˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ %...

34
!" # $ > % π ω & = ’% ( ) *! !" + + % # + , - . !) + ,! + + + + = $ $ = - = + + $ % # % # , = + $ + /% + !" + !" + - + - = = % # % # % # & + π ω - ! 0 % # % # $ $ = 1 + + % # % # % # ω ω - - + = , ! !! - = = = = + $ % # % # % %# # ω +∞ =$ % # +∞ -∞ = π & % # #2 . .%

Upload: vuongkhanh

Post on 20-Nov-2018

225 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ���������

������������ �����

����������������������� �� →�� ��������� ���������������!������"# $>� %

�������

πω &=

'%(�)����

*�����!��

��� �� →�� �����������!������"��������� ��+

'������ ������� �+��

�����

�%#

����������������� �∈� +

,����������

���-�������.�����!�)��������������������+

,�!�����������

��� ����++

++=��

��

�����

$

$

��� ��� =−=++ ���

��

�����������

$%#%#

,�������������� �� =+ ���

���

$+

/%�������������������������������+

��� �� →�� �����������!������"��������� ��+

• ��������������!���"���

���� �∈� ������� ��+ −+ − ==��

���

���

���

� �����

�����

� %#

%#

%#&

+

πω

• ������������������

�-���������������!�������� �� �0

%#%#� $$ ���� =∈∀ �

1����� ≥� � ���

���

�� ����� ++ %#%#%#� ωω −−+=∈∀ �

,������ ��������!���!!��������������� �∈� ����

��−==

==�

��

� ������+

$

%#%#%%##ω

'���������

�����������������������������������������+∞

=$%#

� �� ����� �+∞

−∞=�

��

� �π&

%#

#2�����������.�����.�����%

����������� ���������� �����

Page 2: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&�����

• ���!��������!���� ���

������ %#%# $$ ��� = �!�)�������+

1����� ≥� � �+

��

���

�=��

�� ��

����

���

+&���%#

&%#

π� �

+��

���

�=��

�� ��

����

���

+&���%#

&%#

π

• 3��������

*�����!��

��� %#%# $$ ��� =

���� ≥� ����

%+���#%#%+���#%#%#%#� ++ ����������� ��

���

���

� ωωωω +=+∈∀ −−�

1����� %#%#%# ���� ��� −+= � %#%#%# ������ ��� −−=

�� %%#%##&

%# ������ ��� −= � %%#%##

&

%# ������ ��� +=−

,�!�����������

4��������-����������������������������!����������+

'�������������������������������

�+∞

=++

$ %%+���#%#%+���#%##�

�� ��������� ωω

�% )!������

����������� �� →�� �����������!������"��������� ��+

(������

2���)!�����������������.�����������������������

*�����!��

#% ����������������� �∈$� � �� ∈∈∀ %#%�#5� ����� ��+

�� %#%#� ��� �� −=∈∀ �

#&% �������������� $%#� =≥∀ ��� �

1� �= &

$$ %#

&%#

�����

�� ������� ≥� � �= &

$%+���#%#

�%#

�������

��� ω +

������!��������� $%#�$ =≥∀ ��� �

1� �=≥∀ &

$%+���#%#

�%#�

�������

��� � ω

,�!�����������

2����!����������������+���������"��!��

����������� %+���#%# ����� ω� ����!��������� $%# =���

1� %+���#%# ����� ω� ����������������� ≥� �

��� ===−

+&&

&$

%+���#%#�

%+���#%#&

%+���#%#&

%#��

�������

�������

�������

���

��

�� ωωω

�-�����!6!������������!�����+

*�����!������������������������-�������.��

��������� �� →�� ��������� ��� � ���!������"����������+

Page 3: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����������

������

��

−++=+→

�����%%#7%#7#��!&

������.�8�������%#7

%#

$������

����

��

+

'�������������������!������"���������� ��������

%#+%#� ����� �� ω=∈∀ �

'����!����������������� %#%7# ���� �� = # %7# ���= ����������.�8��%

3������

��!!������������� � ���!������"���������!���9��������9������������

�����+

,�!�����������

#% ������������� � �

'���� 7�� = ����

[ ]%#+

%#%#

%#

%#7

%7#$

+

$

$

+

$

+

���

�������

���

�����

��������

����

ω

ω ωωω

=

−−== ��−

=

−−

�����

#&% ����� � ���!������"�

��� �∈� ��� ��������������������������������+

�� ���� ������ � +=<<= +++$ ��� ������ �0 � �-��� �.��������!��� ���

����.�8��+

'���� ���−

=

−+ − +==

$

++

%#%#%#+�

�����

���

����������ωω

:/� ;�<= +�� ��� ����������� � ������������������ [ ]� +�� �� ����������!������

�� �� +�� +

��!!� ;�<= +�� ��� ��>������.�� ( )′+ ;�<= �� ��� ���������6����� �� ���� +�� �������

������-�����������������������

[ ] %#++%#%#%#+

$

+

$

$

+

�������������� �

����

����

ωω ωω =+= ���−

=

−−

=

− +

,-�0����������+

,%2�!!���3��!���?2�8�����

*�����!��

� [ ] �→�� �$� ��������������!������"������ $%#��!$

+ =�±∞→

����

����� ω

�����������

����������������!������"����������� �������� $%#��! =±∞→

���

,�!�����������

,�@9.�+

Page 4: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����������

1%1"�!���

��� �� →�� π& �������� ������������ [ ]&

%#�&�$�

���−=∈∀ ππ

A����������������������������B

1�����������.���������������������������������!!�+

&

π

π π&

���������

≡≡/

=;&=$��$

;&=$��%#%#

C

ππ

�����

'���� �C����!�������� �

C���������!6!�����������������������+

,�������� ���������������� �∈� +

��� π&=� ����� =ω

1� ��−==

ππ πππ

&

$

&

$%+���#

&

%+���#%#

%# ����

����������

�������������������������������������

���

�����

������

πππ

πππ

ππ

=+=

− �

���

� −−==

&&

%+���#&

&%+���#%#+

$

&

$

&

$ �������

,����

��� �

%#5� =∈∀ �

1� �+∞

==

+���%#

� �

����

�������� %# �� �

� $%#� =∈ ��� �π

� �π∉� �

��� �−=

$

���

��� �∈� +����

���

����

− →��

����

�−

−=

���

����

�−

−=�

���

�=

=

��

�� �

��

+∞→

=

−−

=

$

$

$

$

+

$

4!

4!

%#

4!4!

%���#%#

���

���

����

���

�������

��

��

����

��

����

��

���

����

�0 $

$→

+≤

−≤ � �

���

��

��

� ��.������ �� [ ] ��

���

≤−

∈∀

��$

Page 5: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����D�����

1����������&

%���&��#

&

$

$

��

����

����

�� −+=−

−=− �� −

π

,��� %#%%## ������� → +∞→ ���� ] [π&�$∈�

����������������������'%1��������������������������

π&�������� ���

�� ���� π&� �-����!8�� ��� ������������ �� � ���� � ��������� �� π& �

������� ���+

• ���������*�����!��

π&� ����������?����8���� %�# ��� !������ ×⋅+ ��

3�!�� ���

�������������������������.����������� π&� �

���� π&� ��� ∈ ������� �� ∗ �-���������������������

� −=∗∈∀π

π&

$%#%#

&

%%##� ����������� �

�� � .� �� ∗ ��� ��� ��� �� ��!�������� �������� 8���������� ��!!�����.�����������.����� π&� +

• ����������������*�����!��

2-����������� �=><∈π

π π&

$

&

& %#%#&

�%�# ����������� � ��� �� ������� ��������

��� π&�

(��� π&� �-��������!�������������!�&��������9�����������������+

/%,���)���!������������"

���� �∈� �����������-����������� � ������

� �� +%#� =∈∀ �

���� �∈� � %���#%#� ���� � =∈∀ �

1����� ≥� � %���#%#� ����� � =∈∀ �

'������������������������������������������� π&� +

2���!�����∈�� %# �����������!���

1� 5%#%#�� ∈∈ ∪ ���� � ����������������.��

&

&&==≥∀ �� �� ��

&$ =

1�������

��

������ �� �

&

$

++

&

δπ

π=�

− ���� �∈���

1����� ≥� �&

%#���

&

&

$

&&

&== �

π

���

Page 6: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����E�����

�%���)�F!���������!���� ���

����������

2����!������∈�� %# ��

5

%�#�

∈∈

���� � ������8���+

���� �∈� ���� %�$��#G���%�#G��� ������� ��� ≤≤≤≤=≤

,�!�����������

2����!�����������8�������������������������.�������-������+

2-�������������������!�������������!�����+

����������� %�#G��� ��� �� ≤= ��� ��∈

=�

���

,����������

H����!�������-����������)�F!��������!���� ��+

� { }$I��∈ ��������������������������������������� �� ���∈ +

*�����!��

������������������� π&� ����������� π&� �����5

%�#�

∈∈

���� �

,� ������∈�� %# ��� ��� 8��� ��������!��� �� �� ��

5

%�#�

∈∈

���� � ��� 8���

�����������+

�� � ���� �� ������ �� ������������ �� π&� #��� ���� 9 ���� �� �������� ��

��!���������!������&%� π&$$ +++ ���� ⊂⊂⊂= �

1"�!�����

� :�)����,���������

���� �∈� ������� �

� �� ∈= �−=

���!����%&<���#

&

&���

%#�&I�

��

��� �

��

���

� +

=∈∀ �� π

1� &%#�& +=∈∀ ���� ��π

,�!�����������

� �� π&I∈� �

&&

&

&

&&

&

%#%#%&#%#

%&#+

&

$

++

%#

���� ��

������

��

������

��

������

������

��

−−=

−−=

−−==

++−

++−

+−

=

− �

� :�)������@���

���������� �∈� � ��

� ��

��� ∈

+++=

+++$ +

���!���� $���

���

%#�&I

&

&

&

≥���

����

+=∈∀

+

����

��� π

1� %#�& +=∈∀ ���� ��π

Page 7: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����J�����

,�!�����������

� �π&∈� � %%&#+++�#

%# ++++

+= ��

��� �� �� !����� ��� ���������� ��

&%#%%&#+++�# +=++++ �� ��-�0�-�"��������+

�������

��

�=+=+ ��

=

+

=

� ��

��

� ���

$ &

%#

$ &

&

���4!

���

%���#%#%#

&

1�&

&&

&&

%#

$

%#

&���

���

���&

%%���##

���&

4!4!%#���%# &

��

����

� �

��

���

���

++

=

+ =+−=���

����

−−=�

���

�=+ �

,-�0�����!���+

,%4����������������!���� ��������������������

*�����!��

��� π&�� ∈ +�������� �∈� � %# ��� ��������@����������������������� �� +

1�������������&

&

&&

&

&

&

&

&%#%#%#%# ���������� �

�� −+=−+= �−=

,�!�����������

4��� π&=� �� =ω +

����������� �∈� � ><== �− ������ �

���

� �%#&

%#

&

$

π

,��� ��−=−=

><==�

� ���� �%#%#

��!!�{ }� ≤� ������8�����������!����� �� � %# ��� ���8��������@������

�������������������

,� ����� %# ��� �− �� %# ��� ���� ����������"� ���� �-����� �� ������!� ��

�)��������&

&

&

&

&

&%#%# ������ �� −+=

1���!!������� �−=

=�

� ��� %#%# �0 { }� ≤� �����������!�������8���

�−=

=�

� ���&&

&%#%# +

�����������

�������� π&�� ∈ �����!�����∈�� � %%## ������������!!�8����7����9����� ����

����������!��������&&%#%# �� �� −+ ���.�����������-�����������/������

�� =≤+++∞

=−

π

π&

$

&&

&

&&&

$ %#&

%#%#%# ��������

��

#��.���� �-��)��������������%

,�!�����������

,��������������!�+

Page 8: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����K�����

1%H�����-����)���������������

• *�����!�#�����.����������!�����,��������%� ��� �� →�� � � ���!������"����������� π& �������� ��+

'��������������������������.�������!���!���.������7����9������

�������� �∈� � %#%#��!+

����

��

=�−=+∞→

������!�����∈�� � %%## �����!!�8��

#�7����9����� ��������������!�������� %#%# �� �� −+ ���.����%

,�!�����������

2���!�����∈�� � %%## �����!!�8��+

1�������

��� �� →�� �����������

���� �∈� �����������.�8������ %#7%# ���� =

����� %%#7%#7#&

%# ������ �� +=

:/���!!���������������������� � ���!������"� �� 7 �� �� 7 �"������������

�����+

��� %#+%#� ����� �� =∈∀ � #��@9.�%

,������� ≥� �

( )

��

���

� +++≤

+=+

−−

&

&

&

&%#

%#

&

%#%#

%#%#

��

��

���

��

��

����

# %#�� &&

& ������ +≤∈∀ � %

3����9!������ ���-�����������/������-����� ��9�# ���-������ �����%�

�������� �∈� � �−=

=�

� ��� %#%# .������ $%#%%##%%##&

&

$=−�

π

�������

�� �����+

1������� � ��−=

−=�

��

�� ������������ππ

π&

$

+&

$%#%#%#%%##

&

1� $%%##%#%#

%#&

&

$

%#&

&

$

&

$

+ =−=×

×

−−���

�� ��� ��������

� �

� ���

���������

π

π

π

ππ

,-�0

��

��

−=

+−=

+−=

��

��

������������

��������������

&

&

$

&

$

&

$

&

&

$

&&

$

&

%#

%%##&

%%##%#

&

%%##%%##%#&

%#

&

ππ

ππ

ππ

ππ

���� ����� ��

,�������!�������8�����!!�8��������������-���������+

Page 9: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����������

(�������!�������������!����

2�!!��

�������� �∈� �� �∈� � � −=∗=π

π&

$%#%#

&

%%##%%## ������������� ���

1�������

�� �

� ��

+

++

−=

−=

+ −

−=

−=

−==

����

��==

π

ππ

π

π

ππ

π

&

&&%#

&

%#%#&

%#%#&

%#

&

%#&

%#%%##

��

��

���

� ��

� ��

� �

�������

�����������

��������

'������������� �∈� �� �∈� �

%#%#%#&

%#%%## �������������� �� −−=− �−

π

ππ

��� %#&

&

$=�

π

���

,��� �− −+=−π

ππ�������������� �� %%#%#%##

&

%#%%##

1������ �− −−−=−π

ππ�������������� �� %%#%#%##

&

%#%%##

(�����!!� �� ��������

+=

−−+++=

−−++=−

π

π

π

π

π

π

ϕπ

π

π

�����

������������

�����������������

��

%#%%���##�

%%#&%#%##���

%%���##

%%#&%#%#%##�

%#%%##

&

&

&

�0

=−

≠−−++=

$��%%#7%#7#&

$�����

%#&%#%#

%#&

�����

���������

��

��ϕ

'����� [ ] �→− ππϕ ��� �����������#&

$&C��� �

→%

1��-���������!!���3��!���2�8������ $%#��! =�−±∞→

π

πλ

λϕ ��� �

��

,��� $%#%%##��! =−+∞→

�������

• *�����!�����@��#L���?������!!�%�:/� �� �"���� ������������ �� →�� ���������� π& �������� ��� ������ �� ��

����������!�������� %$%## �����!��+#.�����!���!����9������������%

*�����!��

���� π&�� ∈ � �� ����� �� ���!� ������� �=+

=�

� ���

�$

%#

%#σ ���.����

������!�!�������.����+

Page 10: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����$�����

2�!!��

�������� π&�� ∈ �� �∈� � ��� �� ∗=%#σ +

1������� ���

���

���

��

� ∗��

���

+=∗

+=

+= ���

=== $$$

%#

%#σ

�������� �∈� ����������� �� %#&

=�−π

ππ����� �

��

−−

−−=

−−=−

π

π

π

π

π

π

π

ππσ

���������

�����������������

���

%#%%#%##&

%#%#&

%#%#

&

%#%%##

�������������!�����������������������!�ω ��������� $≥δ ������� { }δδω ≤−−= "�"��� �%#%#%# +

��!!�����8���������������� π& �������� ���ω ��������������������$+'�����ω .������ $%#��!

$=

→δω

δ+

���δ ��� �� πδ <≤$ +

'������������ �∈� �

��

−−+

−−+−−≤−−

−−

π

δ

δ

π

δ

δ

π

ππσ

���������

����������������������

���

%#%#%#&

%#%#%#&

%#%#%#

&

%#%%##

(��� �� ���������.�#���-�.���.�������������������"��������%

���������!����������������!!� δ≤� ���� %#%#%# δω≤−− �����

��������������∞

≤−− ������ &%#%#

,����������� �∈� �

%#���%#

&%#

%#���

%#���

%#%#

%#���

%#���

%#���

%#���

%#

%#%#&

%#%#%#%#&

%#%%##

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&

δδω

δδπδω

π

δωπ

πδω

πσ

π

δ

δ

π

π

δ

δ

π

π

π

π

π

δ

δ

π

δ

δ

++≤

���

����

�+

++≤

���

����

�+

++

����

�� ++≤−

−∞

+−

+∞

−∞

��

��

���

�����

���

���

����

���������

��������

��

����

�����

��!!��-���.������� ���� δ ��� �� πδ <≤$ �� ���� �∈� ���������������<−= �δ

1������ $%#���%#

&%#%#

&

&

�<�<

→+

+≤− +∞→∞−

∞ − ����

���� ωσ

Page 11: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ���������

�%*�����!��������.��

*�����!��

���� ���� ������ %�# �� �-���!���� �� π&� � �� ��!�����∈��� �� %%#%## ���

��!!�8������� ><== ��+

�����������

��

�� �%#%#&

%#%#

π�

�7����9����� �� ><=�−=+∞→

�����

�%#%#��!

1������������� �� ==∈

π

π&

$

&&

&

&%#

&

%# ������

3�!�� ��#L���������!!�%�

���#��������������8������� %# �� ������������������#�����-���������%

����������������#����!�����������+���� #$ ∈ ������������ �� ��������

���@������������������� %#$���

��$��� �� +

�������� �∈� ����������&&&%#%# $�$$�$

�� �� −+=

1�������� ��.��������

#% &&

%#��! $$����

=+∞→

#��������������.��%

#&% $%#��!&

=−+∞→

$�$���

#�% %$ ∈ �0 ��∈

=�

��%

1�������

%#%&# ⇔ ����������-����������)�������+

%�#%&# � ��� $%# →− $�$��

������ $$����

=+∞→

%#��!

1� %�$�� ���⊂∈∈∀ %#�� +,���$�����!����-���������-���!������%�

���������������9%+

%&#%�# � �

� %$ ∈ �������������� $>ε ����"���� %�∈ ��� �� ε≤− �$

,������������-����� �� ������� �� ���� �∈�

'���� ε≤−≤− �$$�$��%#

��� ( )�∈

−�

� $�$�%# ������������������ +⊂ �� �� +

,��� ε≤−≥∀ %#� $�$����

��� ��!���������!���.�����+

�� .��� �� ���� �� �-������� �� �����.�� ��� .���� ���� ���� #$ ∈ �� ��

�����!����� #% = +

*�����!��

2-������������������� π&� ����∞��

&+

,�!������������

���� π&�� ∈ � �� ����� %%#+++%##

%# $ ����

�� �� ++

+=σ ���.����������!�!���

����.����+

Page 12: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����&�����

��!!�������� %# ��σ ���������� ����������� ��������������� π&� ����

∞+���� π&��∈ ����������

∞≤ ��

&

,��� %# ��σ ���������.��������&��������������������� π&� ����

&+

'�����������

��� π&�� ∈ +�������� �∈� � �� �� ∈%#σ +

,���&&%#%�#%# �������� ��� σ−≤=−

���� $%#��!&

=−+∞→

��� ��

,-�0�-��������������.���

( ) &

&

&

&

&

&

&

&

&%#��!%#��!%#��! �������� �

��

=−−==+∞→+∞→−=+∞→ �

��������"����������

����� π&� ��� ∈ +

�������� �∈� ���� ( )&&

& %#%#%#%# ���� ���� +≤

,���������������!�������� %#%# �� �� ������������!�������� %#%# �� �� −−

���.�������8����!���+

������������!!��

���

��

��

−=−=

−=−=

=><=

><=><=><

����

�������

%#%#�%#

�%#%#�%#�

,-�0 $%#%#�%#%#�&&

→−≤>−<=−>< +∞→−=� ���

������������

������ ����� ��������!�

����������� �� →�� ��������� ��������������!������"+

'%,�.�������������������������

*�����!��

4��"���������������� ������������ ���∈�� �� %%$%### ��.����+

2-����!8�� �� ������������ ��� !6!� ��� ������������ ����!8��8�� �-��.�����

��������� π&� ����∞+

,�!�����������

%�# & ∞π� ��� ��� ����8�� ��/����� #������������������� π& �������� �����

8�����%+����������������������!����������� �∈=∈ %$%##%#� & ���&��& ��� �π +

1����������������)����,��������#����%���������!����

�� −−=−==

π

π

π

π ππ���������������& ���� %#%#

&

%#%#

&

%$%##%#

Page 13: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����������

'�����& ��������������� ∞

�� �� ==−

ππ

π ππ $%#

%#

&

��������& ���

1��������������������� �& ����!�@��������������!������������.������M����

�-�������� �� �������� ��� �������� �������� ������� ��� .������ ± �� �)��� ��!6!�

����� ���� � �� �� ��� �!�����8��+ ���� �8����� �-�������� �� ����� ��� ����� ��

����������������������������!������"�∈ � %# �)�����!6!������ ��

�� ��.�����

± ���������.�����������N�������� #����!8������%+'������������-�������9 ε

������������ $>ε ��������-�������+

# �=π

π $%#

����& �� �-������������������2�8�����%

(�������!��������� �� �& ����.��� ∞+ ���������.��� ∞+ �

��� ���+

=+

≥+

=πππ

πππ%#

$$

&

$&

&

& ���&%%���##&

���

%%���## �

�� ���

���

����

��&

1����� +∞→+

≥+

≥≥ �����−

=

=

+−

=

+

$&

$

%#

$

%#

%#

���&���& �

��

���

�&

πππππ

π

π

π+

������� �����������������!���/�����? ���������

��!!� π&� �����!��������∞���

�∈�� �& %%## �����8������������� π&�� ∈ �

������∈��& %# �����������8�������� ���-�����������+

4� �"���� ���� π&�� ∈ ����� ���∈�� �� %%$%### ��� ��� 8������ �� ��� �9 ���

���.�������+

A����9������������-����!8������������������������������!6!�������!�

��/�����? ��������+

/%2��������!����,��������

*�����!�#���.���������!���%�

��� �� →�� ��������� ���� � ���!������"+

'���� �� ����� �� ������� �+∞

=

−−++

++

$ %#%#�

���

���

� ��ωω ���.���� ��!���!���

����.��� �� →�� �����������

����������������� %#%# ���� =

����� %%#%##&

%# −+ += ������

3�!�� ���

�������������� �� = +

������������!���� �� � ��� 9 ����� �)!���� ���� �7����9����� �� �� ��������� �� �

%%#%##&

%# −+ += ������ ������ %# ��� ���.������!���!���.����+

*�����!�� ��� ���!6!���)��������� �������� ���� �������������� �����.��������� ��

�����������!���+

Page 14: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����������

,�!�����������

��� ������!��� �� .����8�� ������� �� ��!��� �� ��� ��������� �� 9 π& �

������� ���

��� �� →�� ��������� �������������!������"+

'����������������������!�����.����8�� �� +ω= �

%#%#&

%#

%#

&

$

+

$

+ ���������

� �

�����

���

� === ��−− π

ωω

π

�0 �� →�� ������������!������" π& �������� ����������������

��

���

�=∈∀π&

%#���

���� �

���� π&=� ������"��!�������!������@9.�+���������!����

���������������!����������� %%## ���� �

��

−++=

++−=

−=−

π

ππ

π

π

π

ππ

π

$

$$

%#%%#%##&

%#%#&

%#%#

&

%#%#&

%%##

����������

��������������

����������

��

��

,���

+=

−−+−+=+− −+−+

π

π

ϕπ

π

$&

$&

%%���##%#&

%#%%#%#%#%##&

%%#%##%%##

�����

���������������������

��

�0

=−

≠−−+−+=

−+

−+

$��%%#7%#7#&

$�����

%#%#%#%#

%#&

�����

�����������

� ��ϕ ������������!������"+

'������-���������!!���3��!���?2�8������ $%%���##%#$ &

→+ +∞→� �� �����πϕ

1����� %%#%##%%##& −+

+∞→ + → ���������

'������!�����������

� 1� $=� �

����� � ���!������"������ %%$#%$##%$%##��!& −+

+∞→+= �����

�+

1���������������������������@9.�

���� $� π& �������� ������� ��&

%#$�

��−= π�� ] [π&�$∈� �� $%#$ =�� �� $=�

���.� ����������������������+∞

=

���

� �

���� �-�������.������!���!���.��� $� ���

�+

������������������������������������� � ���!������"������������+

� ������������������������ �∈� +

Page 15: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����D�����

�%���!�����������.��

*�����!��

��� $>� � �� →�� �� ������������!������"����������� ���+

'��������!�����∈��� �� %%#%## �����!!�8���������

��+

=��

��

�� �������

�� %#%#

%#%#�

1����������������� �� = ������!��������.�����������!!�8���������

���++∞

=∈

=��

���

� ++=��

��

��

� �����

�������&

&&

&

&

$

&%#

%#%#%#%#

,�!�����������

������!������������9 π&=� ����!6!���O��+

2�������������.�����������������+

������������-����!8���������������������������!������" π& �������� ���

9������)!���� ���+

��!������������ �=><π

π&

$&

� ���� +

'���� >< � ������������������������+

1� π&� ����������������������!�&��������9�����������������+

1�������

�����������������������������#�������������������%

��� �∈� ���������� �� $� =>< ��

'���� $%#&

$

& =�π

����

,���&%#�� �������������������������������+

����� π&+++$ $ =<<<= ���� ������������������.������������+

'���������������� ] [� +�� �� �������� −≤ �� ����� ] [π&� +��� +

,����������� ≥� � $%#%# == −+�� ���� ��7����9����� $%# =��� +

,������������

#3�!�� ��������.����������������!��������������!������"��������������

���"%

���!��������� �∈� �.����������������������� ] [π&M$∈� +

���� 5�∈� ����N�������������ϕ ��>��������.������ [ ] ] [

���� �I&�$ +−π ��

��������� [ ]��

�� � +− +

�������� �+

−−=− �

��� ������

&&

&%#%#

&

ϕπ

ϕ

��� � ��� 8����� #��� �������� ��� !������"% ��� [ ]π&�$ ��

[ ]∞

≤∈∀ ��� � %#�&�$ ϕπ +

,��� $&

�&

&

&&

&

→=≤− +∞→

∞+

− ∞� �

��

�����

� ππϕ

,-�0����������� π&� �����+#�������������������������������)������������

���������������������%

Page 16: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����E�����

(�������!��������������!����������.������+

������ ><= ����' �%�# �� �∈

=��

�� ����� %#%#%�# ���� �∈�� � +

,�@9�'������ ��������������������� &� +

�������

,�@9���������������-������-�����������/�����#�������.� �-�������.���8��

���� ��� ��������� ��������� ��� !������"%� ( )�∈�� �

&%# �� ( )

�∈�� �&%# ����

��!!�8����������������� �∈� %%#%##%#%#&&

& ���� ���� +≤

,��� ( )�∈��� �� %#%# �����!!�8��������8����������+

,������������ �����������������������&�

������������-������������������������)� ��P��N�&<

&

&<

&%#%#%#%# ��

���

���

���

�≤ ���−=−=−=

����

�����.���-�����������/�����&&

%#%# �����

≤�−=

,�������������9����!���&&

%�# ����� ≤

,-�0���������������+'�����'������������������� &� ���������� &

&π� �����

���� &� ������������������+

���������������������������!������"9����� ������ ����

2�!!��

��� �� →�� �����������!������" π& �������� ��M��������"���� �∈�C ���

�� ��C= ��� [ ]π&�$ ����������!8��������������+

1�������

4���������������� %#%#C

���� = �����������������

1� %%#%##%#C

& −+ += ������ �����+

���� �� →�� �� ������������!������" π& �������� ��������

%C#%#� ��� �� =∈∀ � ��

&&

C�� =

,�����!!������!����������.�����.�������� �C�� �C ������-�����������+

�"�#!��������� ���������'%���������9.��������8�����

• Q�����������

H���������� [ ] �→��� �� �������9.��������8������-���"���� +∈ �� ��� ��

�����������

��� ≤−=<<<=∀ �−

=+

$

$ %#%#�+++

�� ���� ����� [ ] �−

=+

=<<=−=

$

+++

%#%#���%�#$

������

� ������$�

� .�������� ������ �� � ���

[ ]��� +

Page 17: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����J�����

�����������

#% 2-����!8�� ��� ��������� [ ] �→��� 9 .�������� 8����� ��� �� �����������

.���������� [ ] %��# ����

#&% ��� [ ] �→�� �� �� [ ]�� �∈ +

�����9.��������8�������� [ ]��� ����� [ ]�� �������������9.��������8��������

[ ]�� �� [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$��$�$ ��� +=

#�% ������������� � ��� [ ]��� �������������9.��������8�����+

#�% H������������������N�������!���������� [ ]��� ���9.��������8��������

[ ]��� +

,�!�����������

,�@9��-�����������.��������R

���������9.��������8�������� [ ]��� �� [ ]�� +

� �� = �� � = �������������������+ �����

����� ���� � =<<<= +++$ ��������+

������ ��� �� �� ≤ �� �� >+ +

'���� [ ]%�#%#%#%#%#

$

��$�������� �

�� ≤−+−�−

=+ #.����������� �� = %

1� [ ]%�#%#%#%#%#

�$�������� �

�� ≤−+− +

+=+�

,���

[ ] [ ]%�#%�#

%#%#%#%#

%#%#%#%#

%#%#%#%#%#%#%#%#

$

�$��$

��������

��������

����������������

��

��

��

��

��

��

+≤−+−+

−+−≤

−+−+−=−

+

+=+

=+

+

+=+

=+

=+

��

���

,�������9.��������8�������� [ ]�� ����@9 [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$��$�$ ��� +≤ +

��� $>ε +'���� [ ] [ ] [ ] ε+≤+ %�#%�#%�# �$�$��$ ��� +

1����������"��������� ���� =<<= +++$ ��������� ��

[ ]&

$

%�#%#%# ε−≥−�−

=+ ��$���� �

��

1� ��� � =<<= +++ ���� �� [ ]&

%�#%#%# ε−≥−�−

=+ �$���� �

��

1����� [ ] [ ] [ ]%�#%#%#%�#%�#

$

�$�����$��$ �

���� +≤−+≤+ �−

=+ εε

,�����!!��-���.���8���������� $>ε ���� [ ] [ ] [ ]%�#%�#%�# �$�$��$ ��� ≤+

,-�0�-�������+

����#�%��������� ���� � =<<= +++$ ����

�� �� ≤=−−

=

=+

+ �

�� �������������

%#7%#7%#%#

$

$

+

Page 18: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����K�����

����#�%�

������������N������

4��"��������� +∈ � ��� �� [ ] "� "�����"� −≤−∈∀ %#%#��� +

����� ���� � =<<= +++$ ��������+

'���� ��−

=+

=+ −≤−

$

$

%#%#�

��

�� �� ����

(��� ��!!� �-����������� ��� ��� 9 .�������� 8����� ��� [ ]��� #����) ��� ��

������ � %� �� �"���� +∈ �� ��� �� ���� ���� ����� ���� � =<<= +++$ � �� ���

����

�� ≤−�−

=+

$

+

1��������� 7%#%#

$

������

�� ≤−�−

=+ �0 �� =7

,�������9.��������8�����+

�!�������������!������������������"�!��������������

����� ���� � =<<= +++$ ��������+

'���� %#%#%%#%##%#%#

$

$

�������������

��

�� −=−=− ��−

=+

=+

,��� %#%#%#%#

$

���������

�� −≤−�−

=+ +

,�������9.��������8�����# $%#%# ≥− ���� %

*�����!��

��� [ ] �→��� �� + '���� � ��� 9 .�������� 8����� �� �� �����!��� �� ���� ���

���������������"��������������������+

1��������������-����!8�������������� [ ] �→��� 9.��������8���������������

�����������������������������9.��������������������������+

,�!�����������

��� [ ] �→��� �� +'������������� [ ]��� �∈ �����9.��������8�������� [ ]��� ���

����������� [ ]%�#%# ��$�� �=

'���������������������������"���� �� "� > �����

[ ] %#%�#%#%# "�"�$"��� � ≥+=

(������������ �� %#%#� ������ −� �������������������

�������� "� > ���������8��.����� """� � =<<= +++$ �� [ ]"�� �

�""""� �� =<=<<= +$ +++ ��������8��.������� [ ]��� �����

%#%#%#%#%#

$

��"���"�"��

≤−+−�−

=+

1� �� ������� 9 �� 8���� ���������� ��� ��� ��8��.������ �� [ ]"�� � �� �8�����

%#%#%#%# ��"���"� ≤−+ �����

$%%#%##%#%#%%#%##%%#%##%#%# ≥−−−≥−−−=− "���"���"�"�����"���

,��� ��� −= �.�����������������+

2�������� �����.�����-������������������#%��#�%�����������+

Page 19: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����������

������������������!���"���������9.��������8����������� %3�# � �� %4!# � ��

��������������������!8���������������������������������������������������+

• ��������������� π& �������� ����

����������

��� �� →�� �����������!������" π& �������� �� �� 9 .��������8����� ���

[ ]π&�$ +�������� 5�∈� �����

(��

&%# ≤ �0 [ ]%&�$# π�$( =

3�!�� ���

H�� �������� 9 .�������� 8����� ��� ������ ��� ���� ��� ��!8������� �������� ��

��������������������� �������������#�7����9����� ����!�����������!��������9������

��9�����������������%+'.���������������-�����������������!����������������

�����������������������������!������"+

,�!�����������

���� ≥� �� &�+++$ −= � �����

��

+−=

+==

−−−

ππ

ππππ

π

ππ

π

π

&

$

+

&++

&

$

+

%#&

%#

%#&

%#

&

%#

�� ��

�� �������

���

� ������

,��� � �� ��

���

� +−==−

=

−−

=

ππππ

&

$

&

$

+

%#+&

&

$

%#%#%#&%#+� �� ������

���

��

��

�����

,-�0

[ ]�

�+≤

−+−−+++−≤π

ππππ

π

π&

$

&

$

%&�#

%%&##+++%&#%#%#%#+�

����$

�������������

����

(�����!!� [ ] [ ]%&�$#%&�# ππ �� $��$ =+ #��������������%����

[ ]%&�$#&%#+� πππ �� $�� ≤

• H��"�!����

2��������� �+∞

=

&%���#

���

�� � �����������!������9.��������8�����M��

�-�����������������������������������������+

����8��������������������� π& �������� ������������������������!���� ����

�����������������!���!������.�������+,��������!!���)����.����������!����

������������������������������������� ��������� ���!�9 ���!� ����������� ���!��

�������"5

&%���#%���#

�∈��

���

�����

��5

&%���#%���#

�∈��

���

�����

���� �∈� +

�������� $%#� =≥∀ �� ��

��

== � ��

��������8����������7��$%#

& �

��

5%%##�∈ � � �-����������8����������-������9.��������8�����+

Page 20: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&$�����

/%*�����!���,���?2�������N

,����������

H���������� �→)� � ��������S��������� ���� �-���"���� $>( �� $>α ����

��α

"�("���)"� −≤−∈∀ %#%#�� +

*�����!��

� � ��� π& �������� �� �� �S���������� �� ����� �� ������� �� � ���.����

������!�!���.��������+

3�!�� ���

������������!������������������8�����������!�����������������S����������

������ ����!�����������������������!�ω ��������� ���

��

%#ω� �����������8��

��� ] ]M$

������ �-���"�����������������������������������������������.��������

!�����������+

2�!!���3��!���?2�8�����T������!�U�

��� [ ] [ ] �→× ���( ��� ��������+ '���� �=�

�� ����(�* λλ %�#%�# ���� .��� $

���� ��λ ����.��� ∞± �����������!�!����� [ ]��� �∈ +

1�������

�����@9�����.���������!���.���$��� [ ]��� �-���������!!���3��!���?

2�8����������� ��+

�� !���� &� �� �� ���!� %�!�"#%�# ���� = �� �� ���� + �� !����� ��

����������������!���(��� [ ] [ ]��� �� × +'�����+����������������������$#���(���

���������������!���������������!�!�����������%�� $%$# =+ +

��� $>ε +

������ $>δ ��� ��%#&

%#�

+−

< εδ +����.�������� [ ]��� ������?�����.�����

[ ]� +�� �� �.�� ���� � =<<= +++$ ������� �� ����� �� <−−≤∀ +�

��!!�������.���������!�������"���� $>Λ ��� ���������� �∈λ �

[ ]&

%�#��$ ελλ ≤∈∀�Λ> ��*��

'������������� [ ]��� �∈ � ���"�������� �� [ ]� +∈ �� ��� �������������� �∈λ

��� �� Λ>λ �����

εδε

ελλλλ

≤−+≤

−+≤−+≤ �

%#%#&

%�#%�#%�#%�#%�#%�#

+�

����(��(�*�*�*�*�

���

������������!�!����������

4���������!�����������.�������������!��� %# ��� .������� [ ]π&�$ +

�����@9.� �� �−+−−=−

π

ππ��

������������

��

&

&

���

%%���##%%#%##

&

%#%%## +

Page 21: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&�����

��� $>ε + ��!!��

�%#ω ��� �������8�� ��� ] ]�$ � �� ���� ������� δ ��� ��

πδ <<$ ���$

%# εδ ω <� ��

�+

����������-��������������������������!������"� [ ]δπ −− � � [ ]δδ �− �� [ ]πδ � +

�������� [ ]π&�$∈� ���������#����������������� �� π�� ≥%���#

&��� [ ]π�$ %�

�&

%#&

%%���##���

%#

���

%%���##%%#%##

$

&

&&

&

επωπ

ω

δ

δ

δ

δ

δ

≤≤

+≤+−−

�� −−

���

�����

����

�������

1��������������!!�������� $>δ ��"�� �+−−

π

�

��������

�&

&

���

%%���##%%#%##�

���� ������!�!��� .��� $ ���� �� +∞→� �� �� �� ��� �� !6!� ����

�−+−−

δ

π��

��������

�&

&

���

%%���##%%#%##� +'��������"���� �∈� ��� ���������� �� ≥ �

�&

���

%%���##%%#%##

&

& επ

π

δ≤+−−� ��

�������

���

�&

���

%%���##%%#%##

&

& επ

δ

π≤+−−�

−��

�������

'������������� �� ≥ ������ [ ]π&�$∈� ���� ε≤− %#%%## ������

,-�0�����.�������+

�%*�����!���/��������

*�����!��

� � ��� π& �������� �� �� �S��������� �-�"������&>� #��� �"�!���

��������N�����%�������������������������.�������!���!���.����+

3�!�� ���

'.�� �� ����� �� 3����? ������� �� .���� �� �� ������!� �� /�������� ���

����!����7����9����� �-���"������S����������-�"���������������9V�������������

������� �-��� ��� ���!���!��� ���.�������+ 4� ���� ����� ��!����� ��� ���������� ��

������!���,���?2�������N������� ��������������������-������������S���������

���.����������!�!���.�������������#�����������"��������LS����%

,�!������������������!��

���� π& �������� ���S���������������������������������∈�� %# +

��� �∈� +H�������!�����.����8���!����� ����������������������������

%#� ������ +� .�������� %#%# �� �

���

�� = � �� ���" �� ��� �� −−= .�������������

%#%���#&%# ���� ��� =

'������-����������!����������.���

��∈

=−−+��

� �����������&&

&

$

&%#%#���K%#%# π

π

������������� ���

"��"���"� −≤−∈∀ %#%#�� &� #

&>� %

�������� ≥� M������� �����������������������.���

��

π= +

Page 22: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&&�����

��!!� ����&

π≤� � �� � ��π&

��� ≥ � ���� ��� &≤< � �� ���� !������

%���#�� ���&

& ≥��π

+

'�����

��

≤<

≤<

≥−−+≥

���

���

�������������

&

&

&

&&&

$

&&&

%#&

%#%#���K%#%#%&#+&

π

πππ

�7����9����� ��

����&

&&&%#%#�

=− ≤+≥∀ � �0 �

� &

&

�π=

(�������!��������� ������!�����∈�� %# �����!!�8����7����9����� ���������

�����!�������� �+≤<

=&& �� �

�� � ���.����#�����������������!��������!��%+

�� ��������& +� ���!��� ���� �-��������� �� �����)? ��P��N �� �-���������

��������

��

�� ������

7&%&+#&%#+ &

&

&<

&&

&

&&

=≤≤=+

−+

≤<≤<��

++

'.�� �� −= &<& +��!!�&

>� �����������!���� ��������������.�����������

��!�����∈�� %# ��� ��!!�8��� �7����9����� �� �� ����� �� ������� �� � ���.����

���!���!���+

3����9!������ ������!!����������������8������

���� ������������!!��� ������������������ �+��!!���)����.�������

���!���������������������������������������������������������������!�9���!�+

'����� � �� � ���� ��������� �� �� ��!�� �� �-����� ��� ��� !6!�� ������������ ��

�������+,������������������+

%���)�F!����3����? ������

�����������������)�F!�������������

,-� == $$ ���������� �∈� �

��� -,���&

+=+ � ��� -,�-�&

−=+

�����������

#% ���� ���� �∈� � �� �� �- ���� ��� ���)�F!�� �� ����� �& �� ��

.��������#���������.������������������������!���!�����������

�������!�������������$������ �������������)�F!�%+

#&% 4��"������������ %# ≥�� ������� ± ����� ���

����+===

+= −

−===≥∀�

��

� ,,,-,��&

&

&

&

&

&

��

#�% ��������.��!��������� &&&%#%# +=+ �

�� .-.�

Page 23: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����&������

,�!�����������

#%R

#&%� ���� ���� �∈� � �� �� �- ���� �� �� ���!� �=

=�

� � ,�&

� �

�=

=�

� � ,�-&

� � �.�� � ±=� � � ±=� � + �� � �� ����� ���� � & ≤≤ �

� � � � ��� == ++ ������ && +≤≤+ �� �� � � ����&�� −++ =−= +

��!!� �� ��� �� ���� �� �� ������& �� +�� #�7����9����� �� ��� �&

���!������������������ �� �������!6!�� �����"�� +�� %��������� � �=

�0 � ��� �� ������ ������ �� ��� �� � ≥& � �� ������� ��� ����� %# ≥�� ����

�� ����� �=

=∈∀�

� ,��&

5�� +2-������� %#

&

��� ��,-�

−= +− ����� ������� ��

���!���� �"�������� �� �- � �� �� ������� ������� �� �� ��!�������� �����

&

−−

+= ��� -,���

��

&

−−

−= ��� -,�-�

#�%����!6!��������� �∈. �&&&&

&

%#&%#&%#%# .-..�.-.� ����

+=+ ++

1��������������� �∈��� �

&&

&&

&&

%#%#%#%#

��

����������������

������������

+=

+−−++++=

−−+++=−++

1�������������������������������+�� ��

+�- +

1�������������������������������-��������.�� =. +

&% ������3����? ������

,����������

2� ����� 5%#�∈ �-������� ����� �� 3����? ������ #���� � ��� ����������

���������!!������������"����������������������D$%

��������� �

���������#/����������������N%�

�� � ���� ���� 5�∈ � %#%# �

−= �0 %# � ��� �� ��!8�� �� ����

�-����������8���&�� − +

,�!�����������

��� �������������@9� ��������������.�������� �≤ + �������� ��.����

���� & +≤ � ���� �∈� +'.��������������

%&#%#

&

&&

&

&

��������� ��,�-,�,�-,������

+−+=−+=+= ++++++

+++

���8�����

��

≤≤+−≤≤

= +++ & &&��

&�� ��

� �

� �

Page 24: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����&������

,�������� �� & ≤≤ ��-��������8�������� & −++ �� �-�8��������@������

$ 9 ������ �� ����� �� −� � ���� �� ��!8�� �� �� ������ ���M �� ��&& +≤≤+ �� � ��-��������8�������� & −++ �� �-�8��������@������9������

��������� −� M��������������-��������8�������� −� ��!!������@9�����

���������!8�������!������+2����������������.�������� && +≤ � �

�� ������.�������������+

�%,�����)�F!���������!���� ���

���� �∈� �� ≥� �������� �-��� �������� ��� �� �� � && ≤<− �����

��������� �=

=�

� �

� ��

%# �� ���+===

+−

−==�

� �

� �

� �

��

� �%&

&

&

%#

'����� %#%#&

��

� ��� � = �� %#%#&

��

� -�% � = +

����������

���� ���� ≥� �� ���� �∈� � �'��� ≤%# �� �'�%� ≤%# �0

&&+=' +1�������

2��� ��������������������&��-�����������������������������#�%.��

��%+#��� '≤& �� %#%#&

��

� ��� � = � %#%#&

��

� -�% � = %

�������� ��� ���������� .����� @�� �-9 �-������ &≥−� + '����� ��

��������������� �� && −≤≤+ +�� � ������������ �∈� �

��−

=+

+=

+=+=�

� �

����

� �

��

�� ����&

&

&

&

%#%#%#

� && −≤− ��� ������ %#&

&

&

&

�� �

��

� �

� �

� �

=

=+

== �� #�-����������������

#&%��%%

1��� && −>− ��� ���� ����� &&&& =−<− + ����

%#&

&

&

&

&

&

�% �

��

� �

� �

� �

� �

+==

=+

=−= ���−

,-�0 %#%#%#&

&

&������� �

��

��

� −+= �� %#%#%#

&

&

&�%����� �

��

��

� −+=

1�����������"�������)��������������������

��

� �'�� &&%# −+≤ + +

(�����!!� �� ≤& ��&

&�

� � ≤− �����

�'�'

��� � =+∈∀ %&

&#%#�� +

2������ �% �����������+

Page 25: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� �������������� ����������������������������� ����&D�����

�%,���������������!���� ���

*�����!��

���� ���� ] ]M&∈α � �� ������

+∞

=

� �

α ���.����������!�!�������!���

��� ���!���!���+ � ��!!� α� ��� ��������� π& �������� �� �� .������

�+∞

=

=∗

&%%##

� �

��� ααα

3�!�� ���

������ ��!������ α−= � %# ��� ������������� � �����������.���$ �����

�� �� ����� �� ���!� ������� %%#%## +− � � ���.����+ �� �� ���� ���

�!����������������������-����������!����������.���������������!��������&%# − � �������.�����+

,�!�����������

��������������!������-'8���������� �� > ���!�@�������������!��

��

���

� +≤���

����

+++≤

���

����

+−++−=−=

��

���

∞+

=+

−−

=

−−

=

=

=

��

� �

�'

��'

��

��

��

����

&<

&<

&<&<

&

%#

%#

%#

%#%#%#%#

αα

ααα

αααααα

#������������!��������&<

+α ���.�������

&

>+α %

��.������� �� �������.������ ����������������)���� �����.�������

������!�+ 1��� ��� ���� ������!�!��� ���.�������+ '����� �� ��!!� α� �� ��

�������� ��������� π& �������� ����� �������������������������-�8����������������������!�9���!���������������!���� ���

��

≥±≤

=��

$��$

%#�

���

αα

2-�"�������� ��� ������������ �� ������� �-��� ���.���� �����

��

≥≤

=∗��

$��$

%#&

��

����

ααα � �� ��!!� �� ����� �� ������� �� αα �� ∗ ���

������!�!������.�������#������!���!�������� �� & >α %�����!!� α� ���

���������������������������������������-�8�����������!�9���!���7����9�����

�� �� ���� ���" �� αα �� ∗ + 2� ���!��� �� �����.�� ����� ��� 9 ααα ��� −∗

!���������� �� ααα ��� =∗ ��7����9����� �� �+∞

=

=∗∈∀

&

+

%%##��

���

���� ααα�

Page 26: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&E�����

D%H�� ����� ������� ������!�!��� ���.������� ��� ���!���!���

���.���������� %�$#��

• ����������!�"�!�!����������)�F!���

����������

�����������)�F!� ;=,� �∈ ���� %#���%#���

.�.�.. =≤

=

����.��

��� ;=$

,,���

�∈=�=

+��!!�������������������!���� %�$#�� ���

�"���� %�$#$ ��. ∈ ��� �� %#%#��� $

.�.�.

=≤

+ �������� $ <.

�� ��������� ����� $>� ��� �� $ <+ �. + 2� ���!��� �� *�)���

���)��!����� $. ������

�=

=+�

� � ��

�.��.�

$

$

%#

$W

%#%#

1����� %#&%# $

&

$$ .����.� �� π

π=+� +'������������"�� $. �

%#%#&

%# $

&

$$$ .����.�.� �� ≤+≤ �

π

π

������!!������������� %#%#� $$ .��.�� �� =+∈∀ � +

2����!����������.�������������

��=

=+=�

��

�.����.�.�

$&

&&

$

%#&

$

&

$

&

$%W#

%#%#&

%#

π

π

,������������)�F!��������� %# $.�� = ����� %#���%#���

.�.�.. =≤

=

3�!�� ���

#% �� � !6!� ����.� ��� �� �� �� !�"�!�! ��� ������� ���� �� ��� ����.���������������������+

#&% 2�����.��-����� ��9�����������������)�� ���������.������������%�$#�� ����������������9 ���������������!!��-�����������������

��)�������.��������������!������������9+

• H���������������

����������

����&

>≥ α ����������������

+∞

=

. α ���������!�!������.����������

%�$#�� !���������!���!������.�������+

,�!�����������

2�����������!�"�!�!#���� ������)�F!��%!����� ������&

>α ��

�� > �����

∞+==+=∈

−== �� ��

.

�.

��

.

.

� %�$#

������ αα

Page 27: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&J�����

��!!� �� ����� 5%#�∈��� ��� ������!�!��� ���.������� ��� �� �� �����

��������+∞

=

. α ��� ������!�!��� �������)� ���� ������!�!��� ���.�������

��� %�$#�� +����&

>≥ α ������-���������!���!������.�������+

,%��!!���T��.����������������������������������UB

,�.��������������������������������������������

� ,����!�������������������������������+

� '���� �����������!���,��������

������"!��������

#% 2�!������ �������� ������ ��� ������������� .����������� ������ �� � ��� �������� � ���!������"+

#&% (����������������#��������� �� π&=� %

�� ��.������ � �� T����� �������!���� ��U� �7����9����� �+∞

==

$

%#%#�

� ���� �0

$$ α=� ����

++

=≥∀ −−

���

���

��

�������

γγβα

��

������%#� �� �� !����� �� ��� ������������

.���������

�� �� γ=∈∀ %#�� � �7����9����� �� � �+ +∞

=

−=π

πγ

&

$

+%#

&

���

� ���� � ������� �-��

�8����� ��������!��� �� ���������� �� �� ����� �� ��������� �+∞

=

$

+%#

���

�� ���

������!�!������.���������� [ ]π&� +�� +

1"�!�����

��� �∈α ������������ ] ] ���� +%#�� αππ =−∈∀ � π& �������� ��+

Q���������&=� �

ππ−

������������ � ���!������"� π& �������� ��

������������������������� �−−=

π

πα

� ���

%#

&

%#

#% � ��∈α ���������

��� $%#� =∈∀ � ���� �� ∈ +,��� ��� =%#

#&% � ��∉α �

%#

%#��%#

%#&%#

%#&&

%#

%#%#%#

��

��

��

��

��������

−−=

−−−=

−−=

���

−=

−−−−

απαπ

απαπαπ

απαππαπαπ

π

α

Page 28: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&K�����

,���������������!���!������.��������!���������!���!���+

2�������!���,��������������

���� ] [ππ �−∈� � �

��������

��

��

α

αααπαπ =��

����

����

����

+−+

−−+�

∞+

=

−−

%#%#%#��

1��� π=� �&

%#��

απαπ

αααπαπ −+∞

=

+=���

����

���

���

++

−+�

�����

�7����9����� %#��&%#��

&&

απα

ααπ

απ =��

���

++�

+∞

=� ����� �� �I∈α

����� ������ %����#&

�I

&&αππ

αα

αα =

++∈∀ �

+∞

=� ����

1"�!���&�

��� ] [�−∈� +,�.������� %�����#� ���� −� ����������������+

1�����

������������ ∞� � π& �������� ��+2�������!���,���������-����� �������

�+∞

==∈∀

$

���%#%#��

� ������� � #���������%�����!6!����.����������!���+

��

�����

���

���%#7�

−=∈∀ �

��������� $>� +�����������ϕ��=� �.�� $>ϕ +

������������

����

���� −

−−−−=

−=∈∀

ϕϕ ��&�����

���%#7��

����������� ��. = �

���

����

�+��

���

�−=

−−−+

−−−+=

−−−=

+−−=

��∞+

=

−∞+

=

−−

$

&&

&

&

&

%%##

%%##

%%##

��&

%#7

��

��

.

�.��

.

.

��

..

.�

..

.���

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

#��� <== −−

− ϕϕ

ϕ .

. %

( ) ��+∞

=

−+∞

=

−−− =−=

���&%#7�

�������������

ϕϕϕ

,��� � ��+∞

=

−+−=+=�

� ��

��

�������������

$ %#

$���%��#%$#%#7%# �����

ϕ

���������������!�������� �� ������!���!������.�����������+#ϕ�

� � −∞

= %

1���� �� ������������+

Page 29: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����&������

,���

��

���

∞+

=

+∞

=

−−

+∞

=

−+∞

=

−���

����

−−=

−+−=−+−=

&

&

%��#

���&%#

��

���&&%��#���

&%��#%#

$

���

���

�����

�α

ϕ

α

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

�� ��� ��

�����

'���������

�������.������!����� �������� �������!���� ���!������-�������X� ��

�-��� �� ����� �� �������+ 4� ���� !��������� !������ �� %#$$ ��=α ��

��

��� α

ϕ

=−=∈∀−&

%#5��

���� ≥� ���� � ��+∞

===

ππα

ππ $$

$������

&%���#%#

&%# ��������������

��

�� ���� �����! �� ������%# α= + '�����

!

��

ϕ

α−

∞== &

� ���!� ������� �-���

��������.�������+

���������������������!�9���!�����

��

��

�������� ααπ

δπ

π== � �

+∞

=

=

$

&

$

������&

%#�� ��� ��

1%4�@����.����� �∈�� �� %%##��������������������������

*�����!��

2-����������� ��9 π&�� ∈ ������� �

��∈∈�� � %%## �������������@����.�+

�����������

����� �� →�� �� π& �������� ������������������ �� %#%#� ��� �� =∈∀ �

'���� �� = +

3�!�� ���

2-���������������������@����.�����+

� �� →�� �� � π& �������� ��� ��������� ��� !������" ���� ���� ��

%#%#� ��� �� =∈∀ � ������������������������������������������� [ ]π&�$ +

#1���!6!��������������!����%

,�!�����������

������� ���-��������������.��9 �� − �

�∈

=��

� ��&&

&%# + ,��� �� $%#� =∈∀ �� �� � ����� $

&=� + � �� ���� � ���

���������������������!������"9������)!���� ������������������+

Page 30: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� �����$�����

�%*��������������������������������

3������

� �� →�� ����������� � �� π& �������� �������� %#%7#� ����� �� =∈∀ �

������������

� �� →�� ��� π& �������� ������������ � ������ ��

���

�=±∞→ �

��

%#

,�!�����������

���� $≠� ���� %#

%# %#

� ���

� ��

���

�=

2���!!���3��!���?2�8��������� %# � !����� ���

$%#��!%#��! %# ==±∞→±∞→

��

����

,-�0����������+

������������

��� �� →�� � π& �������� ����������+ ��� �∈

�������������!�������� ( )%#%# ��� ��

−+ ���.���������������������� � +

1��������������� ��

���

�= +±∞→ &

%#

��

�/� ������������������ �

3�!�� ���

���8������-� ��.����������� �� →�� � π& �������� �����������

������������ $%#��!� =∈∀⇔±∞→

∞ ���� �

��

,�!��������������������������

������ �+∞

=

−−++=

$ %#%#%#%#�

���

���

� ����� +'�����

#% ��������������������� � ����� π& �������� ��+

1����������������� �∈� �� �∈� ���

+==

−−

���

���

�� ����

���

%#%#%#

%#%# $$

'������������ �∈� � �� ����������� � ��

[ ] %%#%#%##%%##���$ %# ���

����

��

� ������� � −−−+∈∀∈∀ �

���� ���� [ ] � �$∈ � �� ������� ���!�������� %# �

�� ������!���!������.�������

���������������!�!������.�����������

%%#%##%%#%##� %# �������� ��

��

��

� −−∞+≤+≤∈∀ � � ���!� ������� �-���

��������.�����������)�������+

,��������������� � � ��������.�8�����!�9���!�+

#&% ���� π& �������� ��+

#�% 1����� �� = �

,�@9��������������� π& �������� ��+

Page 31: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� ����������

������������ %#�� �

���� �∈� � � � ��

���

�=+∞

=

−π

π&

$$

%#&

%# �����

���

�� +

��������������� �∈� �� �∈� � ���

�� ���! −= %#%#

'���� ���� ���� �∈� � �! ��� ��������� ∞∞= �� �! � ���� �� ����� �� ���!�

������� �! ������!���!������.�������+

���������������������!�9���!���� [ ]π&�$ �

%#%#&&

%#

&

%#

$�

$

&

$�����!� �

����

�� === ���+∞

=

+∞

=πδ

πππ

Q% �������!�� ��8����8�����9������������������������

1"�!��������������������� %#���'�����%#� ���� =∈∀ �

1����������������������������

#% Q������

���� π& �������� ���������-�����!�����+ �� �

���

�−&�&

ππ� ��� =%# +

���� �

���

&

��&

ππ� ���� −=−= ππ %%#���#'�����%#

ππ−

&

π

&

π−

,���������������� � ���!������"+

#&% ����������������������$%#� =∈∀ ��� ��

���� ≥� �

��

���

�=��

��

� �

���

�− �

���

�=

��

��

�−+ �

���

� −− �

���

�−=

=

��

&���

�������&

���������%#

���&

%���#%#&

%#

&

&<

&

&<

$

&

&<

&<

$&<

&<

$

$

πππ

ππ

π

π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

���

��

��

���

����

��

���

���

���������

,����-�������������!���,���������

�+∞

==∈∀

&

& ���%���#�

%#��

���

����

π

π�

Page 32: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� �����&�����

#�% '��������������������+∞

=&

� �

��� �+∞

=+

+−=

$&

%%&���##%&#

%#�%#

���

��π

,�����&

π=� � �+∞

= +=

$&%&#

& � �ππ

����

�����������K<

$&

�<%&#

&

%&#

&

&

&

%&#

πξξ →

=

=

=��� +

+=�

� �

L%3����������-� ���������������������#�������������%

1"�!����-� ��������������������

��"�""# =++ 777�%# ��0 �∈��� ������������� π& �������� ��+

����������������������������������������������� �� %## �����!�������

�������� π& �������� ��+

'���)������������

��������������������������"��"�������������� π& �������� ���� %## +

�������������� %#ϕϕ �� �������� �∈� �����

%#%#

%#%7#%77#%#

& "�����

"�"�"�

����

++−=

++=

������ $� & ≠++−∈∀ ������ �

'���� %## ������������������ π& �������� ��"�����������������

�����

�"� �

� ++−=∈∀

&

%#%#��

&�!����� -���"������������"��������� �∈&��� 9 $& =++− ����� +

H������������������������ �� $%#%#&

== �� �� ���������������+'�����

��� %## �-������������������� %## ����������������������+

1���������$" ������������������������� �∈� �

��� ���"� +%#$� # &�=� %���

����������������+

�����������!���"����������������"���B

#% ������������� � ���!������"������ �∈

=∈∀�

���

� ���� %#%#�

1���������∈��

� � %# ���.����+

� � $� & ≠++−∈∀ ������ �

���������� �∈� � ��+∞

=∈

+=++−

=

$&%#

%#%#

���

� �!!�����

���

�0�

�!

%#$$ = ��

�����

�����

��!��

���

���

�� +−−

+++−

=∈∀∈∀ −−

&&

%#%#%#�� ��

'���������������� &� ������������������� %## +

Page 33: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� �����������

1�����������! ������������

&� �����������������!�������� %# �

�! # &�=� %����

���!���!������.�����������

( )%#%#%#%#

&&

%# ��/�����

�����

��! ��

����

� −±∞→

∞+=

��

��

+−−+

++−≤

,��������������� &� �����.�8�����!�9���!����

%#%#

%#%#%#%#%#7%#77�

&

&

���

�����

�����������������

���

���

���

���

==++−

−+=++∈∀

� � ����� ++− & �-���������� �∈&��� �

������ �≠ ++−

=& �

&

%#%#

���

���

�����

���

�����!6!���������#������� �� $%#%#&

== �� �� %

#&% �!�����������-��� �������������.�!������ ���� %$%#$#� & =�=++−∈∀ ������� �� �

'���� %## ���!��������������� π& �������� ��+

��.�����������.������������������������-�"������������������������������

1 ����������������!�!8��� $777 =++ �"�""

1 ������������������ ��� $& =++ ����

��������� �� $�& ≠−=∆ �� +'�����������"������� � � &� ����������+

H��)���!������!����������������������� ��� � � ��

� &� +

,��� %## ���������

+=+=

����

����

�����"

���"

&

&

& %#%#%#7

%#%#%#

µλµλ

+

'������

=+=+

%#%#7%#7

$%#7%#7

&

&

& ������

������

����

µλµλ

,���&

%#%#7

��

���

��

−−=

λ �&

&%#%#7

��

���

��

−−=

µ

2������������������ %## �-����������

���

����

���

����

�����

��

��'�" &

&

$&

$&

%#%#%# ��

����

−−+��

����

−−= ��

−−

#1���

���

���

��

�����

������

��

��'�" &

&

&$

&

$

&

%#%#%#7 ��

����

−−+��

����

−−= ��

−−

%

'����"��� π& �������� �����������!����� %&#%$# π"" = �� %&#7%$#7 π"" =

1� ������ ��!!� � ��� π& �������� ��� �� " ��� ��������� ����� %&#� π+�"�. �

�-��������+

,�������

====

%$#7%&#7%$#7

%$#%&#%$#

.""

.""

ππ

�������-�������������!��������) ." =

Page 34: ˘ ˇ ˆ - melusine.eu.orgmelusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/19.pdf · ˘ ˇ$ ˇˆ % *˛˛ ˝ ˚˚˝ ˘ ˛ 3˛ fi ˝˛ &p˜ ˛ # 7% # %" ˛ = fi &p˜ ˝˛ ˛ = fi–¥

���������� ��������������

����������������������������� �����������

4� ������ ���� �� !������ �-�� �"���� ' �� � ���� �� %&#%$# π"" = ��

%&#7%$#7 π"" = ��7����9������

���

����

−−+��

����

−−=+

���

����

−−+��

����

−−=+

��

��−−

−−

ππππ

ππππ

&

&

&

$&

&

&

$&

&

&&

$&

&&

$&

&

&

&

&

%#%#

%#%#

���

���

���

���

�����

������

��

��'��'�

����

�����

��

��'�'

�����!!� & �� ≠ �

���

����

−−=

���

����

−−=

�−

%&#%#

%#%#

&&

$&

&&

$&

&

&

ππ

ππ

���

���

����

����

����

��''

,����������

� +& ≠�

π ����"����'��� ����� ��#%

� +& =�

π ������ ��� = �0 �∈�

1����� $%#%# & =++ ������ ��7����9����� $& =++− �����

,��� $%# =�� ��#%��.���� '' = � �������������������������+

��������!6!�����������+