ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И КЫРГЫЗСКИЙ...

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КЫРГЫЗСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени ЖУСУПА БАЛАСАГЫНА

На правах рукописи

УДК:517.95(575.2)

СУЛТАНКУЛ КЫЗЫ АЙНУРА

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПЕРЕРАБОТКИ ПРОДУКЦИИ

Специальность 08.00.13- математические и инструментальные методы экономики

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

с.н.с. Жусупбаев Амангельди

Бишкек 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………… 3

ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ОБЗОР

ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ……………………… 12

1.1. Постановка задачи……………………………………………….. 12

1.2. Обзор литературы по теме исследования. ……………………... 17

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И

ПЕРЕРАБОТКИ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЗАТРАТ...... 24

2.1. Задача определения оптимального объема производства

и обработки продукции………………………………………………... 24

2.2. Задача размещения производства с нелинейной функцией затрат

на переработку продукции…………………………………………….. 35

2.3. Задача размещения с нелинейными функциями затрат

на производство и переработку продукции…………………………… 45

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И

ПЕРЕРАБОТКИ ПРОДУКЦИИ С РАЗРЫВНЫМИ (В НУЛЕ)

ФУНКЦИЯМИ ЗАТРАТ…………………………………………………… 55

3.1. Основные положения метода последовательных расчетов

В.П. Черенина………………………………………………………….. 55

3.2. Решение задачи размещения производства продукции

и ее переработки с разрывными в нуле функциями транспортных

затрат…………………………………………………………………… 60

3.3. Решение задачи размещения перерабатывающих предприятий

с нелинейными разрывными в нуле функциями затрат на

переработку и транспортировку продукции…………………………… 75

3.4. Решение задачи размещения пунктов производства продукции

с разрывными в нуле функциями затрат ……………………………. 86

3.5 Решение задачи размещения производства и переработки с

нелинейными функциями затрат на производство, перевозку и

переработку продукции…………………………………………… 100

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ

ДОБЫЧИ, ТРАНСПОРТИРОВКИ И ПЕРЕРАБОТКИ УГЛЯ…........... 112

4.1. Задача определения технологического способа добычи угля на

месторождениях. ……………………………………………………… 112

4.2 Задача определения оптимального объема добычи угля, состава

погрузочно-транспортных средств и схемы перевозок…………….. 117

4.3 Задача определения оптимального объёма добычи и переработки

угля на месторождениях……………………………………………….. 123

4.4. Задача определение оптимального объема добычи

и транспортировки угля по периодам………………………………… 132

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………… 137

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ………………… 139

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………... 149

Пример к разделу 4.1…………………………………………………. 149

Пример к разделу 4.3………………………………………………… 161

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы: Особенность развития современного общества

является сложная рыночная экономика, характеризуемая изменением и быстрой

сменяемостью условий экономической деятельности, предъявлением высокой

требовательности к методам планирования и управления хозяйственной

деятельности. В этих условиях использование экономико-математических

методов в своей деятельности, хозяйствующими субъектами приобретает

первостепенное значение. В частности, использование задачи размещения для

анализа экономических ситуаций позволяет выделить основные параметры,

влияющие на деятельность фирмы, рассчитав различные варианты

деятельности (проектирования) фирмы, определив наиболее целесообразные

мероприятия, обеспечивающие необходимую эффективность производства или

предпринимательства, и на основе этих данных принять решения о выборе

оптимальной стратегии по управлению деятельности фирмы или формы

бизнеса.

Очевидно, что задачи размещения в простейшей форме, т.е. линейными

зависимостями параметров оптимизации, недостаточно отражает

хозяйственную деятельность различных фирм. И тогда возникает

необходимость рассмотрения экономико-математических моделей и методов

решения с нелинейными функциями затрат и ограничительными условиями

на переменные. Как правило, эти постановки обобщают задачи размещения

простейшей формы и требуют разработки новых подходов для их решения.

Характеристики связности таких моделей позволяют учесть более тонкие

взаимосвязи среди показателей.

В развитии методов и алгоритмов решений задачи размещения весомый вклад внесли ученые Е.Г. Гольштейн, В.П.Черенин, В.Р. Хачатуров, В.Трубин, С.С.Лебедев, В.А.Емеличев, В.Л.Береснев, Э.Х.Гимади, В.Т.Дементьев, А.Е.Бахтин, А.А. Колоколов, А.Ж. Сапарбаев, А.Т.Макулова, Э.Л. Ланге, А.Жусупбаев, М. Асанкулова , В.Н. Андрияш и др.

3

В настоящее время имеется множество работ, посвящённых разработкам

математических моделей и методам решения задач размещения производства

как в дискретной, так и в непрерывной постановке.

Из анализа следует, что наиболее исследованными являются задачи

размещения производства в дискретной постановке, а в непрерывной

постановке задачи, когда функции, отражающие зависимость стоимости

производимой продукции от объема производства, либо линейные

непрерывные на всей числовой оси за исключением начало координат, где

терпят разрыв, либо вогнутые непрерывные. Применение для их решения

метода линейного или выпуклого программирования приведет лишь в один из

многих локальных оптимумов.

В отличие от выше названного класса задач размещения, на наш взгляд,

еще не достаточно развиты методы решения задачи размещения производства с

нелинейной разрывной целевой функцией, искомыми объемами производства,

переработки и фиксированным суммарным объемом продукции которое

должно быть произведено во всех пунктах производства и переработана всеми

пунктами переработки (далее задача размещения производства продукции,

транспортировки и переработки с нелинейными разрывными в нуле функциями

затрат).

Методика исследования. В работе использованы методы исследования

операций, метод последовательных расчетов В.П. Черенина, метод кусочно-

линейной аппроксимации нелинейных функций и методы целочисленного

программирования и способ М.Л. Балинского.

Цель и задачи исследования: Разработка методов и алгоритмов

решения задачи размещения производства продукции, ее переработки и

транспортировки с нелинейными разрывными в нуле функциями затрат.

Разработка математических моделей задач определения оптимального объема

добычи, транспортировки и переработки угля на предприятиях угольной

промышленности сводящихся к рассмотренным в работе классу задач

размещения. 4

Поставленная цель предопределила решение следующих задач:

- разработка метода решения задачи размещения производства с

линейными и выпуклыми функциями затрат на производство продукции,

транспортировку и затрат на переработку продукции;

- нахождения способа решения для задачи размещения производства с

линейными разрывными в нуле функциями производственных,

транспортных затрат и затрат на переработку продукции;

- разработка алгоритма решений для задачи размещения производства с

выпуклыми разрывными в нуле функциями затрат на производство,

транспортировку и переработку продукции;

- формулировка оптимизационных моделей задач угледобывающей

отрасли экономики.

Научная новизна работы. Основные научные результаты:

- найден способ решения задачи размещения производства продукции и

ее переработки в случае, когда функции, определяющие производственные

затраты и затраты на переработку продукции - линейные непрерывные с

различными ограничительными условиями на переменные;

- предложен приближенный способ решения для задачи размещения с

выпуклыми функциями затрат на производство продукции и ее переработку,

которые используется в алгоритмах метода последовательных расчетов на

вариантах задачи размещения с разрывными функциями в нуле;

- доказано достаточное условие применимости метода последовательных

расчетов для задачи размещения производства продукции и ее переработки в

случае, когда функции, определяющие затраты на производство продукции и

на переработку - линейные, а функции, определяющие транспортные расходы-

линейные и терпят разрыв в нуле;

- разработан метод, использующий способ М.Л.Балинского и алгоритм

метода последовательных расчетов для задачи размещения производства

продукции и на ее переработку в случае, когда объем перевозимой продукции

5

на переработку ограничены сверху, а функции, определяющие транспортные

расходы и расходы на переработку продукции – линейны и разрывны в нуле;

- обоснована применимость алгоритма метода последовательных

расчетов для задачи размещения производства продукции и на переработу в

случае, когда функции, определяющие затраты на перевозку продукции и

затраты на переработку продукции - выпуклые непрерывные, а функции,

определяющие затраты на производство продукции - выпуклые непрерывные и

терпят разрыв в начале координат.

- предложен алгоритм решения, использующий алгоритм метода

последовательных расчетов и дополнительные условия отбраковки вариантов

для задачи размещения производства продукции и ее переработки в случае,

когда функции, определяющие транспортные затраты - выпуклые

непрерывные, а функции, определяющие затраты на производство продукции и

на ее переработки - выпуклые непрерывные на всей числовой оси за

исключением начало координат, где имеется разрыв (в нуле);

- сформулированы экономико-математические модели задачи

определения оптимального технологического способа добычи угля;

оптимизации добычи угля, состава погрузочно - транспортных средств и схемы

перевозок; определения оптимального объема добычи, переработки и

транспортировки угля; оптимизации добычи и транспортировки угля по

периодам. Методы решения, которых демонстрированы на числовых примерах.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанные

математические модели, методы и алгоритмы решения задач размещения,

производства продукции и ее переработки с нелинейными (разрывными в

нуле) функциями затрат на производство продукции, ее транспортировку и

переработку могут быть использованы различными хозяйствующими

субъектами экономики, для оптимизации выбора расположение пунктов

производства продукции (добычи сырья) и переработки, их объемы

производства (добычи, переработки) и схемы вывоза продукции для

переработки. Теоретические результаты – в научно-исследовательских 6

учреждениях и ВУЗах для разработки методов и алгоритмов решения

различных классов многоэкстремальных задач, а также в лекционных курсах

для подготовки специалистов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- найденный способ решения задачи размещения производства продукции

и ее переработки в случае, когда функции, определяющие производственные

затраты и затраты на переработку продукции – линейные непрерывные с

различными ограничительными условиями на переменные;

- приближенный способ решения для задачи размещения с выпуклыми

функциями затрат на производство продукции и на ее переработку, которое

используется в алгоритмах метода последовательных расчетов на вариантах

задачи размещения с разрывными функциями в нуле;

- доказательство достаточного условия применимости метода

последовательных расчетов для задачи размещения производства продукции и

на ее переработку в случае, когда функции, определяющие затраты на

производство продукции и ее переработку - линейные, а функции,

определяющие транспортные расходы - линейные и терпят разрыв в нуле;

- разработанный метод, использующий способ М.Л.Балинского и

алгоритм метода последовательных расчетов для задачи размещения

производства продукции и ее переработки в случае, когда объем перевозимой

на переработку продукции ограничены сверху, а функции, определяющие

транспортные расходы и расходы на переработку продукции – линейные и

разрывны в нуле;

- обоснование применимости алгоритма метода последовательных

расчетов для задачи размещения производства продукции и переработки в





7

- предложенный алгоритм решения, использующий алгоритм метода



когда функции, определяющие транспортные затраты – выпуклые непре-

рывные, а функции, определяющие затраты на производство продукции и на ее

переработку - выпуклые непрерывные на всей числовой оси за исключением

начало координат, где имеется разрыв (в нуле);

- экономико-математические модели задачи определения оптимального

технологического способа добычи угля; оптимизации добычи угля, состава

погрузочно – транспортных средств и схемы перевозок; определения

оптимального объема добычи, переработки и транспортировки угля;

оптимизации добычи и транспортировки угля по периодам.

Связь работы с научно исследовательскими проектами.

Данная работа выполнена в рамках проектов Института теоритической и

прикладной математики НАН КР: «Разработка метода и алгоритма решений

задачи размещения с нелинейными функциями и ее приложения», № гос.рег.

0003850, (2005-2007); «Развитие методов и алгоритмов решений оптими-

зационных задач и их приложения», № гос. рег. 0005168 , (2008-2009); «Анализ

и моделирование экономических процессов Кыргызстана», № гос. рег.

0005565, (2010-2011); «Развитие и приложения компьютерного моделирования

асимптотических и аналитических методов в теории динамических систем,

обратных и оптимизационных экономических задач и в анализе геофизических

данных для оперативного прогноза землетрясений», № гос. рег. 0005756,

(2012-2014); «Развитие и приложение компьютерного моделирования, асим-

птотических и аналитических методов в теории устойчивости динамических

систем, разрешимости обратных задач экономических и геофизических

процессов» № гос. рег.0007125, (2015-2017).

Апробация работы. Основные положения и результаты исследований

по теме диссертации докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории

экономико - математических методов института теоретической и прикладной 8

математики НАН КР (2007-2016), на международной азиатской школе –

семинаре «Проблемы оптимизации сложных систем», (2007-2015), на

международной конференции «Асимптотические, топологические и

компьютерные методы в математике», посвященной 60-летию академика

Борубаева А.А., (Бишкек, 2010), на международной конференции

«Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике»,

посвященной 80-летию академика Иманалиева М.И., (Бостери, 2011), на

международной научно-практической конференции «Стратегия инновационной

модернизации экономического развития КР», посвященной 75-летию чл.-

корр. Мусакожоева Ш.М., (Бишкек, 2012), на международной научно –

практической конференции «Проблемы и перспективы экономического

развития КР в современных условиях», посвященной 65-летию Сарыбаева

А.С., (Бишкек, 2013), на международной научно – практической конференции

«Экономическая наука: вчера, сегодня завтра», посвященной 60-летию

экономического факультета КНУ им. Ж. Баласагына (Булан - Соготту, 2014),

на V международном конгрессе математиков Тюркского Мира (Булан –

Соготту, 2014), на Иссык-кульском Международном математическом форуме,

(Бостери, 2014), на летней школе совета молодых ученых КНУ им. Ж.

Баласагына «Современные методы научных исследований», (пансионат

Университет, Бостери, 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16

научных работах [60]- [75]. В совместных работах, в обсуждении постановки

задачи и полученных результатах участвовали А. Жусупбаев, М.Асанкулова,

Ф. Шаршенбиева.

Структура, объем и краткое содержание диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения,

списока литературы из 75 наименований и приложения. Нумерация разделов -

двойная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер раздела.

Нумерация теорем, формул, таблиц - тройная: первая цифра указывает на номер

9

главы, вторая - на номер раздела, третья - на порядковый номер в разделе.

Работа содержит 192 страниц.

В первой главе сформулирована общая постановка, задачи размещения

производства продукции, транспортировки и ее переработки с нелинейными

функциями затрат на производство продукции, перевозку и переработку, и

изложена экономическая интерпретация задачи. Приведен обзор литературы

по теме исследования.

Во второй главе работы рассматриваются частные случаи задачи

сформулированной в первой главе. Разработаны методы и алгоритмы решений

задачи размещения производства продукции, транспортировки и ее

переработки с ограничениями на объемы производства продукции и

переработки в случае, когда часть доставляемой продукции в известном

объеме оставляется перерабатывающим предприятием для реализации, а часть

продукции перерабатывается предприятием для экспорта; задачи размещения

производства продукции и ее переработки с линейной функцией затрат на

производство продукции, транспортировку и переработку; задачи размещения

производства продукции с выпуклыми непрерывными функциями затрат на

переработку; задачи размещения производства с нелинейной функцией затрат

на производство продукции и ее переработку. Построены и решены числовые

примеры для иллюстрации метода решений. Разработанные способы решения

для задач размещения производства продукции, перевозки и ее переработки в

данной главе, в дальнейшем используется в главе 3, при разработке методов и

алгоритмов решения для задач размещения с разрывными в нуле функциями

затрат.

В третьей главе рассмотрены задачи размещения производства

продукции и ее переработки с нелинейными разрывными в нуле функциями

затрат на производство, транспортировку и переработку продукции.

Доказано достаточное условие применимости метода последовательных


случае, когда объем перевозимой продукции на переработку ограничен сверху, 10

а функции, определяющие транспортные расходы - разрывны в нуле;

разработан метод, использующий способ М.Л.Балинского и алгоритм метода


переработки, когда объем перевозимой продукции для переработки ограничены

сверху, а функции, определяющие транспортные расходы и расходы на

переработку продукции терпят разрыв в нуле; доказана применимость

алгоритма метода последовательных расчетов к задаче размещения пунктов

производства продукции и переработки в случае, когда функции,

определяющие транспортные затраты на перевозку продукции и затраты на ее

переработку - выпуклые непрерывные, а функции, определяющие затраты на

производство продукции – выпуклые непрерывные и терпят разрыв в нуле;

предложен способ решения, использующий алгоритм метода


ее переработки, когда функции, определяющие транспортные затраты –

выпуклые непрерывные, а функции, определяющие затраты на производство

продукции и на ее переработку - выпуклые непрерывные и терпят разрыв в

нуле. Приведены и решены числовые примеры для демонстрации метода и

алгоритма решений рассмотренных задач.

В четвертой главе сформулированы экономико - математические модели

определения оптимального объема добычи, транспортировки и переработки

угля в угледобывающей отрасли.

Задача определения оптимального технологического способа добычи

угля; задача определения оптимального объема добычи угля, состава

погрузочно - транспортных средств и схемы перевозок; задача определения

оптимального объема добычи, переработки и транспортировки угля; задача

определения оптимального объема добычи и транспортировки угля по

периодам.

Сформулированные математические модели и способы решения

демонстрированы на числовых примерах.

В конце каждой главы приведены выводы. 11

ГЛАВА 1

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Постановка задачи

Современный этап развития экономики любого государства требует

широкого применения экономико-математических методов и вычислительной

техники в деятельности каждого субъекта. Использование экономико-

математических методов является одним из важнейших предпосылок

разработки научных основ системного подхода к вопросам размещения

производственных предприятий в объединениях. В этом деле практика

выявила многогранные возможности задач размещения. Проблемы, связанные с

размещением производства продукции, транспортировки и ее переработки

производственными предприятиями объединении любой отрасли сводятся к

различным постановкам задач размещения с линейными, нелинейными,

разрывными в нуле функциями затрат.

Приведем математическая модель задачи.

Найти минимум

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n

ij ij i i j ji j i j

L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (1.1.1)

при ограничениях

1

, 1,2,..., ,n

ij ij

x x i m=

= =∑ (1.1.2)

1

, 1,2,..., ,m

ij ji

x y j n=

= =∑ (1.1.3)

1 1

,m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (1.1.4)

, 1,2,..., ,i i ia x a i m′ ′′≤ ≤ = (1.1.5)

, 1,2,..., ,j j jb y b j n′ ′′≤ ≤ = (1.1.6)

0 , 1,2,..., , 1,2,..., ,ijx i m j n≥ = = (1.1.7)

12

где ,

; , , , ,ij i i j jm nx x Q a a b b′ ′′ ′ ′′=

- известные параметры, а ( ),ij ijxϕ

1,2,..., , 1,2,..., , ( ) , 1,2,..., ,i ii m j n x i mϕ= = = ( ) , 1,2,...,j jy j nψ = - некоторые

заданные функции.

Предполагается, что выполняется условие

1 1,

m m

i ii i

a Q a= =

′ ′′≤ ≤∑ ∑

1 1.

n n

j jj j

b Q b= =

′ ′′≤ ≤∑ ∑

В качестве примера экономического приложения покажем, что к

рассматриваемой задаче сводится, так называемая задача, оптимального

размещения производства кирпича с искомыми объемами производства и

переработки по критерию максимума прибыли.

Пусть фирма имеет m пунктов добычи глины с неизвестными, но

заключенными в определенных границах, объемами добычи. Глина из этих

пунктов доставляется на n кирпичные заводы этой же фирмы, где из нее

изготавливается кирпич. Объем перерабатываемой глины на каждом

кирпичном заводе неизвестен, но находится в определенных пределах.

Известна реализационная цена единицы кирпича для каждого отдельного

завода.

Требуется составить план добычи глины и ее переработки

максимизирующий суммарную прибыль фирмы от реализации кирпича.

Для математической формулировки задачи введем следующие

обозначения:

i - индекс пункта добычи глины, 1,2,..., ,i m=

j - индекс кирпичного завода, 1,2,..., ,j n=

ix - искомый объем глины, добываемый на i-м пункте, 1,2,..., ,i m=

jy - искомый объем глины, перерабатываемый на j-ом кирпичном

заводе, 1,2,..., ,j n=

13

ijx - объем глины перевозимый из i-го пункта добычи на j-й кирпичный

завод, 1,2,..., ,i m= 1,2,..., ,j n=

,i ia a′ ′′ - соответственно нижняя и верхняя возможность добычи глины на

i-м пункте, 1,2,..., ,i m=

,j jb b′ ′′ - соответственно нижняя и верхняя возможность переработки

глины на j-м кирпичном заводе, 1,2,...,j n= ,

Q - заданный суммарный объем глины, который должен быть добыт во

всех пунктах добычи,

ijλ - коэффициент выхода кирпича из единицы веса глины, добытый на i-

м пункте и переработанный на j-м кирпичном заводе, 1,2,..., ,i m=

1,2,..., ,j n=

ijc - закупочная цена кирпича, изготовленного j-м кирпичным заводом

из глины добытого на i-м пункте, 1,2,..., ,i m= 1,2,..., ,j n=

( )ij ijxϕ - стоимость транспортировки единицы объема глины из i-го пункта

добычи в j-й кирпичный завод, 1,2,..., ,i m= 1,2,..., ,j n=

( )i ixϕ - расходы на добычу глины объема ix , на i-м пункте, 1,2,..., ,i m=

( )j jyψ - расходы на переработку глины объемом jy на j-м кирпичном

заводе, 1,2,..., .j n=

Согласно принятым обозначениям затраты на добычу глины объемом Q

составляет величину 1

( ) ,m

i ii

xϕ=∑

затраты на транспортировку - 1 1

( ),m n

ij iji j

xϕ= =∑∑

и затраты на переработку - 1

( ).n

j jj

yψ=∑

Таким образом, суммарные затраты равны

14

1 1 1 1( ) ( ) ( ) .

m n m n


x x yϕ ϕ ψ= = = =

+ +∑∑ ∑ ∑

Доход, получаемый за счет реализации готовой продукции (кирпича),

выражается величиной

1 1.

m n

ij ij iji j

c xλ= =∑∑

Следовательно, суммарная прибыль, получаемая фирмой равна

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) .

m n m n m n

ij ij ij ij ij i i j ji j i j i j

c x x x yλ ϕ ϕ ψ= = = = = =

− + +

∑∑ ∑∑ ∑ ∑

В соответствии с принятыми обозначениями выше изложенная проблема

запишется в следующем виде:

найти максимум функционала

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n m n

ij ij ij ij ij i i j ji j i j i j

L x c x x x yλ ϕ ϕ ψ= = = = = =

= − + +

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ (1.1.8)

при условиях

1, 1,2,..., ,

m

ij ii

x x i m=

= =∑ (1.1.9)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

x y j n=

= =∑ (1.1.10)

1 1,

m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (1.1.11)

, 1,2,..., ,i i ia x a i m′ ′′≤ ≤ = (1.1.12)

, 1,2,..., ,j j jb y b j n′ ′′≤ ≤ = (1.1.13)

0 , 1,2,..., , 1,2,..., .ijx i m j n≥ = = (1.1.14)

Ограничения (1.1.9) указывают на то, что глина, добытая в каждом

пункте, должна быть распределена между кирпичными заводами.

Ограничения (1.1.10) требуют, что каждый завод должен переработать

всю доставленную глину.

15

Ограничения (1.1.11) описывает условие фиксированого суммарного

объема добываемой глины.

Условия (1.1.12) и (1.1.13) накладывают на каждый кирпичный завод

требуемые ограничения на объемы добычи глины и объемы ее переработки.

Ограничения (1.1.14) указывает на отсутствие обратных перевозок.

16

1.2. Обзор литературы по теме исследования

Задачи размещения производства в основном сформулированы как

задача размещения с дискретными и непрерывными переменными.

В задачах размещения производства с дискретными переменными

заранее формируется некоторое конечное число возможных вариантов ввода

мощностей и специализации каждого из введенных объектов системы, причем

считается, что любой из вариантов либо целиком входит в план, либо

полностью исключается из плана. Затраты устанавливаются только для этих

вариантов.

В задачах размещения производства с непрерывными переменными

рассматриваются не отдельные варианты развития объектов, а допустимые

диапазоны или области изменения их параметров. Технико-экономические

показатели вариантов формируются в процессе решения задачи на основе

некоторых известных закономерностей, например, нелинейной зависимости

затрат от масштабов производства.

Исследуемые нами класс задач размещения производства и относится к

классу задач размещения производства с непрерывными переменными.

Отметим некоторые работы посвящённые разработке методов и

алгоритмов решения задачи размещения производства сформулированной в

непрерывной постановке.

К задачам размещения производства в непрерывной постановке

посвящено множество работ, где, как правило, исследованы частные случаи

задачи вида (1.1.1)-(1.1.7), т.е., когда 1

, 1,2,..., ,m

ij ji

x b j n=

= =∑

а функции

( ) , 1,2,..., , 1,2,...,ij ijx i m j nϕ = = - линейные, а ( ) , 1,2,..., ,i ix i mϕ = - обладают

свойствами выпуклости или вогнутости. Так, для задачи вида (1.1.1)-(1.1.7) у

которой ( ) , 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ij ij ijx c x i m j nϕ = = = а , 1,2,..., ,j jy b j n= = ( ),i ixϕ

1,2,..., ,i m= являются выпуклыми функциями.

17

В работах [57], [25], [28] предложен приближенный метод, позволяющий

определить решения задачи с любой наперед заданной точностью за конечное

число итераций.

В случае, когда функции ( ) , 1,2,...,i ix i mϕ = - вогнутые непрерывные, то

задача переходит в класс задач вогнутого программирования, обладающим тем

свойством, что они имеют множество локальных минимумов, которые

находятся в вершинах многогранника решений. Это обстоятельство сильно

затрудняет нахождение глобального минимума задачи.

В работе [50], сделана попытка решения многоэкстремальной задачи, где

экстремум вогнутой функции достигается лишь в вершинах многогранника

решений и в котором строится вычислительный процесс, позволяющий на

каждом шаге исключить из дальнейшего рассмотрения некоторое число вершин

из многогранника решений. Это достигается путем отсечения на каждом шаге

той части многогранника G , на котором значение функции не меньше

{ }min ( ) .x G

f x∈

В работах [55],[56],[52] предложен точный метод, называемый методом

последовательных расчетов, для решения задачи (1.1.1)-(1.1.7) в случае, когда

( ) , 1,2,..., , 1,2,..., , ,ij ij ij ij j jx c x i m j n y bϕ = = = = а ( ) ( ),i i i i i ix c x d xϕ θ= + 1,2,..., ,i m=

где ( )ixθ - функция Хевисайда, принимающая значения ( ) 0ixθ = при 0; 1ix = ,

0.ix >

Предложен точный метод решения для частного случая задачи

(1.1.1-(1.1.7), когда ( ) , 1,2,..., , 1,2,..., , , 1,2,...,ij ij ij ij j jx c x i m j n y b j nϕ = = = = = ,

а функции ( ) , 1,2,...,i ix i mϕ = - являются кусочно-линейными в работах [16] и

[18]. Идея этих методов заключаются в сокращении перебора вариантов за счет

отбрасывания некоторых заведомо невыгодных вариантов.

Следует отметить, что разрабатываемые методы в [55], [16], [18]

являются приближенными для частного случая задачи (1.1.1)-(1.1.7), когда

( ) , 1,2,..., , 1,2,..., , , 1,2,..., ,ij ij ij ij j jx c x i m j n y b j nϕ = = = = = а функция ( ),i ixϕ

18

1,2,...,i m= - непрерывная вогнутая.

Разработанные приближенные методы в работах [29], [45], [46] позволяют

найти приемлемые планы за конечное число итераций для задачи размещения

производства в простейшем случае, когда ( ) , 1,2,...,i ix i mϕ = - вогнутые

непрерывные.

Один из таких методов описан в работе [29] для случая, когда функция

( ) , 1,2,...,i ix i mϕ = - разрывная в нуле, т.е. ( ) ( ), 1,2,...,i i i i i ix c x d x i mϕ θ= + = .

Для ее решения предложено два способа отсева невыгодных пунктов

производства. В первом из них, называемым отсевом по целевой функции,

сначала решается открытая транспортная задача и запоминается значение

целевой функции (к минимальным транспортным затратам добавляется ii

d∑ ,

при 0ix > ). Далее, последовательно каждому пункту производства i ,

присваивается нулевая мощность и решается, таким образом, m транспортных

задач. Для пункта 0i , исключение которого дает минимальное значение

целевой функции, отсеивается, но при этом запоминается соответствующий

потенциал 0iu . Затем, таким же образом, выбирается следующий отсеиваемый

пункт 1i и т.д., до тех пор, пока множество не отсеянных пунктов

{ }1,2,...,mω ⊂ допустимо, т.е., пока 1

.n

i ji j

a bω⊂ =

≥∑ ∑

Отсеянные пункты возвращаются, если их потенциал уменьшается.

Точнее, если , 1,2,...,iu i m′ = - потенциалы, соответствующие отсеву пункта

1,i и окажется, что 0 0i iu u′< и, кроме того 0 1i iu u′< , то в следующей итерации

пункт 0i присутствует с полной мощностью, а пункт 1i - с нулевой. В качестве

приближенного решения задачи выбирается такой план

, 1,2,..., , 1,2,...,ijx i m j n= = , для которого значение функционала минимально

среди всех подчитанных значений в ходе алгоритма решений.

Во втором способе - отсева по загрузке - так же, как и в первом случае,

сначала решается открытая транспортная задача. Затем отсеивается пункт с 19

минимальной получившейся мощностью. На оставшемся множестве пунктов

опять решается транспортная задача и т.д., пока это возможно. Отсеянные

пункты возвращаются по правилам первого способа и решение определяется

так же, как в первом способе.

Разработаны приближенные методы решения задачи размещения

производства, несвязанные с линеаризацией функции ( )i ixϕ и перебором

линейных задач, называемых «Методом случайного поиска», [6], [19], [20], [26].

Существуют методы решения задачи размещения, использующий аппарат

динамического программирования [10],[44].

В работе [9] рассматривается частный случай задачи (1.1.1)-(1.1.7) когда

, 1,2,...,j jy b j n= = , а функции ( )i ixϕ - вогнутые непрерывные. Для решения

этой задачи предложен приближенный декомпозиционный метод,

использующий метод динамического программирования при решении

производственной задачи.

Рассмотрим вкратце методы решения задачи размещения в дискретной

постановке.

В литературе такие задачи известны под названием производственно-

транспортные модели в вариантной постановке или целочисленные

производственно - транспортные модели.

Наиболее известные задачи в этом направлении - это задачи о p- медиане

[13],[17],[21],[23],[24],[30-38],[27],[49],[7] и задачи о (r,p) - центроиде

[11],[12],[14],[15],[22],[40-43]. Задача о p - медиане. Имеется m предприятий и

n клиентов, каждый из которых должен быть обслужен каким-либо одним

предприятием. Известна прибыль ijc , получаемая от обслуживания i -м

предприятием j -го клиента, 1,2,..., , 1,2,...,i m j n= = .

Требуется выбрать p предприятий и прикрепить к ним клиентов так,

чтобы максимизировать суммарную прибыль.

Задача о (r,p) - центроиде. Рассматриваются конечные множества

{ }1,2,...,I m= и { }1,2,...,J n= возможных мест размещения предприятий и мест

20

расположения клиентов. Известно матрица ,ij I J

q - расстояния от клиентов до

предприятий. Величина jω - доход игрока при обслуживании j - го клиента.

Первый игрок (лидер) открывает свои p предприятия первым. У него имеется p

mC возможностей, среди которых он выбирает какую-нибудь одну. Вслед за

лидером второй игрок (конкурент) из остающихся m p− предприятий

выбирает r своих. Как только игроки выбирали свои предприятия можно

подсчитать цену игры. Каждый клиент из ( )p r+ открытых предприятий

выбирает ближайшее предприятие в качестве своего поставщика. Таким

образом, множество клиентов разбивается на два подмножества: клиенты

лидера и клиенты конкурента, определяющие их доходы.

Задача состоит в выборе для лидера таких p предприятий, чтобы при

наилучшем ходе конкурента получить максимальный доход.

Отметим некоторые работы о p - медиане и о ( , )r p - центроиде.

При решении задач оптимального размещения предприятий во многих

случаях используется метод декомпозиции Бендерса [1]. На его основе

разработаны алгоритмы для простейшей задачи размещения в дискретной

постановке, p - медиане и др. В [30-35] этот метод применен для двух

стадийной задачи размещения предприятий и предложено несколько

вариантов деком позиционных схем, вытекающих из особенности задачи.

В [41] рассмотрена двух стадийная задача размещения, в которой

имеется множество предприятий двух уровней: нижнего и верхнего,

выпускающие определенную продукцию, которая сформулирована как задача

целочисленного программирования.

В [35] рассмотрена модель задачи целочисленного программирования

задачи, о p - медиане. При фиксированном наборе открытых предприятий

осуществлен выбор наилучшего прикрепления клиентов и решена, как задача

линейного программирования. Полученные при этом оптимальные значения

21

двойственных переменных использованы для построения отсечения Бендерса

[1].

В работе [14] рассмотрена общая ситуация размещения предприятий в

условиях конкуренции. Процесс принятия решений при конкурентном

размещении предприятий представлены состоящим из трех этапов.

Математическая формулировка задачи представляет собой задачу

целочисленного двухуровневого программирования [2].

В [40] сформулирована задача о ( , )r p - центроиде, которая представлена

как задача двухуровневого программирования.

В [43] применен метод декомпозиции Бендерса для решения задач

двухуровневого программирования : задача об ( , )r p - центроиде [40] и задачи

ценообразования [23]. На основе проекции, в [3] предложены соответствующие

декомпозиционные алгоритмы решения этих задач.

Поиск оптимального решения задачи размещения с предпочтениями

клиентов рассмотрены в [17],[5] в которой сформулированная задача приведена

к виду комбинаторной оптимизации. Для решения задачи используется метод

ветвей и отсечений.

В [12],[11] рассмотрена модель конкурентной борьбы двух фирм,

оказывающих услуги одного вида. Каждая из фирм размещает на множестве

возможных пунктов размещения свои предприятия так, чтобы получить

максимальную прибыль. Задача рассматривается в двухуровневой постановке.

В [21],[22],[4] рассмотрена конкурентная задача об ( , )r p - центроиде. Для

рассмотренных задач разработан эвристический алгоритм поиска. Рассмотрены

различные модификации алгоритма.

22

Выводы по первой главе.

В первой главе сформулирована общая постановка рассматриваемой

задачи размещения производства с нелинейной целевой функцией ,искомыми

объемами производства, переработки и с фиксированным суммарным объемом

продукции, которые должны быть произведены во всех пунктах производства и

переработаны всеми пунктами переработки. Изложена экономическая

интерпретация задачи. Приведен обзор литературы по теме исследования.

23

ГЛАВА 2

ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПЕРЕРАБОТКИ С

НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЗАТРАТ

2.1. Задача определения оптимального объема производства и обработки

продукции

Рассмотрим частный случай задачи (1.1.1)-(1.1.7). Экономическая

интерпретация задачи может быть сформулирована в следующем виде.

Постановка задачи. Пусть фирма имеет m предприятий iA , 1,2,..., ,i m=

где производится однородная продукция, объем которой ограничен величиной

, 1,2,..., .ia i m= Производимая в этих предприятиях продукция доставляется n

перерабатывающим предприятиям , 1,2,..., ,jB j n= этой же фирмы, где часть

перевезенной продукции в известном объеме 0 ,jb ≥ оставляется для

реализации среди населения, а часть продукции перерабатывается на экспорт.

Объем продукции, перерабатываемый на экспорт перерабатывающим

предприятием , 1,2,..., ,jB j n= предполагается неизвестным, , 1,2,..., ,jy j n=

но ограниченным сверху величиной jQ , 1,2,...,j n= , т.е. 0 ,jy Q≤ ≤ 1,2,..., .j n=

Считаем известным объем 0b перерабатываемой продукции всеми

предприятиями фирмы экспорт.

Для каждого предприятия фирмы , 1,2,..., ,iA i m= известна функция

( )i ixϕ , 1,2,..., ,i m= определяющая зависимость стоимости производимой

продукции от объема производства ix . Также для каждого перерабатывающего

предприятия , 1,2,...,jB j n= известна функция, определяющая зависимость

затрат от объема перерабатываемой продукции , 1,2,..., ,jy j n= т.е. ( ),j jyψ

1,2,...,j n= . Кроме того, известна функция ( )ij ijxϕ , 1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= =

определяющая зависимость стоимости перевозимой продукции от объема

, 1,2,..., , 1,2,..., .ijx i m j n= =

24

Требуется определить объемы производства 0 , 1,2,..., ,ix i m≥ =

перевозки 0, 1,2,..., , 1,2,...,ijx i m j n≥ = = и объемы перерабатываемой

продукции 0jy ≥ предприятиями фирмы так, чтобы суммарные затраты на

производство, перевозку и переработку были минимальны.

В соответствии с принятыми обозначениями модель вышеизложенной

проблемы записывается виде.


1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n


L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (2.1.1)


1, 1,2,..., ,

n

ij i ij

x x a i m=

= ≤ =∑ (2.1.2)

1

, 1,2,..., ,m

ij j ji

x b y j n=

= + =∑ (2.1.3)

0

1,

n

jj

y b=

=∑ (2.1.4)

0 , 1,2,...,j jy Q j n≤ ≤ = , (2.1.5)

0 , 0, 1,2,..., , 1,2,...,ij ix x i m j n≥ ≥ = = (2.1.6)

где , ,1

, .ij jm n nx x y y= =

Предполагается, что

01 1

,n m

j ij i

b b a= =

+ ≤∑ ∑ (2.1.7)

01

.n

jj

b Q=

≤∑ (2.1.8)

Неравенства (2.1.7) и (2.1.8) являются условиями разрешимости задачи

(2.1.1)-(2.1.6).

25

Метод решения. Рассмотрим метод решения задачи (2.1.1)-(2.1.6) при

условии (2.1.7)-(2.1.8) в случае, когда функция ( )ij ijxϕ , ( )i ixϕ и ( )j jyψ -

линейные, т.е.

[ ]0( ) , 1,2,..., , 1,2,..., , ( ) , 0,ij ij ij ij i i i i i i ix c x i m j n x c x c x aϕ ϕ= = = = + ∈ ,

1,2,..., ,i m= и 0( ) , 0 , , 1,2,..., .j j j j j j jy c y c y Q j nψ = + ∈ =

Тогда задача (2.1.1)-(2.1.6) имеет следующий вид.


0 01 1 1 1

( , ) ( ) ( )m n m n

ij ij i i i j j ji j i j

L x y c x c x c c x c= = = =

= + + + +∑∑ ∑ ∑ (2.1.9)


1

, 1,2,..., ,n

ij i ii

x x a i m=

= ≤ =∑ (2.1.10)

1

, 1,2,..., ,m

ij j ji

x b y j n=

= + =∑ (2.1.11)

01

,n

jj

y b=

=∑ (2.1.12)

0 , 1,2,..., ,j jy Q j n≤ ≤ = (2.1.13)

0 , 0, 1,2,..., , 1,2,..., .ij ix x i m j n≥ ≥ = = (2.1.14)

Задачи такого типа предлагаем решать путем приведения их к обычной

транспортной модели [59].

Для этой цели будем рассматривать пункты переработки продукции jB

одновременно и как пункты конечного потребления продукции (обозначим их в

этом случае через jB ′) и как пункты переработки продукции (обозначим их в

этом случае через jB ′′ ). Объем потребления пункта jB ′ полагаем равным

величине , 1,2,..., ,jb j n= а объем перерабатываемой продукции jy пункта

jB ′′ ограничен максимальной возможностью по переработке jQ 1,2,..., .j n=

26

Введем новые искомые переменные ijz и ijy по формуле

, 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ij ijz y x i m j n+ = = = где ijz - объем продукции перевозимой

из ,iA 1,2,...,i m= в ,jB ′ 1,2,..., ,j n= а ijy - из , 1,2,...iA i m= , , 1,2,..., .jB j n′′ =

Транспортные затраты из iA в jB ′ и jB′′ считаем равным

, 1,2,..., , 1,2,..., .ijc i m j n= =

Тогда математическая модель задачи (2.1.9)-(2.1.14) после таких

преобразований имеет вид.


0 01 1 1

( , ) ( ) ( ) ( )m n m n

ij ij ij i i i j j ji j i j

L x y c z y c x c c y c= = =

= + + + + +∑∑ ∑ ∑ (2.1.15)


1( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij i ij

z y x a i m=

+ = ≤ =∑ (2.1.16)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.1.17)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

y y j n=

= =∑ (2.1.18)

01

,n

jj

y b=

=∑ (2.1.19)

0 , 1,2,..., ,j jy Q j n≤ = = (2.1.20)

0, 0, 0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ij j iz y y x i m j n≥ ≥ ≥ ≥ = = (2.1.21)

где , ,

, .ij ijm n m nx z y y= =

Преобразуем задачу (2.1.15)-(2.1.21) к виду.


01 1 1 1

( , ) ( )m n m n

ij ij ij j iji j i j

L x y c z y c y a= = = =

= + + +∑∑ ∑∑ (2.1.22)


27

1( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij ij

z y a i m=

+ ≤ =∑ (2.1.23)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.1.24)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

y Q j n=

≤ =∑ (2.1.25)

01 1

,m n

iji j

y b= =

=∑∑ (2.1.26)

0, 0,ij ijz y≥ ≥ 1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= = (2.1.27)

где 0 0 01 1

, 1,2,..., , 1,2,..., , .m n

ij ij i i ji j

c c c i m j n a c c= =

= + = = = +∑ ∑

Сведем задачу (2.1.22)-(2.1.27) к закрытой модели транспортной задаче

линейного программирования. Введем дополнительные переменные

1 0, 1,2,...,iny i m+ ≥ = и обращаем систему неравенств (2.1.23) в равенство.

Получаем 11( ) , 1,2,..., .

n

ij ij in ij

z y y a i m+=

+ + = =∑ (2.1.28)

Аналогично обращаем систему неравенств (2.1.25) в равенство с

помощью дополнительных переменных 0 0 , 1,2,..., .jy j n≥ =

Имеем 01

, 1,2,..., .m

ij j ji

y y Q j n=

+ = =∑ (2.1.29)

Определяем из (2.1.28) и (2.1.29) сумму переменных 11

m

ini

y +=∑ и 0

1,

n

jj

y=∑

получим 1 01 1 1

( ),m m n

in i ji i j

y a b b+= = =

= − +∑ ∑ ∑ 0 01 1

.n n

j jj j

y Q b= =

= −∑ ∑

Тогда задача (2.1.22)-(2.1.27) примет следующий вид:


1 1 0 0 01 1 1 1 1 1

( , )m n m n m n

ij ij ij ij in in j ji j i j i j

L x y c z с y c y c y a+ += = = = = =

= + + + +∑∑ ∑∑ ∑ ∑ (2.1.30)


28

11( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij in ij

z y y a i m+=

+ + = =∑ (2.1.31)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.1.32)

01

, 1,2,..., ,m

ij j ji

y y Q j n=

+ ≤ =∑ (2.1.33)

01 1

,m n

iji j

y b= =

=∑∑ (2.1.34)

1 01 1 1

( ),m m n

in i ji i j

y a b b+= = =

= − +∑ ∑ ∑ (2.1.35)

0 01 1

,n n

j jj j

y Q b= =

= −∑ ∑ (2.1.36)

0, 0ij ijz y≥ ≥ , 0 0,ix ≥ 0 0,jy ≥ 1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= = (2.1.37)

где , 1,2,..., , 1,2,...,ij ij jс с c i m j n= + = = .

Коэффициенты при переменных 1 , 1,2,...,iny i m+ = , и 0 , 1,2,...,jy j n=

полагаем равным нулю, т.е. 1 00 , 1,2,..., , 0 , 1,2,..., ,in jс i m c j n+ = = = = а

00 ,c M= где M – достаточно большое положительное число.

Задачу (2.1.30)-(2.1.37) можно записать в виде следующей транспортной

таблицы 2.1.1.

Для решения задачи используем известный модифицированный

распределительный метод [19].

В результате решения задачи (2.1.30)-(2.1.37) получим оптимальный план

производства, перевозки и переработки продукции при минимальных

суммарных затратах, т.е. получим оптимальный план исходной задачи (2.1.9) -

(2.1.14).

29

Таблица 2.1.1.

1b 2b … nb 1Q 2Q … nQ 0

1 1( )

m n

i ji j

a b b= =

− +∑ ∑

1a 11z 12z … 1nz 11y 12y … 1ny 0

1 1ny +

2a 21z 22z … 2nz 21y 22y … 2ny 0

2 1ny +

… … … … … … … … … …

ma 1mz 2mz … mnz 1my 2my … mny 0

1mny +

01

n

jj

Q b=

−∑ М

0

М

0

… М

0

0

01y

0

02y

… 0

0ny

М

0

Пример 2.1.1. Для демонстрации способа решения задачи приведем

небольшой пример с тремя пунктами производства (m=3) и четырьмя

пунктами переработки (n=4).

Имеется: три пункта производства однородной продукции , 1,2,3iA i = с

максимальным объемом производства продукции 0 , 1,2,3,i ix a i≤ ≤ = т.е.

2 30 150, 0 150, 0 100 .ix x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Продукция производимая в этих пунктах доставляется на четыре

предприятия производственной компании , 1,2,3,4jB j = , где часть продукции

в объеме { }50,60,40,40b = , без переработки оставляет для населения, а часть

продукции в объеме 0, 1,2,3,4jy j≥ = перерабатывается. Объем

перерабатываемой продукции 0, 1,2,3,4jy j≥ = на предприятии jB ограничен

ее максимальной возможностью по переработке, т.е.

10 20 30 400 50 , 0 90, 0 60 , 0 80.y y y y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Предполагается, что известно объем перерабатываемой продукции всеми

предприятиями этой компании за планируемый период т.е. 0 170b = .

30

Кроме этого, для каждого пункта производства , 1,2,3 ,iA i = и пункта

переработки , 1,2,3,4,jB j = известны функции ( ), 1,2,3 ,i ix iϕ =

( ), 1,2,3,4,j jy jψ = которые имеют вид:

[ ] [ ] [ ]1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( ) 2 , 0, 150 , ( ) 2 , 0, 150 , ( ) , 0, 100 ,x x x x x x x x xϕ ϕ ϕ= ∈ = ∈ = ∈

[ ] [ ] [ ][ ]

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

4 4 4 4

( ) 3 , 0, 50 , ( ) , 0, 90 , ( ) 3 , 0, 60 ,

( ) 2 , 0, 80 .

y y y y y y y y y

y y y

ψ ψ ψ

ψ

= ∈ = ∈ = ∈

= ∈

Известна также матрица транспортных расходов

3,4

3 5 3 44 8 6 3 .7 4 6 6

ijc c= =

Требуется определить план производства продукции 0, 1,2,3,ix i≥ =

перевозки 0, 1,2,3, 1,2,3,4,ijx i j≥ = = переработки 0, 1,2,3,4,jy j≥ =

доставляющий минимум целевой функции.

Экономико-математическая модель задачи записывается в следующем

виде.


11 12 13 14 21 22 23 24 31 32

33 34 1 2 3 1 2 3 4

( ) 3 5 3 4 4 8 6 3 7 46 6 2 2 3 3 2

L x x x x x x x x x x xx x x x x y y y y

= + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + (2.1.38)

при условиях 4 4 4

1 2 2 3 31 1 1

150, 150, 100,ij j jj j j

x x x x x x= = =

= ≤ = ≤ = ≤∑ ∑ ∑ (2.1.39)

3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1

50 , 60 , 40 , 40 ,i i i ii i i i

x y x y x y x y= = = =

= + = + = + = +∑ ∑ ∑ ∑

(2.1.40)

4

1170,j

jy

=

=∑ (2.1.41)

1 2 3 40 50, 0 90, 0 60, 0 80,y y y y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.1.42)

0, 1,2,3,ix i≥ =

31

0 , 1,2,3, 1,2,3,4ijx i j≥ = = , (2.1.43)

где 3,4

.ijx x=

Преобразуем задачу (2.1.38)-(2.1.43). Введем переменные ijz и ,ijy где

, 1,2,3, 1,2,3,4.ij ij ijz y x i j+ = = =

Тогда числовая модель (2.1.38)-(2.1.43) примет вид.


11 11 13 13 14 14 21 21 22 22

23 23 24 24 31 31 32 32 34 34 11

21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34

( , ) 5( ) 7( ) 6( ) 6( ) 10( )8( ) 5( ) 8( ) 5( ) 7( ) 33 3 3 3 3 2 2 2

L z y z y z y z y z y z yz y z y z y z y z y y

y y y y y y y y y y y

= + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

(2.1.44)


1 2 2 3 31 1 1( ) 150, ( ) 150, ( ) 100,j ij j j j j

j j jz y z y z y

= = =

+ ≤ + ≤ + ≤∑ ∑ ∑ (2.1.45)

3 3 3 3

1 2 3 41 1 1 1

50, 60, 40, 40,i i i ii i i i

z z z z= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.46)

3 3 3 3

1 2 3 41 1 1 1

50, 90, 60, 80,i i i ii i i i

y y y y= = = =

≤ ≤ ≤ ≤∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.47)

3 4

1 1170,ij

i jy

= =

=∑∑ (2.1.48)

0, 0, 1,2,3, 1,2,3,4,ij ijz y i j≥ ≥ = = (2.1.49)

где 3,4 3,4

, .ij ijz z y y= =

Сведем задачу (2.1.44)-(2.1.49) к закрытой модели транспортной задачи

линейного программирования. Введем дополнительные переменные

5 0, 1,2,3iy i≥ = и обращаем систему неравенств (2.1.39) в равенство, получаем4 4 4

1 1 15 2 3 25 3 3 351 1 1( ) 150, ( ) 150, ( ) 100,j j j j j j

j j jz y y z y y z y y

= = =

+ + = + + = + + =∑ ∑ ∑

(2.1.50)

32

Аналогично обращаем систему неравенств (2.1.47) в равенство с

помощью дополнительных переменных 0 0, 1,2,3,4,jy j≥ = имеем

3 3 3 3

1 01 2 02 3 03 4 041 1 1 1

50 , 90, 60, 80,i i i ii i i i

y y y y y y y y= = = =

+ = + = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.51)

Определим из (2.1.50) и (2.1.51) значение суммы переменных 3 4

5 01 1

40, 110.i ji j

y y= =

= =∑ ∑

Теперь перепишем задачу (2.1.44)-(2.1.49) в виде закрытой модели

транспортной задачи, имеем.


11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33

34 11 12 13 14 21 22 23 24 31

32 33 34

( , ) 5 7 5 6 6 10 8 5 8 5 77 8 8 8 8 9 11 11 7 11

6 10 9

L z y z z z z z z z z z z zz y y y y y y y y y

y y y

= + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

+ + +

(2.1.52)


1 1 15 2 3 25 3 3 351 1 1( ) 150, ( ) 150, ( ) 100,j j j j j j

j j jz y y z y y z y y

= = =

+ + = + + = + + =∑ ∑ ∑

(2.1.53) 3 3 3 3

1 2 3 41 1 1 1

50, 60, 40, 40,i i i ii i i i

z z z z= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.54)

3 3 3 3

1 01 2 02 3 03 4 041 1 1 1

50 , 90, 60, 80,i i i ii i i i

y y y y y y y y= = = =

+ = + = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.55)

3 4

1 1170,ij

i jy

= =

=∑∑ (2.1.56)

3 4

5 01 1

40, 110,i ji i

y y= =

= =∑ ∑ (2.1.57)

0, 0, 1,2,3, 1,2,3,4,5,ij ijz y i j≥ ≥ = = (2.1.58)

Условие задачи (2.1.52)-(2.1.58) можем записать в виде таблицы 2.1.2.

Решим задачу (2.1.52)-(2.1.58) способом, приведенным в [58].

33


1 2 3 4 5 6 7 8 9

50 60 40 40 50 90 60 80 40

150 5 7 5 6 8 8 8 8 0

150 6 10 8 5 9 11 11 7 0

100 8 5 7 7 11 6 10 9 0

110 100 100 100 100 0 0 0 0 100

Получим оптимальное решение:

11 13 24 3250, 40, 40, 60 ,z z z z z= = = = =

11 24 3250, 80, 40 ,y y y y= = = =

1 2 3 1 2 3 4140,0; 120,0 ; 100,0 , 50,0; 40,0; 0, 80,0 .x x x x y y y y y= = = = = = = = =

Минимальное значение целевой функции задачи ( , ) 2150,0L z y = у.е.

Из оптимального решения задачи делаем вывод, что предприятие 1B

получает продукцию из пункта производства 1A в объеме 100 единиц, из них в

объеме 50 единиц оставляет для реализации среди населения, а 50 единиц

продукции направляет для переработки. Предприятие 3B также получает

продукцию из пункта производства 1A в объеме 40 единиц для обеспечения

потребности населения. Предприятие 4B получает продукцию в объеме 120

единиц из пункта производства 2A , часть из них в объеме 40 единиц

оставляется для удовлетворения потребности населения, а остальные 80 единиц

продукции перерабатывает. А предприятие 2B получает продукцию из пункта

производства 100 единиц, из них оставляет для населения - в объеме 60

единиц, а остальные 40 единиц продукции перерабатывается. При этом

суммарные затраты компании на производство продукции, ее перевозки и на

переработку заданного объема продукции составляет 2150,0 усл. ед.

34

2.2. Задача размещения производства с нелинейной функцией затрат на

переработку продукции

В этом разделе рассмотрим способ решения задачи (2.1.1)-(2.1.6) в случае,

когда функция ( ), 1,2,..., , 1,2,..., , ( ), 1,2,...,ij ij i ix i m j n x i mϕ ϕ= = = - линейные,

т.е. [ ]0

( ) , 0, ( ) , 0, , 1,2,..., ,ij ij ij ij ij i i i i i i ix c x x x c x c x a i mϕ ϕ= ≥ = + ∈ = а ( )j jyψ -

выпуклые непрерывные по ( ), 0, , 1,2,..., .j j j jy y Q j nψ ∈ =

Тогда рассматриваемая задача принимает следующий вид.


0 0 01 1 1 1

( , ) ( ) ( )m n m n

ij ij i i i j ji j i j

L x y c x c x c yψ= = = =

= + + +∑∑ ∑ ∑ (2.2.1)


1, 1,2,..., ,

n

ij i ij

x x a i m=

= ≤ =∑ (2.2.2)

01

, 1,2,..., ,m

ij j ji

x b y j n=

= + =∑ (2.2.3)

0 01

,n

jj

y b=

=∑ (2.2.4)

0 00 , 1,2,..., ,j jy Q j n≤ ≤ = (2.2.5)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., .ij ix x i m j n≥ ≥ = = (2.2.6)

Метод решения. Преобразуем задачу (2.2.1)-(2.2.6) способом,

приведенным в разделе 2.1.

Рассмотрим каждое перерабатывающее предприятие jB одновременно и

как предприятия конечного потребления продукции (обозначим их в этом

случае через jB′ ) и как пункт по переработке продукции (обозначим их в этом

случае через )jB′′ .

Объем потребности пункта jB′ полагаем равным величине jb ,

1,2,..., ,j n= а искомый объем перерабатываемой продукции 0jy ≥ пункта

35

переработки jB′′ ограничим максимальной возможностью ,jQ т.е.

0 , 1,2,..., .j jy Q j n≤ ≤ =

Вводим условные переменные ijz и ijy - размеры перевозок из iA - го

предприятия фирмы в jB′ и ,jB′′ 1,2,...,j n= , где

, 1,2,..., , 1,2,..., .ij ij ijz y x i m j n+ = = =

Математическая модель задачи (2.2.1)-(2.2.6) после всех указанных

преобразований имеет вид:


01 1 1 1

( , ) ( ) ( ) ( )m n m n

ij ij ij i i i j ji j i j

L x y c z y c x c yψ= = = =

= + + + +∑∑ ∑ ∑ (2.2.7)


1( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij i ij

z y x a i m=

+ = ≤ =∑ (2.2.8)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.2.9)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

x y j n=

= =∑ (2.2.10)

01

n

jj

y b=

=∑ , (2.2.11)

0 , 1,2,..., ,j jy Q j n≤ ≤ = (2.2.12)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ix x i m j n≥ ≥ = = (2.2.13)

0, 1,2,..., .ix i m≥ = (2.2.14)

Далее, нелинейную задачу (2.2.7)-(2.2.14) заменим приближенной

задачей.

Для этой цели выпуклые функции ( )j jyψ , 1,2,...,j n= , определяющие

затраты на переработку заменим кусочно-линейными функциями, способом

приведенным в [25].

36

Разобьем интервалы 0, , 1,2,...,jQ j n = на jr частей с шагом / ,j j jh Q r=

1,2,..., .j n= Построим кусочно-линейную аппроксимацию ( )j jyψ , 1,2,..., .j n=

Переменные ,jy 1,2,...,j n= заменим на 0jkδ ≥ следующим образом

1, 1,2,..., ,

jr

j jkk

y j nδ=

= =∑ (2.2.15)

где 1

, 1,2,..., , 0 , 1,2,..., , 1,2,..., .jr

j jk jk j jk

y j n h j n k rδ δ=

= = ≤ ≤ = =∑

Функцию ( ),j jyψ 1,2,..., ,j n= представляя через переменные jkδ имеем

1( ) ( ) (( 1) ) / , 1,2,..., .

jr

j j j j j j jk jk

y kh k h h j nψ ψ ψ δ=

= − − = ∑ (2.2.16)

Тогда задача (2.2.7)-(2.2.14) сводится к виду:


1 1 1 1

( , ) ( ) ( / )jrm n n

ij ij ij jk j jki j j k

L x с z y hδ ψ δ= = = =

= + +∑∑ ∑∑ (2.2.17)


1( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij ij

z y a i m=

+ ≤ =∑ (2.2.18)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.2.19)

1 1, 1,2,..., ,

jrm

ij jki k

y j nδ= =

= =∑ ∑ (2.2.20)

01 1

,jrn

jkj k

bδ= =

=∑∑ (2.2.21)

0 , 1,2,..., , 1,2,..., ,j j jh j n k rδ≤ ≤ = = (2.2.22)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ijz y i m j n≥ ≥ = = (2.2.23)

где , , ,1

, , , 1,2,..., ,ij ij jk jm n m n nx z y k rδ δ= = =

/ ( ( ) (( 1) )) / , 1,2,..., , 1,2,..., ,jk j j j j j j jh kh k h h k r j nψ ψ ψ= − − = =

37

, 1,2,..., , 1,2,..., .ij ij iс c c i m j n= + = =

Ведем дополнительные переменные 0, 1,2,..., , 1,2,..., ,jk jj n k rξ ≥ = = и

определим jkδ из системы неравенств (2.2.22).

Имеем , 1,2,..., , 1,2,..., ,jk j jk jh j n k rδ ξ= − = = (2.2.24)

Далее, исключим из системы (2.2.20) переменные jkδ , 1,2,..., , 1,2,..., jj n k r= = .

Подставляем из (2.2.24) значения jkδ в (2.2.20), получим систему

неравенств

1 1, 1,2,..., .

jrm

ij jk ji k

y Q j nξ= =

+ = =∑ ∑ (2.2.25)

Таким образом, исходная задача сводится к следующей приближенной задаче.


1 1 1 1( , ) ( ) ( / )

jrm n n

ij ij ij jk j jki j j k

L x c z y hδ ψ δ= = = =

= + +∑∑ ∑∑ (2.2.26)


1( ) , 1,2,..., ,

n

ij ij ij

z y a i m=

+ ≤ =∑ (2.2.27)

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

z b j n=

= =∑ (2.2.28)

1 1, 1,2,..., .

jrm

ij jk ji k

y Q j nξ= =

+ = =∑ ∑ (2.2.29)

01 1

,jrn

jkj k

bδ= =

=∑∑ (2.2.30)

, 1,2,..., , 1,2,..., ,jk jk j jh j n k rδ ξ+ = = = (2.2.31)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ijz y i m j n≥ ≥ = = (2.2.32)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., .jk jk jj n k rδ ξ≥ ≥ = = (2.2.33)

Условие задачи (2.2.26)-(2.2.33) можем записать в виде следующей

таблицы 2.2.1, где М- достаточно большое положительное число.

38


1b 2b … nb 1Q 1Q … nQ 0b

1a 11z 12z … 1nz 11y 12y … 1ny M

2a 21z 22z … 2nz 21y 22y … 2ny M

… … … … … … … … … …

ma 1mz 2mz … mnz 1my 2my … mny M

1h 11ξ 11δ

1h 12ξ 12δ

… … … … … … … … … …

1h … 11rξ …

11rδ

2h … 21ξ … 21δ

2h … 22ξ … 22δ

… … … … … … … … … …

2h … 22rξ …

22rδ

… … … … … … … … … …

nh … … 1nξ 1nδ

nh 2nξ 2nδ

… … … … … … … … … …

nh 1nrξ

nnrδ

Пример 2.2.1. Для иллюстрации способа решения задачи приведём

небольшой пример с двумя предприятиями производства продукции (m=2) и

тремя перерабатывающими предприятиями (n=3) фирмы.

Объем производимой продукции в предприятиях предполагается

неизвестным, но ограниченным сверху, т.е. 1 20 50, 0 50 .x x≤ ≤ ≤ ≤

Производимая продукция доставляется трем перерабатывающим

предприятиям , 1,2,3jB j = этой же фирмы. По условию задачи, часть

39

продукции перерабатывающее предприятие оставляет для реализации среди

населения, а часть продукции после переработки идет на экспорт.

Объем продукции идущей на внутренние потребности известны и задан

вектором { } { }1 2 3, , 10,20,30 ,b b b b= = а объем продукции, направляемый на

переработку ограничен, т.е. 1 2 30 40, 0 40, 0 30.y y y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Известен

суммарный объем 0 20b = перерабатываемой продукции всеми предприятиями

фирмы, и матрица стоимости единицы объема перевозимой продукции из

производственного предприятия , 1,2iA i = до пункта переработки

, 1,2,3,jB j = т.е.

2,3

4 3 2.

4 6 5ijc =

Для каждого производственного предприятия фирмы известна линейная

функция, отражающая зависимость стоимости производимой продукции от

объема производства, т.е. 1 1 1 2 2 2( ) 2 0,1, ( ) 3 0,01x x x xϕ ϕ= + = + , а для

перерабатывающих предприятий фирмы задана выпуклая функция 2

1 1 1( ) 0.2 ,y yψ = 2 22 2 2 3 3 3( ) 0.3 , ( ) 0.1 ,y y y yψ ψ= = определяющая зависимость

затрат от объема перерабатываемой продукции.

Требуется найти объемы производства продукции { }1 2, ,x x x= объемы

перевозок 2,3

,ijx и объемы продукции перерабатываемого на экспорт 0,jy ≥

так, чтобы суммарные затраты фирмы были минимальны.

В соответствии с приведенными данными математическая модель задачи

записывается в следующем виде.


11 12 13 21 22 23 1 2

2 2 21 2 3

( , ) 4 3 2 4 6 5 2 3 0,11

0,2 0,3 0,1

L x y x x x x x x x x

y y y

= + + + + + + + + +

+ + + (2.2.34)

при условиях 3

11

50,ijj

x x=

= ≤∑

40

3

2 21

50,jj

x x=

= ≤∑ (2.2.35)

2

1 11

10 ,ii

x y=

= +∑

2

2 21

20 ,ii

x y=

= +∑

2

3 31

30 ,ii

x y=

= +∑ (2.2.36)

3

120,j

jy

=

=∑ (2.2.37)

10 40,y≤ ≤

20 40,y≤ ≤

30 30,y≤ ≤ (2.2.38)

0, 0, 1,2, 1,2,3,i ijx x i j≥ ≥ = = (2.2.39)

где 1 2 32,3, ( , , ).ijx x y y y y= =

Исходя из выше изложенного каждое перерабатывающее предприятие

фирмы , 1,2,3jB j = рассматривается одновременно и как предприятие

потребления продукции , 1,2,3,jB j′ = и как пункт по переработки продукции

, 1,2,3.jB j′′ =

Объем потребности пункта , 1,2,3,jB j′ = полагаем равным

соответственно величине { }10,20,30 , а искомый объем перерабатываемой

продукции 0jy пункта переработки , 1,2,3jB j′′ = ограничим максимальной его

возможностью, т.е.

1

2

3

0 40,0 40,0 30.

yyy

≤ ≤≤ ≤≤ ≤

Далее, вводим условные переменные ijz и ijy - размеры перевозок из

41

iA - го предприятия фирмы в jB′ и ,jB′′ 1,2,3,j = где ,ij ij ijz y x+ =

1,2, 1,2,3.i j= =

Тогда, математическая модель (2.2.34)-(2.2.39) примет следующий вид.


11 11 12 12 13 13 21 21

2 2 222 22 23 23 1 2 1 2 3

( , ) 4( ) 3( ) 2( ) 4( )

6( ) 5( ) 2 3 0,11 0,2 0,3 0,1

L x y z y z y z y z y

z y z y x x y y y

= + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + (2.2.40)


1 1 11( ) 50,j j

jz y x

=

+ = ≤∑

3

21 21 21( ) 50,

jz y x

=

+ = ≤∑ (2.2.41)

2 2 2

1 2 31 1 1

10 , 20 , 30 ,i i ii i i

z z z= = =

= = =∑ ∑ ∑ (2.2.42)

2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1

, , ,i i ii i i

y y y y y y= = =

= = =∑ ∑ ∑ (2.2.43)

3

120,j

jy

=

=∑ (2.2.44)

1

2

3

0 40,0 40,0 30

yyy

≤ ≤≤ ≤≤ ≤

(2.2.45)

0, 0, 1,2, 1,2,3,ij ijz y i j≥ ≥ = = (2.2.46)

0 , 1,2.ix i≥ = (2.2.47)

Теперь нелинейные функции 2 2

1 1 1 2 2 2( ) 0,2 , ( ) 0,3y y y yψ ψ= = и ,2( ) 0,13 3 3y yψ =

заменяем кусочно-линейными.

Для этого каждый интервал [ ] [ ]0,40 , 0,40 и [ ]0,30 разобьем на две

части длиной 1 2 320 , 20, 15 .h h h= = =

Введем новые переменные jkδ по формулам

42

2

1 11

0,kk

y δ=

= +∑

2

2 21

0,kk

y δ=

= +∑

2

3 31

0,kk

y δ=

= +∑

где

10 20,kδ≤ ≤

20 20,kδ≤ ≤

30 15.kδ≤ ≤

Проделав для каждого j, 1,2,3j = необходимые вычисления, задачу

(2.2.40)-(2.2.47) заменим приближенной задачей.


11 11 12 12 13 13 21 21

22 22 23 23 11 12 21 22 31 32

( , ) 6( ) 5( ) 4( ) 7( )9( ) 8( ) 4 12 6 18 1,5 4,5 0,11

L x z y z y z y z yz y z y

δδ δ δ δ δ δ

= + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + (2.2.48)


1 1 11( ) 50,j j

jz y x

=

+ = ≤∑

3

21 21 21( ) 50,

jz y x

=

+ = ≤∑ (2.2.49)

2 2 2

1 2 31 1 1

10, 20, 30,i i ii i i

z z z= = =

= = =∑ ∑ ∑ (2.2.50)

2 2

1 11 1

40,i ki k

y ξ= =

+ =∑ ∑

2 2

2 21 1

40,i ki k

y ξ= =

+ =∑ ∑

2 2

3 31 1

30,i ki k

y ξ= =

+ =∑ ∑ (2.2.51)

43

3 2

1 120,jk

j kξ

= =

=∑∑ ( 2.2.52)

11 11 12 12

21 21 22 22

31 31 31 31

20, 20,20, 20,15, 15,

δ ξ δ ξδ ξ δ ξδ ξ δ ξ

+ = + =+ = + =+ = + =

(2.2.53)

0, 0, 1,2, 1,2,3,ij ijz y i j≥ ≥ = = (2.2.54)

0, 0, 1,2,3, 1,2.jk jk j kδ ξ≥ ≥ = = (2.2.55)

Далее условие задачи (2.2.48)-(2.2.55) запишем в виде таблицы 2.2.2. (см.

табл. 2.2.2) и решим модифицированным распределительным методом [58,59].


10 20 30 40 40 30 20 20

50 6 5 4 6 5 4 M 0

50 7 9 8 7 9 8 M 0

1 2r = 20 M M M 0 M M 4 M

20 M M M 0 M M 12 M

2 2r = 20 M M M M 0 M 6 M

20 M M M M 0 M 18 M

3 2r = 15 M M M M M 0 1,5 M

15 M M M M M 0 4,5 M

Получим оптимальный план выпуска продукции

{ } { }1 2, 50,30x x x= = .

Распределены на собственные нужды населения в объеме

11 12 13 21 22 230, 20, 15, 10, 0, 15,z z z z z z= = = = = =

и направлены на переработку в объеме

11 12 13 21 22 230, 0, 15, 5, 0, 0.y y y y y y= = = = = =

Целевая функция имеет значение

( , ) 487.5L x δ = у.е.

44

2.3. Задача размещения с нелинейными функциями затрат на

производство и переработку продукции

Рассматривается задача размещения производства.


( , ) ( ) ( ) ( )ij ij i i j ji I j J i I j J

L x y x x yϕ ϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈

= + +∑∑ ∑ ∑ (2.3.1)


, ,ij ij J

x x i I∈

= ∈∑ (2.3.2)

, ,ij j ji I

x b y j J∈

= + ∈∑ (2.3.3)

0 ,jj J

y b∈

=∑ (2.3.4)

0 , ,i ix a i I≤ ≤ ∈ (2.3.5)

0 , ,j jy Q j J≤ ≤ ∈ (2.3.6)

0, , ,ijx i I j J≥ ∈ ∈ (2.3.7)

где { } { } 1 2,1,2,..., , 1,2,..., , , ( , ,..., ).ij nI J

I m J n x x y y y y= = = =

Предполагается, что 0 0, .j i jj J i I j J

b b a b Q∈ ∈ ∈

+ ≤ ≤∑ ∑ ∑

Изложим способ решения задачи (2.3.1)- (2.3.7) в случае, когда функции

( ), ,ij ijx i I j Jϕ ∈ ∈ - линейные, т.е ( ) 0,ij ij ij ij ijx c x xϕ = ≥ а функции ( ),i ixϕ

[ ]0, , ,i ix a i I∈ ∈ и ( ), 0, ,j j j jy y Q j Jψ ∈ ∈ - выпуклые непрерывные

возрастающие.

В этом случае задача (2.3.1)-(2.3.7) примет вид:

найти минимум

( , ) ( ) ( )ij ij i i j ji I j J i I j J

L x y c x x yϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈

= + +∑∑ ∑ ∑ (2.3.8)


, ,ij ii I

x x i I∈

= ∈∑ (2.3.9)

45

, ,ij j ji I

x b y j J∈

= + ∈∑ (2.3.10)

0 ,jj J

y b∈

=∑ (2.3.11)

0 ,i ix a i I≤ ≤ ∈ (2.3.12)

0 , ,j jy Q j J≤ ≤ ∈ (2.3.13)

0, , .ijx i I j J≥ ∈ ∈ (2.3.14)

Преобразуем задачу (2.3.8)-(2.3.14) способом, приведенным в 2.1 и 2.2.

Получим экстремальную задачу.


( , ) ( ) ( ) ( )ij ij ij i i j ji I j J i I j J

L x y c z y x yϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈

= + + +∑∑ ∑ ∑ (2.3.15)


( ) , ,ij ij ij J

z y x i I∈

+ = ∈∑ (2.3.16)

, ,ij ji I

z b j J∈

= ∈∑ (2.3.17)

, ,ij ji I

y x j J∈

= ∈∑ (2.3.18)

0 ,jj J

y b∈

=∑ (2.3.19)

0 ,i ix a i I≤ ≤ ∈ (2.3.20)

0 , ,j jy Q j J≤ ≤ ∈ (2.3.21)

0, 0, ,ij ijz y i I j J≥ ≥ ∈ ∈ (2.3.22)

Метод решения. Задачу (2.3.15)-(2.3.16) заменим приближенной

задачей, способом приведенным в разделе 2.2.

Выпуклые функции ( )i ixϕ , ,i I∈ ( ),j jy j Jψ ∈ заменим кусочно-

линейными функциями. Разобьём интервалы [ ]0, ia и 0, jQ соответ-

ствующие переменным ix , i I∈ и jy , j J∈ , на ir и jt равных частей с шагом

/ , , / ,i i i j j jh a r i I b Q t j J= ∈ = ∈ .

46

Построим кусочно-линейную аппроксимацию ( )i ixϕ и ( )j jyψ функций

( )i ixϕ и ( )j jyψ соответственно.

Переменные ix , i I∈ заменим через ikδ следующим образом:

1, ,

ir

i ikk

x i Iδ=

= ∈∑ (2.3.23)

где 0 , , 1,2,..., .ik i ih i I k rδ≤ ≤ ∈ = (2.3.24)

Преобразовав неравенство (2.3.24) в равенство,

, , 1,2,..., ,i ik ik ih i I k rδ ζ= + ∈ = (2.3.25)

где 0, 0, , 1,2,..., .ik ik ii I k rδ ζ≥ ≥ ∈ =

функцию ( )i ixϕ , ,i I∈ представим через переменные ikz в следующем виде

[ ] 11

( ) ( ) (( 1) / , .ir

i i i i i i ikk

x kh k h h i Iϕ ϕ ϕ δ=

= − − ∈∑ (2.3.26)

Из системы равенств (2.3.23) и (2.3.25) получим

, , 1,2,..., ,ik i ik ih i I k rδ ξ= − ∈ =

1( ), .

ir

i i ikk

x h i Iζ=

= − ∈∑ (2.3.27)

Подставляя (2.3.27) в систему ограничений (2.3.16) , получаем

1( ) , ,

ir

ij ij ik ij J k

z y a i Iζ∈ =

+ + = ∈∑ ∑ (2.3.28)

где 0 , , 1,2,..., .ik i ih i I k rξ≤ ≤ ∈ =

Суммируя по ,i i I∈ равенство (2.3.23), а (2.3.17) по ,j j J∈ и

используя (2.3.16), (2.3.18), (2.3.19), получим

01

0 .ir

j ikj J i I k

b b δ∈ ∈ =

+ ≤ ≥∑ ∑∑

Далее, заменим функции ( )j jyψ , ,j J∈ кусочно-линейными функциями,

введя переменные sjv и sjξ по формулам

1, ,

jt

j sjs

y v j J=

= ∈∑

47

, 1,2,..., , ,j sj sj jl v s t j Jξ= + = ∈

0, 0, 1,2,..., , ,sj sj jv s t j Jξ≥ ≥ = ∈

1( ) ( ) (( 1) , ,

jtsj

j j j j j js j

vy sl s l j J

lψ ψ ψ

=

= − − ∈ ∑ (2.3.29)

1, ,

jt

ij sj ji I s

y Q j Jξ∈ =

+ = ∈∑ ∑ (2.3.30)

где 0 , 1,2,..., , ,sj j jl s t j Jξ≤ ≤ = ∈

01

.jt

sjj J s

v b∈ =

=∑∑ (2.3.31)

Подставляя значение ( )i ixϕ и ( )j jyψ из (2.3.26) и (2.3.29) в целевую

функцию рассматриваемой задачи, получим

1 1( , ) ( ) ( ) ( )

ji trsjik

ij ij ij ik sji I j J i I k j J si j

L x y c z y vh l

ψϕ δ∈ ∈ ∈ = ∈ =

∆∆= + + +∑∑ ∑∑ ∑∑

где

( ) (( 1) ) , 1,2,..., , ,ik i i i ii

i i

kh k h k r i Ih hϕ ϕ ϕ∆ − −

= = ∈

( ) (( 1) ), 1,2,..., , ,sj j j j j

jj j

sl s ls t j J

l lψ ψ ψ∆ − −

= = ∈

ik

ihϕ∆ и sj

jlψ∆

- угловые коэффициенты соответствующих звеньев кусочно-

линейных функций ( )i ixϕ , ( )j jyψ , , ,

, .ij ijI J I Jz z y y= =

Таким образом, исходная задача в рассматриваемом в случае, сводится к

следующей приближенной задаче.


1 1( , ) ( ) ( ) ( )

ji trsjik

ij ij ij ik sji I j J i I k j J si j

L z y c z y vh l

ψϕ δ∈ ∈ ∈ = ∈ =

∆∆= + + +∑∑ ∑∑ ∑∑ (2.3.32)


48

1( ) , ,

ir

ij ij ik ij J k

z y a i Iζ∈ =

+ + = ∈∑ ∑ (2.3.33)

, ,ij ji I

z b j J∈

= ∈∑ (2.3.34)

1, ,

jt

ij sj ji I s

y Q j Jξ∈ =

+ = ∈∑ ∑ (2.3.35)

01

0 ,ir

j ikj J i I k

b b δ∈ ∈ =

+ ≤ ≥∑ ∑∑ (2.3.36)

01

,jt

sjj J s

v b∈ =

=∑∑ (2.3.37)

, 1,2,..., , ,i ik ik ih k r i Iδ ξ= + = ∈ (2.3.38)

, 1,2,..., , ,j sj sj jl v s t j Jξ= + = ∈ (2.3.39)

0, 0, ,ij ijz y i I j J≥ ≥ ∈ ∈

(2.3.40)

0, 0, 1,2,..., , ,ik ik ik r i Iδ ξ≥ ≥ = ∈ (2.3.41)

0, 0, 1,2,..., , .sj sj jv s t j Jξ≥ ≥ = ∈ (2.3.42)

Условия задачи (2.3.32)-(2.3.42) при помощи запрещающих тарифов

можно записать в виде закрытой модели транспортной задачи линейного

программирования (см. табл.2.3.1.)

Пример 2.3.1. Для иллюстрации способа решения задачи приведем

небольшой пример: { } { }1,2 , 1,2,3 .I J= =

Требуется определить объемы производства 0, ,ix i I≥ ∈ перевозки

0, , ,ijx i I j J≥ ∈ ∈ и объемы перерабатываемой продукции 0jy ≥ при которых

суммарные затраты на производство, перевозку и переработку продукции были

минимальны. Условия для этой задачи в табл.2.3.1.

49


10 40y≤ ≤ 20 40y≤ ≤ 20 30y≤ ≤

10 50x≤ ≤ 4 3 2

20 50x≤ ≤ 4 6 5

Известен объем продукции для реализации среди населения

предприятием { }10,20, 30 ,b = суммарный объем перерабатываемой

продукции всеми предприятиями фирмы равным 0 20b = , а функции,

определяющие затраты на производство продукции 2

1 1 1( ) 0,2 ,x xϕ = 22 2 2( ) 0,3 ,x xϕ = (2.3.43)

на переработку 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) 0,2 , ( ) 0,3 , ( ) 0,1y y y y y yψ ψ ψ= = = (2.3.44)

Нелинейные функции (2.3.43), (2.3.44) заменим кусочно-линейными

функциями.

Каждый интервал [ ] [ ]0,50 , 0,50 и [ ] [ ] [ ]0,40 , 0,40 , 0,30 разобьём на две

части длиной 1 2 1 2 325, 25, 20, 20, 15.h h l l l= = = = =

Далее, введем новые переменные ,ik sjvδ по формулам

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 3 31 1 1 1 1

, , , , ,k k s s sk k s s s

x x y v y v y vδ δ= = = = =

= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

где 1 20 25, 0 25, 1,2,k k kδ δ≤ ≤ ≤ ≤ = 1 2 30 20, 0 20, 0 15, 1,2.s s sv v v s≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =

Исходная задача аппроксимируется следующей линейной задачей.


11 11 12 12 13 13 21 21

22 22 23 23 11 12 21 22 11

21 12 22 13 23

( , ) 4( ) 3( ) 2( ) 4( )6( ) 5( ) 5 15 7,5 22,5 4

12 6 18 1,5 4,5

L z y z y z y z y z yz y z y δ δ δ δ ν

ν ν ν ν ν

= + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

+ + + + +

(2.3.45)


50

3 2

1 1 11 1( ) 50,j j k

j kz y ζ

= =

+ + =∑ ∑ 3 2

2 2 21 1( ) 50,j j k

j kz y ζ

= =

+ + =∑ ∑ (2.3.46)

2 2 2

1 2 31 1 1

10, 20, 30,i i ii i i

z z z= = =

= = =∑ ∑ ∑ (2.3.47)

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1

40, 40, 30,i s i s i si s i s i s

y y yξ ξ ξ= = = = = =

+ = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (2.3.48)

2 2

1 180,ik

i kδ

= =

=∑∑ (2.3.49)

3 2

1 120,sj

j sv

= =

=∑∑ (2.3.50)

11 11 12 12 21 21 22 22

11 11 21 21 12 12 22 22

13 13 23 23

25, 25, 25, 25,20, 20, 20, 20,15, 15,

v v v vv v

δ ζ δ ζ δ ζ δ ζξ ξ ξ ξξ ξ

+ = + = + = + =+ = + = + = + =+ = + =

(2.3.51)

0, 0, 1,2, 1,2,3,

0, 0, 1,2, 1,2,0, 0, 1,2, 1,2.

ij ij

ik ik

sj sj

z y i ji k

v s jδ ζ

ξ

≥ ≥ = =

≥ ≥ = =

≥ ≥ = = (2.3.52)

Далее условие задачи (2.3.45)- (2.3.50) запишем в виде следующей

таблицы и решим способом, приведенным в [58], получим оптимальный план

производства и распределение продукции (см. табл. 2.3.3).

Из оптимального решения следует, что объем производства составляет:

{ } { }1 2, 50,30 .x x x= =

Распределены продукции: - на реализации населения предприятием

2,3

0 20 15;

10 0 15ijz =

- объем направляемый на переработку составляет

2,3

0 0 15.

5 0 0ijy =

При этом затраты на производство продукции, транспортировку и

переработку равны величине

( , ) 1097.5L z y = у.е. 51


10 20 30 40 40 30 25 25 25 25 20

50 4 3

20

2

15

4 3 2

15

0 0 100

50 4

10

6 5

15

4

5

6 5 0 0

20

100

20 0

15

4

5

20 0

20

12

20 0

20

6

20 0

20

18

15 0 1,5

15

15 0

15

4,5

80 100 100 100 100 100 100 5

25

15

25

7.5

25

22,5

5

100

Выводы по второй главе. Во второй главе работы рассматриваются

частные случаи общей постановки задачи, сформулированной в первой главе,

т.е. задачи размещения производства продукции, транспортировки и

переработки с линейными и выпуклыми непрерывными целевыми функциями,

с различными ограничениями на искомые переменные. Предложены методы и

алгоритмы их решений.

Разработаны методы решений задачи размещения производства,

транспортировки и переработки продукции с ограничениями на объемы

производства продукции и переработки для случая, когда часть продукции в 52

известном объеме оставляется перерабатывающими предприятиями для

реализации среди населения, а часть продукции предназначенной на экспорт

перерабатываются предприятием; задача размещения производства и

переработки продукции с линейной функцией затрат на производство

продукции, транспортировку и переработку; задача размещения производства с

выпуклой возрастающей функцией затрат на переработку продукции; задача

размещения производства с выпуклой возрастающей функцией затрат на

производство и переработку продукции.

Построены и решены числовые примеры для иллюстрации метода

решения, рассмотренных одно экстремальных задач размещения.

Разрабатываемые способы решения задачи размещения производства,

перевозки и переработки продукции в данной главе, в дальнейшем

используется при разработке методов и алгоритмов решения для задач

размещения с разрывными в нуле функциями затрат главе 3.

53

Т

абли

ца 2

.3.1

.

←

𝑟𝑟1

→

←

𝑟𝑟2

→

←

𝑟𝑟𝑚𝑚

→

𝑏𝑏 1

𝑏𝑏 2

…

𝑏𝑏 𝑛𝑛

𝑄𝑄 1

𝑄𝑄 2

…

𝑄𝑄 𝑛𝑛

ℎ 1

ℎ 1

…

ℎ 1

ℎ 2

ℎ 2

…

ℎ 2

…

ℎ 𝑚𝑚

ℎ 𝑚𝑚

…

ℎ 𝑚𝑚

𝑏𝑏 0

𝑎𝑎 1

𝑧𝑧 11

𝑧𝑧 12

…

𝑧𝑧 1𝑛𝑛

𝑦𝑦 1

1 𝑦𝑦 1

2 …

𝑦𝑦 1

𝑛𝑛

0 𝜁𝜁 11

0 𝜁𝜁 12

…

0 𝜁𝜁 1𝑛𝑛

M

M

…

M

…

M

M

…

M

M

𝑎𝑎 2

𝑧𝑧 21

𝑧𝑧 22

…

𝑧𝑧 2𝑛𝑛

𝑦𝑦 2

1 𝑦𝑦 2

2 …

𝑦𝑦 2

𝑛𝑛

M

M

…

M

0 𝜁𝜁 21

0 𝜁𝜁 22

…

0 𝜁𝜁 2𝑛𝑛

…

M

M

…

M

M

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

𝑎𝑎 𝑚𝑚

𝑧𝑧 𝑚𝑚1

𝑧𝑧 𝑚𝑚2

…

𝑧𝑧 𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑦𝑦 𝑚𝑚

1 𝑦𝑦 𝑚𝑚

2 …

𝑦𝑦 𝑚𝑚

𝑛𝑛

M

M

…

M

M

M

…

M

…

0 𝜁𝜁 𝑚𝑚1

0 𝜁𝜁 𝑚𝑚2

…

0 𝜁𝜁 𝑚𝑚𝑛𝑛

M

↑ 𝑙𝑙 1

M

M

…

M

0 𝜉𝜉

11

M

…

M

𝜈𝜈 11

𝑙𝑙 1

M

M

…

M

0 𝜉𝜉

21

…

M

𝜈𝜈 21

𝑡𝑡 1

...

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

↓ 𝑙𝑙 1

M

M

…

M

0 𝜉𝜉

𝑡𝑡 11

…

M

𝜈𝜈 𝑡𝑡11

↑ 𝑡𝑡 2

↓

𝑙𝑙 2

M

M

…

M

M

0 𝜉𝜉12

…

M

𝜈𝜈 21

𝑙𝑙 2

M

M

…

M

M

0 𝜉𝜉22

…

M

𝜈𝜈 22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

𝑙𝑙 2

M

M

…

M

M

0 𝜉𝜉𝑡𝑡 22

…

M

𝜈𝜈 𝑡𝑡

22

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

↑ 𝑡𝑡 𝑚𝑚

↓

𝑙𝑙 𝑛𝑛

M

M

…

M

M

M

…

0 𝜉𝜉1𝑛𝑛

𝜈𝜈 1𝑛𝑛

𝑙𝑙 𝑛𝑛

M

M

…

M

M

M

…

0 𝜉𝜉

2𝑛𝑛

𝜈𝜈 2

𝑛𝑛

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

𝑙𝑙 𝑛𝑛

M

M

…

M

M

M

…

0 𝜉𝜉𝑡𝑡 𝑛𝑛𝑛𝑛

𝜈𝜈 𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛

�𝑏𝑏 𝑗𝑗

+𝑏𝑏 0

𝑗𝑗=1

M

M

…

M

M

M

…

M

𝛿𝛿 11

𝛿𝛿 12

𝛿𝛿 1𝑟𝑟 1

𝛿𝛿 2

1 𝛿𝛿 2

2

𝛿𝛿 2𝑟𝑟 2

𝛿𝛿 𝑚𝑚1

𝛿𝛿 𝑚𝑚2

𝛿𝛿 𝑚𝑚

𝑟𝑟 2

M

54

ГЛАВА 3

ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И ПЕРЕРАБОТКИ

ПРОДУКЦИИ С РАЗРЫВНЫМИ (В НУЛЕ) ФУНКЦИЯМИ ЗАТРАТ

3.1. Основные положения метода последовательных расчетов

В.П. Черенина

Приведем основные положения метода последовательных расчетов для

следующей задачи размещения [56].

Постановка задачи. Имеется n пунктов потребления однородной

продукции jB с заданными объемами потребления 0, {1,2,..., }jb j J n> ∈ = и

m пунктов производства iA с искомыми объемами производства

, {1,2,..., }ix i I m= = . Для каждого iA задана разрывная функция ( )i ixϕ ,

отражающая зависимость стоимости производимой продукции (с учетом

капитальных вложений) от объема производства ix , вида

( ) ( ),i i i i i ix c x T xϕ θ= + где ( ) 1ixθ = при 0ix > , 0 при 0ix = .

Задана также матрица транспортных расходов ,

.ij I Jc c=

Необходимо определить такие объемы перевозок ijx , чтобы суммарные

затраты были минимальными, т.е. требуется найти наименьшее значение

функционала

( ) ( )j ij i ii I j J i I

L x c x T xθ∈ ∈ ∈

′= +∑∑ ∑ (3.1.1)


, ,ij ij J

x x i I∈

= ∈∑ (3.1.2)

, ,ij ji I

x b j J∈

= ∈∑ (3.1.3)

0ijx ≥ , (3.1.4)

где ,

, , ,ij ij ij iI Jx x c c c i I j J′= = + ∈ ∈ .

55

Обозначим через ω любое подмножество ,I а через ( ) minij

j ijx i j Jf c x

ω

ω∈ ∈

′= ∑∑ .

Тогда для каждого Iω ⊂ искомым минимальным значением функционала

будет ( ) ( ) ii

p f Tω

ω ω∈

= +∑ .

Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения

( )p ω по всем Iω ⊂ при условиях (3.1.1)-(3.1.4) в которых вместо I берется ω .

Метод последовательных расчетов [51]-[56] позволяет найти все

подмножества Iα ⊂ , на которых ( )p ω принимает наименьшее значение, путем

расчета лишь незначительной части всех возможных вариантов ω .

Множество всех подмножеств Iω ⊂ может быть представлено в виде

диаграммы. Пример диаграммы, для {1,2,3,4}I = , приведен на рис.3.1.1.

{1 2}

Рис. 3.1.1.

{2 3 4}

{1 2 3 4}

{ 3 4}

{ 4}

{1 3 4}

{ 2 4} { 2 3}

{ 3}

{ 0}

{ 2}

{ 1 4}

{1 2 4} {1 2 3}

{ 1}

{ 1 3}

56

Рис.3.1.2.

Достаточное условие применимости метода последовательных расчетов

для нахождения минимум функционала ( )p ω формируется следующим

образом ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,s p p p pδ γ δ γ σ ε= + − − ≤ (3.1.5)

где δ и γ произвольные подмножества I , σ δ γ= ∪ , ε δ γ= ∩ . (рис.3.1.2).

Для задачи (3.1.1)- (3.1.4) легко показать, что ( )p ω удовлетворяет

условию (3.1.5), так как ix не ограничены сверху и ij ji

x bω∈

=∑ , то при

определении ( )f ω каждый потребитель jB будет приклеплятся к таким

пунктам ,iA i ω∈ , которым соответствует ijiminc

ω∈′ . Имеем ( ) j ijij J

f b mincω

ω∈

∈

′=∑ .

Тогда, из (3.1.5) получим

( , )

.

j ij i j ij i j ij ii i ij J i j J i j J i

j ij iij J i

s b minc T b minc T b minc T

b minc T

δ γ σδ γ σ

ε ε

δ γ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈∈ ∈

′ ′ ′= + + + − − −

′− −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Поскольку i i i ii i i i

T T T Tδ γ σ ε∈ ∈ ∈ ∈

+ = +∑ ∑ ∑ ∑ и из σ δ γ= ∪ следует, что ijiminc

σ∈′

равен либо ijiminc

δ∈′ , либо iji

mincγ∈

′ , а из того, что ,ε δ γ= ∩ следует, что

ij iji iminc minc

ε δ∈ ∈′ ′≥ , ij iji i

minc mincε γ∈ ∈

′ ′≥ , то после сокращений получаем ( , ) 0s δ γ ≤ .

В методе последовательных расчетов введено понятие рядов

подмножества [54] следующего вида: каждый член ряда включает предыдущее

подмножество из этого ряда, причем два соседних подмножества отличаются

одно от другого только одним элементом.

𝛿𝛿 𝛾𝛾 𝜀𝜀

𝜎𝜎

57

Также введены следующие определения.

Определение 3.1.1. Будем говорить, что ( )p ω достигает на множестве

Iα ⊂ своего наименьшего значения ( )p α (глобальный минимум), если

( ) ( )p pα ω≤ для любого Iω ⊂ .

Определение 3.1.2. Будем говорить, что ( )p ω достигает на множестве

α своего локального минимума ( )p α (локальный минимум), если ( ) ( )p pα ω≤

справедливо для любого множества ω , которое является соседним с α в некотором ряду подмножеств, содержащем α в качестве своего члена.

Теорема 3.1.1, положенная в основу метода, гласит: функция ( )p ω ,

удовлетворяющая условию (3.1.5), монотонно убывает вплоть до α и

монотонно возрастает после α на любом ряду подмножеств, содержащем

подмножество α , на котором ( )p ω имеет глобальный или локальный

минимум.

Использование этой теоремы позволяет отбраковывать целые массивы

вариантов. Действительно, если для каких-либо 1 2 Iω ω⊂ ⊂ известны значения

1( )p ω и 2( )p ω , и если 1 2( ) ( )p pω ω< , то нужно отбросить все 22m ω−

подмножеств - вариантов 2ω ω⊃ (первое условие отбраковки) или все 12ω

вариантов 1ω ω⊂ , если 2 1( ) ( )p pω ω< (второе условие отбраковки). Здесь через

ω обозначено число элементов в подмножестве ω .

Этими условиями отбраковки и пользуются в методе последовательных

расчетов для последовательного исключения из рассмотрения больших групп

вариантов, заведомо не обращающих ( )p ω в минимум.

Расчеты удобно проводить последовательно, отправляясь от {0}ω = , или

Iω = , или с обоих концов одновременно. После расчета, например, всех m

вариантов с 1ω = заполняются лишь те из них, у которых ( ) (0)p pω < . Затем

из оставленных вариантов комбинируются варианты с 2ω = и заполняются

после расчета опять-таки только те, которые имеют значение ( )p ω , не больше

58

чем у каждого из двух соответствующих вариантов. Далее рассматриваются

только такие варианты с 3ω = , для которых на предыдущем этапе

запоминались все три варианта ω ω′ ⊂ , ω ω′′ ⊂ , ω ω′′′ ⊂ с 2ω ω ω′ ′′ ′′′= = =

и т.д.

Такой процесс быстро заканчивается из за невозможности дальнейшего

комбинирования вариантов, т.е. потому, что все остальные варианты

оказываются в числе отброшенных.

Вместо 2m возможных вариантов приходится просчитывать лишь 2 3m m вариант. Вариант с наименьшим значением ( )p ω из всех

просчитанных и будет оптимальным.

59

3.2. Решение задачи размещения производства продукции и ее

переработки с разрывными в нуле функциями транспортных затрат.

Постановка задачи. Пусть крупная компания в регионе имеет m

возможных пунктов , 1,2,...,iA i m= производства продукции, с искомыми

объемами производства 0ix ≥ . Производимая продукция в свою очередь

доставляется на n предприятий , 1,2,...,jB j n= этой же компании для

переработки. Предполагается, что объем перерабатываемой продукции jy , на

каждом предприятии , 1,2,...,jB j n= ограничены сверху максимально

возможным объемом по переработке, т.е. величиной jq ,

0 , 1,2,..., ,j jy q j n≤ ≤ = а также ограничены сверху и объем перевозимой

продукции от возможных пунктов производства iA в предприятие по

переработке jB величиной ija , т.е 0 , 1,2,..., , 1,2,..., .ij ijx a i m j n≤ ≤ = =

Известен объем Q производимой и перерабатываемой продукции в

регионе за планируемый период и функции ( ), 1,2,..., , 1,2,...,ij ijx i m j nϕ = = ,

определяющие транспортные расходы на перевозку продукции от пункта

добычи iA , 1,2,..., ,i m= до предприятия по переработке , 1,2,..., .jB j n=

Кроме этого, известны для каждого iA , 1,2,..., ,i m= и , 1,2,...,jB j n= ,

функции ( ),i ixϕ 1,2,...,i m= , ( ), 1,2,...,j jy j nψ = - определяющие затраты на

производство продукции и ее переработку.

Требуется определить оптимальные объемы производимой 0ix ≥ ,

1,2,..., ,i m= перевозимой 0ijx ≥ 1,2,..., ,i m= 1,2,...,j n= и перерабатываемой

продукции 0jy ≥ , 1,2,...,j n= предприятиями компании, при которых

суммарные затраты были бы минимальными.

Изложенная проблема может быть записана в виде следующей

экстремальной задачей.


60

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n


L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (3.2.1)


1, 1,2,..., ,

n

ij ij

x x i m=

= =∑ (3.2.2)

1, 1,2,..., ,

m

ij j ji

x y q j n=

= ≤ =∑ (3.2.3)

1,

n

jj

y Q=

=∑ (3.2.4)

0 , 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ijx a i m j n≤ ≤ = = (3.2.5)

0, 1,2,..., , 0, 1,2,.., ,i jx i m y j n≥ = ≥ = (3.2.6)

где ,

.ij m nx x=

Предполагается, что имеет место

1 1 1

,n m n

j ijj i j

Q q Q a= = =

≤ ≤∑ ∑∑ (3.2.7)

Рассмотрим способ решения задачи (3.2.1)-(3.2.6) в случае, когда

( ) , 1,2,..., , ( ) , 1,2,..., ,i i i i j j j jx c x i m y c y j nϕ ψ= = = = а ( ) ( ),ij ij ij ij ij ijx c x xϕ α θ= +

1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= =

где ijα - фиксированная доплата, если ( 0), (0) 0,ijx θ> = 1,2,..., ,i m= 1,2,..., ,j n=

Тогда задача (3.2.1)-(3.2.6) принимает вид:


1 1( ) ( ( ))

m n

ij ij ij iji j

L x с x xα θ= =

= +∑∑ (3.2.8)


1, 1,2,..., ,

n

ij ij

x x i m=

= =∑ (3.2.9)

61

1, 1,2,..., ,

m

ij ji

x q j n=

≤ =∑ (3.2.10)

1 1,

m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (3.2.11)

0 , 1,2,..., , 1,2,..., ,ij ijx a i m j n≤ ≤ = = (3.2.12)

где , 1,2,..., , 1,2,..., .ij ij i jc c c c i m j n= + + = =

Для решения задачи (3.2.8)-(3.2.12) используем метод последовательных

расчетов [54,55,56]. В связи с этим введем некоторые преобразования и

обозначения.

Условимся, что каждый возможный пункт производства продукции iA ,

1,2,..., ,i m= рассмотрим как множество пунктов производства ,ikA

1,2,..., , 1,2,..., .i m k n= = Тогда каждому пункту производства ikA , соответствует

некоторый объем производства продукции , 0 ,ik ik ikx x a≤ ≤ 1,2,..., ,i m=

1,2,..., ,k n= ikjx - объем перевозимой продукции из ikA в jB , и фиксированные

затраты , 1,2,..., , , 1,2,...,ikj ij kj i m k j nα α δ= = = , а также производственно-

транспортные расходы

(1 ), 1,2,..., , , 1,2,...,ikj ij kj kjс с M i m k j nδ δ= + − = = ,

где , 1,2,..., , , 1,2,..., ,ik ij kja a i m k j nδ= = = М - достаточно большое положи-

тельное число (запрещающий тариф).

Обозначим через G множество пар индексов { }, 1,2,..., ,ik i m=

1,2,..., .k n= Тогда задача (3.2.8)-(3.2.12) может быть записана в виде.


1( , ) ( )

n

ikj ikj ik ikik G j ik G

L x G c x xθ∈ = ∈

= + Π∑∑ ∑ (3.2.13)


1, ,

n

ikj ik ikj

x x a ik G=

= ≤ ∈∑ (3.2.14)

62

, 1,2,..., ,ikj jik G

x q j n∈

≤ =∑ (3.2.15)

1,

n

ikjik G j

x Q∈ =

=∑∑ (3.2.16)

0 , , 1,2,..., ,ikjx ik G j n≥ ∈ = (3.2.17)

где ,

1, , .

n

ikj ik ikjG nj

x x ik Gα=

= Π = ∈∑

Введем условный пункт 00A с объемом производства продукции

равной величине 1

n

jj

q Q=

−∑ , с транспортными расходами

00 0, 1,2,..., ,jc j n= = с фиксированной затратой 00 0Π = и введем

условный пункт производства продукции 01A со сколь угодно большими

транспортно-производственными расходами 01 , 1,2,...,jc M j n= = , с

возможным объемом производства, ограниченным сверху величиной

011

,n

jj

a q=

=∑ и 01 0 .Π = Эти пункты производства, с индексом { }00 , и

{ }01 , считаем элементами любого подмножества множества индексов

Gω ⊂ . Тогда на каждом подмножестве Gω ⊂ может быть определена

функция

1

( , )n

ikj ikj ikik j ik

L x c xω ω

ω∈ = ∈

= + Π∑∑ ∑ (3.2.18)


, 1,2,..., ,ikj jik

x q j nω∈

= =∑ (3.2.19)

{ }1

, \ 00 ,n

ikj ikj

x a ik ω=

≤ ∈∑ (3.2.20)

00 00 01 011 1 1 1

, ,n n n n

j j j jj j j j

x q Q a x q a= = = =

= − = ≤ =∑ ∑ ∑ ∑ (3.2.21)

0, , 1,2,..., .ikjx ik j nω≥ ∈ = (3.2.22)

63

Обозначим через ( )p ω минимальное значение ( , )L x ω при условиях

(3.2.19)-(3.2.22). Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована

следующим образом.

Требуется определить такое подмножество * Gω ⊂ , на котором ( )p ω

достигла своего наименьшего значения *( )p ω , т.е

{ }*( ) min ( ) .G

p pω

ω ω⊂

= (3.2.23)

Докажем достаточное условие применимости алгоритма метода

последовательных расчетов [56] к задаче, т.е., что для любых подмножеств

1 2, Gω ω ⊂ выполнено условие

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,s p p p pω ω ω ω α β= + − − ≤ (3.2.24)

где 1 2 1 2, ,α ω ω β ω ω= ∪ = ∩ а 1 2( ), ( ), ( ), ( )p p p pω ω α β - минимальные

значения функции ( , )L x ω при условиях (3.2.19)-(3.2.22), и замена множества

ω соответственно множеством 1 2, , , .ω ω α β Тогда для рассматриваемой

задачи условие (3.2.24) запишется в виде

1 1 2 2

1 21 1

1 1

( , ) min min

min min 0

n n

ikj ikj ik ikj ikj ikx xik j ik ik j ik

n n

ikj ikj ik ikj ikj ikx xik j ik ik j ik

s c x c x

c x c x

ω ω ω ω

α α β β

ω ω∈ = ∈ ∈ = ∈

∈ = ∈ ∈ = ∈

= + Π + + Π −

− + Π − + Π ≤

∑∑ ∑ ∑∑ ∑

∑∑ ∑ ∑∑ ∑

(3.2.25)

Из введения α и β легко заметить, что 1 2

.ik ik ik ikik ik ik ikω ω α β∈ ∈ ∈ ∈

Π + Π = Π + Π∑ ∑ ∑ ∑

Предположим, что для задачи (3.2.18)-(3.2.22) на множестве 1 2,ω ω

имеются допустимые планы 1 2,ikj ikjx xω ω которые удовлетворяют следующим

условиям:

12, \ , 1,2,..., ,ikj ikjx x ik j nω α α ω= ∈ = (3.2.26)

21, \ , 1,2,..., ,ikj ikjx x ik j nω α α ω= ∈ = (3.2.27)

1 2 , , 1,2,..., ,ikj ikj ikj ikjx x x x ik j nω ω α β β+ = + ∈ = (3.2.28)

64

{ } { }1 2min , , max , , ,ik ik ik ik ik ikx x x x x x ikω ωα β α β β≤ ≤ ∈ (3.2.29)

где ikjxα - оптимальный план задачи (3.2.18)-(3.2.22) на множестве α , а

ikjxβ

- на множестве 1 1 2 2

1 1 1 1, , , , .

n n n n

ik ikj ik ikj ik ikj ik ikjj j j j

x x x x x x x xω ω ω ωα α β ββ= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

Тогда для доказательства выполнения условия (3.2.25) достаточно

показать, что

1 2

1 2

1 21 1 1 1

( , ) 0n n n n

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjik j ik j ik j ik j

s c x c x c x c xω ω α β

ω ω α β

ω ω∈ = ∈ = ∈ = ∈ =

= + − − ≤∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ (3.2.30)

Действительно, так как 1ikjxω , 2

ikjxω не являются оптимальными

решениями соответствующих задач, то справедливо неравенство

1

1 1 1 11 1min ,

n n

ijk ikj ik ikj ikj ikx ik j ik ik j ikc x c xω

ω ω ω ω∈ = ∈ ∈ = ∈

+ Π ≤ + Π

∑∑ ∑ ∑∑ ∑

2

2 2 2 21 1min .

n n

ijk ikj ik ikj ikj ikx ik j ik ik j ikc x c xω

ω ω ω ω∈ = ∈ ∈ = ∈

+ Π ≤ + Π

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

Следовательно, из 1 2( , ) 0s ω ω ≤ следует выполнение условия (3.2.25).

Нетрудно установить, выполнение неравенства (3.2.25) для допустимых

планов (3.2.26)-(3.2.29). Действительно, из условий (3.2.26)-(3.2.28) следует,

что 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1

2 1

\ \

\ \

( )

,

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjik ik ik ik ik

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjik ik ik ik ik ik

c x c c x c x c x x

c x c x c x c x c x c x

ω ω ω ω ω ω

ω ω α ω α ω β

α α α β α β

α ω α ω β β α β

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+ = + + + =

= + + + = +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

1,2,..., .j n=

Суммируя полученное равенство по всем , 1,2,...,j j n= , получаем

1 2

11 1 1 1.

n n n n

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjj ik j ik j ik j ik

c x c x c x c xω ω α β

ω α β= ∈ = = ∈ = ∈

+ = +∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

Следовательно, 1 2( , ) 0.s ω ω ≤

65

Таким образом, условие (3.2.25) доказано. Следовательно, для задачи

(3.2.23) достаточное условие применимости метода последовательных

расчетов (3.2.24) выполняется при предположении о существовании

допустимых планов 1ikjxω , 2

ikjxω , которые удовлетворяют условиям (3.2.26)-

(3.2.29).

Остается выяснить, существует ли для рассматриваемой задачи такие

допустимые планы. Доказательство существования таких допустимых планов 1

ikjxω и 2ikjxω , удовлетворяющим соотношениям (3.2.26)-(3.2.29) для

рассматриваемой задачи, проводятся аналогично приведенному в [28],

т.е. рассмотрим множество индексов переработки продукции , ,jB j J∈

{ }1,2,...,J n∈ как объединение четырех непересекающихся подмножеств

1 2 3 4 .J J J J J=

Аналитически множества 1 2 3 4, , ,J J J J можно задать следующим образом

1

2

2 1

1\

2\

3

4

, ,

, ,

, , ,

.

ikj ikj j ikj jik i ik

ikj ikj j ikj jik i ik

ikj j ikj j ikj jik ik ik

ikj jik

J j x x q x q

J j x x q x q

J j x q x q x q

J j x q

α α α

β α ω β

α α α

β α ω β

α α α

β ω ω

α

β

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈

= + = < = + = < = < = < = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

Чтобы планы 1ikjxω и 2

ikjxω были допустимыми планами задачи (3.2.18)-

(3.2.22), соответственно для множеств 1 2,ω ω и удовлетворяли условиям

(3.2.26)-(3.2.29), достаточно выполнение соотношений 1

1, ,ikj jik

x q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.31)

2

1

1\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.32)

66

1

2

2\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.33)

22, ,ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.34)

1

2

3\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.35)

2

1

3\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.36)

14, ,ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.37)

24, ,ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.38)

1 2 , , ,ikj ikj ikj ikjx x x x ik j Jω ω α β β+ = + ∈ ∈ (3.2.39)

{ } { }1min , max , , ,ik ik ik ik ikx x x x x ikωα β α β β≤ ≤ ∈ (3.2.40)

{ } { }2min , max , , .ik ik ik ik ikx x x x x ikωα β α β β≤ ≤ ∈ (3.2.41)

Прежде чем доказать совместность условий (3.2.31)-(3.2.41), установим

совместность следующей системы 1

1, ,ikj jik

x q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.42)

1

2

2\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.43)

1

2

3\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.44)

14, ,ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.45)

1 , , ,ikj ikj ikjx x x ik j Jω α β β≤ + ∈ ∈ (3.2.46)

{ } { }1min , max , , .ik ik ik ik ikx x x x x ikωα β α β β≤ ≤ ∈ (3.2.47)

Условия (3.2.42)- (3.2.47) являются ограничениями типа транспортных с

ограничениями по пропускными способностями на объемы производства.

Поэтому для доказательства существования решения системы (3.2.42)- (3.2.47)

достаточно показать выполнение неравенств

67

( ) , ,ikj ikj jik

x x q j Jα β

β∈

+ ≥ ∈∑ (3.2.48)

( ) , ,ikj ikj ikj J

x x x ikα β α β∈

+ ≥ ∈∑ (3.2.49)

{ } { }1min , max , , ,ik ik ik ik ikik ik ik

x x x x x ikωα β α β

β β β

β∈ ∈ ∈

≤ ≤ ∈∑ ∑ ∑ (3.2.50)

В силу равенств

, , , , , .ikj j ikj ik ikj ikik j J j J

x q j J x x ik x x ikβ α α β β

β

β β∈ ∈ ∈

= ∈ = ∈ = ∈∑ ∑ ∑

неравенство (3.2.48), (3.2.49) имеет место. Теперь покажем выполнение

условия (3.2.50).

Запишем 1ik

ikxω

β∈∑ в виде

1

2 3 2\,ik j ikj

ik j J j J J ikx q xω α

β α ω∈ ∈ ∈ ∪ ∈

= −∑ ∑ ∑ ∑ (3.2.51)

а ikik

xαβ∈∑

- вследующем виде

2 3 2 1 3 1\ \.ik j ikj ikj

ik j J j J J ik j J J ikx q x xα α α

β α ω α ω∈ ∈ ∈ ∪ ∈ ∈ ∪ ∈

= − −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3.2.52)

Кроме этого, имеет место неравенство

.ik j ikik j J ik

x q aβ

β β∈ ∈ ∈

= ≤∑ ∑ ∑ (3.2.53)

В силу введения условного пункта 01A с возможными объемами

производства 01,a являющимся элементом любого подмножества .Gω ⊂

Тогда, сравнивая равенство (3.2.51), (3.2.52), (3.2.53) убеждаемся в

выполнении условия (3.2.50), т.е.

{ } { }1min , max ,ik ik ik ik ik ik ikik ik ik ik ik

x x x x x x xωα β α β α β

β β β β β∈ ∈ ∈ ∈ ∈

≤ ≤ ≤ ≤∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .

Таким образом, существование 1ikjxω , удовлетворяющего условиям

(3.2.42)- (3.2.47), доказано.

Определим zikjxω из (3.2.28), и покажем, что план 2

ikjxω удовлетворяет

соотношениям (3.2.32), (3.2.34), (3.2.36), (3.2.38), (3.2.41).

68

Просуммируем равенство 1 2ikj ikj ikj ikjx x x xω ωα β= + − по всем , ,j j J∈ имеем

1 2 , .ikj ik ik ikx x x x ikω ωα β β= + − ∈ (3.2.54)

Подставляя значения 1ikxω из (3.2.54) в (3.2.47) и преобразуя, получаем

(3.2.41), т.е. { } { }2min , max , , ,ik ik ik ik ik ik ikx x x x x x x ikωα β α β α β β≤ + − ≤ ∈

или { } { }2max , min , , ,ik ik ik ik ik ik ik ik ikx x x x x x x x x ikωα β α β α β α β β+ − ≤ ≤ + − ∈

откуда { } { }2min , max , , .ik ik ik ik ikx x x x x ikωα β α β β≤ ≤ ∈

Далее, подставляя значения 1ikjxω соответственно в (3.2.42)- (3.2.42), после

преобразования имеем соответственно равенство 2

1

1\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.55)

22, ,ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.56)

2

1

3\

, ,ikj j ikjik ik

x q x j Jω α

β α ω∈ ∈

= − ∈∑ ∑ (3.2.57)

24, .ikj j

ikx q j Jω

β∈

= ∈∑ (3.2.58)

Сравнивая (3.2.55)- (3.2.58) с равенствами (3.2.32), (3.2.34), (3.2.36) и

(3.2.38) приходим к выводу о существовании планов 1ikjxω и 2

ikjxω ,

удовлетворяющих условиям (3.2.26)- (3.2.29).

Далее отметим, что приведенное доказательство достаточного условия

применимости метода последовательных расчетов (3.2.24) позволяет

использовать для задачи (3.2.22) алгоритм метода последовательных расчетов

в формулировке В.П. Черенина, изложенного в разделе 3.1.

Пример 3.2.1. Для демонстрации метода решения задачи приведем небольшой

пример: компанию с двумя пунктами производства продукции , 1,2,iA i = и с

тремя пунктами переработки , 1,2,3.jB j =

По условию задачи объем производства продукции каждого пункта

, 1,2,iA i = не ограничен, а объем перерабатываемой продукции , 1,2,3jy j = на

69

каждом предприятии , 1,2,3jB j = ограничены сверху величиной

1 2 3( , , ) (20,20,30)q q q q= = , а также ограничены сверху и объем перевозимой

продукции от пунктов добычи iA в предприятия по переработке jB величиной

ija , т.е.

11 12 13

21 22 23

0 10, 0 15, 0 12,0 10, 0 10, 0 10,

x x xx x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Задана матрица транспортных расходов 2,3ijc и матрица фиксированных

доплат 2,3ijα , т.е.

2,3 2,3

2 4 3 200 150 100, .

3 2 1 150 100 100ij ijc α

= =

Известны для каждого пункта производства , 1,2,iA i = функции

определяющие затраты на производство продукции 1 1 1 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,x x x xϕ ϕ= = а

для каждого предприятия по переработке , 1,2,3jB j = - функции затрат на

переработку продукции 1 1 1 2 2 2 3 3 3( ) 2 , ( ) 3 , ( ) .y y y y y yψ ψ ψ= = =

Кроме этого, известен необходимый объем производимой и объем

перерабатываемой продукции компаний в планируемый период, т.е. 20Q = ед.

Требуется определить объем производимой продукции , 1,2,ix i =

перевозимой 0 , 1,2, 1,2,3ix i j≥ = = и перерабатываемой продукции 0jy ≥

каждым предприятием компании, при которых суммарные затраты были бы

минимальными.

В соответствии с известными данными числовая модель задачи

запишется в виде.


11 11 12 12 13 13 21

21 22 22 23 23 1 2 1 2 3

( ) 2 200 ( ) 4 150 ( ) 3 100 ( ) 3150 ( ) 2 100 ( ) 100 ( ) 2 2 2 3

L x x x x x x x xx x x x x x x y y y

θ θ θθ θ θ

= + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

(3.2.59)

при условиях 3 3

1 1 2 21 1

, ,j jj j

x x x x= =

= =∑ ∑ (3.2.60)

70

2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1

20, 20, 30,i i ii i i

x y x y x y= = =

= ≤ = ≤ = ≤∑ ∑ ∑ (3.2.61)

3

120,j

jy

=

=∑ (3.2.62)

11 12 13

21 22 23

0 10, 0 15, 0 12,0 10, 0 10, 0 10,

x x xx x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3.2.63)

0, 1,2, 0, 1,2,3,i jx i y j≥ = ≥ = (3.2.64)

Преобразуем задачу (3.2.59)- (3.2.64), имеем.


11 11 12 12 13 13 21

21 22 22 23 23

( ) 6 200 ( ) 9 150 ( ) 6 100 ( ) 7150 ( ) 7 100 ( ) 4 100 ( )

L x x x x x x x xx x x x xθ θ θ

θ θ θ= + + + + + + +

+ + + + + (3.2.65)


1 1 2 21 1

, ,j jj j

x x x x= =

= =∑ ∑ (3.2.66)

2 2 2

1 2 31 1 1

20, 20, 30,i i ii i i

x x x= = =

≤ ≤ ≤∑ ∑ ∑ (3.2.67)

2 3

1 120,ij

i jx

= =

=∑∑ (3.2.68)

11 12 13

21 22 23

0 10, 0 15, 0 12,0 10, 0 10, 0 10.

x x xx x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3.2.69)

Вводим переменные 0, 0ikj ikx x≥ ≥ . Обозначим через G -множество пар

индексов { }, 1,2, 1,2,3,ik i k= = т.е. { }11,12,13,21,22,23 .G =

Преобразуем задачу (3.2.65)-(3.2.69) согласно выше приведенному

способу, получим задачу вида (3.2.18)-(3.2.22), числовые данные которого

запишем в виде таблицы 3.2.1.

71


1q 2q 3q ik jik G j J

qα∈ ∈

−∑ ∑

Gω = 20 20 30 117

11a 10 6

200

М

0

М

0

0

12a 15 М

0

9

150

М

0

0

13a 12 М

0

М

0

6

100

0

21a 10 7

150

М

0

М

0

0

22a 10 М

0

7

100

М

0

0

23a 10 М

0

М

0

4

100

0

00jj J

q Q a∈

− =∑ 50 0 0 0 М

01jj J

q a∈

=∑ 70 М М М 0

Для кратности изложения процесс нахождения { }min ( , )x

L x G будем

опускать. Процесс начнем с { }0 00,01ω ω= =

Этому множеству соответствует значение ( )0 2000.0p ω =

Далее определим первую группу вариантов. Она состоит из множеств

{ } { } { } { }{ } { }

1 2 3 4

5 6

11,00,01 , 12,00,01 , 13,00,01 , 21,00,01 ,

22,00,01 , 23,00,01 .

ω ω ω ω

ω ω

′ ′ ′ ′= = = =

′ ′= =

Для каждого множества , 1,2,3,4,5,6k kω′ = решив соответствующую

задачу, определим значение ( ) , 1,2,3,4,5,6kp kω′ = .

72

Имеем

1 2 3 4

5 6

( ) 1260.0, ( ) 785,0, ( ) 972.0, ( ) 1220.0,( ) 1170.0, ( ) 1140.0.

p p p pp p

ω ω ω ωω ω

′ ′ ′ ′= = = =′ ′= =

Согласно алгоритму решения в 3.1 , сравнение ( )p G с ( ),kp ω′

1,2,3,4,5,6k = показывает, что для всех вариантов kω′ выполняется условие

( ) ( ), 1,2,3,4,5,6kp G p kω′> = . Образуем вторую группу вариантов. Вторая

группа вариантов состоит из множеств

{ } { } { } { }{ } { } { } { }{ } { } { } { }

2 2 2 21 2 3 4

2 2 2 25 6 7 8

2 2 2 29 10 11 12

213

11,12,00,01 , 11,13,00,01 , 11,21,00,01 , 11,22,00,01 ,

11,23,00,01 , 12,13,00,01 , 12,21,00,01 , 12,22,00,01 ,

12,23,00,01 , 13,21,00,01 , 13,22,00,01 , 13,23,00,01 ,

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω

= = = =

= = = =

= = = =

={ } { } { }2 214 1521,22,00,01 , 21,23,00,01 , 22,23,00,01 .ω ω= =

Определим для всех вариантов второй группы значение

( ) , 1,2,...15.kp kω′ =

Имеем

2 2 2 2 21 2 3 4 5

2 2 2 2 26 7 8 9 10

2 2 2 2 211 12 13 14 15

( ) 500,0 , ( ) 420,0, ( ) 480,0, ( ) 430,0, ( ) 400,0,

( ) 394,0 , ( ) 460,0, ( ) 410,0, ( ) 380,0, ( ) 378,0,

( ) 328,0 , ( ) 300,0, ( ) 390,0, ( ) 360,0, ( ) 310,0

p p p p p

p p p p p

p p p p p

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= = = = =

= = = = =

= = = = = .

Сравнивая значение каждого 2( ), 1,2,...15kp kω = с двумя составляющими

из { }1kω вариантов, убеждаемся, что среди второй группы нет отбрасываемых

вариантов, т.е. все варианты второй группы участвуют в образовании третьей

группы вариантов { }3 .kω Согласно алгоритма метода последовательных

расчетов, образуем третью группу вариантов:

{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }

3 3 31 2 3

3 3 34 5 6

3 3 37 8 9

11,12,13,00,01 , 11,12,21,00,01 , 11,13,21,00,01 ,

12,13,21,00,01 , 11,12,22,00,01 , 11,13,22,00,01 ,

12,13,22,00,01 , 11,21,22,00,01 , 12,21,22,00,01 ,

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

= = =

= = =

= = =

73

{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }

{ }

3 3 310 11 12

3 3 313 14 15

3 3 316 17 18

319

13,21,22,00,01 , 11,12,23,00,01 , 11,13,23,00,01 ,

12,13,23,00,01 , 11,21,23,00,01 , 12,21,23,00,01 ,

13,21,23,00,01 , 11,22,23,00,01 , 12,22,23,00,01 ,

13,22,23,00,01 ,

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω

= = =

= = =

= = =

= { }320 21,22,23,00,01 .ω =

Определим для всех вариантов третьей группы значения 3( )kp ω ,

получим:

3 3 3 3 31 2 3 4 5

3 3 3 3 36 7 8 9 10

3 3 3 3 311 12 13 14 15

( ) 570,0, ( ) 630,0, ( ) 570,0, ( ) 528,0, ( ) 580,0,

( ) 520,0, ( ) 478,0, ( ) 580,0, ( ) 540,0, ( ) 478,0,

( ) 550,0, ( ) 500,0, ( ) 450,0, ( ) 550,0, ( ) 510,0

p p p p p

p p p p p

p p p p p

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

= = = = =

= = = = =

= = = = =3 3 3 3 316 17 18 19 20

,

( ) 450,0, ( ) 500,0, ( ) 460,0, ( ) 400,0, ( ) 460,0.p p p p pω ω ω ω ω= = = = =

Сравнивая значение каждого 3( ) , 1,2,...20kp kω = , с составляющими из

{ }2kω вариантов, убеждаемся в том, что все варианты третьей группы входят в

число отброшенных. Переходим ко второй группе вариантов. Определим

{ }2 212min ( ) ( )kp pω ω= , т.е. вариант { }2

12 13,23ω = является оптимальным

вариантом, этому варианту соответствует решение { }133 23310, 10x x x= = = , и

значение (13,23) 300.0p = .

Определяем ikx , согласно равенству { }3

312

1, 13,23 .ik ikj

jx x ik ω

=

= ∈ =∑

Получим { }*13 2310, 10 .x x x= = =

Из решения следует, что объем производства продукции 1A за

планируемый период равен объему 1 10x = и доставляется для переработки в

предприятие 3B , а объем производства пункта 2A составляет также в объеме

2 10x = единиц и продукция перевозится для переработки в предприятие 3B .

При этом суммарные затраты равны *( ) 300.0L x = усл.ед., кроме этого из

решения следует, что переработка продукции в предприятиях 1B и 3B не

рекомендуется.

74

3.3. Решение задачи размещения перерабатывающих предприятий

с нелинейными разрывными в нуле функциями затрат на переработку

и транспортировку продукции

В этом разделе рассматривается задача размещения предприятий по

переработке продукции с нелинейными разрывными функциями затрат на

переработку и транспортировку продукции. Предлагается метод и алгоритм

решения сформулированной задачи размещения.

Технико-экономическая постановка задачи. Пусть компания в регионе

имеет m пунктов , 1,2,...,iA i m= производств продукции, с искомыми

объемами производства 0ix ≥ . Производимая продукция в свою очередь

доставляется на n возможные пункты , 1,2,...,jB j n= этой же компании для

переработки. Предполагается, что объем перерабатываемой продукции jy , в

каждом возможном пункте переработки , 1,2,...,jB j n= ограничены сверху

величиной ,jq т.е 0 j jy q≤ ≤ , 1,2,..., ,j n= а также ограничены сверху и объем

перевозимой продукции от пунктов производства , 1,2,...,iA i m= до

предприятие по переработке jB величиной ija , т.е 0 ,ij ijx a≤ ≤ 1,2,..., ,i m=

1,2,..., .j n=

Известен объем Q производимой и перерабатываемой продукции

компанией за планируемый период и функции ( ), 1,2,.., ,ij ijx i mϕ = 1,2,...j n= ,

определяющие транспортные расходы на перевозку продукции от пункта

производства , 1,2,...,iA i m= до предприятия по переработке , 1,2,..., .jB j n=

Кроме этого, для каждого пункта добычи производства , 1,2,...,iA i m= и

переработки продукции , 1,2,...,jB j n= известны функции ( ) , 1,2,.., ,i ix i mϕ =

( ), 1,2,...,j jy j nψ = , определяющие затраты на производство продукции и ее

переработку.

Требуется определить оптимальные объемы производимой продукции

0ix ≥ 1,2,..., ,i m= перевозимой 0, 1,2,..., , 1,2,...,ijx i m j n≥ = = и перераба-

75

тываемой продукции 0 , 1,2,...,jy j n≥ = для каждого предприятия компании,

при которых суммарные затраты были бы минимальными.

Математическая модель задачи может быть записана в следующем виде


1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n


L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (3.3.1)


1, 1,2,..., ,

n

ij ij

x x i m=

= =∑ (3.3.2)

1, 1,2,...,

m

ij j ji

x y q j n=

= ≤ =∑ , (3.3.3)

1 1,

m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (3.3.4)

0 , 1,2,..., , 1,2,...,ij ijx a i m j n≤ ≤ = = , (3.3.5)

где ,

.ij m nx x=

Предполагается, что 1 1 1

, .n m n

j ijj i j

Q q Q a= = =

≤ ≤∑ ∑∑ (3.3.6)

Рассмотрим способ решения задачи (3.3.1)-(3.3.6) в случае, когда

( ) , 1,2,.., ,i i i ix c x i mϕ = = а ( ) ( ), 1,2,...,j j j j j jy c y T y j nψ θ= + = ,

( ) ( ), 1,2,..., , 1,2,...,ij ij ij ij ij ijx c x x i m j nϕ α θ= + = = где jT и ijα - фиксированные

доплаты, ( ) 1ijxθ = , при 0,ijx ≥ 0, при 0,ijx = 1,2,..., , 1,2,..., .i m j n= =

Тогда рассматриваемая задача примет следующий вид.


1 1 1 1( ) ( ( )) ( ( ))

m n m n

ij ij ij ij i i j j j ji j i j

L x c x x c x c y T yα θ θ= = = =

= + + + +∑∑ ∑ ∑ ( )3.3.1′

при условиях (3.3.2)- (3.3.6).

Введем некоторые преобразования и обозначения.

76

Условимся, что каждый пункт производства , 1,2,...,iA i m= , рассмотрим

как множество пунктов производства продукции , 1,2,..., , 1,2,..., .ikA i m k n= =

Тогда каждому пункту ,ikA соответствует некоторый объем производства

продукции , 0 ,ik ik ikx x a≤ ≤ объем продукции 0ikjx ≥ перевозимый из ikA в jB ,

и фиксированные доплаты , 1,2,..., , 1,2,...,ikj ij kj i m j nα α δ= = = , а также

затраты на производство, транспортировку и переработку продукции

(1 ), 1,2,..., , 1,2,..., ,ikj ij kj kjc c M i m j nδ δ= + − = = где

, 1,2,..., , , 1,2,..., ,ik ij kja a i m k j nδ= = =

М- достаточно большое положительное число,

, 1,2,..., , 1,2,..., .ij ij i jc c c c i m j n= + + = =

Обозначим через I множество пар индексов

{ }, 1,2,..., , 1,2,..., ,ik i m k n= = а через { }0,1,2,...,J n= множество, состоящее из

индексов переработки продукции, где индекс { }0 соответствует условному

пункту переработки продукции 0B с объемом потребности равной величине

0 ikik I

q a Q∈

= −∑ , с затратами на производство, транспортировку и переработку

продукции 0 0, ,ikc ik I= ∈ с фиксированной доплатой 0 0ikα = и 0 0T = . С

учетом приведенных обозначений и преобразований задача ( )3.3.1′ -(3.3.6) имеет

вид.


( , ) ( ( )) ( )ikj ikj ikj ikj j jik I j J j J

L x J c x x T yα θ θ∈ ∈ ∈

= + +∑∑ ∑ (3.3.7)


, ,ikj ikj J

x a ik I∈

= ∈∑ (3.3.8)

{ }, \ 0 ,ikj j jik I

x y q j J∈

= ≤ ∈∑ (3.3.9)

0 0 ,ikik I

x q∈

=∑ (3.3.10)

77

0, , ,ikjx ik I j J≥ ∈ ∈ (3.3.11)

0, ,jy j J≥ ∈ (3.3.12)

где ,

.ikj I Jx x= Условия (3.3.6) примет следующий вид

.ik jik I j J

a q∈ ∈

≤∑ ∑ (3.3.13)

Используя для задачи (3.3.7)-(3.3.12) способ, предложенный

М.Л. Балинским [8], задачу (3.3.7)-(3.3.12) сведем к частично целочисленной

задаче вида.


( , ) ( ) ( )ikj ikj ikj ikj j jik I j J j J

L x J c x y T yα θ∈ ∈ ∈

= + +∑∑ ∑ (3.3.14)

при условиях (3.3.8)-(3.3.12) и

0,, , ,

1ikjy ik I j J= ∈ ∈

(3.3.15)

, , ,ikj ikj ikjx M y ik I j J≤ ∈ ∈ (3.3.16)

где { }min , , , .ikj ik jM a q ik I j J= ∈ ∈ (3.3.17)

Далее на основании теоремы в [8], условия цело численности (3.3.15)

заменим условием не отрицательности. Выразив ikjy через ikjx , т.е

/ ,ikj ikj ikjy x M= и приходим тем самым к задаче минимизации функции

( , ) ( ) ( )ikjikj ikj j j

ik I j J j Jikj

L x J c x T yMα

θ∈ ∈ ∈

= + +∑∑ ∑ (3.3.18)

при условиях (3.3.8)- (3.3.12).

Из оптимального решения * *

,ikj I Jx x= задачи (3.3.18), (3.3.8)-(3.3.12)

можно определить приближенный план 0 0 0 0

, ,,ikj ikjI J I J

x x y y= = , 0 0 0ikjy y= = ,

задачи с фиксированными доплатами 0 0 0ikj ikjx y= = , если

* 0 * 0 *0, , 1, 0.ikj ikj ikj ikj ikjx x x y x= = = >

78

Решаем задачи (3.3.18), (3.3.8)- (3.3.12) методом последовательных

расчетов [56].

Введем условие, что в дальнейшем условный пункт переработки с

индексом { }0 является элементом любого подмножества .Jδ ⊂ Тогда на

каждом подмножестве Jδ ⊂ может быть определено значение функции

( , ) ikj ikj jik I j j

L x c x Tδ δ

δ∈ ∈ ∈

′= +∑∑ ∑ (3.3.19)


, ,ikj ikj

x a ik Iδ∈

= ∈∑ (3.3.20)

{ }, \ 0 ,ikj jik I

x q j δ∈

≤ ∈∑ (3.3.21)

0 0 ,ikik I

x q∈

≤∑ (3.3.22)

0, , ,ikjx ik I j δ≥ ∈ ∈ (3.3.23)

где , , .ikjikj ikj

ikj

c c ik I jMα

δ′ = + ∈ ∈

Обозначим через ( )p δ минимальное значение функции (3.3.19) на

множестве заданными ограничениями (3.3.20) -(3.3.23), т.е.

{ }( ) min ( , ) , .x

p L x Jδ δ δ= ⊂

Тогда задачу (3.3.18), (3.3.8) - (3.3.12) можно сформулировать как задачу

нахождения наименьшего значения ( )p δ по всем ,Jδ ⊂ т.е. найти такое

множество * ,Jδ ⊂ для которого выполняется соотношение

{ }*( ) min ( ) .J

p pδ

δ δ⊂

= (3.3.24)

Как известно из [56] для применения метода последовательных расчетов

к задаче, достаточно показать выполнение условия, что для любых 1 2, Jδ δ ⊂

выполняется условие

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0s p p p pδ δ δ δ α β= + − − ≤ , (3.3.25)

79

где 1 2 1 2,α δ δ β δ δ= ∪ = ∩ , а 1 2( ), ( ), ( ), ( )p p p pδ δ α β - минимальные значения

функции ( , )L x δ при условиях (3.3.20)-(3.3.23) и замене множества δ

соответственно множеством 1 2, , ,δ δ α β .

Тогда условие (3.3.25), для рассматриваемой задачи , запишется в виде

1 1 2 2

1 2( , ) min min

min 0

ikj ikj j ikj ikj jx xik I j j ik I j j

ikj ikj j ikj ikj jx ik I j j ik I j j

s c x T c x T

c x T c x T

δ δ δ δ

α α β β

δ δ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

′ ′= + − + −

′ ′− + − + ≤

∑∑ ∑ ∑∑ ∑

∑∑ ∑ ∑∑ ∑ (3.3.26)

Докажем, что для задачи выполняется условие (3.3.26).

Из введения множеств α и β заметим, что 1 2

j j j jj j j j

T T T Tδ δ α β∈ ∈ ∈ ∈

+ = +∑ ∑ ∑ ∑ .

Далее, предположим, что для задачи (3.3.19)- (3.3.23) на множестве 1 2,δ δ

имеются допустимые планы 1 2, ,ikj ikjx xδ δ которые удовлетворяют следующим

условиям: 1

2, \ , ,ikj ikjx x j ik Iδ α α δ= ∈ ∈ (3.3.27)

21, \ , ,ikj ikjx x j ik Iδ α α δ= ∈ ∈ (3.3.28)

1 2 , , ,ikj ikj ikj ikjx x x x j ik Iδ δ α β β+ = + ∈ ∈ (3.3.29)

{ } { }1 2min , , max , , ,j j j j j jx x x x x x jδ δα β α β β≤ ≤ ∈ (3.3.30)

где ikjxα - оптимальный план задачи (3.3.19)- (3.3.23) на множестве a , а ikjxβ - на

множестве β , 1 1 2 2, , , .j ikj j ikj j ikj j ikjik I ik I ik I ik I

x x x x x x x xδ δ δ δα α β β

∈ ∈ ∈ ∈

= = = =∑ ∑ ∑ ∑

Тогда для доказательства выполнения условия (3.3.26) достаточно

показать, что 1 2

1 2

1 2( , ) 0ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjik I j ik I j ik I j ik I j

s c x c x c x c xδ δ α β

δ δ α β

δ δ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

′ ′ ′ ′= + − − ≤∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ (3.3.31)

Действительно, так как 1 2,ikj ikjx xδ δ не являются оптимальными решениями

соответствующих задач, то справедливо неравенство

80

1

1 1

1( ) ,ikj ikj jik I j j

p c x Tδ

δ δ

δ∈ ∈ ∈

′≤ +∑∑ ∑

2

2 2

2( ) .ikj ikj jik I j j

p c x Tδ

δ δ

δ∈ ∈ ∈

′≤ +∑∑ ∑

Следовательно, из 1 2( , ) 0s δ δ ≤ следует выполнение условия (3.3.26).

Нетрудно установить, что для допустимости планов (3.3.27)-(3.3.30)

выполняется условие (3.3.31). Действительно, из условий (3.3.27)-(3.3.29)

следует равенство 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1

2 1

\ \

\ \

( )

, .

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjj j j j j

ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjj j j j j j

c x c x c x c x c x x

c x c x c x c x c x c x ik I

δ δ δ δ δ δ

δ δ α δ α δ β

α α α β α β

α δ α δ β β α β

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

′ ′ ′ ′ ′+ = + + + =

′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + = + ∈

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Суммируя полученные равенства по ik , ik I∈ , получим

1 2

1 2

.ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikj ikjik I j ik I j ik I j ik I j

c x c x c x c xδ δ α β

δ δ α β∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

′ ′ ′ ′+ = +∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

Следовательно, 1 2( , ) 0 .s δ δ ≤

Таким образом, условие применимости метода (3.3.26) доказано.

Следовательно для задачи (3.3.24) достаточное условие применимости метода

последовательных расчетов (3.3.25) выполняется в предположении о

существовании допустимых планов 1 2,ikj ikjx xδ δ , удовлетворяющие условию

(3.3.27)-(3.3.30).

Остается выяснить, существует ли для рассматриваемой задачи такие

допустимые планы. Доказательство существования таких допустимых планов 1 2,ikj ikjx xδ δ , удовлетворяющим соотношениям (3.3.27)-(3.3.30) проводятся

аналогично, приведенному в [28,56].

Отметим, что приведенное доказательство достаточного условия

применимости метода последовательных расчетов (3.3.25) позволяет

использовать алгоритм метода, сформулированный В.П. Черениным в [56,28],

с дополнительным условием отбраковки, которое заключается в следующем.

81

Перед вычислением значение { }( ) min ( , )x

p L xδ δ= , для каждого из

вариантов δ , проверяется выполнение условия

{ }\ 00j

jq Q

δ∈

− ≥∑ . (3.3.32)

Подсчет ( )p δ производится лишь для вариантов, удовлетворяющие

условию (3.3.32), а для вариантов ,δ не удовлетворяющих условию (3.3.32),

подсчет ( )p δ не производится и исключается из дальнейшего рассмотрения все

варианты β δ⊂ .

Пример 3.3.1. Алгоритм решения задачи продемонстрируем на числовом

примере для двух пунктов производства продукции ( 2m = ) и стремя

возможными пунктами переработки ( 3n = ).

Требуется найти объемы перевозок 2,3ijx , а также объемы производства

продукции и ее переработки , 1,2, , 1,2,3i jx i y j= = , доставляющие минимум

суммарных затрат на производство, перевозку и переработку, условие задачи

для которой заданы таблицей 3.3.1.

Таблица 3.3.1

10 20y≤ ≤ 20 20y≤ ≤ 30 30y≤ ≤

1x 2 200

110 10x≤ ≤

4 160

120 15x≤ ≤

3 150

130 10x≤ ≤

2x 3 150

210 10x≤ ≤

2 100

220 10x≤ ≤

1 100

230 10x≤ ≤

и функциями

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

3 3 3 3

( ) 2 , ( ) 2 , ( ) 2 300 ( ), ( ) 3 250 ( ),( ) 200 ( ),

x x x x y y y y y yy y y

ϕ ϕ ψ θ ψ θψ θ

= = = + = += +

а также заданным объемом производства и переработки продукции 20Q = .

В соответствии с известными данными запишем числовую модель задачи.


82

11 11 12 12 13 13 21

21 22 22 23 23 1 2 1

1 2 2 3 3

( ) 2 200 ( ) 4 160 ( ) 3 150 ( ) 3150 ( ) 2 100 ( ) 100 ( ) 2 2 2

300 ( ) 3 250 ( ) 200 ( )

L x x x x x x x xx x x x x x x y

y y y y y

θ θ θθ θ θ

θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ + + + +

(3.3.33)


1 1 2 21 1

, ,j jj j

x x x x= =

= =∑ ∑ (3.3.34)

2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1

20, 20, 30,i i ii i i

x y x y x y= = =

= ≤ = ≤ = ≤∑ ∑ ∑ (3.3.35)

2 3

1 120,ij

i jx

= =

=∑∑ (3.3.36)

11 12 13

21 22 23

0 10, 0 15, 0 15,0 10, 0 10, 0 10,

x x xx x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3.3.37)

0, 1,2,ix i≥ = (3.3.38)

0, 1,2,3,jy j≥ = (3.3.39)

где 2,3

.ijx x=

Согласно выше изложенному способу решения, преобразуем задачу

(3.3.33)-(3.3.39) к виду:


111 111 122 122 133 133 211

211 222 222 233 233 1 2 3

( , ) 6 200 ( ) 9 160 ( ) 6 150 ( ) 7150 ( ) 7 100 ( ) 3 200 ( ) 300 ( ) 250 ( ) 200 ( )

L x J x x x x x x xx x x x x y y y

θ θ θθ θ θ θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + + + + + +

(3.3.40)


11 12 13

21 22 23

10, 15, 10,

10, 10, 10,

j j jj J j J j J

j j jj J j J j J

x x x

x x x∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ (3.3.41)

1 1 2 2 3 320, 20, 30,ik ik ikik I ik I ik I

x y x y x y∈ ∈ ∈

= ≤ = ≤ = ≤∑ ∑ ∑ (3.3.42)

0 50,ik ikik I ik I

x a Q∈ ∈

= − =∑ ∑ (3.3.43)

{ } { }0, 11,12,13,21,22,23 , 1,2,3 ,ikjx ik I j J≥ ∈ = ∈ = (3.3.44) 83

{ }0, 1,2,3 .jy j J≥ ∈ = (3.3.45)

Сведем задачу (3.3.40)-(3.3.45) к частично целочисленной задаче с

фиксированной доплатой

111 111 122 122 133 133 211 211

222 222 233 233 1 2 3

( , ) 6 200 9 160 6 150 7 1507 100 3 200 300 ( ) 250 ( ) 200 ( )

L x J x y x y x y x yx y x y y y yθ θ θ

= + + + + + + + +

+ + + + + + + (3.3.46)

при условиях (3.3.41)- (3.3.45) и

0,, ,

1,ikjy ik I j J= ∈ ∈

(3.3.47)

, , ,ikj ikj ikjx M y ik I j J≤ ∈ ∈ (3.3.48)

где { }min , , , .ikj ik jM a q ik I j J= ∈ ∈ (3.3.49)

Теперь, условие целочисленности (3.3.47) заменим условием не

отрицательности. Выразим ikjy через ikjx , т.е. /ikj ikj ikjy x M= , и приходим тем

самым к задаче минимизации

111 122 133 211 222 233

1 2 3

( , ) 26 20 16 22 17 13300 ( ) 250 ( ) 200 ( )

L x J x x x x x xy y yθ θ θ

= + + + + + +

+ + +

(3.3.50)

при условиях (3.3.41)- (3.3.45) .

Решим задачу (3.3.50), (3.3.41)-(3.3.45) применяя алгоритмом метода

последовательных расчетов с дополнительным условием отбраковки (3.3.32).

Процесс решения начнем с { }0,1,2,3 .Jδ = = Этому множеству

соответствует значение ( ) 1040.0.p δ =

Первая группа вариантов состоит из множеств { }11 0,2,3δ = , { }1

2 0,1,3 ,δ =

{ }13 0,1,2δ = . Проверяем условие (3.3.32) для вариантов 1, 1,2,3.e eδ =

В результате проверки убеждаемся, что для всех вариантов выполняется

условие (3.3.32).

Далее, для каждого варианта решаем задачу (3.3.50), (3.3.41)-(3.3.45),

имеем: 1 1 11 2 3( ) 740.0, ( ) 790.0, ( ) 9200.0.f p pδ δ δ= = = Согласно алгоритму

решения в 3.1 сравнение величин ( )p Jδ = с ( )ep δ ′ , 1,2,3e = показывает, что 84

для всех вариантов 1eδ выполняется условие ( ) ( ) , 1,2,3ep J p eδ ′≥ = . Далее

преобразуем вторую группу вариантов: { } { } { }2 2 21 2 30,3 , 0,2 , 0,1 .δ δ δ= = =

Проверяем условие (3.3.32) и разрешимость задачи. В результате проверки

приходим к выводу, что для всех вариантов условие (3.3.32) и разрешимость

задачи имеет место: определим для всех вариантов 2 , 1,2,3e eδ = , значение 2 2 2

1 2 3( ) 490.0, ( ) 620.0, ( ) 780.0.p p pδ δ δ= = = Сравнивая значение каждого

2( ) , 1,2,3ep eδ = со двумя составляющими из { }1eδ вариантов, убеждаемся, что

все варианты второй группы являются вариантами первого типа.

Следовательно, необходимо образовать третью группу вариантов.

Образование третей группы вариантов является невозможным, так как все

варианты рассмотрены. Вернемся ко второй группе вариантов 2 , 1,2,3e eδ = и

определим { }2min ( )ep δ , т.е

{ } { }2 2 21 2 3min ( ), ( ), ( ) 490.0, 620.0, 780.0 490,0.p p pδ δ δ = =

Таким образом, процесс окончен и { }21 0,3δ = - оптимальный вариант.

Задача (3.3.50), (3.3.41)- (3.3.45) имеет решение { }*133 23310, 10 .x x x= = =

Из оптимального решения задачи *x определим приближенный план 0x задачи

с фиксированными доплатами { }133

0 0 0 0 0233 133 23310, 10, 1, 1 .x x x y y= = = = =

0 21( , ) 490.0L x δ = усл.ед.

85

3.4. Решение задачи размещения пунктов производства продукции с

разрывными в нуле функциями затрат

Постановка задачи. Пусть компания в регионе имеет m возможных пунктов , 1,2,...,iA i m= производства продукции, с верхними ограничениями на объем

производства 0 , 1,2,..., .i ix a i m≤ ≤ = Производимая продукция в свою

очередь доставляется на n предприятий , 1,2,...,jB j n= этой же компании для

переработки. Предполагается, что объем перерабатываемой продукции jy на

каждом предприятии , 1,2,...,jB j n= ограничены сверху величиной jq , т.е.

0 , 1,2,...,j jy q j n≤ ≤ = . Известен необходимый объем Q производимой и

перерабатываемой продукции в регионе и выпуклые функции

( ), 1,2,..., , 1,2,...,ij ijx i m j nϕ = = , определяющие транспортные расходы на

перевозку продукции от пункта производства , 1,2,..,iA i m= до предприятия по

переработке продукции , 1,2,...,jB j n= .

Кроме этого известны для каждого , 1,2,...,iA i m= и , 1,2,...,jB j n=

функции ( ), 1,2,..., , ( ), 1,2,...,i i j jx i m y j nϕ ψ= = , определяющие затраты на

производство продукции и ее переработку, где ( ) ( ) ( )i i i i i ix x T xϕ ϕ θ= + , и

( ), 1,2,...,j jy j nψ = - выпуклые возрастающие функции по (0, ]i ix a∈ и

[0, ]j jy q∈ соответственно, 0, 1,2,...,iT i m≥ = - фиксированная доплата,

( ) 1ixθ = , при 0, 0ix > , при 0, 1,2,...,ix i m= = .

Требуется определить оптимальное размещение пунктов производства и

их объемы производства 0, 1,2,...,ix i m≥ = , объемы перевозимой 0,ijx ≥

1,2,..., , 1,2,...,i m j n= = и перерабатываемой продукции 0,jy ≥

1,2,...,j n= для каждого предприятия компании, при которых суммарные

затраты были бы минимальными.

Изложенная проблема может быть записана в виде следующей

экстремальной задачи. 86

Требуется найти наименьшее значение функции

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n


L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (3.4.1)


1, 1, 2,..., ,

m

ij j ji

x y b j n=

= ≤ =∑ (3.4.2)

1, 1, 2,..., ,

n

ij i ij

x x a i m=

= ≤ =∑ (3.4.3)

1 1,

m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (3.4.4)

0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ijx i m j n≥ = = (3.4.5)

0, 1,2,..., , 0, 1,2,..., ,ij jx i m y j n≥ = ≥ = (3.4.6)

где ,ij m n

x x= .

Предполагается, что суммарный объем производимой продукции Q ,

который должен быть произведен во всех пунктах производства

, 1,2,...,iA i m= не должен превышать суммы максимально возможных

объемов добычи и переработки продукции, т.е.

10

m

ii

Q a=

≤ ≤∑ , 1

0m

jj

Q b=

≤ ≤∑ (3.4.7)

Из постановки задачи заметим, что функции ( ), 1,2,...,i ix i mϕ = имеет

разрыв в нуле, т.е. (0, ] ,i ix a∈ задача - многоэкстремальная.

Для ее решения в общем случае нельзя применить те методы поиска

минимума, которые разработаны для задач линейного и выпуклого

программирования.

В этой связи для решения сформулированной задачи (3.4.1) – (3.4.6)

воспользуемся методом последовательных расчетов [56].

Для этой цели преобразуем её к виду.

87

Найти минимум 1 1

11 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )m n m n

i i j j m jijiji j i j

L x x b xx ϕ ψϕ+ +

+= = = =

= + + −∑∑ ∑ ∑ (3.4.8)


1, 1, 2,..., ,

m

ij ji

x b j n+

=

= =∑ (3.4.9)

1, 1, 2,..., ,

n

ij i ij

x x a i m=

= ≤ =∑ (3.4.10)

1 11

,n

m j mj

x a+ +=

=∑ (3.4.11)

0, 1,2... , 1, 1,2,..., ,ijx i m m j n≥ = + = (3.4.12)

где 1,

,ij m nx x

+= 1

1,

n

m jj

a b Q+=

= −∑ 1 1( ) 0m j m jxϕ + + = ,

1 11,2,..., , ( ) 0,m mj n xϕ + += =

т.е. 1 1 1( ) 0, 0.m m mx Tϕ + + += =

Обозначим через I множество индексов добычи сырья, т.е.

{1, 2,..., , 1}I m m= + , а через ω любое произвольное подмножество

множества I .

В дальнейшем будем считать, что индекс { 1}m + является элементом

любого подмножество Iω ⊂ . Тогда на каждом подмножестве Iω ⊂ может

быть определена функция

11 1

( , ) ( ) ( ( ) ( )) ( )n n

ij ij i i i i j j m ji j i j

L x x x T x b xω ω

ω ϕ ϕ θ ψ +∈ = ∈ =

= + + + −∑∑ ∑ ∑ (3.4.13)


, 1,2,..., ,ij ji

x b j nω∈

= =∑ (3.4.14)

{ }1

, \ 1 ,n

ij i ij

x x a i mω=

= ≤ ∈ +∑ (3.4.15)

88

1 11

,n

m j mj

x a+ +=

=∑ (3.4.16)

0, 0, , 1,2,..., .i ijx x i j nω≥ ≥ ∈ = (3.4.17)

Обозначим через ( )p ω минимальное значение ( , )L x ω при условиях

(3.4.14) – (3.4.17). Тогда, исходная задача может быть сформулирована

следующим образом.

Требуется определить такое подмножество * ,Iω ⊂ на котором ( )p ω

достигала своего наименьшего значения *( ),p ω т.е.

{ }*( ) min ( ) .I

p pω

ω ω⊂

= (3.4.18)

Докажем достаточные условия применимости метода последовательных

расчетов к задаче, т.е что для любых подмножеств 1 2, Iω ω ⊂ выполняются

условие

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ,s p p p pω ω ω ω α β= + − − ) ≤ 0 (3.4.19)

где 1 2 ,α ω ω= ∪ 1 2β ω ω= ∩ , а 1 2( ), ( ), ( (p p p pω ω α β), ) - минимальные

значения функции ( , )L x ω при условиях (3.4.14)–(3.4.17) и замене

множестваω соответственно множеством 1 2, , ,ω ω α β .

Тогда условие (3.4.19) для рассматриваемой задачи запишется в виде

1 1

2 2

1 2 11 1

11 1

1

( , ) min ( ) ( ( ) ) ( )

min ( ) ( ( ) ) ( )

min ( ) ( ( ) ) (

ij

ij

ij

n n

ij ij i i i j j m jx i j i j

n n

ij ij i i i j j m jx i j i j

n

ij ij i i i j j mx i j i

s x x T b x

x x T b x

x x T b x

ω ω

ω ω

α α

ω ω ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

+∈ = ∈ =

+∈ = ∈ =

+∈ = ∈

= + + + − +

+ + + + − −

− + + + −

∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ 11

11 1

)

min ( ) ( ( ) ) ( ) 0.ij

n

jj

n n

ij ij i i i j j m jx i j i jx x T b x

β β

ϕ ϕ ψ

=

+∈ = ∈ =

−

− + + + − ≤

∑

∑∑ ∑ ∑

(3.4.20)

Из введения α иβ легко заметить, что

89

1 2

.i i i ii i i i

T T T Tω ω α β∈ ∈ ∈ ∈

+ = +∑ ∑ ∑ ∑

Обозначим оптимальный план задачи (3.4.13)-(3.4.17) для множества α

через ijxα , а для множества β - ijxβ.

Далее предложим, что задача (3.4.13)-(3.4.17) для множеств 1ω и 2ω имеет

допустимые планы 1ijxω , 2

ijxω , которые удовлетворяют следующим условием:

12, \ , 1, 2,..., ,ij ijx x i j nω α α ω= ∈ = (3.4.21)

21, \ , 1, 2,..., ,ij ijx x i j nω α α ω= ∈ = (3.4.22)

1 2 , , 1,2,..., ,ij ij ij ijx x x x i j nω ω α β β+ = + ∈ = (3.4.23)

1 11

1, ,

n

ij i ij

x x a iω ω ω=

= ≤ ∈∑ (3.4.24)

2 22

1, ,

n

ij i ij

x x a iω ω ω=

= ≤ ∈∑ (3.4.25)

{ } { }1 2min , , max , , ,i i i i i ix x x x x x iω ωα β α β β≤ ≤ ∈ (3.4.26)

Тогда для доказательства справедливости неравенства (3.4.20)

достаточно показать, что

( ) 1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

1 2 11 1

11 1

11 1

1

, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

n n

ij ij i i j j m ji j i j

n n


n n


n

ij ij i i ji j

s x x b x

x x b x

x x b x

x x

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

α α α

α α

β β

β

ω ω ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

ϕ ϕ ψ

+∈ = ∈ =

+∈ = ∈ =

+∈ = ∈ =

∈ =

= + + − +

+ + + − −

− − − − −

− − −

∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

∑∑ 11

) 0 .n

j m ji j

b xβ

α+

∈ =

− ≤∑ ∑

(3.4.27)

90

Действительно, так как 1ijxω , 2

ijxω не являются оптимальными

решениями соответствующих задач, то

1 1 1

1 1

1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ),n n

iij ij i j j m ji j i j

p x x b xω ω ω

ω ω

ω ϕ ϕ ψ +∈ = ∈ =

≤ + + −∑∑ ∑ ∑

2 2 2

2 2

2 11 1

( ) ( ) ( ) ( ),n n


p x x b xω ω ω

ω ω

ω ϕ ϕ ψ +∈ = ∈ =

≤ + + −∑∑ ∑ ∑

а ijxα , ijxβ являются оптимальными решениями соответствующих задач, то

( ) ( )1 2 1 2, ,s sω ω ω ω≤ . Поэтому из ( )1 2, 0s ω ω ≤ следует выполнение неравенства

( )1 2, 0s ω ω ≤ .

Докажем выполнение условия (3.4.27). Для этой цели, используя условия

(3.4.21)-(3.4.23), преобразуем суммы

1 1 1

1 21 \ 1 1( ) ( ) ( );

n n n

ij ij ij ij ij iji j i j i j

x x xω ω ω

ω α ω β

ϕ ϕ ϕ∈ = ∈ = ∈ =

= +∑∑ ∑ ∑ ∑∑

1 1 1

1 2\( ) ( ) ( );i i i i i i

i i ix x xω ω ω

ω α ω β

ϕ ϕ ϕ∈ ∈ ∈

= +∑ ∑ ∑

2 2 2

2 11 \ 1 1( ) ( ) ( );

n n n

ij ij ij ij ij iji j i j i j

x x xω ω ω

ω α ω β

ϕ ϕ ϕ∈ = ∈ = ∈ =

= +∑∑ ∑ ∑ ∑∑

2 2 2

2 1\( ) ( ) ( );i i i i i i

i i ix x xω ω ω

ω α ω β

ϕ ϕ ϕ∈ ∈ ∈

= +∑ ∑ ∑

1 2

1 2

1 \ 1 \ 1 1

\ \

( ) ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( ) ( ) .

n n n n

ij ij ij ij ij ij ij iji j i j i j i j

i i i i i i i ii i i i

x x x x

x x x x

α α α α

α α ω α ω β

α α α α

α α ω α ω β

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∈ = ∈ = ∈ = ∈ =

∈ ∈ ∈ ∈

= + +

= + +

∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

Подставляя преобразованные суммы в (3.4.27) и учитывая при этом

условия (3.4.21)-(3.4.23), получим

91

1 2

1 2 1

2

1, 21 1 1 1

11

1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n n n

ij ij ij ij ij ij ij iji i i j i j i j

n

i i i i i i i i j j m ji i i i j

n n

j j m j j j m j jj j

s x x x x

x x x x b x

b x b x

ω ω α β

β β β β

ω ω ωα β

β β β β

ω α

ω ω ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ψ

ψ ψ ψ

∈ = ∈ = ∈ = ∈ =

+∈ ∈ ∈ ∈ =

+ += =

= + − − +

+ + − − + − +

+ − − − −

∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ 11

( ).n

j m jj

b xβ+

=

−∑

(3.4.28)

Поскольку функции ( ), 1,2,...,i ix i mϕ = , предполагаются выпуклыми

возрастающими, то для каждой из них справедливо следующее неравенство:

если 1 2x x≥ , то

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), 1,2,..., ,i i i ix x x x i mϕ λ ϕ λ ϕ ϕ− + + ≤ + = (3.4.29)

где 1 20 x xλ≤ ≤ − .

Аналогично имеет место неравенство (3.4.29) и для функций

( ), 1,2,..., , 1,2,...,ij ijx i m j nϕ = = и 1( ), 1,2,..., .j j m jb x j nψ +− = Из (3.4.28) используя (3.4.29), т.е. свойства выпуклости функции, имеем

1 2( , ) 0.s ω ω ≤

Таким образом, условие (3.4.20) доказано. Следовательно, для задачи

(3.4.18) достаточное условие применимости метода последовательных расчетов

(3.4.19) выполняется при предположении о существовании для задачи (3.4.13)-

(3.4.17) таких допустимых планов 1 ,ijxω 2 ,ijxω которые удовлетворяют

условиям (3.4.21)-(3.4.26).

Остается выяснить, существует ли для задачи (3.4.13)-(3.4.17) такие

допустимые планы. Доказательство существования допустимых планов 1 ,ijxω

2ijxω , удовлетворяющих соотношениям (3.4.21)-(3.4.26) доказывается

аналогичным способом, приведенном в [28] .

92

Далее, отметим, что приведенное доказательство достаточного условия

применимости последовательных расчетов (3.4.19) позволяет использовать для

задачи (3.4.18) с дополнительным условием отбраковки алгоритм метода

последовательных расчетов в формулировке В.П.Черенина [56],

заключающееся в следующем: прежде чем производит вычисление

{ }( ) min ( , )x

p L xω ω= для каждого варианта ω , проверяется условие

\{ 1}0.i

i ma Q

ω∈ +

− ≥∑ (3.4.30)

Подсчет ( )p ω производится лишь для вариантов, удовлетворяющих

условию (3.4.30), а для вариантов ω , неудовлетворяющих условию (3.4.30),

подсчет ( )p ω не производится и исключается из дальнейшего рассмотрение все

β ω⊂ .

Существенным фактором при решении задачи (3.4.1)-(3.4.6) является

нахождение значения ( )p ω для каждого подмножества ,Jω ⊆ т.е. решение

следующей задачи.


( ) ( ) ( )( ) ( )1 1

n n

ij ij i i i j ji j i j

L x x x T yω ω

ϕ ϕ ψ∈ = ∈ =

= + + +∑∑ ∑ ∑ (3.4.31)


1, ,

n

ij i ij

x x a i ω=

= ≤ ∈∑ (3.4.32)

, 1,2,..., ,ij j ji

x y b j nω∈

= ≤ =∑ (3.4.33)

1,

n

iji j

x Qω∈ =

=∑∑ (3.4.34)

0, , 1,2,..., ,ijx i j nω≥ ∈ = (3.4.35)

0, , 0, 1,2,..., ,i jx i y j nω≥ ∈ ≥ = (3.4.36)

где minijx x= .

93

Предполагается, что для любого Jω ⊂ имеет место

10 , 0 .i j

i jQ a Q b

ω∈ =

≤ ≤ ≤ ≤∑ ∑ (3.4.37)

Метод нахождение ( )p ω , Iω ⊆ заключается в следующем.

Выпуклые функции ( ) ( ), , 1,2,..., , , 1,2,...,ij ij i ix i j n x i mϕ ω ϕ∈ = = и

( ), 1,2,...,j jy j nψ = заменим кусочно - линейными функциями.

Разбивает интервалы 0, , , 1,2,..., ,ij ijx a i j nω ∈ ∈ = [ ]0, ,i ix a i ω∈ ∈ и

0, , 1,2,...,j jy b j n ∈ = соответственно на ,ij ir τ и jl равных частей с шагом

, , 1,2,..., ,ijij

ij

ah i j n

rω= ∈ = , , , 1,2,..., ,ji

i ji j

ba i q j nl

θ ωτ

= ∈ = = где ,ij ia a=

, 1,2,..., .i j nω∈ =

Построим кусочно-линейную аппроксимацию функций

( ) ( ) ( ), , 1,2,..., , , , , 1,2,..., .ij ij i i j jx i j n x i y j nϕ ω ϕ ω ψ∈ = ∈ =

Переменные , , 1,2,..., , ,ij ix i j n x iω ω∈ = ∈ и , 1,2,...,jy j n= заменим

через , ,ijk i jtz υδ α соответственно:

1, , 1,2,..., ,

ijr

ij ijkk

x i j nδ ω=

= ∈ =∑ (3.4.38)

1, ,

i

i ivv

x z iτ

ω=

= ∈∑ (3.4.39)

1, 1,2,..., ,

jl

j jtt

y j nα=

= =∑ (3.4.40)

где

0 , , 1,2,..., ,ijk ijh i j nδ ω≤ ≤ ∈ = (3.4.41)

0 , ,iv iz iθ ω≤ ≤ ∈ (3.4.42)

0 , 1,2,..., .jt jq j nα≤ ≤ = (3.4.43)

94

Функции ( ), , 1,2,...,ij ijx i j nϕ ω∈ = представим через переменные ijkδ ,

( ),i ix iϕ ω∈ - через ivz , а ( ), 1,2,...,j jy j nψ = - через jtα в виде

( ) ( ) ( )( )1

1 , , 1, 2,..., ,ij

ijkij ij ijij ij ij

k ij

rk i j nx kh h h

ωδϕ ϕ ϕ=

= − − ∈ = ∑

( ) ( ) ( )( )1

1 , ,i

iii ii i i

i

izx ν

ν

τνθ ν ωϕ ϕ ϕ θ θ=

= − − ∈ ∑

( ) ( ) ( )( )1

1 , 1, 2,..., .j

jt

j j jj j jt

j

lt j ny tq q q

αψ ψ ψ=

= − − = ∑

Тогда задача (3.4.31)-(3.4.36) для каждого Iω ⊆ примет вид.


( )1 1 1 1 1

,ij jin n

iv iijk jtijk i jti j x i j t

lrL x z Tν

ω ω ν

τω ϕ ϕ ψδ α

∈ = = ∈ = = =

= = + + ∆

∆ ∆∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑ (3.4.44)


1 1 1, ,

ij in

iijkj k

riz ν

ν

τωδ

= = =

= ∈∑∑ ∑ (3.4.45)

1 1, 1, 2,..., ,

ij j

ijk jti k t

lrj n

ωδ α

∈ = =

= =∑∑ ∑ (3.4.46)

1 1,

ijn

ijki j k

rQ

ωδ

∈ = =

=∑∑∑ (3.4.47)

где

( ) ( )( )( )1 / , , 1, 2,..., , 1, 2,..., ,ijijk ij ij ijij ijk i j n k rkh h h ωϕ ϕδ = − − ∈ = =∆

( ) ( )( )( )1 / , , 1, 2,..., ,ii i ii ij iv i v

νω τϕ ϕ ϕνθ θ θ∆ = − − ∈ =

( ) ( )( )( )1 / , 1, 2,..., , 1, 2,..., .jjt j jj j jt j n t ltq q qψ ψ ψ∆ = − − = =

Преобразуем задачу (3.4.44) -(3.4.47) в транспортную. Обращаем систему

неравенств (3.4.41)-(3.4.43) в равенства с помощью дополнительных

95

переменных

0, , 1,2,..., , 1,2,..., , 0, , 1,2,..., ,ijk ij iv ii j n k r i vξ ω ξ ω τ≥ ∈ = = ≥ ∈ = и

0, 1,2,..., , 1,2,...,jt jj n t lµ ≥ = = , получим

, 1,2,..., , , 1,2,..., ,ijk ijk ik ijh k r i j nδ ξ ω+ = = ∈ = (3.4.48)

, 1,2,..., , ,iv iv i iz v iξ θ τ ω+ = = ∈ (3.4.49)

, 1,2,..., , 1,2,..., .it jt j jq t l j nα µ+ = = = (3.4.50)

Используя равенств (3.4.49) и (3.4.50) исключим из (3.4.45) и (3.4.46)

переменные izν и jtα , а используя (3.4.48) исключим из (3.4.47) переменную ijkδ

,соответственно получим

1 1 1, ,

ij irn

ijk iv ij k v

a iτ

δ ξ ω= = =

+ = ∈∑∑ ∑ (3.4.51)

1 1, 1,2,..., ,

ij jr l

ijk jt ji k t

b j nω

δ µ∈ = =

+ = =∑∑ ∑ (3.4.52)

1 1 1,

ijrn n

ij ijki j i j k

a Qω ω

ζ∈ = ∈ = =

− =∑∑ ∑∑∑ (3.4.53)

Теперь используем равенство (3.4.48) исключим из равенств (3.4.46) и

(3.4.52) переменные ijkδ , имеем

1 1, 1,2,...,

ij jr l

ijk jt iji k t i

a j nω ω

ξ α∈ = = ∈

+ = =∑∑ ∑ ∑ , (3.4.54)

1 1, 1,2,..., .

ij jr l

ij ijk jt ji i k t

a b j nω ω

ξ µ∈ ∈ = =

− + = =∑ ∑∑ ∑ (3.4.55)

Далее, суммируя (3.4.55) по всем , 1,2,...,j j n= , и используя равенства

(3.4.53) получим

1 1 1,

jln n

jt jj t j

b Qµ= = =

= −∑∑ ∑ (3.4.56)

а используя равенство (3.4.48) исключим из (3.4.45) переменные ijkδ ,

получим

96

1 1 1 1, .

iji rn n

ij iv ijkj v j k

a z iτ

ξ ω= = = =

= + ∈∑ ∑ ∑∑ (3.4.57)

Суммируя (3.4.57) по ,i i ω∈ , и используя равенство (3.4.53), имеем

1.

i

ivi v

z Qτ

ω∈ =

=∑∑

Таким образом, для каждого ω , ,Jω ⊆ решаем задачу.


( )1 1 1 1 1

,ij jir ln n

ijk ijk iv iv i jt jti j k i v j t

L x z Tτ

ω ω

ω ϕ δ ϕ ψ α∈ = = ∈ = = =

= ∆ + ∆ + +

∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑ (3.4.58)


1 1 1, .

ij irn

ijk iv ij k v

a iτ

δ ξ ω= = =

+ = ∈∑∑ ∑ (3.4.59)

1 1, 1,2,..., ,

ij jr l

ijk jt iji k t i

a j nω ω

ξ α∈ = = ∈

+ = =∑∑ ∑ ∑ (3.4.60)

1 1 1,

jln n

jt jj t j

b Qµ= = =

= −∑∑ ∑ (3.4.61)

1,

i

ivi v

z Qτ

ω∈ =

=∑∑ (3.4.62)

, 1,2,..., , , 1,2,..., ,ijk ijk ik ijh k r i j nδ ξ ω+ = = ∈ = (3.4.63)

, 1,2,..., , ,iv iv i iz v iξ θ τ ω+ = = ∈ (3.4.64)

, 1,2,..., , 1,2,..., ,it jt j jq t l j nα µ+ = = = (3.4.65)

0, 0, 1,2,..., , , 1,2,..., ,ijk ijk ijk r i j nδ ξ ω≥ ≥ = ∈ = (3.4.66)

0, 0, 1,2,..., , ,iv iv iz v iξ τ ω≥ ≥ = ∈ (3.4.67)

0, 0, 1,2,..., , 1,2,..., .it jt jt l j nα µ≥ ≥ = = (3.4.68)

Задачу (3.4.58)-(3.4.68) при помощи запрещающих тарифов можно свести

к закрытой модели транспортной задачи линейного программирования.

97

Для более компактной записи транспортный таблицы 3.4.1. введены

следующее обозначения:

1, ijr - вектор строка размерности ijr , , 1,2,..., ;i j nω∈ =

1, iτ - вектор строка размерности , ;i iτ ω∈

1, jl - вектор строка размерности , 1,2,..., .jl j n=

98

Та

блиц

а 3.

4.1

11

111,

rh

…

1

11,

nn

rh

…

1

11,

mm

rh

…

1,

mn

mn

rh

1

11,τ

θ

…

1,m

mτ

θ

11

1,l

q

…

1,n

nl

q

iT

1a

11k

δ

…

1nk

δ

…

…

1vξ

…

…

1

T

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

ma

…

…

11mδ

…

m

nkδ

…

mv

ξ

…

mT

1ii

wa

∈∑

11k

ζ

…

…

1

mk

ζ

…

…

1tα

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

ini

wa

∈∑

…

1n

kζ

…

…

mnk

ζ

…

…

nt

α

Q

…

…

…

ivz

…

mv

z

…

1n

jj

bQ

=

−∑

…

…

…

…

1tµ

…

ntµ

99

3.5. Решение задачи размещения производства и переработки с

нелинейными функциями затрат на производство, перевозку и

переработку продукции

Постановка задачи. Пусть крупная компания имеет m возможных

пунктов производства однородной продукции , 1,2,..., ,iA i m= с неизвестными

объемами производства , 0 ,i i ix x a≤ ≤ а также n возможных пунктов

переработки продукции , 1,2,...,jB j n= , с неизвестными объемами

переработки , 0 .j j jy y b≤ ≤

Известны, потребность в продукции Q, функции ( ),ij ijxϕ

1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= = определяющие матрицу транспортных расходов и для

каждого , 1,2,..., , , 1,2,...,i jA i m B j n= = функции ( ), ( ),i i j jx yϕ ψ опреде-

ляющие затраты на производство и переработку продукции.

Требуется определить оптимальный вариант размещения пунктов

производства и переработки, план перевозки и переработки продукции, при

которых суммарные затраты на производство, перевозку и переработку

продукции были бы минимальными.

Изложенная проблема может быть представлена в виде следующей

экстремальной задачи.


1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

m n m n


L x x x yϕ ϕ ψ= = = =

= + +∑∑ ∑ ∑ (3.5.1)


1

, 1,2,..., ,n

ij i ij

x x a i m=

= ≤ =∑ (3.5.2)

1

, 1,2,...,m

ij j ji

x y b j n=

= ≤ =∑ , (3.5.3)

1 1,

m n

iji j

x Q= =

=∑∑ (3.5.4)

100

0, 1,2,..., , 1,2,..., ,ijx i m j n≥ = = (3.5.5)

где ,ij m n

x x= .

Предполагается, что

1 1, .

m n

i ji j

Q a Q b= =

≤ ≤∑ ∑ (3.5.6)

Рассмотрим решение задачи (3.5.1)-(3.5.5) в случае, когда функция

( )ij ijxϕ - выпуклая возрастающая по 0,ij jx b ∈ , 1,2,..., , 1,2,..., ,i m j n= = а

( ) ( ) ( ), 1,2,..., ,i i i i i ix x T x i mϕ ϕ θ= + = ( ) ( ) ( ), 1,2,..., ,j j j j j jy y y j nψ ψ θ= +Π = где

( ), ( )i i j jx yϕ ψ - выпуклые возрастающие функции по (0, ], 1,2,..., ,i ix a i m∈ = и

по (0, ], 1,2,..., ,j jy b j n∈ = соответственно.

Тогда задача (3.5.1)-(3.5.5) примет следующий вид.


1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

m n m n

ij ij i i i i j j j ji j i j

L x x x T x y yϕ ϕ θ ψ θ= = = =

= + + + +Π∑∑ ∑ ∑ (3.5.7)

при условиях (3.5.2)-(3.5.5).

Основная трудность решения задачи (3.5.7), (3.5.2)-(3.5.5) – ее

многоэкстремальность. Поэтому любой метод, разработанный для задачи

линейного и выпуклого программирования, приведет лишь в один из многих

локальных минимумов.

Метод приводящий к точному решению любой многоэкстремальной

задачи – это перебор всех вершин многогранника. Однако для реальных задач

число вершин столь велико, что их полный перебор практически невозможен.

В настоящее время существуют как точные, так и приближенные методы,

позволяющие, хотя и посредством большего объема вычислительных работ,

находить глобальный экстремум многоэкстремальной задачи с любой степенью

точности. Один из них – метод последовательных расчетов В.П. Черенина

[56]. Поэтому для решения задачи (3.5.7), (3.5.2)-(3.5.5) воспользуемся методом

последовательных расчетов.

101

Обозначим через I множество, состоящее из m возможных пунктов

производства , 1,2,..., ,iA i m= т.е. { }1,2,...,I m= , а через J - множество

состоящее из n возможных пунктов переработки , 1,2,...,jB j n= , т.е.

{ }1,2,..., .J n= Кроме того, обозначим через ω и δ произвольные

подмножества множества I и J соответственно.

Тогда для любых произвольных подмножеств Iω⊂ и Jδ ⊂ можно

рассматривать следующую задачу:


( , , ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )ij ij i i i j j ji j i j

L x x x T yω δ ω δ

ω δ ϕ ϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈

= + + + +Π∑∑ ∑ ∑ (3.5.8)


, ,ij i ij

x x a iδ

ω∈

= ≤ ∈∑ (3.5.9)

, ,ij j ji

x y b jω

δ∈

= ≤ ∈∑ (3.5.10)

,iji j

x Qω δ∈ ∈

=∑∑ (3.5.11)

0, , .ijx i jω δ≥ ∈ ∈ (3.5.12)

Обозначим через ( , )p ω δ минимальное значение целевой функции (3.5.8)

при условиях (3.5.9)-(3.5.12). Тогда исходная задача может быть

сформулирована следующим образом:

Требуется определить такую пару подмножеств * Iω ⊂ и * ,Jδ ⊂ для

которой ( , )p ω δ достигает своего наименьшего значения * *( , )p ω δ , т.е.

требуется найти

{ }* *( , ) min ( , )IJ

p pωδ

ω δ ω δ⊂⊂

= (3.5.13)

Для решения этой задачи поступаем следующим образом. Любому

допустимому подмножеству Jδ ⊂ поставим в соответствие экстремальную

задачу:

найти минимум 102

( , ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) )ij ij i i i i j j ji j i j

L x x x T x yω δ ω δ

ω ϕ ϕ θ ψ∈ ∈ ∈ ∈

= + + + +Π∑∑ ∑ ∑ (3.5.14)

при условиях (3.5.9)-(3.5.12).

Задача (3.5.14), (3.5.9)-(3.5.12) аналогична рассмотренной в 3.4 задаче, в

которой доказано достаточное условие применимости алгоритма метода

последовательных расчетов для ее решения.

Следовательно, для любого допустимого Iδ ⊂ может быть использован

алгоритм метода последовательных расчетов при решении задач (3.5.14),

(3.5.9)-(3.5.12) и для каждого допустимого Iδ ⊂ определено такое множество

( ) Iω δ ⊂ , на котором ( )p ω достигает своего наименьшего значения

{ }( ( )) min ( )I

p pω

ω δ ω⊂

= , где через ( )p ω обозначено минимальное значение

целевой функции вида

( , ) ( ) ( ) ( )ij ij i i i j j ji j i i j j

L x x x T yω δ ω ω δ δ

ω ϕ ϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

= + + + + Π∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

при условиях (3.5.9)-(3.5.12) и фиксированном множестве Jδ ⊂ .

Задача (3.5.15), (3.5.9)-(3.5.12),аналогично любому допустимому Iω ⊂

поставим в соответствие следующую задачу:


( , ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ))ij ij i i i j j j ji j i j

L x x x T y yω δ ω δ

δ ϕ ϕ ψ θ∈ ∈ ∈ ∈

= + + + +Π∑∑ ∑ ∑ (3.5.15)

при условиях (3.5.9)-(3.5.12).

Задача (3.5.15), (3.5.9)-(3.5.12) аналогично задаче (3.5.14), (3.5.9)-(3.5.12).

Следовательно, для всех допустимых Iω ⊂ может быть использован алгоритм

метода последовательных расчетов к задаче (3.5.15), (3.5.9)-(3.5.12) и

определено такое подмножество ( ) ,Jδ ω ⊂ на котором ( )p δ достигает

своего наименьшего значения { }( ( )) min ( ) .J

p pδ

δ ω δ⊂

= Здесь через ( )p δ

обозначено минимальное значение целевой функции вида

( , ) ( ) ( ) ( )ij ij i i i j j ji j i i j j

L x x x T yω δ ω ω δ δ

δ ϕ ϕ ψ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

= + + + + Π∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

при условиях (3.5.9)-(3.5.12) и фиксированном Iω ⊂ .

103

Алгоритм решения. Для определения такой пары подмножеств * Iω ⊂ и * ,Jδ ⊂ для которой функция ( , )p ω δ достигала бы своего наименьшего

значения * *( , ),p ω δ по-видимому, необходимо начинать решение с полного

перебора всех возможных подмножеств Iω ⊂ или Jδ ⊂ .

Предположим, что известны все подмножества ,Jδ ⊂ удовлетворяющие

условию jj

b Qδ∈

≥∑ . Тогда для любого допустимого Jδ ⊂ решаем задачу

(3.5.14),(3.5.9)-(3.5.12). При этом определим такое подмножество ( ) ,Iω δ ⊂ на

котором ( )p ω достигает своего наименьшего значения ( ( )),p ω δ т.е

{ }( ( )) min ( ) .I

p pω

ω δ ω⊂

=

Далее, сравнивая значение ( ( ))p ω δ для всех допустимых ,Jδ ⊂

определяем такую пару подмножеств * *, ,I Jω δ⊂ ⊂ для которых ( , )p ω δ

достигает своего наименьшего значения { }* *( , ) min ( ( )J

p pδ

ω δ ω δ⊂

= .

Аналогичный результат может быть получен в случае, когда

осуществляется полный перебор всех допустимых подмножеств Iω ⊂ . При

этом из (2 1)(2 1)n m− − возможных вариантов перебирается не больше 2(2 1)m n− или 2(2 1)m m− - в зависимости от того, производится ли полный

перебор вариантов Iω ⊂ или Jδ ⊂ .

Пример 3.5.1. Продемонстрируем алгоритм решения задачи на числовом

примере.

Имеется три возможных пункта производства продукции , 1,2,3iA i = и

четыре возможных пункта ее переработки , 1,2,3,4.jB j =

Требуется определить оптимальное размещение пунктов производства и

переработки продукции, схему перевозок 3,4ijx , а также объемы производства

и переработки , 1,2,3, , 1,2,3,4i jx i y j= = доставляющие минимум суммарных

затрат, условия для которых заданы ниже в следующем виде:

104

-максимальные объемы производства продукции заданы в виде

1 2 3( , , ) (8, 8, 8),a a a a= =

ее переработки - 1 2 3 4( , , , ) (4,6,2,8);b b b b b= =

-функции, определяющие затраты на производство в виде 2 2

1 1 1 1 2 2 2 22

3 3 3 3

( ) 0,1 150, 0 8 , ( ) 0,2 200, 0 8 ,

( ) 0,1 150,0 8 ,

x x x x x xx x x

ϕ ϕ

ϕ

= + ≤ ≤ = + ≤ ≤

= + ≤ ≤

и на перевозку продукции 2 2

1 1 1 1 2 2 2 22 2

3 3 3 3 4 4 4 4

( ) 0,4 200, 0 4, ( ) 0,5 300, 0 6,

( ) 0,2 250, 0 2, ( ) 0,1 200, 0 8,

y y y y y yy y y y y y

ψ ψ

ψ ψ

= + ≤ ≤ = + ≤ ≤

= + ≤ ≤ = + ≤ ≤

-функции, определяющие транспортные затраты от пункта производства

, 1,2,3iA i = до пункта переработки продукции , 1,2,3,4jB j = в виде

2 2 211 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13

2 3 2 214 14 14 14 21 21 21 21 22 22 22 22

2 2 223 23 23 24 24 24 24 31 31 31 31

2 232 32 32 33 33 33 3

( ) , ( ) 2 , ( ) 2 ,

( ) 2 7 , ( ) , ( ) 2 5 ,

( ) , ( ) 3 , ( ) 2 3 ,

( ) , ( ) 4 3

x x x x x x x x x

x x x x x x x x xx x x x x x x x

x x x x x

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

= − = − = −

= − = − = −

= = − = −

= = − 23 34 34 34, ( ) ,x xϕ =

где

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

0 4, 0 6, 0 2, 0 8,0 4, 0 6, 0 2, 0 8,0 4, 0 6, 0 2, 0 8,

x x x xx x x xx x x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

-объем потребности производимой и перерабатываемой продукции за

планированный период: 10Q = ед.

В соответствии с известными данными, числовая модель задачи

запишется в виде:

найти минимум 2 2 2 211 11 12 12 13 13 14 14

3 2 2 2 2 221 21 22 22 23 24 24 31 31

2 2 2 2 232 33 33 34 1 2 2 3

2 23 1 1 2

( , ) ( ) ( 2 ) (2 ) (2 7 )

( ) (2 5 ) ( 3 ) (2 3 )

(4 3 ) 150 ( ) 0,2 200 ( ) 0,1

150 ( ) 0,4 200 ( ) 0,5

L x y x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x y y y

θ θ

θ θ

= − + − + − + − +

+ − + − + + − + − +

+ + − + + + + + +

+ + + + + 2

2 2 23 3 4 4

300 ( )

0,2 250 ( ) 0,1 200 ( )

y

y y y y

θ

θ θ

+

+ + + +

(3.5.1)

105


1 1 2 2 3 31 1 1

, , ,j j jj j j

x x x x x x= = =

= = =∑ ∑ ∑ (3.5.2)

3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1

, , , ,i i i ii i i i

x y x y x y x y= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ (3.5.3)

1 2 30 8, 0 8, 0 8,x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3.5.4)

1 2 3 40 4, 0 6, 0 2, 0 8,y y y y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (3.5.5)

10,Q = (3.5.6)

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

0 4, 0 6, 0 2, 0 8,0 4, 0 6, 0 2, 0 8,0 4, 0 6, 0 2, 0 8,

x x x xx x x xx x x x

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

(3.5.7)

где 1 2 3 1 2 3 4( , , ), ( , , , ).x x x x y y y y y= =

Построим приближенную задачу. Разобьем каждый интервал

[ ] [ ] [ ] [ ]0,4 , 0,6 , 0,2 , 0,8 соответствующему функции ( ), 1,2,3 , 1,2,3,4ij ijx i jϕ = =

и функции ( ), 1,2,3,4,j jy jψ = а так же интервал [ ]0,8 соответствующему

функции ( ), 1,2,3i ix iϕ = на ijr (2 части) , iτ (2 части) и jq (2 части) длинной

1 2 3 42, 3, 1, 4, 4 , 1,2,3i i i i ih h h h Q i= = = = = = , а 1 2 3 42, 3, 1, 4.q q q q= = = =

Построим кусочно-линейную аппроксимацию функций

( ), 1,2,3 , 1,2,3,4, ( ), 1,2,3, ( ), 1,2,3,4.ij ij i i j jx i j x i y jϕ ϕ ψ= = = =

Переменные , 1,2,3, 1,2,3,4, , 1,2,3ij ix i j x i= = = и , 1,2,3,4jy j =

заменяем через ,ijk izνδ и jtα соответственно

2

1, 1,2,3, 1,2,3,4,ij ijk

kx i jδ

=

= = =∑ а)

2

1, 1,2,3i ix z iν

ν =

= =∑ , б)

2

1, 1,2,3,4,j jt

ty jα

=

= =∑ с)

где

106

11 12 21 22

31 32 41 42

1 2

1 2 3 4

0 2, 0 2, 0 3, 0 3,0 1, 0 1, 0 4, 0 4, 1,2,3,0 4, 0 4, 1,2,3.0 2, 0 3, 0 1, 0 4, 1,2.

i i i i

i i i i

i i

t t t t

iz z i

e t

δ δ δ δδ δ δ δ

α α α

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =

≤ ≤ ≤ ≤ =

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =

Проделав необходимые вычисления, согласно предложенному методу в

3.4, для любого { } { }1,2,3 , 1,2,3,4I Jω δ⊆ = ⊆ = имеем следующую задачу, т.е.

при ,I Jω δ= = задача имеет вид.


111 112 211 212 311 312 121 122 221

321 322 131 132 231 232 331 332 11 12

21 22 31 32 11 12

21 22

( , ) 5 2 22 9 73 9 5 3 9 (1,2 3,6 150)(0,8 2,4 200) (0,4 1,2 150) (0,8 2,4 200)(1,4 4,5

L I Jz z

z z z z

δ δ δ δ δ δ δ δ δδ δ δ δ δ δ δ δ

α αα α

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +

+ + 31 32 41 42300) (0,2 0,6 250) (0,4 1,2 200)α α α α+ + + + + + + (3.5.8)

при условиях 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1

8, 8, 8,jk jk jkj J k j J k j J k

ν ν νν ν ν

δ ξ δ ξ δ ξ∈ = = ∈ = = ∈ = =

+ = + = + =∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ (3.5.9)

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1

2 2

4 41 1

12, 18, 6,

24,

i k t i k t i k ti I k t i I k t i I k t

i k ti I k t

ζ α ζ α ζ α

ζ α

∈ = = ∈ = = ∈ = =

∈ = =

+ = + = + =

+ =

∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑

∑∑ ∑ (3.5.10)

2

110,i

i I kzν

∈ =

=∑∑ (3.5.11)

2

110,jt

j J tµ

∈ =

=∑∑ (3.5.12)

1 1 2 2 3 3 4 42, 3, 1, 4, , 1,2,i k i k i k i k i k i k i k i k i I kδ ζ δ ζ δ ζ δ ζ+ = + = + = + = ∈ = (3.5.13)

4, , 1, 2,i iz i Iν νξ ν+ = ∈ = (3.5.14)

1 1 2 2 3 3 4 42, 3, 1, 4, 1, 2,t t t t t t t t tα µ α µ α µ α µ+ = + = + = + = = (3.5.15)

0, 0, , , 1, 2,ikj ijk i I j J kδ ζ≥ ≥ ∈ ∈ = (3.5.16)

0, 0, , 1, 2,i iz i Iν νζ ν≥ ≥ ∈ = (3.5.17)

0, 0, , 1, 2.jt jt j J tα µ≥ ≥ ∈ = (3.5.18) 107

Условие задачи можно записать в виде следующей таблицы 3.5.1.

Процесс решения начинаем с полного перебора возможных вариантов

{ }1,2,3 .Iω ⊂ = Набор возможных вариантов удовлетворяющие условию

ii

a Qω∈

≥∑ состоит из множеств { }1,2,3 ,I = { } { } { }1 1 11 2 32,3 , 1,3 , 1,2 .ω ω ω= = = Для

каждого допустимого варианта 1 1 11 2 3, , , ,I ω ω ω решаем задачу (3.5.8)-(3.5.18),

используя алгоритм метода последовательных расчетов с дополнительным

условием отбраковки вида

0 ,jj

b Qδ∈

− ≥∑ (*)

где { }1,2,3,4 .Jδ ⊆ =

Согласно алгоритму определим значение ( , ) 1474.4P I J = .

Далее, определим первую группу вариантов при 0 Iω = , т.е. решим задачу

(3.5.8)-(3.5.18), определим значение 1( ), 1,2,3,4.kp kδ = Имеем

1 1 1 11 2 3 4( ) 1278.0, ( ) 1174.4, ( ) 1226.8, ( ) 1484.2,p p p pδ δ δ δ= = = =

где { } { } { } { }1 1 1 11 2 3 42,3,4 , 1,3,4 , 1,2,4 , 1,2,3 .δ δ δ δ= = = =

Сравнивая ( , )p I J с 1( ), 1,2,3,4kp kδ = убеждаемся, что все варианты 1 , 1,2,3,4k kδ = удовлетворяют условию 1( ) ( , )kp p I Jδ < , следовательно, образуем

вторую группу вариантов 2 , 1,2,3,4,5,6k kδ = и проверяем выполнение условия

(*). В результате проверки приходим к выводу, что среди вариантов второй

группы имеется четыре варианта { } { } { } { }2 2 2 21 2 4 63,4 , 2,4 , 1,4 , 1,2δ δ δ δ= = = =

для которых выполняется условие (*). Для каждого варианта второй группы

определяем значение 2 2 2 2

1 2 4 6( ) 798,0, ( ) 1032,2, ( ) 927,0, ( ) 1044,2.p p p pδ δ δ δ= = = =

Далее заметим, что из вариантов второй группы невозможно образовать

третью группу вариантов, так как все варианты не удовлетворяет условию (*).

Возвращаемся во вторую группу вариантов и сравнивая значение 1( ) , 1,2,3,4,6kp kδ = определим значение

108

{ }{ }

2 2 2 2 21 0 1 2 4 6( ( )) min ( ), ( ), ( ), ( )

min 798,0, 1032,2, 927,0, 1044,2 798,0.

p p p p pδ ω δ δ δ δ= =

= =

Далее при допустимом { }11 2,3ω = решим задачу (3.5.8)-(3.5.18)

алгоритмом метода последовательных расчетов с дополнительным условием

отбраковки вариантов вида (*), определим 2 2 2 2

1 2 4 6( ) 837.6 , ( ) 890.3, ( ) 787.2, ( ) 900.0,p p p pδ δ δ δ= = = =

где { } { } { } { }2 2 2 21 2 4 63,4 , 2,4 , 1,4 , 1,2δ δ δ δ= = = = .

Сравнивая 2( ), 1,2,3,4,6kp kδ = , получим 2 14 1( ( ))p δ ω , т.е.

{ }2 14 1( ( )) min 837.6, 890.3, 787.2, 900.8 787.2.p δ ω = =

Аналогично, решая задачу (3.5.8)-(3.5.18) при допустимых { }12 1,3ω = и

{ }13 1,2 ,ω = определим соответственно значение 2 1

4 2( ( )) 738.8p δ ω = и

2 14 3( ( )) 782.8.p δ ω =

Далее, сравнивая 2 2 1 2 11 0 4 4 4 2( ( )), ( ( )), ( ( ))p p pδ ω δ ω δ ω и 2 1

4 3( ( ))p δ ω

соответствующими подмножествами 1 1 10 4 2 3, , ,Iω ω ω ω= , определяем пару

подмножеств 1 22 4, ,I Jω δ⊂ ⊂ для которой ( , )p δ ω достигает своего

наименьшего значения 2 14 2( , )p δ ω , т.е.

{ }{ }

1 1 10 4 2 3

2 1 2 2 1 2 1 2 14 2 1 0 4 1 4 2 4 3, , ,

( , ) min ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))

min 798.0 , 787.2 , 738.8, 782.8 738.8,I

p p p p pω ω ω ω

δ ω δ ω δ ω δ ω δ ω⊆

= =

= =

и соответствующее решение

{ }{ }{ }

121 311 321

11 31 32

11 31 32

4, 2, 4 ,

4, 4, 2 ,

2, 4, 4 .

z z z z

δ δ δ δ

α α α α

= = = =

= = = =

= = = =

Далее, определяем решение исходной задачи (3.5.1)-(3.5.7), используя

равенство а), б), с), имеем

109

{ }

12 31 32

1 3 1 3

4, 2, 4,4, 6, 2, 810 , min ( , ) 738.8.

x x xx x y yQ L x y

= = =

= = = =

= =

Таким образом, для нахождения глобального минимума исходной задачи

были рассмотрены 44 варианта из 128 возможных.

110

Выводы по третьей главе.

В третьей главе работы разработаны методы и алгоритмы решений задач

размещения производства и переработки продукции с нелинейными

разрывными в нуле функциями транспортных затрат и затраты на

производство и переработки продукции.

Доказано достаточное условие применимости метода последовательных

расчетов для задачи размещения производства и ее переработки в случае,

когда объем перевозимой продукции ограничены сверху, а функции,

определяющие транспортные расходы- разрывные в нуле:

Разработан метод, использующий способ М.Л. Балинского и алгоритм

метода последовательных расчетов для задачи размещения производства и

переработки, когда объем перевозимой продукции ограничены сверху, а

функции, определяющие транспортные расходы и расходы на переработку

продукции - разрывны в нуле;

Доказано применимость алгоритма метода последовательных расчетов к

задаче размещения пунктов производства и переработки в случае, когда

функции, определяющие транспортные затраты и затраты на переработку-

выпуклые непрерывные, а функции, определяющие затраты на производство

продукции- выпуклые непрерывные и терпят разрыв в нуле;

Предложен способ решения, использующий алгоритм метода

последовательных расчетов для задачи размещения производства и ее

переработки, когда функции, определяющие транспортные затраты-выпуклые


на ее переработку-выпуклые непрерывные и терпят разрыв в нуле.

Полученные результаты, т.е. методы и алгоритмы решений

сформулированных задач в главе 3 были демонстрированы на числовых

примерах.

111

ГЛАВА 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ДОБЫЧИ,

ТРАНСПОРТИРОВКИ И ПЕРЕРАБОТКИ УГЛЯ

4.1. Задача определения технологического способа добычи угля на

месторождениях

Постановка задачи и математическая модель. Угледобывающая

промышленность является одним из важных источников жизни для

обеспечения потребителей Кыргызстана теплом и играет важную роль в

развитии экономики Кыргызской Республики. Применение математического

аппарата при оптимизации производства в угледобывающей отрасли дает

значительный толчок в развитии экономики.

При добыче угля с целью обеспечения потребителей используется

несколько видов технологического способа. Каждый технологический способ

позволяет снижение уровня ручного труда и улучшения технико-

экономических показателей производства.

Построим экономико-математическую модель задачи определения

оптимального технологического способа добычи угля.

Введем обозначения:

i- индекс пунктов добычи угля, 1,2, ., ,i m= …

r- индекс сорта угля, 1,2, , ,r R= …

s- индекс технологического способа добычи, 1,2, , 1,2, , ,is Q i m= … = …

j- индекс потребителей угля, 1,2,..., .j n=

Известные константы: sira - объем r -го сорта угля добываемого s-ым по технологическим способом в

пункте добычи i за планируемый период, 1,2, , , 1,2, , ,i m r R= … = …

1,2, ,is Q= …

jrb - объем потребности угля r -го сорта j - ым потребителем за планируемый

период, 1,2, , , 1,2, , ,r R j n= … = …

112

siс - затраты на добычу угля в объеме s

ira , 1,2,.., , 1,2, , ,ii m s Q= = … по

технологическому способу s, в пункте добычи i,

ijrc - стоимость перевозки единицы объема угля r-го сорта из i-го пункта

добычи к j-му потребителю 1,2,.., , 1,2, , , 1,2, , .i m j n r R= = … = …

Искомые переменные:

ijrx - объем перевозимого угля r-го сорта от i-го пункта добычи к j-му

потребителю 1,2,.., , 1,2, , , 1,2, , ,i m j n r R= = … = … six - интенсивность использования технологического способа s в i-ом пункте

добычи, 1,2,.., , 1,2, , .ii m s Q= = …

В соответствии с принятыми обозначениями, математическая модель

задачи определения оптимального технологического способа добычи угля по

критерию минимума суммарных затрат запишется в следующем виде.


1 1 1 1

( , )iQm n R m

s sijr ijr i i

i j r i sL x x c x c x

= = = =

= +∑∑∑ ∑∑ (4.1.1)


,11

ijr

n

j

si

Q

s

sir xxa

i

∑∑==

≥ 1,2, , , 1,2, , ,i m r R= … = … (4.1.2)

1,

m

ijr jri

x b=

=∑ 1,2, , , 1,2, ,j n r R= … = … , (4.1.3)

,11

=∑=

si

Q

sx

i

1,2, , , i m= … (4.1.4)

{ },1,0∈six 1,2, , , i m= …

где , 1,

, 1,2,..., , , 1,2,... ,sijr i im n m

x x r R x x s Q= = = =

1 1 1

m n R

ijr ijri j r

c x= = =∑∑∑ - суммарные транспортные расходы,

1

1 1

Qms si i

i sc x

= =∑∑ - суммарные затраты на добычу угля.

Задача (4.1.1) - ( 4.1.4) является задачей математического 113

программирования и ее можно решить известными методами предложенными

в [47],[58],[59].

Для демонстрации работоспособности математической модели

сформулированной задачи, построим и решим числовой пример.

Пример 4.1.1. Пусть компания объединяет 2 угледобывающих

предприятий. Каждое предприятие компании при добычи угля может

использовать один из двух известных технологических способов добычи.

В зависимости от выбора технологического способа добычи, известны

для каждого угледобывающего предприятия:

-объем добычи угля каждого сорта за планируемый период по

технологическому способу , 1,2s s =

|𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑠𝑠 |2.2 = � 400 500900 1000

�𝑟𝑟=2

𝑟𝑟=1,

|𝑎𝑎2𝑟𝑟𝑠𝑠 | = � 700 8001000 1100�𝑟𝑟=2

𝑟𝑟=1,

- затраты на добычу угля в объеме 𝑎𝑎2𝑟𝑟, 𝑠𝑠 𝑖𝑖 = 1,2, 𝑠𝑠 = 1,2, 𝑟𝑟 = 1,2 по

технологическому способу добычи s и

𝐶𝐶1𝑠𝑠 = (1200 1500),

𝐶𝐶2𝑠𝑠 = (17500 20000).

Известны:

- объем потребности районов по каждому сорту угля -𝑏𝑏𝑗𝑗𝑟𝑟, .

j=1,2,3, r=1,2,т.е.

3,2

400 600500 600300 400

jrb =

.

-транспортные затраты на перевозку единицы объема угля от

угледобывающих предприятий до районов потребителей предполагаем

одинаковыми для всех сортов и заданы матрицей

114

�𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑟𝑟�2,3, 𝑟𝑟 = 1,2| = �

100 150 80120 150 100

�.

Требуется определить оптимальный технологический способ добычи

угля каждого угледобывающего предприятия компании и схему распределения

угля между потребителями так, что бы суммарные затраты на добычу и

перевозку были минимальными.

В соответствии с известными данными математическая модель задачи

может быть записана в виде.


𝐿𝐿(𝑥𝑥) = 100𝑥𝑥111 + 150𝑥𝑥121 + 80𝑥𝑥131 + 120𝑥𝑥211 + 150𝑥𝑥221 + 100𝑥𝑥231 +

+100𝑥𝑥112 + 150𝑥𝑥122 + 80𝑥𝑥132 + 120𝑥𝑥212 + 150𝑥𝑥222 + 100𝑥𝑥232 +

12000𝑥𝑥11 + +15000𝑥𝑥12 + 17500𝑥𝑥21 + 20000𝑥𝑥22 (4.1.5)


400𝑥𝑥11 + 500𝑥𝑥12 ≥�𝑥𝑥1𝑗𝑗1,3

𝑗𝑗=1

900𝑥𝑥11 + 1000𝑥𝑥12 ≥�𝑥𝑥1𝑗𝑗2,3

𝑗𝑗=1

700𝑥𝑥21 + 800𝑥𝑥22 ≥�𝑥𝑥2𝑗𝑗1,3

𝑗𝑗=1

1000𝑥𝑥21 + 1100𝑥𝑥22 ≥ ∑ 𝑥𝑥2𝑗𝑗2,3𝑗𝑗=1 (4.1.6)

�𝑥𝑥𝑖𝑖11 = 400,2

𝑖𝑖=1

�𝑥𝑥𝑖𝑖21 = 500,2

𝑖𝑖=1

�𝑥𝑥𝑖𝑖31 = 300,2

𝑖𝑖=1

115

�𝑥𝑥𝑖𝑖12 = 600,2

𝑖𝑖=1

�𝑥𝑥𝑖𝑖22 = 500,2

𝑖𝑖=1

∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖32 = 400,2𝑖𝑖=1 (4.1.7)

�𝑥𝑥1𝑠𝑠 = 1,2

𝑠𝑠=1

∑ 𝑥𝑥2𝑠𝑠 = 1.2𝑠𝑠=1 (4.1.8)

Решим задачу (4.1.5)-(4.1.8) известным методом математического

программирования [58].

Условия задачи (4.1.5)-(4.1.8) запишем в виде таблицы 4.1.1.

(см.табл.4.1.1.) Табл.4.1.1.

Используя пакет прикладных программ, получим оптимальный план

выбора технологического способа добычи угля каждого угледобывающего

предприятия компании и схему перевозок угля в следующем виде: 𝑥𝑥11=0, 𝑥𝑥12 = 1, 𝑥𝑥21 = 0, 𝑥𝑥22 = 1, X={𝑥𝑥121 = 400, 𝑥𝑥211 = 400 , 𝑥𝑥221 = 100, 𝑥𝑥231 = 300, 𝑥𝑥222 =

400, 𝑥𝑥212 = 600, 𝑥𝑥222 = 100, 𝑥𝑥232 = 400}.

𝑥𝑥11 𝑥𝑥12 𝑥𝑥21 𝑥𝑥22 𝑥𝑥111 𝑥𝑥121 𝑥𝑥131 𝑥𝑥211 𝑥𝑥221 𝑥𝑥231 𝑥𝑥112 𝑥𝑥122 𝑥𝑥132 𝑥𝑥212 𝑥𝑥222 𝑥𝑥232400 500 -1 -1 -1 ≥ 0

900 1000 -1 -1 -1 ≥ 0

700 800 -1 -1 -1 ≥ 0

1000 1100 ≥ 0

1 1 = 400

1 1 = 500

1 1 = 300

1 1 = 600

1 1 = 500

1 1 = 400

1 1 = 1

1 1 = 1

12000 15000 17500 20000 100 150 80 120 150 100 100 150 80 120 150 100 → min

116

L(x)=375000.0 усл.ед.

4.2. Задача определения оптимального объема добычи угля, состава

погрузочно-транспортных средств и схемы перевозок

Постановка задачи. Угледобывающая отрасль республики имеет m

месторождений угля. Для обеспечения углем потребителей республики

необходимо организовать эффективный способ добычи угля на угольных

месторождениях. Каждое месторождение при добыче угля имеет возможность

выбрать один из известных технологических способов.

Для каждого угольного месторождения предполагается известным объем

добываемого угля за планируемый период в зависимости от выбора

технологического способа добычи и приведенные затраты.

Добываемый уголь должен распределяться между потребителями –

угольными базами районов. Предполагается, что для погрузки угля в

месторожденях используются погрузчики одной марки, а для перевозки угля из

месторождения до угольных баз угледобывающая отрасль может использовать

различные марки транспортных средств. Известны стоимость транспортировки

единицы веса угля от каждого месторождения до каждого потребителя в

зависимости от марки транспортного средства, объем потребности угольных

баз районов, а также эксплуатационные затраты погрузчика в соответствии

производительности и затраты каждого месторождения, на погрузку единицы

веса угля погрузчиком.

Требуется выбрать технологический способ добычи для существующего

и возможного месторождения угля, объемы перевозимого угля от

месторождения до угольных баз потребителей и определить количественный

состав транспортных и погрузочных средств каждого месторождения за

планируемый период так, чтобы суммарные затраты на добычу, погрузку, и

транспортировку угля в целом по отрасли были минимальны.

Для формализации задачи введем обозначения:

i - индексы месторождения угля, 1,2, ,i m= … ;

j - индексы потребителей (угольные базы районов), 1,2,..,j n= ;

117

k - марки транспортных средств, привлекаемых для перевозки угля, 1,2,..., ;k p=

r - индексы технологического способа добычи угля, 1,2, ,r R= … .

Известные параметры: ria - объем добываемого угля из i-го месторождения по r-му технологическому

способу за планируемый период, 1,2, , , 1,2, , ;i m r R= … = …

jb - объем спроса угля j-го потребителя (района) за планируемый период,

1,2, , ;j n= … kijb - объем перевозимого угля единицей транспортного средства k-ой марки за

планируемый период из i-го месторождения угля к j- му потребителю

(производительность транспортного средства k-ой марки),

1,2, , , 1,2,.., , 1,2,..., ;i m j n k p= … = = rid - приведенные затраты r -го технологического способа добычи угля в i-ом

месторождении 1,2, , , 1,2, , ;i m r R= … = … kijc - транспортные расходы на перевозку единицы объема угля с исполь-

зованием k-ой марки транспортного средства из i-го месторождения до j-го

потребителя, 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,..., ;i m j n k p= … = = kijδ - эксплуатационные затраты на единицу транспортного средства k-ой марки

с производительностью kijb занятой для перевозки угля из i-го месторождения

к j-му потребителю соответствующему за планируемый период,

1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ;

kD - количество имеющееся в наличии транспортных средств k-ой марки и

используемых для перевозки угля, 1,2,...,k p= ;

iΠ - производительность погрузчика (тонн/час) на i- ом месторождении угля,

1,2, ,i m= … ;

ic - эксплуатационные затраты одного погрузчика соответствующему

производительности iП (тонн/час) на i-ом месторождении угля, 1,2, ,i m= … ;

iq - затраты на погрузку единицы веса угля на i-м месторождении, 1,2, ,i m= … ;

118

iT - количество рабочих часов погрузчика на i-ом месторождении за

планируемый период, 1,2, , ;i m= …

iS - коэффициент использования рабочего времени погрузчика на i-ом

месторождении угля, 1,2, , ;i m= …

M - количество погрузчиков имеющееся в угледобывающей отрасли и

используемые для погрузки угля.

Искомые переменные: kijx - объёмы угля перевозимого транспортными средствами k-ой марки из i-го

месторождения угля j-му потребителю, 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ; kijz - количество транспортных средств k-ой марки занятые для перевозки угля

из i-го месторождения к j-му потребителю, 1,2, , , 1,2,.., ,i m j n= … =

1,2,..., ;k p=

iv - необходимое количество погрузчиков угля работающих на i-ом

месторождении, 1,2, ,i m= … ; riy - (булева переменная) интенсивность использования r-го технологического

способа добычи угля на i-том месторождении, 1,2, , , 1,2, , ;i m r R= … = …

В соответствии с принятыми обозначениями математическая модель

изложенной проблемы записывается в виде.


1 1 1 1 1 1 1 1 1

( , , )p pm n m n m R m

k k k k r rij ij ij ij i i i i i

i j k i k j i r iL x z v c x z d y T c vδ

= = = = = = = = =

= + + +∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ (4.2.1)


1 1 1

,pR n

r r ki i ij

r k ja y x

= = =

≥∑ ∑∑ 1,2, ,i m= … , (4.2.2)

1 1

,p m

kij j

k ix b

= =

=∑∑ 1,2, , ,j n= … (4.2.3)

0=− kij

kij

kij zbx , 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = , (4.2.4)

119

∑∑= =

≤n

j

m

ik

kij Dz

1 1, 1,2,..., ,k p= (4.2.5)

1 1( ) 0

p nkij i i i i

k jx s П T v

= =

− =∑∑ , 1,2, ,i m= … , (4.2.6)

∑=

≤m

ii Mv

1

, (4.2.7)

∑=

≤R

r

riy

11, 1,2, ,i m= … , (4.2.8)

0≥kijx , 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = , (4.2.9)

kijz , iv - целые, (4.2.10)

где nm

kijxx

,= , 1,2,...,k p= ,

nm

kijzz

,= , 1,2,...,k p= , 1 2( , ,..., )mv v v v= ,

k kij ij ic c q= + , 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ,

kij

kkkij

kijk

ij t

Tssb

0

0 ε= , 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = , (*)

kjраз

kijед

kin

kij tttt ...00 ++= , 1,2, ,i m= … ,

kijt0 - время одного оборота транспортного средства k-ой марки из i-го

месторождения угля до угольной базы j-го потребителя и обратно (в часах); k

jразk

ino tt .. , -время на погрузку и разгрузку одного технического средства k-ой

марки соответственно на i-ом месторождении угля и угольной базы j-го

потребителя, 1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ;

( ) ( ). 2 /k kед ij ij ijt l v= - время езды технического средства k-ой марки в груженном

и в порожном состоянии от i-го месторождения до j-го потребителя и обратно,

1,2, , , 1,2,.., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ;

ijl - расстояние от i-го месторождения угля до j-го потребителя, (км)

1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = ; kijv - скорость езды (км/час) k-ой марки транспортного средства на линии (i , j),

1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = ;

120

kijs - коэффициент использования транспортного средства k-ой марки по

маршруту (i, j), 1,2, , , 1,2,..., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ; koijs - коэффициент использования грузоподъемности единицы транспортного

средства k-ой марки по маршруту (i, j), 1,2, , , 1,2,..., , 1,2,...,i m j n k p= … = = ;

kε - грузоподъемность единицы транспортного средства k-й марки (в тоннах),

1,2,...,k p= ;

kT - количество рабочих часов транспортного средства k-ой марки за

планируемый период, 1,2,...,k p= .

Условие (4.2.2) требует, что суммарный объем вывозимого угля из

каждого месторождения не должен превышать объема добываемого угля по

выбранной технологии.

Уравнение (4.2.3) является математической записью требования

удовлетворения потребности в угле каждого потребителя-района.

Ограничения (4.2.4) является формулой определения количественного

состава транспортных средств, используемого для перевозки угля из i-го

месторождения до j-го потребителя за планируемый период.

Неравенство (4.2.5) требует, что количественный состав каждой марки

транспортных средств, направляемый на перевозку угля по маршруту (i, j), не

должен превышать количества транспортного средства каждой марки

имеющейся в отрасли.

Равенство (4.2.6) определяет необходимое количество погрузчиков

одновременно занятых погрузкой угля на каждом месторождении.

Неравенство (4.2.7) означает, что суммарное количество погрузчиков

угля распределяющих на месторождениях за планированный период, не

должен превышать количество погрузчиков имеющихся в отрасли.

Условие (4.2.8) определяет интенсивность использования

технологического способа добычи угля на месторождениях.

Ограничения (4.2.9) указывает на отсутствие обратных перевозок по

каждой марки транспортных средств. 121

Условие (4.2.10) требует, что переменные, определяющее количество

транспортных средств каждой марки и погрузочной техники принимает только

целые значения.

1 1 1

pm nk k

ij iji j k

c x= = =∑∑∑ - суммарные затраты на погрузку и транспортировку угля;

1 1 1

pm nk kij ij

i j kzδ

= = =∑∑∑ - затраты на эксплуатацию привлеченных транспортных средств

всех марок для перевозки угля за планируемый период;

1 1

m Rr ri i

i rd y

= =∑∑ - суммарные затраты, связанные с вводом технологического способа

добычи угля на месторождениях;

1

m

i i ii

T c v=∑ - суммарные эксплуатационные затраты погрузчиков по всем

месторождениям угля за планируемый период.

Задача (4.2.1)-(4.2.10) является частично целочисленной задачей

математического программирования и для ее решения могут быть применены

методы в [58], [59].

122

4.3 Задача определения оптимального объёма добычи и

переработки угля на месторождениях.

Постановка задачи и математическая модель. Потребность в угле

субъектов Республики в значительной мере зависит от возможности добычи и

использования других видов топлива, в первую очередь природного газа.

Рассмотрим задачу определения оптимального варианта развития и

размещения добычи и переработки угля. Решая задачу оптимального

планирования развития и размещения добычи и переработки угля, определим:

- объемы добычи и переработки угля по отдельным месторождениям на

основе технико-экономических характеристик конкретных угледобывающих

предприятий;

- схему распределения рядовых углей и продуктов их переработки между

районами потребления и, как следствие, зону влияния каждого месторождения.

В качестве критерия оптимальности плана развития и размещения добычи

и переработки угля берем минимум суммарных затрат на ее добычу,

переработку и транспортировку до потребителей (рынок сбыта).

Оптимальный план находим с помощью решения статических

многопродуктовых производственно-транспортных линейных задач с

непрерывными переменными.

Технические возможности развития добычи угля, предприятий,

месторождений и страны в целом, служат тем максимально допустимым

пределом, который не может быть превышен в данном периоде при любом

уровне капиталовложений в угольную промышленность и любом уровне

развития смежных отраслей - угольного машиностроения и строительства.

Его влияние зависит от размера запасов угля, степени их освоения и

горнотехнических условий строительства объектов. В круг технически

возможных объектов включим все действующие, реконструируемые и

строящиеся шахты и карьеры, обогатительные и брикетные фабрики,

механизированные установки и сортировки, а также новые угледобывающие и

123

углеперерабатывающие предприятия, которые смогут войти в строй в

рассматриваемом периоде.

Целесообразность эксплуатации действующих шахт с низкими технико-

экономическими показателями, а также всех новых объектов определяется в

результате решения задачи.

Качественные характеристики добываемых углей для всех

месторождений, предполагаем, почти одинаковым. Кроме этого предполагаем,

что каждое месторождение угля имеет возможность переработать ее по

определенной технологии.

Возможные способы добычи и переработки (обогащение, сортировка,

брикетирование, комплексная переработка) угля по каждому месторождению

считаются в задаче известными и заданными.

В задаче проводится выбор технологии добычи и способы переработки

угля по каждому месторождению. Для каждого способа переработки на

предприятиях считаются известными удельные выходы продуктов переработки

(сортового угля, концентрата, промышленного продукта, отходов обогащения и

т.п.) из тонны рядового угля.

Сформулируем математическую модель задачи оптимизации, развития и

размещения добычи и переработки угля. Прежде чем перейти к построению

экономико-математической модели этой задачи примем следующие

обозначения.

Обозначим через:

i - индекс угледобывающих предприятий, 1,2, ,i m= … ;

t - индекс сорта угля ( 1,2, , 1t T= … − - продукты переработки; Т- рядовой

уголь);

f - индекс способа переработки угля, 1,2, ,f F= … ;

r - индекс района потребления, 1,2, ,r R= … ;

k – индекс технологии добычи угля, 1,2,...,k p= .

Известные параметры:

124

biTK - объем добываемого рядового угля по технологии k за планируемый

период на i-ом предприятии, 1,2,..., ;i m=

αitf − выход сортов угля на i-ом предприятии при переработке единицы веса

рядового угля по способу f, 1,2, , 1,2,.. ;, .,i mf F == …

trb - суммарные потребности в t-м сорте угля в районе r, 1,2, ,r R= … ;

сiTK – затраты на добычу рядового угля в объеме biTK на предприятии i,

1,2,..., ;i m=

iTfc - затраты на переработку единицу веса рядового угля по способу

переработки f в i-ом предприятии, 1,2,..., , 1,2,..., ;f F i m= =

itrc - затраты на транспортировку единицы веса угля от i-го предприятия до

центра района – потребителя r, 1,2, ,r R= … ;


ziTK – интенсивность использования технологии добычи рядового угля на i-ом

предприятии, 1,2, ,i m= … ;

xiTf – объем рядового угля поступающего на переработку i-ое предприятие;

xitr - объем рядового и сортового угля, отправляемый от i-го предприятия к

потребителям в r –й район, 1,2, , , 1,2, ,t T r R= … = …

В соответствии с принятыми обозначениями задача оптимизации

развития и размещения добычи и переработки угля по критерию минимума

суммарных затрат запишется следующим образом.

Найти минимум:

1 1 1 1 1

( , )m P F T R

iTK iTK iTf iTf itr itri k f t r

L x z c z c x c x= = = = =

= + +

∑ ∑ ∑ ∑∑ (4.3.1)


1 1 1

, 1,2,..., ,P F R

iTK iTK iTf iTrk f r

b z x x i m= = =

≥ + =∑ ∑ ∑ (4.3.2)

1

1, 1,2,..., ,P

iTKk

z i m=

= =∑ (4.3.3)

125

1 1

, 1,2,..., , 1,2,..., 1,F R

itf iTf itrf r

x x i m t Tα= =

= = = −∑ ∑ (4.3.4)

,1

1,2,..., , 1,2,..., ,m

itr tri

x b t T r R=

= = =∑ (4.3.5)

0, 1,2,..., , 1,2,..., ,iTfx i m f F≥ = = (4.3.6)

0, 1, 2,..., , 1, 2,..., ,iTrx i m r R≥ = = (4.3.7)

0, 1,2,..., , 1,2,..., 1, 1,2,..., ,itrx i m t T r R≥ = = − = (4.3.8)

где

, ,

, 1,2,..., ,itr iTKm R m Px x t T z z= = = .

Запишем задачу (4.1)– (4.8) в виде таблицы 4.2.1, в которой для

краткости записи обозначено:

через 1,P

- вектор-строка размерности Р,

через , 1R - вектор-столбец размерности R,

через

,

1...

1R R

- единичная матрица размерности R*R.

Пример 4.3.1. Продемонстрируем задачу на числовом примере. Имеется

три возможных пункта добычи и переработки угля. Каждое предприятие по

добыче расположенное в этих пунктах могут использовать для добычи угля

два технологических способа, т.е. (i=3, t=2, f=2, r=3, k=2).

Известны для предприятий добычи угля:

объем добычи рядового угля по каждой технологии, которая задана в

виде матрицы

3,2

400 500700 800950 1000

iTKb =

;

-доля выхода сортов (угля) из тонны рядового угля на предприятиях по

переработке каждым способом.

126

1 2,2

0,5 0,70,5 0,3tfα

=

; 2 2,2

0,6 0,70,4 0,3tfα

=

; 3 2,2

0,7 0,80,3 0,2tfα

=

.

Известны для районов - потребителей:

- объем потребности районов потребителей по каждому сорту угля:

2,3

130 180 20075 100 125trb

=

,

и потребности районов по рядовому углю:

( )1,3140 180 180Trb = ;

- затраты на добычу рядового угля в объеме и технологии добычи iTKb на

каждом месторождении:

3,2

12000 1500017500 2000019000 20000

iTKc =

;

- затраты на переработку единицы веса рядового угля на предприятии по

переработке

3,2

9 1110 1110 11

iTfc =

;

- транспортные затраты на перевозки единицы объема для всех сортов углей,

включая рядовое от угледобывающих предприятий до центра района -

потребителя предполагается одинаковой и задана матрицей:

3,3

100 150 80, 1,2,..., 120 150 100

120 80 100itrc t T

= =

.

Требуется определить оптимальные объемы добычи и переработки угля

по всем месторождениям, схему распределения рядового угля и продуктов их

переработки между районами потребления так, чтобы суммарные затраты на

добычу, переработки и перевозки были минимальными.

127

В соответствии с известными данными математическая модель задачи

может быть записана в следующем виде.


( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2

1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 111 112 113 211

212 213 311 312 313 121 122 123

, 1200 15000 17500 20000 19000 200009 11 10 11 10 11 100 150 80 120

150 100 120 80 100 100 150 80

T T T T T T

T T T T T T

l x z z z z z z zx x x x x x x x x x

x x x x x x x x

= + + + + + +

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

+ 221 222 223 321 322 323

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

120 151 100 120 80 100100 150 80 120 150 100

120 80 100T T T T T T

T T T

x x x x x xx x x x x x

x x x

+ + + + + +

+ + + + + + +

+ + +

(4.3.9)


2 4

1 1 1 2 1 11 1

400 500 ,T T Tf Trf r

z z x x= =

+ ≥ +∑ ∑

2 4

2 1 2 2 2 21 1

700 800T T Tf Trf r

z z x x= =

+ ≥ +∑ ∑ ,

2 4

3 1 3 2 3 31 1

950 100T T Tf Trf r

z z x x= =

+ ≥ +∑ ∑ , (4.3.10)

2

11

1,TKk

z=

=∑ 2

21

1,TKk

z=

=∑ 2

31

1,TKk

z=

=∑ (4.3.11)

3

1 1 1 2 111

0,5 0,7 ,T T rr

x x x=

+ =∑

3

1 1 1 2 121

0,5 0,3 ,T T rr

x x x=

+ =∑

3

2 1 2 2 211

0,6 0,7 ,T T rr

x x x=

+ =∑

3

2 1 2 2 221

0,4 0,3 ,T T rr

x x x=

+ =∑

3

3 1 3 2 311

0,7 0,8 ,T T rr

x x x=

+ =∑

128

3

3 1 3 2 321

0,3 0,2 ,T T rr

x x x=

+ =∑ (4.3.12)

3

111

130,ii

x=

=∑ 3

121

180,ii

x=

=∑ 3

131

200,ii

x=

=∑

3

211

75,ii

x=

=∑ 3

221

100,ii

x=

=∑ 3

231

125,ii

x=

=∑

3

11

140,iTi

x=

=∑ 3

21

180,iTi

x=

=∑ 3

31

180,iTi

x=

=∑ (4.3.13)

0, 1,2,3, 1,2,iTfx i f≥ = = (4.3.14)

0, 1,2,3, 1,2,3,iTrx i r≥ = = (4.3.15)

0, 1,2,3, 1,2, , 1,2,3.itrx i t T r≥ = = = (4.3.16)

Из решения задачи (4.3.9)-(4.3.16) определим оптимальный объем

добываемого рядового угля и ее технологию добычи по каждому

месторождению

{ } { }1 2 3 1 1 2 1 3 1, , 1, 1, 1 .iTK TK TK TK T T Tz z z z z z z= = = = =

Объем рядового угля, направляемого на переработку каждым

предприятием

{ }1 1 1 2 3 1 3 2 2 1 2 2285, 0, 525, 0, 0, 0iTf T T T T T Tx x x x x x x= = = = = = = .

Объем рядового и сортового угля поставляемого угледобывающими

предприятиями на каждый район – потребитель

113 311 312 313 121

123 321 322 1 3 2 1 2 3 3 2

142.5, 130, 180, 57.5, 17.5,.

125, 57.5, 100, 115, 140, 65, 180iTrT T T T

x x x x xx

x x x x x x x= = = = =

= = = = = = = = При этом суммарные затраты составляют

( , ) 177015.0l x z = у.е .

Из решения задачи сделаем следующий анализ.

Все угледобывающие предприятия используют при добыче угля первую

технологию добычи. При этом объем добычи рядового угля в первом

угледобывающем предприятии соответствует 400 тыс. тонн, во втором-700

тыс. тонн, в третьем- 950 тыс. тонн. (см.таб.4.3.2).

129


Районы

потребители

1 2 3

Сорта

потребности

I II T I II T I II T

Потребность

районов по

сортовому и

рядовому углю

130 75 140 180 100 180 200 125 180

400

I 142.5 142.5

II 142.5 17.5 125

T 115 115

700

I 0

II 0

T 700 140 65

950

I 367.5 130 180 57.5

II 157.5 57.5 100

T 425 180

Первое угледобывающее предприятие из 400 тыс. тонн добытого

рядового угля 285 тыс. тонн направляет на переработку, а 115 тыс. тонн

рядового угля направляет для обеспечения потребностей районов по рядовому

углю (см. Таб. 4.3.2).

Аналогично вторым и третьи угледобывающим предприятиям за

планированный период соответствует по 700 и 950 тыс. тонн рядового угля.

Для второго угледобывающего предприятия направлять на переработку

рядовой уголь в сортовую нецелесообразно. Поэтому весь добытый уголь

целиком и направляет для обеспечения потребностей (см.таб. 4.3.2).

Третье угледобывающее предприятие из 950 тыс. тонн добытого рядового

угля 525 тыс. тонн направляет для переработки в сортовую, а 425 тыс. тонн 130

рядового угля направляет для обеспечения потребности районов по рядовому

углю (см.таб. 4.3.2).

Как видно из таблицы 4.3.2. имеются не использованные объемы

рядовых углей: - на втором угледобывающем предприятии составляет 495 тыс.

тонн, а на третьем предприятии- 245 тыс. тонн.

131

4.4. Задача определение оптимального объема добычи и

транспортировки угля по периодам

Постановка задачи и математическая модель. Пусть в изолированном

районе имеется несколько теплоэнергостанций работающих на угле. Для

обеспечения углем потребителей необходимо организовать эффективный

способ добычи угля на угольных месторождениях расположенных в том же

районе. Каждое угольное месторождение имеет возможность применить при

добыче угля один из известных технологических способов.

Для каждого возможного места добычи угля известен, объем запаса угля

на этом месторождении, объем добычи угля в зависимости от технологического

способа добычи и приведенных затрат в соответствии от объема добычи на

каждый планируемый период работы.

Для каждой теплоэлектростанции известно, объем вырабатываемой

электроэнергии, из единицы веса угля каждого месторождения, расходы на

переработку единицы веса угля в электроэнергию, количество запасов на

складе теплоэлектростанций в начальном этапе работы и необходимый объем

запаса угля на конец планируемого периода.

Кроме этого, известна стоимость транспортировки единицы веса от

каждого месторождения до каждой теплоэлектростанции в зависимости от

периода транспортировки.

Требуется определить для каждого периода технологический способ

добычи угля на месторождениях, объемы перевозок от месторождения к

теплоэлектростанциям так, что бы суммарные затраты на добычу, перевозку и

переработки угля в электроэнергию запланированного количества была

минимальной.

Введем обозначения:

i - индексы месторождения угля, 1,2, ,i m= … ;

j - индексы потребителя теплоэлектростанций, 1,2,...,j n= ;

r - индексы технологического способа добычи угля, 1,2, ,r Q= … ;

132

t - индексы планированного периода, 1,2, , ;t T= …

Известны константы:

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑟𝑟 – объем добычи угля i-го месторождения по r–му технологическому способу

t–м периоде, 1,2, , , 1,2, , , 1,2, , ;i m r Q t T= … = … = …

𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖- количество вырабатываемой электроэнергии j–м потребителем угля t–м

периоде, 1,2, , , 1,2,.., ;t T j n= … =

𝛼𝛼𝑖𝑖𝑗𝑗 - количество электроэнергии получаемое j –м потребителем из единицы веса

угля с i–го месторождения, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = ;

∆𝑖𝑖𝑗𝑗0 ,∆𝑖𝑖𝑗𝑗𝑇𝑇 - соответственно количество угля i–го месторождения, имеющегося на

угольном складе j–го потребителя на начало и на конец планируемого периода,

1,2,...,j n= ;

𝑄𝑄𝑖𝑖- число возможного технологического способа добычи угля для i –го

месторождения, 1,2, ,i m= … ;

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - стоимость транспортировки единицы объема угля от i -го месторождения

до j–го потребителя в t –м периоде, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, , ;t T= …

𝛽𝛽𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - расход j–го потребителя на переработку единицы веса угля из i –го

месторождения в t–м периоде, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, , ;t T= …

𝑐𝑐𝑖𝑖𝑟𝑟-приведенные затраты на r –ый технологический способ добычи угля в i–м

месторождении, 1,2,..., , 1,2, ,ir Q i m= = … ,

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - расход на хранение единицы объема угля из i–го месторождения j-м

потребителем в t–м периоде, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, ,t T= … ;


𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - объем перевозимого угля из i –го месторождения j–му потребителю в t –м

периоде, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, ,t T= … ;

𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - объем перерабатываемого угля j–м потребителем из i –го месторождения в

t–м периоде, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, ,t T= … ;

133

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 - объем не использованного угля из i–го месторождения в t –м периоде и

содержащее на угольном складе j–го потребителя, т.е. остаток из предыдущего

периода, 1,2, , , 1,2,..,i m j n= … = , 1,2, , ;t T= …

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑟𝑟- (булева переменная) интенсивность использования r–го технологического

способа добычи угля на i –м месторождении, 1,2,..., , 1,2, ,ir Q i m= = … .

В соответствии с принятыми обозначениями математическая модель

задачи запишется в виде.


𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑧𝑧, 𝑦𝑦,𝑣𝑣) = ∑ ∑ ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 + ∑ ∑ 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑟𝑟 + ∑ ∑ ∑ 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 +𝑇𝑇𝑖𝑖=1

𝑛𝑛𝑗𝑗=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1

𝑄𝑄𝑖𝑖𝑟𝑟=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1

𝑇𝑇𝑖𝑖=1

𝑛𝑛𝑗𝑗=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1

+∑ ∑ ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 + 𝐴𝐴0𝑛𝑛𝑗𝑗=1

𝑇𝑇−1𝑖𝑖=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1

(4.4.1)


∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 ≤ ∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑗𝑗𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑟𝑟𝑄𝑄𝑖𝑖𝑟𝑟

𝑛𝑛𝑗𝑗=1 , 1,2, , ,i m= … 1,2, ,t T= … , (4.4.2)

∆𝑖𝑖𝑗𝑗0 + 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 , i=1,2,…,m, j=1,2,…n, t=1, (4.4.3)

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 − 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 = �𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 , 𝑡𝑡 = 2,3, . . ,𝑇𝑇 − 1,

∆𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 , 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇, 𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑚𝑚, 𝑗𝑗 = 1,2, … ,𝑛𝑛, (4.4.4)

∑ 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑗𝑗𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 = 𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖 ,𝑚𝑚𝑖𝑖=1 1,2,...,j n= , 1,2, , ,t T= …

(4.4.5)

∑ 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑟𝑟 = 1,𝑄𝑄𝑖𝑖𝑟𝑟=1 1,2, , ,i m= … (4.4.6)

𝑥𝑥𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑧𝑧𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 ≥ 0, 1,2,..., , 1,2, , ,i m j n= = … 1,2, , ,t T= … (4.4.7)

где 𝐴𝐴0 = ∑ ∑ 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑗𝑗𝑇𝑇∆𝑖𝑖𝑗𝑗𝑇𝑇𝑛𝑛𝑗𝑗=1

𝑚𝑚𝑖𝑖=1 .

В целевой функции, первое и второе слагаемое определяют суммарные

затраты на перевозку и добычу угля, а третья, четвертая и пятая слагаемые –

суммарные затраты на переработку и хранения необходимого объема угля за

планируемый период.

Система неравенств (4.4.2) показывает, что суммарный объем

отправляемого угля всем потребителям в t–м периоде из i–го месторождения

должен быть меньше или равен объему добываемого угля в этом периоде.

134

Система равенств (4.4.3),(4.4.4) определяют, что разность между

объемами перевозимого и перерабатываемого угля на каждом периоде должен

быть не отрицателен.

Условие (4.4.5) требует, что количество вырабатываемой электроэнергии

теплоэлектростанции на каждом периоде должно быть равно объему

потребности электроэнергии в этом периоде.

Условие (4.4.6) определяет интенсивность использования

технологического способа добычи угля на месторождении.

Условие (4.4.7) требует, что объем перевозимого угля из месторождения в

предприятие по переработке и объем перерабатываемого угля, а также объем

хранимого угля на каждом периоде не должны быть отрицательными.

135

Вывод по четвертой главе работы.

В четвертой главе сформулированы экономико-математические модели

определения оптимального объема добычи, переработки и транспортировки

угля в угледобывающих предприятиях.

Сформулированы математические модели: задачи определения

оптимального технологического способа добычи на месторождения

угледобывающей отрасли; задачи определения оптимального объема добычи

угля, состава погрузочно-транспортных средств и схема перевозок угля из

каждого месторождения; задача определения оптимального объема добычи

угля и способа переработки; задачи оптимизации добычи и транспортировки

угля по периодам.

Работоспособность сформулированных математических моделей

демонстрированы на числовых примерах.

Полученные результаты в главе 4 являются новыми и представляют

теоретический и практический интерес. Разработанные математические модели

могут быть использованы угледобывающими компаниями республики для

определения оптимального объема добычи угля и схемы их перевозок при

минимальных суммарных затратах.

136

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изложим краткие итоги проведенных исследований. В частности:

- найден способ решения задачи размещения производства продукции и

ее переработки в случае, когда функции, определяющие производственные

затраты и затраты на переработку продукции - линейные непрерывные с

различными ограниченными условиями на переменные;

- предложен приближенный способ решения для задачи размещения с

выпуклыми функциями затрат на производство продукции и ее переработку,

которые используется в алгоритмах метода последовательных расчетов на

вариантах задачи размещения с разрывными функциями в нуле;

- доказано достаточное условие применимости метода последовательных

расчетов для задачи размещения производства продукции и ее переработки в

случае, когда функции, определяющие затраты на производство продукции и

ее переработки линейные, а функции, определяющие транспортные расходы-

линейные и терпят разрыв в нуле;

- разработан метод, использующий способ М.Л.Балинского и алгоритм

метода последовательных расчетов для задачи размещения производства

продукции и ее переработки в случае, когда объем перевозимой продукции на

переработку ограничены сверху, а функции, определяющие транспортные

расходы и расходы на переработку продукции – линейны и разрывны в нуле;

- обоснована применимость алгоритма метода последовательных






- предложен алгоритм решения, использующий алгоритм метода



когда функции, определяющие транспортные затраты - выпуклые 137


на ее переработки - выпуклые непрерывные на всей числовой оси за

исключением начало координат, где имеется разрыв (в нуле);

- сформулированы экономико-математические модели задачи

определения оптимального технологического способа добычи угля на

месторождениях; оптимизации добычи угля, состава погрузочно -

транспортных средств и схемы перевозок; определения оптимального объема

добычи, переработки и транспортировки угля; оптимизации добычи и

транспортировки угля по периодам.

138

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Benders, J.F / Partitioning procedures for solving of mixed-variables

programming problems [Текст] / J.F Benders // Numer. Math. -1962. -Vol.4.

–Р.238-252.

2. Dempe, S. Foundations of bilevel programming [Text] / S. Dempe – Kluver

Ac. Pub., 2002.-306 p.

3. Martin K.P. Large Scale Linear and Integer Optimization: A Unified

Approach [Text] / K.P.Martin. New York: Springer- Verlag, 1999. -757 p.

4. Noltemeier, H. Multiple Voting location and Single voting location on trees

problems [Text] / H. Noltemeir et al. // European J. Oper. Res.- 2007. Vol.

181.-P. 654-657.

5. Strengthened formulation far the simple plant location problem with order

[Text] / L. Conovas, S. Garcia, M.Labbe, A. Marin // Operations Research

Letters. -2007. –Vol. 35. –P.135-142.

6. Алейников, В.И. Некоторые алгоритмы решения многоэкстримальных

задач размещения и их экспериментальное исследование [Текст] / В.И.

Алейников, С.М. Мавшович // Исследования по математическому

программированию. –Москва, 1968.-С. 198-221.

7. Алексеева, Е.В. Верхние нижние оценки для конкурентной задачи о p-

медиане [Текст] / Е.В Алексеева , Н.А. Кочетова // Методы оптимизации

и их приложения. Труды XIV Байкальской международной школы-

семинара. –Иркутск, 2008.Т.1.-С.563-569.

8. Balinski M.L., Fixed-cost transportation problems. Naval Res/Log/

Quat.,1961,8, №1,41-54.

9. Бахтин, А.Е. Дискретные задачи производственно – транспортного типа

[Текст] / А.Е. Бахтин, А.А. Колоколов, З.В. Коробкова // -

Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1978.-157с.

10. Беллман Р. Динамическое программирование. –М.: Ил, 1960-400с.

11. Береснев В.Л. Алгоритмы локального поиска для задачи конкурентного

размещения предприятий [Текст] / В.Л. Береснев, Д.С. Иваненко // 139

Материалы IV Всероссийской Конференции «Проблемы оптимизации и

экономические приложения». –Омск, 2009. – 112с.

12. Береснев, В.Л. Верхние оценки для целевых функций дискретных задач

конкурентного размещения предприятий [Текст] / В.Л. Береснев

//Дискретный анализ и исследования операций. -Новосибисрк, 2008.

Т.15,№4.-С.3-24.

13. Береснев, В.Л. Дискретные задачи размещения и полиномы от булевых

переменных [Текст] / В.Л. Береснев // – Новосибирск: Издательство

математики, 2005.-450 с.

14. Береснев В.Л. Приближенные алгоритмы для дискретной задачи

конкурентного размещения предприятий [Текст] / В.Л. Береснев //

Материалы IV Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и

экономические приложения». –Омск, 2009.-С.17-18.

15. Береснев, В.Л. Экстремальные задачи стандартизации [Текст] /

В.Л.Береснев, Э.Х.Гимади, В.Т.Деменьтев // -Новосибирск: Наука, 1978.

–С.21-25.

16. Борисова Т.Н. Некоторые методы решения задач о размещении [Текст] /

Т.Н. Борисова, З.Влашек, В.Г.Карманов, В.Т. Поляк // Вычислительные

методы и программирование. – Москва: МГУ, 1965. – С. 441-451.

17. Васильев, И.Л. Численный поиск оптимального решения задачи

размещения с предпочтениями клиентов [Текст] / И.Л. Васильев, К.Б.

Климентова // Материалы IV Всероссийской конференции «Проблемы

оптимизации и экономические приложения» - Омск, 2009.-116с.

18. Гирсанов, И.В. Математические методы решения задачи о размещении

[Текст] / И.В. Гирсанов, Б.Т. Поляк // Проблемы оптимального

планирования и управления производством . –Москва, 1963.-С.288-300.

19. Гольштейн, Е.Г. Транспортная задача и ее обобщения [Текст] / Е.Г.

Гольштейн // Методы и алгоритмы решения транспортной задачи. –

Москва, 1963.- С.3-34.

140

20. Гольштейн, Е.Г. О некоторых современных направлениях в

математическом программировании [Текст] / Е.Г. Гольштейн, С.М.

Мавшович // Экономика и математические методы. -1967, Т.З, вып.5,-

С.766-778.

21. Гончаров, Е.Н. Вероятностный поиск с запретами для дискретных задач

безусловной оптимизации [Текст] / Е.Н.Гончаров, Ю.А. Кочетов //

Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. – 2002.- Т.9, №2. –

С.13-30.

22. Давыдов, И. А. Вероятностный поиск с запретами для задачи об (r,p)-

центроиде [Текст] / И.А. Давыдов // Материалы IV Всероссийской

конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». –

Омск, 2009. –122с.

23. Дементьев, В.Т. Задача о выборе цен продукции при условии

обязательного удовлетворения спроса [Текст] / В.Т. Дементьев, Ю.В.

Шамардин // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. –

2002.- Т.9, - №2. – С.31-40.

24. Еремеев, А.В. Сложность приближенного решения некоторых задач о

поставках [Текст] / А.В. Еремеев // Материалы Всероссийской

конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения».-

Омск, 2003.-87с.

25. Жусупбаев А. Задачи размещения производства с выпуклым

сеперабельным функционалом. – изв. АН Киргизия ССР, 1974, №6. - С.

14-20.

26. Заикин, А.Д. Решение задачи размещения промышленных предприятий

методом случайного поиска [Текст] / А.Д. Заикин, Р.М. Петухов //

Применение математики в экономических исследованиях. –Москва,

Т.З.1965. -С. 410-421.

27. Заозерская, Л.А. Алгоритмы ветвей и границ для решения одной задачи о

поставках продукции [Текст] / Л.А. Заозерская //Материалы

141

Всероссийской конференции « Проблемы оптимизации и экономическое

приложение».- Омск, 2003.- 88с.

28. Иманалиев М. Метод решения многопродуктной задачи размещения

[Текст] / М. Иманалиев М., А. Жусупбаев, М. Асанкулова // - Бишкек:

Илим, 1998. – 164с.

29. Каганович, И.З, Модели , алгоритмы, программы для определения

оптимальных размеров, специализации и размещения промышленных

предприятий [Текст] / И.З. Каганович, З. Краав, М. Рейснер, П. Рооба,

А.Шипай // - Таллин, 1969.-217с.

30. Колоколов, А.А. Алгоритмы декомпозиции Бендерса для двух стадийной

задачи размещения предприятий [Текст] / А.А Колоколов, Т.В.

Леванова, А.С. Федоренко // Материалы российской конференции

«Дискретный анализ и исследование операций». – Новосибирск: изд.

Института математики, 2007.-128с.

31. Колоколов, А.А. Алгоритмы декомпозиции и перебора L- классов для

решения некоторых задач размещения [Текст] / А.А. Колоколов, Т.В.

Леванова //Вестник Омского университета.-Омск: ОмГУ, 1996. №1 -С.21-

23.

32. Колоколов, А.А. Анализ и решение двухстадийной задачи размещения

предприятий [Текст] / А.А. Колоколов, Т.В. Леванова, А.С. Федеренко //


экономические приложения». –Омск, 2009.- 136с.

33. Колоколов, А.А. Декомпозиция Бендерса для двух стадийной задачи

размещения [Текст] / А.А. Колоколов, Т.В. Леванова, А.С. Федоренко //

Труды Байкальской международной школы-семинара «Методы

оптимизации и их приложения».- Иркутск: ИСЭМ СО РАН. 2008,№1 -

С.435-443.

34. Колоколов, А.А. Исследование и решение одной задачи размещения

предприятий с интервальными данными [Текст] / А.А. Колоколов, А.В.

142

Куряченко // Материалы IV Всероссийской конференции «Проблемы

оптимизации и экономические приложения». – Омск, 2009.-135-136с.

35. Колоколов, А.А. Исследование отсечений Бендерса для задачи о р –

медиане [Текст] / А.А. Колоколов, Н.А. Косарев, // Материалы

Всерос.конф. «Проблемы оптимизации и кон.прил.».-Омск, 2003, -С.96.

36. Колоколов А.А. Исследование отсечений Бендерса в декомпозиционных

алгоритмах решение некоторых задач размещения [Текст]/ А.А.

Колоколов , Н.А. Косарев, Н.А. Рубанова //Омский Научный вестник. -

Омск, 2005,-№2.-С. 76-80.

37. Колоколов, А.А. Об одном декомпозиции алгоритме решения

двухуровневой задачи размещения [Текст] / А.А. Колоколов, Н.А.

Рубанова //Труды XII международной Байкальской конференции. -

Иркутск, 2001.-Т.1.-С.207-210.

38. Колоколов, А.А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном

программировании / А.А. Колоколов // Сибирский журнал исследования

операций. –Новосибирск, 1994.-Т.1,№2.-С.18-39.

39. Хачатуров, В.Р. Комбинаторные модели и методы решения задач

дискретной оптимизации большой размерности [Текст] / В.Р. Хачатуров,

В.Е. Веселовский, А.В. Злотов, С.У. Калдыбаев, Е.Ж. Калиев, А.Г.

Коваленко, В.М. Монлевич, И.Х. Сигал, Р.В. Хачатуров // – Москва:

Наука , 2000.-360с.

40. Кочетов, Ю.А. Задача об (r,p) –центроиде [Текст] / Ю.А. Кочетов //

Материалы IV Всероссийский конференции «Проблемы оптимизации и

экономические приложения». –Омск, 2009.-68с.

41. Кочетов, Ю.А. Модели размещения, учитывающие конкуренцию [Текст]

/ Ю.А. Кочетов, Н.А. Кочетова , А.В. Плясунов // Материалы III

Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические

приложения». – Омск,2006.-105 с.

42. Кочетов, Ю.А. Стратегия коротких медиан для задачи об (r,p) –

центроиде [Текст] / Ю.А. Кочетов, Н.А. Кочетова // Материалы IV 143

Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические

приложения». – Омск, 2009. -141с.

43. Плясунов, А.В. Метод декомпозиции для решения задачи (r,p) –

центроиде задачи ценообразования [Текст] / А.В. Плясунов //


экономические приложения». –Омск, 2009.-156с.

44. Рахманин, Г.Д. Модель динамического программирования для

размещения производства [Текст] / Г.Д. Рахманин // Математические

методы и проблемы размещения производства. – Москва, 1963. –С. 221-

231.

45. Рахманин, Г.Д. Алгоритмы последовательного улучшения в одной

нелинейной задаче [Текст] / Г.Д. Рахманин // Применение математики в

экономике. –Л.: ЛГУ, 1964. Вып.2.-С. 3-12.

46. Руднева, Т.Л. Приближенный метод решения задачи размещения

производства [Текст] / Т.Л. Руднева // Вычислительные методы и

программирование. –Москва: Изд.МГУ, 1967. Вып .9.-С.148-152.

47. Сапарбаев, А.ДЖ. Экономико-математические методы и модели [Текст] /

А.Дж. Сапарбаев, А.Т. Макулова. –Алматы: Бастау, 2007.-228с.

48. Сапарбаев, А. Дж. Экономика и оптимизация [Текст] / А.Дж. Сапарбаев.

–Алматы: НИЦ « Байтерек», 2006-320с.

49. Федоренко, А.С. Об одном декомпозиционном алгоритме для

двухстадийной задачи размещения предприятий [Текст] / А.С.

Федоренко // Труды ИВМ и МГ СО РАН, серия Информатика, вып.8.-

Новосибирск, 2008. –С 147-152.

50. Хоанг, Т. Вогнутое программирование при линейных ограничениях

[Текст] / Туй Хоанг // Докл. АН СССР. 1964. Т.159, - №1. –С.32-35.

51. Хачатуров, В.Р. Алгоритмы максимизации супермодулярных функции и

их применении для оптимизации группирования областей в регионе

[Текст] / В.Р. Хачатуров // Журнал вычисл. Математики и мат. Физики. -

1999. Т.39, -№1. –С.33-44. 144

52. Хачатуров,В.Р. Математические методы регионального

программирования [Текст] / В.Р. Хачатуров, В.Е. Лорер // - Москва: ВЦ

АН СССР, 1989.-304с.

53. Хачатуров, В.Р. Решетка кубов [Текст] / В.Р. Хачатуров, Рубен В.

Хачатуров // Известия РАН. Теория и системы управления, 2008. Т.47.-

№1. -.45-51.

54. Хачатуров, В.Р. Определение оптимального и всех близких к нему

вариантов размещения предприятий с ограниченными сверху обьемами

производств [Текст] / В.Р. Хачатуров // Изв. АН Каз. ССР. Физ.-мат.

1967. №3. –С.38-43.

55. Черенин В. П., Решение некоторых комбинаторных задач оптимального

планирования методом последовательных расчетов. – Научно

методические материалы экономико-математических методов АН СССР.

– М., 1962, вып. 2. -446с.

56. Черенин, В.П. Решение методом исследовательных расчетов одного

класса задач о размещении производства [Текст]/ В.П. Черенин, В.Р.

Хачатуров // в книжке : «Математические методы и ЭВМ в

экономических исследованиях». – Ташкент: наука, 1965. – С.112-124.

57. Чернов, Ю.П. Задачи не линейного программирования с удельными

экономическими показателями [Текст]/Ю.П. Чернов, Э.Г.Ланге.// Фрунзе

:Илим, 1978.-289с.

58. Эшенкулов, П. Методика решения задач линейного программирования

на компьютере [Текст]/ П.Эшенклов, А.Жусупбаев, Т.Култаев //Ош:

ОшГу, 2004.-60с.

59. Юдин Д.Б. Линейное программирование. [Текст] / Д.Б. Юдин, Е.Г.

Гольштейн. –М.: Физ МатГиз, 1963.-775 с.

60. Султанкул кызы, А. Математическая модель задачи определения

технологического способа добычи угля [Текст] / А.Жусупбаев, А.

Султанкул кызы // Труды ИВМ и МГ СО РАН. Новосибирск, -2007.-

Вып.7.-С.214-216 (РФ). 145

61. Султанкул кызы, А. Решение задачи размещения производства и

переработки продукции [Текст] / А. Султанкул кызы , А.К. Касымкулов

// Труды V Международной азиатской школы-семинар «Проблемы

оптимизации сложных систем». Новосибирск, -2009.-Вып.7.-С.125-130

(РФ).

62. Султанкул кызы, А. Решение задачи размещения производства с

ограничениями на объемы перевозок [Текст] / А.Жусупбаев, Ф.К.

Шаршембиева, А. Султанкул кызы , Ж.К. Бейшебаева // Вестник КНУ.

Сер.3.- 2010.- Вып. 4. –с.175-182.

63. Султанкул кызы, А. Решение нелинейной задачи размещения с

ограничениями на объемы перевозки [Текст] / А.Жусупбаев, Ф.К.

Шаршембиева, А. Султанкул кызы , Ж.К. Бейшебаева // Вестник КНУ.

Сер.3.- 2010.- Вып. 4. –с.183-187.

64. Султанкул кызы, А. Математическая модель задачи оптимального

выбора технологического способа добычи угля и схемы ее перевозок

[Текст] / А.Жусупбаев, А. Султанкул кызы //Вестник КНУ. Специальный

Выпуск.- 2011.- с.115-118.

65. Султанкул кызы, А. Определение оптимального технологического

способа добычи угля на месторождениях [Текст] / А.Жусупбаев, А.

Султанкул кызы , // Вестник КЭУ им.М.Р.Рыскулбекова. - 2013.- Вып. . –

с.144-146.

66. Султанкул кызы, А. Определение оптимального объема добычи и

переработки угля [Текст]/А. Султанкул кызы// Материалы

международной начно-практической конференции «Проблемы и

перспективы экономического развития КР в современных условиях».//

Вестник КНУ. Спец. Вып.- 2013.- с.371-377.

67. Султанкул кызы, А. Экономико-математическая модель задачи

оптимального планирования технологической добычи угля по схеме ее

перевозок[Текст]/А. Султанкул кызы // Вестник КНУ. - 2014.- Вып. 5. –

с.58-63. 146

68. Султанкул кызы, А. Математическая оптимизация объема добычи и

транспортировки угля по периодам [Текст]/А. Султанкул кызы //

Материалы международной научно - практической конференции

«Экономическая наука вчера, сегодня , завтра».// Вестник КНУ. - 2014.–

с.482-485.

69. Султанкул кызы, А. Решение нелинейной задачи размещения, пунктов

добычи сырья и ее переработки [Текст] / А. Султанкул кызы // Труды X

Международной азиатской школы - семинар «Проблемы оптимизации

сложных систем», - 2014.ч.2. -с.647-651.

70. Султанкул кызы,А. Задача размещения перерабатывающих предприятий

сырья с нелинейной разрывной целевой функцией [Текст] / А. Султанкул

кызы // исследования по интегро дифференциальным уравнениям.-

Бишкек: Илим,-2014.-выпуск 47.-с.189-195.

71. Sultankul kyzy A. Solution to th problem of location production with

discontinuous function at zero transportation costs [Text] / A. Sultankul kyzy

// The V Congress of Turkic Word Mathematicians, Bulan - Sogottu,

Kyrgyzstan/2014/-c.197-201.

72. Султанкул кызы, А. Решение задачи размещения пунктов добычи сырья

с разрывными в нуле функциями затрат [Текст] / А. Султанкул кызы //

Труды XI Международной азиатской школы-семинар «Проблемы

оптимизации сложных систем», - 2015.ч.2.- с.623-627.

73. Султанкул кызы, А. Применение метода последовательных расчетов к

одной нелинейной задаче размещения производства [Текст] /

А.Жусупбаев, М. Асанкулова, А. Султанкул кызы //Сб.н.т.«Актуальные

направления научных исследований XXI: теория и практика». РФ.

г.Воронеж, DOI:10.12737/14.-2015..- с.378-382. (статья, РИНЦ РФ).

74. Султанкул кызы, А. Solution to the problem of locating production with

discontinuous functions at zero transportation costs. [Текст] / Султанкул

кызы // Вестник Науки и Образования. -2016. №1 (13), Москва - 2016,

147

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОБЛЕМЫ НАУКИ».- http://WWW.SCIENCEPPROBLEMS.RU

ISSN2312-8089. (статья, РИНЦ РФ).

75. Султанкул кызы, А. Математическая модель определения

технологического способа добычи, переработки и транспортировки угля

[Текст]/ А.Жусупбаев, М. Асанкулова, А. Султанкул кызы // Наука

техника и образование. Москва - 2016.№7(25).-с.7.-12. (статья, РИНЦ

РФ).

148

http://www.sciencepproblems.ru/

Приложение Пример к разделу 4.1 Program: Linear Programming Problem Title : uql-2 ***** Input Data ***** Min. Z = 12000X1 + 15000X2 + 17500X3 + 20000X4 + 100X5 + 150X6 + 80X7 + 120X8 + 150X9 + 100X10 + 100X11 + 150X12 + 80X13 + 120X14 + 150X15 + 100X16 Subject to C1 400X1 + 500X2 - 1X5 - 1X6 - 1X7 >= 0 C2 900X1 + 1000X2 - 1X11 - 1X12 - 1X13 >= 0 C3 700X3 + 800X4 - 1X8 - 1X9 - 1X10 >= 0 C4 1000X3 + 1100X4 - 1X14 - 1X15 - 1X16 >= 0 C5 1X5 + 1X8 = 400 C6 1X6 + 1X9 = 500 C7 1X7 + 1X10 = 300 C8 1X11 + 1X14 = 600 C9 1X12 + 1X15 = 500 C10 1X13 + 1X16 = 400 C11 1X1 + 1X2 = 1 C12 1X3 + 1X4 = 1 ***** Program Output ***** Simplex Tableau : 0 \Cj 12000.000 15000.000 17500.000 20000.000 Cb \ Basis Bi X1 X2 X3 X4 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 400.000 500.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 900.000 1000.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 700.000 800.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 1000.000 1100.000 M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000

149

M A 12 1.00 0.000 0.000 1.000 1.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj M M M M \Cj 100.000 150.000 80.000 120.000 Cb \ Basis Bi X5 X6 X7 X8 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 400.00 1.000 0.000 0.000 1.000 M A 6 500.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -100.000 -150.000 -80.000 -120.000 \Cj 150.000 100.000 100.000 150.000 Cb \ Basis Bi X9 X10 X11 X12 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 -1.000 -1.000 M A 3 0.00 -1.000 -1.000 0.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000

150

M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -150.000 -100.000 -100.000 -150.000 \Cj 80.000 120.000 150.000 100.000 Cb \ Basis Bi X13 X14 X15 X16 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 -1.000 -1.000 -1.000 M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 10 400.00 1.000 0.000 0.000 1.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -80.000 -120.000 -150.000 -100.000

151

\Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 Cb \ Basis Bi S 1 S 2 S 3 S 4 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 -1.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* -M -M -M -M Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 1 A 2 A 3 A 4 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000

152

M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 5 A 6 A 7 A 8 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 400.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 9 A 10 A 11 A 12 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000

153

M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 300.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 500.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 400.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 11 1.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 12 1.00 0.000 0.000 0.000 1.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 Simplex Tableau : 29 \Cj 12000.000 15000.000 17500.000 20000.000 Cb \ Basis Bi X1 X2 X3 X4 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 100.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 -1.000 0.000 0.000 1.000 100.000 X10 200.00 -100.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 1.000 0.000 1.000 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 -100.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 100.000 0.000 0.000 0.000

154

150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 10500.000 15000.000 17500.000 20000.000 Zj-Cj -1500.000 0.000 0.000 0.000 \Cj 100.000 150.000 80.000 120.000 Cb \ Basis Bi X5 X6 X7 X8 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X5 400.00 1.000 0.000 0.000 1.000 20000.000 X4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X10 200.00 0.000 -1.000 0.000 1.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X9 500.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 0.000 1.000 1.000 -1.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 100.000 130.000 80.000 120.000 Zj-Cj 0.000 -20.000 0.000 0.000 \Cj 150.000 100.000 100.000 150.000 Cb \ Basis Bi X9 X10 X11 X12 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 0.000 0.000 1.000 100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X10 200.00 0.000 1.000 0.000 0.000

155

17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 150.000 X9 500.00 1.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 1.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 1.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 150.000 100.000 100.000 150.000 Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj 80.000 120.000 150.000 100.000 Cb \ Basis Bi X13 X14 X15 X16 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 -1.000 0.000 -1.000 100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X10 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X13 400.00 1.000 0.000 0.000 1.000 0.000 S 4 500.00 0.000 1.000 0.000 1.000 150.000 X9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 1.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 1.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 80.000 100.000 150.000 80.000 Zj-Cj 0.000 -20.000 0.000 -20.000

156

\Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 Cb \ Basis Bi S 1 S 2 S 3 S 4 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 -0.010 0.000 -0.010 0.000 100.000 X10 200.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.010 0.000 0.010 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 -1.000 0.000 -1.000 1.000 150.000 X9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 1.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 -45.000 0.000 -25.000 0.000 Zj-Cj -45.000 0.000 -25.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 1 A 2 A 3 A 4 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 0.010 0.000 0.010 0.000 100.000 X10 200.00 1.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 -0.010 0.000 -0.010 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 1.000 0.000 1.000 -1.000 150.000 X9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000

157

100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 45.000 0.000 25.000 0.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 5 A 6 A 7 A 8 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 100.000 X5 400.00 1.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 0.010 0.010 0.010 0.000 100.000 X10 200.00 1.000 0.000 1.000 0.000 17500.000 X3 1.00 -0.010 -0.010 -0.010 0.000 80.000 X13 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 1.000 1.000 1.000 0.000 150.000 X9 500.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 1.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X7 100.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 150.000 X15 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 145.000 175.000 125.000 100.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 9 A 10 A 11 A 12 ---------------------------------------------------------------------------- 0.000 S 2 0.00 0.000 -1.000 1000.000 0.000

158

100.000 X5 400.00 0.000 0.000 0.000 0.000 20000.000 X4 0.00 0.000 0.000 -5.000 -7.000 100.000 X10 200.00 0.000 0.000 -500.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 5.000 8.000 80.000 X13 400.00 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 S 4 500.00 -1.000 0.000 -500.000 300.000 150.000 X9 500.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X11 600.00 0.000 0.000 0.000 0.000 15000.000 X2 1.00 0.000 0.000 1.000 0.000 80.000 X7 100.00 0.000 0.000 500.000 0.000 150.000 X15 500.00 1.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 342500.000 150.000 80.000 -7500.000 0.000 Zj-Cj -M -M -M -M Final Optimal Solution Z = 342500.000 ---------------------------------------- Variable Value Reduced Cost ---------------------------------------- X1 0.000 1500.000 X2 1.000 0.000 X3 1.000 0.000 X4 0.000 0.000 X5 400.000 0.000 X6 0.000 20.000 X7 100.000 0.000 X8 0.000 0.000 X9 500.000 0.000 X10 200.000 0.000 X11 600.000 0.000 X12 0.000 0.000 X13 400.000 0.000 X14 0.000 20.000 X15 500.000 0.000 X16 0.000 20.000 ---------------------------------------- Constraint Slack/Surplus Shadow Price ---------------------------------------- C1 0.000 -45.000 C2 0.000 0.000 C3 0.000 -25.000 C4 500.000 0.000

159

---------------------------------------- Objective Coefficient Ranges ----------------------------------------------------------------------- Lower Current Upper Allowable Allowable Variables Limit Values Limit Increase Decrease ----------------------------------------------------------------------- X1 10500.000 12000.000 No limit No limit 1500.000 X2 No limit 15000.000 16500.000 1500.000 No limit X3 No limit 17500.000 19000.000 1500.000 No limit X4 18500.000 20000.000 No limit No limit 1500.000 X5 No limit 100.000 100.000 0.000 No limit X6 130.000 150.000 No limit No limit 20.000 X7 80.000 80.000 95.000 15.000 0.000 X8 120.000 120.000 No limit No limit 0.000 X9 No limit 150.000 170.000 20.000 No limit X10 85.000 100.000 100.000 0.000 15.000 X11 No limit 100.000 120.000 20.000 No limit X12 150.000 150.000 No limit No limit 0.000 X13 No limit 80.000 100.000 20.000 No limit X14 100.000 120.000 No limit No limit 20.000 X15 No limit 150.000 150.000 0.000 No limit X16 80.000 100.000 No limit No limit 20.000 Right Hand Side Ranges ----------------------------------------------------------------------- Lower Current Upper Allowable Allowable Constraints Limit Values Limit Increase Decrease ----------------------------------------------------------------------- C1 0.000 0.000 100.000 100.000 0.000 C2 No limit 0.000 0.000 0.000 No limit C3 0.000 0.000 100.000 100.000 0.000 C4 No limit 0.000 500.000 500.000 No limit C5 400.000 400.000 500.000 100.000 0.000 C6 500.000 500.000 600.000 100.000 0.000 C7 300.000 300.000 400.000 100.000 0.000 C8 0.000 600.000 600.000 0.000 600.000 C9 0.000 500.000 1000.000 500.000 500.000 C10 0.000 400.000 400.000 0.000 400.000 C11 1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 C12 0.875 1.000 1.000 0.000 0.125 ***** End of Output *****

160

Пример к разделу 4.3 Program: Linear Programming Problem Title : ugl-1 ***** Input Data ***** Min. Z = 12000X1 + 15000X2 + 17500X3 + 20000X4 + 19000X5 + 20000X6 + 9X7 + 11X8 + 10X9 + 11X10 + 10X11 + 11X12 + 100X13 + 150X14 + 80X15 + 120X16 + 150X17 + 100X18 + 120X19 + 80X20 + 100X21 + 100X22 + 150X23 + 80X24 + 120X25 + 150X26 + 100X27 + 120X28 + 80X29 + 100X30 + 100X31 + 150X32 + 80X33 + 120X34 + 150X35 + 100X36 + 120X37 + 80X38 + 100X39 Subject to C1 400X1 + 500X2 - 1X7 - 1X8 >= 0 C2 700X3 + 800X4 - 1X9 - 1X10 >= 0 C3 950X5 + 1000X6 - 1X11 - 1X12 >= 0 C4 1X1 + 1X2 = 1 C5 1X3 + 1X4 = 1 C6 1X5 + 1X6 = 1 C7 0.5X7 + 0.7X8 - 1X13 - 1X14 - 1X15 = 0 C8 0.5X7 + 0.3X8 - 1X22 - 1X23 - 1X24 = 0 C9 0.6X9 + 0.7X10 - 1X16 - 1X17 - 1X18 = 0 C10 0.4X9 + 0.3X10 - 1X25 - 1X26 - 1X27 = 0 C11 0.7X11 + 0.8X12 - 1X19 - 1X20 - 1X21 = 0 C12 0.3X11 + 0.2X12 - 1X28 - 1X29 - 1X30 = 0 C13 1X13 + 1X16 + 1X19 = 130 C14 1X14 + 1X17 + 1X20 = 180 C15 1X15 + 1X18 + 1X21 = 200 C16 1X22 + 1X25 + 1X28 = 75 C17 1X23 + 1X26 + 1X29 = 100 C18 1X24 + 1X27 + 1X30 = 125 C19 1X31 + 1X34 + 1X37 = 140 C20 1X32 + 1X35 + 1X38 = 180 C21 1X33 + 1X36 + 1X39 = 180 ***** Program Output ***** Simplex Tableau : 0 \Cj 12000.000 15000.000 17500.000 20000.000 Cb \ Basis Bi X1 X2 X3 X4 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 400.000 500.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 700.000 800.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 1.000 1.000

161

M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj M M M M \Cj 19000.000 20000.000 9.000 11.000 Cb \ Basis Bi X5 X6 X7 X8 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 -1.000 -1.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 950.000 1000.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.500 0.700

162

M A 8 0.00 0.000 0.000 0.500 0.300 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M 0.000 0.000 Zj-Cj M M -9.000 -11.000 \Cj 10.000 11.000 10.000 11.000 Cb \ Basis Bi X9 X10 X11 X12 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 -1.000 -1.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 -1.000 -1.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.600 0.700 0.000 0.000

163

M A 10 0.00 0.400 0.300 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.700 0.800 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.300 0.200 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -10.000 -11.000 -10.000 -11.000 \Cj 100.000 150.000 80.000 120.000 Cb \ Basis Bi X13 X14 X15 X16 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000

164

M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 1.000 0.000 0.000 1.000 M A 14 180.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -100.000 -150.000 -80.000 -120.000 \Cj 150.000 100.000 120.000 80.000 Cb \ Basis Bi X17 X18 X19 X20 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 -1.000 -1.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 -1.000 -1.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 1.000 0.000

165

M A 14 180.00 1.000 0.000 0.000 1.000 M A 15 200.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -150.000 -100.000 -120.000 -80.000 \Cj 100.000 100.000 150.000 80.000 Cb \ Basis Bi X21 X22 X23 X24 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 -1.000 -1.000 -1.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 1.000 0.000 0.000 0.000

166

M A 16 75.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -100.000 -100.000 -150.000 -80.000 \Cj 120.000 150.000 100.000 120.000 Cb \ Basis Bi X25 X26 X27 X28 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 -1.000 -1.000 -1.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 1.000 0.000 0.000 1.000 M A 17 100.00 0.000 1.000 0.000 0.000

167

M A 18 125.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 0.000 0.000 Zj-Cj -120.000 -150.000 -100.000 -120.000 \Cj 80.000 100.000 100.000 150.000 Cb \ Basis Bi X29 X30 X31 X32 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 -1.000 -1.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 1.000 0.000

168

M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* 0.000 0.000 M M Zj-Cj -80.000 -100.000 M M \Cj 80.000 120.000 150.000 100.000 Cb \ Basis Bi X33 X34 X35 X36 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 21 180.00 1.000 0.000 0.000 1.000

169

---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj M M M M \Cj 120.000 80.000 100.000 0.000 Cb \ Basis Bi X37 X38 X39 S 1 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 1.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M -M

170

Zj-Cj M M M -M \Cj 0.000 0.000 M M Cb \ Basis Bi S 2 S 3 A 1 A 2 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 2 0.00 -1.000 0.000 0.000 1.000 M A 3 0.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* -M -M M M Zj-Cj -M -M 0.000 0.000 \Cj M M M M

171

Cb \ Basis Bi A 3 A 4 A 5 A 6 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 7 A 8 A 9 A 10 ----------------------------------------------------------------------------

172

M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 11 A 12 A 13 A 14 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000

173

M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 15 A 16 A 17 A 18 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000

174

M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 1.000 0.000 0.000 0.000 M A 16 75.00 0.000 1.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 1.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 1.000 M A 19 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 0.000 \Cj M M M Cb \ Basis Bi A 19 A 20 A 21 ---------------------------------------------------------------------------- M A 1 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 2 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 3 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 4 1.00 0.000 0.000 0.000 M A 5 1.00 0.000 0.000 0.000 M A 6 1.00 0.000 0.000 0.000 M A 7 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 8 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 9 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 10 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 11 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 12 0.00 0.000 0.000 0.000 M A 13 130.00 0.000 0.000 0.000 M A 14 180.00 0.000 0.000 0.000 M A 15 200.00 0.000 0.000 0.000

175

M A 16 75.00 0.000 0.000 0.000 M A 17 100.00 0.000 0.000 0.000 M A 18 125.00 0.000 0.000 0.000 M A 19 140.00 1.000 0.000 0.000 M A 20 180.00 0.000 1.000 0.000 M A 21 180.00 0.000 0.000 1.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj *+M* M M M Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 Simplex Tableau : 41 \Cj 12000.000 15000.000 17500.000 20000.000 Cb \ Basis Bi X1 X2 X3 X4 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 1.000 1.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 -30.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 -100.000 0.000 S 3 540.00 0.000 -100.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 30.000 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 100.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 -70.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 70.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 -100.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000

176

80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 12000.000 13900.000 17500.000 17500.000 Zj-Cj 0.000 -1100.000 0.000 -2500.000 \Cj 19000.000 20000.000 9.000 11.000 Cb \ Basis Bi X5 X6 X7 X8 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 1.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 -50.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 1.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 1.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ----------------------------------------------------------------------------

177

Zj 170730.000 19000.000 19000.000 9.000 11.000 Zj-Cj 0.000 -1000.000 0.000 0.000 \Cj 10.000 11.000 10.000 11.000 Cb \ Basis Bi X9 X10 X11 X12 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.100 0.000 0.000 -0.100 0.000 S 2 700.00 0.143 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 -0.143 0.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.500 0.000 0.000 -0.500 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.857 1.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.043 0.000 0.000 0.100 10.000 X11 410.00 0.143 0.000 1.000 1.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 -0.100 0.000 0.000 0.100 120.000 X25 0.00 -0.143 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.100 0.000 0.000 -0.100 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 -0.500 0.000 0.000 0.500 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 9.857 11.000 10.000 11.000 Zj-Cj -0.143 0.000 0.000 0.000

178

\Cj 100.000 150.000 80.000 120.000 Cb \ Basis Bi X13 X14 X15 X16 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 1.429 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 -1.429 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 1.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 -1.429 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.000 0.429 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 1.429 80.000 X20 180.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 1.000 1.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 -0.429 120.000 X19 107.00 0.000 -1.000 0.000 1.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 100.000 60.000 80.000 118.571 Zj-Cj 0.000 -90.000 0.000 -1.429 \Cj 150.000 100.000 120.000 80.000 Cb \ Basis Bi X17 X18 X19 X20

179

---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 1.429 1.429 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 -1.429 -1.429 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 1.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 -1.429 -1.429 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.429 0.429 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 1.429 1.429 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 1.000 0.000 0.000 1.000 100.000 X13 23.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 -0.429 -0.429 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 1.000 1.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 78.571 98.571 120.000 80.000 Zj-Cj -71.429 -1.429 0.000 0.000 \Cj 100.000 100.000 150.000 80.000 Cb \ Basis Bi X21 X22 X23 X24 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000

180

17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 1.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 -1.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 -1.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 1.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 1.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 1.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 100.000 100.000 60.000 80.000 Zj-Cj 0.000 0.000 -90.000 0.000 \Cj 120.000 150.000 100.000 120.000 Cb \ Basis Bi X25 X26 X27 X28 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000

181

100.000 X22 52.00 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 -1.000 0.000 1.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 1.000 1.000 1.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 1.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 1.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 120.000 80.000 100.000 120.000 Zj-Cj 0.000 -70.000 0.000 0.000 \Cj 80.000 100.000 100.000 150.000 Cb \ Basis Bi X29 X30 X31 X32 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000

182

0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 1.000 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 1.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 1.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 1.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 80.000 100.000 100.000 80.000 Zj-Cj 0.000 0.000 0.000 -70.000 \Cj 80.000 120.000 150.000 100.000 Cb \ Basis Bi X33 X34 X35 X36 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000

183

80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 1.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 1.000 0.000 80.000 X33 180.00 1.000 0.000 0.000 1.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 80.000 100.000 80.000 80.000 Zj-Cj 0.000 -20.000 -70.000 -20.000 \Cj 120.000 80.000 100.000 0.000 Cb \ Basis Bi X37 X38 X39 S 1 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.300 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 0.000 1.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000

184

120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.000 -0.300 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 -1.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 0.700 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 -0.700 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 1.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 1.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 1.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 1.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 100.000 80.000 80.000 -19.000 Zj-Cj -20.000 0.000 -20.000 -19.000 \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 1 A 2 A 3 A 4 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 1.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 -0.300 0.000 0.000 120.000 0.000 S 2 700.00 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 -1.000 0.000 -1.000 400.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.300 0.000 0.000 -120.000 10.000 X11 410.00 1.000 0.000 0.000 -400.000

185

80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 -0.700 0.000 0.000 280.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.700 0.000 0.000 -280.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 -1.000 0.000 0.000 400.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 19.000 0.000 0.000 4400.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 5 A 6 A 7 A 8 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 1.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 -0.300 -0.300 0.000 S 2 700.00 700.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 950.000 -1.000 -1.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 -1.500 3.500 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.300 0.300 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 1.000 1.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 -0.700 -0.700

186

120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.700 0.700 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 1.500 -3.500 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 17500.000 19000.000 33.000 23.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 9 A 10 A 11 A 12 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 -0.300 0.700 -0.300 0.700 0.000 S 2 700.00 -1.429 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.429 -1.000 -1.000 -1.000 9.000 X7 285.00 -1.500 3.500 -1.500 3.500 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 1.429 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 -0.129 0.300 0.300 -0.700 10.000 X11 410.00 -0.429 1.000 1.000 1.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.300 -0.700 0.300 -0.700 120.000 X25 0.00 0.429 -1.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 -0.300 0.700 -0.300 0.700

187

80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 1.500 -3.500 1.500 -3.500 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 14.422 3.000 13.000 3.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 13 A 14 A 15 A 16 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 -0.300 -0.300 -0.300 0.700 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 9.000 X7 285.00 -1.500 -1.500 -1.500 3.500 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 1.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.300 0.300 0.300 0.300 10.000 X11 410.00 1.000 1.000 1.000 1.000 80.000 X20 180.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.300 0.300 -0.700 -0.700 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.700 -0.300 0.700 0.700 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 1.500 1.500 1.500 -3.500

188

80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 133.000 93.000 113.000 123.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M M M M Cb \ Basis Bi A 17 A 18 A 19 A 20 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.700 -0.300 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 S 3 540.00 -1.000 -1.000 0.000 0.000 9.000 X7 285.00 3.500 3.500 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 -0.700 0.300 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 1.000 1.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 -0.700 -0.700 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.700 0.700 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 1.000 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 -3.500 -3.500 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 1.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 1.000 0.000

189

80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 1.000 80.000 X33 180.00 0.000 0.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 83.000 103.000 100.000 80.000 Zj-Cj -M -M -M -M \Cj M 0.000 0.000 Cb \ Basis Bi A 21 S 2 S 3 ---------------------------------------------------------------------------- 12000.000 X1 1.00 0.000 0.000 0.000 17500.000 X3 1.00 0.000 0.000 0.000 19000.000 X5 1.00 0.000 0.000 0.000 100.000 X22 52.00 0.000 0.000 0.000 0.000 S 2 700.00 0.000 1.000 0.000 0.000 S 3 540.00 0.000 0.000 1.000 9.000 X7 285.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X15 200.00 0.000 0.000 0.000 11.000 X10 0.00 0.000 0.000 0.000 120.000 X28 23.00 0.000 0.000 0.000 10.000 X11 410.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X20 180.00 0.000 0.000 0.000 100.000 X13 23.00 0.000 0.000 0.000 120.000 X25 0.00 0.000 0.000 0.000 120.000 X19 107.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X29 100.00 0.000 0.000 0.000 11.000 X8 115.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X24 125.00 0.000 0.000 0.000 100.000 X31 140.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X38 180.00 0.000 0.000 0.000 80.000 X33 180.00 1.000 0.000 0.000 ---------------------------------------------------------------------------- Zj 170730.000 80.000 0.000 0.000 Zj-Cj -M 0.000 0.000 Final Optimal Solution Z = 170730.000 ---------------------------------------- Variable Value Reduced Cost ---------------------------------------- X1 1.000 0.000 X2 0.000 1100.000 X3 1.000 0.000 X4 0.000 2500.000 X5 1.000 0.000 X6 0.000 1000.000 X7 285.000 0.000 X8 115.000 0.000 X9 0.000 0.143 X10 0.000 0.000 X11 410.000 0.000

190

X12 0.000 0.000 X13 23.000 0.000 X14 0.000 90.000 X15 200.000 0.000 X16 0.000 1.429 X17 0.000 71.429 X18 0.000 1.429 X19 107.000 0.000 X20 180.000 0.000 X21 0.000 0.000 X22 52.000 0.000 X23 0.000 90.000 X24 125.000 0.000 X25 0.000 0.000 X26 0.000 70.000 X27 0.000 0.000 X28 23.000 0.000 X29 100.000 0.000 X30 0.000 0.000 X31 140.000 0.000 X32 0.000 70.000 X33 180.000 0.000 X34 0.000 20.000 X35 0.000 70.000 X36 0.000 20.000 X37 0.000 20.000 X38 180.000 0.000 X39 0.000 20.000 ---------------------------------------- Constraint Slack/Surplus Shadow Price ---------------------------------------- C1 0.000 -19.000 C2 700.000 0.000 C3 540.000 0.000 ---------------------------------------- Objective Coefficient Ranges ----------------------------------------------------------------------- Lower Current Upper Allowable Allowable Variables Limit Values Limit Increase Decrease ----------------------------------------------------------------------- X1 No limit 12000.000 13100.000 1100.000 No limit X2 13900.000 15000.000 No limit No limit 1100.000 X3 No limit 17500.000 20000.000 2500.000 No limit X4 17500.000 20000.000 No limit No limit 2500.000 X5 No limit 19000.000 20000.000 1000.000 No limit X6 19000.000 20000.000 No limit No limit 1000.000 X7 9.000 9.000 9.286 0.286 0.000 X8 10.714 11.000 11.000 0.000 0.286 X9 9.857 10.000 No limit No limit 0.143 X10 10.000 11.000 11.167 0.167 1.000 X11 -9.000 10.000 10.000 0.000 19.000 X12 11.000 11.000 No limit No limit 0.000 X13 100.000 100.000 100.000 0.000 0.000 X14 60.000 150.000 No limit No limit 90.000 X15 No limit 80.000 80.000 0.000 No limit X16 118.571 120.000 No limit No limit 1.429 X17 78.571 150.000 No limit No limit 71.429 X18 98.571 100.000 No limit No limit 1.429 X19 120.000 120.000 120.000 0.000 0.000

191

X20 No limit 80.000 151.429 71.429 No limit X21 100.000 100.000 No limit No limit 0.000 X22 100.000 100.000 101.429 1.429 0.000 X23 60.000 150.000 No limit No limit 90.000 X24 No limit 80.000 80.000 0.000 No limit X25 119.000 120.000 120.000 0.000 1.000 X26 80.000 150.000 No limit No limit 70.000 X27 100.000 100.000 No limit No limit 0.000 X28 56.667 120.000 120.000 0.000 63.333 X29 No limit 80.000 150.000 70.000 No limit X30 100.000 100.000 No limit No limit 0.000 X31 No limit 100.000 120.000 20.000 No limit X32 80.000 150.000 No limit No limit 70.000 X33 No limit 80.000 100.000 20.000 No limit X34 100.000 120.000 No limit No limit 20.000 X35 80.000 150.000 No limit No limit 70.000 X36 80.000 100.000 No limit No limit 20.000 X37 100.000 120.000 No limit No limit 20.000 X38 No limit 80.000 150.000 70.000 No limit X39 80.000 100.000 No limit No limit 20.000 Right Hand Side Ranges ----------------------------------------------------------------------- Lower Current Upper Allowable Allowable Constraints Limit Values Limit Increase Decrease ----------------------------------------------------------------------- C1 -76.667 0.000 32.857 32.857 76.667 C2 No limit 0.000 700.000 700.000 No limit C3 No limit 0.000 540.000 540.000 No limit C4 0.918 1.000 1.192 0.192 0.082 C5 0.000 1.000 No limit No limit 1.000 C6 0.432 1.000 No limit No limit 0.568 C7 -76.667 0.000 32.857 32.857 76.667 C8 -76.667 0.000 32.857 32.857 76.667 C9 0.000 0.000 173.333 173.333 0.000 C10 -74.286 0.000 0.000 0.000 74.286 C11 -76.667 0.000 173.333 173.333 76.667 C12 -74.286 0.000 32.857 32.857 74.286 C13 53.333 130.000 303.333 173.333 76.667 C14 103.333 180.000 353.333 173.333 76.667 C15 123.333 200.000 232.857 32.857 76.667 C16 0.714 75.000 107.857 32.857 74.286 C17 25.714 100.000 132.857 32.857 74.286 C18 48.333 125.000 157.857 32.857 76.667 C19 0.000 140.000 No limit No limit 140.000 C20 0.000 180.000 No limit No limit 180.000 C21 0.000 180.000 No limit No limit 180.000 ***** End of Output *****

192

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И КЫРГЫЗСКИЙ...

Documents