© 2017 | UNPAedita |

PUBLICACIÓN DIGITAL | ISBN | 978-987-3714-46-7Primera edición: Octubre 2017

| Puesta en Página y Diseño de Tapa |Rogelio Corvalan

Hecho el depósito que establece la ley 11.723

© 2017 Ediciones Universidad Nacional de la Patagonia Austral

No se permite la reproducción total o parcial de esta publicación, ni su almacenamiento en un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio electrónico, mecánico, fotocopia u otros métodos, sin el permiso del editor.-

Modelos estadísticos de demanda para políticas de precio / Dora Maglione; Angela Diblasi. - 1a ed. - Río Gallegos : Universidad Nacional de la Pata-gonia Austral, 2017. Libro digital, PDF

Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-3714-46-7

1. Política de Precios. 2. Demanda. 3. Modelo Estadístico. I. Diblasi, Angela II. Título CDD 332.63222

Ir al Índice

MODELOS ESTADISTICOS DE DEMANDA PARA

POLITICAS DE PRECIOS

Dora Maglione y Angela DiblasiIr a reseña de autoras

Ir al Índice

http://www.unpa.edu.ar/extension/publicaciones/1924http://www.unpa.edu.ar/

Agradecemos al Magister en Economı́a Franco Bignone por sus valiosos comentarios, al igualque a la Doctora Karina Franciscovic por la lectura y armado del prólogo de este libro. Ambosofrecieron en forma desinteresada algo de lo más preciable que poseen que es su tiempo y su

conocimiento.

I

Ir al Índice

Índice general

PRÓLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

1. INTRODUCCIÓN 1

2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS 3

2.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE POLÍTICAS DE PRECIOS . . . . 4

2.2.1. REEMPLAZO VERSUS NO REEMPLAZO . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.2. DEMANDA DEPENDIENTE DEL TIEMPO VERSUS DEMANDA IN-DEPENDIENTE DEL TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3. CLIENTES MIOPES VERSUS CLIENTES ESTRATEGAS . . . . . . . . 5

2.2.4. ALGUNAS COMBINACIONES DE ESTAS CARACTERÍSTICAS . . . . 5

2.3. MODELOS DE DEMANDA SEGÚN EL TIPO DE MERCADO . . . . . . . . . 5

2.3.1. MERCADOS DE TIPO NR-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.2. MERCADOS DE TIPO R-I-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR . 10

2.4.1. PREFERENCIAS Y DEMANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2. LÍMITES EN LA ELECCIÓN DE CANASTAS DE BIENES . . . . . . . 10

2.4.3. AXIOMAS DE ELECCIÓN Y UTILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. LA FUNCIÓN DE DEMANDA MARSHALLIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6. UTILIDAD Y DEMANDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DEMANDA . . . . . . . . . . . . . 20

3. MODELOS DE ANÁLISIS DE LA DEMANDA 23

3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. ESPECIFICACIONES EMPÍRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. MODELO DE STONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. SISTEMA DE DEMANDA LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. MODELO DE ROTTERDAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6. MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. MODELOS AIDS y L-AIDS 31

4.1. LINEALIZACIÓN Y ESTIMACIÓN DEL MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . 31

4.2. APROXIMACIÓN LINEAL DEL MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1. OBTENCIÓN DE LAS ELASTICIDADES A PARTIR DEL MODELO . 32

4.2.2. EXTENSIÓN DEL MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3. FORMA MATRICIAL DEL MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.4. SUPUESTOS DISTRIBUCIONALES DEL MODELO AIDS . . . . . . . 36

4.2.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO . . . . . . . . . 37

III

Índice General

9

11

12121313

13141414141619191920222429

31313232343536

3838383940434344

Ir al Índice

IV ÍNDICE GENERAL

4.2.6. ESTIMACIÓN DE LAS ELASTICIDADES A PARTIR DE LOSPARÁMETROS DEL MODELO AIDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. PROPUESTA DEL MODELO AIDS EN DOS ETAPAS . . . . . . . . . . . . . . 394.4. LA FUNCIÓN BENEFICIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5. INTERVALOS DE CONFIANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5.1. SU OBTENCIÓN EMPÍRICA PARA LOS BENEFICIOS EN LOS DIS-TINTOS ESCENARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5.2. UNA ILUSTRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. ILUSTRACIÓN CON DATOS DE UN CORRALÓN 515.1. SELECCIÓN DE UN CONJUNTO DE PRODUCTOS AL CUAL APLICAR LA

METODOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. LA FUNCIÓN DE BENEFICIO Y ESCENARIOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS 525.3. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS ESCENARIOS . . . . . . . . . . . 56

6. CONCLUSIONES 59

APÉNDICE 1 61

APÉNDICE 2 65

APÉNDICE 3 67

REFERENCIAS 73

46464951

515255

57

575862

64

65

68

70

75

Ir al Índice

Índice de figuras

2.1. Función de gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1. Variación de precios y demandas de los tres cementos analizados . . . . . . . . . 344.2. Histograma para los residuos para cada ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3. Precios, a la izquierda y demandas a la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1. Errores cuadráticos medios para dos modelos L-AIDS . . . . . . . . . . . . . . . 54

V

Índice de figuras

27

414253

60

Ir al Índice

Diblasi - Maglione

Índice de CuadrosÍndice de cuadros

4.1. Parámetros estimados del modelo, con su error estándar, el valor del test t y elp-valor correspondiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Medidas resúmenes para las cajas de las cuatro marcas de cereales . . . . . . . . 454.3. Valor del estad́ıstico R2 de McElroy para cada combinación de ı́ndice de precios

con estructura de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Precios para el primer escenario de las marcas de cereales . . . . . . . . . . . . . 474.5. Intervalos de confianza para el beneficio en el primer escenario de las cuatro

marcas de cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.6. Precios para el segundo escenario de las marcas de cereales . . . . . . . . . . . . 474.7. Intervalos de confianza para el beneficio en el segundo escenario de las marcas de

cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8. Precios para el tercer escenario de las marcas de cereales . . . . . . . . . . . . . 484.9. Intervalos de confianza para el beneficio en el tercer escenario de las marcas de

cereales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1. Beneficio porcentual acumulado en el periodo 03/07 al 05/08 para los datos delcorralón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Art́ıculos seleccionados para el análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Variación de precios para el primer escenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4. Variación de precios para el segundo escenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.5. Variación de precios para el tercer escenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.6. Intervalos de confianza para el beneficio en el primer escenario . . . . . . . . . . 565.7. Intervalos de confianza para el beneficio en el segundo escenario . . . . . . . . . 575.8. Intervalos de confianza para el beneficio en el tercer escenario . . . . . . . . . . . 57

VII

4252

5254

5454

5555

55

5758606161626363

Ir al Índice8

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios

PRÓLOGO

A la hora de pensar porque resulta de interés este libro, lo primero que surge es la intenciónde tratar de explicar la realidad y el esfuerzo de análisis para abordarlo, habiendo logrado unaherramienta inicial para entender el mercado local del producto cemento y el comportamientodel consumidor a la hora de elegir cuál de los productos adquirir.

La teoŕıa microeconómica trata el análisis de comportamientos de los mercados tanto desdela óptica del equilibrio parcial como del equilibrio general. En cada caso es necesario analizarlos agentes que intervienen en el mercado, los consumidores y los productores y como éstosinteraccionan entre śı. Uno de los temas de relevancia en esta teoŕıa es la determinación delprecio, y la definición de las caracteŕısticas de las variables para asociarlas al modelo que seutilice.

Desde el punto de vista del consumidor el precio en la mayoŕıa de los modelos es una variablerelevante a la hora de definir que bienes consumir. Desde el lado de la oferta, toda empresa quenace, indistintamente del tamaño de la misma, debe inevitablemente definir los precios de susproductos a los que llevará al mercado. Para poder realizar dicha tarea tiene distintas maneras deresolverlo, sea por medio de un análisis de mercado, sea conociendo el precio de marcado actualde productos semejantes, o estimando el precio de los costos productivos y conociendo el tipo demercado en el que se encuentran, para definir el mismo. De la misma manera el consumidortoma sus decisiones de consumo por medio del análisis de distintas variables, como el preciodel bien, el precio de los bienes relacionados (bienes sustitutos y bienes complementarios), elingreso, el gusto, la moda, la expectativa de precios, entre otras, y para entender al consumidoren el proceso de decisión es necesario conocer las distintas teoŕıas de consumidor.

En este escrito se considera brevemente como pueden reaccionar algunas variables y comooperan en la toma de decisiones tanto desde el punto de vista de la empresa como desde elconsumidor, pero el logro de este documento se centra especialmente en un tipo de modelo.

Para quien se introduce en estos temas puede resultar inicialmente dif́ıcil de analizar cadauna de las demostraciones y análisis de los modelos que se presentan, pero mas allá de eso, eldocumento presenta temas de interés que pueden entenderse con las explicaciones del mismo,por lo que puede ser abordado desde distintos tipos de lecturas.

Por otro lado, entre las comparaciones que desarrollan, resulta de interés la descripción quese observa en la sección 2.3 donde aparecen distintos modelos de demanda y comparaciones entrelas variables que los definen. Luego desde la sección 2.5 y hasta finalizar ese caṕıtulo se analizanla función de demanda marshaliana y luego las hicksianas, demostrando que se llega a resultadossemejantes desde el punto de vista de la maximización de la utilidad y/o la minimización delgasto. Para quienes desean profundizar en la microeconomı́a y comprender las propiedades de estetipo de demandas, la lectura de este apartado es necesaria. Luego de profundizar en la temática,se incorpora un nuevo tipo de análisis que es el de elasticidad, y a partir de este concepto enel caṕıtulo 3 se introduce otro tipo de modelo de demanda que es el modelo de Stone, donde esnecesario utilizar el concepto de elasticidad para su resolución. Luego se incorpora el análisisdel sistema de demanda lineal, y el modelo Rotterdam, hasta llegar a los modelos demoninados

IX

Prólogo

Ir al Índice

9

Diblasi - Maglione

X PRÓLOGO

AIDS, objeto de estudio central del escrito. Este escrito trata, principalmente, una manera dedesarrollar esta poĺıtica de precios por medio de un modelo denominado AIDS.

No solo es interesante la forma en que se explica y desarrolla el modelo sino además la ma-nera en la cual se desarrolla una alternativa de linealización. En este sentido, desde el puntode vista emṕırico en la sección 4.2.2 se observa la flexibilidad de este tipo de modelos que per-mite la incorporación de distintas caracteŕısticas como la región, o mas espećıficamente algunacaracteŕıstica del bien que se esté analizando.

Quizás el contenido más importante del documento surja a partir de éste apartado, donde seutiliza este modelo para analizar la venta de cemento con tres proveedores diferentes.

Este art́ıculo es interesante porque, aún en sus diversas marcas o procedencias, son productosson relativamente homogéneos, y en general la variable precio tiende a ser relevante al momentode la toma de decisiones del consumidor. En este caso espećıfico uno de los productos es diferente,ya que es a granel, aspecto que surge en el modelo y se refleja en su precio.

Las relaciones que surgen entre la variación de precios se constatan con la realidad y elanálisis que se realiza en la sección 4.2.4 enriquece el análisis. En el la sección 4.3 el documentocontinua con el análisis de este tipo de modelos pero ahora incorporando un análisis de dos etapas.Para poder realizarlo, se logró incorporar grandes grupos de art́ıculos y distintos productos dentrode los grupos. Aqúı la selección de productos se definió en siete tipos de bienes, siempre en elrubro del cemento.

A la hora de constatar los resultados, un punto a tener en cuenta es como vaŕıan las de-cisiones de consumidores en incorporar un parámetro estacional. Si bien para analizar ciertastendencias y estacionalidad seŕıa recomendable una serie de tiempo mas extensa (5 años o mas),debe tenerse en cuenta que la construcción de por si en estas latitudes tiene un comportamientoestacional, por lo que al analizar los resultados tres años resultan suficientes para su análisis.

A partir de la sección 4.4 el texto incorpora otra visión de análisis que es el comportamientodel comerciante planteando distintos escenarios, realizando variaciones de precios en función desus intereses y posibilidades, finalizando el trabajo con un análisis de intervalos de confianza yun análisis emṕırico. Como puede observarse este trabajo es dinámico y en los distintos puntosva intercalando el análisis del comportamiento la oferta y el comportamiento del consumidor odemanda, y aśı su lectura permite poder conocer distintas herramientas de análisis para la tomade decisiones.

Karina Franciscovic

Ir al Índice10

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios

Capı́tulo 1INTRODUCCIÓN

La elección de una poĺıtica de precios en un negocio es una tarea dif́ıcil y que implica una seriede factores a considerar, además del objetivo final para el cual se implementa dicha poĺıtica. Esteobjetivo podŕıa ser la maximización del beneficio. Sin embargo, aún para analizar una posiblepoĺıtica de precios considerando este objetivo, son numerosos los factores que pueden influir(el comportamiento de los compradores, los problemas de almacenamiento, de estacionalidad ocaducidad de los art́ıculos, las caracteŕısticas regionales, las poĺıticas generales en relación a lainflación, el control de precios, etc.).

Evidentemente, desde un punto de vista estad́ıstico es imposible considerar un modelo quecontemple todas estas variables en forma adecuada. Sin embargo un análisis de algunas de ellaspuede ser una herramienta muy útil a la hora de tomar una decisión cuando el resto de lasvariables pueden ser controlables.

En la primera parte de este caṕıtulo realizamos una revisión de la teoŕıa general. Por unlado hacemos un repaso de algunos aspectos involucrados en la determinación de una poĺıtica deprecios tales como las caracteŕısticas de los clientes y los problemas de inventario. Ya que algu-nas caracteŕısticas de los art́ıculos tales como si son perecerederos o no, si su demanda aumentaestacionalmente o no debeŕıan ser tenidas en cuenta a la hora de fijar una poĺıtica de precios.Por otra parte, las actitudes de los clientes, como por ejemplo si compran en un momento dado oesperan a que el producto que necesitan baje de precio, u otras, pueden influir notablemente enla determinación de una adecuada poĺıtica de precios. A continuación, acercaremos el lenguajede la teoŕıa básica de la utilidad con el de elecciones sociales, y la dualidad entre estos concep-tos, ya que hay un área de la economı́a que utiliza la teoŕıa del consumidor como una entradaesencial a partir de la cuál se proponen diversos modelos de demanda. La idea de la dualidades un potente dispositivo en el trabajo económico actual relacionado con el comportamiento delconsumidor. Posteriormente se presentarán algunos modelos de demanda.En el segundo capitulo estudiaremos el sistema de demanda AIDS y su aproximación a un mode-lo lineal. También estimaremos, a partir de estos modelos, las elasticidades y una aproximaciónde la función de beneficio. Además se presentarán algunas propuestas y ejemplos para el análisisde información a través de los mismos.

1

Introducción1

Ir al Índice

11

Diblasi - Maglione

Capı́tulo 2CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICASDE PRECIOS

2.1. INTRODUCCIÓN

Considerar el precio de un producto es una tarea complicada ya que esto requiere que

la compañ́ıa reconozca sus costos operativos y las posibilidades de abastecerse

la evaluación que el cliente le da al producto y lo que demandará en un futuro

Para ello la compañ́ıa debe tener una buena información de sus clientes y poder colocar y ajustarsus precios en función del costo mı́nimo.

Por otra parte, el avance tecnológico y particularmente de la tecnoloǵıa de la información, hahecho que los vendedores puedan cambiar sus precios a bajos costos e incrementar la conexiónentre vendedores y clientes.

Los mecanismos utilizados en el intercambio de productos pueden dividirse en dos grandescategoŕıas:

un art́ıculo se vende a un precio determinado por el vendedor (take-it-or-leave-it)

el precio del art́ıculo se determina en una licitación o subasta

En nuestro trabajo nos limitamos a la primera opción. En la misma los precios eran estáticoshasta hace algunos años debido a las dificultades de cambiarlos. En la actualidad ellos sondinámicos y se basan en factores tales como el tiempo de venta, la información acerca de lademanda y la posibilidad de adquirir más productos.

Algunas empresas donde la capacidad es dif́ıcil de cambiar rápidamente (ĺıneas aéreas ymaŕıtimas, hoteles, compañ́ıas de electricidad) han utilizado técnicas de precios dinámicos enforma global con el objetivo de balancear la oferta y la demanda. En estos casos el cambio deprecios se realiza con muy escaso costo. Sin embargo en algunas industrias donde el suministro acorto plazo es más flexible (o el costo de cambiar los precios más alto), los mecanismos de preciosdinámicos han estado más acotados. Hasta muy recientemente los manufactureros y minoristascomo almaceneros, farmacéuticos, vendedores de ropa, se concentraron especialmente en manejarel inventario para mejorar las prácticas de suministros y alcanzar una mejor relación entre lademanda y la oferta pero fueron reacios a utilizar técnicas de pricing y uso de software.

3

Conceptos Básicosde políticas de precios2

Ir al Índice12

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios

4 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

Aśı, a pesar de sus mejoras en el manejo de la relación demanda-oferta se pierde muchacantidad de dinero por ventas no realizadas y exceso de suministro. Esto ha conducido a queen la actualidad muchas de estas empresas estén abocadas a mejorar esta relación a través deadecuadas poĺıticas de precios y softwares espećıficos.

Los sistemas POS (point of sale) les permiten a los minoristas recoger datos no sólo acerca delas ventas sino también acerca de las caracteŕısticas demográficas y preferencias de los clientes.En particular los minoristas que realizan ventas por Internet pueden recoger grandes cantidadesde datos. Estos datos pueden organizarse en sistemas IRP (Interprice Resource Planning) ymanipularse con la ayuda de herramientas de decisión para elaborar adecuadas estrategias deprecios y demanda. En estas ventas por Internet el costo de cambio de precios es muy bajo yfácil de realizar. Para los minoristas el cambio de precios tiene un costo más elevado.

Los proveedores de soluciones en el contexto del cambio de precios ofrecen a los proveedoresestrategias alternativas para determinar precios y optimizarlos.

2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE POLÍTICASDE PRECIOS

A continuación abordamos una descripción muy general de situaciones que pueden plantearsecuando se compran (o venden) productos. Estos pueden ser repuestos o no, depender de lascompras (ventas) anteriores o no, afectar el comportamiento del vendedor (comprador) o no,entre otros aspectos. Además estas situaciones pueden darse individualmente o combinarse entreellas.

2.2.1. REEMPLAZO VERSUS NO REEMPLAZO

Nos referimos aqúı a las posibilidades de reemplazo del art́ıculo vendido durante la etapaen la que se planifica la poĺıtica de precios. Por ejemplo, en una tienda de ropa de moda noes tan fácil el reemplazo de los art́ıculos que se venden porque se corre el riesgo de que quedemercadeŕıa al final de la temporada. Por otra parte en un negocio de art́ıculos para el hogar,el reemplazo de una heladera que se vende no implica el mismo riesgo si queda para el veranosiguiente.

2.2.2. DEMANDA DEPENDIENTE DEL TIEMPO VERSUS DEMANDAINDEPENDIENTE DEL TIEMPO

La demanda de un producto puede ser dependiente del tiempo si el producto es durable osi el conocimiento de los clientes acerca del producto juega un papel importante en su decisiónde comprarlo. En el primer caso se puede modelar la demanda total como si fuera fija. En estecontexto, la venta de un art́ıculo hoy implica una venta menos mañana. En el segundo caso unapoĺıtica publicitaria adecuada puede influenciar la demanda futura del producto.La demanda está gobernada por un proceso de difusión. Las ventas futuras están generalmentecorrelacionadas con ventas pasadas. La mayoŕıa de los productos involucrados tienen un largociclo de vida por lo que la investigación en este contexto se centraliza en largos periodos, usual-mente el de la duración del producto. No se consideran situaciones de suministro ni capacidadde almacenamiento.

Ir al Índice

13

Diblasi - Maglione2.3. MODELOS DE DEMANDA SEGÚN EL TIPO DE MERCADO 5

2.2.3. CLIENTES MIOPES VERSUS CLIENTES ESTRATEGAS

El comportamiento de los clientes afecta también a la poĺıtica de precios. Un cliente miopees aquel que compra el producto cuando baja de precio sin importarle el precio futuro. Con estecliente la poĺıtica de precios permite ignorar el efecto de disminuciones del precio en el futuro.

Un cliente estratega tiene en cuenta el rumbo futuro del precio antes de tomar una decisiónde compra. En este caso la poĺıtica de precios es más compleja porque debe tener en cuenta nosólo el precio actual sino también el futuro.

2.2.4. ALGUNAS COMBINACIONES DE ESTAS CARACTERÍSTICAS

Entre las combinaciones más relevantes que se dan en la práctica consideramos: no reemplazoe independientes en el tiempo (NR-I) y con reemplazo, independientes en el tiempo y con clientesmiopes (R-I-M).

En nuestro caso vamos a analizar varias situaciones reales. Para estas situaciones en par-ticular y siguiendo la clasificación anterior, estaŕıamos ante la presencia de productos que sereemplazan, que pueden ser dependientes en el tiempo.

2.3. MODELOS DE DEMANDA SEGÚN EL TIPO DE MER-CADO

En esta sección realizamos una breve reseña de las caracteŕısticas de los tipos de mercadosmencionados anteriormente. El objetivo es el de puntualizar las propiedades que se suponen enforma impĺıcita ante la elección de uno u otro. Se muestran también algunos modelos particularesde la bibliograf́ıa respectiva a modo de ilustración.

2.3.1. MERCADOS DE TIPO NR-I

En las últimas dos décadas, la variedad de algunos art́ıculos ha crecido notablemente mientrassu periodo de vida ha decrecido. Por ejemplo, la venta de lavarropas, secarropas y lavavajillasse incrementó en un 70% en el primer trimestre del 2011. Las camisas de hombre y la ropadeportiva femenina también creció notablemente en variedad. Si bien por un lado se mejoraronlas prácticas de suministros mediante cadenas de ventas y mediante la tecnoloǵıa, por otro eltiempo en obtener productos básicos de importación desde páıses lejanos y el acortamiento delperiodo de demanda condujeron a cometer muchos errores de predicción. Dado que los nivelesde inventario y la longitud del periodo de venta son predeterminados, las decisiones respectode una poĺıtica de precios se vuelven más importantes. En algunos art́ıculos de la literatura seha planteado cómo deben tomarse decisiones respecto de los precios. Los supuestos más usualesque se realizan en estas referencias son:

1. La firma opera en el mercado con competencia imperfecta (monopólica)

2. El horizonte T del mercado es finito

3. La firma tiene un stock de n items y no son repuestos en el periodo de venta

4. La inversión en el inventario no tiene costo

5. La demanda decrece con el precio (p)

6. Los ı́tems no vendidos tienen un precio de costo

Ir al Índice14

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios6 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

De esta manera, dado un inventario limitado sin la opción de reposición, el objetivo es adecuarel precio para maximizar el beneficio esperado en el periodo de venta. Uno de los elementosmás importantes que influyen en el precio es la demanda y cómo ella reacciona con los cambiosde precio y otros factores. En general se usan las siguientes dos alternativas para modelar lademanda:

La demanda se modela como una función de varios parámetros tales como el tiempo y elprecio

La demanda se deriva de una familia paramétrica de utilidades del cliente. Por ejemplo,Gallego y van Ryzin (1994) y Feng y Gallego (1995) modelan la demanda como un procesode Poisson con intensidad dada por una función λ(p) no creciente en p. Estos autoresconsideran funciones de demanda regulares que cumplen:

i. Existe una correspondencia biuńıvoca entre precios y razones de demanda: λ(p) tieneinversa p(λ). La razón de rédito es r(λ) = p

′(λ)

ii. ĺımλ→0+(r(λ)) = 0

iii. r es una función de λ acotada, continua y cóncava.

iv. Existe λ∗ tal que r∗ = r(λ∗) = máxλ≥0 r(λ)

Los modelos de demanda propuestos por Bitran y Mondschein (1997) y por Bitran et al.(1998) son similares al propuesto por Gallego y van Ryzin (1994) con la diferencia que losprimeros plantean una razón de llegada λ(t) que depende del tiempo t en lugar del preciop mientras que la razón de venta depende del precio que los clientes desean pagar y tieneuna distribución conocida ft que puede cambiar con el tiempo t. La justificación para estemodelo es que las rebajas raramente son publicitadas y, en consecuencia, los clientes tienen pocainformación sobre los precios antes de ir al negocio. Por esto, la razón de llegada de los clienteses independiente del precio pero su verosimilitud de comprar śı depende de él. Lazear (1986) yElmaghraby et al. (2002, 2003) modelan la demanda usando los precios que los clientes quierenpagar. El primero lo hace en forma probabiĺıstica y los segundos en forma determińıstica. Smithy Achabal (1998) modelan la demanda como una función del precio y del impacto del inventario.En algunos productos existe una relación entre la demanda y el espacio de exhibición. En generalse supone un valor mı́nimo f0 por encima del cual la demanda no resulta afectada. Ellos modelanla demanda como una función determińıstica:

x(p, I, t) = k(t)y(I)exp(−p)

donde

k(t) es la demanda estacional en el tiempo t

y(I) es el efecto del inventario al nivel I

exp(−p) es la sensibilidad de la demanda cuando el precio es p

Todos estos modelos no consideran el efecto de los precios pasados sobre los futuros y todosconsideran clientes miopes (excepto en el trabajo de Elmaghraby et al. (2002)). Un aspectointeresante es analizar cómo es la forma de la variación de los precios con el tiempo en unmodelo NR-I.

De acuerdo a los supuestos, los precios decrecen con el tiempo en la propuesta de Lazear(1986) o pueden tanto crecer como decrecer en las de Feng y Gallego (1995), Gallego y van Ryzin(1994) y Bitran y Mondschein (1997) aunque en estos dos últimos mantienen una tendenciadecreciente. En Lazear (1986) los supuestos de que los clientes son miopes y que evalúan elproducto de la misma manera conducen a precios decrecientes. Si un producto no se vende alprecio p, el vendedor puede inferir que los clientes quieren pagar menos y baja el precio.

Ir al Índice

15

Diblasi - Maglione2.3. MODELOS DE DEMANDA SEGÚN EL TIPO DE MERCADO 7

Lazear (1986) y Elmaghraby et al. (2002) estudian poĺıticas de precios periódicas en las quelos precios son actualizados en intervalos de tiempos fijos. En otros trabajos se discuten poĺıticasde precios continuos donde se pueden distinguir dos caracteŕısticas fundamentales:

El precio es una función continua del tiempo.

Dado un conjunto discreto de precios posibles, el tiempo entre dos cambios de precio esuna variable de decisión.

Intuitivamente si los precios son periódicos, al conjunto de clientes que llegan en un intervalode tiempo se les pide el mismo precio. Por el contrario, si los precios son continuos, la llegada decada cliente se considera secuencial en el tiempo y teóricamente puede recibir un precio diferente.

Lazear (1986) estudia el precio de un solo art́ıculo (n=1) y considera que todos los clientestienen la misma evaluación V del producto (V es una variable aleatoria con distribución F (V) ).Bajo este supuesto encuentra que el mayor beneficio se logra cuando se tienen dos periodos. Laidea es que si en el primer periodo el precio es muy alto, el vendedor puede bajarlo de acuerdo ala valuación de los clientes. Este problema puede extenderse al caso en que se tienen compradoresgenéricos sin intención de comprar. Si su número es muy grande, el vendedor no puede saberacerca de su valuación y el problema de dos periodos con precios diferentes es equivalente al dedos problemas independientes con precios constantes.

2.3.2. MERCADOS DE TIPO R-I-M

Los supuestos considerados en los mercados NR-I no son adecuados para los mercados dondeel inventario debe ser repuesto y los productos son de corta duración como en el caso de bienes deconsumo y productos frescos. El planteo de los minoristas es cómo coordinar precios y reposiciónsimultáneamente. Si el gerente coloca el precio demasiado bajo entonces puede vender todo elinventario demasiado rápido y perder clientes. Si por el contrario los coloca demasiado altos, susestantes se vaciarán demasiado lentamente y esto implicará un gasto de mantenimiento.En los art́ıculos analizados para esta sección se considera que el vendedor es un monopolistaque vende un único producto en varios periodos y en cada periodo la demanda no depende delas ventas del periodo anterior. El objetivo del vendedor es ajustar su inventario y poĺıtica deprecios en cada periodo para balancear demanda e inventario y obtener el máximo beneficio.Karlin y Carr (1962) y Lau y Lau (1939) suponen que el precio es estático, que vaŕıa de periodoen periodo y que es una variable de decisión que es exógena al manejo del inventario.Federgruen y Heching (1999), Thowsen (1975) y Zabel (1970) analizan problemas de precios einventarios óptimos considerando precios que se mantienen constantes por periodos, en contra-posición con precios continuos.En cada periodo y antes de conocer la demanda el vendedor debe decidir la cantidad a producir,gt , dado el inventario de partida, xt (donde t indica el número de periodos restantes). Equiva-lentemente el vendedor debe decidir cuánto inventario yt debe tener al comenzar cada periodo.Aśı, incurre en dos tipos de costos en el periodo t:

un costo de producción c(gt) si gt > 0

Un costo de mantenimiento c(yt − qt) donde qt es la demanda en el periodo t que esconsiderada como una función aleatoria del precio

Gallego y van Ryzin (1994) y Feng y Gallego (1995) proponen un modelo de Poisson parala demanda. Por otra parte, Zabel (1970), basándose en el trabajo de Karlin y Carr (1962),considera un modelo con los siguientes supuestos:

El vendedor tiene un horizonte finito.

Las órdenes de producción son completadas instantáneamente.

Ir al Índice16

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios8 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

El costo de producción, c, es una función convexa de qt.

La demanda no satisfecha se pierde.

Bajo estos supuestos propone dos modelos de demanda:

1. Modelo multiplicativo: qt = ηtu(pt)

2. Modelo aditivo: qt = u(pt) + ηt

donde u(pt) = a− abpt es una función de demanda lineal con pendiente negativa y ηt una variablealeatoria con distribución exponencial o uniforme tal que E(ηt) > 0.Para el modelo de demanda aditivo, Zabel (1970) encuentra que:

El precio óptimo, p∗t , es una función decreciente del inventario y(t) en el momento t.

La cantidad óptima a producir, q∗t es una función decreciente del inventario de partida xt(si q∗t < xt).

Dado un nivel de inventario, y, el precio óptimo cuando quedan t periodos es mayor quecuando quedan t− 1 : p∗t (y) > p∗t-1(y).

La cantidad óptima a producir también es una función decreciente del número de periodosrestantes para un dado valor de partida x : y∗t (x) > y

∗t-1(x) .

El nivel cŕıtico, x∗t , es decreciente en t

Thowsen (1975) extiende el modelo de Zabel (1970) agregando la posibilidad de una con-traorden para el vendedor, el posible deterioro del inventario con el tiempo de manera que lademanda no se satisface hasta que el pedido no se recibe. Encuentra que una poĺıtica BSLP(Base Stock List Price) es óptima cuando se satisface toda la demanda, los costos de producciónson lineales, los costos de mantenimiento y terminación del inventario son convexos y E(η) < ∞.También encuentra que una poĺıtica BSLP es óptima cuando se permite satisfacción parcial dela demanda (back logging), los costos de producción y terminación del inventario (stock out)son lineales, los costos de mantenimiento son convexos y la distribución de η pertenece a unafamilia con E(η) = 0. Una poĺıtica BSLP verifica:

1. Si el inventario en el tiempo t, xt , es menor que algún nivel de stock básico y∗t , se produce

lo suficiente como para elevar el inventario al nivel y∗t con el precio p∗t .

2. Si el inventario en el tiempo t, xt, es mayor que el nivel de stock básico y∗t , no se produce

nada y se ofrece el producto a un precio de descuento p∗t (xt) que es decreciente en xt .

Federgruen y Heching (1999) ampĺıan el modelo anterior a casos donde

Los precios sólo pueden decrecer con el tiempo.

T = +∞

Ellos generalizan el modelo de demanda a un modelo de la forma dt = γt(p)εt + δt(p) donde γty δt son funciones con derivadas negativas y εt es una variable aleatoria con esperanza finita. Apartir de este modelo encuentran que:

Cuando no hay restricciones sobre el movimiento de los precios entonces la mejor poĺıticaes la BSLP

Cuando los precios sólo pueden decrecer con el tiempo entonces se plantea una poĺıticaBSLP modificada

Ir al Índice

17

Diblasi - Maglione2.3. MODELOS DE DEMANDA SEGÚN EL TIPO DE MERCADO 9

Es decir,

1. Si el precio pt+1 ≥ p∗t entonces implementar una BSLP.

2. Si, por el contrario, pt+1 < p∗t , encontrar el inventario óptimo correspondiente a pt+1,

ŷ(pt+1).

Si el inventario al comienzo del periodo t, xt, es menor o igual que ŷ(pt+1), elevar elvalor del inventario a ŷ(pt+1) y adjudicarle el precio pt+1.

Si el inventario al comienzo del periodo t, xt, es mayor que ŷ(pt+1), no producir naday adjudicarle el precio p∗(xt) ≤ pt+1.

En el caso T = +∞, consideran dos posibles objetivos para el vendedor:

1. Que el vendedor desea maximizar el beneficio total esperado. En este caso la poĺıtica BSLPes la óptima.

2. Que el vendedor desea maximizar el beneficio promedio. En este caso la poĺıtica de preciosóptimos depende de si el precio se puede mover libremente o si sólo se le permite bajar.

Si se le permite mover libremente, entonces una BSLP es óptima.

Si sólo se le permite bajar, entonces la mejor estrategia es fijar el precio a un valorp′en todos los periodos y seguir una poĺıtica de pedidos crecientes de acuerdo al

inventario.

Rajan et al. (1992) consideran una poĺıtica de precios óptima para cambios de precios queocurren en un periodo y cuando el producto es un art́ıculo perecedero. El vendedor solicita unanueva partida cada T periodos y esta es enviada instantáneamente. En este trabajo la demandaes determińıstica y es una función del producto y del precio. Hay cuatro tipos de ellos asociadoscon el inventario.

Un costo fijo k cada vez que el pedido es recibido

Un costo constante c0 para cada unidad

Un costo de mantenimiento h por unidad y por periodo de tiempo

Un costo asociado con el decaimiento del inventario en el tiempo

Dado un nivel de inventario It en el tiempo t, la razón a la cual esta decae está dada porW (t) = σ(t)It.Dado que la demanda es determińısitca y la reposición instantánea, el vendedor debe terminarcon la mercadeŕıa dentro de cada ciclo. Los problemas que debe resolver para maximizar elbeneficio promedio en el tiempo son:

El comportamiento óptimo del precio dentro de cada ciclo

La longitud T del ciclo óptimo

La cantidad Q óptima que debe solicitar

Ellos encuentran que:

1. El precio óptimo p∗t para t periodos después del último pedido es independiente de T

2. El precio óptimo es único aunque no necesariamente constante. Puede crecer, decrecero ambos debido al comportamiento de los costos y la proporción en que disminuye lademanda cuando aumenta la edad del producto

Ir al Índice18

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios10 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

Cuando t crece, el costo por unidad también crece debido al envejecimiento del producto, lo cualtiende a hacer aumentar el precio. Sin embargo esta presión es contrarrestada por la deman-da decreciente por la misma razón del envejecimiento. Si el inventario decae en gran medida,entonces la presión a levantar los precios aumenta. Si, por el contrario, la demanda decrecemás rápidamente, la presión a disminuir los precios predomina y puede ser conveniente para elvendedor ya que atrae a los clientes a que vuelvan. Biller et al.(1998) consideran el problema deatribuir precios (pricing) a un solo producto que vende directamente a los clientes (motivadospor Internet). Suponen que la demanda es determińıstica y sólo función del precio. Considerantambién que pueden producir una cantidad máxima Qt de unidades en el periodo t a un costo ktpor unidad. Los productores tienen además del costo de producción, un costo de mantenimientopor unidad. Estos costos y la demanda pueden variar de un periodo a otro. Los productorespueden reservar stock para ventas futuras. El problema es determinar:

Precios óptimos (discretos)

Cantidades de producción en T periodos con las restricciones de capacidad

Mediante experimentos numéricos ellos concluyen que:

1. Los precios dinámicos reducen significativamente la variabilidad de las ventas.

2. Los beneficios de una poĺıtica de precios dinámica son grandes cuando la demanda comienzasiendo alta y decrece con el tiempo

3. Los beneficios son menores cuando la demanda comienza siendo baja y crece con el tiempo

2.4. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DELCONSUMIDOR

2.4.1. PREFERENCIAS Y DEMANDA

Vamos a considerar ahora las limitaciones que enfrentan los consumidores al momento dehacer sus compras o elecciones y de esta manera intentar crear un acercamiento entre la teoŕıabásica de la utilidad con las elecciones sociales. Realizamos una breve introducción en un áreade la economı́a que utiliza la teoŕıa del consumidor como una entrada esencial a partir del cualse proponen diversos modelos de demanda con el objetivo de dar un fundamento teórico a losmodelos de demanda que luego aplicamos.

2.4.2. LÍMITES EN LA ELECCIÓN DE CANASTAS DE BIENES

Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son directamente observables para cual-quier consumidor y cualquier variación en las oportunidades puede influir directamente sobre laelección. Esto muestra que los cambios en las elecciones generalmente son debidos a la variaciónen el conjunto de oportunidades.El conjunto factible puede describirse cuando los hogares tienen un ingreso x, el cual gastandurante un peŕıodo en m bienes, o en algunos de ellos. Dado que los bienes, o la cantidad deellos, son positivos, a precios positivos, la restricción puede escribirse como: x ≥

∑i piqi, donde

x es el ingreso del hogar y pi y qi son el precio y la cantidad del bien i respectivamente.A pesar de la importancia de la no linealidad, gran parte de la teoŕıa de la demanda del con-sumidor se construye con la suposición de relación lineal, por lo que vamos a reemplazar larestricción no lineal por una lineal en el gasto.Aśı, si x es el gasto total, y pi y qi el precio y la demanda del art́ıculo i, i = 1, ..., n, entoncesel ingreso total lo podemos representar como x =

∑i piqi (las preferencias deben cumplir la

Ir al Índice

19

Diblasi - Maglione2.4. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR 11

propiedad de no saciedad local).

2.4.3. AXIOMAS DE ELECCIÓN Y UTILIDAD

Un elemento fundamental en la teoŕıa microeconómica consiste en cómo los individuos reali-zan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de un conjunto disponibles de las mismas. Lateoŕıa postula que cada individuo ordena las alternativas de acuerdo con su preferencia relativa.La preferencia supone una elección entre ciertas alternativas y la posibilidad de ordenarlas. Deesta forma, cuando el individuo realiza una elección, éste selecciona la alternativa con aquelloque más le conviene o más utilidad le brinda de todo lo posible.A partir de las preferencias es posible crear una función de utilidad, la cual asigna un valor reala cada canasta siempre y cuando se respeten las preferencias establecidas.Las relaciones de preferencia se definen en torno a un conjunto de axiomas sobre el campo de laselecciones posibles (en nuestro caso, las compras individuales sobre los productos básicos bajoanálisis, aunque no se debeŕıa perder de vista que las elecciones podŕıan realizarse en un campomucho más amplio como por ejemplo los distintos estilos de vida). Para cualquier relación depreferencia, para la cual existe al menos función de utilidad, hay infinitas funciones continuas deutilidad que las representan. Y de manera rećıproca, cualquier función de utilidad puede usarsepara construir una única relación de preferencia.

A continuación desarrollaremos brevemente la vinculación entre los axiomas de elección y lafunción de utilidad que surge a partir de ellos.

Asumamos la existencia de n alternativas, éstas pueden contener n bienes que podemosposeer. En general, cuando hay n alternativas en algún orden que se desea, se podrá expresarun orden de preferencias entre las mismas. Cuando algunas alternativas tienen el mismo nivelen la lista, se tendrá indiferencia entre ellas. Existen dos propiedades importantes sobre la listade elecciones:

Primera, es posible comparar dos alternativas diciendo cuál de las dos es preferida; de estaforma, ó una es más preferida que la otra, o ambas tiene el mismo nivel de preferencia(indiferencia).

Segunda, dada la naturaleza de las preferencias ésta no es ćıclica, es decir, si la primeraalternativa es preferida a la segunda, y la segunda es preferida a la tercera, entonces laprimera alternativa es mejor (mayor) que la tercera.

Aśı se puede establecer un orden, y si solamente algunas de las alternativas son posibles, entoncespodrá seleccionarse aquella alternativa que más se prefiera. Un orden más general se establecepara un número infinito de elementos y aun cuando la lista con dicho orden sea complicada, elordenamiento se mantiene.Lo que buscamos es describir las propiedades de las preferencias y a la vez establecer un marcodentro del cual se pueda operar. Para ello se definen un conjunto de axiomas de elección, cuyaaceptación es equivalente a la existencia de una función de utilidad. No todos estos axiomasson igualmente importantes, algunos son necesarios para algunos propósitos y no todos tienencontenidos económicos.

Definimos la relación .al menos tan bueno como”, es decir, dados dos paquetes o canastasq1 y q2 elegibles, denotamos como q1 � q2 si y solo śı q1 es al menos tan buena como q2 (q1 espreferido a q2).

Esta relación satisface los siguientes axiomas:

Ir al Índice20

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios12 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

1. Reflexividad : Para toda canasta q, q � q (cada canasta de bienes es tan buena como śı misma)

2. Completitud : Para cada par de canastas q1 y q2, q1 � q2 ó q2 � q1Si q1 � q2 y q2 � q1, entonces decimos que las canastas son indiferentes, y lo denotamoscomo q1 ∼ q2.Este axioma asume que el consumidor puede juzgar entre dos canastas de productos, es decir,que las canastas se pueden comparar, ya sea porque son indiferentes o porque se prefiere unaopción a la otra.

3. Transitividad : q1 � q2 y q2 � q3, entonces q1 � q3 (plantea la coherencia en la elección, poresto también se la llama consistencia)

Estos axiomas definen un orden de preferencia (racionalidad) entre las canastas. No todoslos órdenes de preferencia pueden ser representados por una función de utilidad, esto sóloserá posible si podemos adjuntar un número a cada canasta de manera que canastas connúmeros más altos sean preferidas a los de números inferiores. Esto puede hacerse si paracada q′ podemos dibujar una superficie de indiferencia que separe al conjunto de las canastasque son al menos tan buenas como q′ (que llamaremos A(q′)) y el de las canastas en las cuálesq′ es tan bueno como ellos (que denotaremos B(q′)). La curva que separa estas dos regioneses la curva de indiferencia para q′.

4. Continuidad : Sea q′ una canasta, definimos los conjuntos A(q′) = {q|q � q′} y B(q′) = {q|q′ �q}, entonces A(q′) y B(q′) son conjuntos cerrados.

La intersección de ambos conjunto define el conjunto de indiferencia que también resulta sercerrado.Los economistas tienen un interés general por analizar las preferencias, una práctica comúnconsiste en dirigir la atención exclusivamente a las elecciones entre opciones cuantificables.Si la ordenación de preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua, entonces laspreferencias se pueden representar a través de una función de utilidad continua. La funciónde utilidad, v, es una función con valores reales, definida sobre el conjunto de canastas, detal forma que el orden de las preferencias sobre el conjunto se preserva por la magnitud dev. De esta forma, una función de utilidad tiene la propiedad de que dados dos elementos q′ yq, v(q′) ≥ v(q) ⇔ q′ � q, aśı las preferencias se pueden tratar v́ıa una función v(q). La mejorelección es el que da el valor más alto de v(q). Sin embargo es necesario restringir la eleccióna las restricciones de presupuestos, esto lo realiza el siguiente axioma.

5. Insaciedad : La función de utilidad es no decreciente en cada uno de sus argumentos y paratoda canasta q en el conjunto de elección es creciente en al menos uno de sus argumentos.

Los axiomas 1-5 reducen el problema de elección del consumidor al de la maximización res-tringida de la utilidad. La v existe, pero la unicidad es salvo funciones monotónicas crecientes,es decir, si f es monotónica creciente entonces v(q1) ≥ v(q2) si y solo śı f(v(q1)) ≥ f(v(q2))La teoŕıa del comportamiento del consumidor se basa en las preferencias y utiliza a la funciónde utilidad como una manera de cuantificar la relación de orden. Aśı la función de utilidadpuede ser considerada como una función que representa las preferencias.

6. Convexidad : Si q1 � q0 ⇒ ∀λ ∈ [0, 1], λq1 + (1− λ)q0 � q0, por lo tanto A(q) es un conjuntoconvexo, lo cual dice que las curvas de indiferencia lo son respecto del origen.La propiedad de convexidad de las preferencias se traslada a una propiedad sobre la función

Ir al Índice

21

Diblasi - Maglione2.5. LA FUNCIÓN DE DEMANDA MARSHALLIANA 13

de utilidad. Una función escalar Θ(x1, x2, ..., xn), n ≥ 2 se dice quasi-cóncava si ∀x1 y x0tq. Θ(x1) ≥ Θ(x0), ∀λ ∈ [0, 1],Θ(λx1 + (1 − λ)x0) ≥ Θ(x0). Desde esta definición y delaxioma 6 se sigue que las preferencias son convexas si y solo śı la función de utilidad v es unaquasi-cóncava.

2.5. LA FUNCIÓN DE DEMANDA MARSHALLIANA

Suponiendo que existen las funciones de demanda, el consumidor de alguna forma tiene re-glas que le permiten tomar decisiones sobre qué bienes comprar y cuánto desembolsar. Llamenosqi, i = 1, . . . , n a estas funciones de demanda. Estas pueden depender del vector de los preciosp = (p1, p2, · · · , pn) de todos los art́ıculos y del total de lo que se está dispuesto a gastar (opresupuesto) o bien de los precios y de la utilidad.

Las funciones de demanda marshallianas son aquellas que describen a la demanda en funcióndel presupuesto (ingreso o gasto) total x y los precios. Aśı las podemos denotar como qi =gi(x,p); i = 1, . . . , n , donde se supone que las gi son funciones continuamente diferenciables.Bajo esta notación, el presupuesto total puede escribirse como

x =n∑

i=1

piqi =n∑

i=1

pigi(x,p) (2.5.1)

Esta expresión es conocida como ley de Walras. Esto significa que el consumidor consumetotalmente su renta.

1. La suma anterior debe ser igual al total x (el gasto total está restringido por el presupuestototal). Esto implica que las funciones de demandas marshallianas deben cumplir con larestricción (2.5.1) que se conoce como restricción de sumatoria o de adición.

2. También en la expresión (2.5.1) si modificamos cada precio pi de manera que resulte θpidebe resultar que la cantidad x se modifique también en θx. Luego, debe ser gi(θx, θp) =gi(x,p), i = 1, . . . , n. En otras palabras, gi, i = 1, . . . , n deben ser funciones homogéneasde grado cero en x y p. Esto significa que las unidades en que los precios y el totalson expresados no afectan las compras o la percepción de oportunidades (conocida comoausencia de ilusión monetaria).

Derivando la expresión x =∑

i pigi(x, p) con respecto de x y de los precios tenemos las siguientesdos identidades:

Si en la expresión (2.5.1) se dejan fijos los precios p, se obtiene una expresión de las de-mandas en función de la variable x (presupuesto o gasto total o renta total, de acuerdo alsignificado del contexto) que se conoce como curva de Engel. Si, además, en la curva deEngel dejamos todas las cantidades (o demandas) fijas salvo una, esta curva tendrá pen-diente positiva (a medida que la renta aumenta, la demanda también aumenta) si el bienes superior o normal, o negativa (a medida que la renta aumenta la demanda disminuye)si el bien es inferior (un ejemplo clásico es el transporte). Derivando (2.5.1) resulta la laexpresión conocida como fórmula de agregación de Engel

1 =∑i

pi∂gi∂x

(2.5.2)

Si en (2.5.1) se derivan las componentes de p, para cada x fijo, se obtiene la expresiónconocida como fórmula de agregación de Cournot

0 =∑i

pi∂gi∂pj

+ qj ; para cada j = 1, . . . , n. (2.5.3)

Ir al Índice22

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios14 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

o en forma matricial,0 = pTDpg + q

donde p es el vector columna de los precios, q es el vector columna de las demandas yDpg es la matriz de las derivadas parciales de las funciones gi, i = 1, . . . , n respecto de losprecios pj , j = 1, . . . , n.El gasto total no puede cambiar ante un cambio en los precios.

Dado que qi = gi(x,p) , la restricción de homogeneidad implica que∑

k pk∂gi∂pk

+ x∂gi∂x = 0(aśı un cambio proporcional en p y x dejará las compras del bien i sin cambios).

Estas fórmulas pueden expresarse de manera más clara si introducimos nuevas notaciones.

wi =piqix

, i = 1, . . . , n (2.5.4)

es, para cada bien (o art́ıculo), la proporción de la renta total vendida o comprada del bieni, i = 1, . . . , n.

ei =∂log(gi(x,p))

∂log(x), i = 1, . . . , n (2.5.5)

se la conoce como elasticidad ingreso de la demanda. Mide la variación porcentual queexperimenta la cantidad demandada de un bien, cuando aumenta la ingreso total (o renta)en un 1%. .

eij =∂log(gi(x,p))

∂log(pj); i, j = 1, . . . , n (2.5.6)

que define la elasticidad precio de la demanda y mide la variación porcentual de la cantidaddemandada del art́ıculo ( o bien) i cuando el precio del art́ıclo j aumenta en un 1%. Estaselasticidades se llaman también elasticidades no compensadas. Las elasticidades eii son laselasticidades de precios propio, y los elementos fuera de la diagonal principal eij con i �= json las elasticidades de precio cruzada.

Las elasticidades definidas por las ecuaciones (2.5.5) y (2.5.6) se conocen como elasticidadesde Marshall o Mashallianas. Ellas heredan su nombre de las funciones de demanda de Marshallque dependen de estas variables. Estas elasticidades son funciones del vector de precios p y dela renta total o ingreso total x cuando este es variable.

Veamos ahora algunas propiedades de las elasticidades de Marshall.

Propiedad 2.5.1. La suma ponderada de las elasticidades de ingreso para todos los bienes esigual a uno, siendo las ponderaciones las proporciones de ingreso correspondiente a cada bien:

n∑i=1

wiei = 1 (2.5.7)

En efecto, de

ei =∂log(gi(x,p))

∂log(x)=

∂log(gi(x,p))

∂x

1∂log(x)

∂x

=1

gi

∂gi(x,p)

∂x

11x

=∂gi∂x

x

gi(2.5.8)

obtenemos, ∑k

wkek =∑k

pkqkx

∂gk∂x

x

gk=

∑k

pk∂gk∂x

De lo que se deduce lo enunciado al usar la identidad de agregación de Engel

Ir al Índice

23

Diblasi - Maglione2.6. UTILIDAD Y DEMANDA 15

Propiedad 2.5.2. La suma ponderada de las elasticidades precio para todos los bienes en rela-ción al precio de cierto bien h, es igual al valor negativo de la participación del presupuesto endicho bien h,

n∑i=1

wieih = −wh;h = 1, . . . , n

En efecto,

eij =∂log(gi(x,p))

∂log(pj)=

∂log(gi(x,p))

∂pj

1∂log(pj)

∂pj

=1

gi

∂gi∂pj

11pj

=∂gi∂pj

pjgi

(2.5.9)

De donde,

∑k

wkeki + wi =∑k

pkqkx

∂gk∂pi

pigk

+piqix

=pix

∑k

pk∂gk∂pi

+piqix

=pix

(∑k

pk∂gk∂pi

+ qi

)=

pix0 = 0

Propiedad 2.5.3. La suma de las elasticidades para todos los bienes con relación al precio decierto bien i, igual al valor opuesto respectivo de la elasticidad de ingreso de este bien:

n∑j=1

eij = −ei; i = 1, . . . , n (2.5.10)

En efecto,

∑k

eki + ei =∑k

∂gi∂pk

pkgi

+∂gi∂x

x

gi=

1

gi

(∑k

pk∂gi∂pk

+ x∂gi∂x

)=

1

gi0 = 0; i = 1, . . . , n

2.6. UTILIDAD Y DEMANDA

Si combinamos preferencias con restricciones lineales del presupuesto, el problema de elecciónse reduce a maximizar v(q) sujeto a x =

∑i piqi

Es claro que la solución de esta última ecuación debe ser una función de demanda marshalliana.Sin embargo el análisis general, v́ıa derivación, se vuelve extremadamente complicado.Si la funcion de utilidad es diferenciable, se puede resolver usando multiplicadores de Lagrange:

φ(q, λ) = v(q) + λ

(x−

∑k

pkqk

)

De donde resulta: { ∂v∂qi

(q) = λpi i = 1, .., n

x =∑

k pkqk

Este es un sistema de n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas. De acuerdo a las primerasecuaciones de este sistema el valor de λ representa la proporción en relación al precio del art́ıculoi en que vaŕıa la utilidad cuando aumenta la demanda en una unidad.

Si este sistema tiene solución, ella es el vector de demandas de Marshall, con componentes,qi = gi(x,p), i = 1, . . . , n

En este planteo hemos encontrado expresiones de las demandas en función de los precios ydonde la renta total x es considerada constante.

Otra opción para encontrar expresiones de la demanda en función de los precios es la deminimizar el gasto para obtener una utilidad prefijada. A continuación describimos brevementeesta estrategia.

Ir al Índice24

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios16 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

Minimizar el total x sujeta a la restricción de una utilidad constante. Aśı, el problema sereduce a minimizar la función de Lagrange,

ζ(q, λ) =n∑

i=1

piqi + λ(u− v(q))

Encontrar expresiones de la forma qi = hi(u,p), i = 1, . . . , n que resultan de la solucióndel sistema, {

pi = λ∂v∂qi

(q); i = 1, .., n

u = v(q)

Estas funciones, qi = hi(u,p), i = 1, . . . , n, son las demandas de Hicks o Hicksianas o funcionesde demandas compensadas (ya que nos dicen como qi es afectada por los precios cuando u esconstante).

Si reemplazamos en (2.5.1) las demandas por las de Hicks, obtenemos,

x =∑k

pkqk =∑k

pkhk(u,p) = c(u,p)

donde c es la función de gasto que depende de la utilidad fija u y el vector de precios p.También en un contexto de elección del consumidor se puede formular el problema como lamaximización de la utilidad para un gasto (o costo) determinado. O bien como uno de selecciónde las cantidades de mercanćıas para reducir al mı́nimo el gasto necesario para alcanzar unautilidad (fija) u. Bajo ciertas caracteŕısticas de las preferencias, el vector de demandas de estosart́ıculos elegidos puede ser en ambos casos el mismo.Estos dos problemas, son llamados problemas duales equivalentes

Problema original Problema dualMaximizar u = v(q) sujeto a x =

∑i piqi Minimizar x =

∑i piqi = c(u,p) sujeto a v(q) = u

En ambos problemas, lo que buscamos son valores óptimos para q.

En el problema original, las soluciones son el conjunto de demanda de Marshall o Marsha-lliana q = g(x,p) . En el problema dual las soluciones son las demandas de Hicks o Hicksianaq = h(u,p). Ambas soluciones coinciden.Si reemplazamos estas demandas en cada problema tenemos:

1.

u = v(q1, q2, ..., qn) = v(g1(x,p), g2(x,p), ..., gn(x,p)) = ψ(x,p)

que es la máxima utilidad lograda dados x y p. A ψ se la llama función de utilidad indirecta.

2.

x =n∑

i=1

piqi =

n∑i=1

pihi(u,p) = c(u,p)

que es el gasto mı́nimo logrado dados u y p.

Ambas se pueden representar, recordando las formulaciones originales, como:

ψ(x,p) = máxq

{v(q)|p.q = x} y c(u,p) = mı́nq

{p.q = x|v(q) = u}

donde p.q =∑n

i=1 piqi

La función de gasto y de utilidad indirecta están ı́ntimamente relacionadas:

Ir al Índice

25

Diblasi - Maglione

2.6. UTILIDAD Y DEMANDA 17

Si c(u,p) = x , entonces v́ıa inversión podemos expresar a u como función de x y p,(u = ψ(x,p))

Si ψ(x,p) = u , entonces v́ıa inversión podemos expresar a x como función de u y p,(x = c(u,p))

Lo expresado anteriormente lo podemos representar en el esquema siguiente (Deaton y Muell-bauer (1980a))

Función de utilidad indirectau = ψ(x,p)

Función de gastox = c(u,p)

demanda Marshallianaq = g(x,p)

demanda Hicksianaq = h(u,p)

max(u) = v(q) sujeto ap.q = x

min(p.q) = x sujeto av(q) = u

��

invirtiendo

DUALIDAD

��

�

resolviendo

�

resolviendo

�

sustituyendo

�

sustituyendo

A continuación invertimos el esquema anterior para analizar cómo a partir de la función degasto o de utilidad indirecta, es posible regresar a las demandas. Para ello es necesario conoceralgunas propiedades de las funciones de gasto que enunciamos a continuación.

Propiedad 2.6.1. La función de gasto es homogénea de grado 1 en los precios, es decir,

c(u, θp) = θc(u,p), para cada escalar θ y para cada vector de precios p

Propiedad 2.6.2. La función de gasto es no decreciente en la utilidad u, no decreciente en elvector de precios p y (estrictamente) creciente en al menos un precio.

Esto se deriva del axioma de insaciabilidad. Dado un vector de precios, el consumidor debegastar más para estar mejor. Por otra parte un incremento en precios requiere más cantidad dedinero para alcanzar el mismo bienestar.

Propiedad 2.6.3. La función de gasto es cóncava en los precios, es decir,

Si 0 ≤ θ ≤ 1 entonces c(u, θp1 + (1− θ)p2) ≥ θc(u,p1) + (1− θ)c(u,p2)

Ir al Índice26

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios18 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

Figura 2.1: Función de gasto para un valor fijo de la utilidad es una función cóncava delprecio.

La concavidad implica que a medida que aumentan los precios, el gasto se eleva pero no demanera lineal, ya que el consumidor minimiza el gasto reordenando las compras a fin de tenerventajas ante la nueva estructura de precios. Esto está representado en la Figura 2.1 .

Propiedad 2.6.4. La función de gasto es continua en p, y existen todas las derivadas parcialeshasta las de segundo orden (inclusive) respecto de todas las componentes de p para casi todovector de precios p (salvo quizás un conjunto de vectores de precios espećıficos de medida nula).

Propiedad 2.6.5. Cuando existen las derivadas parciales de la función de gasto con respecto alos precios, estas son las funciones de demanda de Hicks

∂c

∂pi(u,p) = hi(u,p) = qi; i = 1, . . . , n (2.6.11)

A esta última propiedad se la conoce como Lema de Sheppard el cual es uno de los pilares quenos permitirá retroceder desde cualquier función de gasto a las funciones de demanda de Hicks.También podŕıamos obtener las funciones de demanda marshallianas a partir de la función degasto mediante la siguiente sustitución.

qi = hi(u,p) = hi(ψ(x,p), p) = gi(x,p) y qi = gi(x,p) = gi(c(u,p),p) = hi(u,p); i = 1, . . . , n

Estas últimas ecuaciones establecen el enlace entre la parte inferior y central del esquema an-terior. Ya que la función de gasto y de utilidad son funciones invertibles, entonces, a partir deu = ψ(x,p) = ψ(c(u,p),p) resulta,

∂ψ

∂x(x,p)

∂c

∂pi(u,p) +

∂ψ

∂pi(x,p) = 0

Ir al Índice

27

Diblasi - Maglione2.6. UTILIDAD Y DEMANDA 19

Luego, por la propiedad (2.6.11) resulta,

qi = −∂ψ∂pi

(x,p)

∂ψ∂x (x,p)

(identidad de Roy)

Estas expresiones junto a las propiedades anteriores nos permiten establecer un enlace entrelos distintos componentes del esquema previo y de esta manera construir el siguiente,

demanda Marshallianaq = g(x,p)

demanda Hicksianaq = h(u,p)

Función de gastox = c(u,p)

Función de utilidad indirectau = ψ(x,p)

��

sustituyendo

��

����������������

��

��

��

��

��

��

���

identidad de Roy

�

invirtiendo

��

��

��

��

��

��

������������������

lema de Sheppard

El camino más frecuentemente utilizado (ver Deaton y Muellbauer, 1980a) es comenzar conla función de gasto y

1. obtener la demanda Hicksiana hi por medio de las derivadas

2. invertir c(u,p), para obtener ψ(x,p)

3. sustituir ψ(x,p) en hi(u,p) para obtener la demanda Marshalliana.

Los dos esquemas anteriores pueden ser sintetizados en el siguiente,

maxpq=x

{u = v(q)} minv(q)=u

{pq = x}

demanda Marshallianaq = g(x, p)

demanda Hicksianaq = h(u, p)

Función de gastox = c(u, p)

Función de utilidad indirectau = ψ(x, p)

DUALIDAD

��

�

resolviendo

�

�

resolviendo

invirtiendo�

sustituyendo ��

����������

��

��

��

��

identidad

de Roysustituyendo

�

�

�

sustituyendo

��

lema de Sheppard

����������

��

��

��

��

Ir al Índice28

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios20 CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍTICAS DE PRECIOS

Para ejemplificar, en el APENDICE 1 se desarrollan las expresiones para lo explicitado enesta sección a partir una función de utilidad que da origen a las ecuaciones que definen el sistemade demanda del modelo lineal.

2.7. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DEMANDA

Vamos a enumerar a continuación una caracterización general de las propiedades de lasfunciones de demanda de Hicks y de Marshall.

Propiedad 2.7.1. Adición: el valor total de la demanda de Marshall y de Hicks es el total,x =

∑i pigi(x,p) =

∑i pihi(u,p)

Propiedad 2.7.2. Homogeneidad: la demanda de Hicks es homogénea de grado cero en losprecios y la de Marshall en el gasto total y en los precios a la vez

hi(u, θp) = hi(u,p) = qi = gi(θx, θp) = gi(x,p)

Propiedad 2.7.3. Simetŕıa: las derivadas de precio cruzados de la demanda de Hicks sonsimétricas

∂hi∂pj

=∂hj∂pi

, ∀i �= j

Pues

hi =∂c(u,p)

∂piy hj =

∂c(u,p)

∂pj

∂hi∂pj

=∂2c(u,p)

∂pj∂piy∂hj∂pi

=∂2c(u,p)

∂pi∂pj

Propiedad 2.7.4. Negatividad: Sea S = (sij) donde sij =∂hi∂pj

, entonces S es semidefinidanegativa

ξTSξ =∑j

∑i

ξiξj∂hi∂pj

≤ 0 para cada ξ

A S se la llama la matriz de Slutsky.Además si ξ es proporcional a p, se da la igualdad ξtSξ = 0

De las propiedades anteriores se deduce que sii ≤ 0 (es decir, si se incrementa el precio man-teniendo la utilidad constante debe ocurrir una cáıda de la demanda ó al menos no cambiar).Vimos que hay básicamente cuatro propiedades generales básicas para las funciones de demanda:adición, homogeneidad de grado cero en los precios y en el total, las respuestas de precios com-pesadas son simétricas y forman una matriz semidefinida negativa. La adición y homogeneidadson consecuencias de la especificación de una restricción presupuestaria lineal. Por otro lado, lasimetŕıa y negatividad derivan de la existencia de preferencias consistentes.La simetŕıa de la matriz de sustitución de un consumidor no es fácilmente interpretable sinhacer referencia a la función de gasto, sin embargo es una garant́ıa acerca de la consistencia enla elección del consumidor, garantiza la no existencia de elecciones incompatibles.

Para analizar la simetŕıa y la negatividad, debeŕıamos observar la matriz de sustitución S,y esto significa definirla en términos de la demanda Marshalliana:

qi = gi(x,p) = gi(c(u,p),p) = hi(u,p)

∂hi∂pj

=∂gi∂x

∂c

∂pj+

∂gi∂pj

Ir al Índice

29

Diblasi - Maglione

2.7. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE DEMANDA 21

Luego,∂hi∂pj

= sij =∂gi∂x

qj +∂gi∂pj

(2.7.12)

Aśı para obtener la derivada compensada, de la derivada no compensada ∂gi∂pj hay que agre-

garle qj veces el gasto total derivado qi∂gi∂x . Y por las expresiones se ve que S no es afectada por

transformaciones.Cada una de las magnitudes de la última ecuación, en principio, pueden ser observadas direc-tamente variando a x y p. Aśı la ecuación se descompone entonces en el efecto sustitución delcambio en precios y en el efecto ingreso.La ecuación sij =

∂gi∂x qj +

∂gi∂pj

es usualmente escrita como

∂gi∂pj

= sij − qj∂gi∂x

La matriz de Slutzky o de sustitución también nos permite decidir si dos bienes son sustitutoso complementarios:

i y j son complementarios si sij < 0

i y j son sustitutos si sij > 0

Los teoremas de dualidad permiten usar a ψ(x,p) y a c(u,p) como representaciones alter-nativas de alguna función de utilidad v(q).En particular cualquier c(u,p) que satisfaga las propiedades anteriores puede ser consideradacomo una función de gasto que representa una preferencia de orden subyacente (sin necesidadde explicitar v(q)).En el trabajo emṕırico, es relativamente fácil pensar en especificaciones para c(u,p) y ψ(x,p) ,y a partir de ellas obtener las funciones de demanda.

Ir al Índice30

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios

Capı́tulo 3MODELOS DE ANÁLISIS DE LADEMANDA

3.1. INTRODUCCIÓN

El manejo de las categoŕıas dentro de un negocio es un proceso complejo pero muy importantepara los minoristas. Una clave para el manejo de las categoŕıas del inventario es definir la poĺıticade precios de los rubros dentro de una categoŕıa. Esta tarea puede ser dividida en dos etapas:

estimar un sistema de demanda que produzca efectos propios y cruzados de precios (elastici-dades), y permita incorporar efectos de promociones, estacionalidad, y otras caracteŕısticaseconómicas propias de la región-páıs en dónde el negocio está asentado

utilizar los parámetros estimados para computar precios de los rubros de manera de ma-ximizar los beneficios por categoŕıas

Para la primera etapa es muy importante seleccionar un modelo adecuado tanto a los supuestosdistribucionales como a los que verifiquen propiedades económicas deseables de las variablesque representan a los precios y demandas. Estos modelos estad́ısticos de análisis de la demandapermiten establecer relaciones entre precios y demandas conservando las propiedades deseablesde la teoŕıa económica elemental. Tradicionalmente se han utilizado modelos que presentanecuaciones independientes (no vinculadas a través de un sistema) que no verifican la condiciónde integrabilidad. Entre estos modelos se encuentran los de Stone y Rotterdam que describimosen esta sección. Tanto el modelo de Stone como el de Rotterdam son consistentes con unafunción de utilidad lineal en los logaritmos. Esto implica que las elasticidades de sustituciónde un producto con otro sean constantes. Estos modelos han sido largamente usados en lapráctica debido a su simplicidad y porque, bajo ciertas condiones de los parámetros cumplencon condiciones de integrabilidad local (Alston,J.M. et al.(2002)).

En las últimas décadas han aparecido numerosas propuestas de modelos de demanda quetratan de incorporar formas funcionales flexibles para abarcar las propiedades de la teoŕıa de lademanda.

Una de ellas es la del modelo AIDS (Almost Ideal Demand System) que involucra un sistemade ecuaciones vinculadas y con interesantes propiedades. Este modelo lo analizamos muy parti-cularmente porque lo tomamos como punto de partida para el comportamiento de un conjuntode precios y demandas con el objetivo de simular poĺıticas de precios.

23

Modelos de Análisisde la demanda3

Ir al Índice

31

Diblasi - Maglione24 CAPÍTULO 3. MODELOS DE ANÁLISIS DE LA DEMANDA

3.2. ESPECIFICACIONES EMPÍRICAS

El hecho de la facilidad de la comprensión del concepto de elasticidad, aśı como el de sermedidas adimensionales, hace que muchos economistas vean las estimaciones de elasticidadescomo la ayuda principal del análisis de la demanda emṕırico. Por lo que de manera naturalsurge el sistema de ecuaciones:

log(qi) = αi + ei log(x) +∑k

eik log(pk) + µi

el cual es estimado sobre una serie de datos, donde el rango k es un conjunto de bienes estre-chamente relacionados con i.Las restricciones de homogeneidad pueden ser verificadas viendo si las estimaciones satisfacenlas ecuaciones (2.5.10), ∑

k

eki + ei = 0; i = 1, . . . , n

ó imponiendo restricciones a priori y usando test estad́ısticos para validarlos.En contraste, la condición de sumatoria no puede incorporarse a la especificación logaŕıtmica.Como

wi =piqi

x⇒ log(wi) = log(qi) + log(pi)− log(x)

log(wi) = αi + (ei − 1) log(x) + (eii + 1) log(pi) +∑k

eik log(pk)

Como∑

k wkek = 1 (ecuación (2.5.7)), tenemos que o todos los ei son iguales a 1 o al menos unode ellos es mayor a la unidad. El primer caso indica patrones de venta idénticos para todos losniveles de la venta total lo cual no sucede generalmente. La segunda opción indica que existe almenos un bien de lujo para el cual ei > 1 y al menos uno de necesidad ei < 1, y es posible realizaranálisis para estudiar el comportamiento de los bienes de lujos por un lado versus los demás. Sinembargo, el análisis de la demanda no sólo está relacionado con el análisis de la serie de tiemposde los datos, sino también con la explicación del comportamiento entre los diferentes hogares.En este último tipo de estudio se supone que los diferentes hogares miran precios idénticos y elcomportamiento diferencial entre ellos es debido a las caracteŕıstica de la composición familiardel hogar. Acá la homogeneidad de las funciones de demanda puede no tener importancia, sinembargo la de adición sigue siendo importante; aunque en los estudios de presupuestos familiaresse suele elegir formas funcionales relativas a los gastos totales de las compras sobre la base debondad de ajuste sin prestar mucha atención a este requisito.

3.3. MODELO DE STONE

Richard Nicholas Stone (1913 -1991) fue un eminente economista británico que recibió elpremio nobel de Economı́a en 1984 por proponer un modelo de demanda que tiene en cuenta quepor cada producto que ingresa debe tenerse un producto que egresa en un sistema balanceado.Este modelo es conocido también como el modelo doble-logaŕıtmico de demanda. El mismo puedeexpresarse,

log(qi) = αi + ei log(x) +n∑

k=1

eik log(pk) + εi, i = 1, . . . , n (3.3.1)

donde, x es el ingreso total, εi es un error aleatorio, ei es la elasticidad de ingreso o gasto enel producto i y eij la elasticidad cruzada del precio del articulo j y la demanda del articulo i,definidas como

Ir al Índice32

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios3.3. MODELO DE STONE 25

ei =∂log(gi(x,p)

∂log(x); eij =

∂log(gi(x,p))

∂log(pj)

donde gi es la función que vincula la demanda qi con el vector de precios p. Estas elasticida-des representan los parámetros de la ecuación del modelo anterior y, en consecuencia puedenestimarse como tales.

Esto define un modelo en el que hay demasiados parámetros, por lo que es necesario incorpo-rar restricciones. Un procedimiento natural seŕıa colocar a las elesticidades cruzadas como 0 (loque es cierto para bienes no relacionados), pero en este caso se perdeŕıa información de bienesque śı son sustitutos o complementarios.Para resolver este problema, llamemos e∗ij a las elasticidades compensadas:

e∗ij =∂log(hi(u,p))

∂log(pj)

Entonces usando la relación de Slutsky (2.7.12) y dado que qi = gi = hi tenemos que

∂hi∂pj

=∂gi∂pj

+∂gi∂x

hj

Además usando expresiones ya desarrolladas para eij , ei y wi

∂hi∂pj

pjhi

=∂gi∂pj

pjhi

+∂gi∂x

hjpjhi

=∂gi∂pj

pjhi

+∂gi∂x

hjpjhi

.x

x=

∂gi∂pj

pjgi

+

(∂gi∂x

x

gi

)(qjpjx

)

Es decir,

∂log(hi(x,p))

∂log(pj)=

∂log(gi(x,p))

∂log(pj)+

∂log(gi(x,p))

∂log(x)wj

De donde se obtiene que e∗ij = eij + eiwj o bien, eik = e∗ik − eiwk. Sustituyendo en la ecuación

anterior tenemos:

log(qi) = αi + ei

(log(x)−

∑k

wk log(pk)

)+

∑k

e∗ik log(pk)

donde la expresión∑

k wk log(pk) puede ser pensada como el logaritmo de un ı́ndice general deprecios (log(P )), y aśı podemos rescribir la ecuación como

log(qi) = αi + ei log( xP

)+

∑k

e∗ik log(pk)

Esto da la demanda en términos de la venta real, por un lado, y de los precios compensados porel otro. Por (2.5.10), dado que

∑k eik + ei = 0 , entonces

∑k

e∗ik =∑k

(eik + eiwk) =∑k

eik + ei∑k

wk = −ei + ei = 0

Aśı∑

k e∗ik = 0 , lo que puede ser usado para permitir deflacciones de todos los precios a través

del ı́ndice P . Por esta propiedad la ecuación

log(qi) = αi + ei log( xP

)+

∑k

e∗ik log(pk)

Ir al Índice

33

Diblasi - Maglione26 CAPÍTULO 3. MODELOS DE ANÁLISIS DE LA DEMANDA

resulta ser aproximadamente equivalente a

log(qi) = αi + ei log( xP

)+∑k

e∗ik log(pkP

)

Acá la sumatoria está restringida a art́ıculos cercanos en el sentido de ser complementarioso sustitutos. La última ecuación es la base del análisis de Stone. Sin embargo para conservargrados de libertad, las eslasticidades ei se estiman primero desde estudios de presupuesto y estasestimaciones sirven como información previa en la estimación del modelo.Para informes en cambio de gustos, Stone introduce una tendencia de tiempo θit, y tomando lasprimeras diferencias minimiza el efecto de correlación en los residuos:

∆[log(qi)− ẽi log

( xP

)]= θi +

∑k

e∗ik∆ log(pkP

)

donde ẽi son las elasticidad de ingreso estimada desde otros estudios de presupuesto.

3.4. SISTEMA DE DEMANDA LINEAL

En el APENDICE 1 se desarrollan las expresiones que corresponden al modelo lineal, am-pliamente utilizado por su simplicidad,

piqi = βix+n∑

j=1

βijpj + εi, i = 1, . . . , n (3.4.2)

Donde βij =∑j(δijγi − βiγj)pj y al imponer que

∑i βi = 1 las restricciones de adición, homo-

geneidad y simetŕıa se satisfacen. La función de gasto resulta ser,

c(u,p) =n∑

k=1

γkpk + uΠpβkk

la cual es cóncava si todos los βi son no negativos y x ≥∑n

j=1 γkpk (de manera que qi ≥ γi; i =1, . . . , n).Las cantidad γi son frecuentemente interpretadas como la cantidad mı́nima requerida ó cantidadde subsistencia. De esta manera

piqi = γipi + βi

[x−

n∑k=1

γkpk

]+ εi; i = 1, . . . , n.

se interpreta como que se compra primero una parte fija, dejando el resto entre los otros bienesen una proporción βi. Esto también se refleja en la función de gasto c(u,p) la cual muestra uncosto fijo

∑γkpk en la cual no hay sustituciones, más un término que permite que la utilidad

sea comprada a un precio constate por unidad (Πpβkk ). Como Σβi = 1 , este último términopuede pensarse como una media geométrica ponderada de los precios, y por lo tanto como unı́ndice de precios representando el gasto marginal de vida.Las funciones de utilidad directa e indirecta para este sistema de demanda lineal son:

v(q) = Π(qk − γk)βk o bien log(v(q)) =∑

βk log(qk − γk)

ψ(x,p) =x−

∑pkγk

Πpβkk

Ir al Índice34

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios3.5. MODELO DE ROTTERDAM 27

En la función ψ el numerador puede interpretarse como la cantidad que se puede gastar másallá de lo necesario para subsistir y el denominador una media geométrica de los precios. Aśı elcociente puede utilizarse como un indicador real del bienestar. Este modelo es simple en relacióna la cantidad de parámetros, sin embargo es restrictivo en el sentido de la forma funcional delmodelo. En efecto los bienes inferiores sólo pueden ocurrir para bienes con βi negativa, peroésto viola la concavidad. Por otra parte, si la concavidad se mantiene, ningún par de bienespueden ser complementarios. Estas propiedades del modelo deben tenerse en cuenta al momentode usarlo.

3.5. MODELO DE ROTTERDAM

En muchos sentidos es similar al de Stone, pero en vez de trabajar en niveles de logaritmoslo hace en diferenciales. Si diferenciamos la ecuación (3.3.1):

log(qi) = αi + ei log(x) +∑k

eik log(pk) + εi

obtenemos

d log(qi) = eid log(x) +∑k

eikd log(pk)

De la relación de Slutsky resulta eik = e∗ik − eiwk que sustituyendo en la ecuación anterior

da como resultado:

d log(qi) = ei[d log(x)−∑k

wkd log(pk)] +∑k

e∗ikd log(pk) (3.5.3)

que es la diferencial de la ecuación de Stone (3.3.1).

En este caso no se puede deducir la imposición de simetŕıa. Para subsanar multiplicamos porlos wi

wid log(qi) = bid log(x) +∑k

cikd log(pk)

donde

d log(x) = d log(x)−∑k

wkd log(pk) =∑k

wkd log(qk)

que puede considerarse como un ı́ndice que representa el cambio proporcional en el total

bi = wiei = pi∂qi∂x

que muestra que bi es la tendencia marginal para gastar en el bien i

cij = wie∗ij =

pipjsijx

Los parámetros en (3.5.3) pueden estimarse al reemplazar el diferencial por las aproximacionesfinitas.Para el caso de las restricciones, la restricción de adición para el modelo de Rótterdam resultanser

∑k bk = 1 ,

∑k ckj = 0; la de homogeneidad se traduce en que

∑k cjk = 0 (que puede

imponerse al estimar, o testearse luego del cálculo de las estimaciones) y la de simetŕıa setraduce en que cij = cji∀i, j. Ya que los precios son no negativos, la matriz C = (cij) resulta sersemidefinida negativa si y sólo si S es semidefinida negativa.

Ir al Índice

35

Diblasi - Maglione28 CAPÍTULO 3. MODELOS DE ANÁLISIS DE LA DEMANDA

3.6. MODELO AIDS

Deaton y Muelbauer (1980) plantean un modelo de demanda que denominan modelo AIDS(Almost Ideal Demand System). En él se consideran n rubros dentro de una categoŕıa, los cualesson observados a través del tiempo t = 1, ..., T . Ellos parten desde una función de gasto c(u,p)perteneciente a la clase PIGLOG (Price Independent Generalized Logarithmic) que garantizaque las preferencias no modifican el gasto total cuando vaŕıan los precio; estos modelos fuerondesarrollados para tratar la conducta del consumidor como si fuera el resultado de una solamaximización. Sea c(u,p) la función de gasto definida como

log(c(u,p)) = (1− u) log(a(p)) + u(log(b(p)))

donde 0 ≤ u ≤ 1 y aśı a(p) es la función de subsistencia y b(p) la de felicidad. Se especificanformas funcionales para a(p) y b(p) de manera que para c existan todas las derivadas de segundoorden

log(a(p)) = α0 +n∑

k=1

αk log(pk) +1

2

n∑k=1

n∑j=1

γ∗ij log(pj) log(pk)

log(b(p)) = log(a(p)) + β0

n∏k=1

pβkk

Aśı la función de costo es

log(c(u,p)) = α0 +n∑

k=1

αk log(pk) +1

2

n∑k=1

n∑j=1

γ∗ij log(pj) log(pk) + uβ0

n∏k=1

pβkk

donde los parámetros son αi, βi, γ∗ij

Dada que la función de costo tiene que ser homogénea en p, se verifica que

∑i

αi = 1,∑i

βi = 0,∑j

γ∗jk = 0,∑k

γ∗jk = 0

Las elecciones para a(p) y b(p) se justifican por la flexibilidad para la forma funcional de c; perotambién porque conduce a una función de demanda con propiedades deseables. Las funciones dedemanda satisfacen la ecuación (2.6.11):

∂c(u,p)

∂pi= qi y de acá

∂ log(c(u,p))

∂ log(pi)=

piqic(u,p)

= wi

Pero∂ log(c(u,p))

∂ log(pi)= αi +

1

2

n∑j=1

γ∗ij log(pj) +1

2

n∑k=1

γ∗ij log(pj) + uβ0βi

n∏k=1

pβkk

Llamando γij =γ∗ij+γ

∗ji

2 , podemos escribir

wi =∂ log(c(u,p))

∂ log(pi)= αi +

n∑j=1

γij log(pj) + uβ0βi

n∏k=1

pβkk

Si x es el total, x = c(u,p) ⇒ log(x) = log(c(u,p)), por lo que

log(x) = α0 +n∑

k=1

αk log(pk) +1

2

n∑k=1

n∑j=1

γ∗ij log(pj) log(pk) + uβ0

n∏k=1

pβkk

Ir al Índice36

Modelos estadisticos de demanda para politicas de precios3.6. MODELO AIDS 29

Aśı

u =log(x)− α0 −

∑nk=1 αk log(pk)−

12

∑nk=1

∑nj=1 γ

∗ij log(pj) log(pk)

β0∏n

k=1 pβkk

Si llamamos log(P ) = α0 +n∑

k=1

αk log(pk) +1

2

n∑k=1

n∑j=1

γ∗ij log(pj)

entonces tenemos que u = log(x)−log(P )β0

∏nk=1 p

βkk

, con lo que reemplazando en la expresión para wi

obtenemos

wi = αi +n∑

j=1

γij log(pj) +log(x)− log(P )β0

∏nk=1 p

βkk

β0βi

n∏k=1

pβkk

wi = αi +n∑

j=1

γij log(pj) + βi log(x

P)

A partir de las restricciones de los parám