Strain analysis

Displacement - length and angle changes

Displacement: change of positions of points in a body Deformation or strain: change in shape of a body due to displacementElastic, brittle, ductile deformation: reversible, fracture, flowFinite strain and incremental strain: strain path

Simple shear: = tan = a/b; shear strain; (, Angle between normal to the shear zone before and after deformation; a,b: b, width of shear zone, a: displacement parallel to shear zone), = gamma, = psi; clockwise rotation = negative.

Longitudinal Strain = Extension:e = (ld-l)/l;, (-1<e<+) (ld, deformed line length; l, initial line length)

Lagrangian extension equation for simple shear:e = (1 - 2yxcossin + 2

yxsin2)1/2 - 1; (, angle between the shear zone boundary and a line) (Fig. 1.10)Eulerian extension equation for simple shear deformation:e = (1 + 2yxcos’sin’ + 2

yxsin2’)1/2 - 1;

Homogeneous strain: all objects deformed but into objects which have again an identical formStrain ellipse: ellipse derived from a unit circle by homogeneous strain, long (major) axis: 1+e1, minor axis: 1+e2 (=principal finite strains)

Rotational component of strain: = ’ – (, omega, , theta), , ’ = orientation of the deformed and undeformed finite major/minor principal axesInternal rotation:tan = /2 or = 2tantan2 = tan(2’ - 2)

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Orientation of principal strain before and after deformation in simple shear:Lagrangian formulation: tan2’ = -2/ or = -2/ tan2’; zwei Lösungen bei 2’ und 2’+180Eulerian formulation: tan2 = 2/

Line rotation:w = ’ - (’, , orientation of a line in the deformed and undeformed state)cot’ = cot - or = cot - cot’ Principal quadratic extensions:(1 + e1,2)2 = 1 or 2 = ½(2 + 2 ± (2+4)1/2)Area change or area dilatation A:1 + A = (1+e1)(1+e2)

Practical strain measurement: initially circular and elliptical markers

Ellipticity or aspect ratio:

Voraussetzung - passende Marker = Objekte: Sphärulithe, Lapilli, Bläschen, Konkretionen, Pisolithe, Gesteinsfragmente, Fossilien, Ooide, Gerölle, Reduktionsflecken, Mineralkörner, Sedimentstruktu-ren, Brekzien, Xenolithe, Boudins, Wurmspuren, Nodules, Trockenrisse etc.

Rf/ plots:Plot long axes of elliptical markers against the orientation of their long axes (Fig. 5.3)

Rapid strain determination via means:

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is usually used for marking undefomed angles

same Ri, variable and specific Rs

same Ri, variable , no strain

mean arithmetic mean

geometric mean

harmonic mean

Rs < H < G < mean Rf

Mittelwertmethoden: Nachteil: alle zu hohe Intensität, weil sie initiale Orientierung () nicht berücksichtigt; ungenau bis auf H; Vorteil: H geht sehr rasch und gibt Ergebnisse innerhalb 10% Fehlergrenzen für regionale Analysen.

Rf/ Methode

Voraussetzungen: Elliptische Objekte, kein ViskositätskontrastBeziehungen zwischen: Ri, Rs, Rf, , :

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Herleitung der Rf/ -Diagramme und der Kurven mit konstantem Ri und spezifischem Rs: Mittels obiger Gleichungen sind aus unterschiedlichen Rs-Werten Kurven (Rf/ Kurven) mit konstantem Ri und Rs und variablem und Rf errechenbar (Fig. 2.2).

Die Gleichung für diese (konstantes Ri und variables ) Kurve ist:

Eingeschlossen wird der Punkt Rf = Rs, = 0, ein deformierter Kreis.

Suites of markers with identical initial orientation: Markers sharing the same initial orientation (; Fig. 2.5) define a curve on a Rf/ diagram termed a theta-curve (-curve). By varying the initial orientation of the whole suite, a family of -curves are produced, which radiate from the point = 0 and Rf = Rs.

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variable Ri curves

same Ri, variable -curve

Combining Ri- and -curves (Fig. 6.1) for a constant strain value Rs:

For variable Rs and Ri values standard Rf/ curves can be constructed (Fig. 5.4): no -curves are shown.

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Extreme Gestalten: Streuung (Fluktuation) von , ist eine Funktion von Ri, und Rs. Für Ri>Rs = 90°; für Ri<Rs < 90°. Fluktuation:

F=tan−1Rs(Ri

2−1)¿ ¿ ¿

Rfmax = RsRimaxRfmin = der größere Wert von Rs/Rimin, Rimin/Rs

Für Ri>Rs

(RfmaxRfmin)½ = Rimax (Rfmax/Rfmin)½ = Rs

Für Rs>Ri

(RfmaxRfmin)½ = Rs (Rfmax/Rfmin)½ = Rimax

Schwierigkeit: Genaue Bestimmung der Werte Ri, Rfmax, etc. aus Rf/ Plots (beste Dateneinhüllende).

Bevorzuge Auswertung zur Bestimmung des Strains: Annahme: initial ziellose Verteilung; Voraussetzungen: symmetrisch um Vektormittel von ; Vektormittel von = ½arctan (Σsin2/Σcos2)

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Methode des Vergleiches mit Standardkurven (visuell): Standardkurven werden solange an die unbekannte Verteilung angepasst bis die Ri-Kurven die Daten bestmöglich einhüllen und die -Verteilung einer ziellosen Ursprungsverteilung entspricht (d.h. in jedem -Kurven Intervall sollten gleich viel Datenpunkte liegen. Das Fitten wird mit dem Einzeichnen des Vektormittelwerts und des Harmonischen Mittelwerts erleichtert (see Fig. below).

The best principle is to find a set of -curves for which the distribution of ’s is most uniform (Fig. 4.3).

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Methode der Anwendung eines -Verteilungstests: Zu finden ist die uniformste Verteilung der Messwerte innerhalb der -Kurven; Vorgangsweise: mit harmonischen Mittelwert den Bereich des Rs

einschränken, indem wir suchen.

2-Test machen: i=k

2 = = Σ[(Oi-Ei)²/Ei]i=1

E, erwartetes n in einer Zelleinheit (z.B. zwischen 2 -Kurven); ACHTUNG E sollte ≥ 5 sein; O, beobachtetes n; Nullhypothese ist uniforme Verteilung: E=N/k (k.. Anzahl der Zellen).

Zellen sollten je nach Datenmenge gewählt (Fig. 4.5).

Eine signifikant gute Verteilung ist erreicht wenn der errechnete Wert unterhalb dem in der Tabelle 4.3 angegebenen liegt.

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Mehrere Versuche: niedrigster χ2-Wert gibt bestes Rs Ergebnis: in der Praxis wird Rs in 0.1 Schritten variiert (Abb. 3.9)

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bester Rs-Wert

Ein weitere Unterstützung bietet die 50% = 45°-Kurve (Abb. 3.7):

Schichtungssymetrische Gefüge: Häufig in Sedimenten, Vulkaniten; Voraussetzung: s0-Spur sichtbar und Winkel zwischen s0 und sf

messbar. Initiale Annahme eines symmetrischen Gefüges kann getestet werden.I SYM=1−(|nA−nB|+|nC−nD|)/N

Mit nA-D als Anzahl der Datenpunkte in den Arealen A-D. Die einzelnen Areale werden definiert durch den Vektormittelwert und den harmonischen Mittelwert (Fig. 4.2). Hohe Werte zeigen symmetrische Verteilungen.

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Such distributions can be unstrained, using the symmetry around bedding (plotted as R f=50 and = bedding; Fig. 4-9). Destraining takes place about a line corresponding to the extension direction, that is e.g. the cleavage trace (cleavage is aligned with = 0).

There are several computerized versions of Rf/ analysis.

Datenerfassung: Objekte: alles in was man eine Ellipse einschreiben kannFlächen: im Gelände Kluftflächen, etc. und die Markerlinie ist down-dip. Flächen: im Labor Orientierung der Flächen für 3-D Strain am einfachsten nach Hauptstrainflächen. Generell: je orthogonaler desto besser; 3 Flächen für beliebige Orientierung; 2 Flächen für Hauptstrainschnitte; 3 Flächen geben internen Check (RsYZ × RsXY = RsXZ).

3-D Strain: Messungen an 2 Hauptstrainflächen; beliebige Orientierung = 3 Flächen (= 3 2-D Resultate = Rs und s). Problem der Fehler in 2-D Messungen: es muss eine Kompatibilität (Anpassung) hergestellt werden. Wenige Computerprogramme.

Messungsauswahl: Z.B. Gerölle, Minerale: nur eine lithologische Gruppe; Größengruppen, z.B. bei Drücklösung; Viskositätskontrast: eventuell vermerken

Anzahl der Messungen: Objektspezifisch: Gerölle >50.

CENTER TO CENTER METHODEN

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Strainbestimmung in Gesteinen wo Objekte (bzw. deren Mittelpunkte) definiert werden können, deren Gestalt aber nicht zur Strainbestimmung herangezogen werden kann. Z.B. in Konglomeraten, die einen deutlichen Kompetenzkontrast mit der Matrix zeigen (geben mit der Rf/ Methode nur den Objektstrain nicht den des Gesamtgesteins) oder bei Drucklösungsdeformation.

Annahmen: * initial ziellose Verteilung der Objektmittelpunkte; * homogener Strain

Exkurs: initiale ziellose Verteilungen von Punkten:* Poissonsche Verteilung (Punktgruppen [cluster] und relativ leere Räume stehen einander gegenüber); es ist unmöglich Strain aus deformierten Poissonschen Verteilungen zu errechnen, wenn nicht die ursprünglichen kürzesten Verbindungslinien zwischen den Punkten festgestellt werden können.* Statistisch uniforme Verteilungen: Punkteabstände ziemlich konstant (kein Cluster- bzw. Anticlustering). Solche Verteilungen entstehen, weil die Objekte, die diese Verteilungen aufbauen, eine charakteristische initiale Gestalt haben, und ihre Mittelpunktabstände durch die Art ihrer Packung kontrolliert werden. Die Deformation einer solchen Punktverteilung führt zu einer geometrischen Veränderung. Die Mittelpunkte zeigen größere Separation in Richtung der langen Achse des Strainellipsoids und kürzere in Richtung der kürzeren Achse. Die Separationsdistanzen sind eine direkte Funktion des Strains.

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Methode der nächsten Nachbarn

Basiert auf obig beschriebenen Veränderungen der Mittelpunktabstände: * gut geeignet wo die ursprünglichen Objektabstände ziemlich uniform warenVorgangsweise: * Bestimmung der Objektmittelpunkte * Bestimmung der nächsten Nachbarn durch Zeichnen der Verbindungslinien zwischen den nächsten Objekten (sind diejenigen, bei denen die Mittelpunktverbindungslinien kein anderes Objekt schneiden). * Messung der Abstände (d') zwischen den einzelnen Objekten (Länge der Verbindungslinien) und der Winkel ', die die Verbindungslinien mit einer Referenzlinie (am besten wieder Streckungslineation und Schieferungsspur) einschließen.* Plotte in einem x-y Plot die Wertepaare mit d' als y-Achse und 'als x-Achse* Finde eine "best-fit" Kurve zum entstehenden Diagramm (viele Daten sind notwendig!) und bestimme die Maximum- und Minimumwerte der Kurve und ihre Symmetrieachsen. Am einfachsten bestimmt man diese Kurve durch die Mittelwertsberechnung von d' in einem bestimmten '-Intervall (z.B. 10).* Rs = d'max/d'min; s ist der Winkel von d'max.Siehe Fig. 7.6, 7.17, 7.18 und Abb. 3.17.

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Fry Methode (Dichteverteilungsmethode)

Zur Erläuterung: dichteste Kugelpackung; Abstand der Punkte reflektiert Kugelradius (und Packungsart bei anderen Verteilungen); bei der dichtesten Kugelpackungen ist der kürzestmögliche Abstand 2 der Radius, der nächstmögliche Abstand 23r, etc. Es ergibt sich ein zonierter Wechsel der Abstände (siehe die Zonierungen in Fig. 7.10). In natürlichen Gesteinen ist diese Zonierung nicht stark ausgeprägt, generell vom Objektdurchmesser bestimmt und wird nach außen schwächer.Bei Deformation werden diese Zonierungen, die im undeformierten, statistisch uniform verteilten (anticlusterten) Fall, konzentrische Kreise sind, entsprechend dem Strainellipsoid verändert, d.h. zu Ellipsen.

Vorgangsweise: (graphische Methode)* Markiere und nummeriere auf Transparent alle Objektmittelpunkte; * Markiere auf einem weiteren Transparent einen zentralen Referenzpunkt und ein fixes Koordinatensystem entlang dem das Transparent gegenüber dem unteren gleichbleibend verschoben werden kann; * Platziere den Referenzpunkt über einen Objektmittelpunkt des unteren Transparentes und markiere alle Punkte des unteren Transparentes (behalte die Orientierung aufrecht); * Bewege das obere Transparent im Referenzgerüst und markiere alle Punkte bis alle unteren Punkte einmal als Referenzpunkte gedient haben (oder bis was

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rauskommt) (es empfiehlt sich das Referenzgerüst wieder parallel der Streckungslineation bzw. der Schieferungsspur zu legen); * Bei Erfüllung der Annahme (initial statistisch uniforme Verteilung mit Anticlustering) ergibt sich eine Zonierung deren Form und Orientierung Rs und entspricht. Die unterste Zonierung, die einen punktleeren bzw. unterbesetzten Raum umschließt, resultiert aus der Tatsache, dass sich zwei Objekte nicht näher als 2 ihr Radius kommen können. Um dieses Feld zeigt sich eine erhöhte Punktdichte: diese spiegelt den häufigsten Packungsdichteabstand wider. Diese Zonierung wird unscharf, wenn eine große Größenvariation der Objekte vorliegt.

Wichtiger Unterschied zur Rf/ Methode: nicht gestaltabhängig und Duktilitätskontrast geht nicht in Analyse. Nachteil: nur mittel Computerprogrammen durchführbar, sonst macht die graphische Methode verrückt.

Erweiterte Fry-Methode:Eine Verbesserung kann die Beschränkung auf Kornzentren sich berührender oder wenigstens nahezu berührender Nachbarn und vor allem auf einen bestimmten Kornumfang bringen. Durch die Korngrößenbeschränkung wird der punktfreie Raum klarer.

Die "normalisierte" Fry-Methode: Mit der Normalisierung des Zentrumabstandes auf den Radius wird versucht die dreidimensionale Form der Objekte und vor allem ihre Größe zu berücksichtigen. Bei Objekten mit annähernd kugeliger Form kann man den Abstand zwischen zwei Objektzentren in einer Ebene nach der Formel:

auf die Größe der Objekte beziehen. Dabei ist Dn der normalisierte Abstand, der sich aus dem Abstand zwischen zwei Objektzentren (D) und den Radien der zwei Objekte (r a und rb) errechnet. Je näher zwei solche kugelförmigen Objekte beieinander liegen, desto mehr nähern sich die Summe der Radien und der Objektabstand einander an. Folglich wird der normalisierte Abstand immer kleiner und nähert sich 1 an. Durch diese Berechnung wird die Anwendung der Methode von Korngrößenvariationen weitgehend unabhängig und es können auch schlecht sortierte Korn-aggregate untersucht werden.

Bei elliptischen Objekten wird die Formel verwendet.

Dabei sind Xa und Xb die längsten und Ya und Yb die kürzesten Achsen der Ellipsen. Das Resultat ist ähnlich wie bei der Anwendung der einfachen Fry-Methode; die 2-D Strainellipse wird jedoch klarer durch das Punktmuster nachgezeichnet.

Verschiede analytische Methode können verwendet werden, um die bestmögliche Ellipse zu fitten (verschiedene Programme).

Erweiterte normalisierte Fry-Merhode:

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Hier werden alle Punkte eliminiert, die in einem Abstand zum punktarmen Raum liegen, der größer ist, als ein vorher festgelegter Wert (meist 1.05 oder 1.1 des normierten Durchmessers Dn). Kleinere Werte als 0.9-0.95 werden ebenfalls eliminiert.

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Einen Vergleich der Fry-Varianten gibt Abb. 3.19:

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Die Projektionsmethode

Umrißlinien von Körnern oder Partikeln in einem Gestein können näherungsweise als geschlossene Polygonzüge mit einer variablen Anzahl gerader Linien dargestellt werden. Bei der Projektionsmethode wird die Länge der Projektion (P) einer Teillinie auf die x-Achse eines Koordinatensystems, das in einem bestimmten Winkel (α) zur Referenzachse einer Probe (bzw. in Abb. 3.20 zur Längsachse der Ellipse) steht.

Der Strainwert wird berechnet aus:

R=ab=

A (α)max

A (α )min=

B(α )max

B(α )min

Bei der Berechnung eines Datensatzes nach der Projektionsmethode werden die Teillinien sämtlicherKornumrisse, die digitalisiert wurden, auf ein Koordinatensystem x-y projiziert, das in festgelegten Winkelintervallen um die Linien rotiert wird (Abb. 3.21).

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Die projizierten Längen werden für jede Stellung des Koordinatensystems separat addiert und in einem Diagramm Rotationswinkel des Koordinatensystems gegen Gesamtprojektionslänge aufgetragen (Abb. 3.22). Die für verschiedene Stellungen des Koordinatensystems ermittelten Werte ergeben bei einer Vorzugsorientierung eine sinusförmige Kurve, deren Amplitude die Elliptizität und deren Maximum die Orientierung der Hauptachse der Verformungsellipse repräsentiert.

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Elongationsmessungen

Ausgeführt an rigiden länglichen Objekten (Abb. 3.26).

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