4/9/2018

1

Luật phân phối xácsuất thường gặp

1

Chương 3

Phân phối xác suất

• BNN Liên tục: Chuẩn, Khi bình phương,Student, Fisher

• BNN Rời rạc: Nhị thức, Siêu bội, Poisson

2

Phân phối chuẩn N(, 2)

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn với

tham số và 2 nếu hàm mật độ của nó có dạng:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)• Là ppxs của bnn liên tục

3

2221

( ) ,2

x

f x e x R

4/9/2018

2

Đồ thị hàm mật độ

4

2

2

21)

2(

x

f x e

2

2

~ ,

)

)

X N

i E X V X

ii ModX MedX

Neáu thì:

Phân phối chuẩn tắc

• Standard Normal Distribution• Là bnn có pp chuẩn với trung bình là 0 là

phương sai là 1.• Ký hiệu X ~ N(0, 1) ta có:

5

2

21

2

x

f x e

Phân phối Chuẩn tắc

• Định lý:

• Ta có:

• Như vậy xác suất của một phân phối chuẩn bấtkỳ có thể được xác định thông qua phân phốichuẩn tắc N(0;1)

6

2~ , ~ 0,1 .Neáu thì: XX N Z N

a X bP a X b P P a Z b

4/9/2018

3

Xác suất N(, 2)

• Cho X ~ N(, 2) ta có:

• Với:

• Là tích phân Laplace

7

b aP a X b

2 /2

0

1

2

zxz e dx

Tính chất của hàm 𝜑(x)

8

)

) 0,5 0,5

) 0,5 5

i z z

ii

iii z khi z

z

2 /2

0

1

2

zxz e dx

Công thức xác suất của N(μ;σ2)

• Giá trị của tích phân Laplace dò trong bảng Phụlục 2.

• Xác định cậnchuẩn hóacận trên – cận dưới.

9

1)

2) 0,5

3) 0,5

b aP a X b

a aP X a

b bP X b

4/9/2018

4

Quy tắc k sigma

10

1. 2 1 0,6826

2. 2 2 2 0,9544

3. 3 2 3 0,9974

4. 4 4 1

2

2

P X

P X

P

P X

X

P X

Tính chất pp chuẩn

• Nếu a, b là các số thực thì:

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phânphối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.

11

2

1 1 1

1 222 2 2

~ ;~ ?;?

~ ;

X NZ aX bX N

X N

22~ ; ~ ;X N Z aX b N a b a

Ví dụ 1

1. Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xácsuất X>2Y.

2. Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10và P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?

12

4/9/2018

5

Giá trị tới hạn Zα

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là sốthực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:

• Chú ý:

13

P Z Z

0 1

0,5 10

Z Z

Z Z Z

Z

Ví dụ 2

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụtại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5

phút?b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t

là không quá 5%?

14

Ví dụ 3

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phânphối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hànhthì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trungbình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồngthì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu?

15

4/9/2018

6

Phân phối Loga chuẩn

• Lognormal Distribution• Nếu Y = lnX~N(𝜇, 𝜎2) thì bnn X gọi là có phân

phối Loga chuẩn với hàm mật độ:

16

2

2

ln

21, 0

20 , 0

x

e xf x xx

2

2 222 ; 1E X e V X e e

Phân phối Loga chuẩn

• Công thức tính xác suất

• Lấy logarit để đưa về phân phối chuẩn

17

ln ln ln

ln ln

P a X b P a X b

b aP a X b

Phân phối LogNormal

• Giá của một mã chứng khoán trong phiên giaodịch thứ n được ký hiệu là S(n).

• Người ta chứng minh được, khi n đủ lớn,X=S(n)/S(n-1) có phân phối loga chuẩn.

• Giả sử X có phân phối loga chuẩn với trung bìnhlà 0,0155 và độ lệch chuẩn là 0,075.

• Tính xác suất để mã chứng khoán này sẽ tăngtrong phiên sau.

18

4/9/2018

7

Phân phối Khi bình phương• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n

bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Ký hiệu:• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

19

12 2

2

1, 0

22

0 , 0

n x

n x e xn

f x

x

2~X n

Phân phối Khi bình phương• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị:

20

; 2E X n V X n

Quan hệ với pp N(0,1)

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phốiN(0,1).

• Khi đó:

21

2 2

1

~n

ii

X n

~ 0,1iX N

4/9/2018

8

Đồ thị hàm mật độ Khi BP• Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20

22

Đồ thị hàm mật độ• Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong

khoảng 3 độ lệch chuẩn)

23

30

2 60

7 74

,

E X n

V X n

Tính chất X~2(n)

24

2 21 1 2 2

21 2 1 2

) ~ ; ~

~

Neáu vaø ñoäc laäp thì:

X

a X n X n

X n n

2) ~ n,2n

0,12

Fn

Fn

b X n X N

X nN

n

Neáu thì

4/9/2018

9

Một số kết quả trong Thống kê

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phânphối chuẩn.

• Khi đó:

• (Khi lấy mẫu từ phân phối chuẩn)

25

2

2

1

~n

i

i

Xn

2~ ,iX N

Một số kết quả trong Thống kê

• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phânphối chuẩn.

• Khi đó:

26

2

2

1

~ 1n

i

i

X Xn

2

1 2

~ ,

1...

i

n

X N

X X X Xn

Giá trị tới hạn 𝜒2 (n; α)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝜒2(n;𝛼) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì:

27

2 ;nP Z

2 ;n

4/9/2018

10

Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

28

Ví dụ 4

• Cho

• Tìm các xác suất sau:

29

2~ 20Z

2) 0,95 20;0,95

) 8,2604 ?

) 10,8508 31,4104 ?

a P Z a hay

b P Z

c P Z

Phân phối Student t(n)

• Kí hiệu: X ~ t(n)

• Bnn X gọi là có phân phối Student với n bậc tựdo nếu hàm mật độ có dạng:

30

1

2 2

,

11 2

1

2

n

x

nx

f xn nn

4/9/2018

11

Quan hệ với Chuẩn và Khi BP

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Khi đó:

31

2~ 0,1 ; ~X N Y n

~ X X n

T t nY Y

n

Tính chất

32

Neu ~ thì:

) 0 1 ;

) 2 .2

) 0,1Fn

T t n

a E T n

nb V T n

n

c T N

So sánh với N(0,1)

33

4/9/2018

12

Đồ thị hàm mật độ t(5) và t(20)

34

Giá trị tới hạn 𝑡(𝑛, 𝛼)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝑡(𝑛, 𝛼) sao cho với Z~ 𝑡(n) thì:

35

;nZ tP

;0 ;1

;0,5 ;1 ;

;

0

n n

n n n

nn

t t

t t t

t Z

Bảng giá trị tới hạn Student

36

4/9/2018

13

Ví dụ 5

• Cho

• Tìm các giá trị tới hạn và xác suất sau:

37

~ 15Z t

15;0,025

15;0,975

) 0,025 ?

) 2,602 ?

) 2,0343 2,9467 ?

) 0,975 ?

a P Z a hay t

b P Z

c P Z

d P Z b hay t

Phân phối Fisher - Snedecor• Ta định nghĩa thông qua phân phối Khi bình

phương.• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.

• Đặt:

• Ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m)bậc tự do.

38

2 2~ ; ~X n Y m

/~ ;

/

X n mXF F n m

Y m nY

Đồ thị hàm mật độ• Gần giống với

đồ thị phânphối Khi bìnhphương.

39

4/9/2018

14

Đồ thị hàm mật độ

40

Đồ thị hàm mật độ

41

, 1,0Fmn

F n m N

Tính chất

• Cho X~F(n,m) thì:

42

2

2

, 22

2 2, 4

2 4

mE X m

m

m n mV X m

n m m

, 1,0Fmn

F n m N

4/9/2018

15

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu F(n, m, α) hay 𝑓(n, m, α) sao cho với F~𝐹(n,m) thì:

• Tính chất:

43

, ,P F f n m

, ,f n m

( )1

, ,1, ,( )

f n mf n m

Bảng giá trị tới hạn Fisher

44

Ví dụ 6

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:

45

) 0,05

) 0,01

) 0,95

a P F a

b P F b

a P F c

4/9/2018

16

Ví dụ 7

• Từ kết quả 2 lần thí nghiệm ta có 2 đại lượngngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khi bìnhphương với bậc tự do tương ứng là 4 và 6. Tìmxác suất để đại lượng thứ nhất bé hơn 3 lần đạilượng thứ 2.

46

Ví dụ 8

• Cho các bnn

• Giả sử các bnn độc lập nhau. Tính xác suất:

47

1 1~ 0; 1,5 ; ~ 0; 1,11

3 4i jX N i Y N j

5 112 2

1 1

3 2i ji j

P X Y

BÀI TẬP

• Sinh viên tự lập bảng giá trị tới hạn các phânphối Chuẩn, Student, Khi bình phương và Fisherbằng Excel

48

4/9/2018

17

Phân phối Nhị thức (Binomial)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theoqui luật Nhị thức nếu

• X={0,1,2,3…n}• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu: X~B(n,p)

49

k k n knP X k C p q

Mô hình Nhị thức

Đặt X là số lần bc A xuất hiện trong quá trìnhBernoulli gồm n phép thử.

Khi đó: X~B(n,p)

Chú ý:Gọi Y là số lần A không xuất hiện trong quá trình

BernoulliPhân phối xác suất của Y?

50

Tham số đặc trưng

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

51

)

)

) 1 1 1

i E X np

ii VX npq

iii n p ModX n p

4/9/2018

18

Ví dụ 9

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khiđiều trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Giảsử 15 người đồng ý chữa trị, hãy tính xác suất:

• A) Có đúng 10 người khỏi?• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi?• C) Khả năng cao nhất có mấy người khỏi bệnh?

52

Ví dụ 10• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết

bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bịhư hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lôhàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bịhỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và vớimỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ítnhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị đượckiểm tra?

53

Phân phối Không – một• Là trường hợp đặc biệt của phân phối Nhị

thức với n=1, hay B(1;p)• Ký hiệu khác: X~A(p)• Còn gọi là phân phối Bernoulli. • Bảng ppxs:

54

X 0 1P q p

E X p V X pq

4/9/2018

19

Tính chấtCho X1, X2 là hai bnn độc lập.Giả sử:

Khi đó:

Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, cócùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p)

55

1 1 2 2~ , ; ~ ,X B n X B np p

1 2 1 2~ ,X X B n n p

1

~ ~ ,n

i ii

X A p Z X B n p

Ví dụ 11

• Hai đội A và B tham gia đấu giải với nhau và độinào đạt 4 trận thắng trước là đội chiến thắng cảgiải. Xác suất đội A thắng một trận đấu bất kỳđều là p và giả sử rằng các trận đấu đều độc lậpnhau.

• Xác suất A thắng giải là bao nhiêu?

56

Phân phối Siêu bội

Định nghĩa: Bnn X gọi là phân phối theo qui luậtsiêu bội nếu:

• X là số nguyên• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu: X~H(N,NA,n)

57

.

A A

k n kN N N

nN

C CP X k

C

4/9/2018

20

Xét tập hợp có N phần tử.

Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Lấy ngẫu nhiên n phầntử, không hoàn lại.

X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.

Mô hình siêu bội

58

ANAN NTính chất A

Ta có:

Tổng quát:

Mô hình siêu bội

59

~ , ,A A

k n kN N N

AnN

C CP X k X H N N n

C

0; min ,A An N N k n N max

Các tham số

Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:

Trong đó:

60

;1

N nE X np V X npq

N

; 1ANp q p

N

4/9/2018

21

Ví dụ 12

• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽkhông mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗitrở lên. Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sảnphẩm ra kiểm tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗithì không mua lô hàng. Xác suất tìm thấy đúng1 sản phẩm lỗi biết lô hàng có 3 sản phẩm lỗi làbao nhiêu?

61

ModX

• Ta có:

• Với

• Công thức trên cho ta khoảng chứa ModX.

62

0 0 1k ModX k

0

1 11

2AN n

kN

Ví dụ 13Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5

bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó muaphải.

a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X?c) Tính ModX?

63

4/9/2018

22

Ví dụ 14Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.

Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phếphẩm trong 4 sp.

a) Luật phân phối xác suất của X.

b) Tính E(X), Var(X)?c) Tìm Mod(X)

64

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

65

~ ,X B n p ~ , ,AX H N N nn<<N

N>20n

A A

k n kN N N k k n k

nnN

C CP X k C p q

C

Ví dụ 15

• Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốpxe máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có1000 lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫunhiên 10 lốp xe từ nhà phân phối này thì xácsuất có 3 lốp mắc lỗi là bao nhiêu?

66

4/9/2018

23

Phân phối Poisson

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thờigian (không gian)

• X=0,1,2,…• X có thể là bnn Poisson• Ví dụ:• Số lỗi sai trên 1 trang in• Số khách hàng vào ATM trong 10 phút• Số người qua ngã tư trong 2 phút

67

Phân phối Poisson P(λ)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luậtPoisson P(λ) nếu

• X={0,1,2,3…}• Với xác suất tương ứng là:

• Kí hiệu: X~ P(λ)

68

( ) .!

k

P X k ek

Điều kiện

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham

số λ > 0 nếu:• (1) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng

rời nhau là độc lập.• (2) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1

khoảng ngắn h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.• (3) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự

kiện xh trong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ).

69

4/9/2018

24

Hàm mật độ• Công thức

• Lấy giới hạn

70

( ) 1k n k

knP X k C

n n

lim 1

1 2 1lim 1 1 1 1 1

!

!

k n kkn

n

n kk

n

k

Cn n

k

k n n n n n

ek

Các tham số và tính chất• Cho X~ P(λ). Ta có:

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).Ta có:

71

)

)

) 1

i E X

ii V X

iii ModX

1 2 1 2~X X P

Tham số đặc trưng• Xét tỷ lệ P(X=k+1) và P(X=k) ta có:

• Vậy

72

1

1 1

1

11 1

k

k

eP X k k

kP X ke

kP X k

kP X k

!

!

1 ModX

4/9/2018

25

Một số ví dụ• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi

phút.• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời

gian xác định.• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi

đơn vị độ dài của một con đường.• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng

hỗn hợp.73

Ví dụ 161) Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xácsuất trong 1 giờ cóa) Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)b) Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

2) Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộcgọi trong một giờ. Tính xác suất:a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.

74

Ví dụ 171) Gà mẹ ấp n quả trứng. Xác suất mỗi quả trứng nởra gà con là p (độc lập nhau). Xác suất mỗi gà consống được r (độc lập nhau)a) PPXS của số gà con nở ra là?b) PPXS của số con gà sống sót là?

2) Một cửa hàng một ngày nhận bán 10 loại nhật báokhác nhau. Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗiloại là 0,8. Vậy nếu trong một năm với khoảng 300ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bánkhông hết báo?

75

4/9/2018

26

Xấp xỉ xác suất

76

~ ,X B n p

~

.

X P

n p

~ , ,AX H N N nn<<N

Y ~

.

P

n q

n rất lớnp rất nhỏ n rất lớn

p rất lớn

Xấp xỉ pp chuẩn

77

2~ ,X N ~ ,X B n pn rất lớn

2

E X np

V X npq

0,1<p<0,9

5; 5

30

0,1 0,9

np nq

n

p

20npq

Công thức xấp xỉ

• Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2)

78

2 /2

2 11 2

1 1) ;

2

0,5 0,5)

xk npi P X k f f x e

npq npq

k np k npii P k X k

npq npq

4/9/2018

27

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

• Cho bnn X có phân phối Poisson

• Ta chứng minh được:

• Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi 𝜆 > 20. Nghĩa là:

79

~ 0,1X

N khi

~ ? ?X P E X V X

0,1 ~ , 20X

N khi X P

Ví dụ 18

• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩnvới kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2.Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Mộtvỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọnglượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì).Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xácsuất:

• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.• B. Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn.

80

Ví dụ 19• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình

của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệchchuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luậtchuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹhơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượngxung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tínhtỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc đượckhảo sát.

81

4/9/2018

28

Bài tập chương 3

• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16• 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38• 3.39; 3.40; 3.42• Tất cả 19 bài

82