a l c u l a t i o n o f l i n e i m p e d a n c e i n v o l v e s t h ep r e d i c t i v e c a l c u l a t i o n o f p e a k c u r r e n t a n d p e a k v o l t a g e , t h ei m p e d a n c e b e i n g d e t e r m i n e d b y d i v i s i o n o f p e a k v o l t a g e b yt h e p e a k c u r r e n t . A d i g i t a l c o m p u t e r s a m p l i n g a s i n u s o i d a l w a v e -f o r m c a n d e t e r m i n e t h e p e a k v a l u e s a s t h e y o c c u r . H o w e v e r i t i sn e c e s s a r y i n t h e i n t e r e s t s o f t i m e t o d e t e r m i n e t h e p e a k v a l u e sb e f o r e t h e i r o c c u r r e n c e ; i . e . , t o p r e d i c t t h e p e a k v a l u e o f t h ew a v e f o r m f r o m a n y g i v e n s a m p l e . C o n s i d e r

v = V p k s i n c o t ( 1 )w h e r e V p k i s t h e u n k n o w n q u a n t i t y a n d v i s a t y p i c a l s a m p l ev a l u e . S i n c e i t i s n o t p r o p o s e d t o s y n c h r o n i z e t h e s a m p l i n g t o t h es i n u s o i d , t h e v a l u e o f s i n c o t i s a l s o u n k n o w n .T a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f ( 1 )

U ' = & ) V p k C O S c o t ( 2 )a n d a s s u m i n g t h a t v ' c a n b e d e t e r m i n e d , t h e p e a k v a l u e o f t h es i n u s o i d i s d e t e r m i n e d f r o m

V p k 2 = V 2 + . ( 3 )I f ( 1 ) - ( 3 ) a r e a p p l i e d t o t r a n s m i s s i o n l i n e c u r r e n t a n d v o l t a g e ,t h e m o d u l u s o f t h e l i n e i m p e d a n c e c a n b e d e t e r m i n e d . F u r t h e r -m o r e , t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e v o l t a g e a n d c u r r e n t w a v e -f o r m s c a n b e d e t e r m i n e d f r o m

0 = a r c t a n ( i - a r c t a n (,) ( 4 )e n a b l i n g c o m p l e t e i m p e d a n c e d e t e r m i n a t i o n ( s e e A p p e n d i x I If o r d e r i v a t i o n ) .P o w e r S y s t e m A p p l i c a t i o n

T h e p o s s i b l e e x i s t e n c e o f a n e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g d c t r a n -s i e n t o n t h e c u r r e n t a n d v o l t a g e s i g n a l s o f a h i g h - v o l t a g e s y s t e mc a u s e s s o m e d i f f i c u l t i e s i n a p p l i c a t i o n o f t h e a b o v e p r i n c i p l e s .I r o n - c o r e d c u r r e n t t r a n s f o r m e r s w i t h r e s i s t i v e b u r d e n s t r a n s -m i t t h e f u l l a m o u n t o f o f f s e t i n t h e p r i m a r y f a u l t c u r r e n t . T h i sc o m p o n e n t o f t e n t a k e s more t h a n 5 c y c l e s t o d e c a y on t h ep r e s e n t s y s t e m s w i t h h i g h X/R r a t i o s . T h e v o l t a g e c a n a l s oh a v e a n o f f s e t c o m p o n e n t , b u t t h i s i s c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a nt h a t o n t h e c u r r e n t w a v e f o r m . T h e r e l e v a n t e x p r e s s i o n s a r e w e l lk n o w n ( s e e [ 4 ] , [ 5 ] , f o r e x a m p l e ) a n d a r e r e p e a t e d h e r e f o r

2 7 0

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MANN AND MORRISON: DIGITAL CALCULATION OF IMPEDANCE

c o n v e n i e n c e :i i = I l p k [ 5 S i n ( c a t + a - e)e R l t / L 1 s i n ( a - 4 ) 1 ) ] ( 5 )

v l = V l p k [ s i n ( c t + a - 41 + 4 L )s i n ( a -4 ) ) s i n ( 4 ) 4 L ) e - R l t / L l ] . ( 6 )s i n 4 1I n t h e s e e q u a t i o n s , a i s t h e p h a s e o f f a u l t i n c i d e n c e , t h e s u b -

s c r i p t 1 r e f e r s t o p r i m a r y ( s y s t e m ) q u a n t i t i e s , a n d L r e f e r s t ol i n e q u a n t i t i e s .T h e d c o f f s e t i n t h e c u r r e n t s i g n a l c a n b e r e m o v e d u s i n g m i m i ci m p e d a n c e s i n t h e c u r r e n t t r a n s f o r m e r ( C T ) s e c o n d a r y . I f a ni d e a l C T i s c o n n e c t e d t o a s e c o n d a r y b u r d e n h a v i n g t h e s a m eX/R r a t i o a s t h e p r i m a r y c i r c u i t , t h e n t h e v o l t a g e a c r o s s t h eb u r d e n w i l l b e p u r e l y s i n u s o i d a l .A p p l y i n g ( 5 ) t o a CT o f s e c o n d a r y b u r d e n R 2 a n d L 2v ( i R 2 + L 2 d t ) ( 7 )

N 2 FV = 1 1 Z 2 s i n ( c t + a-1+ 0 2 )N ,+ X 2 1 R _ R 2 ) e , - R i t / L i s i n ( a - 4 ) 1 ) ] ( 8 )z 2 X x I X 2 /

w h e r e s u b s c r i p t 2 r e f e r s t o CT s e c o n d a r y . F o r m o r e d e t a i l e dd i s c u s s i o n s e e [ 6 ] .N o t e t h a t t h e c o e f f i c i e n t o f t h e e x p o n e n t i a l t e r m i s z e r o i fX1 X2 ( 9 )R , R 2

E x a c t c a n c e l l a t i o n o f t h e d e o f f s e t i s n o t p o s s i b l e f o r a l l f a u l t s .T h e p r i m a r y X/R t o b e m a t c h e d i s t h a t o f s o u r c e p l u s l i n e t o t h ef a u l t p o i n t , a n d s i n c e i n g e n e r a l t h e s o u r c e X/R i s n o t e q u a l t o t h el i n e X / R , t h e o v e r a l l p r i m a r y X / I R i s a v a r i a b l e q u a n t i t y ,d e p e n d e n t o n h o w f a r a l o n g t h e l i n e t h e f a u l t o c c u r s . T h i sp r o b l e m ma y b e a v o i d e d b y m a t c h i n g t h e s e c o n d a r y b u r d e n t ot h e p r i m a r y X/R c o m p o s e d o f t h e s o u r c e p l u s , s a y , 9 0 p e r c e n t o ft h e l i n e i m p e d a n c e . I t i s f o r f a u l t s n e a r t h e e n d o f t h e l i n e( z o n e 2 ) t h a t t h e m o s t a c c u r a t e i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n s a r er e q u i r e d f o r d i s c r i m i n a t i o n p u r p o s e s , a n d f o r t h e s e f a u l t s t h et r a n s i e n t c o m p o n e n t w i l l b e a l m o s t c o m p l e t e l y r e m o v e d . F o rf a u l t s c l o s e r i n , o f f s e t w i l l b e d r a s t i c a l l y r e d u c e d b u t n o t e n t i r e l yr e m o v e d .W T i t h t h i s p r o v i s i o n f o r t h e r e m o v a l o f o f f s e t d c c o m p o n e n t s ,t h e m e t h o d p r o p o s e d h e r e i n v o l v e s t h e u s e o f a d i g i t a l c o m p u t e rt o c a l c u l a t e n u m e r i c a l l y t h e i m p e d a n c e o f a f a u l t e d t r a n s m i s s i o nl i n e f r o m t h e p r e d i c t e d p e a k v a l u e s o f f a u l t c u r r e n t a n d v o l t a g e .E r r o r T h e o r yS i n c e i t i s p r o p o s e d t o u s e n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n , i t i s n e c e s -s a r y t o c h e c k t h e e r r o r s i n v o l v e d .A s s u m e t h a t t h e w a v e f o r m s a r e s a m p l e d a t a n i n t e r v a l o f A t ,w i t h a c t u a l s a m p l i n g t i m e s b e i n g , , t k l b , , a n d c o r r e -s p o n d i n g s a m p l e d v a l u e s b e i n g , v k ) , v k 1 , . T a k e t o a sb e i n g h a l f w a y b e t w e e n t k a n d t k + l . T h e n

1v O = ( V k + V k + l )

v 0 - A-= A t k + l V 7 0 .( 1 0 )( 1 1 )

T h i s y i e l d s a n e s t i m a t e V O o f V a t t i m e t o , f r o m ( 3 )V o 2 = v 0 2 + (At | )-p k 2 1- 4 s i n 2 C o t o - * .h e n c e

V 0 = V p k 1 - ( t ) s i n 2 , t o + . . .) ( 1 2 )F o r a A t o f 0 . 5 m s , ( 1 2 ) g i v e s a maximum e r r o r i n V o o n a5 0 - H z s y s t e m o f 0 . 1 5 p e r c e n t , w h i c h s h o w s t h a t n u m e r i c a le r r o r s a r e a t l e a s t s m a l l i n t h e o r y .N u m e r i c a l a n a l y s t s l i s t s e v e r a l w a y s o f c a l c u l a t i n g d e r i v a t i v e se . g . , [ 7 ] - [ 9 ] . I n g e n e r a l t h e s e m e t h o d s a r e s e r i e s e x p r e s s i o n s o ff o r w a r d , b a c k w a r d , o r c e n t r a l d i f f e r e n c e s . T h e a c t u a l f o r m u l a sf o r n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y d i f f e r e n t i a t i o no f t h e a p p r o p r i a t e i n t e r p o l a t i o n f o r m u l a . I s a a c s o n a n d K e l l e r[ 9 ] s h o w t h a t i n t e r p o l a t i o n e r r o r s a r e l e a s t n e a r t h e c e n t e r o f t h ei n t e r v a l o f i n t e r p o l a t i o n a n d t h a t a n a n a l o g o u s r e s u l t i s t r u e f o rn u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n . T h u s i n t h e o r y i t s e e m s a d v i s a b l e t ou s e f o r m u l a s o f t h e c e n t r a l d i f f e r e n c e t y p e . H o w e v e r , f o r r e a l -t i m e i m p l e m e n t a t i o n i t ma y b e a d v a n t a g e o u s t o u s e b a c k w a r d

d i f f e r e n c e s b e c a u s e e x i s t i n g s a m p l e s c o u l d b e u s e d f o r i m m e d i a t ed e r i v a t i v e c a l c u l a t i o n ; s e e A p p e n d i x I I I f o r d e t a i l s .S a m p l i n g r a t e i s a n o t h e r v a r i a b l e . P r e s e n c e o f n o i s e w i l lm i t i g a t e a g a i n s t h i g h s a m p l i n g r a t e s , a s w i l l t h e a c c u m u l a t i o n o ft o o m u c h d a t a f o r a n a l r e a d y o v e r w o r k e d c o m p u t e r t o h a n d l e .On t h e o t h e r h a n d , t h e n e e d f o r r a p i d f a u l t d e t e c t i o n i m p l i e s ar e a s o n a b l y h i g h r a t e . O t h e r e f f e c t s , s u c h a s CT s a t u r a t i o n , ma yb e o f i m p o r t a n c e ; i f a CT c a n s a t u r a t e a n d i f t h e f a u l t d e t e c t i o np r o c e s s r e q u i r e s n s a m p l e s , t h e n t h e s e n s a m p l e s w o u l d h a v e t ob e t a k e n b e f o r e s a t u r a t i o n o c c u r s .A t t h i s s t a g e , h o w e v e r , i t w a s d e c i d e d t o s e l e c t t h e s a m p l i n gi n t e r v a l o n t h e b a s i s o f t r u n c a t i o n a n d r o u n d - o f f e r r o r s i n c u r r e di n t h e d e r i v a t i v e e s t i m a t i o n . R a l s t o n [ 7 ] s h o w s t h a t t h e r o u n d -o f f e r r o r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e maximum r o u n d - o f f a n d i n v e r s e l yp r o p o r t i o n a l t o t h e i n t e r v a l o f d i f f e r e n t i a t i o n . T h e t r u n c a t i o ne r r o r , o n t h e o t h e r h a n d , i s p r o p o r t i o n a l t o a p o w e r o f A t d e -p e n d i n g u p o n t h e n u m b e r o f p o i n t s u s e d i n t h e d i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l a ( s e e A p p e n d i x I I I ) . A s u g g e s t i o n f o r a c h o i c e o f i n t e r v a li s t o m a k e t h e u p p e r b o u n d s o f t h e s e t w o e r r o r s e q u a l . I n t h ep r e s e n t c a s e w e f i n d t h a t f o r a t h r e e - p o i n t f o r m u l a a n i n t e r v a l o f0 . 5 ms i s n e a r o p t i m u m a n d t h e u p p e r b o u n d s o f t h o s e e r r o r s a r ei n t h e v i c i n i t y o f 6 X 1 0 - 3 . F o r a f i v e - p o i n t f o r m u l a u s i n g a0 . 5 - m s i n t e r v a l i t w a s f o u n d t h a t t h e s a m p l e d q u a n t i t i e s w o u l dh a v e t o h a v e a t l e a s t 1 0 s i g n i f i c a n t b i t s t o a v o i d r o u n d - o f fe r r o r s b e c o m l n g e x c e s s i v e .T h e s e c o n s i d e r a t i o n s l e d t o t h e t e n t a t i v e s e l e c t i o n o f a s a m p l i n gi n t e r v a l o f 0 . 5 m s , i . e . , 4 0 s a m p l e s p e r c y c l e o n a 5 0 - H z s y s t e m .I n o r d e r t o e s t i m a t e t h e e r r o r s a r i s i n g f r o m t h e n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n d e s c r i b e d a b o v e , i t w a s d e c i d e d t o a p p l y t h em e t h o d t o t h e o r e t i c a l d a t a , i . e . , d a t a f r e e f r o m s y s t e m o r i n s t r u -m e n t a t i o n n o i s e . F r o m ( 5 ) a n d ( 6 ) t h e n o r m a l i z e d e x p r e s s i o n sr e q u i r e d t o g e n e r a t e t h e s e c o n d a r y c u r r e n t a n d v o l t a g e s i g n a l sc a n b e s h o w n t o b ei-sin w t + a _ , + $ , _ s i n ( a -4 ) s i n ( ) - Rs)t / L= s i n ( w t + -)+ s ) 8 - s i n e

( 1 3 )v = s i n ( c t + a-4 + 4 L )

s i n (a-4) s i n ()-4L) e - R t / L ( 1 4 )s i n 4 )

2 7 1

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IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS, JANUARY/FEBRUARY 1 9 7 1V a l u e s o f t h e s e e x p r e s s i o n s a t 0 . 5 - m s i n t e r v a l s o v e r a 5 0 - m sp e r i o d w e r e g e n e r a t e d o f f - l i n e .C o n s t a n t s o c c u r r i n g i n t h e s e e q u a t i o n s w e r e c h o s e n t o c o i n c i d ew i t h m e a s u r e d v a l u e s f r o m t h e m o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e m e n t i o n e di n l a t e r s e c t i o n s ( X / R = 1 0 , X L / I R L = 7 ) . D a t a w e r e g e n e r a t e df o r m a x i m u m , h a l f , a n d z e r o o f f s e t f o r t h e c a s e s o f m a t c h e d a n dm i s m a t c h e d ( X 2 / R 2 = 6 ) C T s .T h e p r o g r a m t o a n a l y z e t h e s e d a t a c o m p u t e s i ' , V ' , I p k a n dV p k , a n d Z f o r e a c h p o i n t . T h e mean v a l u e o f I p k , V p k , a n d Z i sc a l c u l a t e d f o r t h e 1 0 0 p o i n t s a n d t h e " v a r i a n c e " 2 a b o u t t h e meann o t e d a l s o . S i n c e t h e q u a n t i t i e s i n v o l v e d a r e n o t r a n d o m v a r i -a b l e s , t h i s i s n o t a t r u e v a r i a n c e i n t h e s t a t i s t i c a l s e n s e , b u t i td o e s a s s i s t i n t h e o v e r a l l e s t i m a t i o n o f e r r o r s .T h e d a t a g e n e r a t e d w i t h n o o f f s e t h a d maximum e r r o r s f o r Zo f l e s s t h a n 0 . 3 p e r c e n t f r o m t h e m e a n , v e r i f y i n g t h e a c c u r a c i e sp r e d i c t e d .T h e d a t a s e t s w i t h s o m e o f f s e t r e m a i n i n g w h i c h , a l t h o u g h t h e yp r o v i d e d maximum e r r o r s o f 1 0 p e r c e n t i n V p k , l p k , c a l c u l a t e dZ t o w i t h i n 4 1 . 5 p e r c e n t . T h i s r e s u l t a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a tt h e c u r r e n t a n d v o l t a g e s i g n a l s o v e r t h e m a t c h e d CT s e c o n d a r i e sa r e a l m o s t i n p h a s e a n d t h e e r r o r s i n I p k , V p k p a r t i a l l y c a n c e l .On t h i s t h e o r e t i c a l l y g e n e r a t e d d a t a , n o u s e f u l d i s t i n c t i o nc o u l d b e m a d e b e t w e e n u s e o f b a c k w a r d a n d c e n t r a l d i f f e r e n c e s .I n c l u s i o n o f t h e s e c o n d t e r m s i n t h e s e r i e s r e s u l t e d i n m a r g i n a l l ys m a l l e r e r r o r s .S i m i l a r o b s e r v a t i o n s a p p l y t o t h e p h a s e a n g l e d e t e r m i n a t i o no f ( 4 ) . D a t a g e n e r a t e d f o r t h e c a s e o f z e r o o f f s e t m e a s u r e d t h ea n g l e t o a c c u r a c i e s o f t h e o r d e r o f 0 . 1 0 . E f f e c t s d u e t o t h e c u r r e n ta n d v o l t a g e s i g n a l b e i n g a p p r o x i m a t e l y i n p h a s e w e r e o b s e r v e dh e r e a l s o , maximum e r r o r s f o r i n d i v i d u a l v o l t a g e o r c u r r e n tp h a s e b e i n g a r o u n d 3 0 , w h e r e a s t h e maximum p h a s e e r r o r f o ri m p e d a n c e i s l e s s t h a n o r e q u a l t o 1 0 .

E X P E R I M E N T A L R E S U L T SA l u m p ed -e l e me n t m o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e w a s u s e d t o a c q u i r e

d a t a s i m u l a t i n g a f a u l t e d l i n e ( F i g . 1 ) . F a u l t s o f a n y n a t u r ema y b e a p p l i e d b y a p p r o p r i a t e c o n n e c t i o n s t o t h e s e c o n d a r y o ft h e b r e a k e r s h o w n . T h e l o a d w a s s e l e c t e d t o g i v e a r a t i o o f f a u l tt o p r e f a u l t c u r r e n t o f a b o u t 2 0 : 1 .T h e c u r r e n t a n d v o l t a g e s i g n a l s f r o m a s e q u e n c e o f f a u l t s o fd i f f e r e n t p h a s e o f i n c i d e n c e w e r e r e c o r d e d o n a h i g h - p e r f o r m a n c em a g n e t i c t a p e r e c o r d e r . T h e d a t a w a s t h e n p l a y e d b a c k i n t o t h ea n a l o g - d i g i t a l ( A / D ) c o n v e r t e r o f a D i g i t a l E q u i p m e n t C o r -p o r a t i o n ( D E C ) P D P - 8 c o m p u t e r . T h i s s m a l l g e n e r a l - p u r p o s ec o m p u t e r s a m p l e d t h e c u r r e n t a n d v o l t a g e w a v e f o r m s a t 0 . 5 - m si n t e r v a l s f o r 2 c y c l e s b e f o r e a n d 5 c y c l e s a f t e r e a c h f a u l t a n do u t p u t t h e s e d a t a o n t o p a p e r t a p e . T h e d a t a c o u l d t h e n b ep r o c e s s e d o f f - l i n e b y a n I B M 3 6 0 / 5 0 u s i n g t h e p r o g r a m s d e -v e l o p e d i n e a r l i e r s e c t i o n s .T h e p r i m a r y f o c u s o f t h e w o r k d e s c r i b e d w a s t o e s t a b l i s h t h ep o s s i b i l i t y o f u s i n g t h e m e t h o d f o r t h e p r o t e c t i o n o f t r a n s m i s s i o nl i n e s . Much a t t e n t i o n w a s d i r e c t e d i n t h e e x p e r i m e n t a l w o r k t ot h e e s t i m a t i o n o f t h e e r r o r c o n t r i b u t i o n f r o m v a r i o u s s o u r c e s ,w i t h a v i e w t o i s o l a t i n g t h e e r r o r s i n h e r e n t i n t h e m e t h o d a n dt h o s e t h a t c a n b e a n t i c i p a t e d i n t h e p o w e r s y s t e m c o n t e x t .E r r o r s o u r c e s r e q u i r i n g p a r t i c u l a r a t t e n t i o n w e r e t h e A/Dc o n v e r t e r , t h e t a p e d e c k , a n d t h e c o m p u t e r i n t e r f a c e . T h e s ew e r e e v a l u a t e d b y s e l e c t i v e l y o m i t t i n g t h e m f r o m t h e e x p e r i -m e n t a l e q u i p m e n t , a n d b y u s i n g a k n o w n 5 0 - H z s i n e w a v e t h ev a r i a t i o n o f t h e e r r o r i n t h e e s t i m a t e s o f p e a k v a l u e s w a s n o t e d .F i r s t , i t w a s f o u n d t h a t t h e t a p e d e c k a n d i n t e r f a c e e q u i p m e n tc o n t r i b u t e d l e s s t h a n 1 p e r c e n t t o t h e maximum e r r o r s , t h i s b e i n gc o n s i s t e n t w i t h t h e s t a n d a r d o f e q u i p m e n t u s e d .

CONTROL U N I TSTOP STARTC . T .

S O U R C E L I N E5 0 H z 0 | V . T . K LOAD

F i g . 1 . M o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e .T h e A/D c o n v e r t e r u s e d w a s t h e D E C - 1 3 8 [ 1 0 ] , [ 1 1 ] . T h ee a r l i e r c o n s i d e r a t i o n o f t h e a c c u r a c y i n d i c a t e d a 1 0 - b i t d i g i t a lo u t p u t a s b e i n g d e s i r a b l e , a n d t h i s m a t c h e d t h e a c c u r a c ya v a i l a b l e a t t h e a n a l o g i n p u t . I n t h e a b s e n c e o f a s a m p l e a n dh o l d u n i t , r a t e o f c h a n g e e r r o r s i n t h e c o n v e r t e r w e r e e n c o u n -t e r e d . I t w a s n o t f o u n d p o s s i b l e t o o b t a i n a c c u r a c y t o 1 0 b i t s a tt h e maximum r a t e s o f c h a n g e ; e v e n w i t h t h e f a s t e s t s e t t i n g o ft h e s w i t c h i n g p o i n t s e l e c t o r , o n l y 8 b i t s a r e s i g n i f i c a n t n e a r t h ez e r o c r o s s i n g s . E x p e r i m e n t a l l y i t w a s f o u n d t h a t t h e A/ D c o n -v e r t e r i n t r o d u c e d maximum e r r o r s o f A 2 . 5 p e r c e n t i n t h e c a l -

c u l a t e d p e a k v a l u e s w i t h a v a r i a n c e , a s p r e v i o u s l y d e f i n e d , o f1 . 2 p e r c e n t f o r 1 0 0 s a m p l e s .T h u s , w i t h t h e e q u i p m e n t u s e d , e r r o r s o f -4 p e r c e n t i np e a k v o l t a g e a n d c u r r e n t v a l u e s w e r e a n t i c i p a t e d f r o m s o u r c e so t h e r t h a n n o i s e o n t h e i n p u t s i g n a l .D i g i t a l S m o o t h i n gTo a v o i d e x c e s s i v e e r r o r d u e t o t h i s n o i s e i t w a s d e c i d e d t oi n v e s t i g a t e t h e u s e o f d i g i t a l s m o o t h i n g o f t h e s a m p l e d d a t a .To s e l e c t t h e d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n , i t w a s n o t e d t h a t m a x i -mu m e r r o r s s e e m m o r e l i k e l y t o o c c u r o n t h e s t r a i g h t s e g m e n t o ft h e s i n e w a v e n e a r t h e z e r o c r o s s i n g s , b e c a u s e h e r e t h e d i f f e r e n t i a lt e r m i s t h e l a i g e r c o n t r i b u t i o n t o ( 1 ) , t h e e x p r e s s i o n f o r V p k .A s t r a i g h t - l i n e o r f i r s t - d e g r e e a p p r o x i m a t i o n i s t h u s s e l e c t e d .

F u r t h e r m o r e , n o m o r e t h a n t h r e e - p o i n t s m o o t h i n g s e e m s a d v i s -a b l e s i n c e t h e p r o c e s s w o u l d i n c o r p o r a t e t o o l a r g e a t i m e d e l a yi n t o t h e o v e r a l l c a l c u l a t i o n s .W i t h t h e s e r e q u i r e m e n t s , l e a s t s q u a r e s f o r m u l a s [ 7 ] g i v e t h ef o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r d i g i t a l l y s m o o t h e d s a m p l e v a l u e s :V n - I = 6 ( 5 v n - 1 + 2 V n - V n + l )6

V n = 1 ( V n - 1 + V n + V n + l )31V n i = - ( - V n - l . + 2 v n + 5 V n + i ) .6

( 1 5 )( 1 6 )( 1 7 )

R a l s t o n r e c o m m e n d s t h e c e n t r a l e x p r e s s i o n b e u s e d w h e r e v e rp o s s i b l e . T h e f i r s t a n d t h i r d e x p r e s s i o n s u s e o n l y f o r w a r d a n d b a c k -w a r d p o i n t s , r e s p e c t i v e l y , a n d w o u l d t h u s b e s u i t a b l e f o r t h ef i r s t o r l a s t p o i n t s i n t h e r e c o r d .I n o u r c a s e , i f t h e c e n t r a l e x p r e s s i o n ( t h e s e c o n d ) h a s o n l ym a r g i n a l l y b e t t e r s m o o t h i n g e f f e c t s t h a n t h e b a c k w a r d ( t h et h i r d ) , i t ma y b e a d v i s a b l e t o u s e t h e b a c k w a r d e x p r e s s i o n ,s i n c e a f t e r a n y g i v e n s a m p l e i s t a k e n a s m o o t h e d v a l u e c a n b eg e n e r a t e d w i th d at a a l r e a d y i n h a n d .R e s u l t s f r o m M o d e l T ra n sm i s si o n L i n e

D a t a f r o m t h e m o d e l l i n e w e r e c o n v e r t e d t o a f o r m u s a b l e b yt h e IBM 3 6 0 / 5 0 a s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . B a s i c a l l y , t w o t y p e s o fp r o g r a m w e r e r u n . T h e f i r s t p r o c e s s e d t h e 1 0 0 s a m p l e s o v e r t h e

2 7 2

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4/10

MANN AND MORRISON: DIGITAL CALCULATION OF IMPEDANCETABLE IP O S T F A U L T R E S U L T S , MODEL L I N E

I V zMaximum Maximum MaximumV a r i a n c e E r r o r s V a r i a n c e E r r o r s V a r i a n c e E r r o r sT e s t R u n s ( p e r c e n t ) a b o u t Mean ( p e r c e n t ) a b o u t Mean ( p e r c e n t ) a b o u t Mean

1 ) C e n t r a l d i f f e r e n c e - f i r s tt e r m o n l y 3 . 6 + 6 . 4 , - 1 2 . 9 4 . 4 + 1 1 . 5 , -9.8 6 . 0 + 1 9 . 5 , - 1 0 . 62 ) C e n t r a l d i f f e r e n c e -s ec o n d t e r m 4 . 0 + 7 . 6 , - 1 4 . 3 5 . 7 + 1 5 . 8 , -12.5 7 . 6 + 2 4 . 6 , -15.03 ) B a c k w a r d d i f f e r e n c e - -s e c o n d t e r m 6 . 8 + 1 4 . 5 , - 1 3 . 2 6 . 8 + 1 5 . 8 , -12.9 6 . 1 + 2 1 . 6 , - 1 0 . 04 ) R e p e a t o f r u n s 2 . 9 + 3 . 8 , -9.6 2 . 3 + 5 . 7 , -4.9 3 . 7 + 1 2 . 9 , -5.95 ) 1 - 3 w i t h d i g i t a l 3 . 0 + 4 . 1 , - 1 0 . 2 2 . 6 - + 6 . 5 , -5.6 4 . 0 + 1 4 . 4 , -7.06 ) s m o o t h i n g 6 . 5 + 1 2 . 1 , - 1 0 . 0 5 . 7 + 1 3 . 6 , -7.9 4 . 0 + 1 4 . 3 , -5.67 ) R e p e a t o f r u n 2 w i t h e n dp o i n t s m o o t h i n g 4 . 0 + 7 . 8 , - 1 3 . 9 5 . 5 + 1 4 . 1 , - 1 3 . 1 7 . 3 + 2 6 . 3 , - 1 3 . 0

-0-D- v o l t a g e-A-A- c u r r e n t--X-- X-- i m p e d a n c e-0-0- i m p e d a n c e s m o o t h i n gF i g . 2 . F a u l t A m o d e l l i n e . D o t t e d s e c t i o n s o f c u r v e s r e p r e s e n tt r a n s i t i o n f r o m p r e f a u l t t o p o s t f a u l t c o n d i t i o n s ; e f f e c t o f d i g i t a ls m o o t h i n g r e a d i l y s e e n f r o m r e s u l t s . N o t e t h a t r e l i a b l e i m p e d a n c ec a l c u l a t i o n ( i . e . , w i t h i n 4 + 1 0 p e r c e n t ) i s p o s s i b l e f o r s i x t h p o s t f a u l ts a m p l e , i . e . , 3 ms a f t e r f a u l t .

_z_z_-A-A---x -x--0-0-F i g . 4 .

I

V&I

v o l t a g ec u r r e n ti m p e d a n c ei m p e da n c e s m o o t h i n gF a u l t C m o d e l l i n e .

zP U

-f-f- v o l t a g e-A-A- c u r r e n t- - X - X- - i m p e d a n c e-0-0- i m p e d a n c e s m o o t h i n gF i g . 3 . F a u l t B m o d e l l i n e .

I' 4IIIIA

- k t szp u1

. 5

0 2 \: 6 8i-MS AFTERF A U L T-fl-fl- voltage-A-A- currentX x impedance-0-0--impedance smoothing

F i g . 5 . FaultDmodel l i n e .

1

V& ,

- 1

V&

2 7 3

7/30/2019 04074334

5/10

I E E E T R A N S A C T I O N S O N POWER A P P A R A T U S AND S Y S T E M S , J A N U A R Y / F E B R U A R Y 1 9 7 1TABLE I IP O S T F A U L T R E S U L T S , * ECNSW DATA

I V zMaximum Maximum MaximumV a r i a n c e E r r o r s V a r i a n c e E r r o r s V a r i a n c e E r r o r s( p e r c e n t ) a b o u t Mean ( p e r c e n t ) a b o u t Mean ( p e r c e n t ) a b o u t Mean

5 . 33 . 9 1 0 . 8 , - 1 3 . 59 . 1 , -7.5* R e s u l t s o n s e c o n d l i n e r e f l e c t d i g i t a l s m o o t h i n g .

L L i0

I

3 . 01 . 9 + 6 . 3 , -7.5+ 4 . 1 , - 5 . 0 5 . 64 . 2 1 3 . 1 , -13.78 . 8 , -12.2

000-X-X- v o l t a g e-O---0- currentF i g . 6 . F a u l t B m o d e l l i n e , p h a s e p l o t .

f a u l t p o i n t t o a l l o w s t u d y o f t r a n s i e n t b e h a v i o r . Th e s e c o n dc o n s i d e r e d 1 0 0 s a m p l e s i n t h e p o s t f a u l t s t e a d y - s t a t e r e g i o n t oa l l o w more r e a d y s t a t i s t i c a l t r e a t m e n t .Th e t a b u l a t i o n o f t h e r e s u l t s f o r one t y p i c a l f a u l t i l l u s t r a t e st h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e v a r i o u s n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n sa n d i n t h e e f f e c t s o f d i g i t a l s m o o t h i n g ( T a b l e I ) .T h e d i f f e r e n t d i f f e r e n t i a t i o n t e c h n i q u e s d o n o t g i v e r a d i c a l l yd i f f e r e n t e r r o r s . T h e c e n t r a l d i f f e r e n c e expression w i t h t h es e c o n d t e r m i s s l i g h t l y w orse t h a n t h e e x p r e s s i o n w i t h o n l y t h ef i r s t t e r m i n c l u d e d . T h e b a c k w a r d d i f f e r e n c e e x p r e s s i o n y i e l d sa c c u r a c i e s s i m i l a r t o t h e c e n t r a l d i f f e r e n c e e x p r e s s i o n s i n t h ecase o f i m p e d a n c e v a l u e s b u t n o t i n t h e case o f p e a k c u r r e n ta n d v o l t a g e , w h i c h a re s i g n i f i c a n t l y worse.

T h e e f f e c t s o f d i g i t a l s m o o t h i n g a re q u i t e m a r k e d . C o m p a r i n gr u n s 2 , 5 , a n d 7 , i t c a n b e seen t h at t he c e n t r a l e x p r e s s i o n f o rs m o o t h i n g i m p r o v e s a c c u r a c i e s c o n s i d e r a b l y , w h e r e a s t h e e n dp o i n t e x p r e s s i o n m a k e s o n l y a m a r g i n a l d i f f e r e n c e .O v e r a l l maximum errors i n Z f r o m 8 0 0 c a l c u l a t i o n s u s i n g as e r i e s o f 8 f a u l t s were +1 6 p e r c e n t , -1 0 p e r c e n t , w i t h v a r i a n c eo f t h e s e c a l c u l a t i o n s a b o u t 3 . 5 p e r c e n t a b o u t t h e mean. M a x i -mum e r r o r s i n V p k a n d l p k were a l w a y s l e s s t h a n 1 0 p e r c e n t o ft h e me a n .R e s u l t s f r o m t h e t r a n s i e n t s t u d y a re s h o w n i n F i g s . 2 - 5 .T h e h o r i z o n t a l s c a l e f o r e a c h i s t i m e , a n d v , i , a n d Z a re s h o w n ;Z appears b o t h w i t h a n d w i t h o u t d i g i t a l s m o o t h i n g . E a c h o f t h ef i g u r e s r e p r e s e n t s a f a u l t o f d i f f e r e n t p h a s e .R e s u l t s f o r t h e a n g l e d e t e r m i n a t i o n a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r t h e

- 0 - E J - v o l t a g e-A-A- c u r r e n t- - - X - - i m p e d a n c e-O--O-- i m p e d a n c e s m o o t h i n gF i g . 7 . F a u l t E , 1 3 2 - k V ECNSW g r i d .

m o d u l u s . To o b s e r v e t h e b e h a v i o r o f t h e a n g l e m e a s u r e m e n t so v e r t h e f a u l t p o i n t s e e F i g . 6 .T h e d i s t u r b a n c e s i n v o l t a g e p h a s e a n d c u r r e n t p h a s e s e t t l ed o w n b y t h e s i x t h p o s t f a u l t s a m p l e a l s o . T h i s i s r e p r e s e n t a t i v eo f a l l t h e r e s u l t s . E x c l u d i n g t h e s a m p l e s i m m e d i a t e l y a r o u n d t h ef a u l t p o i n t , t h e maximum e r r o r s f r o m t h e l i n e o f b e s t f i t w e r e t 5 0 f o r v o l t a g e a n d 7 0 f o r c u r r e n t , t h i s b e i n g t r u e f o r a l lr u n s . I t i s t h u s a p p a r e n t t h a t t h e a n g l e o f t h e i m p e d a n c e w o u l db e a c c u r a t e t o w i t h i n 1 2 .I t s h o u l d b e n o t e d t h a t , i n F i g s . 2 - 6 , t he c ur re n t i h a s b e e ns h i f t e d i n p h a s e b y 1 8 0 0 f o r g r e a t e r c l a r i t y .R e s u l t s f r o m H i g h - V o l t a g e G r i d

S e v e r a l r e c o r d i n g s w e r e t a k e n o f s i n g l e p h a s e - t o - g r o u n df a u l t s o n t h e E l e c t r i c i t y C o m m i s s i o n o f New S o u t h W a l e s(ECNSW) g r i d . T h e s e f a u l t s w e r e a t 1 3 2 kV a t t h e e n d o f a 2 3 -m i l e l i n e t h a t w a s o p e n c i r c u i t p r i o r t o t h e f a u l t .R e p r e s e n t a t i v e r e s u l t s t a k e n f ro m o n e o f t h e s e f a u l t s a r es h o w n i n T a b l e I I , w h i c h r e l a t e s m o r e t h a n 1 0 0 s a m p l e s t o t h ep o s t f a u l t s t e a d y s t a t e .T h e m a g n i t u d e s o f e r r o r s a r e s i m i l a r t o t h o s e f o r d a t a f r o m t h em o d e l l i n e .T h e g r a p h i c a l p l o t ( F i g . 7 ) o f v , i , a n d Z o v e r t he f a u l t i s a l s os h o w n .No s p e c i a l p r o v i s i o n w a s made w h i l e r e c o r d i n g t o m a t c h t h eC T s e c o n d a r y ; t h u s t h e r e i s s o m e o f f s e t p r e s e n t i n t h e c u r r e n ts i g n a l . S i n c e t h e X/R r a t i o o f t h e o v e r a l l s o u r c e p l u s l i n e a t t h e

2 7 4

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6/10

MANN AND MORRISON: DIGITAL CALCULATION OF IMPEDANCE

r e l a y i n g p o i n t w a s a b o u t 5 , t h i s o f f s e t d e ca y s r e as o n a b l y q u i c k l y .T h e o f f s e t i s a p p a r e n t o n b o t h t h e Z p l o t a n d t h e p l o t o f c u r r e n ta n g l e .T h e o s c i l l a t o r y n o i s e s u p e r i m p o s e d o n t h e v o l t a g e a n d c u r r e n ti m p o s e s q u i t e a s e v e r e t e s t o n t h e m e t h o d . T h e u s e o f d i g i t a ls m o o t h i n g w a s a b s o l u t e l y n e c e s s a r y f o r t h e s e f a u l t s .I n g e n e r a l t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n t h e s e r e s u l t s a n d t h o s e o f t h em o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e c o n f i r m e d t h e v a l i d i t y o f t h e m e t h o da n d d em o n s tr at ed i t s a p p l i c a b i l i t y i n a p o w e r s y s t e m e n v i r o n -m e n t .C a l c u l a t i o n T i m e s

T h e c a l c u l a t i o n s d e s c r i b e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s w e r e a l lc o n d u c t e d o f f - l i n e . S i n c e t h e m e t h o d i s i n t e n d e d f o r o n - l i n ei m p l e m e n t a t i o n , c a l c u l a t i o n t i m e s f o r a s m a l l p r o c e s s c o m p u t e rh a v e b e e n e s t a b l i s h e d .T h e c o m p u t e r u s e d w a s a D E C P D P 8 . T h i s i s a s m a l l g e n e r a l -p u r p o s e c o m p u t e r w i t h a 1 2 - b i t t w o ' s c o m p l e m e n t a r i t h m e t i c .I t h a s a 4 K r a n d o m a d d r e s s m a g n e t i c c o r e w i t h a c y c l e t i m e o f1 . 5 u s , a n d h a r d w a r e m u l t i p l y d i v i d e f a c i l i t i e s [ 1 0 ] .T h e e x p r e s s i o n s f o r i m p e d a n c e a n d p h a s e w e r e c a l c u l a t e d o nt h e PDP8 a n d t h e c a l c u l a t i o n s t i m e d . D i g i t a l s m o o t h i n g w a s n o ti n c l u d e d s i n c e b e f o r e a n y p a r t i c u l a r s a m p l e i s s t o r e d i t i s e n v i s -a g e d t h a t s m o o t h i n g w i l l b e p e r f o r m e d a n d t h e s m o o t h e dv a l u e s t o r e d . T i m e o f c a l c u l a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e w a s n o ti n c l u d e d s i n c e t h i s w o u l d p r o b a b l y b e p e r f o r m ed a s t h e s a m p l e dv a l u e s b e c o m e a v a i l a b l e . T h e f u n c t i o n c a l c u l a t e d w a s= a 2 + b 2 ( 1 8 )c 2 + d 2

S i n c e s q u a r i n g r e m o v e s a l l s i g n p r o b l e m s , u n s i g n e d m u l t i -p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n r o u t i n e s c o u l d b e u s e d . T o t a l t i m e w a s2 6 0 A s . T h e e x p r e s s i o n f o r a n g l e i sa c0 = a r c t a n - a r e t a n - d ( 1 9 )b dT h e c a l c u l a t i o n o f a r c t a n g e n t s i s t i m e c o n s u m i n g b y e x a c tm e a n s . To o v e r c o m e t h i s a p r o g r a m u s i n g a c o a r s e t a b l e l o o k u pw a s u se d- th i s d i v i d e d t h e r a n g e o f 0 t o 4 5 0 i n t o 3 2 i n t e r v a l s .F i n a l c a l c u l a t i o n o f a r c t a n a / b w a s a c c u r a t e t o 1 0 a n d t o o k2 4 0 , u s . T h u s o v e r a l l c a l c u l a t i o n t i m e s f o r 4 w e r e 4 8 0 , s .

C O N C L U S I O N SF r o m t h e f o r e g o i n g i t c a n b e s e e n t h a t , f o r a f a u l t e d s i n g l e -p h a s e l i n e , t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e c a l c u l a t e s t h e m o d u l u s o f t h ei m p e d a n c e t o w i t h i n J 1 0 p e r c e n t a n d t h e a r g u m e n t t o w i t h i n1 5 0 . M e a s u r e m e n t s t o a t l e a s t t h i s a c c u r a c y s h o u l d b e a v a i l a b l e5 ms a f t e r f a u l t o c c u r r e n c e . F u r t h e r m o r e , i t s e e m s t h a t t h e

m e t h o d i s r e a d i l y a d a p t a b l e t o t h e s m a l l , p r o c e s s - c o n t r o l t y p eo f c o m p u t e r a n d t h a t t h e c a l c u l a t i o n s c a n b e p er fo r m e d i na c c e p t a b l y s m a l l t i m e s .T h e l o g i c o f e x t e n s i o n o f c a l c u l a t i o n s t o a t h r e e - p h a s e l i n ea n d t o g r o u p s o f t h e s e l i n e s s e e m s s t r a i g h t f o r w a r d a n d i s u n d e ra c t i v e i n v e s t i g a t i o n a t p r e s e n t .S e v e r a l o t h e r c o m m e n t s a r i s e f r o m t h e w o r k d e s c r i b e d . F i r s t ,i t i s a s s u m e d t h a t c o n v e n t i o n a l i r o n - c o r e d v o l t a g e a n d c u r r e n tt r a n s f o r m e r s a r e t h e p r i m e s o u r c e s o f f a u l t d a t a . S u c h d a t a w i l lb e o f a c c e p t a b l e a c c u r a c y s i n c e t h e A/ D c o n v e r s i o n d e v i c e sp l a c e l o w v o l t a m p e r e r e q u i r e m e n t s o n t h e p r o t e c t i v e t r a n s -f o r m e r s , a n d c o m m o n p r o b l e m s o f s a t u r a t i o n c a n b e a v o i d e d .T h e a c c u r a c y o f t h e m e t h o d c o u l d o n l y b e n e f i t f r o m t h e u s e o fa n y n e w t y p e o f t r a n s d u c e r .

L L JC ]L LI )0 r A - MSA F T E R F A U L T

0 0000

-X-X- v o l t a g e- O C { - - O - c u r r e n tF i g . 8 . F a u l t E , 1 3 2 - k V d a t a , p h a s e p l o t .S e c o n d , a p r i o r k n o w l e d g e o f t h e e x i s t e n c e o f a f a u l t i s n o tr e q u i r e d s i n c e t h e s h a r p d e c r e a s e i n l i n e i m p e d a n c e i s i n i t s e l fa n i n d i c a t i o n o f t h e p r e s e n c e o f a f a u l t . From F i g s . 2 - 8 i t c a nb e s e e n t h a t i m p e d a n c e a n d a n g l e v a l u e s o f r e d u c e d a c c u r a c ya r e a v a i l a b l e i n t i m e s c o n s i d e r a b l y l e s s t h a n 5 m s , a n d t h e s ec o u l d w e l l b e u s e d f o r s t a r t i n g m o r e r e f i n e d m e a s u r e m e n tt e c h n i q u e s . A f u r t h e r p o s s i b l e f a u l t d e t e c t i o n a p p l i c a t i o nw o u l d b e t h e c o n t i n u o u s c o m p u t a t i o n o f V p k a t t h e v a r i o u s b u sv o l t a g e l e v e l s i n t h e s u b s t a t i o n , a s u d d e n d r o p i n v o l t a g e i n -d i c a t i n g t h e o c c u r r e n c e o f a f a u l t w i t h i n o n e o f t h e p r o t e c t i o nz o n e s .T h i r d , t h e e x p e r i m e n t a l w o r k d e s c r i b e d i n d i c a t e s t h e n e e d f o rc a r e f u l c h o i c e o f A/D c o n v e r s i o n e q u i p m e n t f o r t h e d i g i t a l c o m -

p u t e r t o b e u s e d i n s u b s t a t i o n a p p l i c a t i o n s . T h e u n i t u s e d i n t h i sc a s e w a s n o t i d e a l e i t h e r i n a c c u r a c y o r s p e e d . I m p r o v e d p e r f o r m -a n c e i n t h e s e r e g a r d s p r o m i s e a f u r t h e r i m p r o v e m e n t i n t h eo v e r a l l a c c u r a c y o f i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n .APPENDIX I

D E F I N I T I O N O F TERMSv , i i n s t a n t a n e o u s p h a s e v o l t a g e a n d c u r r e n t , r e s p e c -t i v e l yV k v a l u e o f v , s a m p l e d a t t i m e t kV p k , l p k p e a k v a l u e s o f p h a s e v o l t a g e a n d c u r r e n t , r e s p e c -t i v e l yv ' , i t i n s t a n t a n e o u s v a l u e s o f f i r s t d e r i v a t i v e s o f p h a s e

v o l t a g e a n d c u r r e n t , r e s p e c t i v e l yV o e s t i m a t e o f V p k a t t i m e t op h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n v o l t a g e a n d c u r r e n t ;i . e . , i m p e d a n c e a n g l e , t a n - ' w L / R w h e r e Z =R + j c o La 1 ! p h a s e o f i n c i d e n c e o f f a u l t a s m e a s u r e d f r o mp o s i t i v e - g o i n g z e r o c r o s s i n g o f t h e s o u r c e v o l t a g eN 2 / N 1 CT r a t i oV y k = ( Y k -Y k - 1 )b Y k = ( Y k + 1 / 2 -Y k - 1 1 2 )A Y k = ( Y k + 1 1 2 + Y k - 1 1 2 ) .2

2 7 5

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I E E E T R A N S A C T I O N S O N POWER A P P A R A T U S AND S Y S T E M S , J A N U A R Y / F E B R U A R Y 1 9 7 1S u b s c r i p t s a r e b e s t e x p l a i n e d f r o m F i g . 1 :L q u a n t i t i e s r e l a t i n g t o l i n e f r o m r e l a y i n g p o i n t t o f a u l t1 CT p r i m a r y q u a n t i t i e s r e l a t i n g t o o v e r a l l s o u r c e p l u sl i n e2 q u a n t i t i e s m e a s u r e d i n C T s e c o n d a r y c i r c u i t .

U n s u b s c r i p t e d q u a n t i t i e s d e n o t e g e n e r a l w a v e f o r m s , e . g . ,( 1 ) r e f e r s t o a s i n u s o i d a l v o l t a g e s i g n a l i n g e n e r a l .

A P P E N D I X I ID E R I V A T I O N O F ( 3 ) AND ( 4 )

T o d e r i v e ( 3 ) f r o m ( 1 ) a n d ( 2 ) , f i r s t r e w r i t e ( 2 ) a s-= V p k c o s c o t . ( 2 0 )co

S q u a r i n g a n d a d d i n g ( 1 ) a n d ( 2 0 ) g i v e sV p k = V p k 2 ( s i n 2 c o t + c o s 2 c o t ) = v 2 + (5)

w h i c h i s ( 3 ) .E q u a t i o n ( 1 ) d i v i d e d b y ( 2 0 ) i st V- V p k s i n c o t c o = V a r, V p k c o s c o t i . e . , c o t ( - a r y t a n ( 2 1 )V t V p k C OS C O t ' V I

I f t h e c u r r e n t w a v e f o r m i s r e p r e s e n t e d a si = I p k s i n ( c o t + 4 ) ( 2 2 )

t h e n i n a s i m i l a r f a s h i o n( c o t + ' ) = a r c t a n ( V) ( 2 3 )

a n d ( 4 ) r e s u l t s f r o m s u b t r a c t i n g ( 2 1 ) f r o m ( 2 3 ) , i . e . , = a r c t a na r c t a n ( .

A P P E N D I X I I ID I F F E R E N T I A T I O N F O R M U L A S

U s i n g t h e s t a n d a r d n o t a t i o n s v , 6 , a n d , f o r t h e o p e r a t i o n s o fb a c k w a r d d i f f e r e n c i l n g , c e n t r a l d i f f e r e n c i n g , a n d a v e r a g i n g ,r e s p e c t i v e l y , t h e b a s i c c e n t r a l d i f f e r e n c e e x p r e s s i o n f o r t h ed e r i v a t i v e [ 8 ] i sh Y k ' =( - $ 4 6 Yk3-Y

w h e r e h = A t a n d y s t a n d s f o r v o r i .U s i n g t h e f i r s t t e r m o n l yI = 1h Y k - ( Y k + I -Y k - 1 )2

a n d w i t h a s e c o n d t e r mhy1'-3A ( y 2 e - y e - i 1 j Y X - 2 }

F o r b a c k w a r d d i f f e r e n c e shyk'=(V - )2-

U s i n g t h e f i r s t t e r m o n l yh y k ' = Y k - Y k - I

a n d w i t h a s e c o n d t e r mh y 7 c = 1 ( Y - Y k - 2 ) -2

( 2 8 )

( 2 9 )N o t e t h a t ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) f o r y e ' i n v o l v e s a m p l e v a l u e s a tt i m e s l a t e r t h a n t k , w h e r e a s ( 2 8 ) a n d ( 2 9 ) d o n o t . T h u s b o t hc e n t r a l a n d b a c k w a r d d i f f e r e n c e s w e r e c o n s i d e r e d a s p o s s i b l ew a y s o f p e r f o r m i n g t h e d i f f e r e n t i a t i o n .

A C K N O W L E D G M E N TT h e a u t h o r s w i s h t o a c k n o w l e d g e t h e v a l u a b l e c o l l a b o r a t i o no f t h e i r c o l l e a g u e s , G . C . D e w s n a p , A . D . M c l n n e s , a n d G . H .C o u c h .

R E F E R E N C E S '[ 1 ] I . F . M o r r i s o n , " P r o s p e c t s o f o n - l i n e c o m p u t e r c o n t r o l i nt r a n s m i s s i o n s y s t e m s a n d s u b s t a t i o n s , " E l e c . E n g . T r a n s . , I n s t .E n g . , A u s t r a l i a . , v o l . E E 3 , p p . 2 3 4 - 2 3 6 , S e p t e m b e r 1 9 6 7 .[ 2 ] G . D . R o c k e f e l l e r , " F a u l t p r o t e c t i o n w i t h a d i g i t a l c o m p u t e r , "I E E E T r a n s . P o w e r A p p . S y s t . , v o l . P A S - 8 8 , p p . 4 3 8 - 4 6 4 ,A p r i l 1 9 6 9 .[ 3 1 B . J . M a n n , " R e a l t i m e c o m p u t e r c a l c u l a t i o n o f t h e i m p e d a n c eo f a f a u l t e d s i n g l e p h a s e l i n e , " E l e c . E n g . T r a n s . , I n s t . E n g . ,A u s t r a l i a , v o l . E E 4 , p p . 2 6 - 2 8 , M a r c h 1 9 6 9 .[ 4 ] P . M a t h e w s , P r o t e c t i v e C u r r e n t T r a n s f o r m e r s a n d C i r c u i t s .L o n d o n : Chapman a n d H a l l , 1 9 . 5 5 , c h . 6 , 7 .[ 5 1 P . M a t h e w s a n d B . D . N e l l i s t , " T r a n s i e n t s i n d i s t a n c e p r o t e c -t i o n , " P r o c . I n s t . E l e c . E n g . ( L o n d o n ) , v o l . 1 1 0 , p p . 4 0 7 - 4 1 8 ,F e b r u a r y 1 9 6 3 .[ 6 1 A . W r i g h t , C u r re n t T r a n s fo r m er s : T h e i r T r a n s i e n t a n d S t e a d y -S t a t e P e r f o r m a n c e . L o n d o n : Chapman a n d H a l l , 1 9 6 8 .[ 7 ] A . R a l s t o n , A F i r s t C o u r s e i n N u m e r i c a l A n a l y s i s . New Y o r k :M c G r a w - H i l l , 1 9 6 5 .[ 8 ] L . F o x , N u m e r i c a l S o l u t i o n o f O r d i n a r y a n d P a r t i a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s . L o n d o n : P e r g a m o n ; R e a d i n g , M a s s . : A d d i s o n -W e s l e y , 1 9 6 2 .[ 9 ] E . I s a a c s o n a n d H . B . K e l l e r , A n a l y s i s o f N V u m e r i c a l M e t h o d s .Ne w Y o r k : W i l e y , 1 9 6 6 .[ 1 0 ] D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n , S m a l l C o m p u t e r H a n d b o o k ,1 9 6 6 - 1 9 6 7 .[ 1 1 ] , L o g i c H a n d b o o k , 1 9 6 8 e d .

D i s c u s s i o n( 2 4 ) G . H o p e , D . B e l l , a n d S . J u r a ( U n i v e r s i t y o f C a l g a r y , C a l g a r y ,A l t a . , C a n a d a ) : T h e a u t h o r s p r e s e n t a v e r y v a l u a b l e p a p e r i n t h ef i e l d o f d i g i t a l p r o t e c t i o n o f t r a n s m i s s i o n l i n e s . Many u n i v e r s i t i e sa n d c o m p a n i e s a r e n ow w o r k i n g v e r y h a r d i n t h i s a r e a . T h e r e w e r ev e r y f e w p e o p l e f i v e y e a r s a g o wh o b e l i e v e d t h a t i t wa s p o s s i b l e t or e a l i z e a d i g i t a l p r o t e c t i o n s y s t e m b y u s i n g a s m a l l d i g i t a l c o m p u t e r .( 2 5 ) T h e o p i n i o n s a r e c h a n g i n g v e r y s l o w l y , b u t we c a n s a y t h a t t h en u m b e r o f b e l i e v e r s i s i n c r e a s i n g , a n d t h i s e x c e l l e n t p a p e r s h o w sf u r t h e r t h e p o s s i b i l i t y o f p r o v i n g t h e u s e o f d i g i t a l m e t h o d s f o r p o w e rs y s t e m p r o t e c t i o n .I t i s n e c e s s a r y t o d e t e c t a f a u l t v e r y f a s t , a n d i t s e e m s t o u s t h a t( 2 6 ) t h e m e t h o d d e s c r i b e d i n t h e p a p e r i s v e r y s u i t a b l e f o r t h i s p u r p o s eb e c a u s e i t m a k e s p o s s i b l e t h e c a l c u l a t i o n o f t h e w a v e f o r m b e f o r e i to c c u r s . W e a r e n o t s u r e , h o w e v e r , i f t h e a c h i e v e d a c c u r a c y i s s u f f i -c i e n t .( 2 7 ) M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 1 2 , 1 9 7 0 .

2 7 6

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MANN AND MORRISON: DIGITAL CALCULATION OF IMPEDANCET h e u s e o f a c o a r s e l o o k u p t a b l e i s a g o o d s o l u t i o n f o r s h o r t e n i n go f a c a l c u l a t i o n t i m e . N e v e r t h e l e s s , f o r a l a r g e n e t w o r k , t h e c a p a -b i l i t i e s o f a s m a l l d i g i t a l c o m p u t e r p r o b a b l y w i l l n o t b e s u f f i c i e n t .T h e u s e o f h a r d w a r e i m p l e m e n t i n g i n s t r u c t i o n ma y b e a g r e a t h e l p .C o m m e n t s o n s p e e d a n d c o r e r e q u i r e m e n t s n e c e s s a r y t o p r o t e c ts e v e r a l l i n e s w o u l d b e v e r y u s e f u l .T h e m o d e l u s e d h a s some l i m i t a t i o n s . When c o n s i d e r i n g v o l t a g el e v e l s o f 7 3 5 a n d 5 0 0 k V , w h i c h c o n s t i t u t e p o s s i b l y t h e most i m -p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f d i g i t a l p r o t e c t i o n , h i g h - f r e q u e n c y c o m p o n e n t s

d u e t o l i n e c a p a c i t a n c e a r e i n t r o d u c e d . W e h a v e d o u b t s t h a t t h em o d e l o f a t r a n s m i s s i o n l i n e w i t h o u t c a p a c i t a n c e i s s u f f i c i e n t . I t i sp o s s i b l e t h a t a m o d e l c h a n g e w o u l d c h a n g e t h e r e s u l t s c o n s i d e r a b l y .I t i s u n f o r t u n a t e t h a t t h e r e a r e l i m i t a t i o n s t o t h e A / D c o n v e r t e ru s e d . T h e e f f e c t s o f d i g i t a l f i l t e r i n g a r e v e r y s t r o n g . I s t h e m e t h o df e a s i b l e w h e n many l i n e s a r e t o b e c o n s i d e r e d ? I t ma y b e n o t e d t h a tsome o f t h e d i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d i s d u e t o t h e d e s i r e t o o b t a i n t h ed e r i v a t i v e . H o w e v e r , t h e d e r i v a t i v e i s u s e d i n ( 3 ) t o o b t a i n t h e p e a kv a l u e . I f ( 2 ) i s r e w r i t t e n a se = f v d t

t h e n ( 3 ) b e c o m e s V , k 2 = V 2 + ( , w e ) 2 .Would t h i s n o t l e a d t o some i m p r o v e m e n t ? I t i s g e n e r a l l y d a n -g e r o u s t o t r y t o o b t a i n a d e r i v a t i v e , a n d t h e f i l t e r u s e d i s t o c o r r e c te r r o r s d u e t o t h e e q u i p m e n t u s e d . W i l l t h e s y s t e m b e a b l e t o d i s -c r i m i n a t e f o r s y s t e m s w i n g a n d t r a n s i e n t i n r u s h d u e t o t r a n s f o r m e r s ,e t c . ?C o m m e n t s o n t h e u s e o f g e n e r a l - p u r p o s e c o m p u t e r w i t h r e a d -o n l y s t o r a g e w o u l d a l s o b e u s e f u l . T h e r e a d - o n l y m e t h o d i s w e l l -s u i t e d f o r t h e t a b l e l o o k u p p r o c e d u r e f o r c a l c u l a t i n g a r c t a n g e n t s .T h e a u t h o r s ' comments w o u l d b e a p p r e c i a t e d .

C a r s o n W. T a y l o r ( B o n n e v i l l e P o w e r A d m i n i s t r a t i o n , P o r t l a n d ,O r e g . ) : T h e a u t h o r s h a v e m a d e a v a l u a b l e c o n t r i b u t i o n t o t h en u m e r i c a l a n a l y s i s a s p e c t o f d i g i t a l c o m p u t e r f a u l t p r o t e c t i o n . T h ep r o t e c t i o n e n g i n e e r o f t h e f u t u r e w i l l c e r t a i n l y h a v e t o b e k n o w l e d g e -a b l e i n t h e f i e l d s o f c o m p u t e r p r o g r a m m i n g , n u m e r i c a l a n a l y s i s , a n dd i g i t a l l o g i c .S i n c e a c o m p u t e r r e l a y i n g s y s t e m w o u l d p r o b a b l y o n l y b e j u s t i -f i e d i n a m u l t i t e r m i n a l s t a t i o n , t h e f i r s t q u e s t i o n t h a t a r i s e s c o n -c e r n s t h e c o m p u t e r r e q u i r e m e n t s a n d s p e e d o b t a i n a b l e w h e n p e r -h a p s 1 0 0 o r more a c c u r r e n t a n d v o l t a g e q u a n t i t i e s r e q u i r e m n o n i t o r -i n g . T h e a u t h o r s ' c o n c l u s i o n t h a t a l e s s a c c u r a t e o r a n o n d i r e c t i o n a l" f a u l t d e t e c t i n g " o r " s t a r t i n g " c a l c u l a t i o n ma y b e n e c e s s a r y i s w e l lt a k e n . R a m a m o o r t y [ 1 2 ] h a s s u g g e s t e d t w o m e t h o d s o f n o n d i r e c -t i o n a l f a u l t d e t e c t i o n t o b e f o l l o w e d b y a n i m p e d a n c e c a l c u l a t i o nu t i l i z i n g 1 8 s a m p l e s p e r c y c l e ( 6 0 - H z b a s i s ) r a t h e r t h a n t h e 4 0s a m p l e s p e r c y c l e ( 5 0 - H z b a s i s ) , w h i c h t h e a u t h o r s s u g g e s t e d .A i n a d v a n t a g e o f a d i g i t a l c o m p u t e r i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n i s t h a tt h e p r o t e c t i o n e n g i n e e r c a n p r o g r a m a n y t y p e o f o p e r a t i n g c h a r a c -t e r i s t i c ( i m p e d a n c e , m h o , r e a c t a n c e , o r o t h e r s n o t i n common u s et o d a y ) . O n e u n d e s i r a b l e c h a r a c t e r i s t i c o f e l e c t r o m e c h a n i c a l o r s t a t i cd i s t a n c e r e l a y s i s t h a t t h e i r o p e r a t i n g t i m e i n c r e a s e s f o r f a u l t s n e a rt h e i r " r e a c h " s e t t i n g . D o t h e a u t h o r s e n v i s i o n more a c c u r a t e a n dh e n c e s l o w e r i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n s f o r f a u l t s n e a r i t s " r e a c h "s e t t i n g ?T h e a u t h o r ' s c o n c l u s i o n t h a t a d i g i t a l i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n w o u l db e n e f i t b y n o n c o n v e n t i o n a l c u r r e n t t r a n s d u c e r s i s t r u e a l s o f o r com-m e r c i a l s t a t i c r e l a y s . C u r r e n t t r a n s d u c e r s b e c o m e more a t t r a c t i v e a tE HV a n d UHV a n d t h e e l e c t r i c u t i l i t y i n d u s t r y s h o u l d b e e n c o u r a g e dt o d e v e l o p p r a c t i c a l d e v i c e s .We a t B PA a r e v e r y i n t e r e s t e d i n d i g i t a l c o m p u t e r f a u l t p r o t e c t i o nn o t o n l y t o d e c r e a s e f a u l t c l e a r i n g t i m e , b u t a l s o b e c a u s e o f t h e a d -v a n t a g e s a d i g i t a l c o m p u t e r i n a m u l t i t e r m i n a l s t a t i o n o f f e r s t oi n i t i a t e s u c h f u n c t i o n s a s b r e a k e r f a i l u r e p r o t e c t i o n , t r a n s i e n t b l o c k -i n g , o u t - o f - s t e p b l o c k i n g , o u t - o f - s t e p t r i p p i n g , g e n e r a t o r d r o p p i n g ,l o a d d r o p p i n g , a n d s e r i e s - c a p a c i t o r s w i t c h i n g . T h e f u n c t i o n s a r ep r e s e n t l y u s e d a t v a r i o u s p l a c e s on t h e B P A s y s t e m t o m a i n t a i ns y s t e m s t a b i l i t y .

REFERENCES[ 1 2 ] M 4 . R a m a m o o r t y , " H i g h - s p e e d r e l a y i n g b a s e d o n i m p r o v e dp o w e r s y s t e m m o d e l s , " P h . D . d i s s e r t a t i o n , D e p . E l e c . E n g . ,U n i v e r s i t y o f T o r o n t o , O n t . , C a n a d a , 1 9 6 7 .

M. R a m a m o o r t y ( I n d i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , K a n p u r , I n d i a ) :H a v i n g d o n e s o m e w o r k i n t h e a r e a o f a p p l i c a t i o n o f d i g i t a l c o m -p u t e r s f o r s y s t e m p r o t e c t i o n , I i n t e n d t o p u t f o r t h t h e f o l l o w i n g o b -s e r v a t i o n s o n t h e p a p e r . T h e a u t h o r s h a v e a s s u m e d s i n u s o i d a l w a v e -f o r m s i n d e r i v i n g t h e b a s i c e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) f o r t h e c a l c u l a t i o no f i m p e d a n c e o f t h e f a u l t e d l i n e . L a t e r o n , r e g a r d i n g [ 1 2 ] , t h e e r r o ri n v o l v e d i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e g r a d i e n t u s i n g t h e c e n t r a l d i f -f e r e n c e s i s d i s c u s s e d . H o w e v e r , i f a c o m p u t e r i s t o b e u s e d f o r t h ep u r p o s e o f p r o t e c t i o n , t h e c o n c e r n e d l i n e i s g e n e r a l l y a l o n g t i e l i n er e q u i r i n g a h i g h l y s o p h i s t i c a t e d p r o t e c t i o n s y s t e m t o a v o i d a n y u n -n e c e s s a r y o p e n i n g o f t h e l i n e . F o r s u c h c a s e s t h e l i n e c a p a c i t a n c ec a n n o t b e n e g l e c t e d a n d i n [ 1 3 ] , w h i c h i s n o t c i t e d b y t h e a u t h o r s ,t h e s h o r t - c i r c u i t c u r r e n t w a v e f o r m s a r e s h o w n t o b e h i g h l y d i s t o r t e dw i t h t r a v e l i n g wave f r o n t s . F i g . 9 s h o w s a t y p i c a l f a u l t c u r r e n t w a v e -f o r m o b t a i n e d f r o m [ 1 3 ] a n d a l s o s h o w s h i g h d i s t o r t i o n s i n t h e f i r s tf e w c y c l e s a f t e r t h e d i s t u r b a n c e . E v i d e n t l y i f ( 3 ) a n d ( 4 ) a r e a p p l i e dt o t h i s t y p e o f w a v e f o r m t h e e r r o r w i l l b e much m o r e t h a n p r e d i c t e d .T h e a p p l i c a t i o n o f a d c o f f s e t f i l t e r a s m e n t i o n e d i n ( 9 ) w i l l n o t b eu s e f u l u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s .

D0 -zF -Du

-20F i g . 9 .

1 . 6

1 . 2

0 . 8

0 . 4

0

S e n d i n g - e n d c u r r e n t d u r i n g f a u l t on p h a s e a ( 3 0 0 k m , 5 O ) .

S u d d e n l o a d c h a n e

0 . 7 7 P U .D - _V-- S i n g l e p h a s e f a u l t0 . 2 9 P e r U n i t _ _3 - P h a s e a n d Z - p h a s f o u l t TimeSeconds,0 0 . 0 0 2 7 3 0 . 0 0 8 3 4 0 . 0 1 3 9 0 . 0 1 6 6 8F i g . 1 0 . T i m e v a r i a t i o n o f i m p e d a n c e .

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 1 2 , 1 9 7 0 .

2 7 7

M a n u s c r i p t r e c e i v e d F e b r u a r y 2 4 , 1 9 7 0 .

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I E E E T R A N S A C T I O N S O N POWER A P P A R A T U S A N D S Y S T E M S , J A N U A R Y / F E B R U A R Y 1 9 7 1To s m o o t h o u t t h e v a r i a t i o n s i n t h e m e a s u r e d i m p e d a n c e , t h ea u t h o r s h a v e u s e d 1 0 0 p o i n t s a t 0 . 5 - m s i n t e r v a l s , w h i c h c o r r e s p o n d st o a 2 - c y c l e r e l a y o p e r a t i o n , w h i c h a p p a r e n t l y i s much s l o w e r t h a nt h e p r o t e c t i o n s c h e m e s u s i n g t r a n s i s t o r i z e d r e l a y s .I n [ 1 3 ] t h e i m p e d a n c e i s e v a l u a t e d b y o b t a i n i n g t h e f u n d a m e n t a la m p l i t u d e f r o m t h e s a m p l e d v a l u e s o f t h e v o l t a g e a n d c u r r e n t w a v e -f o r m s . H e r e t h e s a m p l e s a r e t a k e n a t 1 8 0 a p a r t c o r r e s p o n d i n g t o 2 0p o i n t s p e r c y c l e . C o n t i n u o u s e v a l u a t i o n o f t h e i m p e d a n c e i s madeb y t h e c o m p u t e r b y a d d i n g o n e e x t r a s a m p l e a n d d e l e t i n g t h e f i r s t

s a m p l e e a c h t i m e . F i g . 1 0 s h o w s a t y p i c a l p l o t o f i m p e d a n c e v a r i a -t i o n s f o r d i f f e r e n t t y p e s o f f a u l t s [ 1 3 ] . T h i s m e t h o d o f c a l c u l a t i o n i sv e r y u s e f u l b e c a u s e t h e t r e n d o f t h e i m p e d a n c e v a r i a t i o n i s a l s ok n o w n , a n d f o r n e a r b y f a u l t s t h e m e a s u r e d i m p e d a n c e f a l l s w i t h i nt h e r e l a y s e t t i n g i n l e s s t h a n 1 c y c l e , t he r eb y p r ov i d i n g a r a p i d f a u l tc l e a r a n c e .T h e c a l c u l a t i o n o f t h e f u n d a m e n t a l q u a n t i t y i s d o n e a s f o l l o w s :F = ( t ) V/ a 9 2 + b , 2 s i n ( c o t + t a n - l ' a ,x la =- [ f o +2fi c o s x l + 2 f 2 c o s 2 x ' + *+f0]2

x ib L - [ 2 f i s i n x l + 2 f 2 s i n 2 x l + + 2 f 0 - , s i n ( n - 1 ) x l ]2 ( 3 0 )w h e r e x 1 i s t h e s a m p l e i n t e r v a l i n r a d i a n s , n = 2 7 r / x ' , a n d f o , f i , * ,f n , a r e t h e s a m p l e d v a l u e s o f t h e i n p u t . I n t h e a n a l y s i s c a r r i e d o u ti n [ 1 1 ] , i t i s s h o w n t h a t r e a s o n a b l e a c c u r a c y i s o b t a i n i e d f o r a l l t y p e so f f a u l t w a v e f o r m s w i t h n = 2 0 . T h u s ( 3 0 ) g i v e s b o t h t he a m p l i t u d ea n d p h a s e a n g l e o f t h e f u n d a m e n t a l f r o m w h i c h t h e i m p e d a n c e i sc a l c u l a t e d . S i n c e t he v a l u es o f c o s x ' , * * , c o s n x l a n d s i n x l , * * * ,s i n ( n - 1 ) x l , a r e c o n s t a n t s f o r e a c h s e t o f s a m p l e s , t h e y c a n b e p r e -c a l c u l a t e d a n d u s e d a s w e i g h t i n g f a c t o r s f o r e a c h o f t h e s a m p l e so b t a i n e d . T h u s t h e t o t a l n i u m b e r o f c o m p u t a t i o n s i n v o l v e d i n t h i sm e t h o d w i l l b e l e s s t h a n t h a t i n d i c a t e d i n t h e p a p e r , w h e r e a v e r a g -i n g h a s t o b e d o n e u s i n g 1 0 0 p o i n t s . D i f f e r e n t t y p e s o f l o g i c s t h a tc a n b e p e r f o r m e d o n t h e c o m p u t e d i m p e d a n c e t o o b ta i n t he q u ad ri -l a t e r a l t r i p p i n g c h a r a c t e r i s t i c f o r t h e d i g i t a l d i s t a n c e r e l a y a r e a l s oi n d i c a t e d i n [ 1 3 ] . T h e i m p e d a n c e c o mp u te d f r o m t h e 2 0 s a m p l e dv a l u e s f o r e a c h c y c l e u s i n g ( 3 0 ) i s f o u n d t o b e g e n e r a l l y u n a f f e c t e db y t h e d c o f f s e t a n d o t h e r h i g h - f r e q u e n c y c o m p o n e n t s p r e s e n t i nt h e t r a n s i e n t w a v e f o r m s . R E F E R E N C E S[ 1 3 ] M . Ramamoorty e t a l . , " H i g h - s p e e d r e l a y i n g b a s e d o n i m p r o v e dp o w e r s y s t e m m o d e l s , " CIGRE, R e p . 3 1 - 0 9 , 1 9 6 8 .[ 1 4 ] M. R a m a m o o r t y , V . R . S a s t r y , a n d R . R a g h a n a n , " R e s t r i k i n gv o l t a g e i n c i r c u i t b r e a k e r s d u e t o s i n g l e a n d m u l t i p o l e s w i t c h i n gi n EHV s y s t e m s , " P a p e r 7 0 C P 5 9 6 , p r e s e n t e d a t t h e I E E ESummer P o w e r M e e t i n g a n d EHV C o n f e r e n c e , L o s A n g e l e s ,C a l i f . , J u l y 1 2 - 1 7 , 1 9 7 0 .

B a r r y J . Mann a n d I . F . M o r r i s o n : The a u t h o r s w i s h t o t h a n k t h ed i s c u s s e r s f o r t h e i r c o n t r i b u t i o n s ; t h e y r a i s e n u m e r o u s i n t e r e s t i n gp o i n t s .W e a r e b e c o m i n g a w a r e t h a t a n i n c r e a s i n g a m o u n t o f w o r k i sb e i n g d o n e o n t h e p r o p o s e d u s e o f d i g i t a l c o m p u t e r s f o r p r o t e c t i o np u r p o s e s . L i k e M r . H o p e , M r . B e l l a n d M r . J u r a , we h a v e f o u n dt h a t a t t i t u d e s s e e m t o h a v e c h a n g e d i n f o u r o r s o y e a r s f r o m o u t -r i g h t r e j e c t i o n t o g r u d g i n g a c c e p t a n c e t h a t d i g i t a l c o m p u t e r s ma yc o n t r i b u t e t o t h e p r o t e c t i o n f i e l d .I n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e t e c h n i q u e o f i m p e d a n c e m e a s u r e m e n twe h a v e b e e n c o n s c i o u s o f a c o n f l i c t b e t w e e n t he r e q ui r e me n t s o fs p e e d a n d a c c u r a c y . B r o a d l y , we h a v e s o u g h t a s c h e m e t h a t w i l lg i v e a n i m p e d a n c e t o w i t h i n 1 0 p e r c e n t i n t i m e s c o m p a r a b l e t ot h o s e o f t he b es t a v a i l a b l e s t a t i c r e l a y s , i . e . , l e s s t h a n 1 h a l f - c y c l e .W e f u r t h e r s o u g h t t o m i n i m i z e t h e a m o u n t o f s p e c i a l - p u r p o s e h a r d -w a r e r e q u i r e d t o a c h i e v e t h e s e a i m s ; a n d we h a v e a t t e m p t e d t o d e -

M a n u s c r i p t r e c e i v e d March 3 0 , 1 9 7 0 .

v e l o p t e c h n i q u e s r e q u i r i n g s i m p l e c a l c u l a t i o n s , o n t h e b a s i s t h a t a smuch m a i n - f r a m e t i m e a s p o s s i b l e s h o u l d b e a v a i l a b l e f o r o t h e rp r o t e c t i o n ( o r o t h e r s u b s t a t i o n ) a c t i v i t i e s .T h e w o r k d e s c r i b e d h a s b e e n e x t e n d e d t o a s i n g l e t h r e e - p h a s e l i n ea n d t h e n t o a n u m b e r o f l i n e s a t t h e o n e b u s - v o l t a g e l e v e l w i t h i nt h e s u bs t at i o n [ 1 5 ] . From t h i s w o r k e m e r g e s a n a s s e s s m e n t o f d e s i r -a b l e c o m p u t e r s p e c i f i c a t i o n s a n d c a p a b i l i t i e s , a n d we w o u l d d i r e c tt h e d i s c u s s e r s wh o r a i s e d t h e s e g e n e r a l p o i n t s t o t h a t s o u r c e . B r o a d l y ,f o r a s u b s t a t i o n o f 1 2 l i n e s a n d t w o v o l t a g e l e v e l s , i . e . , 4 2 a c q u a n t i -t i e s , a s ma l l g e n e ra l - p ur p o se c o m p u t e r w i t h a 1 6 - b i t w o r d , a p p r o x i -m a t e l y 1 - p s c y c l e t i m e , minimum 8K s t o r e , d i r e c t memory a c c e s sf a c i l i t y , a n d a p p r o p r i a t e A/ D c o n v e r s i o n w i l l b e r e q u i r e d . T h e u s eo f a l a r g e r m a c h i n e w i l l c o n c e i v a b l y a l l o w g r e a t e r a c c u r a c y t o b ea c h i e v e d a n d s h o u l d a l l o w a r a n g e o f o t h e r s u b s t a t i o n f u n c t i o n s( s o m e e n u m e r a t e d b y M r . T a y l o r ) t o b e p e r f o r m e d ; b u t s u c h ac o m p u t e r w o u l d c o s t m o r e .S e v e r a l d i s c u s s e r s q u e r y t h e o m i s s i o n o f c a p a c i t a n c e f r o m t h em o d e l t r a n s m i s s i o n l i n e . W e a r e a w a r e o f t h i s o m i s s i o n a n d t h e n e e dt o e v a l u a t e t h e e f f e c t s o n o u r t e c h n i q u e s . A l t h o u g h , we w o u l d i n t e n dt h e s e t e c h n i q u e s t o b e s u i t a b l e f o r f o r t h c o m i n g 5 0 0 - a n d 7 5 0 - k Vl e v e l s , we a l s o i n t e n d t h e m t o b e s u i t a b l e f o r t h e p r e s e n t v o l t a g el e v e l s o f 1 3 2 a n d 3 3 0 k V . A t t h e s e v o l t a g e s , c o n d i t i o n s i n A u s t r a l i aa r e s u c h t h a t t h e e f f e c t s o f d i s t r i b u t e d l i n e c a p a c i t a n c e a r e n o tu s u a l l y s i g n i f i c a n t .A r i s i n g f r o m t h e q u e s t i o n o f t h e i n c l u s i o n o f c a p a c i t a n c e a r e t h ee f f e c t s o f v a r i o u s t y p e s o f n o i s e on t h e i n p u t s i g n a l s . W e f e e l t h a tt h e p o s s i b l e s o u r c e a n d f r e q u e n c i e s o f n o i s e i n t h e r e l a y i n g s i g n a l sh a v e n o t b e e n a d e q u a t e l y e n u m e r a t e d .I n a c c u r a c i e s o f i m p e d a n c e m e a s u r e m e n t i n t r o d u c e d b y t h e p r e s -e n c e o f n o i s e n e e d t o b e e v a l u a t e d . A t p r e s e n t we a n t i c i p a t e t h a ta n a l o g o r d i g i t a l f i l t e r i n g o f t h e i n p u t s i g n a l s w i l l b e h e l p f u l , e v e n a tt h e e x p e n s e o f a n a d d i t i o n a l c a l c u l a t i o n t i m e i n p a r t i c u l a r l y d i f f i c u l ts i t u a t i o n s . S p e c i f i c a l l y we e x p e c t t h a t t h e i n p u t b a n d w i d t h c o u l du s e f u l l y h a v e i t s 3 - d B p o i n t a t a b o u t 2 0 0 H z .T h e d i s c u s s e r s a l s o r a i s e t h e q u e s t i o n o f t h e e f f e c t s o f t r a n s i e n t so t h e r t h a n t h o s e d u e t o l i n e c a p a c i t a n c e a n d n o i s e , s u c h a s s y s t e ms w i n g , s u d d e n l o a d c h a n g e s , e t c . I t i s i n t e n d e d t h a t t h e m e t h o d o ff a u l t d e t e c t i o n [ 1 5 1 w i l l d i s c r i m i n a t e a g a i n s t t h o s e a r L d t h a t t h ei m p e d a n c e c a l c u l a t i o n s t a g e w i l l n o t b e r e a c h e d f o r n o n f a u l t c o n d i -t i o n s .I n r e p l y t o M r . H o p e , M r . B e l l , a n d M r . J u r a o n t h e q u e s t i o n o fa c c u r a c y , we h a v e m e n t i o n e d a b o v e t h a t t h i s i s d e t e r m i n e d b y t h en e e d t o c o m p l e t e t h e c a l c u l a t i o n i n l e s s t h a n 1 0 m s . R e f e r e n c e [ 1 5 ]s h o w s t h a t f o r 1 0 0 0 f a u l t s o f a l l t y p e s , i m p ed a n c e m ag n i t ud e i sc a l c u l a t e d w i t h a v a r i a n c e o f 4 . 3 p e r c e n t , w i t h 9 8 . 5 p e r c e n t o fv a l u e s w i t h i n 1 0 p e r c e n t o f t h e m e a n ; t h e v a r i a n c e f o r p h a s e i s2 . 9 0 , w i t h 9 9 . 1 p e r c e n t o f v a l u e s w i t h 7 0 o f t h e m e a n .W e h a v e c o n s i d e r e d t h e p o s s i b i l i t y o f o b t a i n i n g g r e a t e r a c c u r a c yb y t h e u s e o f i n t e g r a t i o n r a t h e r t h a n d i f f e r e n t i a t i o n . I t c a n b e s h o w nt h a t f o r t h e s a m p l i n g i n t e r v a l u s e d ( 0 . 5 m s ) a n d t w o a p p r o a c h e sa r e i d e n t i c a l . U s i n g t h e n o t a t i o n o f ( 1 0 ) - ( 1 2 ) , i f we w r i t e v = v s i nc o t , t h e n

u= v u d tJ k - a tV= --[cos c o t k ( 1 - c o s w A t ) - s i n c o t k s i n c o A t ] .c o

T h u s( V k S i n c o A t -UV 2 = V k c o s c o A t t-12c o s o A t - l ( 3 1 )

F o r A t = 0 . 5 mss i n A t = c o t A t ( t o a t l e a s t f o u r d e c i m a l p l a c e s )

c o s c . A t 1 -( c A t ) 2a n d t h e i n t e g r a l u i s a p p r o x i m a t e d b y u = v o A t . Then ( 3 1 ) b e c o m e sV 2 = V k 2 + ( A V / c A t ) 2 , w h i c h i s t h e e x p r e s s i o n o f ( 1 2 ) .W e a g r e e w i t h t h e r e m a r k s o f M r . T a y l o r o n t h e p o t e n t i a l l yf l e x i b l e c h o i c e o f r e l a y o p e r a t i n g c h a r a c t e r i s t i c s a n d o n t h e n e e df o r a m o r e a c c u r a t e a n d s l o w e r c a l c u l a t i o n near t h e r e l a y b a l a n c ep o i n t . R e f e r e n c e [ 1 6 ] d e s c r i b e s a f u r t h e r m e t h o d o f i m p e d a n c e c a l -c u l a t i o n w h i c h , i t i s h o p e d , w i l l p r o v i d e g r e a t e r a c c u r a c y o f c a l c u l a -

2 7 8

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IEEE TRANSACTIONS ON POWER APPARATUS AND SYSTEMS, VOL. P A S - 9 0 , NO. 1 , J A N U A R Y / F E B R U A R Y 1 9 7 1t i o n i n s l i g h t l y l o n g e r t i m e s . T h e q u e s t i o n o f t h e r a n g e o f a v a i l a b l ec h a r a c t e r i s t i c s i s a l s o r a i s e d t h e r e . I n g e n e r a l t h e a u t h o r s a r e g r e a t l ye n c o u r a g e d b y t h e i n t e r e s t s h o w n b y a n o r ga n i z a ti o n o f t h e s i z e a n dt e c h n i c a l p r e e m i n e n c e o f B o n n e v i l l e P o w e r i n t h e u s e o f d i g i t a lc o m p u t e r s f o r p r o t e c t i o n a n d o t h e r s u b s t a t i o n f u n c t i o n s .T h e p r o b l e m o f d i s t o r t e d i n p u t s i g n a l s h a s b e e n m e n t i o n e d e a r l i e ra n d t h o s e r e m a r k s a p p l y t o t h e w a v e f o r m s u p p l i e d b y D r . Rama-m o o r t y . W e h a v e n o t h a d d a t a o f t h i s g e n e r a l t y p e a v a i l a b l e f o r o u re x p e r i m e n t s t o d a t e .W e a r e p a r t i c u l a r l y i n d e b t e d t o D r . P R a m a m o o r t y f o r b r i n g i n g h i sown w o r k t o o u r a t t e n t i o n . W e h a d n o t b e e n a w a r e o f i t a n d l o o kf o r w a r d t o f a m i l i a r i z i n g o u r s e l v e s w i t h i t i n s o m e d e t a i l . T h e p r e s e n tr e m a r k s w i l l , o f n e c e s s i t y , b e o u r i n i t i a l i m p r e s s i o n s .T h e m e t h o d h e d e s c r i b e s , a n d e s p e c i a l l y t h e i n t e r e s t i n g r e s u l t s o fF i g . 1 0 , s h o w t h a t n o t o n l y i s a s i n g l e c y c l e o f s a m p l e v a l u e s r e q u i r e df o r c a l c u l a t i o n s , b u t t h a t a d e c i s i v e c h a n g e i n c o m p u t e d i m p e d a n c ei s n o t a v a i l a b l e f o r t i m e s i n e x c e s s o f 1 h a l f - c y c l e . W e c o n t r a s t h e r et h e r e s u l t s o f F i g . 2 , w h i c h s h o w s a s t a b l e v a l u e o f i m p e d a n c e a v a i l -a b l e 4 ms a f t e r f a u l t o c c u r r e n c e . I n g e n e r a l we e x pe ct t ha t t h e a c -

c u r a c y o f i m p e d a n c e c a l c u l a t i o n w i l l b e i m p r o v e d i f d a t a c a n b et a k e n o v e r l o n g e r t i m e i n t e r v a l s . H e r e t h e r e s e e m s t o h a v e b e e ns o m e s l i g h t m i s u n d e r s t a n d i n g a r i s i n g f r o m o u r p a p e r - a l t h o u g h 1 0 0p o s t f a u l t s a m p l e s w e r e t y p i c a l l y p r o c e s s e d , t h i s w a s s i m p l y t o s t u d yt h e b e h a v i o r o f t h e m e t h o d i n t i m e . O n l y s i x p o s t f a u l t s a m p l e s a r er e q u i r e d f o r c a l c u l a t i o n o f i m p e d a n c e w i t h t h e a c c u r a c i e s d e s c r i b e d ;i . e . , o n l y i n f o r m a t i o n c o l l e c t e d i n 3 ms a f t e r f a u l t o c c u r r e n c e i s u s e di n c a l c u l a t i o n . T h i s i s t o b e c o n t r a s t e d w i t h D r . R a m a m o o r t y ' s p r o -c e d u r e , w h i c h u t i l i z e s i n f o r m a t i o n o v e r 1 c o m p l e t e c y c l e .REFERENCES

[ 1 5 ] B . J . Mann a n d I . F . M o r r i s o n , " R e l a y i n g a t h r e e - p h a s e t r a n s -m i s s i o n l i n e w i t h a d i g i t a l c o m p u t e r , " I E E E T r a n s . P o w e rA p p . S y s t . ( t o b e p u b l i s h e d ) .[ 1 6 ] A . D . M c I n n e s a n d I . F . M o r r i s o n , " R e a l t i m e c a l c u l a t i o n o fr e s i s t a n c e a n d r e a c t a n c e f o r t r a n s m i s s i o n l i n e p r o t e c t i o n b yd i g i t a l c o m p u t e r , " p a p e r p 1 1 6 9 , E l e c . M e c h . E n g . T r a n s . ,I n s t . E n g . , A u s t r a l i a ( t o b e p u b l i s h e d ) .

E q u i v a l e n t C i r c u i t s for S i n g l e - P h a s e I n d u c t i o n andHysteresis M o t o r s

DENIS O'KELLY

A b s t r a c t - G e n e r a l s t e a d y - s t a t e e q u i v a l e n t c i r c u i t s a r e d e r i v e df o r t h e f a m i l y o f s i n g l e - p h a s e m o t o r s w i t h u n e q u a l c o n t r a r o t a t i n gm a g n e t i c f i e l d s p r o d u c e d b y o n e o r t w o s t a t o r w i n d i n g s a n d / o rs t a t o r s a l i e n c y , a n d r o t o r t o r q u e d u e t o h y s t e r e s i s a n d / o r e d d y -c u r r e n t a c t i o n . The d e r i v a t i o n o f a n e q u i v a l e n t q u a d r a t u r e m o t o r ,f i r s t s h o w n b y K r o n , i s e x t e n d e d t o t h e r a n g e o f m o t o r s u n d e rc o n s i d e r a t i o n . T h e i d e a l i z e d t r e a t m e n t i n t h e p a p e r p e r m i t s h y s t e r e -s i s t o b e i n c l u d e d i n t h e l i n e a r a n a l y s i s o f s i n g l e - p h a s e m o t o r s .

I N T R O D U C T I O NIT I S W E L L KNOWN t h a t u n e q u a l c o n t r a r o t a t i n g m a g n e t i cf i e l d s i n s i n g l e - p h a s e m o t o r s ma y b e p r o d u c e d b y s p l i t - p h a s ew i i n d i n g s , s h a d e d l p o l e s , a n d / ' o r s t a t o r s a l i e n c y [ 1 ] . Many e q u i v -a l e n t c i r c u i t s [ 2 ] - [ 5 ] e m p l o y i n g t h e s e m e t h o d s h a v e b e e nd e r i v e d f o r s i n g l e - p h a s e i n d u c t i o n m o t o r s , b u t w i t h s o m e e x -c e p t i o n s [ 6 ] , [ 7 ] , t h e t r e a t m e n t i s o f t e n r e s t r i c t e d t o o n e t y p e o fm a c h i n e . A l t h o u g h t h e p o l y p h a s e h y s t e r e s i s m o t o r h a s b e e na n a l y z e d [ 8 ] - [ 1 3 1 , l i t t l e h a s b e e n p u b l i s h e d w i t h p a r t i c u l a rr e f e r e n c e t o s i n g l e - p h a s e h y s t e r e s i s m o t o r s [ 1 ] .B a s e d o n l K r o n ' s w o r k [ 1 4 ] , [ 1 5 ] a n d t h e a n a l y s i s o f a s y m -m e t r i c a l w i n d i n g s [ 6 ] , [ 1 6 ] , t w o t y p e s o f g e n e r a l s t e a d y - s t a t ee q u i v a l e n t c i r c u i t s a r e d e r i v e d f o r t h e f a m i l y o f s i n g l e - p h a s e

P a p e r 7 0 TP 9-PWR, r e c o m m e n d e d a n d a p p r o v e d b y t h e R o t a t i n gM a c h i n e r y C o m m i t t e e o f t h e I E E E P o w e r G r o u p f o r p r e s e n t a t i o na t t h e IEEE W i n t e r P o w e r M e e t i n g , New Y o r k , N . Y . , J a n u a r y2 5 - 3 0 , 1 9 7 0 . M a n u s c r i p t s u b m i t t e d J u n e 1 6 , 1 9 6 9 ; made a v a i l a b l ef o r p r i n t i n g O c t o b e r 1 5 , 1 9 6 9 .T h e a u t h o r i s w i t h t h e S c h o o l o f E l e c t r i c a l a n d E l e c t r o n i c E n g i -n e e r i n g , U n i v e r s i t y o f B r a d f o r d , B r a d f o r d , E n g l a n d .

i n d u c t i o n a n d h y s t e r e s i s m o t o r s w i t h o n e o r t w o s t a t o r w i n d i n g sa n d a c y l i n d r i c a l r o t o r . I n p a r t i c u l a r , n o r e s t r i c t i o n i s p l a c e d o nt h e d i s p o s i t i o n o f t h e s t a t o r w i n d i n g ( c ) w i t h r e s p e c t t o t h e a x i so f s t a t o r s a l i e n c y , i f p r e s e n t , a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n o f a t a p p e dw i n d i n g [ 1 7 ] , [ 6 ] i s c o n s i d e r e d .T h e t r e a t m e n t r e l i e s o n l i n e a r t h e o r y : h a r m o n i c s , e n d - w i n d i n g ,a n d s l o t t i n g e f f e c t s , e t c . , a r e i g n o r e d a n d t h e u s u a l a s s u m p t i o n sr e l e v a n t t o t h e K r o n p r i m i t i v e m a c h i n e a r e e m p l o y e d . A l lv o l t a g e s , c u r r e n t s , a n d i m p e d a n c e s a r e p h a s o r q u a n t i t i e s .

G E N E R A L E Q U I V A L E N T C I R C U I TC o n s i d e r a m a c h i n e , s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 1 , t o h a v e ac a g e w i n d i n g o n a c y l i n d r i c a l r o t o r a n d a s t a t o r w i t h m a i n a n da u x i l i a r y w i n d i n g s i n c l i n e d a t a n g l e s a a n d B , r e s p e c t i v e l y , t oa l i n e o f m a g n e t i c s y m m e t r y d e f i n e d a s t h e d i r e c t a x i s . E a c h

s t a t o r w i n d i n g h a s a l e a k a g e f l u x , r v f l u x t h a t l i n k s t h e r o t o r , a n da common m u t u a l f l u x t h a t d o e s n o t l i n k t h e r o t o r . F o r t h ee q u i v a l e n t K r o n p r i m i t i v e m a c h i n e ( F i g . 2 ) e a c h s t a t o r w i n d i n gi s r e p r e s e n t e d b y a n o r t h o g o n a l c o i l p a i r a n d t h e r o t o r h a s t w oo r t h o g o n a l c o i l p a i r s t o r e p r e s e n t t h e c a g e w i n d i n g a n d h y s t e r e s i si n t h e c o r e m a t e r i a l , r e s p e c t i v e l y . A common m u t u a l f l u x i sa s s u m e d f o r e a c h a x i s .W i t h s u i t a b l e a s s u m p t i o n s f o r t h e r e p r e s e n t a t i o n o f h y s t e r e s i si n t h e r o t o r c o r e , c o n s i d e r e d i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n , t h e e i g h ts i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s f o r s t e a d y - s t a t e o p e r a t i o n o f t h e p r i m -i t i v e m a c h i n e ( F i g . 2 ) ma y b e t r a n s f o r m e d b y w e l l - k n o w nr e l a t i o n s h i p s [ 1 5 ] t o r o t a t i n g - f i e l d e q u a t i o n s , i n t e r m s o f f o r w a r da n d b a c k w a r d v o l t a g e s a n d c u r r e n t ( A p p e n d i x I ) t o g i v e a ne q u i v a l e n t c i r c u i t a s s h o w n i n F i g . 3 .

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