MODELAGEM TENSORIAL DO CAPACITOR SRIE CONTROLADO A GTO (GCSC)

ROBSON F. S. DIAS, FBIO D. JESUS , MAURICIO AREDES E EDSON H. WATANABE COPPE - Programa de Engenharia Eltrica

Universidade Federal do Rio de Janeiro Caixa Postal 68.504 - Rio de Janeiro (RJ) - 21.945-970

emails:{dias,fabio,aredes e watanabe}@coe.ufrj.br

Abstract In this work analytical modelling of the capacitor series controlled GTO (GCSC) through the tensorial analysis is presented. The GCSC appears as a promising device, because compared with TCSC, it has similar characteristics in the range of capacitive operation, with the advantage of not having the problem of internal resonance and to presents a wider control range. The Authors believe that GCSC possibly will have a more viable cost, with smaller weight and size. The model is implemented in the software Mathematica and validation is accomplished through comparisons of results obtained in the eletromagnetic transient program PSCAD/EMTDC. The tensorial analysis allows obtaining structural information among the system and the FACTS de-vice, and may improve the controllers design; being a powerful tool. This tensorial model will be used in the future to study the GCSC frequency response, including, inter-harmonic interactions.

Keywords Facts, GCSC, Tensorial Model.

Resumo Neste trabalho apresentado a modelagem matemtica do capacitor srie controlado a GTO (GCSC) atravs da anli-se tensorial. O GCSC apresenta-se como um dispositivo promissor, pois comparado com o TCSC, possui caractersticas similares na faixa de operao capacitiva, com a vantagem de no ter o problema da ressonncia interna e possuir uma faixa de controle mais ampla. Os Autores acreditam que o GCSC possivelmente ter um custo mais vivel, com menor peso e volume. O modelo implementado no pacote computacional Mathematica e a sua validao realizada atravs de comparaes de resultados obtidos no software de simulao de transitrios eletromagnticos PSCAD/EMTDC. A anlise tensorial permite obter informaes estru-turais entre o sistema e o dispositivo FACTS, e podendo melhorar o projeto de controladores; assim apresentando-se com uma ferramenta poderosa. Este modelo servir, no futuro, para estudos da resposta em freqncia do GCSC, inclusive, interaes de harmnicos.

Palavras-chave Facts, GCSC, Tensorial Model.

1 Introduo

Nos ltimos anos vrios dispositivos FACTS (Fle-xible AC Transmission System) tais como o STATCOM (Static synchronous Compensator), TCSC (Thyristor Controlled Series Capacitor) e UPFC (Uni-fied Power Flow Controller), vm sendo investigados e aplicados em sistemas de distribuio e transmisso com o objetivo principal de aumentar a flexibilidade, confiabilidade, melhorar a qualidade de energia e principalmente permitir o adiamento de investimentos na construo de linhas de transmisso (Cavaliere, 2000, Aredes 1995). Os conceitos de operao destes equipamentos esto praticamente definidos e os con-troles esto sendo modernizados a cada ano.

Contudo, algumas caractersticas relacionadas com a influncia destes equipamentos no sistema como, por exemplo, componentes harmnicos de corrente e tenso que so introduzidos ao sistema e eventuais ressonncias que ocorre entre geradores trmicos e compensao srie com dispositivos FACTS, no esto bem definidos na literatura. Atual-mente, a maioria destes aspectos investigada atravs de softwares de anlise de transitrios eletromagnti-cos. Este procedimento demanda um grande tempo computacional, e tambm apresenta desvantagem quando se deseja obter informaes estruturais da relao sistema-FACTS.

Modelagens analticas complementam as investi-gaes realizadas atravs de simulaes. Em (Martins et al, 1992), (Kundur,1994) utilizam anlise linear no

estudo de oscilaes eletromecnicas em sistemas de potncia. Outra abordagem de anlise linear atravs de sistemas descritores (Lima,1999, Varricchio et al, 1999), que possibilita a anlise modal de transitrios eletromagnticos e do comportamento harmnico do sistema. Esses trabalhos utilizam uma formulao no plano complexo (ou fasorial) que permitem realizar uma boa anlise de vrios sistemas. Contudo, para sistemas que apresentam elementos no lineares, como os dispositivos FACTS, o tratamento tensorial pode possibilitar uma anlise com maior preciso do que a formulao fasorial (complexa).

Conforme (Portela, 1970) afirma: A formulao complexa pode ser considerada uma sombra da reali-dade tensorial. Para os circuitos lineares estticos passivos, a sombra uma boa imagem da realidade. Mas j nas mquinas rotativas, ainda dentro da linea-ridade, essa sombra no traduz completamente a realidade. E no caso de elementos no lineares, como o GCSC, a formulao complexa torna-se inadequada por no representar nitidamente suas caractersticas no lineares.

Alguns trabalhos vm sendo utilizados na mode-lagem tensorial para anlise linear de redes eltricas. Em (Portela, 1970) foi desenvolvida uma metodologia para anlise de sistemas de potncia atravs de uma formulao tensorial. Em (Osauskas, Hume and Wo-od, 2001) apresentado a modelagem tensorial para descrever matematicamente a estrutura de um conver-sor ca e cc.

Em (Gomes, 2002) apresentado em detalhes o tratamento tensorial para sistemas que contm elemen-

tos no lineares, e tambm podendo ser aplicado aos dispositivos FACTS.

Neste trabalho apresentada a modelagem mate-mtica do GCSC atravs de uma formulao tensorial. Este modelo pode ser aplicado tanto a um sistema simples quanto a um sistema complexo, pois o modelo servir como um building block. A modelagem mate-mtica implementada no software Mathematica e sua validao realizada atravs de comparaes de resul-tados obtidos no modelo proposto e com o programa PSCAD/EMTDC.

2 Sistema de potncia com o GCSC

Nesta seo so apresentadas a descrio, a opera-o e a aplicao do GCSC em um sistema de potncia simples em regime permanente.

1. Principio de operao do GCSC

O Capacitor Srie Controlado a GTO (GTO-Controlled Series Capacitor GCSC) , provavelmen-te, o equipamento que possui a configurao mais simples entre os dispositivos FACTS conhecidos. A Figura 1 apresenta o GCSC que composto por um capacitor em paralelo com dois GTOs em antiparale-lo, e inserido em srie com a linha de transmisso.

C

vC

i iC

G1

G2

iC

vC

i iC

G1

G2

i

Figura 1. Modelo bsico do GCSC.

O seu princpio de funcionamento baseado na

variao do ngulo de corte () dos GTOs, determi-nado a partir do instante em que a corrente de linha cruza o zero. Assume-se que a corrente, i, da linha de transmisso senoidal. Quando as chaves so manti-das permanentemente em conduo ( = 180), no passa corrente pelo capacitor e no h efeito de com-pensao. Em contrapartida, quando as chaves so bloqueadas uma vez por ciclo em um dado ngulo de corte , o capacitor carregado e descarregado com polaridade positiva e negativa, e a tenso sobre o ca-pacitor (vC) aparece em srie com a linha de transmis-so, que tem uma componente fundamental control-vel ortogonal (atrasada) corrente de linha. Se as chaves esto bloqueadas permanentemente ( = 90)

compensao srie mxima, dada pela reatncia do capacitor na freqncia fundamental.

A Figura 2 mostra as formas de onda da corrente de linha (i), da tenso (vc) e corrente (ic) no capacitor e os sinais disparos dos GTOs (G1 e G2) para um n-gulo de corte ( ) de 120o.

Maiores detalhes de operao do GCSC podem ser encontrados em (Souza, Watanabe, Aredes, 1999).

i

vc

G2

i C

G1

Figura 2. Formas de ondas da corrente da linha (i), tenso e corren-te no GCSC e os sinais das chaves semicondutoras.

2. Sistema de potncia com o GCSC

O sistema da Figura 3 mostra o GCSC conectado a um sistema de potncia simples. O gerador repre-sentado por uma fonte de tenso e uma impedncia interna RL srie (Zg), a linha de transmisso repre-sentado por uma indutncia L e a carga por uma resis-tncia (Zcarga).

LT

V

G1

C

G2

Vc

GCSC

i

RcRg

Lg

LT

V

G1

C

G2

Vc

GCSC

i

RcRg

Lg

Figura 3. Sistema de potncia com GCSC.

As equaes diferenciais que representam o sis-tema da Figura 3 so:

vcvdtdiLRi =++ (1)

=C CdvC idt (2) ( )itSic ,= (3)

Onde S (t,) a funo de chaveamento que rela-ciona a corrente do capacitor e a corrente que flui pelo sistema, o ngulo de corte das chaves semicondu-toras e R = Rg + RC, L = Lg + LT.

Neste modelo considerado que as chaves semi-condutoras operam de modo ideal. O ngulo de corte medido a partir do cruzamento do zero de corrente.

A Figura 4 mostra as formas de onda da corrente da linha, tenso sobre o capacitor do GCSC e a funo de chaveamento para o modo ideal de operao das chaves.

A funo de chaveamento pode ser representada em termos da srie de Fourier, e dada por:

( )kk 1

2 2S(t, ) a sin k t

=

= + + ( ) ( )k

k

2 1 1 sin ka

k

+ = (4)

Onde a defasagem da corrente em relao ao eixo de referncia.

- 2-

ivc

- 2-

ivc

Figura 4. Funo de chaveamento.

A modelagem matemtica foi realizada para um sistema monofsico, porm pode ser facilmente esten-dida para um sistema trifsico, atravs da defasagem angular de -2/3 ou +2/3 nas grandezas envolvidas.

3 Modelagem tensorial do GCSC

Nesta seo apresentada a formulao tensorial do sistema da Figura 3. Na formulao tensorial trabalha-se com a repre-sentao por srie de Fourier das grandezas fsicas. Para uma grandeza genrica peridica no tempo, u(t), sua representao ser:

( ) ( )Re Im0

( ) cos sink k

ku t u k t u k t

== (5)

Definindo o par ordenado Re Im,k ku u como o vetor associado componente harmnica de pulsao k , possvel reconstituir a grandeza peridica, u(t) conforme em (5) a partir do conhecimento destes vetores. Para determinar a tenso, vC ,e a corrente de linha, i, em regime permanente, necessrio calcular os seus vetores associados. Para isto, utilizou-se o mtodo de Newton. Linearizando (1) e (2), tem-se:

c cd i diR i L v v R i L vdt dt + + = (6)

C Cd v dvSS i i C C S idt dt

+ = (7)

Os termos , i e vC so os desvios das respec-tivas grandezas na vizinhana do ponto de operao, os desvios de corrente e de tenso so peridicos e podem ser representados conforme (5). Fazendo as substituies das grandezas por suas reprentaes em (6) e (7), obtm-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Re Im0

Re Im0

Re Im0

Re Im0

Re Im0

cos sin

sin cos

cos sin

cos sin

cos sin

k k

k k

k k

k k

k k

k

k

C Ck

k

k

R i k t i k t

k L i k t i k t

v k t v k t

v k t v k t

R i k t i k t

=

=

=

=

=

+ +

=

( ) ( )( ) ( )

Re Im0

Re Im0

sin cos

cos sin

k k

k k

k

C Ck

k L i k t i k t

v k t v k t

=

=

(8)

e

( )( )( )

( )

Im0

Re

Im0

Re

cos

sin

cos

sin

k

k

k

k

Ck

C

Ck

C

Z X

k C v k t

v k t

k C v k t

v k t Y

=

=

+

=

(9)

onde

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Re Im0

Re Im0

0 Re Im

Re Im0

Re Im0

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

l k

m

l l

m m

l l

k

mk

k

k

k

Z S l t S l t

i m t i m t

S SX l t l t

i m t i m t

Y S l t S l t

i

=

=

=

=

=

= = =

( ) ( )Re Im0

cos sinm m

km t i m t

=

Os termos Z, X e Y apresentam produtos de senos e co-senos que podem ser substitudos por somas atra-vs de relaes trigonomtricas. Para eliminar um dos somatrios necessrio levar em considerao que se est buscando combinaes de seus ndices (l e m) que produzem os valores de pulsaes k t ou k t ,

assim os termos podem ser substitudos por um soma-trio de elementos lineares. Por exemplo, no caso dos termos do vetor associado a Y ficam:

( )( )( )

( )( )( )

Re Re Re Im Im0

Re Re Im Im

Re Re Im Im0

Im Im Re Re Im0

Im Re Re Im

Im Re Re Im0

121212

121212

k m k m m k m

m k m m k m

k m m k m m

k m k m m k m

m k m m k m

k m m k m m

m

m kk

m

m

m kk

m

Y S i S i

S i S i

S i S i

Y S i S i

S i S i

S i S i

+ +

+ +

=

=

=

=

=

=

= +

+ +

+

=

+ +

+ +

(10)

Observa-se que alguns limites dos somatrios so infinitos, estes devem ser substitudos pelo nmero mximo de harmnicos (kmax) que se est analisando.

Separando os termos em senos e co-senos, obtm-se o sistema de equaes:

Re Re Im 1

Im Re Im 2

Im Re Re 3

Re Im Im 4

k k k

k k k

k k k

k k k

C

C

C

C

v R i k L i B

v k L i R i B

k C v X Z B

k C v X Z B

+ = + + = + + = =

(11)

Onde

1 Re Re Im Re

2 Im Im Re Im

3 Im Re

4 Re Im

k k k k

k k k k

k K

k K

C

C

C

C

B v R i k L i v

B v R i k L i v

B k C v Y

B k C v Y

= + = = = +

(12)

Se for considerado que a tenso no capacitor simtrica em relao origem, como normalmente o caso para regime permanente, s haver componentes harmnicas de ordem mpares (k = 1,3,5,...). Assim, o sistema de equaes na forma matricial, considerando apenas a componente fundamental e dois harmnicos, apresentado em (13), onde o segundo membro dado por (12).

= B

)2,2(5,5

)1,2(5,5

)2,2(3,5

)1,2(3,5

)2,2(5,1

)1,2(1,5Im

)1,2(5,5

)1,1(5,5

)1,2(3,5

)1,1(3,5

)2,1(1,5

)2,1(1,5Re

)2,2(5,3

)1,2(5,3

)2,2(3,3

)1,2(3,3

)2,2(1,3

)1,2(1,3Im

)1,2(5,3

)1,1(5,3

)1,2(3,3

)1,1(3,3

)1,2(1,3

)1,1(1,3Re

)2,2(5,1

)1,2(5,1

)2,2(3,1

)1,2(3,1

)2,2(1,1

)1,2(1,1Im

)2,1(5,1

)2,1(5,1

)1,2(5,1

)1,1(3,1

)2,1(1,1

)1,1(1,1Re

5

5

3

3

1

1

55

33

151

5131

311

1

aaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXC

RLLR

RLLR

RLLR

5Im

5Re

3Im

3Re

Im

1Re

Im

Re

Im

Re

Im

Re

1

5

5

3

3

1

1

iiiiii

vvvvvv

C

C

C

C

C

C

= B

)2,2(5,5

)1,2(5,5

)2,2(3,5

)1,2(3,5

)2,2(5,1

)1,2(1,5Im

)1,2(5,5

)1,1(5,5

)1,2(3,5

)1,1(3,5

)2,1(1,5

)2,1(1,5Re

)2,2(5,3

)1,2(5,3

)2,2(3,3

)1,2(3,3

)2,2(1,3

)1,2(1

)2,2(5,5

)1,2(5,5

)2,2(3,5

)1,2(3,5

)2,2(5,1

)1,2(1,5Im

)1,2(5,5

)1,1(5,5

)1,2(3,5

)1,1(3,5

)2,1(1,5

)2,1(1,5Re

)2,2(5,3

)1,2(5,3

)2,2(3,3

)1,2(3,3

)2,2(1,3

)1,2(1,3Im

)1,2(5,3

)1,1(5,3

)1,2(3,3

)1,1(3,3

)1,2(1,3

)1,1(1,3Re

)2,2(5,1

)1,2(5,1

)2,2(3,1

)1,2(3,1

)2,2(1,1

)1,2(1,1Im

)2,1(5,1

)2,1(5,1

)1,2(5,1

)1,1(3,1

)2,1(1,1

)1,1(1,1Re

5

5

3

3

1

1

55

33

151

5131

311

1

aaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaa

,3Im

)1,2(5,3

)1,1(5,3

)1,2(3,3

)1,1(3,3

)1,2(1,3

)1,1(1,3Re

)2,2(5,1

)1,2(5,1

)2,2(3,1

)1,2(3,1

)2,2(1,1

)1,2(1,1Im

)2,1(5,1

)2,1(5,1

)1,2(5,1

)1,1(3,1

)2,1(1,1

)1,1(1,1Re

5

5

3

3

1

1

55

33

151

5131

311

1

aaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXCaaaaaaXC

RLLR

RLLR

RLLR

5Im

5Re

3Im

3Re

Im

1Re

Im

Re

Im

Re

Im

Re

1

5

5

3

3

1

1

iiiiii

vvvvvv

C

C

C

C

C

C

(13)

Observa-se que os elementos passivos (L, C, e R) no apresentam relao inter-harmnica. Em contrapartida, a matriz tensorial que representa o GCSC cheia, caracterizando a relao inter-harmnica existente no dispositivo. Pois, por exemplo em (13), elementos de freqncias angulares 3 e 5 influenciam nas equaes de freqncia angular , e vice-versa.

4 Validao do Modelo

Nesta seo apresentado a validao da modela-gem tensorial do GCSC aplicado ao sistema de potn-cia apresentado na Figura 3, em regime permanente.

A validao foi realizada atravs de comparaes de resultado das formas de ondas obtidas no pacote computacional Mathematica e no programa de simula-o PSCAD/EMTDC. No Mathematica foi utilizado o mtodo Newton Raphson para o clculo das variveis,

com uma pequena tolerncia ( < 10-9), com 9 itera-es, e no PSCAD utilizou um passo de integrao de 10 s para obter a preciso desejada no instante de chaveamento.

A estrutura da matriz tensorial, impedncia, do

sistema de equaes para um nmero de harmnicos igual a 50 mostrado na Figura 5. Para sistemas de grande porte utiliza-se anlise nodal e a matriz admini-tncia muito esparsa. Tcnicas de esparsidade e ordenao so utilizadas para diminuir o esforo com-putacional.

As consideraes feitas foram: a tenso da fonte

puramente senoidal com magnitude de 65 kVrms e freqncia de 60 Hz. O valor da resistncia total de, R = 4,5 + 100 = 104,5 , a indutncia total de, L = 132 + 265 = 397 mH e o valor da capacitncia do

GCSC de,C = 200 F, o ngulo de corte () de 120 e o nmero de harmnicos analisados igual a 50 (kmax = 50).

. 0 50 100 150 200200

150

100

50

00 50 100 150 200

200

150

100

50

0

Figura 5. Estrutura da matriz do sistema com o GCSC conectado.

A Figura 6 apresenta as formas de onda da tenso

na fonte e da corrente de linha em regime permanente, obtidas no Mathematica e comparadas com os resulta-dos obtidos em simulao no PSCAD/EMTDC.

v [k

V]

i [10

0A

]

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

tempo [s]0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

- 75

- 50

- 25

0

25

50

75

100

-100

v [k

V]

i [10

0A

]

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

tempo [s]0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

- 75

- 50

- 25

0

25

50

75

100

-100

Figura 6 Formas de ondas da tenso e corrente de linha.

Observa-se que os resultados obtidos com o mo-delo tensorial esto de acordo com os simulados.

A forma de onda da tenso no capacitor e seu res-pectivo espectro harmnico so mostrados na Figura 7.

A corrente que passa no capacitor facilmente obtida multiplicando a matriz tensorial, determinada pelos coeficientes da funo de chaveamento, pelo vetor corrente de linha, i. A Figura 8 mostra o resulta-do.

Como a modelagem tensorial utiliza Sries de

Fourier para representar as grandezas peridicas, e a transio da funo de chaveamento foi considerada

ideal, de se esperar o aparecimento do Fenmeno de Gibbs, como observado na Figura 8. Um mtodo para contornar este problema utilizar o conceito de funes de chaveamento generalizadas, (Alves, Pilot-to, Watanabe, 2001).

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

tempo [s]

v C[k

V]

0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

4-

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

tempo [s]

v C[k

V]

0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

4-

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Modelo Tensorial

PSCAD/EMTDC

v C[k

V]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Modelo Tensorial

PSCAD/EMTDC

v C[k

V]

(b)

Figura 7 (a) Tenso no capacitor do GCSC. (b) Espectro harmnico de vC.

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

i C[k

A]

tempo [s]0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

Fenmeno de Gibbs

Modelo TensorialPSCAD/EMTDC

i C[k

A]

tempo [s]0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

Fenmeno de Gibbs

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.1

0.2

0.3

Modelo Tensorial

PSCAD/EMTDC

i C[k

A]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.1

0.2

0.3

Modelo Tensorial

PSCAD/EMTDC

i C[k

A]

(b)

Figura 8 (a) Corrente no Capacitor. (b) Espectro harmnico de iC.

5 Concluso

Neste trabalho foi apresentada a modelagem do dispositivo FACTS GCSC atravs da anlise linear utilizando a formulao tensorial. Os resultados obti-dos foram validados atravs da comparao com a simulao feita no programa PSCAD/EMTDC, em regime permanente.

O tratamento matemtico apresentado permitiu fazer a representao detalhada e precisa de um dispo-sitivo no linear levando em considerao sua nature-za tensorial. Observou-se a interao inter-harmnica do dispositivo com o sistema, mostrando-se mais a-brangente do que a formulao fasorial.

O mtodo tensorial permite fazer uma anlise mais apurada, pois identifica os fatores que influenci-am no sistema de uma forma direta. Esses fatores so mais difceis de identificar em simulaes com o PSCAD/EMTDC. Este modelo servir, no futuro, para estudos da resposta em freqncia do GCSC, inclusi-ve, interaes de harmnicos.

Para sistemas de grande porte, possivelmente, o mtodo se mostrar mais rpido e preciso do que si-mulaes realizadas no PSCAD/EMTDC. Alm de possibilitar a definio de funes de transferncias entre grandezas do sistema, permitindo a identificao de possveis plos instveis, o que no possvel numa simulao no domnio do tempo.

Os autores acreditam que com esta formulao se-r possvel identificar possveis ressonncias inter-harmnicas no GCSC e, tambm, projetar controles mais eficientes. Desta forma o tratamento tensorial apresenta-se como uma ferramenta poderosa para anlise de dispositivos FACTS.

Referncias Bibliogrficas

Cavaliere, C.A.C., Watanabe, E.H., Aredes, M., (2000), Anlise de Operao de STATCOM em Sistemas Desbalanceados, CBA2000, Florianpolis, Brasil.

Aredes, M. (1995). Active Power Line Conditioners, Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) Thesis, Technisishe Universitt Berlin

Martins, N., Lima, L. T. G., Pinto, H. J. C. P. e Ma-cedo, N. J. P., (1992), The Brazilizan Utilites Package for the Analysis and Control of Small-Signal Stability of Large Scale AC/DC Power Systems. In: Proceedings of III Symposium of Specialists in Electrical Operational and Expan-sion Planning, Belo Horizont , Brasil.

Kundur, P., (1994) Power System Control and Sta-bility 1 ed. , Mc Graw Hill Inc., Nova York, Estados Unidos.

Lima, L. T. G.,(1999), Aplicao de Sistemas Des-critores na Anlise de Transitrios em Redes El-tricas de Grande Porte, Tese de D.Sc., COPPE UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

Varricchio, S. L., Martins, N., Lima, L. T. G.,Carneiro JR., S., (1999) Studying Harmonic Problems Using a Descriptor System Approach, In: Pro-ceedings of the IPST99-International Conference on Power System Transients, Budapest, Hungria.

Portela, C. M., Anlise de Redes Eltricas, Lisboa, 1970.

Osauskas, C. M., Hume, D. J.,Wood, A.R., (2001) Small signal frequency domain model of a HVdc converter , IEE Proc. Gener. Transm. Vol.148, No 6.

Gomes JR., S.,(2002), Modelagem e Mtodos Nu-mricos para a Anlise Linear de Estabilidade E-letromecnica, Ressonncia Subsncrona, Transi-trios Eletromagnticos e Desempenho Harmni-co de Sistemas de Potncia, Tese de D. Sc. COPPE/URFJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

Karady, G. G. et all (1993), Continuously Regulated Series Capacitor, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 8, No.3, pp 1348-1354.

Souza, L. F. W., Watanabe, E. H., Aredes M.(2000), GTO Controlled Series Capacitors: Multi-module an Multi-Pulse Arrangements, IEEE Transactions On Power Delivery, Vol. 15, No. 2.

Alves, J. E. R., Pilotto, L. A. S., Watanabe, E. H. (2001), A Nonlinear Generalized Switching Function Model For SVC and TCSC Devices, Transaction of the Institute of Electricl Engineer-ing of Japan, vol. 121B, No. 5, pp. 605-610, Maro.