CAPITULO IX •

GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Dada una superficie de dos dimensiones (por ahora y por facilidad de visuali­zación cCllsideraremos s610 superficies bidimensionales pero al final del artí­culo ge:-..eralizaremos a superficies n-dimensionales) definida por los puntos

• :i' (i : 1, 2 ~ referidos a las coordenadas curvilínea s 2t": , si en e sa superficie 7. J 'P"L 50n dos puntos cualesquiera, nos planteamos el problem~ de encontrar

de entre todas aquellas cur_vas que yaCiendo sobre la superficie pasan por 7',

•

y P~la curva cuya longitud sea mínima, es decir menor que la de las demás cur-~

vas.

La palabra "paralelo" no se utiliza en este artículo en el sentido euclediano si-- '> no que al decir que o.os vectores( pp', G G;?' por ejemplo) que yacen sobre

una superficie y se apoyan sobre una curva (ot.. p::>r ejemplo) son paralelos lo que queremos significar es que forman el mismo ángulo con la curva de apoy%~~

"':""';, -"> por ejemplo, en el plano de esta hoja los vectores A y B son paralelos por-que forman el mismo ángulo uJ con la curva mostrada o sea con la tangente a ella en los puntos A y B.

" ,

,/," -;;-----------¿..,-~---- ----

En realidad este tipo de paralelismo solo se puede definir sobre superficies de­sarrollables, sin embargo en el entorno longitudinal de una curv-a perteneciente a cualquier superficie (no necesariamente desarrollable) se puede tomar tal su­perficie como de sarrollable pudiéndose hablar por lo tanto también en ella de paralelismo en el sentido indicado anteriormente; de este modo, la esfera no es una .superficie desarrollable pero una franja definida por una curva en ella y su entorno sí se puede considerar desarrollable por ejemplo una franja de ancho infinitesima 1 que contenga al ecuador esférico se puede considerar una super­ficie de sarrollable.

Volvamos a nuestro problema de encontrar la curva de distancia mínima entre •

•

68

dos puntos de una superficie; sea O¿ una curva cualquiera situada sobre la su-perficie dada y comprendida entre los puntos r, y 'Pz I si tomamos otra curva cualquiera ~. I también sobre la misma superficie, situada infinitamente cer­ca de OL podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos

"f de eL y los puntos p' de oL', de modo que si C5t es otro punto de ~ infinitamente cercano a ? , entonces tQ..' es el punto correspondiente sobre

• • --'9 ~I sienc:.o entonces Gt Gi' paralelo a -p pI Y por lo tanto al desplazar el punto

"P a lo largo de eL,.¡;:pl se desplaza paralelo a si mismo en el espacio (en el sentido de paralelismo indicado anteriormente) permaneciendo siempre sobre la superficie.

'P,

La longitud de los segmentos PP' ( Q a', _ _ __ ti v", - - - - ) varía al despla­zarse el punto"? sobre ex: , podemos por lo tanto considerar la longitud de es-tos segmentos como el producto de un infinitesimal E.. , constante para ~ I ,

Y la magnitud de un vector finito A en la dirección de ppl; este vector A varía (en magnitud y dirección) a lo largo de ~ como una función del parámetro de la curva pero siempre desplazándose paralelo a si mismo (semejante a como . se desplazan los peldaños de una escala en hélice para formar la superficie he­licoide desarrollable) .

En los punto s ~ y 1', -:'?

obviamente el vector A es nulo.

Ahora, si consideramos otra curva d IJ los segmentos ?P/l ( (Q Ai' ) __ 111/'; ___ ) serán iguales al producto de otro L (constante para .,¿" y según el dibujo mos­trado l:. para a(: " es mayor que <- para el' ) por la magnitud del mismo vector A definido en todo punto r de eL ; vemos así, que una vez definido un vector "A' , o propiamente hablando, un campo vectorial sobre la superficie yapoya­

do sobre ~ , se pueden encontrar las curvas eL' d....J) J _ _ __ __ a partir de o.(.. ~

tomando sobre el vector A: las distancias ~A I de modo que a los diferentes .. valores de é.. corresponden curvas diferentes cL')d...", ..... y para E:...::.o la curva

obtenida es precisamente Q/... •

f

69

Sea L la longitud de eL entre P, y 'P-¿ y L' la longitud de otra curva C( 1

entre esos dos mismos puntos; obviamente 1.'

es función de é..... y para ¿ =- o se cumple L' ~ L J podemos entonces expandir L' en serie de Taylor de la siguiente manera:

• • • ....

La longitud mínima se debe obtener si

Esta condición no es práctica Para trabajar con ella, pero si damos por supues­to que hemos encontrado la curva de mínima longitud, llamémosla o( y su lon­gitud L) y expresamos la longitud , de cualquiera otra curva infinitamente cer­cana a ella tendremos:

9-2 ) L' '" L +- - .r .!- [ ". + - t- + ......•••.• «aLJ) "2.. (OLL') I 3 (d'lLI)

.- a ! o ..z! d €,'l- o 3 '. é) O o

Esta ecuación es la misma 9-1 pero con la diferencia de que en 9-1 L es la longitud de una curva eL. de referencia cualquiera y en 9-2 L es la longi­tud mínima, entonces, la mínima longitud se obtiene colocando en 9-2 :

d L J . -=- o =--.." dE-

9-3) dL' _ - -élt. .L L "L. ~') ~) t •. ' ." .•. 21 al.) -g

•

=0

Como sabemos que L es la mínima longitud entonces ra ~ -:.. o ( L' =- L ) y por lo tanto sabiendo que U reemplazamos ¿ por cero en 9-3 obtenemos:

L ' ~ en 9-2 es mlnima pa-~ . .

es mln1ma para L=- o Sl

dL' _ (a'L\ - o a i - a E. . ) o - 'Z. I d' L') E-n 9-2 obtenemos·. I L~LI) I (9 L:* \ ...l. I (. - + .•••.•. L - L -:::. ~~ 0-+.21 a{."- Jo • ~ aE..!> o Se aco stumbra llamar primera variacion de L el tér mino €:.. ( ~ L: \ y se sim-

e>{.. ) o

boliza por ~ L resulta entonces:

9-3a) L' - L : ~L I --:;1

•

•

70

Despreciando los infinitesimales de orden mayor que el primero se deduce: , L' - L ::: eS L pero ~ L:: ~(fi) y hemos deducido que si

nima longitud se debe cumplir (~~) =- o Y por lo tanto:

así: L' _ L ~ á L -;:. O

L es la curva de mí­~ L::: o: 9-4. resulta

J

Esta condición es fundamental y veremos como a partir de ella se pueden deducir las ecuaciones diferenciales de la curva de mínima distancia; esta curva la se­guiremos llamando geodésica; la geodésica sobre una superficie cumple el mis­mo papel que la recta sobre un plano, ambas son curvas de mínima longitud so­bre sus respectivas superficies.

El significado de la ecuación L'- L ::=- á L::. O es el siguiente: de todas las curvas que pasan por P, y 1'2. la que más se parece a las curvas de su entorno es precisamente la geodésica, es decir la longitud de la geodésica menos la longitud de una cualquiera de las curvas de su entorno es menor que la longi­tud de cualquier otra curva ~ menos la longitud de una cualquiera de las cur­vas del entorno de r>I.. ~ en realidad la ecuación L' - L -:::. á L ~ o lo que nos dice es que la longitud de la geodésica es igual. a la longitud de las curvas de su entorno pero esto es solo una aproximación introducida al despreciar los tér­minos de segundo y mayor orden en 9-3a , la verdad es que la longitud mínima es la de la geodésica y difiere "muy poco" de las longitudes de las curvas de su entorno.

A partir de L' - L ::. ~ l -.:. O encontremos las ecuaciones diferenciales de la geodésica.

Sea el S el diferencial de arco medido a lo largo de la geodésica yeb' el dife­rencial medido a lo largo de otra curva del entorno ( 0<.' ) , sabemos que :

L = ('P'L d.. S . )PJ

Se debe cumplir: .&L::. o =7 ~ (P"'d.5 ;:. o )70

Ahora:

9-5 • ~ J d S ::: J J S I - f J.5 = f (d.s I - d 5) ;:: f d (S '- 5 ) - fd!!'S -•

Pero: .& J. ~ -.:. ds ' _ d5 ~ J (SI ... ~) =- d ~5 -::!:)

i1~ ~ P ..

9-5a • ~L-;. S J.S ::: lJ~~ L & dS --• 7. 1, 7,

Necesitamos la expresión para ~ Js .

,

71

Tenernos : •

9-6 • • ~(J.s)"L':. (d.~lr'- (.l~)"I.-:.. (J..s'+d..s)( d.sl_d.!i) ': (~cl.S +.J.s-t- Ó..s)(ád~ +d.5-d..s) ~(~JS-t-<d.S)(~JS) :: ~(Jj)'L+ zd.s~¡;}5:: Zd.S ~J.~ , despreCiando la

l. pequeña cantidad ( .á d.s )

Ahora:

(ds) " := d.1' el ~ l' d ~ J' =?

.á(d.s)'l.= ~(dIJ'd:~/cl.::iJ')= 2.dS,&ci5, por 9-,6 , ~ ;¿ cl~ ~d5 -= d:x¡ d ~J l, 3,·.J + :!~. dx. L & d)l.J -r g':f d:;x:J ~ rl.:::i l

Pero: •

á ~ IJ' __ ( ~ ~},) ~ XK y por lo tanto:

.

é) :lC.J •

en la última expresión lo único que se hizo fué intercambiar los índices mudos

iy~

Subs tituyendo en 9-7) y dividiendo por 2. d.5 :;:;.0."/ ,

d ::t ~' _d ;t. ~ ~.Y J' d.s -t 1-el.> ds -'- dlJ

d ;t L' el 6 .":(J' + . .

ds •

+ .L g/" el ::f: J $ x.I.' Z J d~

(Hemos utilizado acá: ~ d -xl'!: J 1 ,'- el X l.' ::: d Cx <-x L') - d 6:x L')

9-8 , •

Notemos que las dos últimas integrales son iguales ya que como d")'=- ¡" J;. - -== jJ', dI' :- ~ú; se puede intercambiar i poyj y j por i en la 3a. in-tegral resultando igual a la 2a, ; vamos a resolver esta integral; designemos la integral por 1:

•

72

integrando por partes, sea y

por lo tanto:

El primer término a la derecha se anula porque en P, y 'P1 coincide'n la geo-, . .

désica ( .xJ ) y cualquier otra curva ot' ( X J .. ~:;!J ) por lo tanto:

Ahora:

d-'2 X ~L' ~ ;iJ' d 5

d.s"

Los dos términos entre paréntesis son iguales, basta intercambiar los índices i , k y al dividir por dos nos dá precisamente la expresión de la izquierda: rea­grupando obtenernos:

•

d ~ :' el x. ~ ~ X J d .s el 5 d 5

Queda así entonces 9-8.

~ L _ J 1\ .L ,0 ~,,~" el ::iJ - P. 2 dA) d.$

PL

f.!..(.d3",.i -\- acal~r - dJ.'~_) dx~ Jx~ -r dU ~ 2x i_]

PI l' Z 2l-X ,< a.:x. <>x'¡ d~ d.5 d..$ '1.

--

Llamemos: 9 - 9 • J.- ( ,o g .j' -t- ? ~ ~ ~. - d ~L '.< ) ::: [L' 1< r J • 2 a.:rK o-=tt.. aXJ ) I

e s te término

es simétrico cuan.d:o se refiere a 1. y k Y lo llamamos símbolo de Christoffel de primera clase '.

Obtenemos entonces:

73

Según 9-4 la curva ' es una geodésica si S L ::. o por lo tanto si la an-terior integral se anula se debe anular el término entre paréntesis debido a que los términos S :z:J' son arbitrarios es decir para cada curva del entorno (ca­da una de longitud L I ) de la geodésica existen ~::i/ (l:: 'J :1..) de modo que la integral siempre se anula por lo tanto:

. .

9-10) \ Z L'

e .x • ... [,. Ji( 1'] d.sl. J

d X. 1< -d..J

==D

En esta ecuación diferencial el Índice i es un Índice mudo en el primer térmi-. -no por lo tanto hay sumatoria para i= 1,2 y en el segunda término hay sumato-ria sobre los índices mudo i, k, por lo tanto j es un índice libre y como j = 1,2 para superficies bidimensionales entonces la ecuacIón 9-10 representa dos ecuaciones una para j=i y otra para j= 2: por lo tanto las dos ecuacione s diferenciales de las geodésicas para superficies bidimensionales son las si -guientes:

j=i: ~'J ¿l..x.' +- :l..J~z..x..: + (I'JIJd.X' ~x.' +- [21,/J .,Jx,1..;dx: 1" d..5t. d.~t dj .lj dS .J.s

'::0

j=2 : 'all J2.X I + ~u. J 1 X t 1- [1 I J 2.) d x.~ J..:x.' r[2I J Z ] dxt .1. )(.1 + -'"lo

, d3 t d. oSt d.5 d.3 c::!j dJ

toD 1.) lo] d Xl c!.x~ ~ [2.2./L) d.x.l..d.x2. --o ... --, .. - • d.~

, dj .d.~ dj

La generalización a superficies n-dimensionales es inmediata y aunque no sea posible captar visualmente superficies de tres o más dimensiones sin embargo se definen en ella las geodésicas de la misma manera que para las superficies que podemos visualizar ( las bidimensionales) esto es I como las curvas de mí­nima longitud que unen dos puntos dados de la superficie; por lo tanto, la ecua­ción 9-10 esla ecuación de las geodésicas para superficies de n-dimensiones y en este caso los índices i, j, k toman los valores de 1 hasta n, re sultan­do así n ecuaciones (j = 1, ... n)

La ecuación 9-10 se puede e scribir también de otra manera. Multiplique mos a lado y lado por ¡-"J' sumando sobre j =-?

i:t qRi JZ'¿": Ji . dI'$' d - z. + j (L'~ JI) J. x.c. J. .:x::" _ o

dJ 9J.~ . dS' -

74

P 1 é q i./:. -; R. qJ'::: C; i. q 1. __ c¡>J~ ero e tensor conjugado es sim trico o sea d Q Q <J d O

(ver ecuación 8-8) y para t..'::: J )

~::l~' dxl( = o dJ dJ

q Pi C ' J r ~ Llamemo~; 9-11) (J ( t<~.3' ';:. ú: 9 ;el subíndice j no aparece en la expresión de la derecha porque en ~ 'J [ ( K) J 1 , j es índice mudo y desaparece al hacerse sumatoria sobre él.

El ténnino Ti~ se llama símbolo de Christoffel de segunda clase y se acos­tumbra también escribirlo como l t' fe J .f 'J I es simétrico en j y k

Podemos expresar los símbolos de 1 a. clase en función de los de 2a. multiplicando 9-11 a ambos lados por ~ ~~ y sumando sobre f'N\

9-12) "

= d rm ~ \ el(, ~) ;:;.?

;: á' 1\'nJ( \ l' ", 'J ~ } . ~'> ~

[ l K) 1YY11 = d 'MR ~ L'kJ Q ~ -=- ;r,....,.,fl T (1(

La ecuación de la geodésica en términos de queda así:

9-13 :

clase, • •

En esta ecuación i, k son índices mudos y varían de 1 hasta n, y ~ es el índi­ce libre por lo tanto para cada valor distinto de.1 obtenemos una ecuación re­sultando así n ecuaciones diferenciales.

Los símbolos definidos en 9-9 y 9-11 se llaman símbolos de Christoffel en me­moria del matemático alemán Erwin Bruno Christoffel (1829-1901) quien los introdujo en 1869; Christoffel utilizó la notación \ t:~ K) para su segundo sím­bolo pero hoy en día se utiliza más escrito así: r:.t

t.'~

A modo de ejemplo calculemos los símbolos de Christoffel para coordenadas cartesianas, cilindrica s y esféricas.

a) Coordenadas cartesianas

Tenemos: (c.'I(,J1 ~ ~ (

•

75

El tensor métrico referido a coordenadas cartesianas ( Ej: a del cap. 8-B )

es: 1 o o

cr 'J' -e' -o 1 o

o o 1

Como las distintas ~'J' son constantes ( sean 1. ó O ) entonces todas sus derivadas son cero y por lo tanto todos los símbolos de Christoffel son nulos.

Los símbolos de Christoffel de 2a. clase son: ). R' Ti". e. ~ J [l' ~)J-J

Por lo tanto todos son también nulos.

b) Coordenadas cilíndricas:

El tensor métrico en estas coordenadas ( ver ejemplo: b arto 8-B) es:

1 O O

o o

o o 1

Todas las derivadas de

de: d g"l.t. :::.. zy-las componentes de este tensor son nulas con excepción

(recordemos que llamamos .:x' ~ Y, x'l.:=.g. ~ x)::: .c) 'é] ;c.'

por lo tanto los únicos ( i k, j] dis tintos de cero son :

e 2.2.,IJ .. -.L 9 Y'?- ::.. - Y" - 2. C)Y'

I d y1.... "'j [ l 1, "2. J :: [1 2, l.) -::.. -:z:: -o .. ,.: ~

Esto en virtud de que, como vimos al definir a(ik, f J ' es una expresión simé­trica en i y k .

.R Los r dis tintos de cero son:

t'A

r 21).. ~'I [ Z z, 11 P ero de 8-9: --T"l't - I [ H) I J ~-'1 -

T I~ Tl~ gz.1- - J =- L 2..)1 --- ..

~" I -;:.J - - =?) - jll

I (u,2.) \ .y \ - - .. - - ~

¿r2. t y'L '('

76

c) Coordenadas esféricas: •

El tensor métrico en estas coordenadas es:

(Ver ejemplo c art. 8-3)

1 o o

o o (llamamos -x.1 ~ '<', .x."".= " I x'3::. -e-)

Las derivadas distintas de cero son:

?g.ll:: Z y'.j.kY)I.CP j

() XI

a ~.1 3. ::. 7... y7.::'~ c) C,.o.s c( d.l:.'L-

Los símbolos de 1 a. clase diferentes de cero son:

[22,11 -

'(33,21 -

(23,31 -

[33,1 J -

[12,21 -

t 31 ,3) -

a -('1. 1 _ .. _ -'f' -"2 ;])'f - •

1 ?J '("l.j~"tP =- _ y 1...5~ .L UJ5 A . - 2 ';;) 4 IJ' 'f

[ 32 3 J = l. ~ Y 1. .j ..vr.1. r/:.. .:= '< 2. .5 -'.N\ ~ ea..s"¡ , , a<P 't

_ ~ . .a""~5.v.,1..f.=. _ 'lJArr.'--p dY'"

(21 , 2) = ~ ~ '(::.. '(" ~"("

[13,3] = ~ d y1.5~~q := y.5~ .... cp d'\

Los símbolos de 2a. clase diferentes de cero son:

•

77

Ejemplo: Hayar la ecuación de las geodésicas en el plano utilizando coordena­das polares ( G- A - Hawkins: multilinear Analysis for Students in En­gineering and Sience ). Para coordenadas polares se tiene:

Sabemos Que

~11=

:x. -::. y 6d S ~ =.

J -:. y j.2.ot') -9- -:.

g ''.1":: .3 1 ~ . ~ '1 : ~yJ d :EJ'

é};L' a:x..'

.x.'CP.sx"l.::. 'j'

X. ' ..5~.x ~ :: '/ l. por lo tanto:

)

~12= t) j' d 'JI +- ~ '11. C> J 1. _ X '~..s.x. 1. j..v.o, X 1. 't ;t.' 5-<rn;t 1. c:o j X 1. =- O • ->' po -;'>X' d x"t ;;) :i..' ox1..

~21= ~ ,~ - o -

Tenemos pues el siguiente tensor ~IJ' = 1 o

y de 8-9: .. 1

~ lJ=:.

o o

Los símbolos de Christoffel son

[J.1,11 - 1. (aCJ~ +- a~n Q) CJ 11, J O - - -2 ox.' -ax' a ~.

ll1,2) 1.(~ + a {l7.L - ~ ~"') - o - -2 e x' -

O.x i o.x 1

[12, ~ - [21 ,1J - ~ ( ~ +- d ~I\ _ d ~I'l..) ;: o - -d x' a.x~ ax'

\.12,2] - (21 ,2J - ~ (?~¿~ + d 8 ~ I _ é) ~"I. _) ~ '( - -'d..:t.1 dX1- a xl.

[22,1] - ~ (.~~Il -t" d ~)1_dgZ.1.)::_, -CU::1. d X Z () x.'

[22,21 - 1. ( 3:ll.1.. +-2 éLX"

~ iltL - a ;!-P .. ) := O dXl. ax-:..

o I -'í1.

•

..

78

1"111.. = ~r·1 [\\ ... ] t ~nr."1 ,-) ~ o

l' 1 _ TI -1, _ ,1 -:.. ~II [11.,,] -\- gll"ll"2¡t]:: o

T I ~ -;:. r "l~ -: d 4 1 [ )"< I I J 1"" g "L 1. [ I 2 J 2 ] ~

r ,1"1. = d 11 [2 '2., IJ 1'" dil. [2. 2¡ 2. J ::::.. - '\

.T ~ -:: ~"'I ["2. ~, IJ T d-l.:l. [,2., 2..J =- "O

, ---.

La ecuación diferencial de la geodésica es: C)l.x.t r.~ d.xl dX K

-

(ec. 9-11):

~-'...::.-- t- t K ~ - o a.57, d.5 dj

( ~, L", J.( :. )

llamando X ~ ;:. o'x.~ .x. .; -;;>s¡, y - se obtiene:

para ..t ~ 1 .J

.. r'·· .." I ... TI.. ,- ..

..... , , I -L .x'" x I X' ~ )' X 7.. ..,."lo_ ....... T ,. X .x. ~ 41 .... ,'1. .x. + ,n. """ __ o

•• I (~)"l. ;;L - ,\~1. :=. o

para ~~-l .)

... .t. -j ~ '1. ., ", -¡--\ 1. .. 1. .. T 1 ". l' "1.., • 1. • ~ X + II:X X T .1-1.1 X xl + '1. .x 'X 'l.;- _1.'1.:x..x. ='0

.- "Z. -'- 2.. ;. ~1. X ...... y ..... --:::-o

Pero por lo tanto las dos ecuaciones diferencia-les son:

a) :.r- - ~ ( .e ) z. =- o

b)

1:, 1( y'" ~

llamemos

.. ." . .. e- +- 3::..., -e ~ o

y .., "\...e. +- 't. ..,.. y.e. ;::. o : "'>

\ V:::. r •

. ;> e ~ .4 ::: A V-z.

Pero: y=- d. ~ d.-bl-, ;:: 9- v: ir _ ir eL, (~\ = _ '1-7. el v, A V 'Z.:: ~ A .,!y d-e. d.s de - d-e V) d-e- de-

Ahora: Y.;::. $... (- A ~) = _ A ~'2~ -é ::.. _ 1>;1.. \)'7. C:P'v" d..s ele- d-t71., d-e"l.

79

.. " Reemplazando "'S -f7 en a) resulta:

_ A'Z. V 1.~'I.1,( _..!.... A-;'V 4 = o ~ d 2 't + V ::. o de-~ V d-e &.

La solución de esta ecuación es:

V::. k ~.s (9- oL) _;;>

"r = a. .j.~~ (e - bL) Esta es 13 ecuación de la curva geodésica en el plano escrita en coordenadas polares y representa una recta, siendo a la distancia perpendicular del ori-gen a la recta geodésica y Ol. el áng~'lo entre a y el eje horizontal y I •

11.

~--~~-------------------yl

Si querernos encontrar la geodésica que pasa por dos pun tos dados P, ('>(" e,) y p~ ('<""7.) Gl, ) reemplazamos en la ecuación de la geodésica obteniendo:

y

y, ~ a.. .se.~ (e 1-""'- ) Yt.::. CL 5.¿c (-91. - o.l)

S.u:. (e, _",q _ yo 1, ="/ Ca S (-8'Z,. - c.lt S.e( (-9z.-oL) - Y'a. Ca.5 (&,-bl.)

ce> S.f) z Cd S 6t T 5 ~ 9'l... 5.ll.M oL

ea.s 6', Cas ó4 -t- .5.a..-., ~ J .5~ c{.. --

- y-; --n

o¿ :: a. y~ -t:-~ '\2 Go.s el. - '(", e.o.5t7,

\\ ~~ tJ I - 'f""l...5..qm-ez..

a. := - - , con y a determinado

80

Podríamos tratar de encontrar más geodésicas, por ejemplo: las geodésicas sobre una esfera son círculos máximos y sobre un cilindro circular son héli­ces circulares (si los puntos ~ ~ 'P-c. están sobre la generatriz.)la geodésica es una hélice de paso infinito es to es, la misma generatriz y si están so­bre un círculo paralelo a la base, la geodésica es el arco de este círculo en­tre esos dos puntos, es decir una hélice de paso cero) •

-TRANSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Nos proponernos en esta sección encontrar la ley de transformación de los sím­bolos de Christbffel cuando pasarnos de un si stema coordenado cualquiera

ji ( i =1,2 ... n), no necesariamente cartesiano,a otro sistema coordena­do cualquiera X t

'; estas leyes de transformación nos mostrarán un hecho im­portante: que los símbolos de Christoffel en general no son tensores, es decir sus componentes no se transforman como se transforman la s componentes de los tensores.

• En los sistemas coordenados x.~ y Jt: la ecuación 9-13 de las geodésicas resulta ser:

9-14 J';"'- + TY' d J"'" • d'i:' o . -- -

d .s-¡ 'j ,...., "'" d5 d5 S dX1' J. X. 'El-

9-15 d 1..x.i h~ - o + , ..,

l. d.5 dS d..s ,.

En la parte inferior de los símbolos de Christoffel de 2a. clase hemos colo­cado la letra que designa el sistema coordenado con respecto al cual está cal­culado el símbolo.

Ahora: d:c .d .:r: J x-f' -? - . , .-

dj ax1" d,5 . (~!1:-)

d"llY- ~'f; d 1.,X,i' d xf' d _dX~ - + • • - ds - . -d..5 'l.. a"X 1" d.P

dJ~ ~LX: + a1J'~_ --a:(1'dX~ a.x1" d...s -c.

Reemplazando en 9-14 obtenemos:

?J 'j'Y'" d'Z X l' (el J Y'"

;;)11' . dS'" 1- ·d~"" ax'4 -r

\ I yo

..L.. ........ M

j

d.s

d.x~ - ~

d,j

cl1~ , d.s

. el x: _ o d5

Multiplicando por

axS d '1-(" ,d'Z.x.1' +

é) 1" é>X1' d5~

Pero cXs :aj~ • • C}1'<" aX"p

81

y sumando sobre yo resulta:

- ~J Y vale 1 para l' ;: 5 '"-"-' - 'P

¿2.x5 ( 5'X' a 7.1."" . r< dXS d1: ?J1"" ) el .x.-p d. ::( !l

.. ==- 'O ... + ""'" 'Y\ él '),;.

• •

;;)'j~ az1' <>x~ '0;(1' C);.rq. <~U cl...5 cl.,51. .J .

. Comparando esta expresión con 9-15 obtenemos:

9-16 - d x.s ~ :1': é) j rvl - . - aJ't' ax1' ~x.~

Como vemos T i'~ en general no se transforma (sus componentes) como en tensor ya que" sobra" el término d:t.s Cl't '{.,- ;sólo cuando este término es nu-

~1Y ~x~aÁ~ . lo ( es decir cuando 'J t'J X J' están relacionados así: 'j t' ~ ej '-- .:!J siendo LJe. constantes; en este caso decimos que la transformación de coor-

o

denadas de las ~L' a las X J Y viceversa es una transformación afín) los sím-bolos de Christoffel se pueden considerar como tensores mixtos contravarian­tes de 1 er. Orden y covariante de 20. Orden como se aprecia en 9-16.

Veamos ahora como se transforman los símbolos de 2 a. Clase.

De 9-11 tenemos: J.l< ....... fW\ y de 9-12

;¡

«J 'l"J!. ::r "C'" ~otando que :i ~ N'l\M

• •

Hemos colocado el subíndice y en el extremo inferior derecho del símbolo de -la. clase y en la parte inferior de los tensores métricos y conjugado para ex-presar el hecho de que en este caso ellos están referidos al sistema coordenado

J'c.' ; en forma similar, para el sistema ;:¿ l' las dos ecuaciones anteriores que-dan así: .

qS~ ~.s

<r [-rq)jJx.~-L1'~ x ~ 5

[ f fj.,j Jx = 'Jji T 1'~ x x

•

Reemplazando en 9-16 se obtiene:

~~i '_ G)::.1 dj~ d '1 M

~ [fl4-,JJ~ - er" a~? 3X~

82

Multiplicando ambos lados de la ecuación por . ~ St: :

~

_ d;:¿ ~ 1"""" ~ '1 r'f\ t? -y'~ - ~xj <) < 1-(" - é) J" o.x:f d;~ f 1st: L """""/~J) -t ].s't a 'lV ~xi'o:t:~

,

[1'~1 JJ~ ~SJ ~j-t x x

pero y vale 1 para t= j -"7

En la sección 8-B) vimos que 'l1J' son las componentes covariantes del tensor métrico, por lo tanto al cambiar de coordenadas Ji a las XL' se transforman según la ley doblemente covariante:

gJJ' ~ d J~ ~ ~ dX' a:xJ'

Reemplazando resulta:

_ ax~ a~,: _ F

d'jY' a.x f

Esta es la ley de transformación de los símbolos de Christoffel de la, Clase; vemos así que ( tyV\ f't'\) Jt J no se transforma como tensor; solo si la trans­formación e s afín ( 'p' = (i L :xJ' ~ (i e : c-r.r¿) [fVY\ IV\ • .2. J e s tensor I un ten­sor covariante de tercer orden como se aprecia en 9-17.

Relación entre los Vectores base (directos y recíprocos) y los símbolos de Christoffel.

En 8-6) tenemos:

Los ~IJ son en general funciones de las coordenadas curvilíneas lo tanto:

por

,

83

9-18) •

En forma similar:

9-19) d ~I'/(, ~ é)~ • ftl.. 1-

21:x./ ;:;:XJ y

9-2Ó)

--;. ~

Ahora: 'J L' : 4.,

9-23)

(ver cap, 3) por lo tanto: ex"

aX t '

Sumando 9-19 ) con 9-20) y restándole 9-18) se obtiene;

d ~ ('J( a 91'1< a 3L'( --f!'

- ---? a {jt' --?

+ 3K + a f[1(_ ' ~ (' - -• -. - , , , ,

a:xJ' c>x( CJ:x K • é);x:.i a.xJ -=-" .-:-Y ---.., a gK -- -y

t- ~i - d ~c.' --9 a á'J ~j' . d L' •• -az<' • , , •

dX- ox k

Pero de 9-23):

--?

l- ~ dJ -;;> ,gl< ,;):xJ

~ ~ ri --:I'

~ :::. ~ ) é)QI<. -;: C> ;J'. a .:( 1( e )( t: ;;).::fJ' a...x. K

por lo tanto:

a:x. ~'

-? S t'K. +- ~ gjl<,.

0)(.1· -a 5'L' -~. '

é)xJ

9-24)

~ - -:?

_ '9 g-D: ;:: ,C) ~ L: . ~" + ? j ( . o X a< ;}:xJ a..:xJ

( éJ CJ··~ +- a dJK _.C) ~¡'J'_ \ C). :xi é>X L' d :::c. H' )

y de 9.9 ->

84

-7

La relación entre los vectores ba'se ~ L'

Clase se obtiene de la siguiente manera: y los símbolos de Christoffel de 2a.

De la ecuación 9-24 si llamamos resulta:

-..., El vector .b .. -Clproca 5 t'

, como todo vector, se puede expresar en función de la base re­esto es:

--:--? A J -;¡ ....... --.., K -h ::. ~m, d ~ o¿K ca •

(m, k: índices mudos)

Sustituyendo se obtiene:

pero (ver 3-7a)

pero

por lo tanto:

Ahora: -- (ver eco 5~16 d pago 65)

; utilizando 9-1) concluimos:

; 9-25

En forma completamente similar se puede deducir que:

: 9-26