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I PROCESOS Y OPERACIONES INDUSTRIALES

MATEMATICAS AVANZADAS

ENERO-ABRIL-2015

ING. MA. DEL RUBÍ ESPINOSA HERNANDEZ


UNIDAD I CALCULO DIFERENCIAL.

I.I Introducción al cálculo diferencial.

Definir conceptos de variable independiente, dependiente, función continua, discontinúa y limites.

Variable independiente: La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de límites que dependen del problema particular.

Variable dependiente: La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente.

Función continua supone que la función está definida para x = a, sin embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función.

Definición de límites: se dice que la variable v tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v- l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.


UNIDAD 1. CALCULO DIFERENCIALINTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL

EJERCICIOS CONTESTADOS.-Limites.-


PROBLEMAS CON SOLUCION:1. Calcular Lim -3

X 2 Solucion: Lim 3= 3

2. Calcular Lim XX 2 Solucion: Lim X= 2

3. Encontrar Lim X3X 3 Solucion: Lim X3 =(Limx)3 = (3)3 =27

4. Encontrar Lim (4x-5)2X 3 Solucion: 49

5. Calcular Lim 3x+2X 2 Solucion: 8

6. Determinar Lim √X+13X 3 Solucion: √ 16 =4

7. Evaluar Lim √ x+2X 7 2x -10 Solucion: ¾

8. Encuentre Lim √ x2+9X 4 X Solución: 5/4


9. Evaluar Lim (2x2 -3x+4)X 5 Solución: 39

10. Calcular Lim x2 -9

X 3 X -1 Solución: 0

11. Determinar Lim 4x -5

X 2 X2+3X+6 Solución: 316

12. Calcular Lim 5√ x2-x +(x2+4)2X 1 Solución: 25

13. Calcular Lim 5- 2 x2

X ∞ 3X +5X2 Solución: - 25

14. Encontrar Lim 4 x+52 x+3

X ∞ Solución: 2

15. Encontrar Lim 4t 2+3 +2

t 0 t 3 + 2t -6 Solución: −13

16. Encontrar Lim x2h+3xh2+h3

h 0 2xh+5h2 Solución : x2

17. Encontrar Lim S4-a4

S a s4-a2 Solución: 2a2

18. Encontrar Lim x2+x -6

X 2 x2-4 Solución: 54


19. Encontrar Lim 6x3-5x2+3x ∞ 2x3+4x-7 Solucion:3

20. Encontrar Lim (2z+3k)3 -4kz K 0 2z (2z-k)2 Solución: 1

Problemas Sin Respuestas

1. Lim ax4+bx2+cX ∞ dx5+ex3+fx

2. Lim ax4+bx2+c dx3+ex2+fx+y

x ∞

3. Lim 5-2x2

X ∞ x+5x2

4. Lim 4t 2+3r+2x 0 t 2+2r-6

5. Lim 6x2-5x2+3x ∞ 2x2+4x-7


6. √ x-2 x 4 x-4

7. √ x- √ax−¿ a lim a

8. Lim x2-9 x2-x-6 x 3

9. Lim 7x5-10x4-13x+6 3x2-6x-8 x 2

10. Lim x2-1 x2+3x+2 x 1

1.2 Reglas de derivación de funciones algébricas y trascendentales.

Derivada de una función de una variable: Es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

Incrementos. En una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final.

Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, según la variable aumente o disminuya al cambiar de valor a sí mismo.

La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función.

(1) Y=f(X) consideremos un valor inicial fijo de x.


Símbolos para representar las derivadas. Puesto que ∆y son cantidades finitas y tienen valores definidos. ∆x

Funciones derivables: de la teoría de los limites se deduce que si existe la derivada de una función misma debe ser continua para aquel valor de la variable.

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN. según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función y=f(x) comprende los siguientes pasos:

PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x +∆x, y se calcula el nuevo valor de la función y +∆y.

SEGUNDO PASO. Se resta el valor dado que la función del nuevo valor y se obtiene ∆y(incremento de la función).

TERCER PASO. Se divide ∆y (incremento de la función por ∆x (incremento de la variable independiente).

CUARTO PASO. Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x (incremento de la variable independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

2. REGLAS DE DE DERIVACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRACENDENTALES

Problemas Resueltos:1. Y= 2x3+3x+9x

y1= d(2x3) + d(3x) + d(9) dx dx dx

y1= 2d ( x3) + 3 d (x) + 0 dx dxy1= 2(3x2) + 3 (1)

y1= 6 x2+ 3

2. Y = 5x4 + 3x2 – 6

4. f(x) = 23 x3 -

32x2+5

f(x) = 23 d( x3)

−32 d (x3)

dx dx

f(x)= 23 (3 x2 )

−32 (2x)

f(x)= 63x2 -

62 x

f(x)= 2x2 - 3x5. ddy = ( 5 ym - 3 y + 6 )

D( 5ym) - d (3y) + d(6) dx dx dx

d( 5ym) – d (3y ) dy dy


y1= d ( 5 x4) + d ( 3 x2) – d(6) dx dx dx

y1= 5d (x4) + 3 d (x2) +0 dx dx

y1= 5 (4x3) + 6 (x)

y1= 20x3 + 6 x

3. Y= x9 + b

y1= d( x9) + b dx

y1= d (x) = ax 9-1 Dx

Problemas Con Solución:

1.ddx = (a + bx + c x2 ) Sol. B +2 cx

2.ddx ( 2 x−2 + 3 x−3) Sol. -4 x3- 9x−4

3.dds= ( 3s−4-5 ) Sol. -12s−5 -1

4.ddx = ( 4 x2

1 + x2 ) Sol. 2x x−¿21¿ + 2x

5. ddy = ( 5 ym - 3 y + 6 )

D( 5ym) - d (3y) + d(6) dx dx dx

d( 5ym) – d (3y ) dy dy


5.ddx = ( 2 x3 +5 ) Sol. 6x2

6.ddt = ( 3 t 5 - 2t 2 ) Sol. 15 t 4 – 4t

7.dθ = ( a θ4 + bθ ) Sol. 4aθ3 + b

8. ddt = ( 9t 3

5 + t−1 ) Sol. 15 t 32 - t 2

9. Y= (2x+3)3 Sol. 6 (2x+3)2

10. Y= √(2 x+3)3 Sol. 3√2x+3

Ejercicios sin respuestas:

1.dd∝= ( 5 - 2∝

32 )

2. Y= xn + nx +n

3. y= x5 + c

4. y=5x21 +√ x -

23x


5. y=3√2x + 4√x

6. y= 30x2 - 8dx + 5e

7. f(x)= (a+b)x2 + cx +d

8.ddy = (3xm - 2x -3)

9.ddy = (a +bx +cx3 )

10. y= 4x3 + 2x2 +c

Interpretación geométrica de la derivada. Ahora vamos a considerar un teorema que es fundamental en todas las aplicaciones del Cálculo diferencial a la Geometría.

Primero es necesario recordar la definición de tangente a una curva en un punto P de la misma, Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva (fig. 6). Hagamos que el punto Q se mueva sobre la curva aproximándose indefinidamente a P: La secante girará alrededor de P, y su posición límite es, por definición, la tangente a la curva en P. Consideremos ahora la gráfica de la función f (x) , o sea, la curva AB (fig. 6) , dada por la ecuación


DERIVACION

Procedamos ahora a derivar la función ( 1) según la regla general y a interpretar cada paso geométricamente. P ara ello escogemos R un punto P(x, y) de la curva, y un segundo punto QCx + ¡}.:r, y + ¡}.y), también de la curva y cercano a P.

Examinemos el sentido geométrico del 4to paso.Ahora se considera el valor de x como fijo. Luego P es un punto fijo de la grafica, así mismo ∆x varia tendiendo a C por tanto

evidentemente el punto Q debe moverse a lo largo de la curva y aproximarse a

P como posición limite. Luego la secante PQ girara alrededor de P y tendrá como limite la tangente P.


.

.

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

Importancia de la regla general. La regla general para derivación, dada es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de derivada, y es muy importante se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia.


Es cómodo expresar estas reglas especiales por medio de fórmulas, de las cuales se da a continuación una lista. El lector no sólo debe aprender de memoria cada fórmula cuando se ha deducido, sino también poder enunciar en palabras la regla correspondiente.En estas fórmulas u,v,w representan funciones derivables de x.


Derivada de una constante. Si se sabe que una función tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta función es constante, y podemos representarla pory = c .Cuando x toma un incremento ∆x, el valor de la función no sealtera ; es decir, ∆y = O, Y∆y = O∆x

Pero Lim ∆y = dy = o. ∆x dx

La derivada de una constante es cero.

Este resultado se prevé fácilmente. En efecto, la gráfica de laEcuación y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero. Y como la pendiente es el valor de la derivada resulta que la derivada es cero.

Derivación de funciones implícitas


Cuando y se define como función implícita de x, puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artículo anterior) el resolver la ecuación para obtener y como función explicita de x, o x como función explícita de y.

Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla:

Derivar la ecuación., término a término, considerando y cómo función de x, y de la ecuación resultante despejar dy . dx

Sólo se pueden sustituir solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuación dada.

Ejercicios:

1. Y=x2y + 3x

2. Xy+x-5y -7 = 2

3. y+xy-4y +4 = 0

4. y+3xy-2xy=1

5. y2+5xy-2=0

1.3 Aplicaciones de la derivada.


Dirección de una curva se ha demostrado que sí y= f(X)

Problemas Resueltos:4. y1= 3 (2 x−4 )3

y1= 3 (2 x−4 )3−1 . d (2x -4 )

y1= 3 (2 x−4 )2 (2)

y1= 6 (2 x−4 )2


1. y= 2 xx+1

y1= (1 +1) d (2x )dx

- (2x) d(x+1)dx

(x+1)2

y1= (x+1) (2) – (2x) (1)(x+1)2

y1= 2x + 2 – 2x (x+1)2

y1= 2 ( x +1 ) 2

2. y= sin √ x

y1= cos √x . d ¿¿) dx

y1= cos √x ( 1

2√x )

y1= 1

2√ x Cos √ x

3. y=cos √5 xy1 = Sen √5 x - d ( 5 x2

1)

dx

y1 = sen √5 x [12

(5 x )❑21−1d (5 x)]

dx

y1= - sen √5 x [52

(5x )−12 ]

4. y1= 3 (2 x−4 )3

y1= 3 (2 x−4 )3−1 . d (2x -4 )

y1= 3 (2 x−4 )2 (2)

y1= 6 (2 x−4 )2

5. Cθ3 + d θ2 + eθr1 = d (Cθ3) + d (d θ2) + d(eθ ¿ dθ dθ dθ

r1= c d θ + (d θ2) + e dθ dθ dθ dθ

r1= 3 cθ2 + 2θ + e


y1= -sen √5 x [ 52√5 x ]

Problemas Con Solución:

1. log x1 Sol. y1= 1

2x

2. y= 222

Sol. 2a2x log a

3. y= e5x Sol. 5 e5x

4. Y= tag 2θ Sol. 2sec2 2θ

5. Y=3√5 x−3 Sol. y1= 5

3 3√(5 x+3)2

6. Y=x2y Sol. y1 = 2xy

1−x2

7. Xy+x-2y -1 = 0 Sol. y1= y+1

−x+2

8. Y= arc sen 2x Sol. y1= 2

√1−4 x2

9. Arc sen (2x-3) Sol. y1= 1

√3x−x2−2

10. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y=x3+2x2+4punto (2,4).

y1= -sen [ 52√5 x ]sen

I. Y= 3x2 + 4x

II. m= y1= 3x2 + 4xy1= 3(2)2 + 4 (2)y1=¿ 20m= 20

IV. y-y0= −1m ( x - x0)

y- (4) =−120 (x-2)

y-4 =−120 (x-2)


Ejercicios Sin Respuestas:

1.csc √3x

2.v=3w√2w−1

3.w=6

4.Y=x2 y+x y2

5.x2 y2+ y3+xy=x

6.5xy +xy3− y 4=2

7.Y= arc cos x2

8. z= 4x + 2√x+ 3√ x

9. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva Y=x3−3 x2+7 en el punto (2,4)

III. y-yo=m (x - x0 )

y- (4) = m [ x−(2) ]y-4 =20 (x-2)y=-20(x-2) +4y=20x – 40 +4

y= 20x-36

IV. y-y0= −1m ( x - x0)

y- (4) =−120 (x-2)

y-4 =−120 (x-2)


10. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva y=x2+2x3−2 en el punto (2, 1).

Ecuaciones de la tangente y la normal; longitudes de la subtangentey la subnormal. La ecuación de la recta que pasa por el punto (Xl, YI) Y tiene de pendiente m es, Y - yl =m (x - Xl) .

Si esta recta es tangente a la curva AB en el puntoPI (Xl yI), entonces m es igual a la pendiente de la curva en (Xl, YI ).Si representamos este valor de m por mí, la ecuación de la tangente TPI , siendo PI (Xl, Xl) el punto de contacto , será

(1) y-y´=m1(x-x1)

Siendo la normal perpendicular a la tangente, su pendiente es, según (2), el valor negativamente reciproco de mi, Y puesto que también pasa por el punto de contacto PI(XI, YI), tenemos, como ecuación de la normal P1N :(2) 1 Y - YI = - 1 - (x - x¡). mi


Definición de las derivadas sucesivas.

Hemos visto que, en general, la derivada de una función de x es también una función de x, Puede ocurrir que esta nueva función sea también derivable; en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva, Análogamente, la derivada de la segunda derivada se llama la tercera derivada, y así, sucesivamente, hasta la enésima derivada, Así, si


UNIDAD 2.- CALCULO INTEGRAL

2.1 Métodos de integración

Identificar los diferentes métodos de integración:

Sustitución trigonométrica Y por partes.

En el Cálculo diferencial hemos aprendido a calcular la derivada f I (x) de una función dada ' f (x), operación que Se indica por d dx f (x) =f' (x) ,

o bien, si empleamos diferenciales, por df (x) = 1'(x)dx.

Los problemas del Cálculo integral dependen de la operación inversa,a saber:

Hallar una función f (x) cuya derivada(1 ) f¨(x) = ϕ(x)es conocida.

o bien, puesto que en el Cálculo integrales usual emplear diferenciales, podemos escribir

(2) df (x) = f' (x)dx = ϕ (x)dxy enunciar el problema del Cálculo integral como sigue:

Dada la diferencial de una función f (X) que así obtiene se llama una integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento de


hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral * ∫❑delante de la expresión diferencial dada; así,

(2) ∫❑f¨(x) dx = f (x),

Que se lee la integral de f¨(X)dx es igual a f (x). en general, el signo ∫❑se lee integral o integral de. La diferencial dx indica que x es la variable de integración.

El método de Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.

Problemas Resueltos:

Ejemplo 1. Encuentre ∫ x cos ( x )dx

Solución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es decir el integrando xcos(x) = f(x) g'(x)

∫ x cos ( x )dx=x sen ( x )−∫sen (x )dx=−xsen (x )+cos (x )+c

Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g': sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para resolverse que la original

∫ x cos ( x )dx x2

2cos ( x )−∫−x2

2sen ( x )dx

f(x) = x g '(x) = cos(x) f '(x) = 1 g(x) = sen(x)


Ejemplo 2. Encuentre ∫ x ex dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadro

Obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g' (x) = ex , tomamos su diferencial dv = e k dx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto sea dv.

∫ x ex dx=xe x−∫ ex dx=xe x−ex+cEn estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.

Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún otro procedimiento

Ejemplo 3. Encuentre ∫ x2 ex dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadro

∫ x2ex dx=x2ex−2∫ x exdx

la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:∫ x2 ex dx=x2 ex−2 (x exe x)+c

Observación: La elección u = e x, dv = x 2 dx nos lleva a una integral con un mayor grado de dificultad.


Ejemplo 4. Encuentre ∫ arctan x dxSolución. Utilizaremos el siguiente cuadro

∫ arctan xdx=x arctan x−∫ x1+x2dx

En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable, obteniendo:

∫ arctan xdx=x arctan x−12∈¿¿¿¿¿

Integrales de funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica.

∫ senx xdx∫ cosn xdxEjemplo 1. Resolver ∫ sen3 x dxSolución:

∫ sen3 x dx=∫ sen2 x sen x dx=∫(1−cos¿¿2 x)sen x dx ¿

Ejemplo 2. Resolver ∫cos5 x dxSolución: ∫(1−cos2)2 cos x dx=∫ ¿¿¿

El Método de Sustitución Trigonométrica Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:


la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método. Observe que si tomamos el cambio de variable.


Ejemplo 1


2.2 Integración indefinida para funciones algebraicas y trascendentales.

Características de una integral indefinida:

La constante arbitraria C se llama constante de integración y es unaCantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren sólo en constantes. Por tanto, ∫❑f'(x)dx = f(x) + C;

y puesto que C es desconocida e indefinida, la expresión f (x) + e

se llama la integral indefinida de f¨ (x ) dx.


Teorema: Si dos funciones difieren en una constante, tienen la misma derivada.

Teorema reciproco. Si dos funciones tienen una misma derivada, su diferencia es una constante.

Demostración. Sean ϕ (x) y ϕ y(x) dos funciones que tengan la misma derivada f (x). sea


Reglas para integrar las formas elementales ordinarias:

El Cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la diferencial.

Una regla general correspondiente, que pueda aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. * Cada caso necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación.

La integración es, pues, un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se forman tablas elementales de integrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas. Si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral. Si no está registrada, miraremos, por varios métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de artificios que sólo la práctica puede sugerir, una gran parte de nuestro texto se consagrará a la explicación de métodos_ para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la resolución de problemas prácticos.


Las dos reglas siguientes son útiles para la reducción de


Problemas Resueltos:

1. ∫ X4dx = x5

5 + c

2. ∫(2x )2 dx = 12 [ (2x )3

3 ] + c

= (2 x)3

6 + c

= 16 (2 x)3 + c

3. ∫¿¿ + 9 ) dx = ∫ X3dx+∫ x2dx+∫ 9dx

= x4

4 +x3+¿9∫ dx

= x4

4+ x

3

3+9 (x)+c


= x4

4+ x

3

3+9 x+c

4. ∫√3 x2−4 x dx = 16 ∫(3 x¿¿2−4 ) 1

2¿

=16

[3 x2−4 ] + c

32

= 19√¿¿¿ + c

5. ∫ ex2

x dx = du 2x dx

Problemas con solución:

1- ∫2 x2 x dx = Sol. ax2

2∈a +c

2. ∫2 dx2x−3 Sol. ¿(2 x−3)

2+c

3. ∫cos x5 x4dx Sol. – sen x5

5+c


4. ∫ x2+2x+2x+2

dx Sol. x2

2+2∈I x+2 I+c

5. ∫ x+2x+1

dx Sol. X +In (x+1) +c

6. ∫ x5dx Sol. x6

6+c

7. ∫ dxx2 Sol.

−1x

+c

8. ∫ 3√z dz Sol. 34z 4

3 + c

9. ∫ dx3√ x3 Sol. 3x1/2 + c

10. ∫2 x2−5 x+3 ¿ dx¿ Sol. 2x3

3−5 x3

2+3x+c

Ejercicios Sin Respuestas:

1.∫(1−x )√ x dx


2. ∫(3 s+4 )2 ds

3. ∫ x3+5x3−4x3 dx

4. ∫ ( 4 x3+3 x3+2 x+5 )dx

5. ∫ ( 3−2 x−x4 )dx

6.∫ dxd4

7.∫(a+x )3dx

8.∫√3 x−1dx

9.∫1+ y5 y3dy

10. ∫ dx(x−1)3

Integración de diferenciales trigonométricas


Consideramos ahora la integración de algunas diferenciales trigonométricas que se presentan con frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales inmediatas por medio de reducciones trigonométricas sencillas.

Cálculo de una integral definida. El procedimiento puede resumirse como sigue:

PRIMER paso. Integrar la expresión diferencial dada.

SEGUNDO paso. Reemplazar la variable en esta integral indefinida en primer lugar por el límite superior, después por el inferior, y estar el segundo resultado del primero.

No es necesario tener en cuenta la constante de integración, puesto que siempre desaparece en la sustracción.

Problemas con solución: FORMULAS 5-7


1. ∫ dxx Sol. In/x/+c

2. ∫ dx2 x−3 Sol.1

2 In/2x-3/+c

3. ∫ x dxx3−1

Sol. In c√ x2−1

4. ∫ x+2x+1

dx Sol. X+ In│x+1│ +c

5. ∫ e−3dx Sol. e3 x

3+c

FORMULAS 8-17

1. sen12xdx Sol. -2 cos 1

2x+ c

2. ∫cos 3x dx Sol. 13sen3x+c

3. ∫ sen3 xcos x dx Sol. sen3 x

3+c

4. ∫ tagx dx Sol. In│sec x│ + c

5. ∫ sen ydycos x Sol. Sec y + c


FORMULAS 18-20

1. ∫ dx1−x2 Sol.arc sen + c

2. ∫ dxx√ x2−1

Sol. Arc sen x + c

3. ∫ dxx√4 x2−9

Sol. 13 arc sec 2x

3+c

4. ∫ dx√4 x−x2 Sol. Arc sen x2 + c

5. ∫ dx√25−16 x2 Sol. 1

4 arcsen 4 x5

+c

FORMULAS 21-24

1. ∫ dxx2−1

Sol. 12 In │ z−1

x+1│+ c

2. ∫ dx√9 x2−25

Sol. 13∈│3 z+√9 z2−25│+c

3. ∫ dxx2+6 x+8 Sol. 1

2 In │ x+2x+4

│+c


4. ∫ x+2√ x2+9

dx Sol. √ x2+9+2∈(x√ x2+9)+c

5. ∫ dx9−x2 Sol. 1

6∈│ 3+ x

3−x│+c

FORMULAS 25-27

1.∫ √25−x2dx Sol.12x√25−x2+25

2arc sen x

5+c

2.∫√3−4 x2dx Sol. 12¿

3.∫√x2−36dx Sol.12x√ x2−36−18∈│x+√ x2−36│+ c


Ejercicios sin respuestas:

1.∫(4 x2+3 x2+2x+5)dx

2.∫ ( 3−2 z−x4 )dx

3.∫ ( 2−3 x+x3 )dx

4.∫(√ x¿−12x+2/√ x)dx¿

5.∫¿¿

6.∫ (x−2)3 /2dx

7.∫√3 x−1dx


8.∫√2−3xdx

9.∫ √1+ y4 y3dy

10.∫dx

(a+bx ) 13

UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

3.1 Ecuaciones diferenciales de primer ordenEs una ecuación que contiene derivadas o diferenciales.

El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece.

La derivada de mayor orden que aparece en una ecuación diferencial puede ser afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuación diferencial.

Solución de una ecuación diferencial: Es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación.

· web viewpara efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada...

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