ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Хабаровск 2000 г.

Министерство образования Российской ФедерацииХабаровский государственный технический университет

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Краткий справочник

ХабаровскИздательство

ХГТУ2000г.

УДК 517

Высшая математика: Краткий справочник / Сост. Л. В. Васильева,В. В. Мухранова, О. А. Романчук − Хабаровcк: Издательство Хабаровскогогосударственного технического университета, 2000 г.−52 с.

Работа составлена на кафедре «Высшая математика». Содержит формулыи краткие сведения из основных разделов математики.

Для студентов всех курсов и специальностей при выполнении контрольныхи самостоятельных работ, домашних заданий.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Высшая математика»и методического совета ФММПУ.

Главный редактор Л. А. СуеваловаРедактор Е. Н. Ярулина

Компьютерная верстка Т. Б. Дамбаевой

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020526 от 23.04.97Подписано в печать 09.11.00. Формат×84 1/16.

Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,8.Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 450 экз. Заказ 26. С136.

Издательство Хабаровского государственного технического университета.680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

c©ИздательствоХабаровскогогосударственноготехническогоуниверситета, 2000.

Содержание

Элементарная математика 6Формулы сокращенного умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Cвойства степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Cвойства логарифмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Формулы тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Значения тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . 8Формулы приведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Решение тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . 8Прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Элементарные функции и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Основы линейной алгебры и аналитической геометрии 12Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Решение систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 13Матричный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Вычисление в координатной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Прямая и плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Введение в математический анализ 20Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Эквивалентные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Дифференциальное исчисление 22Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Физический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

Дифференцирование сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 22Дифференцирование функций, заданных параметрически . . . . 23Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . 23Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Исследование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Выпуклость, вогнутость, точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . 25Асимптота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Интегральное исчисление 25Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Таблица интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Основные правила интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . 28Механические приложения определенного интеграла . . . . . . . 29

Функции нескольких переменных 29Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 29Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Дифференциальные уравнения 31Дифференциальные уравнения 1-го порядка . . . . . . . . . . . . 31Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоян-

ными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Со специальной правой частью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Ряды 34Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4

Геометрическая прогрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Необходимый признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов . 35Признак сходимости рядов с эквивалентными членами . . . . . . 35

Признак сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Разложение функции в степенной ряд Тейлора . . . . . . . . . . . 37

Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Разложение элементарных функций в степенные ряды . . . . . . 37

Теория вероятностей 38Основы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Классическое определение вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . 38Сложение вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Умножение вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Формула Пауссона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Локальная теорема Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Локальная теорема Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . 41Биномальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Распределение Пауссона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Элементы математической статистики 43

Элементарная математика

Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2

Cвойства степени

anbn = (ab)n

an

bn =

(ab

)n

aman = am+n

an ÷ am = an−m

(am)n = amn

a0 = 1

a−n =1an

n√am = amn

Cвойства логарифмов

aloga b = b

loga bc = c loga b

logabc

= loga b − loga c

logac b =1c

loga b

loga ab = b

loga bc = loga b + loga c

loga b =logc blogc a

6

Формулы тригонометрии

sin2 α + cos2 β = 1

tgα =sinαcosα

secα =1

cosα

1 + tg2 α =1

cos2 α

ctgα =cosαsinα

cosecα =1

sinα

1 + ctg2 α =1

sin2 α

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2 α − sin2 α

tg 2α =2 tgα

1 − tg2 α

sin2 α

2=

1 − cosα2 cos2 α

2=

1 + cosα2

tgα

2=

1 − cosαsinα

=sinα

1 + cosα

sinα =

2tgα

2

1 + tg2 α

2

tgα =

2 tgα

2

1 + tg2 α

2

cosα =

1 − tg2 α

2

1 + tg2α

2

ctgα =

1 − tg2 α

2

2 tgα

2

sinα cos β =12

(sin(α + β) + sin(α − β))

cosα cos β =12

(cos(α + β) + cos(α − β))

sinα sin β =12

(cos(α − β) − cos(α + β))

7

sinα ± sin β = 2 sinα ∓ β

2cos

α ∓ β

2

cosα + cos β = 2 cosα + β

2cos

α − β

2

cosα − cos β = −2 sinα + β

2sin

α − β

2

Значения тригонометрических функций

x 0π

6π

4π

3π

2π

3π2

sinx 012

√2

2

√3

21 0 -1

cosx 1√

32

√2

212

0 -1 0

tgx 0√

32

1√

3 - 0 -

ctgx -√

3 1

√3

30 - 0

Формулы приведения

xπ

2− α

π

2+ α π − α π + α

3π2− α

3π2

+ α 2π − α 2π + α

sinx cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinαcosx sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosα cosα

tgx ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgα tgαctgx tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα ctgα

Решение тригонометрических уравнений

1. sin x=a, |a|≤1,

x = (−1)n arcsinα + πn, n ∈ Z

(arcsin(−α) = − arcsinα).

В частности,

sin x = 0, x = πn, n ∈ Z

sin x = ±1, x = ±π

2+ πn, n ∈ Z.

8

2. cos x = α, |a| ≤ 1,

x = ± arccosα + 2πn, n ∈ Z;

arccos(−α) = π − arccosα).

В частности,

cos x = 0, x =π

2+ πn, n ∈ Z;

cos x = 1, x = 2πn, n ∈ Z;cos x = −1, x = π + 2πn inZ.

3. tg x = α,

x = arctgα + πn, n ∈ Z; (arctg(−α) = − arctgα).

4. ctg x = α,

x = arcctgα + πn, n ∈ Z; (arcctg(−α) = π − arcctgα).

Прогрессии

Арифметическаяan+1 = an + d−определение арифметической прогрессии.an = a1 + d(n − 1)−формула n-го члена.an =

an−e + an+e

2−характеристическое свойство.

S na1 + an

2n =

2a1 + d(n − 1)2

n−формула суммы n первых членов.

Геометрическаяbn+1 = bnq−определение геометрической прогрессии.bn = b1qn−1 −формула n-го члена.b2

n = bn−e · bn+e −характеристическое свойство.

S n =bnq − b1

q − 1=

b1(qn − 1)q − 1

−формула суммы n первых членов.

S =b1

1 − q−сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q|<1.

9

Элементарные функции и их графики

����������

Прямая6

-α

0 x

y

b

y = kx + b

k = tgα

Парабола6

-0 x

yy = x2

Кубическая параболаy = x3

6

-

0 x

y

Парабола

6

-x

y

y =√

x

Показательная функция y = ax

6

-

0

0 x

ya > 1

10 x

y6

-

0 < a < 1

1

6

-0 x

y

Логарифмическая функция y = loga x

a > 1

1

6

-0 x

y0 < a < 1

1

10

6

-0-1π

2

2ππ

x

yy = sin x

Тригонометрические функции

� � � �� � 6

-0 -1

π2

3π2

1

x

yy = cos x

� � �� �

y = tg x

6

-x

y

0−π

2π

2

y = ctg x

6

-

x

y

0 π

2

π

Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x

6

-x

y

0

π

2

−π

2

1-1

y = arccos x

6

-x

y

01-1

π

π

2

y = arctg x6

-x

y

0

π

2

−π

2

y = arcctg x6

-x

y

0

π

2

π

11

Основы линейной алгебрыи аналитической геометрии

Определители

Определитель второго порядка

a11 a12

a21 a22= a11 a22 − a12 a21.

Определитель третьего порядка

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22 a23

a32 a33− a12

a21 a23

a31 a33+ a13

a21 a22

a31 a32

Минором Mi j элемента ai j называется определитель, получаемый из данноговычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположенэлемент ai j.Алгебраическое дополнение

Ai j = (−1)i+ jMi j.

Определитель n-го порядка:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...

an1 an2 · · · ann

=

n∑k=1

aikAik =

n∑i=1

aikAik.

Матрицы

Матрица−прямоугольная таблица чисел.a11 a12 . . . a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...

am1 am2 · · · amn

=(ai j

)m,n

12

Умножение матрицы на числоA =

(ai j

)m,n, α ∈ R, B = αA =

(α ai j

)m,n.

Сложение матрицA =

(ai j

)m,n

; B =(bi j

)m,n

; C = A + B =(ci j

)m,n

; ci j = ai j + bi j.

Умножение матрицA =

(ai j

)m,n

; B =(bi j

)n,k

; C = AB =(ci j

)m,k

;

ci j =

n∑s=1

aisbs j = ai1b1 j + ai2b2 j + · · · + ainbn j

Каждый элемент матрицы C равен скалярному произведению строки левойматрицы A на соответствующий столбец правой матрицы B.

Обратная матрица

Матрица A−1 называется обратной к матрице A, если

A A−1 = A−1 A = E =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0......... . . . ...

0 0 0 · · · 1

− единичная.

Схема нахождения обратной матрицы:1. Вычислить определитель матрицы A, det A , 0.

2. Для каждого элемента ai j найти алгебраические дополнения Ai j.

3. Составить новую матрицу A1, заменив элементы ai j матрицы A наалгебраические дополнения Ai j.

4. Протранспонировать матрицу A1 (поменять местами строки и столбцы),получим AT

1 .

5. A−11 =

1detA1

AT1 .

Решение систем линейных уравнений

Формулы Крамераa11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

13

4 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

4x1 =

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

4x2 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

4x3 =

b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33

x1 =4x1

4, x2 =

4x2

4, x3 =

4x3

4.

Матричный метод

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

b1

b2

b3

, X =

x1

x2

x3

.Решение системы: X = A−1 B.

Векторы

Вектор−направленный отрезок.��

���1

AB

~a

Длина или модуль вектора |−−→AB| = |~a|−расстояние между его началом и

концом.Коллинеарные векторы параллельны одной прямой.Компланарные векторы параллельны одной плоскости.

~a = ~b⇔ коллинеарны, одинаково направлены, |~a| = |~b|

Сумма ~c = ~a + ~b

����

�*

-����

~b ~c

~a����

-������*

~b~c

~aПроизведение вектора |~a| на число α, |~b| = α|~a|:

1. |~b| = |α| · |~a|,

2. ~b коллинеарен~a,

3. α < 0 ⇒ ~a, ~b противоположно направлены.

14

Проекция вектора на ось:

- -����

����

�1��

����

���1

HHH

HHH

HHY

HHH

HHHH

HY

A

A′

B

A′

B

B′

A

B′l lPl−−→AB = |

−−→AB| · cosϕ Pl

−−→AB = −|

−−→AB| · cosϕ

ϕ ϕ

Pl−−→AB = |

−−→AB| · cosϕ

Координаты вектора−его проекции на оси координат.A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) − координаты точек.~a =−−→AB = (ax, ay, az), где

ax = p0x~a = x2 − x1, ay = p0y~a = y2 − y1, az = p0z~a = z2 − z1

~a + ~b = (ax + bx, ay + by, az + bz)α~a = (αax, αay, αaz)

Длина вектора: |~a| =√

a2x + a2

y + a2z

Направляющие косинусы вектора:cosα =

ax

|~a|, cos β =

ay

|~a|, cos γ =

az

|~a|, cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Орт вектора ~a : ~e =

(ax

|~a|;

ay

|~a|;

az

|~a|

)~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1)-декартов базис~a = (ax, ay, az) = ax~i + ay~j + az~k

Произведение векторов

скалярное−число~a · ~b = |~a| · |~b| · cos φ

векторное−вектор

~a×~b = ~c

|~c| = |~a||~b| sin φ~c⊥~a, ~c⊥~b~a, ~b, ~c − правая тройка

смешанное-число~a~b~c = (~a×~b)~c = ~a(~b×~c)

Вычисление в координатной форме

~a ·~b = axbx + ayby + azbz ~a · ~b =

~i ~j ~kax ay az

bx by bz

~a~b~c =

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

15

Применение

cos( ˆa, b) =~a · ~b

|~a| · |~b|

Пр~a~b =~a~b|~a|

A = ~F~S− работа

S 4 =12|~a × ~b|

M = ~l × ~F

момент силы

Vn = |~a~b~c|

VT =16|~a~b~c|

объем тетраэдра

Прямая на плоскости

Название формулы Формула

1. Уравнение прямой, проходя-щей через точку M0(x0; y0), пер-пендикулярно вектору−→N = {A; B}

A(x − x0) + B(y − y0) = 0

2. Уравнение прямой в общемвиде

Ax + By + C = 0

3. Уравнение прямой в "отрез-ках"

xa

+yb

= 1 6

-@

@@

@@@

a

b

x

y

0

4. Уравнение прямой, проходя-щей через точку M0(x0; y0),с заданным угловым коэф-фициентом k

y − y0 = k(x − x0)

5. Уравнение прямой с угловымкоэффициентом

y = kx + bk = tgϕ 6

-������

BB ϕ

b

x

y

0

16

6. Уравнение прямой, проходящейчерез две точки M1(x1; y1) иM2(x2; y2)

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1

7. Каноническое уравнение прямой,проходящей через точку M0(x0; y0),параллельно вектору

−→l = {p; q}

x − x0

p=

y − y0

q

8. Параметрические уравнения пря-мой

x = x0 + pty = y0 + qt

9. Угол между двумя прямымиcosϕ =

A1a2 + B1B2√A2

1 + B21

√A2

2 + B22

tgϕ =k2 − k1

1 + k2k1

10. Условие параллельности двухпрямых

A1

A2=

B1

B2, k1 = k2

11. Условие перпендикулярностидвух прямых A1A2 + B1B2 = 0, k1 = −

1k2

12. Расстояние от точки M0(x0; y0) допрямой Ax + By + C = 0 d =

|Ax0 + By0 + C|√

A2 + B2

17

Прямая и плоскость в пространстве

Название формулы Формула

1. Уравнение плоскости, проходя-щей через заданную точкуM0(x0; y0; z0), перпендикулярнозаданному вектору

−→N = {A; B; C}

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

2. Уравнение плоскости в общемвиде

Ax + By + Cz + D = 0

3. Уравнение плоскости в "отрез-ках"

xa

+yb

+zc

= 1 6

-�����������

JJJJJ

������a

b

c

x

y

z

4. Уравнение плоскости, проходя-щей через три точки M1(x1; y1; z1),M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

5. Уравнение прямой, проходящейчерез две точки M1(x1; y1; z1) иM2(x2; y2; y2)

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1=

z − z1

z2 − z1

6. Канонические уравнения опре-деляют прямую, проходящейчерез точку M0(x0; y0; z0), ипараллельную вектору−→l = {m; n; p}

x − x0

m=

y − y0

n=

z − z0

p

7. Параметрические уравненияпрямой

x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt

18

Кривые второго порядка

Уравнение Кривая

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2

Окружность

6

-

���

&%'$

y0

x00

R

x

y

(x − x0)2

a2 +(y − y0)2

b2 = 1

Эллипс

6

-

y0

x0

ba

x

y

(x − x0)2

a2 −(y − y0)2

b2 = 1

(y − y0)2

b2 −(x − x0)2

a2 = 1

Гипербола

6

-

���

���

����

�

HHH

HHH

HHH

HH

y0

x0

ab

x

y

6

-

�����

���

���

HHH

HHH

HHH

HH

y0

x0

ab

x

y

y2 = 2px(p > 0)

Парабола

6

-0 x

y

19

Введение в математический анализ

Предел функции

Число А называется пределом функции f (x) при x→ x0, если∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что ∀x, удовлетворяющего условию |x − x0| < δ,выполняется неравенство | f (x) − A| < ε.

Свойства

1. limx→x0

c = c

2. limx→x0

c f (x) = c limx→x0

f (x)

Если существуют конечные limx→x0

f (x) и limx→x0

g(x), то

3. limx→x0

( f (x) ± g(x)) = limx→x0

f (x) ± limx→x0

g(x)

4. limx→x0

( f (x) · g(x)) = limx→x0

f (x) · limx→x0

g(x)

5. limx→x0

f (x)g(x)

=

limx→x0

f (x)

limx→x0

g(x)

Замечательные пределы

I (первый)

limx→0

sinxx

= 1

II (второй)

limx→∞

(1 +

1x

)x

= limx→0

(1 + x)1x = e

Величины

(при x→ x0)

Бесконечно малая

limx→x0

α(x) = 0

20

Бесконечно большая

limx→x0

β(x) = ∞

Эквивалентные

α1(x) ∼ α2(x)⇔ limx→x0

α1(x)α2(x)

= 1

Если α1(x) ∼ α2(x), β1(x) ∼ β2(x) при x→ x0, тогда

limx→0

α1(x)β1(x)

= limx→0

α2(x)β2(x)

Эквивалентные величины

α(x)→ 0 при x→ x0

1. sinα(x) ∼ α(x)

2. tgα(x) ∼ α(x)

3. arcsinα(x) ∼ α(x)

4. arctgα(x) ∼ α(x)

5. 1 − cosα(x) ∼ 12α

2(x)

6. eα(x) − 1 ∼ α(x)

7. ln(1 + α(x)) ∼ α(x)

8. (1 + α(x))k − 1 ∼ k · α(x)

при x→ ∞

anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 ∼ anxn

Правило Лопиталя

limx→x0

f (x)g(x)

=

{(00

)или

(∞

∞

)}= lim

x→x0

f ′(x)g′(x)

21

Дифференциальное исчисление

Производная

Производная функции y = f (x)в точке x0 :

y′ = f ′(x0) =dydx

= lim∆x→0

∆y∆x

= lim∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)∆x

Геометрический смысл

f ′(x0) = tgα - тангенс наклона касательной к графику функции y =

f (x)в точке M0(x0; f (x))

6

-��

���

���

���∆y

∆xM0

x00 x0 + ∆xx

y

Уравнение касательной к кривой y = f (x)в точке M0(x0; f (x0)):

y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0)

Уравнение нормали к кривой y = f (x)в точке M0(x0; f (x0)):

y − f (x0) = − 1f ′(x0)(x − x0), f ′(x0) , 0

Физический смысл

y′(t) = v(t) − скорость y′′(t) = a(t) − ускорение

Правила дифференцирования

C − постоянная, u = u(x), v = v(x) − дифференцируемые функции

1. (c)′ = 0

2. (c · u)′ = c · u′

3. (u ± v)′ = u′ ± v′

4. (u · v)′ = u′v + uv′

5.(uv

)′=

u′v − uv′

v2

22

Дифференцирование сложной функции

y = f [u(x)]; y′(x) = f ′(u) · u′(x)

Дифференцирование функций, заданных параметрически

x = x(t)y = y(t)

y′x =dydx

=y′(t)x′(t)

;

y′′xx =(y′x)

′t

x′(t)=

y′′tt x′t − y′t · x′′tt

(x′t)3

Вторая производная:

y′′ = f ′′(x) =d2ydx2 = [ f ′(x)]′

Таблица производных

1. (un)′ = n · un−1 · u′

3. (au)′ = au · ln a · u′

5. (loga u)′ =1

u · ln a· u′

7. (sin u)′ = cos u · u′

9. (tg u)′ =1

cos2 u· u′

11. (arcsin u)′ =1

√1 − u2

· u′

13. (arctg u)′ =1

1 + u2 · u′

15. (sh u)′ = ch u · u′

17. (th u)′ =1

ch2 u· u′

2. (x′) = 1

4. (eu)′ = eu · u′

6. (ln u)′ =1u· u′

8. (cos u)′ = − sin u · u′

10. (ctg u)′ = −1

sin2 u· u′

12. (arccos u)′ = −1

√1 − u2

· u

14. (arcctg u)′ = −1

1 + u2 · u′

16. (ch u) = sh u · u′

18. (cth u)′ = −1

ch2 u· u′

Логарифмическое дифференцирование

y = u(x)v(x)

ln y = v(x) · ln u(x)

23

y′

y= v′(x) · ln u(x) + v(x) · 1u(x) · u′(x)

y′ = u(x)v(x) ·

(v′(x) · ln u(x) + v(x) ·

1u(x)

· u′(x))

Дифференциал

Функция y = f (x), дифференциал dy = y′ · dx = f ′(x)dx, dx = ∆x, dy ≈ ∆y

Cвойства дифференциала

(C - постоянная, u = u(x), v = v(x) - дифференцируемые функции)

1. d(c) = 0

2. d(cu) = cdu

3. d(u ± v) = du ± dv

4. d(uv) = udv + vdu

5. d(uv

)=

vdu − udvv2

Исследование функций

Функция y = f (x)

Монотонность

���*

-y′ > 0

xyвозр.

HHHj

-y′ < 0

xy убыв.

Экстремумыx0 ∈ D( f )−критическая точка I рода⇔ f ′(x0) = 0 или f ′(x0) не существует.

���*

-

HHHj

y′ xy x0

max

+ −

HHHj

-

���*

y′ x

yx0

min

+−

Наибольшее и наименьшее значения функций, непрерывной наотрезке [a, b]

-xba

кр. точки

24

1. Найти критические точки (кр. т.) функции f (x)

2. Вычислить f (a), f ((кр. т.), f (b)

3. Выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

x0 ∈ D( f ) − критическая точка II рода ⇔ f ′′(x0) = 0 или f ′′(x0) несуществует.

��-y′ > 0

xy

Вогнута

��-y′ < 0

xy

Выпукла

����-

y′ x

y x0

Точка перегиба

+ −

����-

y′ x

y x0

Точка перегиба

+−

Асимптота

Вертикальная : x = x0 ⇔ limx→x0±0

f (x) = ±∞;

Наклонная : y = kx + b⇔ limx→±∞

f (x)x

= k; b = limx→±∞

[ f (x) − kx];

Горизонтальная : y = b⇔ k = 0, limx→±∞

f (x) = b.

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

F(x) - первообразная f (x), если F′(x) = f (x).

Неопределенный интеграл∫

f (x)dx = F(x)+C - множество всех первообразных.

25

Свойства

1. (∫

f (x)dx)′ = f (x)

2.∫

d f (x) =∫

f ′(x)dx = f (x) + c

3.∫

k · f (x)dx = k ·∫

f (x)dx

4.∫

[ f (x) ± g(x)]dx =∫

f (x)dx ±∫

g(x)dx

Таблица интегралов

1.∫

xndx =xn+1

n + 1+ c

3.∫

exdx = ex + c

5.∫

sin xdx = − cos x + c

7.∫ dx

sin2 x= − ctg x + c

9.∫ dx

x2 + a2 = 1a arctg

xa

+ c

11.∫ dx

x2 − a2 =1

2aln

∣∣∣∣∣ x − ax + a

∣∣∣∣∣ + c

13.∫ dx

sin x= ln

∣∣∣∣∣tg x2

∣∣∣∣∣ + c

15.∫

sh xdx = ch x + c

17.∫ dx

ch2x= th x + c

2.∫ dx

x= ln |x| + c

4.∫

axdx =ax

ln a+ c

6.∫

cos xdx = sinx + c

8.∫ dx

cos2 x= tg x + c

10.∫ dx√

x2 ± a2= ln

∣∣∣∣x +√

x2 ± a2∣∣∣∣ + c

12.∫ dx√

a2 − x2= arcsin

xa

+ c

14.∫ dx

cos x= ln

∣∣∣∣∣tg (x2 +

π

4

)∣∣∣∣∣ + c

16.∫

ch xdx = sh x + c

18.∫ dx

sh2x= − cth x + c

Основные правила интегрирования

1.∫

(x)dx = F(x) + c⇔∫

f (φ(x))d(φ(x)) = F[φ(x)] + c

2.∫

f (x)dx = F(x) + c⇔∫

f (ax + b)dx =1a

F(ax + b) + c

26

3. Замена переменной∫f (x)dx =

∣∣∣∣∣∣ x = ϕ(t)dx = ϕ′(t)dx

∣∣∣∣∣∣ =∫

f [ϕ(t)] · ϕ′(t)dt

4. Интегрирование по частям∫(x)dx = uv −

∫vdu или

∫u(x)v′(x)dx = u(x) · v(x) −

∫v(x)u′(x)dx

Определенный интеграл

y = f (x) определена и непрерывна на [a, b].b∫

a

f (x)dx = limmax∆xi→0

∑f (ξ) · ∆xi ,

ξ ∈ [xi; xi+1],∆xi = xi+1 − xi

6

-

���

����

�����

������

������

������

�����

�����

����

����

�����

����

���

���

ξixi xi+1 ba

x

yf (ξi)

D

Геометрический смысл

f (x) ≥ 0 на [a, b]; D − криволинейная трапеция, ограничена

y = f (x), x = a, x = b, y = 0;b∫

a

f (x)dx = S (D) − площадь D

Формула Ньютона-Лейбница

b∫a

f (x)dx = F(x)∣∣∣∣ba

= F(b) − F(a),

27

F(x) − первообразная f (x)

Замена переменной

b∫a

f (x)dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = ϕ(t), dx = ϕ′(t)dt

x = a⇒ t = α(ϕ(α) = a)x = b⇒ t = β(ϕ(β) = b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=β∫

α

f [ϕ(t)] · ϕ′(t)dt

Интегрирование по частямb∫

a

udv = u · v∣∣∣∣ba−

b∫a

vdu

Геометрические приложения определенного интеграла

Кривая Площадьфигуры

Длина кривой Объем телавращения

y = f (x) ≥ 0

x ∈ [a, b]S =

b∫a

f (x)dx L =

b∫a

√1 + [ f ′(x)]2dx

vx = π

b∫a

f 2(x)dx

vy = 2π

b∫a

x| f (x)|dx

{x = x(t)y = y(t)

t ∈ [a, b]

S =∣∣∣∣ β∫α

y(t)x′(t)dt∣∣∣∣ L =

∣∣∣∣ β∫α

√x′2t + y′2t dt

∣∣∣∣ vx = π

β∫α

y2(t)x′(t)dt

vy = 2π

β∫α

x(t)y(t)x′(t)dt

r = r(ϕ)

ϕ ∈ [α, β]S =

12

β∫α

r2(ϕ)dϕ L =

β∫α

√r2 + r′2dϕ vt =

23π

β∫α

r3 sinϕdϕ

28

Механические приложения определенного интеграла

Кривая: y = f (x),x ∈ [a, b], ρ = ρ(x)−плотность,dL =

√1 + [ f ′(x)]2dx

Фигура: y = f (x),x = a, x = b, y = 0,плотность ρ = const

Масса m =

b∫a

ρ(x)dL m =

b∫a

ρ f (x)dx

Функции нескольких переменных

z = f (x, y) - функция двух переменных.

∂z∂x

= z′x = lim4x→0

f (x + 4x, y) − f (x, y)4x

- частная производная по x (y = const) .

∂z∂y

= z′y = lim4y→0

f (x, y + 4y) − f (x, y)4y

- частная производная по y (x = const).

∂2z∂x2 =

∂

∂x

(∂z∂y

)=

(z′x

)′x ;

∂2z∂x∂y

=∂

∂y

(∂z∂x

)=

(z′x

)′y ;

∂2z∂y∂x

=∂

∂x

(∂z∂y

)=

(z′y)′

x;

∂2z∂y2 =

∂

∂y

(∂z∂y

)=

(z′y)′

y;

Экстремум функции двух переменных

Необходимые условия:

∂z∂x

= 0,∂z∂y

= 0 или не существуют.

(x0, y0) - критическая точка.

Достаточные условия:

A =∂2z∂x2 (x0, y0) , B =

∂2z∂x∂y

(x0, y0) , C =∂2z∂y2 (x0, y0) .

29

1. AC − B2 > 0, A < 0⇒ в точке P максимум.

2. AC − B2 > 0, A > 0⇒ в точке P минимум.

3. AC − B2 < 0⇒ экстремума нет.

4. AC − B2 = 0⇒ необходимо дополнительное исследование.

Производная по направлению

Функция u = f (x, y, z) , ¯ = MM1 - вектор,

∂u∂`

= lim|MM1|→0

f (M1) − f (M)

|MM1|- производная функции u в направлении ¯

характеризует скорость изменеия функции в этом направлении.

∂u∂`

=∂u∂x

cosα +∂u∂y

cos β +∂u∂z

cos γ,

α, β, γ - углы между направлением ¯ и соответствующими осями координат.

Градиент

−−−−→gradu =

(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z

)=∂u∂x

i +∂u∂y

j +∂u∂z

k - вектор.

Свойства

1.∂u∂`

=Пр`−−−−→gradu, т.е производная в данном направлении ¯ равна проекции

градиента на направление `.

2. Градиент в каждой точке направлен по нормали к поверхности (линии)уровня, проходящей через эту точку.

30

3. Направление градиента в точке есть направление наибольшей cкоростивозрастания функции в этой точке.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

F (x, y, y′) = 0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка;

y′ = f (x, y) - разрешенное относительно производной;

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 - в дифференциалах;

F (x, y, y′) = 0y (x0) = y0

}задача Коши.

Общее решение - функция y = ϕ (x, c) такая, что

1) удовлетворяет уравнению при любых допустимых значениях C;

2) каково бы ни было начальное условие y (x0) = y0, найдется такоезначение c = c0,

что решение y = ϕ (x, c0) удовлетворяет этому начальному условию.

y = ϕ (x, c0) − частное решение.

Метод решения зависит от типа уравнения. Тип уравнения определяет

правая часть f (x, y) .

31

Уравнение Общий вид Метод решенияС разделенными M (x) + N (y) dy = 0 Непосредственное интегрирование

переменными∫

M (x) dx +∫

N (y) dy = 0С разделяющими y′ = f (x) g (y) или Разделить переменные

переменными M1 (x) N1 (y) + M2 (x) n2 (y) dy = 0dy

g (y)= f (x) dx или

M1 (x)M2 (x)

dx +N2 (y)N1 (y)

dy = 0

Однородное y′ = f(y

x

)или Заменить y = ux,

y′ = f (x, y) = f (λx, λy) y′ = u′x + u, разделить переменныеЛинейное y′ + P (x) y = Q (x) Заменить y = uv, y′ = u′v + uv′,

y′ + py = u′v + u (v′ + pv)v′ + pv = 0

Бернулли y′ + p (x) y = Q (x) yn Найти v (c = 0) подставить v вв уравнение, найти u

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающиепонижение порядка

Общий вид уравнения Метод решенияy(n) = f (x) n раз интегрируем

y(n−1) =∫

f (x) dx . . .

y =

∫ ∫. . .

∫︸ ︷︷ ︸

n

f (x) dx + c1xn−1 + . . . + cn

F (x, y′, y′′) = 0 Замена y′ = z (x) ,(не содержит y) y′′ = z′

F (x, y′, y′′) = 0 Замена y′ = p (y) ,(не содержит x) y′′ = p′p

Линейные однородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами

y′′ = py′ + qy = 0.

Характеристическое уравнение.

K2 + pK + q = 0, K1, K2 - корни.

1. K1 , K2 - действительные (D > 0)

y = c1ek1x + c2ek2x.

32

2. K1 = K2 (D = 0)y = c1ek1x + c2xek2x.

3. K1,2 = α ± βi - комплексные (D < 0)

y = c1eax sin βx + c2eax cos β

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами

Со специальной правой частью

y′′ + py′ + qy = f (x)

Общее решениеy = y0 + yr,

y0 - общее решение однородного уравнения

y′′ + py′ + qy = 0,

yr - частное решение неоднородного уравнения

y′′ + py′ + qy = f (x) , подбирается по виду правой части f (x) методомнеопределенных коэффициентов.

f (x) = Pm (x) eax cos βx + Q (x) eax sin βx,

Pm (x) ,Q` (x) - многочлены. Число α + βi сравнить с корнями характе-ристического

уравнения k1, k2:

не совпадает ⇒ yr = Pn (x) eax cos βx + S n (x) eax sin βx;

совпадает r - раз ⇒ yr = xr (Rn (x) eax cos βx + S n (x) eax sin βx).

Rn (x) , S n (x) - многочлены степени n = max (m, l) .

33

Ряды

Числовые ряды

Числовая последовательность a1, a2, . . . , an, . . .

Числовой ряд a1 + a2 + . . . + an + . . . =∞∑

n=1an.

S n = a1 + a2 + . . . + an - частичная сумма.

Если ∃ limn→∞

= S ⇒ ряд сходящийся, S - сумма ряда, в противном

случае ряд расходящийся.

Геометрическая прогрессия

a + aq + aq2 + . . . + aqn + . . .

S n = a + aq + aq2 + . . . + aqn−1 =a (1 − qn)

1 − q.

S = limn→∞

S n =a

1 − qпри |q| < 1.

Необходимый признак сходимости

∞∑n=1

an сходится⇒ limn→∞

an = 0.

Если limn→∞

an , 0⇒ ряд расходится.

34

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Признак сходимости рядов с эквивалентными членами

(A)∞∑

n=1an, (B)

∑∞n=1 bn, an ≥ 0, bn ≥ 0.

Если limn→∞

an

bn= k (k , 0, k , ∞) , то ряды (A) и (B) сходятся или расходятся

одновременно.

Признак сравнения

Если an ≤ bn и{

(B) сх.⇒ (A) сх.(A) расх.⇒ (B) расх.

Интегральный признак Коши

∞∑n=1

an =∞∑

n=1f (n) , an ≥ 0

Если несобственный интеграл

∞∫1

f (x) dx{< ∞сх.⇒ ряд сх.= ∞расх.⇒ ряд расх.

Признак Даламбера

an ≥ 0, ∃ limn→∞

an+1

an= `

` < 1ряд сх.` > 1ряд расх.` = 1продол. исслед.

35

Признак Коши

an ≥ 0, ∃ limn→∞

n√

an = `

` < 1ряд сх.` > 1ряд расх.` = 1продол. исслед.

Знакочередующиеся ряды

(C)∞∑

n=1(−1)n+1 Cn = C1 −C2 + C3 −C4 + . . . + (−1)n+1 Cn + . . .

Если∞∑

n=1

∣∣∣(−1)n+1 Cn

∣∣∣ =∞∑

n=1Cn сходится, то ряд (C) сходится абсолютно.

Признак Лейбница

Если для ряда (C)

1. C1 ≥ C2 ≥ C3 . . . ≥ Cn ≥ Cn+1 ≥ . . .

2. limn→∞

Cn = 0,то ряд сходится.

Степенные ряды

a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn . . . =∞∑

n=0anxn

Сходится абсолютно в интервале −R < x < R,

R - радиус сходимости.

Применим к ряду∞∑

n=0|anxn| признаки сходимости знакоположительных

рядов, найдём интервал сходимости (−R,R) . На концах проводим

дополнительное исследование:

36

подставляемx = R,

∞∑n=1

anRn

x = −R,∞∑

n=1(−1)n anRn

исследуем числовые ряды.

Разложение функции в степенной ряд Тейлора

Ряд Тейлора

f (x) = f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) +f ′′ (x0)

2!(x − x0)2 + . . . +

f (n) (x0)n!

(x − x0)n + . . .

или

f (x) = f (0) + f ′ (0) x +f ′′ (0)

2!x2 + . . . +

f (n) (0)n!

xn + . . .

Разложение элементарных функций в степенные ряды

ex = 1 +x1!

+x2

2!+ . . . (−∞ < x < +∞) ,

sin x =x1!−

x3

3!+

x5

5!− . . . + (−1)n +

x2n+1

(2n + 1)!+ . . . (−∞ < x < ∞) ,

cos x = 1 −x2

2!+

x4

4!− . . . + (−1)n +

x2n

(2n)!+ . . . (−∞ < x < ∞) ,

ln (1 + x) = x −x2

2!+ x33! − . . . + (−1)n−1 +

xn

n+ . . . (−1 < x ≤ 1) ,

11 − x

= 1 + x + x2 + . . . + xn + . . . (−1 < x < 1) ,

(1 + x)m = 1 + m1! x +

m(m−1)2! x2 + . . . + m(m−1)...(m−n+1)

n! xn + . . . (−1 < x < 1) ,

arctg x = x −x3

3!+

x5

5!− . . . + (−1)n +

x2n+1

2n + 1+ . . . (−1 ≤ x ≤ 1) .

37

Теория вероятностей

Основы комбинаторики

Выборки m элементов из n.

1. Выборка с повторениями. Количество различных выборок nm.

2. Выборки без повторений.

Размещения: отличаются друг от друга составом или порядком элементов.Количество

Amn =

n!(n − m)!

Перестановки: содержат одни элемнты, отличаются дру от друга ихпорядком.

КоличествоPn = Am

n = n!

Сочетания: отличаются друг от друга составом элементов.Количество

Cmn =

Amn

Pm=

n!(n − m)!m!

Классическое определение вероятностей

A - случайное событие,P (A) =

mn

m - число слечаев, благоприпятствующих появление события A, n -число всех возможных случаев.

Сложение вероятностей

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB)

Если A и B - несовместные, P (AB) = 0.

38

Умножение вероятностей

P (AB) = P (A) PA (B) = P (B) PB (A)

Если A и B - независимые, то P (AB) = P (A) P (B)

Формула полной вероятности

P (A) = P (B1) PB1 (A) + P (B2) PB2 (A) + . . . + P (Bn) PBn (A) .

Формула Бернулли (независимых испытаний)

Pn (k) = Ckn pkqn−k

Формула Пауссона(редких событий)

Pn (k) ≈λ

k!e−λ, λ = np

p - мало (p < 0, 1) , n - велико.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Pn (k) ≈1√

npqϕ (x), n - велико, 0 < p < 1,

x =k − np√

npq, ϕ (x) =

1√

2πe−x2

2 - значения находится по таблице

(ϕ (−x) = ϕ (x)) .

39

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Pn (k1 ≤ k ≤ k2) = Φ (x2) − Φ (x1) ,

n - велико, 0 < p < 1, x1 =k1 − np√

npq, x2 =

k2√

npq,

Φ (x) =1√

2π

x∫0

e−x2

2 dx − - функция Лапласа,

значения находятся по таблице (Φ (−x) = −Φ (x)) .

Случайные величины

X - случайная величина (далее CB). Дискретная CB - множество значенийконечно или счетно.

Непрерывная CB - всевозможные значения заполняют интервал.

Ряд распределения дискретной CB

X X1 X2 · · · Xn

P P1 P2 . . . Pn

n∑i=1

Pi = 1.

Функция распределения CB (интегральная):

F (x) = P (X < x)

Свойства:

1. 0 ≤ F (x) ≤ 1;

2. limx→−∞

F (x) = 0, limx→∞

F (x) = 1;

3. F (x) - неубывающая функция;

40

4. P (a < x < b) = F (b) − F (a) ;

5. Если (x) - непрерывная, P (X = x) = 0.

Функция плотности вероятности (дифференциальная):

f (x) = F′ (x) .

Свойства:

1. F (x) =x∫−∞

f (x) dx;

2. f (x) ≥ 0;

3. P (a < x < b) =b∫

af (x) dx;

Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание

M (X) =n∑

i=1Xi Pi X - дискретная CB;

M (X) =∞∫−∞

x f (x) dx X - непрерывная CB.

Дисперсия

D (X) = M (X − M (X))2 = M(X2

)− M2 (X) ,

M(X2

)=

n∑i=1

X2i Pi или M

(X2

)=−∞∫∞

x2 f (x) dx.

δ (X) =√

D (X) - среднее квадратическое отклонение.

41

Биномальное распределение

P (X = k) = CknPkqn−k, k = 0, 1, . . . , n,

M (X) = np,D (X) = npq, n, p - параметры.

Распределение Пауссона

P (X = k) =λk

k!e−λ, k = 0, 1, . . . , n,

M (X) = λ, D (X) = λ, λ - параметр,

Равномерное распределение

f (x) =

0, если x < a;

1b − a

, если a ≤ x ≤ b;

1, если x > b.

M (X) =a + b

2, D (X) =

(b − a)2

12.

Показательное распределение

f (x) =

{0, если x < 0;λe−λx, если x ≥ 0;

M (X) =1λ, D (X) =

1λ2 λ - параметр.

Нормальное распределение

f (x) =1

δ√

2πe−(x−m)2

2∂2 ,

M (x) = m, D (X) = δ2, m, δ - параметры.

42

P (α < X < β) = Φ

(β − mδ

)− Φ

(α − mδ

),

Φ (X) =1√

2π

x∫0

e−x2

2 dx - функция Лапласа.

Элементы математической статистики

X - случайная величина; x1, x2, . . . , xk - совокупность значений X (выборка);

xi - выборочные значения; ni - число выборочных значений, равных xi

(частота).

Гистограмма - ступунчатая фигура, состоящая из прямоугольников сплощадями,

равными частоте попадания выборочных значений в интервалы, лежащиев основании

прямоугольников.

Полигон - ломаная, отрезки которой соединяют точки.

X = 1n

k∑n=1

xini - выборочное среднее - оценка для M (X).

D =1n

k∑i=1

(xi − X)2 ni =1n

k∑i=1

x21ni − (X)2 - выборочная дисперсия - оценка

для D (X)

S 2 =n

n − 1D =

1n − 1

k∑i=1

(xi − X)2 ni - исправленная выборочная дисперсия.

43