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Control Charts for Symmetrical Distribution Data with Positive Kurtosis 7

i t s u s e . T h e c o m p u t a t i o n o f t h e l i m i t s o f t h e " c l a ss i ca l " c o n t r o l c h a r t s a s s u m e st h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e d a t a m u s t b e n o r m a l l y d i s t r i b u t e d . If t h i s is n o t t h ecas e , t h e t y p e I e r ro r a r ea l l y o b t a i n ed w i l l b e d i f f e r en t t h an t h e ex p ec t ed t y p e Ie r r o r a = 0 .0 0 2 7 (3a l i m i t s ) . B u t h o w la rg e i s t h e d if f er en ce b e t w e en t h e o b s e rv eda n d t h e e x p e c t e d t y p e I e r r o r w h e n t h e k u r t o s i s i n c r e a s e s ? I n o r d e r t o e v a l u a t et h e i mp ac t o f t h e k u r t o s i s 72 o f t h e d a t a o n t h e o b s e rv ed t y p e I e r ro r w e u s e d t h ef o l l o w i n g a p p r o a c h : for a sa m pl e s i ze n G { 5 , 7, 9 } . for a ku rt os is 72 [ 0 , 1 0 ] , m e a n m i = 0 , a n d v a r i a n c e \i2 = \. c o m p u t e b a n d d u s i n g E q s . ( 3 ) an d (4 ) . ge ne ra te (by inve rse s im ula t ion o f Eq . (2 ) ) a se t o f m s a m p l e s o f n s y m m e t r i c a l

J o h n s o n Su r a n d o m v a r i a b l e s h a v i n g p a r a m e t e r s (b, d). T h e n u m b e r m o f s a m p l eh a s b e e n c h o s e n s u c h t h a t t h e t o t a l n u m b e r of g e n e r a t e d d a t a isTOx ro = 3 46 5 00 0.

c o m p u t e t h e m e a n , m e d i a n , s t a n d a r d d e v i a t i o n , a n d r a n g e fo r e a c h s a m p l e . co m p u t e t h e p ro p o r t i o n of d a t a o u t s i d e t h e co n t ro l l i mi t s for eac h o f t h e fo u r

s t a t i s t i c s . F o r a k u r t o s i s 72 0 , t h e e s t i m a t e d o b s e r v e d p r o p o r t i o n o f d a t ao u t s i d e t h e co n t ro l l i mi t s ( t h e t y p e I e r ro r ) mu s t b e c l o se t o t h e ex p e c t e d o n ea = 0 .0 0 2 7 , fo r a l l t h e co n t ro l ch a r t s .

I n F i g . 3 w e h a v e p l o t t e d t h e o b s e r v e d t y p e I e r r o r v e r s u s t h e k u r t o s i s f or s a m p l es ize n = 5 , 7 , 9 . T h e co n c l u s i o n s o f t h e s e s i m u l a t i o n s a r e : T h e m e a n a n d m e d i a n c h a r t s s e e m t o b e v e r y i n s e n s it i v e t o t h e k u r t o s i s o f t h e

d a t a . A s e x p e c t e d , t h i s is p a r t i c u l a r y t r u e fo r t h e m e d i a n . T h e l a r g e r t h e s a m p l es i z e , t h e m o r e i n s e n s i t i v e t h e c h a r t s .

I n c o n t r a r y , t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n a n d r a n g e c h a r t s s e e m t o b e v e ry s e n s i t iv e t ot h e k u r t o s i s . T h e r a n g e c h a r t is t h e m o s t s e n s i ti v e . T h e la r g e r t h e s a m p l e s iz e ,t h e m o r e s e n s i t i v e t h e c h a r t s .

F r o m t h i s , w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e m e t h o d p r o p o s e d in t h i s p a p e r is m o s t l yd e v o t e d t o t h e c o m p u t a t i o n o f t h e li m i t s o f s t a n d a r d d e v i a t i o n or r a n g e c h a r t s(d i s p e r s i o n c h a r t s i n g en e ra l ) o f d a t a h av i n g a p o s i t i v e k u r t o s i s , ev en if i t c a n a l s ob e a p p l i e d t o t h e o t h e r s t a t i s t i c s .6 . O C a n d A R L C u r v e sL e t X b e a s y m m e t r i c a l J o h n s o n Su w i t h p a r a m e t e r s (b,d). W i t h o u t l o ss o f g e n e r a l i ty , w e w i l l a s s u m e t h a t T O I = 0 . B y d e f i n i ti o n , t h e r an d o m v a r i ab l e Z def ined by :

Z = 6 s i n h - 1 ^ j (6)is a n o r m a l ( 0 , 1 ) r a n d o m v a r i a b l e . I n o r d e r t o c o m p u t e t h e O C a n d A R L c u r v e s o fa co n t ro l ch a r t u s i n g t h e m e t h o d p r o p o s ed i n t h i s p a p e r , w e h av e t o first f in d t h ed i s t r i b u t i o n s o f t h e r a n d o m v a r i a b l e s U a n d V def ined as :