НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

імені ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО»

Факультет менеджменту та маркетингу

Кафедра математичного моделювання економічних систем

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНО:

Завідувач кафедри ММЕС

__________ _____________ (підпис) (ініціали, прізвище)

«___»_____________20__ р.

Дипломна робота

на здобуття ступеня бакалавра

з напряму підготовки 6.030502 «Економічна кібернетика»

на тему: «Моделювання ціноутворення стандартних опціонів»

Виконала:

студентка 4 курсу, групи УК-41

Бірюкова Марія Олександрівна (підпис)

Керівник:

проф., д.т.н., проф. Іваненко В.І. (підпис)

Рецензент:

доц., к.е.н. Бояринова К.О. (підпис)

Засвідчую, що у цій

дипломній роботі немає

запозичень з праць інших

авторів без відповідних

посилань

Студент _____________ (підпис)

Київ – 2018 року

2

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»

Факультет менеджменту та маркетингу

Кафедра математичного моделювання економічних систем

Рівень вищої освіти – перший (бакалаврський)

Напрям підготовки 6.030502 «Економічна кібернетика»

ЗАТВЕРДЖУЮ:

Завідувач кафедри ММЕС

__________ _____________ (підпис) (ініціали, прізвище)

«___»_____________20__ р.

ЗАВДАННЯ

на дипломну роботу студенки

Бірюкової Марії Олександрівни

1. Тема роботи «Моделювання ціноутворення стандартних опціонів», керівник

роботи Іваненко Віктор Іванович, професор, доктор технічних наук,

затверджені наказом по університету від «11» січня 2018 р. № 25-С.

2. Термін подання студентом роботи: 11 червня 2018 року.

3. Вихідні дані до роботи: наукова та навчально–методична література,

статистичні дані, дані строкового ринку за досліджуваний період.

4. Зміст роботи: дослідження методів оцінки опціонів, вибір найбільш

перспективного методу, поліпшення обраного методу.

5. Перелік ілюстративного матеріалу: презентація роботи.

6. Дата видачі завдання: 11 січня 2018 року.

3

Календарний план

№

з/п

Назва етапів виконання

дипломної роботи

Термін виконання

етапів роботи Примітка

1 Вступ. Огляд літератури, пов’язаної з

ринком деривативів. 06.02.18-15.02.18

2 Дослідження та аналіз стану ринку в

України ті світі. 16.02.18-31.03.18

3 Огляд методів оцінки опціонів. 01.04.18-09.04.18

4 Вибір моделі, її поліпшення. 10.04.18-20.04.18

5 Визначення алгоритму розв’язання. 21.04.18-28.04.18

6 Знаходження ціни опціону за даними

строкового ринку. Аналіз отриманих

результатів

29.04.18-24.05.18

7 Оформлення дипломної роботи. 25.05.18-04.06.18

8 Зшитий диплом. Розробка структури

презентації та підготовка до захисту. 04.06.18-09.06.18

9 Створення презентації. 09.06.18-17.06.18

Студент ____________ М.О. Бірюкова (підпис)

Керівник роботи ____________ В.І. Іваненко (підпис)

4

РЕФЕРАТ

У дипломній роботі викладені теоретико-методологічні основи

функціонування ринків деривативів. Їх вага, важливість і місце у світовій

економіці, аналіз сучасного розвитку фондових ринків, аналіз моделей

оцінювання опціонів, вибір найліпшої моделі, а також властивості

застосування.

Актуальність теми обумовлена потребою запровадження нових

підходів і методів управління багатьма проявами ризику. Такі дослідження

вимагають нового підходу до ринку деривативів. Такий аналіз буде сприяти

формуванню стабільного і високоліквідного внутрішнього ринка деривативів,

що є невід’ємною часткою розвинутої економіки.

Дипломна робота складається зі вступу, двох розділів, висновків,

списку використаних джерел ті додатків.

Ключові слова: європейський опціон, біноміальна модель, модель

Блека-Шоулза, паралельний алгоритм, ринок деривативів.

ABSTRACT

The thesis describes the theoretical and methodological foundations of the

functioning of derivative markets. Their weight, importance and place in the world

economy, analysis of modern development of stock markets, analysis of options

assessment models, choice of the best model, as well as application properties.

The urgency of the topic is due to the need to introduce new approaches and

methods for managing many manifestations of risk. Such studies require a new

approach to the derivatives market. Such an analysis will contribute to the formation

of a stable and highly liquid domestic market of derivatives, which is an integral part

of a developed economy.

Thesis consists of introduction, two sections, conclusions, list of used

sources and those applications.

Key words: European option, binomial model, Black-Scholes model, parallel

algorithm, derivatives market.

5

ЗМІСТ

ВСТУП ..................................................................................................................... 6

1 ХАРАКТЕРИСТИКА ТА АНАЛІЗ ОБ’ЄКТА ДОСЛІДЖЕННЯ .................... 9

1.1 Зміст та основні види опціонних контрактів ........................................... 9

1.2 Переваги на вади зайнятої позиції у опціонній угоді ........................... 19

1.3 Опціонні стратегії ..................................................................................... 23

1.4 Фактори впливу на утворювання цін європейських опціонів ............. 25

2 РОЗРОБКА МЕТОДІВ ТА АЛГОРИТМІВ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

ДОСЛІДЖЕННЯ І ЇХ ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ................................... 35

2.1 Межі вживання сучасних моделей ціноутворення опціонів ................... 35

2.2 Використання моделі біноміального дерева ............................................. 40

2.3 Паралельний алгоритм розрахунку справедливої ціни європейського

опціону ................................................................................................................. 45

2.4 Дослідження. Реалізація алгоритмів .......................................................... 50

ВИСНОВКИ ........................................................................................................... 58

ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАННЯ .................................................................... 61

ДОДАТОК А ЛІСТИНГ ПРОГАМИ ................................................................... 65

6

ВСТУП

Модифікації, що проходять у попередні роки в державному та у світі в

сфері ринків фінансів стали занадто суттєвими, що перейшли на новий рівень

функціонування. Глобальність світової економіки стала причиною того, що

ринки фінансів почали носити міжнародний характер. Фондовий, валютний та

грошовий сектори стали перетинатися один з одним та тісніше працювати між

собою. Перші зміни почали відбуватися ще у 70-ті роки ХХ століття. Зміни

почалися з глобалізації економіки, рівнем нестабільної відсоткової ставки,

валютних курсів, високої інфляції тощо. Внаслідок введення дерегулятивного

процесу учасники фінансового ринку виявилися під загрозою зміни ринкових

умов, що вимагало від них швидкого відгуку елементів на ринкові видозміни.

Через таку ситуацію провідним рішенням було введення деривативів,

котрі страхували би від негативних результатів на ринку. Наслідком стало

зростання значущості фондових ринків, з іншого боку зменшувалася вплив

банківського галузі. Деривативи дають можливість усім господарювання

результативно і еластично керувати ризиком. Для великої кількості суб’єктів

ринку ціллю став арбітраж. Тому з’явилося декілька сторін строкових угод.

Перші хотіли захистити своє положення од негативних перемін цін, другі,

навпаки, виявляли бажання на цьому заробити. Левередж давав спроможність

одержати якомога більше прибутку, якщо порівнювати з вкладеними

грошима. Ще однією підставою є арбітраж – одержання доходу од різниці цін

активів на всіляких ринках.

У цілому фінансові нововведення можна розглядати як виникнення

інструментів, котрі би згладжували несхожості між різноманітними секторами

фінансового ринку. Нові інструментам відзначаються еластичністю і

ліквідністю у порівняння із класичними інструментами фінансів. Головною

потребою нових фінансових нововведень – гарантування стабільної роби

7

економіки світу, завдяки страхуванню од перемін головних параметрів ринку

фінансів.

Термін дії похідних інструментів достатньо невеликий, як правило

кілька місяців(виключенням є свопи). Чимдуж довше строк діяльності

похідного інструменту, тим непросто прогнозувати, як буде вести себе

базовий актив. Таким чином підвищується ризик та зростає ціна на похідний

інструмент.

Базовим інструментом може бути всякі товари та активи, наприклад

цінні папери, іншу деривативи. Також базисним активом можуть виступати

індекси. В тому випадку, коли базисним активом виступає інший дериватив,

то він називається деривативом другого рівня. В останній час

найпопулярнішими виступає опціон на індексний ф’ючерс. Проаналізувавши

деривативи різного рівня, можна зробити висновок, що, чим складнішим є

будова похідного інструменту, тим непростіше оцінити такий дериватив, тому

в нього буде низька ліквідність на ринку.

В наслідок появи принципово нових деривативів, ризик тепер

вважають об’єктом ринкового обігу. У нього є ціна, тому з ним можна

проводити операції купівлі-продажу. Завдяки цьому почали з’являтися нові

типи фінансових інститутів, наприклад, хеджингові фонди, котрі керують

ризиком портфелів на вимогу клієнтів. Натомість завдяки спекуляції зростає

ліквідність обох ринків, ринку деривативів та ринку базисних активів. Ціна,

яка утворюються на ринку деривативів, найчастіше говорить про зміни на

валютному ринку.

Всі деривативи мають цікаву характерну рису. Сторони строкової

угоди не мусять мати базисний актив. Виплата може бути у готівковій формі.

Удержання у фізичному стані певних базисних інструментів є проблемою. В

першу чергу це відноситься до індексів. До основних різновидів деривативів

можна віднести:

угоди по форвардам;

угоди по опціонах;

8

угоди по ф’ючерсам;

угоди своп;

варанти.

Деривативи грають суттєву роль при управлінні ризиками, тому що

вони дають можливість перерозподіляти і лімітувати. Деривативи

застосовуються при перенесенні ризику на інакших членів ринку, виконуючи

роль страхування. Також, потрібно пам’ятати, що ризики, котрі пов’язані із

торгівлею похідними інструментами, підвладні цінам на базовий актив. З

цього можна зробити висновок, що ціна похідного інструменту базується на

поточній ціні активу. Якщо ціна на нього змінюється щоденно, то ризики

будуть змінюватися щоденно. Кажучи іншими словами, ризики і активи

вимагають постійного моніторингу та аналізу.

9

1 ХАРАКТЕРИСТИКА ТА АНАЛІЗ ОБ’ЄКТА ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1 Зміст та основні види опціонних контрактів

Опціонний контракт – це договір, який дає право покупцю, але не

змушує його купувати чи продавати певну чисельності базового активу за

зумовленою ціною; або на одержання певної кількості змінної/сталої суми,

обрахованої за узгодженою формулою, яка залежить від значень деяких

параметрів та змушує продавця здійснити його на вимогу покупця в

погоджений у майбутньому момент часу.

Опціони можемо розділити на опціони продажу, вони підкріпляють

право продати базовий актив персоні, яка є продавцем цього опціону і

зобов’язана його реалізувати за вимогою власника опціону, та опціони купівлі,

що дають дозвіл придбання базового активу у людини, що продає опціон.

Хазяїн опціону платить продавцю, у момент купівлі, опціонну премію.

Опціонні контракти суттєво різняться з форвардними, своповими і

ф’ючерсними договорами. У покупця є право, але він не зобов’язаний,

виконати певну операцію, яка визначена в опціонному договорі. Продавець

зобов’язується виконати операцію на вимогу опціонного покупця. Ф’ючерсні,

форвардні ті свопові контракти зобов’язують продавця та покупця виконувати

вимоги, які були підписані в договорі. Так як такі деривативи є двосторонніми.

Ще одна несхожість є в тому, що при укладанні ф’ючерсного, форвардного або

свопового договорів немає початкових витрат, але при укладенні опціонного

договору продавець вимагає покупця сплатити опціонну премію.

На теперішній час на біржових та позабіржових ринках здебільшого

знаходяться опціони на акції, біржові індекси, курси валют, ціни товарів та

сировини, інші базові активи, тощо. Виділяємо такі види опціонів:

валютний опціон, базовим активом виступає валютний курс;

10

індексний опціон, який є виставленим на значення фондового

показника;

відсотковий опціон, виставлений на відсоткові ставки;

товарний опціон, який є під владою від ціни товару чи сировини;

акційний опціон;

складений опціон, висунутий на інші активи.

Умовно базовим активом імовірно може біти величина, що змінна у

часі, і від змін якої потрібно зберегтись.

Ф’ючерсні, форвардні та свопові контракти відрізняються тим, що вони

зв’язані лише з однією частиною строкового ринку, опціони можуть

продаватися і на біржовому, і на позабіржовому ринку.

Виокремлюють два види деривативів:

call – опціони з правом купівлі;

put – опціони з правом продажу.

Утримання довгої позиції означає купівлю опціону, а утримання

короткої позиції – продаж. Виокремлюють такі типи опціонів:

довгий опціон купівлі;

довгий опціон продажу;

короткий опціон купівлі;

короткий опціон продажу.

Права та обв’язки учасників договору, в залежності від типу,

представлено на рис. 1.1.

11

Рисунок 1.1 - Права та зобов’язання учасників договору

Деривативи також, враховуючи критерії часу, розподіляються на такі

види:

європейській стиль виконання;

американський стиль виконання.

Європейські можна здійснити тільки в день їхнього погашення.

Американські, у відмінності від європейських, можна реалізувати в будь-яку

мить в межах терміну дії опціону. Різниця між ними дуже велика. Адже

утримувач американського опціону може в будь-який, вигідний для нього

момент часу, реалізувати опціон. Американський стиль виконання є дуже

популярним. Більшість опціонних договорів в світі мають саме такий стиль

виконання. Європейських опціонів, в порівнянні, менше на ринку, проте вони

мають значну перевагу, їх легше аналізувати і прогнозувати поведінку.

Американські опціони здебільшого обертаються на біржовому ринку, тоді як

12

європейські – на позабіржовому. Права та зобов’язання, в залежності від типу

і стилю подані у табл. 1.1.

Таблиця 1.1 - Права та зобов’язання учасників договору

Тип

опціон

у

Стиль

виконання

опціону

Покупець Продавець

Початкови

й момент

часу

Протяго

м дії

контракт

у

Початков

ий

момент

часу

Протягом дії

контракту

1 2 3 4 5 6

Call

Стандартний Платить

премію

Є право

купівлі

тільки в

крайній

день

Отримує

опціонну

премію

Зобов’язаний

мати певну

кількість

базового

інструменту

в крайній

день

діяльності

угоди

Американськи

й

Платить

премію

Є право

купівлі у

всякий

день в

межах

діяльнос

ті угоди

Отримує

опціонну

премію

Зобов’язаний

мати певну

кількість

базового

інструменту

у всякий

день на

протязі дії

угоди

13

Кінець таблиці 1.1

1 2 3 4 5 6

Put

Стандартний Платить

премію

Є право

на

продажу

тільки у

крайній

день

Отримує

опціонну

премію

Зобов’язаний

мати певну

кількість

грошей в

крайній день

дії угоди

Американський Платить

премію

Є право

продажу у

всякий

день в

межах

діяльності

угоди

Отримує

опціонну

премію

Зобов’язаний

мати певну

кількість

грошей у

всякий день

на протязі дії

угоди

Найдовший час дії звичайного опціону становить 9 місяців.

Виокремлюють три значущі поняття для опціонів:

термін виконання опціону;

термін виплати за опціоном;

термін дії опціону/страйк.

Реалізація – це термін, упродовж якого утримувач здійснити своє право

на реалізацію опціону. Термін виплати – реальний розрахунок, який триває

швидше за все 2-3 робочі дні. Страйк – період, після завершення якого опціон

втрачає свою цінність.

Ціна опціону – загальна вартість, яку виплачує покупець опціону його

продавцю, вона є доходом продавця. Насамперед прибутком покупці являє

собою різниці між ринковою ціною базового інструменту та страйком.

14

Розмір доходу утримувача європейського опціону буде мати вигляд:

з правом купівлі

max[ ,0]C S KT

; (1.1)

з правом продажу

max[ ,0]P K ST

, (1.2)

де K – ціна виконання опціону;

ST

– ціна спот базового інструменту в час продажу опціону.

Рисунок 1.2 – Обрис прибутку, який пов’язаний із придбанням європейського

опціону купівлі

Рисунок 1.3 – Обрис прибутку, який пов’язаний із придбанням європейського

опціону продажу

15

Рисунок 1.4 – Обрис прибутку, який пов’язаний із продажом європейського

опціону купівлі

Рисунок 1.5 – Обрис прибутку, який пов’язаний із продажом європейського

опціону продажу

Опціон являє собою односторонню угоду, яка не завжди реалізується,

у відмінності від ф’ючерсних, форвардних та свопових угод. Дослідимо вплив

чинників на розмір опціонної премії табл. 1.2–1.6. Зростання базового активу

напряму зв’язано зі зростанням опціону купівлі і, відповідно, зниженням

опціону продажу табл.1.2.

16

Таблиця 1.2 – Реакція ціни опціону на зміну ціни базового активу

Вид опціону Зміна ціни базового

активу

Зміна розміру

опціонної премії

Call

↑ ↑

↓ ↓

Put

↑ ↓

↓ ↑

Замість того у разі зростання ціни виконання ціна опціону купівлі буде

знижуватися, а опціон продажу навпаки буде підвищуватися табл. 1.3.

Таблиця 1.3 – Реакція ціни опціону на зміну ціни страйку

Вид опціону Зміна ціни виконання

опціону

Зміна розміру

опціонної премії

Call

↑ ↓

↓ ↑

Put

↑ ↑

↓ ↓

Зменшення часу до моменту виконання опціону спричиняє зниження

опціонної премії в обох випадках, і для опціону купівлі, і для опціону продажу

табл. 1.4.

17

Таблиця 1.4 – Реакція ціни опціону на зміну часу до моменту

погашення опціону

Вид опціону Зміна ціни виконання

опціону

Зміна розміру

опціонної премії

Call

↑ ↑

↓ ↓

Put

↑ ↑

↓ ↓

Проте пониження ринкової відсоткової ставки без ризику призводить

до того, що опціон купівлі починає здешевлюватися, а опціон продажу –

подорожчати табл 1.5.

Таблиця 1.5 – Реакція ціни опціону на зміну відсотковий ставки без

ризику

Вид опціону Зміна ціни виконання

опціону

Зміна розміру

опціонної премії

Call

↑ ↑

↓ ↓

Put

↑ ↓

↓ ↑

Загальновідомо, проте те, що існують 2 типи волатильності:

18

історична;

прогнозна.

Історична волатильність – то є стандартне відхилення змін цін, які

склалися продовж певного періоду, найчастіше вираженого у річному

діапазоні. Проте евентуальна волатильність – прогноз відсоткового масштабу,

в обмеженнях якої повинна знаходитися ціна базового активу на час

закінчення дії опціону. Волатильність подається у вигляді відсотків, які є

стандартним відхиленням, або рівнем довіри. Підвищення волатильності

призводить до зростання ціни опціонів обох типів табл. 1.6.

Таблиця 1.6 – Реакція ціни опціону на зміну волатильності

Вид опціону Зміна ціни виконання

опціону

Зміна розміру

опціонної премії

Call

↑ ↑

↓ ↓

Put

↑ ↑

↓ ↓

Опціонна премія формується за рахунок багатьох факторів.

Найважливішими є: ціна базового актива, ціна виконання опціону, час до

закінчення опціону, волатильність та відсоткова ставка.

19

1.2 Переваги на вади зайнятої позиції у опціонній угоді

Розглянемо плюси та мінуси позицій у договорі по опціонам.

Плюси через купівлю купівельного опціону («довгий call»):

невеликі збитки, максимальні збитки рівні вартості опціонної

премії;

теоретично абсолютний прибуток, що є залежним от темпів

підвищення вартості базисного інструменту;

малі вкладення, так як ціна опціону являється значно низькою від

вартості активів, на котрі здійснюється опціони;

левередж, з допомогою якого можна отримати дохід через

вкладені гроші за рахунок незначного підвищення вартості

базисного інструменту.

Мінуси через купівлю купівельних опціонів:

втрати, які рівні опціонній ціні, у випадку неточних прогнозувань

стосовно утворення вартості базисного інструменту у

майбутньому;

неодержання прогнозованого прибутку з вкладених у опціон

грошей;

Плюси через купівлю опціону продажу («довгий put»):

перспектива одержання прибутку у випадку спадного нахилу

вартості базисного інструменту на ринку;

втрати обмежуються опціонною премією;

прирівняно абсолютні доходи, так як вартість базового активу не

може бути нижче, ніж нуль;

левередж, перспектива одержування більш високих прибутків, в

порівнянні з втратами, за вимоги незначного пониження вартості

базисного інструменту.

Мінуси купівля продажних опціонів:

20

збитки будуть дорівнювати ціні опціону, якщо буде неправильно

спрогнозовано вартість базового інструменту у майбутньому;

неодержання прогнозованого прибутку з вкладних у опціон

грошей.

Плюси від продажу купівельних опціонів («короткий call»):

одержання ціни опціону в мить часу, коли опціон буде

продаватися, котру юридичне лице можливо вкладе в інший,

можливо прибутковий актив;

чинник тривалості часу, діючий на вигоду власника купівельного

опціону.

Мінуси од продажу купівельного опціону:

потреба здійснити опціон на потребу;

абсолютні витрати у разі зростання вартості базисного

інструменту і перетинання беззбитковості.

Плюси од продажу продажного опціону («короткий put»):

одержання ціни опціону при продажі опціону, котру власник

може вкласти у більш рентабельні активи;

чинник тривалості часу, який діє на інтерес власника

купівельного опціону.

Мінуси од продажу продажного опціону:

треба виконати опціон на потребу власника опціону;

прирівняно абсолютні витрати при зниженні вартості базисного

інструменту і перетинання беззбитковості. Проте вартість не

може бути негативною.

Ризики які можуть бути від короткої позиції продажу тотожні риску у

утриманні короткої позиції і купівлі опціону. Проте є відмінність, яка

зводиться до відміни вартостей базисного інструменту, котрий є ризикованим.

Короткий купівельний опціон для утримувача буде негативним збільшення

ринкової вартості базового інструменту. Проте у короткому опціоні продажу

21

негативним буду її пониження. Можемо зробити висновок щодо короткого

купівельного опціону - він рівний опціонам продажу, вони однаково

симетричні, якщо інші параметри відповідають одне одному. Таке ж

твердження буде вірне і для довгих опціонів.

Вибір деривативу, в залежності від видозміни вартості базисного

інструменту ті відносні їм дохід і ризик, які залежать од зайнятої позиції

представлені у табл. 1.7.

Таблиця 1.7 – Дохід і ризики зайнятої позиції

Зайнята позиція

Прогнозована

зміна вартості

базового

інструменту

Ризик позиції Дохід позиції

1 2 3 4

Короткий

купівельний

опціон

Стала вартість

базового

інструменту,

деяке

підвищення або

істотне

пониження

вартості

Теоретично

абсолютний

ризик

Премія

Короткий опціон

продажу

Стала вартість

базового

інструменту,

деяке пониження

або істотне

підвищення

вартості

Порівняно

абсолютний

ризик

Премія

22

Кінець таблиці 1.7

1 2 3 4

Довгий опціон

продажу

Істотне

підвищення

вартості базового

інструменту

Сума премії

Теоретично

абсолютний

дохід

Довгий опціон

купівлі

Істотне

пониження

вартості базового

інструменту

Сума премії

Порівняно

абсолютний

прибуток

Неодноразово опціонні договори на валюту , відсоткові ставки та інші

активи підписані на позабіржовому ринку між фінансовими закладами, або

між фінансовим закладом та клієнтом. Мінусом позабіржового ринку є те, що

з такими операціями пов’язані більше вищи витрати порівняно з біржовим

ринком. Мотивом таких дій є бажання фінансових закладів отримати дохід.

Проте суперництво між фінансовими закладами спричиняє до пониження

вартості опціонів на позабіржовому ринку. Позабіржовий ринок також має

свої плюси:

опціонні угоди не стандартизовані і можуть адаптуватися до

вимог інвесторів;

в обороті є екзотичні опціони, які в окремих випадках

підпускаються до біржової торгівлі;

на позабіржовому ринку проходять перевірку на практиці нові

активи, які можуть появлятися у біржовому обігу.

23

1.3 Опціонні стратегії

Найважливіші опціонні стратегії:

стратегії, які застосовують один опціон та одну акцію;

спред-стратегії: спред бика, ведмедя, календарний, діагональний;

змішані стратегії.

Звернемо увагу на перший тип стратегій та розглянемо позицію, яку

можна зайняти:

довга позиція в акції і коротка в опціоні купівлі – опціон виконує

роль захисту інвестора від несподіваного підвищення курсу

акцій;

коротка позиція в акції та довга в опціонній купівлі – протилежна

стратегія, в якій опціон захищає від падіння акцій;

довга позиція в акції та опціоні продажу – захист інвестора від

прогнозованого падіння акцій;

коротка позиція в акції та опціоні продажу - протилежна

стратегія, стратегія захисту від прогнозованого зростання акцій.

Спред-стратегії передбачають відкриті позиції в більше чим двох

опціонах однакового типу. Найпопулярнішою стратегію є «спред бика» . Вона

зводиться до придбання опціону купівлі та одночасно продажу опціону

купівлі, який базується на тій ж акції, але з більш великою ціною виконання.

Дати закінчення дії опціону однакові. Така махінація лімітує ризик, проте

зменшує прогнозований прибуток. Спред бика – ці також купівля опціону

продажу за нижчою ціною виконання та продаж його за більш високою ціною.

Видно, що прибуток від опціону продажу буде меншим, ніж при спекуляції

опціоном купівлі. Проте вкладник, що вживає спред бика, оцінює, що ціна

акцій зросте. Замість того, якщо вкладник очікує спадну тенденцію, тоді він

мусить вжити спред ведмедя, змістом якого є придбання опціону купівлі і

продажом за іншою вартістю виконання, проте ціна виконання повинна бути

24

вищою, ніж вартість проданого опціону. Ця стратегія може використовуватися

для опціонів продажу.

Стратегія мінімізації ризику – спред метелика. Вона полягає у

відкриття позицій опціонів купівлі з 3 відмінними цінами виконання. Така

стратегія передбачує вигоду, якщо ціна акції зостається такою ж самою, проте

грозить витратами у випадку зміни акцій. Таку стратегію також можна

використовувати для опціонів продажу. Вкладник купує опціон з низькою

ціною реалізації та опціон продажу з високою ціною реалізації та виставляє їх

з середньою ціною реалізації.

Найпопулярнішою змішано стратегію є стратегія long straddle. Суттю є

одночасне відкриття позицій в опціонах купівлі та продажу. Вони повинні

мати однакову ціну страйка і однакову дату погашення. Перекупник очікує на

великі зміни на ринку. Несприятливим становищем є горизонтальний тренд,

що призводить до збитків. Дохід буде вищим, чим вище буде різниці між

ринковою ціною у день скачування опціону та страйком.

Стратегія у випадку передбачення перемін цін є стратегія long strangle.

Вона полягає у придбанні опціонів продажу та купівлі з ідентичними датами

погашення. Вони повинні різнитися страйком. Вкладник, який використовує

таку стратегію повинен пророкувати, як буде вести себе ціни на ринку.

Відхилення від страйку повинно бути чимдуж більшим. Дохід залежить від

того, наскільки ціни будуть схожими.

Наступні стратегії – long strip і long strap. Strip відкриває довгі позиції

в одному купівельному опціоні і у двох опціонах продавця з ідентичним

страйком та датою закінчення. Strap займає дві довгі позиції в купівельних

опціонах та одному опціоні продажу з такими ж самими умовами, як і в

стратегії strip. Вкладник сподівається, що комбінація strip пророкує

зменшення ціни на ринку. Дохід буде тоді, якщо у день погашення курс

базового активу буде нижчим, ніж ціна страйку. Проте у випадку, коли в день

закінчення опціону курс активу буде рівним ціні страйку, то спекулянт

відчуває великі збитки, які рівні ціні опціонної премії.

25

Вкладник, який використовує strap очікує на переміни у ціні базового

активу. Проте він очікує, що ціни на ринку будуть зростати. Ця стратегія

включає в себе придбання двох опціонів купівлі і одного опціону продажу з

ідентичними строками закінчення терміну дії опціону і однаковою ціною

страйка. Вкладник у виграші, якщо ціна базового активу буду перевищувати

ціну страйку чи, якщо ціна на ринку буде нижче, аніж ціна страйку.

1.4 Фактори впливу на утворювання цін європейських опціонів

Розглянемо основні чинники, які прямо чи опосередковано діють на

утворювання цін європейських опціонів, які виставлені на акції. Дослідження

подані у табл. 1.8.

Таблиця 1.8 – Чинники впливу на утворення цін європейських опціонів

Тип базового

інструменту

Відсотковий

опціон

Валютний

опціон

Акційний

опціон

Індексний

опціон

Товарний

опціон

1 2 3 4 5 6

Ступінь

корисності

базового

активу

+

Ставка доходу

базового

інструменту

+ +

26

Кінець таблиці 1.8

1 2 3 4 5 6

Відсоткова ставка

без ризику за

кордоном

+

Відсоткова ставка

без ризику у країні

+ + + + +

Ціна базового

інструменту

+ + + + +

Ціна виконання

опціону

+ + + + +

Змінність ціни

базового

інструменту

+ + + + +

Стиль виконання

опціону + + + + +

Термін діяльності + + + + +

Тривалість до

завершення строку

діяльності опціону

+ + + + +

Розглянемо вплив зміни усіх чинників на вартість опціону.

Вартість акції та вартість реалізації опціону. Якщо купівельний опціон

буде виконано, прибуток власник складатиме різницю між ціною спот і

вартістю реалізації опціону. Ціна купівельного опціону може підвищуватися

разом зі підвищенням вартості акції та може знижуватися, якщо страйк буде

27

зростати. Проте при реалізації опціон продавця прибуток власника буде

дорівнювати відмінності між вартістю реалізації та вартістю спот акцій.

Значною мірою підвищення ціни реалізації вартість продажного опціону може

підвищуватися. Залежність вартості купівельних опціонів і продажних

опціонів від вартості акції ті цін реалізації цих опціонів відображено на рис.

1.6–1.9.

Рисунок 1.6 – Співвідношення зміни вартості акції на вартість купівельного

опціону

Рисунок 1.7 – Співвідношення зміни вартості акції на опціон продажу

28

Рисунок 1.8 – Співвідношення зміни ціни реалізації на опціон купівлі

Рисунок 1.9 – Співвідношення зміни вартості реалізації на вартість

опціону продажу

Термін до завершення строку діяльності опціону. Опціони продаються

перебувають в обігу на первинних та вторинних ринках. Це показує, що термін

до дати завершення опціону може не дорівнювати строку дії опціону.

Проаналізуємо залежність етап, що лишився до завершення строку діяльності

опціону на його ціну. Вважають, що чим довше оцей етап, тим вище буде

вартість американського купівельного опціону та продажного. Здебільшого

таке пов’язано з тим, що власник більш довгого по часу опціону має більше

29

перспектив краще його використати, чим утримувач, котрий купив коротший

за часом до погашення опціон. На рис. 1.10–1.11 розглянуто вплив вартості

американських купівельних опціонів та опціонів продажу від протяжності

часу до строку їхнього погашення. Припускаємо, що актуальна вартість акцій

нижча, аніж ціна виконання. Таки чином пояснюється той факт, що в час

погашення t=0 ціна купівельного опціону рівна нулю, а ціна опціону продажу

– більше нуля.

Рисунок 1.10 – Залежність зміни часу до погашення на ціну опціону

купівлі

Рисунок 1.11 – Залежність зміни часу до погашення на ціну опціону

купівлі

30

Ціна стандартного купівельного опціону та опціону немає характерних

рис, так як виконавець має тільки одну можливість реалізації опціону, в

момент його погашення. Виключенням будуть акційні опціони, на які

виплачуються дивіденди. Ціна на такий опціон буде значно нижчою від

опціону, на який не будуть виплачуватися дивіденди.

Волатильність. Волатильність вартості – критерій сумнівності відносно

цін на акції, котрі складуться у майбутньому. Якщо волатильність буде

зростати, то буде зростати імовірність рентабельних чи невигідних змін щодо

вартості певного інструмента. Для покупця акцій такого ефекту немає. Проте

прибутку для покупця купівельного опціону будуть зростати у міру

підвищення вартості акцій, проте втрати, котрі будуть зв’язані зі пониженням

вартості акції, обмежені розміром ціни опціону. Тому прибуток покупця

продажного опціону акції буде зростати, коли вартість акції буде знижуватися,

а втрати обмежуються величиною премії. З цього можна зробити висновок, що

ціна опціонів обох типів збільшуватиметься внаслідок підвищення

волатильності ціни акції рис 1.12–1.13.

Рисунок 1.12 – Залежність зміни волатильності на вартість

купівельного опціону

31

Рисунок 1.13 – Співвідношення змін волатильності на вартість

продажного опціону

Безризикова норма проценту. Вплив вартості опціону на відсоткову

ставку не є тотожним до перерахованих вище чинників. Підвищення норми

процента безризикованності призводить до підвищення прибутковості. Проте

підвищення вказує на зменшення реальної ціни усіх грошових потоків у

майбутньому. Ці наслідки призводять до зниження вартості опціонів продажу,

в тому випадку, якщо норма процента буде зростати рис. 1.14. Купівельні

опціони в свою чергу по першому наслідку будуть збільшуватися, а по

другому – зменшуватися. Однак перший наслідок є впливовішим. З цього

можна зробити висновок, що вартості купівельних опціонів буде зростати,

коли буде підвищуватися норма процента рис. 1.15 . В реальному часі може

бути, що реакція вартості акції може бути протилежною.

32

Рисунок 1.13 – Співвідношення зміни ставки проценту на ціну

купівельного опціону

Рисунок 1.14 – Співвідношення зміни ставки проценту на ціну

продажного опціону

Вплив дивідендів. Результатом виплачування дивідендів стає

пониження вартості акції після приходу часу платіжу. Така дія погано впливає

на ціну купівельного опціону, вони починають дешевшати і добре – на вартість

опціону продажу, опціони розпочинають підніматися у вартості. Робимо

висновок, що чим вище дивіденди, тим нижче буде вартість купівельного

33

опціону і вище на ці вартість опціону продажу. Вплив між дивідендами на

вартістю опціонів розглянемо на рис. 1.15–1.16.

Рисунок 1.15 – Залежність зміни розміру дивідендів на вартість

купівельного опціону

Рисунок 1.16 – Співвідношення зміни розміру дивідендів на ціну

продажного опціону

Деякі припущення щодо поведінки вартості опціонів:

34

всі прибутки із інвестицій, разом зі збитками, повинні

підкорятися однаковому оподаткуванню;

трансакційні втрати, які зв’язані з процесом купівлі-продажу

опціону, рівні нулю;

є імовірність запозичення і вкладення капіталу під відсоток;

немає спекуляції.

35

2 РОЗРОБКА МЕТОДІВ ТА АЛГОРИТМІВ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

ДОСЛІДЖЕННЯ І ЇХ ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

2.1 Межі вживання сучасних моделей ціноутворення опціонів

У дослідженні є необхідність опрацювання різних моделей, котрі

застосовуються для різних видів опціонів, враховуючи різноманітні умови і

обмеження. У світі відбувається швидкий розвиток ринку опціонів. Проте

існуючі моделі не дозволяють оцінювати всі їх види. До того ж не у всіх

моделей є чітко сформульовані межі застосування. Проведімо огляд та

виявимо переваги та недоліки популярних моделей ціноутворення, а також

з’ясуємо умови застосування існуючих моделей. Проаналізуємо кордони

застосування біноміальної моделі. Результати поглиблюють знання про умови

і межі застосовності сучасних моделей учасниками ринку опціонної торгівлі.

В сучасності світовий ринок деривативів активно розвивається. У

табл. 2.1 подано обсяги опціонних угод, укладених на Філадельфійській

фондовій біржі(PHLX).

Таблиця 2.1 – Обсяги опціонних контрактів на PHLX

Вид

опціону

Обсяг угод за

2015

Обсяг угод за

2016

Обсяг угод за

2017

Обсяг угод

за 2018

Млн.

дол.

Тис.

шт.

Млн.

дол.

Тис.

шт.

Млн.

дол.

Тис.

шт.

Млн.

дол.

Тис.

шт.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Опціони

на

ф’ючерси

на акції

119 143,3 331,8 127

530,3 293,7

77

687,8 155

90

251,

9

255,9

36

Кінець таблиці 2.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Опціони

на

ф’ючерси

на

індекси

1 196

629,3 1674,1

3 432

342,2 3673,4

3 051

194 3094,5

3 778

167

3581,

6

Інші

опціони

48

482,5 20,6

38

127,7 32,9

79

851,3 67,8

137

362, 5 160,5

Усього 1 364

255,1 2026,6

3 598

000,2 3999,9

3 208

733,2 3317,3

4 005

781, 4 3998

Проаналізуючи таблицю 2.1 буде видно, що тільки на PHLX близько 4

млн опціонних угод в рік, загальні розміри угод в кількісному вираженні

будуть сягати декілька трильйонів доларів у рік. У учасників ринку з’являється

потреба у достовірних та якісних моделях оцінки опціонів.

Сьогодні є багато моделей ціноутворення, проте вони не є

універсальними і не можуть використовуватися для всіх різновидів опціонних

контрактів, які існують на ринку. Проаналізувавши сучасні методи і моделі

оцінювання опціонів, у таблиці 2.2 представлені їх мінуси та плюси.

Найбільш універсальним методом є побудова моделей за допомогою

методу Монте-Карло. Проте цей метод потребує самостійної розробки

спеціальної моделі для кожного типу опціонів, немає готових моделей, що є

незручним для великої кількості учасників ринку.

37

Таблиця 2.2 – Огляд моделей та методів ціноутворення опціонів

Метод оцінки

вартості опціонів

Модель Блека-

Шоулза-Мертона

(та її

модифікації)

Біноміальна

модель (та її

модифікації)

Метод Монте-

Карло

Галузь

застосування

Оцінка

європейських

опціонів,

обмежена оцінка

американських

опціонів

Оцінка

європейських,

американських,

азіатських,

екзотичних

опціонів

Оцінка усіх видів

опціонів

Переваги

Популярність,

легко

застосовується,

аналітичні

формули

Велика сфера

застосування

Застосовується

для

ціноутворення

будь-яких видів

опціонів

Недоліки

Обмеженість, що

виходить з

недоцільності

дострокового

використання

американського

опціону при

відсутності

дивідендів

Некоректність у

виразах базової

моделі, що

спричиняє

некоректне

застосування у

деяких випадках

Необхідність

самостійно

розробляти

моделі для

кожного виду

опціонів

Модель Блека-Шоулза-Мертона має обмежену сферу вживання і,

здебільшого, може вживатися тільки для оцінки європейського опціону. При

38

застосування цієї моделі для оцінки американських опціонів call виглядає як

наслідок твердження, що дострокове виконання купівельного опціону акції без

дивідендів не є оптимальним. Проте ця думка спірна. Протягом дії опціону

ринкова кон'юнктура може поводити себе так, що поточна вартість акції буде

вище ціни виконання опціону. Виходячи з цього, дострокове виконання

опціону буде вигідним. Крім того, неможливо оцінити американські опціони

пут за допомогою моделі Блека-Шоулза-Мертона.

Біноміальна модель і заснована на ній модель Кокса-Росса-

Рубінштейна покликані для оцінки європейських, американських, азіатських

і екзотичних опціонів. В основу методу покладена побудова біноміального

древа, яке показує результати різних варіантів зміни інструменту протягом

строку дії опціону.

На рис. 2.1 показано графік функції ln( )u

rT

, де r – відсоткова ставка

без ризику, u – ціна базисного інструменту, T – у роках, у різноманітних

значень параметру u.

Рисунок 2.1 – Границі застосування біноміальної моделі

39

Для обчислення параметри u, який показує можливі дискретні зміни

вартості базового інструменту за час T Коксом, Россом і Рубінштейном в

1979 році була виявлена наступна формула:

Tu e . (2.1)

Параметр – волатильність ціни базового інструменту, а T -

середньоквадратичне відхилення за короткий проміжок часу T . Виходячи з

цього значення параметру u, котрі показані на «рис. 2.1» – реалістичні. Для

того, щоб змінна u була рівна 1.005, значення середньоквадратичного

відхилення ціни базового інструменту повинно дорівнювати 0.005T .

Таке незначне відхилення базисного інструменту за час T , який триває 5–15

робочих днів цілком можливе. Значення ціни базового інструменту, котрі

будуть взяті в певний момент часу після 5–15 робочих днів від цього моменту,

можуть відрізнятися незначно.

Отримані результати використовування біноміальної моделі можуть

приводити до некоректних результатів на реальних ринках. В залежності від

вибраного інтервалу зміни вартості базисного інструменту, яку обере

користувач, отримані результати будуть стрибкоподібно змінюватися.

Отримані результати свідчать про необхідність зміни біноміальної

моделі оцінки опціонів для того, щоб виключити можливі некоректні

результати.

У результаті дослідження робимо висновки:

модель Блека-Шоулза-Мертона потребує находження границь

застосування;

біноміальна модель може давати некоректні значення на виході,

потребує зміни;

метод Монте-Карло потребує глибокого дослідження, для

вивченні методу в розробці схем, моделей застосування в оцінці

опціонів.

40

2.2 Використання моделі біноміального дерева

Оцінка теоретичної ціни опціонів, які виставлені на акції, нерідко

вживають модель біноміального древа. Ця модель прогнозує дискретні зміни

часу.

Дерево представляє цінові рівні, котрих може здобути акція під час

строку діяльності опціону. У моделі представлено портфель з акцією, вартістю

S та опціон на ту ж саму акцію, вартістю f. Через Т позначено час до моменту

погашення. У моделі робиться припущення, що ціна акції в момент Т може

збільшитися з рівня S до рівня Su, або знизитися до рівня Sd. Причому

коефіцієнт пропорційного зростання ціни акції u>1, а коефіцієнт зниження

навпаки d<1. Пропорційне зростання – (u-1), а пропорційне зниження акції –

(d-1). Це буде значити, що підвищення ціни на 10% ми будемо записувати, як

u=1.1, а зниження на таке ж саме значення буде дорівнювати d=0.9. Якщо

підвищення акції буде рівне Su, то будемо припускати, що прибуток за

опціоном дорівнюватиме uf , у разі зниження до рівня Sd прибуток буде рівним

df . Це становище розглянуто на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 – Ціна опціону та ціна акції в першому періоду біноміального

древа

41

Припустимо, що портфель утворюється з довгої позиції у акціях і

займає коротку позицію в купівельному опціоні. Визначимо значення , за

умови, що портфель буде позбавлений ризику. У разі підвищення ціни на акції

вартість портфелю буде рівна uSu f , а у разі зниження - dSd f . Гіпотеза

про безризиковий портфель говорить про те, що в обидвох ситуаціях вартість

повинна зоставатися незмінною, тобто:

u dSu f Sd f . (2.2)

З цього рівняння можна визначити шукану переміну змінну -

кількість акцій, котрих треба здобути для того, щоб портфель був

безризиковим:

u df f

Su Sd

. (2.3)

Портфель буде вільний від ризику, виходячи з цього можна зробити

припущення, що його прибуток повинен бути рівним відсотковій ставці без

ризику. Як зрозуміло з формули 2.3, кількість акцій у портфелі буде рівний

співвідношенню зміни ціни опціону на зміну вартості акції між двома

вершинами дерева.

Зробимо позначення r – відсоткова ставка без ризику, тоді поточна

вартість портфелю буде рівна [ ] rT

uSu f e , а витрати, які відносяться до

утворення портфелю дорівнюватимуть S f . З цього видно, що:

[ ] rT

uS f Su f e . (2.4)

Якщо в це рівняння вставимо його значення з формули 2.3, то після

скорочення одержимо формулу для ціни опціону:

42

[ (1 ) ] rT

u df pf p f e , (2.5)

rTe dp

u d

. (2.6)

Формули 2.5 і 2.6 допомагають визначити ціну акції за допомогою

біноміальної моделі першого періоду. При виведенні формули 2.5 не було

взято до уваги ніяких припущень щодо імовірності підвищення чи пониження

ціни акції. P – імовірність підвищення ціни акції, а (р-1) – імовірність

пониження ціни. [ (1 ) ]u dpf p f показує гіпотетичний прибуток за опціоном.

Такі виразу показують, що р (2.5) показує, що сьогоднішня ціна опціону

рівняється очікуваному доходу , дисконтованого згідно з відсотковою ставкою

без ризику. В тому разі, коли підвищення ціни буде рівне р, очікувана вартість

акції у час Т визначається за формулою:

( ) (1 )TE S pSu p Sd , тобто ( ) ( )TE S pS u d Sd . (2.7)

Замінимо p на формулу 2.6 та отримаємо скорочену формулу для

очікуваного значення вартості акції у час Т:

( ) rT

TE S Se , (2.8)

що говорить нам про те, що середній темп підвищення вартості акції буде

рівним відсотковій ставці без ризику. Таким чином гіпотеза про імовірність

підвищення вартості акції, що буде рівна p, є тотожною з гіпотезою, що ставка

прибутку на акцію буд дорівнювати відсотковій ставці без ризику.

Аналізуючи способи оцінки вартості опціонів нерідко роблять

припущення, що вкладники не звертають уваги на ризик. Вкладники не

потребують компенсації за ризик, тому очікувана ставка прибутку для

43

кожного деривативу буде дорівнювати відсотковій ставці без ризику. З огляду

на це можемо зробити висновок, що головною засадою для оцінки вартості

опціону є принцип визначення в умовах загальної байдужості до ризику. Він

говорить про те, що при оцінці опціону можна не зважати на ризики. Ціни, на

основі таких припущень, будуть відноситись не тільки до умов байдужості, а

й для інших умов. Принцип байдужості до ризику вживається також в інших

моделях оцінювання опціонів.

Двоперіодичні біноміальні дерева. Приклад представлений на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Ціна опціону та ціна акції в другому періоді біноміального

древа

Через S позначимо початкову вартість акції, що є базовим активом.

Кожний часовий момент ділить дві вершини дерева, ціна акції може зростати,

що є добутком коефіцієнта підвищення ціни u та початковим значенням S , чи

знизиться, добуток коефіцієнта пониження d та значення S. Величину, що

хочемо отримати на рис. 2.3 позначено через f, ціна опціону після підвищення

у першому моменті часу - uf , після пониження - df , ціну підвищення у

другому часовому моменті - uuf тощо. Відсоткова ставка позначена як r, а

44

довжина інтервалу між горизонтальними верхів’ями дерева - T , r

виражається у вигляді коефіцієнта, а T - у роках.

Використовуючи формулу 2.5 випишемо вирази для цін опціонів у

перших трьох верхів’ях, на основі цін в останніх трьох верхів’ях:

[ (1 ) ] r T

u u udf pf p f e , (2.9)

[ (1 ) ] r T

d ud ddf pf p f e , (2.10)

[ (1 ) ] r T

u df pf p f e . (2.11)

Якщо у формулу 2.11 вставимо 2.9 та 2.10, то одержимо шукану

вартість у першій вершині:

2 2 2[ 2 (1 ) (1 ) ]r T

u uu ud ddf e p f p p f p f . (2.12)

Цей вираз є справедливим у випадку повної байдужості щодо ризику.

Змінні 2p , 2 (1 )p p , 2(1 )p окреслюють імовірності кінцевих рівнів

двоперіодичного біноміального древа. Вартість опціону дорівнюю майбутній,

згідно з безризиковою відсотковою ставкою, прибутку, що очікується. Якщо

спростити біноміальну модель приєднуванням нових віток, то буде видно, що

визначення з припущенням загальної байдужості буде зберігатися, вартість

буде завжди рівна прогнозованій за опціоном, дисконтованій за відсотковою

ставкою без ризику.

45

2.3 Паралельний алгоритм розрахунку справедливої ціни

європейського опціону

Дослідимо модель, представлену наступним стохастичним рівнянням:

1

1

( ),

, 1,..., .

n n n n n

n n n

S S r

B B r n N

(2.13)

Процес 0( )N

n nS показує вартість акції, 0( )N

n nB показує величину

банківського рахунку. Значення – волатильність, r – відсоткова ставка без

ризику. Задані начальні вимоги: 0 0 0 0| , |n n n nB B S S . Вважаємо, що

1 1,n n n nF r F , тобто випадкові величини 0,n nr . В даному випадку

{1, 1}n - незалежні випадкові величини, ( 1) ( 1)n nP P .

Розглядається фільтрація 0 1( , ), ( ,..., ).n nF F Видно, що | | 2N .

Інформаційне древо для даної моделі – бінарне дерево.

Розглянемо задачу:

0min X

, (2.14)

при обмеженнях: , ,n nn n n

n n

X SX f

B B

де X – адаптований процес,

– прогнозований процес відносно фільтрації F.

В силу єдності мартингальної міри рішення задачі 2.14 має вигляд:

* / ,

1,..., .

Nn n n

N

fX B E F

B

n N

(2.15)

46

в якості фінансового зобов’язання будемо використовувати Європейський

купівельний опціон:

( ) max( ,0)N N Nf S K S K . (2.16)

Припустимо, що заданий деякий «коридор» 0 1[ , ]M M . Якщо значення

nS відноситься до відрізка 0 10 ,

2

M MM

, то 1 1,n nr r , притому, що

2

11 0

2r

. Якщо 0 1

1,2

n

M MS M

, то 2 2,n nr r , притому, що

2

22 0

2r

.

Таким чином, в моделі 2.13 відображається послідовність марківських

моментів 0 1 20 ...N

N таких, що:

1

1 10

2 0

inf { },

inf { },

ii N

ii N

S M

S M

(2.17)

і так далі до N

.

Виходячи з цього, параметри моделі 2.13 мають вигляд:

1 1

1 1

1 { 1 , } 2 { 1 , }

1 { 1 , } 2 { 1 , }

,

,

i i i i

i i i i

n n i парне n i непарне

n n i парне n i непарне

I I

r r I r I

(2.18)

1,..., ; 0,...,n N i N .

47

В якості фінансового зобов’язання будемо використовувати

Європейський купівельний опціон (2.16).

Теорема 1.

Нехай ( ) ( )N N N N NX f S g S . Тоді справедливими будуть наступні

формули:

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1,

1

1 2 2 1 2 2 1,

2

( )

1( ( (1 )) ( (1 ))), 1

2(1 ),

1( ( (1 )) ( (1 ))), 1

2(1 )

( 1,..., ; 0,..., ).

n n n

n n n n i i

n n n n i i

X g S

g S r g S r n i парнеr

g S r g S r n i непарнеr

n N i N

(2.19)

Розрахунок по формулам 2.19 проводиться на бінарному дереві. Кожен

путь цього дерева до моменту часу ( 1,..., )n n N можна описати масивом

розміру n, який складається з нулей і одиниць, де нуль, то нижня частина гілки

вершини, одиниця – верхня вершина.

Алгоритм процедури displayBits(value,length,massiv), котрий

переводить десяткове число value у бінарне представлення довжини length та

записує в масив massiv одиницю або нуль.

Із теореми 1 слідує, що для *

0C X справедлива формула:

2*

1

1,

2

iNN

N ii N

fC

B

(2.20)

де i

Nf та i

NB - значення фінансового обов’язку та банківського рахунку у

момент часу N на і-м шляху бінарного дерева ( 1,...,2 )Ni . Послідовний

алгоритм розрахунку має вигляд:

48

FairPrice1(S0,B0,N,C).

1. i:=0,C:=0 ;

2. displayBits(i,N,massiv);

3. j:=1, S:=S0, B:=B0;

4. Поки (S<=N):

Якщо (massiv[j]=1), то eps:=1; инакше eps:=-1;

S:=S*(1+r1+sigma1*eps), B:=B*(1+r1),

j:=j+1;

Поки (S>M0) и (j<=N):

Якщо (massiv[j]=1), то eps:=1; инакше eps:=-1;

S:=S*(1+r2+sigma2*eps), B:=B*(1+r2),

j:=j+1;

5. Якщо(j<=N), то 4;

6. C:=C+f(S)/B;

7. i:=i+1;

8. Якщо (i<=pow(2,N)-1), то 2;

9. C:=C/pow(2,N);

10. Повернення.

Ідея паралельного алгоритму представлена на рис. 2.4.

49

Рисунок 2.4 – Графічне ілюстрація паралельного алгоритму

На основі алгоритму 1 сформулюється алгоритм 2, { 1,..., 1}l i N -

рівень розрізу дерева.

FairPrice2(S0,B0,l,N,i,C

1. S:=S0, B:=B0, displayBits(i,N,massiv);

2. j:=1;

3. Поки (S<=l) та (j<=l):

Якщо (massiv[j]=1), то eps:=1;

інакше eps:=-1;

S:=S*(1+r1+sigma1*eps), B:=B*(1+r1),

j:=j+1;

Поки (S>M0) и (j<=l):

Якщо (massiv[j]=1), то eps:=1;

інакше eps:=-1;

S:=S*(1+r2+sigma2*eps), B:=B*(1+r2),

j:=j+1;

4. Якщо (j<=l), то 3;

5. FairPrice1(S,B,N-l,R);

50

6. C:=R;

7. Повернення.

Нехай маємо 2m процесорів, притому, що N m . Паралельний

алгоритм має вигляд:

FairPrice.

1. i:=0;

2. FairPrice2(S0,B0,m,N,i,R);

3. S[i]:=R;

4. i:=i+1;

5. Якщр (i<=pow(2,m)-1), то 2;

6. С:=0, i:=0;

7. C:=C+S[i], i:=i+1;

8. Якщо (i<=pow(2,m)-1), то 7,

9. інакше C:=C/pow(2,m);

10. Повернення

Вхідні дані: 0 00 0 1 1 2 2 1 2

3, , , , , , , , , ,

2 2

S SS B K N N r r M M

Вихідні: 0.X

2.4 Дослідження. Реалізація алгоритмів

Для початку введемо вхідні дані нашого дослідження. У нашому

випадку – це будуть котирування акцій банку Citi Bank у період з 1.10.2017 –

31.12.2017.

51

Таблиця 2.3 – Котирування акцій банку Citi Bank у період з 1.10.2017 –

31.12.2017

Дата Курс(%) Дата Курс(%) Дата Курс(%)

1 2 3 4 5 6

01.10.2017 47,00 03.11.2017 48,04 01.12.2017 47,56

02.10.2017 47,25 04.11.2017 48,32 02.12.2017 47,22

03.10.2017 47,11 05.11.2017 48,50 03.12.2017 46,95

06.10.2017 47,31 06.11.2017 48,89 04.12.2017 47,19

07.10.2017 47,83 07.11.2017 47,75 05.12.2017 46,58

08.10.2017 47,56 10.11.2017 47,95 08.12.2017 47,37

09.10.2017 47,88 11.11.2017 47,39 09.12.2017 47,09

10.10.2017 47,90 12.11.2017 47,39 10.12.2017 47,36

13.10.2017 48,93 13.11.2017 47,10 11.12.2017 47,57

14.10.2017 49,00 14.11.2017 46,43 12.12.2017 47,55

15.10.2017 48,88 17.11.2017 46,30 15.12.2017 47,78

16.10.2017 49,00 18.11.2017 45,56 16.12.2017 47,94

17.10.2017 48,38 19.11.2017 45,94 17.12.2017 47,49

20.10.2017 48,14 20.11.2017 45,77 18.12.2017 47,89

21.10.2017 47,57 21.11.2017 46,34 19.12.2017 48,27

22.10.2017 47,20 24.11.2017 46,74 22.12.2017 48,50

23.10.2017 47,78 25.11.2017 46,91 23.12.2017 48,07

24.10.2017 47,60 26.11.2017 46,95 24.12.2017 47,85

52

Кінець таблиці 2.3

1 2 3 4 5 6

27.10.2017 46,70 27.11.2017 47,00 26.12.2017 47,86

28.10.2017 47,58 28.11.2017 47,03 29.12.2017 48,37

29.10.2017 47,59 30.12.2017 48,43

30.10.2017 47,52 31.12.2017 48,54

31.10.2017 47,40

У дипломній роботі буде подане зрівняння оцінки опціонів колл за

моделлю Блека-Шоулза та за Паралельним алгоритмом Біноміальної моделі.

Отримані дані будуть зрівняні в реальними даними ціни опціоні, котрі були на

ринку в цей період. Будуть зроблені висновки щодо більш якісної оцінки

опціонів. Буде обраний найкраща модель із представлених.

Паралельний алгоритм біноміальної моделі був показаний у підрозділі

2.3. У моделі Блека-Шоулза ціна європейського опціону колл описується у

вигляді:

1 2( ) ( ),rTc SN d Ke N d (2.21)

2 2

1 2 1

ln ln2 2

, ,

S Sr T r T

K Kd d d T

T T

де S – поточна ринкова ціна акції;

K – ціна виконання опціону;

r – річна відсоткова ставка без ризику;

– волатильність ціни акції;

53

T – термін до моменту завершення опціону, вимірюється в роках.

Звернемо увагу на те, що 1( )N d - значення функції стандартизованого

нормального розподілу для випадкової величини 1d , проте 2( )N d - значення

функції нормального розподілу для випадкової величини 2d .

Для вірності даних, які будуть пораховані, будемо використовувати

однакові дані: час до моменту закінчення опціону буде становити 3 місяці,

тобто T = 0.25 року, ціна страйку К = 40 доларів США, відсоткова ставка без

ризику r = 8% річних, а волатильність - 14% річних.

Розрахуємо теоретичні значення ціни опціону колл на період з

1.10.2017 – 31.12.2017 за допомогою моделі Блека-Шоулза, котра описана у

формулі 2.12 та за допомогою паралельного алгоритму біноміальної моделі,

описаної у підрозділі 2.3, лістинг програмного коду, який був реалізований у

С++ можна знайти у Додатку А.

Таблиця 2.4 – Обчислені значення ціни європейського опціону колл на

акції банку Citi Bank

Дата

Курс акції

(%)

Модель

Блека-

Шоулза

Паралельний

алгоритм

біноміальної

моделі

Фактичні

ціни на

опціон колл

1 2 3 4 5

05.01.2018 48,50 7,78 7,70 7,60

06.01.2018 48,46 9,30 9,24 9,25

07.01.2018 48,45 9,23 9,30 9,20

08.01.2018 48,49 9,30 9,27 9,25

09.01.2018 47,54 8,87 8,90 9,08

54

Продовження таблиці 2.4

1 2 3 4 5

12.01.2018 47,89 8,95 8,90 8,82

13.01.2018 47,59 8,37 8,27 8,08

14.01.2018 47,65 8,43 8,40 8,36

15.01.2018 46,98 7,76 7,74 7,68

16.01.2018 46,44 7,22 7,20 7,13

19.01.2018 46,39 7,17 7,10 7,06

20.01.2018 46,30 7,08 7,05 6,96

21.01.2018 46,73 7,51 7,45 7,38

22.01.2018 46,51 7,29 7,20 7,15

23.01.2018 46,87 7,65 7,72 8,07

26.01.2018 46,40 7,18 7,13 7,01

27.01.2018 46,52 7,18 7,14 7,12

28.01.2018 46,30 7,08 7,03 6,89

29.01.2018 46,15 6,94 6,85 6,73

30.01.2018 45,96 6,75 6,69 6,52

02.02.2018 46,13 6,92 6,85 6,68

03.02.2018 46,18 6,92 6,84 6,72

04.02.2018 46,49 7,27 7,10 6,78

05.02.2018 46,58 7,20 7,15 7,09

06.02.2018 46,55 7,25 7,20 7,05

55

Продовження таблиці 2.4

1 2 3 4 5

09.02.2018 46,77 7,45 7,38 7,25

10.02.2018 46,98 7,76 7,58 7,45

11.02.2018 46,87 7,65 7,54 7,33

12.02.2018 46,99 7,77 7,65 7,44

13.02.2018 47,80 8,48 8,40 8,23

16.02.2018 47,76 8,45 8,38 8,18

17.02.2018 47,98 8,66 8,54 8,39

18.02.2018 47,42 8,10 8,00 7,81

19.02.2018 47,56 8,34 8,20 7,94

20.02.2018 46,69 7,47 7,22 7,06

23.02.2018 47,89 8,57 8,47 8,25

24.02.2018 47,91 8,53 8,46 8,25

25.02.2018 48,05 8,53 8,46 8,38

26.02.2018 48,25 9,03 9,00 8,57

27.02.2018 48,00 8,58 8,46 8,31

01.03.2018 48,44 9,22 9,05 8,73

02.03.2018 48,23 9,01 9,11 8,51

03.03.2018 48,17 8,65 8,54 8,44

04.03.2018 48,03 8,51 8,42 8,29

05.03.2018 48,09 8,77 8,65 8,33

56

Кінець таблиці 2.4

1 2 3 4 5

08.03.2018 48,00 8,58 8,46 8,23

09.03.2018 48,25 8,89 8,74 8,47

10.03.2018 47,57 8,53 8,46 7,77

11.03.2018 47,55 8,33 8,27 7,74

12.03.2018 47,04 7,62 7,51 7,22

15.03.2018 47,59 8,37 8,24 7,76

16.03.2018 47,55 8,33 8,30 7,70

17.03.2018 47,41 8,19 8,02 7,55

18.03.2018 47,29 8,07 7,88 7,42

19.03.2018 47,23 8,01 7,75 7,35

22.03.2018 47,12 7,60 7,56 7,22

23.03.2018 47,58 8,36 8,12 7,67

24.03.2018 46,89 7,54 7,32 6,97

25.03.2018 46,79 7,57 7,35 6,85

26.03.2018 46,87 7,65 7,49 6,92

29.03.2018 46,67 7,45 7,30 6,71

30.03.2018 46,83 7,61 7,37 6,86

31.03.2018 46,79 7,57 7,41 6,80

57

На рис. 2.5 подано порівняння теоретичних та фактичних цін, що

склалися на ринку.

Рис. 2.5 – Порівняння теоретичних та фактичних цін

Як можемо бачити, ціни купівельних опціонів, що були на біржі,

переважно були нижчими від теоретичних, які обчислювалися за допомогою

моделі Блека–Шоулза ті паралельного алгоритму біноміальної моделі. Проте

ціни, прораховані за паралельним алгоритмом були здебільшого більш близькі

до фактичних. Тому, можемо сказати, що цей метод кращий. Адже чим ближче

до фактичного значення можна спрогнозувати значення, тим більше прибутку

ми зможемо отримати.

Проте обидві моделі добре себе показали, адже тенденція змін

збігається, що є дуже важливим.

58

ВИСНОВКИ

Однією з основних рис сучасного стану економіки у світі є

динамічність, глобалізація, змінність. В першу чергу це загрожує появою

нових, принципово нових, загроз для роботи господарських суб’єктів. Кожен

суб’єкт намагається уникати негативних дій непередбачуваних випадків у

своїй діяльності. Він намагається страхуватися від різного роду ризиків.

Одним із методів є придбання та/або продаж деривативів, котрі допомагають

перенести можливий ризик на суб’єкти, що готові його прийняти. Деривативи

обертаються на строковому ринку.

Строковий ринок в сучасному стані розвивається досить динамічно та

успішно. Це можна побачити на прикладі появи нових, непростих форм

деривативів. Деривативи не існують самостійно, як, скажімо, акції, сировина,

облігації, метали, товари тощо. Для їхнього функціонування потрібні інші

активи, які будуть основою. Вони називаються базові або первинні.

Однією з характерних рис строкового ринку є трансакції, у котрих є

значна різниця між часом укладання угоди і часом розрахунку між сторонами.

Іншою значною характеристикою є можливість левереджу, одержання

високого прибутку в порівнянні зі вкладеними грошима. Дериватив – це

інструмент високих ризиків, тому в нього короткий час дії. Дії з деривативами

можуть проводитися з ціллю управління ризиком чи з ціллю одержання

спекулятивних прибутків.

Деривативи є об’єктами обігу на ринках похідних інструментів,

особливо на біржах. Деривативи є для інвесторів заманливими вид вкладень.

Роль деривативів в останній час значно зросла у фінансовому ринку. Такі

засоби стали найуспішнішими засобами страхування вкладень від ризиків , які

кожен раз щобільше загрожують стабільному функціонуванню ринків. Усякий

господарський суб’єкт намагається шукати способи уникнення негативних

ризиків. Саме з такою ціллю біли створені нові види деривативів.

59

Найпопулярнішими є ф’ючерси, форварди, опціони, свопи, варанти. Вони

дають змогу, по перше, хеджувати вкладення, а, по друге, вміло користуватися

ним, застосовуючи моделі та методи, механізми фінансового ринку.

Деривативи можуть застосовуватися банківськими інституціями як

інструменти керівництва ризиками та у ролі джерела прибутку. Застосовуючи

їх вправно, за допомогою деривативів можна сотворити результативні методи

управління деякими ризиками хеджуванням. Похідні інструменти

використовують для пониження фінансових витрат, для зростання вигоді

деяких активів. В останній час ціллю операцій з деривативами банків та

інакших фінансових інституцій є залучення додаткових прибутків.

Динамічні економічні переміни, котрі здійснюються в Україні

спричиняють шалений розвиток вітчизняного ринку фінансів. Ринок

деривативів – наймолодша частка фінансового ринку країни. В основному на

строковому ринку України обертаються ф’ючерсні угоди. Замість того

опціони дуже рідко появляються. На жаль, вкладники не проявляють до них

зацікавленості. Проте спектр можливостей цього деривативу доволі широкий,

тому треба його вивчати та впроваджувати у фінансовий ринок України.

Узагальнюючи поданий у дипломній роботі матеріал, можна вивести

деякі висновки:

ринок похідних інструментів кожен раз становиться

популярнішим для потенційних інвесторів;

інструменти ринку мають великі перспективи щодо

пристосування до потреб клієнта;

похідні інструменти можна використовувати для хеджування;

нові типи деривативів розкривають великі можливості їхнього

використання, насамперед, спекуляція.

Запровадження нових типів похідних інструментів на ринок України

потребує вивчення потенційного попиту на них і перспективу їх пропозиції.

Також потрібно вивчити правові аспекти їх обігу, так само, як і ступінь

підготовленості інвесторів і емітентів до застосування нових типів похідних

60

інструментів з ціллю хеджування, спекуляції та арбітражу. Ринок деривативів,

зважаючи на швидкий хід глобалізації, зосередження капіталів фінансових

установ, має можливості розвитку.

61

ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАННЯ

1. Проект Закону України «Про похідні (деривативи)»

2. Банківський менеджмент / За ред. О.А. Кириченка. – К.: Знання-

Прес, 2002. – 438 с.

3. Сохацька О.М. Біржова справа. – Тернопіль: Карт-блаш, 2003. –

602 с.

4. Примостка Л.О. Фінансові деривативи: аналітичні та облікові

аспекти. – К.: КНЕУ, 2001. – 263 с.

5. Крамаренко В.І. Біржова діяльність. – К: ЦУЛ, 2003. – 264 с.

6. Деривативы. Курс для начинающих / Пер. с англ. – М.: Альбина

Паблишер, 2002. – 208 с.

7. Дудяк Р.П., Бугіль С.Я. Організація біржової діяльності: основи

теорії і практики. – Львів: Новий Світ – 2000, Магнолія плюс, 2003. – 360 с.

8. Примостка Л.О. Фінансовий менеджмент у банку. – К.: КНЕУ,

2004. – 468 с.

9. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Дж.В. Инвестиции: Пер. с

англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 1024 с.

10. Гитман Л.Дж. Основи інвестування / Пер. з англ. - М.: Справа,

1999. - 1008 с.;

11. Зимін І.А. Реальні інвестиції: навч. посібник. - М.: ТАНДЕМ, 2000.

- 304 с.;

12. Інвестиційна політика: навч. посібник. - М.: КНОРУС, 2005, - 320

с.

62

13. Комарова О.М. Вплив ринку похідних фінансових інструментів на

ефективність державної грошової кредитної політики// Фінансовий

менеджмент. - 2006. – 445 с.

14. Липсиц І.В. Економічний аналіз реальних інвестицій: навч.

посібник. - М.: Економіст, 2004. - 347 с.

15. Маршал Джон Ф., Бансал Віпул К. Повне керівництво фінансовим

нововведень: Пер. з англ. - М.: ИНФРА-М, 2001. – 365 с.

16. Мурзін Д.В. Цінні папери - безтілесні речі. Правові проблеми

сучасної теорії цінних паперів. - М.: Вид. Статус, 1998. – 270 с.

17. Павлова Ю.М. Фінансовий менеджмент: Уч. - М.: ЮНИТИ-

ДАНА, 2001. - 269 с.

18. Сафонова Т.Ф. Біржова торгівля похідними фінансовими

інструментами. - М.: Справа, 2000. - 544 с.

19. Васильченко З. Теорія і практика укладання строкових валютних

контрактів // Банківська справа. – 1998. - № 1 (19). – С. 46-53.

20. Гордон В. Основні фінансові інструменти міжнародного

валютного ринку та перспективи їх розвитку в Україні // Фінансові послуги. -

1999. - № 3-4. – С. 30-34.

21. Кротюк В., Міщенко В. Еволюція підходів до оцінки капіталу в

Базельських угодах // Банківська справа. – 2005. - № 4. – С.3-9.

22. Кулинич И.Н.. Управление банковскими рисками как способ

повышения платежоспособности коммерческого банка // Актуальні проблеми

економіки. – 2005. - № 1. – С. 60-68.

23. Пернарівський О. Аналіз, оцінка та способи зниження банківських

ризиків // Вісн. НБУ. – 2004. - № 4. – С. 44-49.

24. Солодкий О.М. Біржовий ринок. – К: Джерела М, 2002. – 336 с.

63

25. Сохацька О.М. Процедура поставки за ф’ючерсними та

опціонними контрактами на зарубіжних біржових ринках // Вісн. Терноп. акад.

народ. Господарства. – 1999. – Вип. 6. – С. 213-223.

26. Сохаціка О.М. Застосування опціонів у корпоративному

управлінні // Економіст. – 2001. - № 3. – С. 33-39.

27. Фабер С., Пожарська І., Куценко О. Нагляд на основі оцінки

ризиків: українська перспектива // Вісн. НБУ. – 2004. - № 6. – С. 24-26.

28. Шелудько В.М. Фінансовий ринок. – К.: Знання, 2006. – 535 с.

29. Іващук Н.Л. Застосування кількісних методів в управлінні

операційним ризиком // Вісн. Нац. ун-ту «Львівська політехніка». – 2006. - №

554: Проблеми економіки та управління. – С. 225-261.

30. Іващук Н.Л. Формування цін акційних опціонів // Вісн. Нац. ун-ту

«Львівська політехніка». – 2006. - № 552: Логістика. – С. 209-216.

31. Іващук Н.Л. Про значення компетенції організації у формуванні її

ринкової вартості // Вісн. Нац. ун-ту «Львівська політехніка». – 2006. - № 567:

Менеджмент та підприємництво в Україні: етапи становлення і проблеми

розвитку. – С. 233-239.

32. Іващук Н.Л. Управління ризиком діяльності банківської установи

на строковому ринку // Проблеми раціонального використання соціально –

економічного і природно-ресурсного потенціалу регіону: фінансова політика і

інвестиції. – Рівне, 2006. - № 1, вип. XII. – С. 61-69.

33. Іващук Н.Л. Управління портфелем цінних паперів комерційного

банку // Регіональна економіка. – 2006. - № 3. – С. 191-198.

34. Іващук Н.Л. Управління ризиком похідних інструментів у світлі

рекомендацій Базельського комітету // Держава та регіони. Сер. Економіка і

підприємництво. – Запоріжжя, 2007. - № 2. – С. 111-116.

64

35. Іващук Н.Л. Дослідження динаміки розподілів прибутку методом

виробничих функцій // Вісн. Нац. ун-ту «Львівська політехніка». – 2004. - №

517: Менеджмент та підприємництво в Україні: етапи становлення і проблеми

розвитку. – С. 119-127.

36. Іващук Н.Л. Модель динаміки економічних показників

однопродуктового виробництва // Вісн. Львів. нац. ун-ту. Сер. Економічна. –

2006. – Вип. 35. – С. 265-274.

37. Іващук Н.Л., Соловей О.Л., Іващук О.В. Роль деривативів на ринку

емісій // Економіка: проблеми теорії та практики. – Дніпропетровськ, 2007. –

Т. 1, вип. 232. – С. 269-275.

38. Іващук Н.Л., Єлейко В.І. Дослідження динаміки прибутків за

облігаціями державної позики // Вісн. Львів. комерційної академії. – 2001. – Т.

1: Проблеми перехідної економіки. – С. 61-63.

39. Кравчук В.В. Базельські угоди: новий етап розвитку міжнародної

системи оцінки ризиків // Фінанси України. – 2004. - № 6. – С. 121-128.

40. Крамаренко Я. Валютні деривативи: сутність, класифікація,

призначення // Економіст. – 2000. - № 19. – С. 44-47.

41. Мельничук М. Проблеми впровадження нових рекомендацій

Базельського комітету щодо управління ризиками в банках України //

Банківська справа. – 2005. - № 5. – С. 76-82.

65

ДОДАТОК А

ЛІСТИНГ ПРОГРАМИ

const int N = 10;

const int r1 = 0.15;

const int r2 = 0.35;

const int sigma1 = 0.25;

const int sigma2 = 0.45;

const int M0 = 5;

const int M1 = 7;

const int m = 4;

float FairPrice1(S0,B0,N,C)

{

int i = 0;

float C = 0;

displayBits(i,N,massiv);

int j = 1;

float S = S0;

float B = B0;

while (S < M1 and j <= N)

{

if (massiv[j] = 1)

{

eps = 1

}

else

{

eps = -1

}

S = S*(1+r1+sigma1*eps);

B = B*(1+r1);

j = j+1;

}

while (S > M0 and j <= N)

{

if (massiv[j] = 1)

{

eps = 1

}

else

{

eps = -1

66

}

S = S*(1+r2+sigma2*eps);

B = B*(1+r2);

j = j+1;

}

if (j <= N) C = 4;

C = C+f(S)/B;

i = i+1;

if (i<=pow(2,N)-1) C = 2;

C = C/pow(2,N);

return C;

},

float FairPrice2(S0,B0,l,N,i,C)

{

float S = S0;

float B = B0;

displayBits(i,N,massiv);

float j = 1;

while (S < M1 and j <= l)

{

if (massiv[j] = 1)

{

eps = 1

}

else

{

eps = -1

}

S = S*(1+r1+sigma1*eps);

B = B*(1+r1);

j = j+1;

}

while (S > M0 and j <= l)

{

if (massiv[j] = 1)

{

eps = 1

}

else

{

eps = -1

}

67

S = S*(1+r2+sigma2*eps);

B = B*(1+r2);

j = j+1;

}

if (j <= l) C = 3;

R = FairPrice1(S,B,N-l,R);

C = R;

return C;

}

float FairPrice()

{

int i = 1;

float R = 0;

float S = [];

R = FairPrice2(S0,B0,m,N,i,R);

S[i] = R;

i = i+1;

if (i <= (pow(2,m)-1)) C = 2;

float C = 0;

int i = 0;

C = C + S[i];

i = i+1;

if (i <= (pow(2,m)-1))

{

C = 7;

}

else

{

C = C/pow(2,m)

}

return C;

}

int main()

{

float res = FairPrice();

printf("%.8f;\n", res);

return 0;

}